Intuisia ya kila siku hutarajia kwamba, ikiwa mifumo miwili inaelekea katika hali ileile ya usawa, mfumo ulio karibu zaidi na usawa mwanzoni utafika kwenye lengo kwanza. Athari ya Mpemba hufafanua hali zinazopinga intuisia hii: katika mfano wa kawaida, mfumo wenye joto zaidi unaweza kuganda kabla ya mfumo baridi zaidi chini ya masharti fulani. Wei-Xuan Chang na wenzake wanachunguza ulinganifu tofauti wa kikwantha wa wazo hili, si katika muda halisi bali ndani ya evolusheni ya muda dhahania.

Katika hali ambayo watafiti huiita “athari ya Mpemba ya muda dhahania” au kwa kifupi ITME, hali fulani ya kikwantha ya miili-mingi yenye nishati ya juu zaidi mwanzoni inaweza kuikaribia hali msingi kwa kasi zaidi kuliko hali nyingine yenye nishati ya chini zaidi mwanzoni. Katika hesabu za kinumeriki za Quantum Monte Carlo, tabia hii huonekana moja kwa moja kwa mikondo ya nishati ya hali mbili za mwanzo kukutana kadiri muda dhahania unavyoendelea.

Hapa “muda dhahania” haumaanishi saa halisi ya maabara. \(\tau\) ni kigezo cha evolusheni cha kihisabati na kinumeriki ambacho hali ya kikwantha husafishwa kutoka vipengele vyenye nishati ya juu kwa opereta \(e^{-\tau H}\) na kuprojektiwa kuelekea hali msingi. Kwa hiyo utafiti hauripoti hitimisho kwamba “mfumo wa kimwili wenye nishati ya juu hupoa haraka zaidi katika muda halisi”; badala yake unaripoti tabia isiyo ya kawaida katika kasi ya ukaribiaji ya projekseni ya muda dhahania inayotumiwa katika hesabu za hali msingi na inayotegemea hali ya mwanzo.

Matokeo muhimu zaidi ya kiutendaji ya utafiti pia yanaonekana hapa: katika mbinu za hali msingi kama Quantum Monte Carlo, kuchagua kazi-mawimbi ya majaribio yenye nishati ya chini zaidi ya mwanzo huenda si kila mara kutoe ukaribiaji wa haraka zaidi. Katika baadhi ya hali, hali ya mwanzo yenye nishati ya juu kidogo lakini yenye mfuniko mdogo na hali-eigeni zilizochochewa za nishati ya chini inaweza kufika kwenye hali msingi katika muda dhahania mfupi zaidi.

Evolusheni ya muda dhahania ni nini?

Katika mfumo wa kikwantha wa miili-mingi, evolusheni ya kawaida ya Schrödinger ni unitari kwa muda halisi \(t\). Katika mkabala wa muda dhahania, kigezo cha evolusheni \(\tau\) hutumiwa, na kwa hali iliyorekebishwa kanuni chanzo kinatoa

\[ -\frac{\partial}{\partial\tau}|\psi(\tau)\rangle = \left(\hat H-E_\tau\right)|\psi(\tau)\rangle \]

mlinganyo. Hapa

\[ E_\tau= \langle\psi(\tau)|\hat H|\psi(\tau)\rangle \]

ni thamani tarajiwa ya nishati katika muda dhahania.

Kwa hali ya mwanzo \(|\psi_I\rangle\), thamani tarajiwa ya kiasi chochote kinachoonekana \(\hat O\)

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H}\hat Oe^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I|e^{-2\tau\hat H}|\psi_I\rangle } \]

huhesabiwa kwa umbo hili.

Hali ya mwanzo ikipanuliwa kwa mujibu wa hali-eigeni za Hamiltonian

\[ |\psi_I\rangle=\sum_n a_n|n\rangle \]

kwa umbo hili, nishati

\[ E_\tau= \frac{ \sum_n E_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} }{ \sum_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} } \]

huchukua umbo hili. Kwa kuwa vipengele vilivyochochewa vyenye \(E_n>E_0\) hukandamizwa haraka zaidi kuliko hali msingi kadiri \(\tau\) inavyoongezeka, katika muda dhahania mrefu vya kutosha mfumo hukaribia \(E_0\) ikiwa mfuniko wa hali ya mwanzo na hali msingi si sifuri.

Athari ya Mpemba ya Muda Dhahania ni Nini?

Athari ya Mpemba ya muda dhahania ni hali ambapo, kati ya hali mbili za mwanzo zinazoendelea chini ya Hamiltonian ileile, ile yenye nishati ya juu zaidi mwanzoni hukaribia hali msingi kwa nishati haraka zaidi na baada ya thamani fulani ya \(\tau\) huipita hali iliyokuwa na nishati ya chini zaidi mwanzoni; katika utafiti, tabia hii hufafanuliwa kwa kukutana kwa mikondo ya nishati.

Kwa nini nishati ya mwanzo peke yake haitoshi?

Kasi ambayo hali ya mwanzo itakaribia hali msingi haiamuliwi na nishati ya mwanzo pekee. Muhimu ni mifuniko ya kazi-mawimbi ya mwanzo na hali-eigeni tofauti za nishati za Hamiltonian.

Katika utaratibu unaopendekezwa na chanzo, mojawapo ya hali mbili za mwanzo inaweza kuwa na mfuniko wenye nguvu na hali zilizochochewa za nishati ya chini. Kwa kuwa tofauti ya nishati ya vipengele hivi ni ndogo,

\[ e^{-2(E_n-E_0)\tau} \]

ukandamizaji wake ni wa polepole kwa kulinganisha. Hali nyingine yenye nishati ya juu zaidi mwanzoni inaweza kuwa na mfuniko wenye nguvu na hali msingi pamoja na michocheo yenye nishati ya juu, huku ikiwa na mfuniko dhaifu zaidi na viwango vya chini kabisa vilivyochochewa. Kwa kuwa vipengele vya nishati ya juu huzimwa haraka zaidi katika muda dhahania, hali hii inaweza kuikaribia hali msingi kwa kasi zaidi licha ya kuwa na nishati ya juu zaidi mwanzoni.

Kwa maneno mengine, ufunguo wa ITME si tu “inaanza katika nishati ya juu kiasi gani”, bali ni jinsi nishati hiyo inavyosambazwa kati ya hali-eigeni za Hamiltonian.

Kwa Nini Michocheo ya Nishati ya Chini ni Muhimu kwa ITME?

Matokeo ya kinumeriki ya utafiti yanaonyesha kwamba ITME iliyo wazi hutokea hasa katika rejimu ambamo michocheo ya nishati ya chini ipo; modi muhimu zisizo na pengo katika nukta muhimu za kikwantha na modi za Goldstone zinazotokana na kuvunjika kwa ulinganifu endelevu zinaweza kutoa vipengele kama hivyo vinavyozimika polepole, lakini uwepo wa michocheo ya nishati ya chini pekee hauhakikishi ITME.

Modeli ya Hubbard ya gridi mraba ya π-flux

Mfano mkuu wa kwanza wa watafiti ni modeli ya Hubbard ya gridi mraba yenye flux ya \(\pi\) juu ya kila plaquette:

\[ H= -\sum_{\langle ij\rangle\sigma} t_{ij}c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma} +\mathrm{h.c.} + U\sum_i \left( \sum_\sigma n_{i\sigma}-1 \right)^2 . \]

Katika kikomo kisicho na mwingiliano, modeli hii ina nukta za Dirac. Kadiri mwingiliano msukumaji wa Hubbard unavyoongezeka, mpito hutokea kutoka nusu-metali ya Dirac kwenda kwenye fazi ya kihami ya antiferromagneti ya Néel, na chanzo hutumia mwingiliano muhimu takriban

\[ U_c\simeq5.5 \]

kama thamani hiyo.

Kazi-mawimbi za mwanzo huandaliwa kwa kubadilisha kigezo cha uga-wastani wa antiferromagneti \(M_N\). Katika mfumo wa \(L=20\), mikutano iliyo wazi ya mikondo ya nishati huonekana katika hesabu zote za QMC zilizofanywa kwa \(U=4.0\), \(5.5\) na \(7.0\).

Hasa katika mfano wa \(U=4.0\), wakati \(M_N=0.9\) ikiwa na mojawapo ya nishati za chini zaidi za mwanzo kati ya hali za mwanzo, hali ya \(M_N=0\) yenye nishati ya juu zaidi ya mwanzo hulegea kwa kasi kubwa zaidi na hukaribia nishati ya hali msingi katika muda dhahania mfupi zaidi. Huu ni mmoja wa mifano ambayo utafiti unaonyesha ITME kwa uwazi zaidi.

Modeli ya spinless t-V katika gridi ya asali

Modeli kuu ya pili, kwa fermioni zisizobeba spin, ni

\[ H= -t\sum_{\langle ij\rangle}c_i^\dagger c_j + V\sum_{\langle ij\rangle} \left(n_i-\frac12\right) \left(n_j-\frac12\right) \]

Hamiltonian yake. Mwingiliano mkubwa wa msongamano huunda mpito wa fazi ya kikwantha kati ya nusu-metali ya Dirac na fazi ya wimbi la msongamano wa chaji (CDW) takriban katika

\[ V_c\simeq1.35 \]

nukta hiyo.

Chanzo huchunguza hali tofauti za mwanzo za uga-wastani wa CDW katika gridi za \(2\times L\times L\), \(L=12\), kwa \(V=1.1\), \(1.35\) na \(1.6\). Katika rejimu hizi tatu karibu na nukta muhimu, kukutana kwa mikondo ya nishati kunaonyesha kuwa ITME inatokea.

Modeli ya Hubbard yenye nesting ya uso wa Fermi

Waandishi pia huchunguza modeli ya Hubbard ya gridi mraba isiyo na flux ya sumaku ili kupima kama athari hiyo haijafungwa kwa fermioni za Dirac pekee. Katika ujazo wa nusu, modeli hii ina sifa kamili ya \((\pi,\pi)\) Fermi-surface nesting na ukosefu uthabiti wa antiferromagneti hujitokeza kwa \(U>0\).

Katika hesabu za \(U=2.0\) na \(U=4.0\), inaonekana tena kwamba mikondo ya nishati hukutana. Hivyo ITME haibaki kuwa sifa maalumu inayojitokeza tu katika mifumo muhimu ya Dirac.

Tofauti kati ya nukta muhimu na fazi ya kina iliyo na mpangilio

Ulinganisho ambao waandishi walifanya ili kujaribu tafsiri yao ya utaratibu ni muhimu hasa.

Katika fazi ya kina ya CDW ya modeli ya spinless t-V kwa \(V=4.0\), michocheo yote ina pengo kamili na chanzo hakioni ITME iliyo wazi. Kinyume chake, katika fazi ya kina ya antiferromagneti ya modeli ya π-flux Hubbard kwa \(U=10.0\), ITME inaendelea.

Tofauti hii inahusishwa na modi za Goldstone zisizo na pengo zinazozalishwa na kuvunjika kwa ulinganifu endelevu katika fazi ya antiferromagneti. Hivyo inaonekana kwamba kigezo muhimu si kuwa kwenye nukta muhimu ya kikwantha pekee; uwepo wa njia za michocheo ya nishati ya chini katika mfumo pia unaweza kuunda masharti yanayofanana.

Hata hivyo, chanzo kinaweka mpaka muhimu hapa: michocheo ya nishati ya chini ni sharti la awali linalowezekana kwa kutokea kwa ITME iliyo wazi; si sharti toshelevu. Kuonekana au kutoonekana kwa athari pia kunategemea muundo wa mfuniko wa hali za mwanzo zilizochaguliwa na hali-eigeni.

Mifumo isiyo na mwingiliano inasema nini?

Supplementary Materials hujaribu tafsiri hii kwa undani zaidi. Katika mfumo wa \(\pi\)-flux Dirac usio na mwingiliano, ITME haionekani wakati hali za mwanzo za kawaida zilizotayarishwa kwa uga-wastani tofauti za AFM zinapotumiwa. Katika hali hii, hali yenye nishati ya chini ya mwanzo hukaribia hali msingi kwa haraka zaidi.

Hata hivyo, waandishi huonyesha kwamba wanapotengeneza hali za mwanzo bandia ambazo muundo wake wa hali-eigeni umechaguliwa kwa udhibiti, wanaweza kuzalisha ITME hata katika mfumo usio na mwingiliano. Matokeo haya yanaunga mkono kwamba ITME haiwezi kuelezwa tu kwa jozi ya “mwingiliano upo/haupo”; kiasi kinachoamua ni usambazaji wa hali ya mwanzo katika msingi-eigeni wa nishati.

Je, hali ya mwanzo yenye kasi zaidi inaweza kuiwakilisha hali msingi vizuri zaidi?

Uchunguzi mwingine unaovutia katika utafiti unahusiana na vigezo vya mpangilio wa kimwili vya kazi-mawimbi za uga-wastani.

Katika mkabala wa kawaida wa uga-wastani, hali ya mwanzo “bora” kwa kawaida huchaguliwa kwa kigezo kinachopunguza nishati hadi kiwango cha chini. ITME inapopatikana, hali ya mwanzo inayotoa nishati ya chini kabisa na hali ya mwanzo inayokaribia kwa kasi zaidi katika muda dhahania si kitu kilekile.

Waandishi huhesabu kipengele cha muundo cha antiferromagneti \(S_{\mathrm{AFM}}\) katika modeli ya π-flux Hubbard, na kipengele cha muundo cha CDW \(S_{\mathrm{CDW}}\) katika modeli ya spinless t-V. Katika mifano iliyochunguzwa, kipengele cha muundo cha hali ya uga-wastani inayokaribia kwa kasi zaidi kinaonekana kuwa karibu zaidi na matokeo halisi ya hali msingi kuliko hali ya uga-wastani yenye nishati ya chini zaidi.

Katika nyenzo za ziada, majaribio ya ziada yaliyofanywa kwa ukubwa tofauti wa mfumo na thamani tofauti za mwingiliano pia huonyesha mwelekeo huo. Hata hivyo, waandishi husisitiza hasa kwamba nadharia ya jumla iliyo chini ya uhusiano kati ya sifa hii ya ukaribiaji wa muda wa mapema na vinavyoonekana vya hali msingi bado haijulikani.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Mbinu ya Projective Quantum Monte Carlo

Mbinu kuu ya kinumeriki ya utafiti ni mkabala wa projective determinant Quantum Monte Carlo unaohesabu sifa za hali msingi kwa projekseni ya muda dhahania.

Thamani tarajiwa ya kinachoonekana imetolewa katika Supplementary Materials kama

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H} \hat O e^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I| e^{-2\tau\hat H} |\psi_I\rangle } \]

hivyo.

Muda dhahania hugawanywa katika sehemu \(N_\tau\):

\[ \Delta\tau=\frac{\tau}{N_\tau}. \]

Vipengele vya mwingiliano hutenganishwa katika nyuga za kiklasiki saidizi kwa kutumia ubadilishaji wa Hubbard–Stratonovich. Hivyo tatizo la kifermioni linaweza kuhesabiwa kwa mujibu wa opereta za fermioni za bilinear chini ya usanidi wa uga saidizi uliotolewa, na nyuga saidizi zinaweza kusampuliwa kwa sampuli ya umuhimu ya kawaida ya Metropolis.

Kwa modeli ya spinful Hubbard, chanzo hutumia ubadilishaji wa Hubbard–Stratonovich wa diskiiti wenye thamani nne. Kwa utenganishaji uliochaguliwa wa kanali ya msongamano katika modeli ya spinless t-V, inaelezwa kwamba una tatizo la ishara, lakini tatizo hili ni dogo kiasi cha kupuuzwa katika rejimu fupi ya muda dhahania ambayo utafiti unalenga.

Kwa Nini Kukutana kwa Mikondo ya Nishati ni Kiashiria cha Moja kwa Moja cha ITME?

Wakati hali mbili zinakaribia nishati ileile ya hali msingi, ikiwa mkondo uliokuwa na nishati ya juu zaidi mwanzoni unashuka haraka zaidi na kupita chini ya mkondo mwingine, mpangilio wa nishati za mwanzo huwa umegeuka; katika utafiti, kukutana huku hutumiwa kama kiashiria cha kiutendaji cha athari ya Mpemba ya muda dhahania.

Matokeo makuu ya kiasi

Matokeo ya awali katika modeli ya spin ya mwelekeo mmoja

Ingawa utafiti mkuu unalenga mifumo ya kifermioni, katika nyenzo za ziada modeli ya spin ya XXZ ya mwelekeo mmoja pia huchunguzwa kwa mbinu ya exact diagonalization:

\[ \hat H= J_x\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^x\sigma_j^x+ J_y\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^y\sigma_j^y+ J_z\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^z\sigma_j^z . \]

Waandishi huevolvisha hali za mwanzo za uga-wastani wa antiferromagneti kwa \(J_x=J_y=1\) na \(L=16\), katika thamani tofauti za \(J_z\). Karibu na nukta muhimu ya kikwantha \(J_z=1\), kukutana kwa mikondo ya nishati huonyesha tabia ya ITME iliyo wazi.

Matokeo haya ni mojawapo ya ushahidi wa awali kwamba tukio hili huenda lisiwe la kipekee kwa modeli za kifermioni pekee. Hata hivyo, utafiti hulitoa kama uchunguzi wa awali; hakuna ujumlishaji wa kiulimwengu unaofanywa kwa mifumo yote ya kibosoni.

Matokeo ya kiutendaji yanayowezekana kwa hesabu za QMC

Katika projekseni ya muda dhahania, kiwango cha juu cha \(\tau\) kinachohitajika ni muhimu katika kuamua gharama ya ukokotoaji. Hasa katika hesabu za QMC zenye tatizo la ishara ya kifermioni, gharama inaweza kuongezeka haraka sana pamoja na muda dhahania, kwa namna ya kiexponential kulingana na fasihi iliyonukuliwa katika chanzo; kwa hiyo kupata hali za mwanzo zinazokaribia kwa kasi zaidi ni muhimu sana.

Katika mkabala wa kawaida, vigezo vya kazi-mawimbi ya uga-wastani mara nyingi huchaguliwa ili kupunguza nishati ya mwanzo. ITME inaleta onyo hili:

Nishati ya chini zaidi ya mwanzo haihakikishi projekseni fupi zaidi ya muda dhahania.

Kwa hiyo, badala ya lengo la uboreshaji kuwa tu

\[ \min E_{\mathrm{initial}} \]

mkakati wa uchaguzi unaozingatia pia kasi ya ukaribiaji wa hali msingi unaweza kuwa na ufanisi zaidi.

Matokeo haya hayaondoi chanzo cha kihisabati cha tatizo la ishara. Uwezekano unaopendekezwa na utafiti ni finyu zaidi lakini wa kiutendaji: ikiwa muda unaohitajika wa projekseni unaweza kupunguzwa kwa kutumia hali ya mwanzo inayofaa, kipindi cha muda dhahania ambacho ukokotoaji unakabiliwa na athari ya tatizo la ishara pia kinaweza kupunguzwa.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Katika modeli nyingi za fermioni zenye mwingiliano zilizochunguzwa, athari ya Mpemba ya muda dhahania inaonekana.
• Hali yenye nishati ya juu zaidi mwanzoni inaweza kuikaribia hali msingi kwa kasi zaidi katika baadhi ya masharti.
• Kukutana kwa mikondo ya nishati katika muda dhahania ni kiashiria wazi cha kinumeriki cha ITME.
• ITME iliyo wazi inahusiana kwa nguvu, katika mifano iliyochunguzwa, na rejimu zenye michocheo ya nishati ya chini.
• Nukta muhimu za kikwantha na modi za Goldstone zinaweza kutoa njia kama hizo za nishati ya chini.
• Kuonekana kwa ITME kunategemea mfuniko wa hali ya mwanzo na hali-eigeni za Hamiltonian.
• Hali ya mwanzo ya uga-wastani yenye nishati ya chini zaidi si kila mara hali ya mwanzo inayokaribia kwa kasi zaidi.
• Katika mifano iliyochunguzwa, vipengele vya muundo vya hali ya mwanzo inayokaribia kwa kasi zaidi viko karibu kwa namna ya kuvutia na matokeo halisi ya hali msingi.
• Kuboresha hali ya mwanzo kulingana na kasi ya ukaribiaji ni mkakati unaowezekana wa kuharakisha hesabu za QMC.

Matokeo ambayo utafiti hauyathibitishi

• Muda dhahania si muda halisi wa kimwili; ITME haimaanishi kwamba mfumo wa kikwantha wenye joto hupoa haraka zaidi katika muda halisi.
• Utafiti hauendelezi nadharia ya jumla na ya umbo-funge ya ITME.
• Uwepo wa michocheo ya nishati ya chini hauhakikishi kwamba ITME lazima itokee.
• Haijaonyeshwa kuwa ITME ni ya kiulimwengu katika mifumo yote ya kikwantha ya miili-mingi.
• Haijaonyeshwa kuwa tatizo la ishara la QMC limetatuliwa au kuondolewa.
• Haijathibitishwa kuwa hali ya mwanzo inayokaribia kwa kasi zaidi itatabiri vyema zaidi vinavyoonekana vya hali msingi katika modeli zote.
• Utafiti haufanyi jaribio la ITME kwenye kichakataji halisi cha kikwantha.
• Matokeo ya XXZ yaliyotolewa kwa mifumo ya kibosoni si jaribio pana la ulimwengu wote, bali ni matokeo ya awali ya kinumeriki katika nyenzo za ziada.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kichwa asilia:Imaginary-time Mpemba effect in quantum many-body systems

Waandishi: Wei-Xuan Chang, Shuai Yin, Shi-Xin Zhang na Zi-Xiang Li.

Chanzo cha kisayansi kilichopakiwa: arXiv:2409.06547v1 [cond-mat.str-el], Septemba 2024.

Wigo wa chanzo: Makala kuu na Supplementary Materials zimetathminiwa pamoja. Katika nyenzo za ziada kuna maelezo ya algoriti ya Projective Quantum Monte Carlo, modeli ya spinful honeycomb Hubbard, mifumo ya Dirac isiyo na mwingiliano, hali za mwanzo maalumu, majaribio ya ziada ya kipengele cha muundo, na matokeo ya awali kuhusu modeli ya spin ya XXZ ya mwelekeo mmoja.

Chapisho la sasa lililopitiwa na rika: Utafiti huohuo baadaye ulichapishwa katika Physical Review Letters, Juzuu 136, Makala 100403, tarehe 11 Machi 2026.

DOI: 10.1103/dvrt-n2hq.

Uwasilishaji / marekebisho / kukubalika: 23 Septemba 2024 / 1 Januari 2026 / 12 Februari 2026.

Kikomo cha maudhui ya kisayansi: Mbinu, fomula, vigezo vya modeli na matokeo katika makala hii ya Verianla yamechukuliwa kutoka toleo lililopakiwa la 2024 v1. Mabadiliko ya baadaye ya kisayansi katika toleo la 2026 lililopitiwa na rika hayajahusishwa katika maandishi haya.

Ufadhili: Chanzo kinaripoti NSFC 12347107 kwa Wei-Xuan Chang na Zi-Xiang Li; NSFC 12075324 na 12222515 pamoja na Guangdong Province 2021QN02X561 kwa Shuai Yin; na msaada wa mwanzo kutoka Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences kwa Shi-Xin Zhang.

Mgongano wa maslahi: Katika maandishi ya v1 yaliyopakiwa hakuna tamko tofauti la mgongano wa maslahi.

CRediT: Katika maandishi ya v1 yaliyopakiwa hakuna jedwali tofauti la mchango wa waandishi la CRediT.

Matumizi ya kielelezo: Katika ukurasa wa APS uliopitiwa na rika kuna ©2026 American Physical Society na kiungo cha ruhusa ya matumizi upya. Kwa hiyo vielelezo vya chanzo havipaswi kunakiliwa moja kwa moja; grafu zinapaswa kuzalishwa upya tu ikiwa data ya chanzo ipo, ilhali taratibu za dhana zinapaswa kuelelezwa kwa michoro asilia ya Verianla.

Verianla Live: Utafiti huu unafaa kwa Live Figure. Uonyeshaji hai wenye maana zaidi ni kusogeza mikondo ya \(E_\tau\) ya hali mbili za mwanzo katika muda dhahania na kuonyesha ITME kwenye nukta ya kukutana. Hata hivyo, grafu ya Live ya kiasi inapaswa kutumiwa tu ikiwa data ya chanzo inaweza kutolewa kwa uaminifu au seti ya data ya waandishi inapatikana; kutengeneza nukta za kukadiria kwa macho kutoka grafu ya PDF hakufai.