FO_LE, Caputo türeviyle modellenen kommensürat ve non-kommensürat kesirli mertebeli dinamik sistemlerin sonlu zamanlı Lyapunov üslerini hesaplamak için geliştirilmiş bir MATLAB rutinidir. Yöntem, önceki FO_Lyapunov ve FO_NC_Lyapunov uygulamalarındaki klasik Gram–Schmidt ortogonalleştirmesini QR tabanlı yeniden ortonormalleştirmeyle değiştirirken, genişletilmiş durum-varyasyon sistemini yeni kuadratik LIL predictor–corrector integratörüyle çözer. Çalışmadaki kesin çözümlü benchmark, LIL_nc'nin klasik hızlandırılmamış ABM_nc yönteminden hem hata hem hesaplama süresi bakımından belirgin biçimde daha iyi olduğunu; FFT hızlandırmalı fde12_nc2 ile karşılaştırıldığında ise mutlak hata bakımından biraz geride kalmasına karşın benzer büyüklükte hata, rekabetçi süre ve biraz daha yüksek gözlenen yakınsama mertebesi sunduğunu göstermektedir.

Rabinovich–Fabrikant sistemi üzerindeki deneyler, aynı FO_LE rutininin farklı kesirli mertebe vektörlerinde kaotik bir yörünge ile asimptotik olarak kararlı rejimleri ayırt edebildiğini göstermektedir. Örneğin kommensürat \(\alpha=0.999\) durumunda hesaplanan spektrum yaklaşık \((0.1017,\;0.0000,\;-1.9048)\) olup en büyük Lyapunov üssünün pozitif olması incelenen yörüngenin kaotik davranışıyla uyumludur. Buna karşılık \(\alpha=(0.6,0.8,0.7)\) için bütün hesaplanan üsler negatiftir ve yörünge kararlı dengeye yaklaşmaktadır.

Temel yorum sınırı: Çalışmada elde edilen Lyapunov üsleri teorik \(t\rightarrow\infty\) limitindeki mutlak asimptotik spektrumlar değil, belirli başlangıç koşullarından üretilmiş sayısal yörüngeler boyunca hesaplanan sonlu zamanlı ve yerel yaklaşımlardır. Ayrıca \(h\), \(h_{\mathrm{norm}}\), son zaman \(T\) ve kesirli mertebe vektörü sonuçların sayısal güvenilirliğini etkileyebilir.

Kesirli mertebeli sistemlerde Lyapunov üssü neden daha zor hesaplanıyor?

Klasik dinamik sistemlerde bir başlangıç durumuna çok yakın iki yörüngenin zamanla birbirinden ayrılma veya birbirine yaklaşma hızını Lyapunov üsleriyle nicel olarak incelemek mümkündür. Pozitif en büyük Lyapunov üssü, küçük başlangıç farklılıklarının ortalama olarak üstel biçimde büyüdüğü ve hassas başlangıç koşulu bağımlılığının bulunduğu bir rejime işaret eder.

Kesirli mertebeli sistemlerde hesaplama daha karmaşıktır; çünkü Caputo türevi sistemin geçmişini integral çekirdeği aracılığıyla taşır. Çalışmada \(0<\alpha_i<1\) için bileşen bazındaki Caputo türevi

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_i}x_i(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha_i)} \int_0^t \frac{x'_i(\tau)} {(t-\tau)^{\alpha_i}} \,d\tau \]

olarak tanımlanmaktadır. Buradaki integral \(0\)'dan mevcut zamana kadar bütün geçmişi içerir. Dolayısıyla sayısal algoritmanın yalnızca “mevcut durum” ile çalışması yeterli değildir; fractional memory yapısının korunması gerekir.

Kommensürat ve non-kommensürat ne demek?

Çalışma

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), \qquad i=1,\ldots,n_e \]

biçimindeki çok bileşenli bir Caputo sistemini ele almaktadır. Eğer

\[ \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_{n_e}=\alpha \]

ise sistem kommensürat; en az iki bileşenin mertebesi farklıysa non-kommensürat olarak ele alınmaktadır. FO_LE'nin önemli yönlerinden biri, iki sınıfı farklı temel algoritmalarla değil aynı hesaplama çerçevesi içinde desteklemesidir.

Varyasyon sistemi ne işe yarıyor?

Lyapunov üssünü hesaplamak için yalnızca referans yörüngeyi bilmek yetmez. Bu yörüngenin çevresindeki küçük perturbasyonların nasıl büyüdüğünü de izlemek gerekir. Bunun için \(\Phi(t)\) perturbasyon matrisi kullanılır:

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_i}\phi_{ij}(t) = \sum_{k=1}^{n_e} \frac{\partial f_i} {\partial x_k} (t,x(t)) \phi_{kj}(t), \]

ve başlangıç koşulu

\[ \Phi(0)=I_{n_e} \]

olarak alınır.

Böylece orijinal \(n_e\) denklem ile \(n_e^2\) varyasyon denklemi birlikte çözülür. Genişletilmiş sistem toplam

\[ n_e+n_e^2 \]

denklemden oluşur.

Gram–Schmidt yerine neden QR kullanılıyor?

Önceki FO_Lyapunov rutinlerinde perturbasyon vektörleri klasik Gram–Schmidt işlemiyle ortogonalleştiriliyordu. Yeni FO_LE uygulaması bunun yerine

\[ A=QR \]

ayrışımını kullanmaktadır. Burada \(Q\) ortonormal yeni perturbasyon bazını, üst üçgensel \(R\) matrisi ise o entegrasyon aralığındaki yerel uzama bilgisini taşımaktadır.

Yöntemde \(R\)'nin köşegen işaretleri tutarlı hâle getirildikten sonra

\[ z_k=|R_{kk}| \]

alınır ve birikimli büyüme

\[ s_k\leftarrow s_k+\log z_k \]

ile güncellenir.

LIL predictor–corrector yaklaşımı

FO_LE'nin ikinci önemli değişikliği entegratördür. Çalışma, önceki ABM tabanlı çözücüler yerine kuadratik Lagrange Interpolation at the Last step (LIL) predictor–corrector şemasını kullanmaktadır.

Predictor aşaması

\[ y^{(p)}_{n+1} = y_0+ \frac{h^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{k=0}^{n} b^{(\alpha)}_{n-k}f_k \]

ve

\[ b_j^{(\alpha)} = (j+1)^\alpha-j^\alpha \]

ağırlıklarıyla tanımlanır.

Ardından implicit corrector, geçmiş fonksiyon değerlerini ve yeni noktadaki \(f(t_{n+1},y_{n+1})\) terimini birlikte kullanır. Non-kommensürat sistemlerde formül bileşen bazında uygulanır ve her denklem için kendi \(\alpha_i\) mertebesine karşılık gelen ağırlıklar kullanılır.

Kesin çözümlü benchmark ne gösteriyor?

Sayısal yöntemi test etmek için çalışma, \(\alpha_1=0.9\) ve \(\alpha_2=0.8\) mertebelerine sahip iki boyutlu non-kommensürat sistemi kullanmaktadır:

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_1}x_1=-x_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_2}x_2 = -2x_2+ \left(x_1-x_{1,e}(t)\right)^2. \]

Başlangıç koşulu \(x_1(0)=x_2(0)=1\)'dir. Kesin çözüm Mittag–Leffler fonksiyonlarıyla bilindiği için her çözücünün hatası doğrudan hesaplanabilmektedir:

\[ x_e(t)= \begin{bmatrix} E_{\alpha_1}(-t^{\alpha_1})\\ E_{\alpha_2}(-2t^{\alpha_2}) \end{bmatrix}. \]

Hata metriği, tüm zaman düğümleri üzerindeki ayrık maksimum normdur:

\[ E(h)= \max_n \|x_n-x(t_n)\|_\infty. \]

Benchmarkın en çarpıcı sonucu: klasik ABM'nin maliyeti

En ince ağ olan \(h=0.000625\) için kaynak tablo şu değerleri vermektedir:

• LIL_nc: hata \(1.77\times10^{-6}\), CPU 0.05995 s, gözlenen mertebe 1.60.
• fde12_nc2: hata \(1.71\times10^{-6}\), CPU 0.03252 s, gözlenen mertebe 1.57.
• ABM_nc: hata \(6.52\times10^{-4}\), CPU 6.16438 s, gözlenen mertebe 0.80.

Bu noktada fde12_nc2 mutlak hata ve çalışma süresi bakımından LIL_nc'den biraz daha iyi sonuç vermektedir. Dolayısıyla kaynak, LIL_nc'nin optimize edilmiş FFT tabanlı fde12_nc2'yi mutlak anlamda “yendiği” sonucunu desteklememektedir. Çalışmanın desteklediği daha dikkatli yorum, LIL_nc'nin aynı hata mertebesinde rekabetçi olduğu ve biraz daha yüksek gözlenen yakınsama mertebesi gösterdiğidir.

Rabinovich–Fabrikant sistemiyle kaos ve kararlılık

FO_LE daha sonra üç değişkenli fractional Rabinovich–Fabrikant sistemi üzerinde denenmektedir:

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_1}x_1 = x_2(x_3-1+x_1^2)+ax_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_2}x_2 = x_1(3x_3+1-x_1^2)+ax_2, \]

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_3}x_3 = -2x_3(b+x_1x_2), \]

ve çalışmada \(a=-1\), \(b=-0.1\) seçilmektedir.

Denge noktaları

\[ E_0=(0,0,0) \]

ile yaklaşık

\[ E_\pm=(\pm0.1479,\;\pm0.6759,\;1.1969) \]

olarak verilmektedir.

Üç kesirli mertebe konfigürasyonu, üç farklı sayısal görünüm

Neden üçüncü örneğe “periyodik” denmiyor?

\(\alpha=(0.85,0.965,0.999)\) durumunda kaynak yörüngenin görsel olarak periyodikmiş gibi görünebildiğini özellikle vurgular. Ancak Caputo türeviyle modellenen otonom fractional-order sistemlerde sabit olmayan gerçek periyodik çözümlerin bulunmadığına ilişkin teorik sonuç nedeniyle çalışma bu davranışı “apparently” veya “numerically periodic” olarak sınırlar.

Bu ayrım bilimsel açıdan önemlidir: bir faz grafiğinin kapalı bir eğriye benzemesi tek başına gerçek matematiksel periyodiklik kanıtı değildir.

hnorm neden kritik?

h entegrasyon adımı LIL_nc çözücüsünün zaman çözünürlüğünü belirlerken hnorm, perturbasyon matrisinin kaç zaman biriminde bir QR ile yeniden ortonormalleştirileceğini belirler.

Çalışmaya göre hnorm çok büyük seçilirse perturbasyon vektörleri QR işleminden önce birbirine aşırı yaklaşabilir ve sayısal koşulluluk bozulabilir. Çok küçük seçildiğinde ise yeniden ortonormalleştirme çok sık yapılır ve sonlu zamanlı uzama bilgisi daha az anlamlı hâle gelebilir.

Kaynakta evrensel bir optimal hnorm formülü verilmemektedir. Yapılan deneylerde \(h=0.01\) için yaklaşık \(h_{\mathrm{norm}}=0.2\) değerinin kullanılan örnekler açısından stabilite, tutarlılık ve hesaplama maliyeti arasında uygun bir denge sağladığı belirtilmektedir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• FO_LE'nin kommensürat ve non-kommensürat Caputo sistemleri için ortak bir Lyapunov üssü hesaplama çerçevesi sunduğu.
• Klasik Gram–Schmidt yerine QR tabanlı reorthonormalization kullandığı.
• Genişletilmiş durum-varyasyon sistemini LIL/LIL_nc predictor–corrector yaklaşımıyla bütünleştirdiği.
• Kesin çözümlü benchmarkta LIL_nc'nin klasik ABM_nc'den çok daha düşük hata ve çalışma süresi sunduğu.
• LIL_nc'nin FFT hızlandırmalı fde12_nc2 ile aynı hata büyüklüğü mertebesinde rekabetçi olduğu ve bu deneyde biraz daha yüksek gözlenen yakınsama mertebesi sağladığı.
• Rabinovich–Fabrikant örneklerinde farklı başlangıç/mertebe yapılarına karşı farklı sonlu zamanlı Lyapunov spektrumları hesaplanabildiği.
• Tekrarlanan QR adımlarının çalışmanın benimsediği impulsive formulation çerçevesinde fractional memory ilkesini korumak üzere tasarlandığı.

Çalışmanın desteklemediği veya kanıtlamadığı sonuçlar

• FO_LE ile hesaplanan her Lyapunov spektrumunun gerçek \(t\rightarrow\infty\) asimptotik spektrumla tam olarak eşit olduğunu kanıtlamaz.
• Tek bir pozitif sayısal LE'nin kötü seçilmiş çözüm parametrelerinden bağımsız mutlak kaos kanıtı olduğunu söylemez.
• LIL_nc'nin bütün fractional diferansiyel denklem problemlerinde fde12_nc2'den daha doğru veya daha hızlı olduğunu göstermez.
• \(h_{\mathrm{norm}}=0.2\) değerini bütün sistemler için evrensel optimum olarak sunmaz.
• Sayısal olarak kapalı görünen bir faz yörüngesini otomatik olarak gerçek periyodik çözüm olarak kabul etmez.
• Çalışmadaki tek Rabinovich–Fabrikant örnek ailesinin bütün fractional kaotik sistemleri temsil ettiğini göstermez.

Türkiye açısından bilimsel kullanım alanı

Çalışma Türkiye'ye özgü veri veya uygulama içermemektedir. Bununla birlikte MATLAB tabanlı doğrusal olmayan dinamik sistem, kontrol, elektrik-elektronik, mekanik sistemler veya fractional calculus araştırması yapan akademik gruplar açısından FO_LE'nin açık algoritmik yapısı özellikle yeniden üretilebilirlik bakımından değerlendirilebilir. Türkiye'deki farklı donanım ve MATLAB sürümlerinde CPU süreleri, tolerans seçimi ve uzun zaman davranışı ayrıca doğrulanmalıdır; kaynakta bildirilen hız değerlerinin yerel sistemlere doğrudan aktarılması bilimsel olarak doğru olmaz.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Matematiksel problem

Çalışmanın temel başlangıç değer problemi

\[ {}^{C}D_t^{\alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), \quad x(0)=x_0, \quad 0<\alpha_i<1 \]

biçimindedir. Lyapunov hesabı için referans yörüngeye ek olarak Jacobian tabanlı varyasyon sistemi çözülür.

Benettin–QR iş akışı

1. Başlangıç perturbasyon matrisi \(I_{n_e}\) olarak kurulur.
2. Orijinal sistem ile varyasyon sistemi birleştirilir.
3. Genişletilmiş sistem \(h_{\mathrm{norm}}\) uzunluğundaki bir zaman aralığında LIL_nc ile entegre edilir.
4. Varyasyon bloğu \(\Phi\) matrisi olarak çıkarılır.
5. \(\Phi=QR\) ayrışımı yapılır.
6. \(R\)'nin diagonal değerlerinden \(z_k=|R_{kk}|\) hesaplanır.
7. \(s_k\leftarrow s_k+\log z_k\) ile büyüme biriktirilir.
8. \(\lambda_k=s_k/(t-t_{\mathrm{start}})\) ile sonlu zamanlı Lyapunov üsleri güncellenir.
9. Q matrisi yeni perturbasyon bazı olarak genişletilmiş duruma geri yerleştirilir.
10. Son zamana ulaşılıncaya kadar işlem tekrarlanır.

Kesin çözümlü benchmarkın tamamı

Tablo, LIL_nc'nin ağ inceltme boyunca yaklaşık 1.60–1.62 civarında oldukça kararlı bir deneysel yakınsama mertebesi sergilediğini göstermektedir. fde12_nc2 bütün incelenen ağlarda biraz daha küçük mutlak hata üretirken, ABM_nc hem daha düşük yakınsama mertebesine hem de özellikle ince ağlarda çok daha yüksek CPU maliyetine sahiptir.

RF örneği 1 — kommensürat kaotik rejim

\[ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.999 \]

ve başlangıç noktası \((0.1,0.1,0.1)\) için kaynak, kaotik bir yörünge göstermekte ve yaklaşık

\[ LE=(0.1017,\;0.0000,\;-1.9048) \]

sonucunu bildirmektedir. En büyük üssün pozitifliği bu hesaplanan yörüngenin kaotik karakteriyle uyumludur.

RF örneği 2 — non-kommensürat kararlı denge

\[ \alpha=(0.6,0.8,0.7) \]

durumunda ortak paydalardan \(M=10\) ve

\[ \gamma=\frac1{10} \]

elde edilmektedir. Kaynağın generalized stability hesabında 21 kökün minimum mutlak argümanı \(12.223^\circ\), kritik açı ise \(9^\circ\)'dir. Bu nedenle ilgili \(E_\pm\) dengeleri yerel asimptotik kararlılık koşulunu sağlamaktadır.

FO_LE sonucu:

\[ LE=(-0.0894,\;-0.1025,\;-2.9471). \]

RF örneği 3 — yüksek dereceli generalized characteristic problem

\[ \alpha=(0.85,0.965,0.999) \]

için \(M=1000\) olur ve generalized characteristic equation 2814 dereceli bir polinoma genişler. Kritik açı yaklaşık

\[ \theta^\ast=\frac{\pi}{2000}\approx0.09^\circ \]

olarak verilmektedir. Çalışmada tüm 2814 kök için en küçük argüman yaklaşık \(0.0920^\circ\) bulunmakta ve kararlılık koşulunun sağlandığı belirtilmektedir.

Hesaplanan spektrum:

\[ LE=(-0.0007,\;-0.1303,\;-1.4903). \]

Önemli sayısal parametreler

Kaynağın kendi deneylerinde \(h=0.01\) için \(h_{\mathrm{norm}}\approx0.2\) uygun bir pratik denge sağlamış; uzun zaman hesabında \(T\in[1000,1500]\) aralığı kullanılan RF örnekleri için makul bulunmuştur. Bunlar evrensel sabitler değil, incelenen problemlerin ampirik seçimleridir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Yüklenen kaynakta tam özgün başlık: Improved Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems

Yazar: Marius-F. Danca.

Kurum: STAR-UBB Institute, Babeș-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.

Eş katkı/eş birinci yazar: Uygulanabilir değil; çalışma tek yazarlıdır.

Sorumlu yazar: Tek yazar Marius-F. Danca için iletişim e-postası yüklenen çalışmada verilmiştir.

Yüklenen sürüm: arXiv:2604.09334v1, 10 Nisan 2026.

Yüklenen sürümün türü: Preprint / makale ön sürümü.

Güncel yayın durumu: Yüklenen arXiv sürümünden sonra çalışma hakemli olarak International Journal of Bifurcation and Chaos'ta yayımlanmıştır. Bu nedenle yüklenen PDF'nin kendisi preprint olmakla birlikte çalışma artık yalnızca preprint statüsünde değildir.

Yayımlanmış sürüm başlığı: Improved Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems. Başlıktaki büyük/küçük harf ve “Fractional-Order” yazımı yayımlanmış bibliyografik kayıttaki biçimdir; yüklenen PDF'nin özgün başlığı sessizce değiştirilmemiştir.

Dergi: International Journal of Bifurcation and Chaos.

Yayınevi: World Scientific Publishing Company.

Cilt / sayı / makale numarası: Volume 36, Issue 12, 2650172.

Hakemli yayın DOI: 10.1142/S0218127426501725.

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2604.09334.

Yayın yılı: 2026.

Bibliyografik sürüm farkı: Yüklenen kaynak 10 Nisan 2026 tarihli arXiv v1 sürümüdür. Güncel bibliyografik kayıtlar çalışmanın daha sonra kabul edilip Temmuz 2026'da hakemli dergi sürümü olarak yayımlandığını göstermektedir. Makaledeki bilimsel yöntem, formül, benchmark ve sayısal sonuçlar yüklenen kaynak sürümünden aktarılmış; güncel dergi bilgisi yalnız bibliyografik doğrulama amacıyla eklenmiştir.

Finansman: Yüklenen çalışmanın incelenen metninde ayrı bir finansman beyanı tespit edilmemiştir.

Çıkar çatışması: Yüklenen sürümde ayrı bir çıkar çatışması beyanı tespit edilmemiştir.

CRediT/yazar katkıları: Tek yazarlı yüklenen sürümde ayrı CRediT beyanı bulunmamaktadır.

Kod erişimi: Çalışma LIL ve FO_LE MATLAB kodunu eklerde vermektedir; hızlı LIL_nc sürümünün MATLAB Central File Exchange üzerinden sağlandığı belirtilmektedir. FO_LE için daha sonra MATLAB Central kaydı da oluşturulmuştur.

Görsel kullanım yöntemi: Bu Verianla makalesindeki SVG'ler kaynak makalenin şekillerinin bire bir kopyası değildir. Formüller, yöntem açıklamaları ve açıkça raporlanan sayısal değerlerden hareketle Verianla için özgün biçimde yeniden çizilmiştir. Kaynak Tablo 1'den türetilen nicel SVG'lerde yalnızca kaynakta verilen veriler kullanılmıştır.

Temel yorum sınırı: Hesaplanan Lyapunov üsleri belirli başlangıç koşulu, zaman aralığı, entegrasyon adımı ve yeniden ortonormalleştirme aralığı altında üretilen sonlu zamanlı sayısal yaklaşımlardır. Çalışmanın kendisi de bunların teorik asimptotik spektrumla özdeş kabul edilmemesi gerektiğini vurgulamaktadır.