FO_LE як рутини MATLAB мебошад, ки барои ҳисоб кардани нишондиҳандаҳои вақти маҳдуди Ляпунови системаҳои динамикии тартиби касрии ҳамченак ва ғайриҳамченак, ки бо ҳосилаи Капуто моделсозӣ шудаанд, таҳия шудааст. Усул ортогонализатсияи классикии Грам-Шмидтро дар барномаҳои қаблии FO_Lyapunov ва FO_NC_Lyapunov бо азнавортонормализатсияи (reorthonormalization) дар асоси QR иваз карда, системаи васеъшудаи ҳолат-вариатсияро бо интегратори нави квадратии LIL predictor-corrector ҳал мекунад. Бенчмарки дорои ҳалли дақиқ дар тадқиқот нишон медиҳад, ки LIL_nc аз усули классикии суръатнабахшидаи ABM_nc ҳам аз ҷиҳати хатогӣ ва ҳам аз ҷиҳати вақти ҳисобкунӣ ба таври назаррас беҳтар аст; ҳангоми муқоиса бо fde12_nc2, ки бо FFT суръат бахшида шудааст, ҳарчанд аз ҷиҳати хатогии мутлақ каме қафо мемонад, аммо хатогии ҳаҷман монанд, вақти рақобатпазир ва тартиби наздикшавии мушоҳидашудаи каме баландтарро пешниҳод мекунад.

Таҷрибаҳо дар системаи Рабинович-Фабрикант нишон медиҳанд, ки ҳамон рутини FO_LE метавонад дар векторҳои гуногуни тартиби касрӣ траекторияи бетартибона (хаотикӣ) ва реҷаҳои асимптотикӣ устуворро фарқ кунад. Масалан, дар ҳолати ҳамченаки (alpha=0.999), спектри ҳисобшуда тақрибан ((0.1017,;0.0000,;-1.9048)) буда, мусбат будани нишондиҳандаи калонтарин Ляпунов бо рафтори бетартибонаи траекторияи таҳқиқшуда мувофиқ аст. Баръакс, барои (alpha=(0.6,0.8,0.7)) ҳамаи нишондиҳандаҳои ҳисобшуда манфӣ мебошанд ва траектория ба мувозинати устувор наздик мешавад.

Маҳдудияти асосии тафсир: Нишондиҳандаҳои Ляпунов, ки дар тадқиқот ба даст оварда шудаанд, спектрҳои мутлақи асимптотикӣ дар лимити назариявии (tightarrowinfty) набуда, балки наздикшавиҳои вақти маҳдуд ва маҳаллӣ мебошанд, ки қад-қади траекторияҳои ададӣ аз шартҳои ибтидоии муайян тавлидшуда ҳисоб карда мешаванд. Илова бар ин, (h), (h_{mathrm{norm}}), вақти ниҳоӣ (T) ва вектори тартиби касрӣ метавонанд ба эътимоднокии ададии натиҷаҳо таъсир расонанд.

Чаро ҳисоб кардани нишондиҳандаи Ляпунов дар системаҳои тартиби касрӣ душвортар аст?

Дар системаҳои динамикии классикӣ суръати аз ҳам дуршавӣ ё ба ҳам наздикшавии ду траекторияро, ки ба ҳолати ибтидоӣ хеле наздиканд, бо мурури замон тавассути нишондиҳандаҳои Ляпунов ба таври миқдорӣ таҳлил кардан мумкин аст. Калонтарин нишондиҳандаи мусбати Ляпунов ба реҷае ишора мекунад, ки дар он тафовутҳои хурди ибтидоӣ ба ҳисоби миёна ба таври экспоненсиалӣ афзоиш меёбанд ва вобастагии ҳассос ба шартҳои ибтидоӣ вуҷуд дорад.

Ҳисобкунӣ дар системаҳои тартиби касрӣ мураккабтар аст; зеро ҳосилаи Капуто гузаштаи системаро тавассути ядрои интегралӣ (integral kernel) интиқол медиҳад. Дар тадқиқот, ҳосилаи Капуто дар асоси ҷузъҳо барои (0<alpha_i<1) ҳамчун

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t) = frac{1}{Gamma(1-alpha_i)} int_0^t frac{x'_i(au)} {(t-au)^{alpha_i}} ,dau \]

муайян карда мешавад. Интеграл дар ин ҷо тамоми гузаштаро аз (0) то вақти ҷорӣ дар бар мегирад. Аз ин рӯ, барои алгоритми ададӣ танҳо кор кардан бо "ҳолати ҷорӣ" кофӣ нест; сохтори хотираи касрӣ (fractional memory) бояд нигоҳ дошта шавад.

Ҳамченак (commensurate) ва ғайриҳамченак (non-commensurate) чӣ маъно дорад?

Тадқиқот як системаи бисёрҷузъаи Капуторо дар шакли

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), qquad i=1,ldots,n_e \]

баррасӣ мекунад. Агар

\[ alpha_1=alpha_2=cdots=alpha_{n_e}=alpha \]

бошад, система ҳамченак; агар тартиби ҳадди ақал ду ҷузъ фарқ кунад, ғайриҳамченак ҳисобида мешавад. Яке аз ҷанбаҳои муҳими FO_LE дар он аст, ки он ҳарду синфро на бо алгоритмҳои гуногуни асосӣ, балки дар доираи як чаҳорчӯбаи ҳисобкунӣ дастгирӣ мекунад.

Системаи вариатсионӣ чӣ кор мекунад?

Барои ҳисоб кардани нишондиҳандаи Ляпунов танҳо донистани траекторияи эталонӣ кофӣ нест. Инчунин зарур аст, ки чӣ гуна афзоиш ёфтани пертурбатсияҳои (халалдоршавиҳои) хурд дар атрофи ин траектория пайгирӣ карда шавад. Барои ин матритсаи пертурбатсияи (Phi(t)) истифода мешавад:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}phi_{ij}(t) = sum_{k=1}^{n_e} frac{partial f_i} {partial x_k} (t,x(t)) phi_{kj}(t), \]

ва шарти ибтидоӣ ҳамчун

\[ Phi(0)=I_{n_e} \]

гирифта мешавад.

Ҳамин тариқ, муодилаи аслии (n_e) ва муодилаи вариатсионии (n_e^2) якҷоя ҳал карда мешаванд. Системаи васеъшуда дар маҷмӯъ аз

\[ n_e+n_e^2 \]

муодила иборат аст.

Чаро ба ҷои Грам-Шмидт QR истифода мешавад?

Дар рутинҳои қаблии FO_Lyapunov, векторҳои пертурбатсия бо амалиёти классикии Грам-Шмидт ортогонализатсия карда мешуданд. Барномаи нави FO_LE ба ҷои ин таҷзияи

[ A=QR ]

-ро истифода мебарад. Дар ин ҷо, (Q) базиси нави ортонормалии пертурбатсияро ва матритсаи секунҷаи болоии (R) маълумоти дарозшавии маҳаллиро дар он фосилаи интегратсия интиқол медиҳад.

Дар усул, пас аз мувофиқ кардани аломатҳои диагоналии (R)

\[ z_k=|R_{kk}| \]

гирифта мешавад ва афзоиши ҷамъшаванда бо

\[ s_kleftarrow s_k+log z_k \]

навсозӣ карда мешавад.

Муносибати LIL predictor-corrector

Тағироти дуюми муҳими FO_LE интегратор мебошад. Тадқиқот ба ҷои ҳалкунандаҳои дар асоси ABM буда, нақшаи квадратии Lagrange Interpolation at the Last step (LIL) predictor-corrector-ро истифода мебарад.

Марҳилаи predictor бо

\[ y^{(p)}_{n+1} = y_0+ frac{h^alpha}{Gamma(alpha+1)} sum_{k=0}^{n} b^{(alpha)}_{n-k}f_k \]

ва вазнҳои

\[ b_j^{(alpha)} = (j+1)^alpha-j^alpha \]

муайян карда мешавад.

Сипас, implicit corrector (корректори ғайриошкор) қиматҳои функсияи гузашта ва ҳади (f(t_{n+1},y_{n+1}))-ро дар нуқтаи нав якҷоя истифода мебарад. Дар системаҳои ғайриҳамченак, формула дар асоси ҷузъҳо татбиқ карда мешавад ва барои ҳар як муодила вазнҳои ба тартиби худи (alpha_i) мувофиқ истифода мешаванд.

Бенчмарки дорои ҳалли дақиқ чӣ нишон медиҳад?

Барои санҷидани усули ададӣ, тадқиқот системаи дученакаи ғайриҳамченакро бо тартибҳои (alpha_1=0.9) ва (alpha_2=0.8) истифода мебарад:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1=-x_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = -2x_2+ left(x_1-x_{1,e}(t)ight)^2. \]

Шарти ибтидоӣ (x_1(0)=x_2(0)=1) аст. Азбаски ҳалли дақиқ бо функсияҳои Миттаг-Леффлер маълум аст, хатогии ҳар як ҳалкунандаро бевосита ҳисоб кардан мумкин аст:

\[ x_e(t)= egin{bmatrix} E_{alpha_1}(-t^{alpha_1})\ E_{alpha_2}(-2t^{alpha_2}) end{bmatrix}. \]

Метрикаи хатогӣ нормаи максимуми дискретӣ дар тамоми гиреҳҳои вақт мебошад:

\[ E(h)= max_n |x_n-x(t_n)|_infty. \]

Натиҷаи ҷолибтарини бенчмарк: арзиши ABM-и классикӣ

Барои шабакаи (mesh) зичтарин (h=0.000625), ҷадвали манбаъ қиматҳои зеринро медиҳад:

• LIL_nc: хатогӣ (1.77imes10^{-6}), CPU 0.05995 с, тартиби мушоҳидашуда 1.60.
• fde12_nc2: хатогӣ (1.71imes10^{-6}), CPU 0.03252 с, тартиби мушоҳидашуда 1.57.
• ABM_nc: хатогӣ (6.52imes10^{-4}), CPU 6.16438 с, тартиби мушоҳидашуда 0.80.

Дар ин нуқта fde12_nc2 аз ҷиҳати хатогии мутлақ ва вақти корӣ нисбат ба LIL_nc каме беҳтар натиҷа медиҳад. Аз ин рӯ, манбаъ хулосаеро, ки LIL_nc fde12_nc2-и бо FFT оптимизатсияшударо ба маънои мутлақ "мағлуб кардааст", дастгирӣ намекунад. Тафсири бодиққаттаре, ки тадқиқот дастгирӣ мекунад, ин аст, ки LIL_nc дар як тартиби хатогӣ рақобатпазир аст ва тартиби наздикшавии мушоҳидашудаи каме баландтарро нишон медиҳад.

Хаос ва устуворӣ бо системаи Рабинович-Фабрикант

FO_LE сипас дар системаи сетағйирёбандаи касрии Рабинович-Фабрикант санҷида мешавад:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1 = x_2(x_3-1+x_1^2)+ax_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = x_1(3x_3+1-x_1^2)+ax_2, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_3}x_3 = -2x_3(b+x_1x_2), \]

ва дар тадқиқот (a=-1), (b=-0.1) интихоб карда мешавад.

Нуқтаҳои мувозинат

\[ E_0=(0,0,0) \]

ва тақрибан

\[ E_pm=(pm0.1479,;pm0.6759,;1.1969) \]

дода мешаванд.

Се конфигуратсияи тартиби касрӣ, се намуди гуногуни ададӣ

Чаро мисоли сеюм "даврӣ" (периодӣ) номида намешавад?

Дар ҳолати (alpha=(0.85,0.965,0.999)) манбаъ махсусан таъкид мекунад, ки траектория аз ҷиҳати визуалӣ метавонад ба назар даврӣ намояд. Аммо, бинобар натиҷаи назариявӣ оид ба он, ки дар системаҳои автономии тартиби касрӣ, ки бо ҳосилаи Капуто моделсозӣ шудаанд, ҳалҳои даврии ҳақиқии ғайридоимӣ вуҷуд надоранд, тадқиқот ин рафторро бо “apparently” ё “numerically periodic” маҳдуд мекунад.

Ин тафовут аз нуқтаи назари илмӣ муҳим аст: шабоҳати графики фазавӣ ба хатти каҷи пӯшида худ ба худ далели давригии ҳақиқии математикӣ намебошад.

Чаро hnorm муҳим аст?

Дар ҳоле ки қадами интегратсияи h резолютсияи вақти ҳалкунандаи LIL_nc-ро муайян мекунад, hnorm муайян мекунад, ки матритсаи пертурбатсия дар чанд воҳиди вақт як маротиба бо QR аз нав ортонормализатсия карда мешавад.

Тибқи тадқиқот, агар hnorm хеле калон интихоб карда шавад, векторҳои пертурбатсия пеш аз амалиёти QR ба ҳамдигар аз ҳад зиёд наздик мешаванд ва шартии ададӣ (numerical conditioning) метавонад вайрон шавад. Агар хеле хурд интихоб карда шавад, азнавортонормализатсия зуд-зуд анҷом дода мешавад ва маълумоти дарозшавии вақти маҳдуд камтар пурмазмун мешавад.

Дар манбаъ формулаи универсалии оптималии hnorm дода нашудааст. Дар таҷрибаҳои гузаронидашуда қайд карда мешавад, ки барои (h=0.01) қимати тақрибан (h_{mathrm{norm}}=0.2) аз нуқтаи назари мисолҳои истифодашуда мувозинати мувофиқро байни устуворӣ, мувофиқат ва арзиши ҳисобкунӣ таъмин мекунад.

Натиҷаҳое, ки тадқиқот дастгирӣ мекунад

• FO_LE барои системаҳои Капутои ҳамченак ва ғайриҳамченак чаҳорчӯбаи умумии ҳисобкунии нишондиҳандаи Ляпуновро пешниҳод мекунад.
• Ба ҷои Грам-Шмидти классикӣ азнавортонормализатсияи (reorthonormalization) дар асоси QR-ро истифода мебарад.
• Системаи васеъшудаи ҳолат-вариатсияро бо муносибати LIL/LIL_nc predictor-corrector муттаҳид мекунад.
• Дар бенчмарки дорои ҳалли дақиқ, LIL_nc хатогӣ ва вақти кории хеле пасттарро нисбат ба ABM_nc-и классикӣ пешниҳод мекунад.
• LIL_nc бо fde12_nc2, ки тавассути FFT суръат бахшида шудааст, дар як тартиби бузургии хатогӣ рақобатпазир аст ва дар ин таҷриба тартиби наздикшавии мушоҳидашудаи каме баландтарро таъмин мекунад.
• Дар мисолҳои Рабинович-Фабрикант спектрҳои гуногуни вақти маҳдуди Ляпуновро бар зидди сохторҳои гуногуни ибтидоӣ/тартибӣ ҳисоб кардан мумкин аст.
• Қадамҳои такроршавандаи QR барои нигоҳ доштани принсипи хотираи касрӣ дар доираи impulsive formulation, ки тадқиқот қабул кардааст, тарҳрезӣ шудаанд.

Натиҷаҳое, ки тадқиқот дастгирӣ ё исбот намекунад

• Исбот намекунад, ки ҳар як спектри Ляпунов, ки бо FO_LE ҳисоб карда шудааст, ба спектри воқеии асимптотикии (tightarrowinfty) комилан баробар аст.
• Намегӯяд, ки як LE-и мусбати ададӣ далели мутлақи хаос новобаста аз параметрҳои ҳалли бад интихобшуда мебошад.
• Нишон намедиҳад, ки LIL_nc дар ҳама масъалаҳои муодилаҳои дифференсиалии касрӣ аз fde12_nc2 дақиқтар ё тезтар аст.
• Қимати (h_{mathrm{norm}}=0.2)-ро ҳамчун оптимуми универсалӣ барои ҳама системаҳо пешниҳод намекунад.
• Траекторияи фазавиеро, ки ба таври ададӣ пӯшида ба назар мерасад, ба таври автоматӣ ҳамчун ҳалли даврии ҳақиқӣ қабул намекунад.
• Нишон намедиҳад, ки оилаи ягонаи мисоли Рабинович-Фабрикант дар тадқиқот ҳамаи системаҳои хаотикии касриро намояндагӣ мекунад.

Соҳаи истифодаи илмӣ барои Туркия

Тадқиқот маълумот ё барномаи хоси Туркияро дар бар намегирад. Бо вуҷуди ин, барои гурӯҳҳои академӣ, ки системаҳои динамикии ғайрихаттӣ, назорат, системаҳои барқӣ-электронӣ, механикӣ ё ҳисоби касриро (fractional calculus) дар асоси MATLAB таҳқиқ мекунанд, сохтори кушодаи алгоритмии FO_LE махсусан аз нуқтаи назари такроршавандагӣ метавонад арзёбӣ карда шавад. Вақтҳои CPU, интихоби таҳаммулпазирӣ ва рафтори дарозмуддат дар сахтафзорҳо ва версияҳои гуногуни MATLAB бояд ба таври иловагӣ тасдиқ карда шаванд; мустақиман интиқол додани қиматҳои суръат, ки дар манбаъ гузориш дода шудаанд, ба системаҳои маҳаллӣ аз ҷиҳати илмӣ дуруст нахоҳад буд.

Усул ва бозёфтҳои тадқиқот

Масъалаи математикӣ

Масъалаи асосии қимати ибтидоии тадқиқот дар шакли

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), quad x(0)=x_0, quad 0<alpha_i<1 \]

мебошад. Барои ҳисобкунии Ляпунов, илова бар траекторияи эталонӣ, системаи вариатсионии дар асоси Якобиан асосёфта ҳал карда мешавад.

Ҷараёни кории Benettin-QR

1. Матритсаи пертурбатсияи ибтидоӣ ҳамчун (I_{n_e}) муқаррар карда мешавад.
2. Системаи аслӣ ва системаи вариатсионӣ якҷоя карда мешаванд.
3. Системаи васеъшуда дар фосилаи вақти дарозиаш (h_{mathrm{norm}}) бо LIL_nc интегратсия карда мешавад.
4. Блоки вариатсионӣ ҳамчун матритсаи (Phi) бароварда мешавад.
5. Таҷзияи (Phi=QR) иҷро карда мешавад.
6. Аз қиматҳои диагоналии (R) (z_k=|R_{kk}|) ҳисоб карда мешавад.
7. Афзоиш бо (s_kleftarrow s_k+log z_k) ҷамъ карда мешавад.
8. Нишондиҳандаҳои вақти маҳдуди Ляпунов бо (lambda_k=s_k/(t-t_{mathrm{start}})) навсозӣ карда мешаванд.
9. Матритсаи Q ҳамчун базиси нави пертурбатсия ба ҳолати васеъшуда баргардонида мешавад.
10. Раванд то расидан ба вақти ниҳоӣ такрор карда мешавад.

Бенчмарки пурраи дорои ҳалли дақиқ

Ҷадвал нишон медиҳад, ки LIL_nc ҳангоми зичшавии шабака тартиби наздикшавии таҷрибавии хеле устуворро дар атрофи 1.60-1.62 нишон медиҳад. Дар ҳоле ки fde12_nc2 дар ҳама шабакаҳои омӯхташуда хатогии мутлақи каме хурдтар медиҳад, ABM_nc ҳам тартиби пасттари наздикшавӣ ва ҳам арзиши хеле баландтари CPU-ро, махсусан дар шабакаҳои зич дорад.

Мисоли RF 1 — реҷаи хаотикии ҳамченак

\[ alpha_1=alpha_2=alpha_3=0.999 \]

ва барои нуқтаи ибтидоии ((0.1,0.1,0.1)) манбаъ траекторияи хаотикиро нишон медиҳад ва натиҷаи тақрибан

[ LE=(0.1017,;0.0000,;-1.9048) ]

-ро гузориш медиҳад. Мусбат будани нишондиҳандаи калонтарин бо хусусияти хаотикии ин траекторияи ҳисобшуда мувофиқ аст.

Мисоли RF 2 — мувозинати устувори ғайриҳамченак

[ alpha=(0.6,0.8,0.7) ]

Дар ҳолати мазкур аз маҳраҷҳои умумӣ (M=10) ва

\[ gamma=frac1{10} \]

ба даст оварда мешавад. Дар ҳисоби устувории умумишудаи (generalized stability) манбаъ, аргументи хурдтарини мутлақи 21 реша (12.223^circ) ва кунҷи критикӣ (9^circ) мебошад. Аз ин рӯ, мувозинатҳои дахлдори (E_pm) шарти устувории асимптотикии маҳаллиро қонеъ мекунанд.

Натиҷаи FO_LE:

[ LE=(-0.0894,;-0.1025,;-2.9471). ]

Мисоли RF 3 — масъалаи хусусияти умумишудаи дараҷаи баланд (generalized characteristic problem)

[ alpha=(0.85,0.965,0.999) ]

Барои ин тартиб (M=1000) мешавад ва муодилаи хусусияти умумишуда (generalized characteristic equation) ба полиноми дараҷаи 2814 васеъ мешавад. Кунҷи критикӣ тақрибан

\[ heta^ast=frac{pi}{2000}approx0.09^circ \]

дода мешавад. Дар тадқиқот барои ҳамаи 2814 реша, хурдтарин аргумент тақрибан (0.0920^circ) ёфт шуда, қайд карда мешавад, ки шарти устуворӣ қонеъ карда мешавад.

Спектри ҳисобшуда:

[ LE=(-0.0007,;-0.1303,;-1.4903). ]

Параметрҳои муҳими ададӣ

Дар таҷрибаҳои худи манбаъ барои (h=0.01) қимати (h_{mathrm{norm}}approx0.2) мувозинати мувофиқи амалиро таъмин кардааст; дар ҳисоби вақти тӯлонӣ, фосилаи (Tin[1000,1500]) барои мисолҳои истифодашудаи RF қобили қабул дониста шудааст. Инҳо доимиҳои универсалӣ набуда, балки интихоби эмпирикии масъалаҳои омӯхташуда мебошанд.

Қайди манбаъ ва усул

Сарлавҳаи пурраи аслӣ дар манбаи боршуда: Improved Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems

Муаллиф: Marius-F. Danca.

Муассиса: STAR-UBB Institute, Babeș-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.

Саҳми баробар/муаллифи якуми ҳамроҳ: Татбиқ намегардад; тадқиқот як муаллиф дорад.

Муаллифи масъул: Почтаи электронии тамос барои муаллифи ягона Marius-F. Danca дар тадқиқоти боршуда дода шудааст.

Версияи боршуда: arXiv:2604.09334v1, 10 апрели 2026.

Намуди версияи боршуда: Preprint / версияи пешакии мақола.

Ҳолати ҷории нашр: Пас аз версияи боршудаи arXiv, тадқиқот дар International Journal of Bifurcation and Chaos аз ташхиси ҳамкорон (peer-review) гузашта, нашр шудааст. Аз ин рӯ, ҳарчанд худи PDF-и боршуда preprint аст, аммо тадқиқот дигар танҳо дар мақоми preprint нест.

Сарлавҳаи версияи нашршуда: Improved Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems. Ҳарфҳои калон/хурд ва навишти “Fractional-Order” дар сарлавҳа шакли сабти библиографии нашршуда мебошад; сарлавҳаи аслии PDF-и боршуда хомӯшона тағир дода нашудааст.

Маҷалла: International Journal of Bifurcation and Chaos.

Нашриёт: World Scientific Publishing Company.

Ҷилд / шумора / рақами мақола: Volume 36, Issue 12, 2650172.

DOI-и нашри аз ташхисгузашта: 10.1142/S0218127426501725.

DOI-и arXiv: 10.48550/arXiv.2604.09334.

Соли нашр: 2026.

Тафовути версияи библиографӣ: Манбаи боршуда версияи arXiv v1 аз 10 апрели 2026 мебошад. Сабтҳои ҷории библиографӣ нишон медиҳанд, ки тадқиқот баъдтар қабул шуда, дар моҳи июли 2026 ҳамчун версияи маҷаллаи аз ташхисгузашта (peer-reviewed) нашр шудааст. Усули илмӣ, формулаҳо, бенчмарк ва натиҷаҳои ададӣ дар мақола аз версияи манбаи боршуда интиқол дода шудаанд; маълумоти ҷории маҷалла танҳо бо мақсади тасдиқи библиографӣ илова карда шудааст.

Маблағгузорӣ: Дар матни баррасишудаи тадқиқоти боршуда изҳороти алоҳидаи маблағгузорӣ муайян карда нашудааст.

Бархӯрди манфиатҳо: Дар версияи боршуда изҳороти алоҳидаи бархӯрди манфиатҳо муайян карда нашудааст.

CRediT/саҳми муаллифон: Дар версияи боршудаи якмуаллифа изҳороти алоҳидаи CRediT вуҷуд надорад.

Дастрасӣ ба код: Тадқиқот кодҳои LIL ва FO_LE MATLAB-ро дар замимаҳо медиҳад; қайд карда мешавад, ки версияи тези LIL_nc тавассути MATLAB Central File Exchange таъмин карда мешавад. Баъдтар барои FO_LE инчунин сабти MATLAB Central сохта шудааст.

Усули истифодаи визуалӣ: SVG-ҳои ин мақолаи Verianla нусхаи дақиқи шаклҳои мақолаи манбаъ нестанд. Онҳо дар асоси формулаҳо, тавсифҳои усул ва қиматҳои ададии ба таври возеҳ гузоришшуда, ба таври аслӣ барои Verianla аз нав кашида шудаанд. Дар SVG-ҳои миқдорӣ, ки аз Ҷадвали 1-и манбаъ гирифта шудаанд, танҳо маълумоти дар манбаъ додашуда истифода шудаанд.

Маҳдудияти асосии тафсир: Нишондиҳандаҳои Ляпунови ҳисобшуда наздикшавиҳои ададии вақти маҳдуд мебошанд, ки дар зери шарти ибтидоии муайян, фосилаи вақт, қадами интегратсия ва фосилаи азнавортонормализатсия истеҳсол шудаанд. Худи тадқиқот низ таъкид мекунад, ки инҳо набояд бо спектри назариявии асимптотикӣ якхела қабул карда шаванд.