Gündelik sezgi, iki sistem aynı denge durumuna doğru ilerliyorsa başlangıçta dengeye daha yakın olan sistemin hedefe önce ulaşmasını bekler. Mpemba etkisi bu sezgiye meydan okuyan durumları tanımlar: klasik örnekte daha sıcak bir sistem belirli koşullarda daha soğuk bir sistemden önce donabilir. Wei-Xuan Chang ve çalışma arkadaşları bu fikrin farklı bir kuantum karşılığını, gerçek zaman yerine hayali-zaman evrimi içinde araştırıyor.

Araştırmacıların “hayali-zaman Mpemba etkisi” veya kısaca ITME adını verdiği durumda, başlangıç enerjisi daha yüksek olan belirli bir kuantum çok-cisim durumu, başlangıçta daha düşük enerjiye sahip başka bir durumdan daha hızlı biçimde temel duruma yaklaşabiliyor. Numerik Quantum Monte Carlo hesaplarında bu davranış, iki başlangıç durumuna ait enerji eğrilerinin hayali zaman ilerledikçe kesişmesiyle doğrudan görülebiliyor.

Buradaki “hayali zaman” gerçek bir laboratuvar saatini ifade etmez. \(\tau\), kuantum durumunun \(e^{-\tau H}\) operatörüyle yüksek enerjili bileşenlerden arındırılıp temel duruma doğru projekte edildiği matematiksel ve nümerik bir evrim parametresidir. Bu nedenle çalışma, “yüksek enerjili bir fiziksel sistem gerçek zamanda daha hızlı soğuyor” sonucu değil; temel-durum hesaplarında kullanılan hayali-zaman projeksiyonunun başlangıç durumuna bağlı yakınsama hızında sıra dışı bir davranış rapor etmektedir.

Çalışmanın en önemli pratik sonucu da burada ortaya çıkıyor: Quantum Monte Carlo gibi temel-durum yöntemlerinde en düşük başlangıç enerjisine sahip deneme dalga fonksiyonunu seçmek her zaman en hızlı yakınsamayı sağlamayabilir. Bazı durumlarda biraz daha yüksek enerjili fakat düşük enerjili uyarılmış özdurumlarla daha az örtüşen bir başlangıç durumu, temel duruma daha kısa hayali zamanda ulaşabilir.

Hayali-zaman evrimi nedir?

Bir kuantum çok-cisim sisteminde normal Schrödinger evrimi gerçek zaman \(t\) için üniterdir. Hayali-zaman yaklaşımında ise evrim parametresi \(\tau\) kullanılır ve normalize edilmiş durum için kaynakta

\[ -\frac{\partial}{\partial\tau}|\psi(\tau)\rangle = \left(\hat H-E_\tau\right)|\psi(\tau)\rangle \]

denklemi verilir. Burada

\[ E_\tau= \langle\psi(\tau)|\hat H|\psi(\tau)\rangle \]

hayali-zamandaki enerji beklenti değeridir.

Bir başlangıç durumu \(|\psi_I\rangle\) için herhangi bir \(\hat O\) gözlenebilirinin beklenti değeri

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H}\hat Oe^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I|e^{-2\tau\hat H}|\psi_I\rangle } \]

biçiminde hesaplanır.

Başlangıç durumu Hamiltonyenin özdurumları cinsinden

\[ |\psi_I\rangle=\sum_n a_n|n\rangle \]

şeklinde açılırsa enerji

\[ E_\tau= \frac{ \sum_n E_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} }{ \sum_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} } \]

halini alır. \(E_n>E_0\) olan uyarılmış bileşenler \(\tau\) arttıkça temel duruma göre daha hızlı bastırıldığı için yeterince uzun hayali zamanda, başlangıç durumunun temel durumla örtüşmesi sıfır değilse sistem \(E_0\)'a yaklaşır.

Hayali-Zaman Mpemba Etkisi Nedir?

Hayali-zaman Mpemba etkisi, aynı Hamiltonyen altında evrilen iki başlangıç durumundan başlangıç enerjisi daha yüksek olanın enerji bakımından temel duruma daha hızlı yaklaşması ve belirli bir \(\tau\) değerinden sonra başlangıçta daha düşük enerjili olan durumu geçmesidir; çalışmada bu davranış enerji eğrilerinin kesişmesiyle tanımlanır.

Neden başlangıç enerjisi tek başına yeterli değil?

Bir başlangıç durumunun temel duruma ne kadar hızlı yaklaşacağını yalnız başlangıç enerjisi belirlemez. Önemli olan, başlangıç dalga fonksiyonunun Hamiltonyenin farklı enerji özdurumlarıyla yaptığı örtüşmelerdir.

Kaynağın önerdiği mekanizmada iki başlangıç durumundan biri düşük enerjili uyarılmış durumlarla güçlü örtüşmeye sahip olabilir. Bu bileşenlerin enerji farkı küçük olduğu için

\[ e^{-2(E_n-E_0)\tau} \]

bastırılması görece yavaştır. Başlangıç enerjisi daha yüksek olan diğer durum ise temel durumla ve daha yüksek enerjili uyarımlarla güçlü örtüşürken en düşük uyarılmış seviyelerle daha zayıf örtüşebilir. Yüksek enerjili bileşenler hayali zamanda daha hızlı söndürüldüğü için bu durum başlangıçta daha yüksek enerjiye sahip olmasına rağmen temel duruma daha hızlı yaklaşabilir.

Başka bir deyişle, ITME'nin anahtarı yalnız “ne kadar yüksek enerjide başladığı” değil, bu enerjinin Hamiltonyenin özdurumları arasında nasıl dağıldığıdır.

Düşük Enerjili Uyarımlar ITME İçin Neden Önemlidir?

Çalışmanın nümerik sonuçları, belirgin ITME'nin özellikle düşük enerjili uyarımların bulunduğu rejimlerde ortaya çıktığını gösteriyor; kuantum kritik noktalarındaki boşluksuz kritik modlar ve sürekli simetri kırılmasından doğan Goldstone modları bu tür yavaş sönen bileşenleri sağlayabiliyor, ancak düşük enerjili uyarımların varlığı tek başına ITME'yi garanti etmiyor.

π-flux kare örgü Hubbard modeli

Araştırmacıların ilk ana örneği, her plaquette üzerinde \(\pi\) akısı bulunan kare örgü Hubbard modelidir:

\[ H= -\sum_{\langle ij\rangle\sigma} t_{ij}c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma} +\mathrm{h.c.} + U\sum_i \left( \sum_\sigma n_{i\sigma}-1 \right)^2 . \]

Etkileşimsiz sınırda bu model Dirac noktalarına sahiptir. İtici Hubbard etkileşimi büyüdükçe Dirac yarımetalinden Néel antiferromanyetik yalıtkan faza geçiş gerçekleşir ve kaynak kritik etkileşimi yaklaşık

\[ U_c\simeq5.5 \]

olarak kullanır.

Başlangıç dalga fonksiyonları, antiferromanyetik ortalama-alan parametresi \(M_N\) değiştirilerek hazırlanır. \(L=20\) sisteminde \(U=4.0\), \(5.5\) ve \(7.0\) için yapılan QMC hesaplarının tamamında belirgin enerji-eğrisi kesişmeleri görülür.

Özellikle \(U=4.0\) örneğinde \(M_N=0.9\) başlangıç durumları arasında en düşük başlangıç enerjisine sahipken, daha yüksek başlangıç enerjili \(M_N=0\) durumu çok daha hızlı gevşer ve daha kısa hayali zamanda temel-durum enerjisine yaklaşır. Bu, çalışmanın ITME'yi en açık biçimde gösterdiği örneklerden biridir.

Bal peteği örgüsünde spinless t-V modeli

İkinci ana model, spin taşımayan fermiyonlar için

\[ H= -t\sum_{\langle ij\rangle}c_i^\dagger c_j + V\sum_{\langle ij\rangle} \left(n_i-\frac12\right) \left(n_j-\frac12\right) \]

Hamiltonyenidir. Güçlü yoğunluk etkileşimi, Dirac yarımetali ile yük-yoğunluk-dalgası (CDW) fazı arasında yaklaşık

\[ V_c\simeq1.35 \]

noktasında kuantum faz geçişi oluşturur.

Kaynak \(2\times L\times L\), \(L=12\) örgülerde \(V=1.1\), \(1.35\) ve \(1.6\) için farklı CDW ortalama-alan başlangıç durumlarını inceler. Kritik noktaya yakın bu üç rejimde de enerji eğrilerinin kesişmesi ITME'nin ortaya çıktığını gösterir.

Fermi yüzeyi nesting bulunan Hubbard modeli

Yazarlar etkinin yalnız Dirac fermiyonlarıyla sınırlı olmadığını test etmek için manyetik akı bulunmayan kare-örgü Hubbard modelini de inceler. Yarı dolumda bu model mükemmel \((\pi,\pi)\) Fermi-yüzeyi nesting özelliğine sahiptir ve antiferromanyetik kararsızlık \(U>0\) için ortaya çıkar.

\(U=2.0\) ve \(U=4.0\) hesaplarında yine enerji eğrilerinin kesiştiği görülür. Böylece ITME, yalnız Dirac kritik sistemlerde ortaya çıkan özel bir özellik olarak kalmaz.

Kritik nokta ile derin düzenli faz arasındaki fark

Yazarların mekanizma yorumunu sınamak için yaptığı karşılaştırma özellikle önemlidir.

Spinless t-V modelinin \(V=4.0\) değerindeki derin CDW fazında uyarımlar tamamen boşlukludur ve kaynak belirgin bir ITME görmez. Buna karşılık π-flux Hubbard modelinin \(U=10.0\) değerindeki derin antiferromanyetik fazında ITME devam eder.

Bu farklılık, antiferromanyetik fazdaki sürekli simetri kırılmasının ürettiği boşluksuz Goldstone modları ile ilişkilendirilir. Böylece önemli değişkenin yalnız kuantum kritik noktasında bulunmak olmadığı; sistemde düşük enerjili uyarım kanallarının bulunmasının da benzer koşulları yaratabileceği görülür.

Ancak kaynak bu noktada önemli bir sınır koyar: düşük enerjili uyarımlar, belirgin ITME'nin ortaya çıkması için olası bir önkoşuldur; yeterli koşul değildir. Etkinin görülüp görülmemesi aynı zamanda seçilen başlangıç durumlarının özdurumlarla örtüşme yapısına bağlıdır.

Etkileşimsiz sistemler ne söylüyor?

Supplementary Materials bu yorumu daha ayrıntılı test eder. Etkileşimsiz \(\pi\)-flux Dirac sisteminde, farklı AFM ortalama-alan alanlarıyla hazırlanan standart başlangıç durumları kullanıldığında ITME görülmez. Bu durumda başlangıç enerjisi düşük olan durum temel duruma daha hızlı yakınsar.

Bununla birlikte yazarlar, özdurum bileşimi kontrollü biçimde seçilmiş yapay başlangıç durumları oluşturduklarında etkileşimsiz sistemde bile ITME üretebildiklerini gösterirler. Bu sonuç, ITME'nin yalnız “etkileşim var/yok” ikiliğiyle açıklanamayacağını; belirleyici niceliğin başlangıç durumunun enerji özbazındaki dağılımı olduğunu destekler.

En hızlı başlangıç durumu temel durumu daha iyi temsil ediyor olabilir mi?

Çalışmada dikkat çekici başka bir gözlem de ortalama-alan dalga fonksiyonlarının fiziksel düzen parametreleriyle ilgilidir.

Geleneksel ortalama-alan yaklaşımında “en iyi” başlangıç durumu genellikle enerjiyi en aza indiren parametreyle seçilir. ITME bulunduğunda ise enerji minimumunu veren başlangıç durumu ile hayali zamanda en hızlı yakınsayan başlangıç durumu aynı değildir.

Yazarlar π-flux Hubbard modelinde antiferromanyetik yapı faktörü \(S_{\mathrm{AFM}}\), spinless t-V modelinde ise CDW yapı faktörü \(S_{\mathrm{CDW}}\) hesaplar. İncelenen örneklerde en hızlı yakınsayan ortalama-alan durumunun yapı faktörü, gerçek temel-durum sonucuna en düşük enerjili ortalama-alan durumundan çok daha yakın görünmektedir.

Ek materyalde farklı sistem boyutları ve etkileşim değerleriyle yapılan ek testler de aynı eğilimi gösterir. Ancak yazarlar bu erken-zaman yakınsama özelliği ile temel-durum gözlenebilirleri arasındaki ilişkinin altında yatan genel teorinin henüz bilinmediğini özellikle belirtir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Projective Quantum Monte Carlo yöntemi

Çalışmanın ana nümerik yöntemi, temel-durum özelliklerini hayali-zaman projeksiyonuyla hesaplayan projective determinant Quantum Monte Carlo yaklaşımıdır.

Gözlenebilirin beklenti değeri Supplementary Materials'ta

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H} \hat O e^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I| e^{-2\tau\hat H} |\psi_I\rangle } \]

olarak verilir.

Hayali zaman \(N_\tau\) parçaya bölünür:

\[ \Delta\tau=\frac{\tau}{N_\tau}. \]

Etkileşim terimleri Hubbard–Stratonovich dönüşümü kullanılarak yardımcı klasik alanlara ayrıştırılır. Böylece fermiyonik problem, verilen yardımcı-alan konfigürasyonu altında bilineer fermiyon operatörleri cinsinden hesaplanabilir ve yardımcı alanlar standart Metropolis önem örneklemesiyle örneklenebilir.

Spinful Hubbard modeli için kaynak dört değerli ayrık Hubbard–Stratonovich dönüşümü kullanır. Spinless t-V modelindeki seçilen yoğunluk-kanalı ayrıştırmasının ise işaret problemi taşıdığı, fakat çalışmanın odaklandığı kısa hayali-zaman rejiminde bu problemin ihmal edilebilir olduğu belirtilir.

Enerji Eğrilerinin Kesişmesi Neden ITME'nin Doğrudan Göstergesidir?

İki durum aynı temel-durum enerjisine yakınsarken başlangıçta daha yüksek enerjili olan eğri daha hızlı düşüp diğer eğrinin altına geçiyorsa başlangıçtaki enerji sıralaması tersine dönmüş olur; çalışmada bu kesişme, hayali-zaman Mpemba etkisinin operasyonel göstergesi olarak kullanılır.

Ana nicel bulgular

Bir boyutlu spin modelinde ön bulgular

Ana çalışma fermiyonik sistemlere odaklansa da ek materyalde bir boyutlu XXZ spin modeli de exact diagonalization yöntemiyle incelenir:

\[ \hat H= J_x\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^x\sigma_j^x+ J_y\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^y\sigma_j^y+ J_z\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^z\sigma_j^z . \]

Yazarlar \(J_x=J_y=1\) ve \(L=16\) için farklı \(J_z\) değerlerinde antiferromanyetik ortalama-alan başlangıç durumlarını evrimleştirir. \(J_z=1\) kuantum kritik noktasının çevresinde enerji eğrilerindeki kesişmeler belirgin ITME davranışı gösterir.

Bu sonuç, olgunun yalnız fermiyonik modellere özgü olmayabileceğine dair ilk desteklerden biridir. Ancak çalışma bunu ön araştırma olarak sunar; bütün bosonik sistemlere evrensel genelleme yapılmaz.

QMC hesapları için olası pratik sonuç

Hayali-zaman projeksiyonunda gerekli maksimum \(\tau\), hesaplama maliyetinin belirlenmesinde kritik önemdedir. Özellikle fermiyon işaret problemi bulunan QMC hesaplarında maliyetin hayali zamanla çok hızlı, kaynakta atıf yapılan literatüre göre üstel biçimde artabilmesi nedeniyle daha hızlı yakınsayan başlangıç durumlarının bulunması büyük önem taşır.

Geleneksel yaklaşımda ortalama-alan dalga fonksiyonunun parametreleri çoğunlukla başlangıç enerjisini minimize edecek şekilde seçilir. ITME ise şu uyarıyı getirir:

En düşük başlangıç enerjisi, en kısa hayali-zaman projeksiyonunu garanti etmez.

Dolayısıyla optimizasyon hedefinin yalnız

\[ \min E_{\mathrm{initial}} \]

olması yerine, temel-duruma yakınsama hızını da hesaba katan bir seçim stratejisi daha verimli olabilir.

Bu sonuç işaret probleminin matematiksel kaynağını ortadan kaldırmaz. Çalışmanın önerdiği olasılık daha sınırlı fakat pratiktir: uygun başlangıç durumu sayesinde gerekli projeksiyon süresi azaltılabilirse, işaret probleminin hesaplama üzerindeki etkisine maruz kalınan hayali-zaman aralığı da azaltılabilir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• İncelenen birçok etkileşen fermiyon modelinde hayali-zaman Mpemba etkisi gözlenmektedir.
• Daha yüksek başlangıç enerjili bir durum bazı koşullarda temel duruma daha hızlı yakınsayabilir.
• Enerji eğrilerinin hayali zamanda kesişmesi ITME'nin açık nümerik göstergesidir.
• Belirgin ITME, incelenen örneklerde düşük enerjili uyarımların bulunduğu rejimlerle güçlü biçimde ilişkilidir.
• Kuantum kritik noktaları ve Goldstone modları bu tür düşük enerjili kanalları sağlayabilir.
• ITME'nin görülmesi başlangıç durumunun Hamiltonyen özdurumlarıyla örtüşmesine bağlıdır.
• En düşük enerjili ortalama-alan başlangıç durumu her zaman en hızlı yakınsayan başlangıç durumu değildir.
• İncelenen örneklerde en hızlı yakınsayan başlangıç durumunun yapı faktörleri gerçek temel-durum sonuçlarına dikkat çekici biçimde yakındır.
• Başlangıç durumunun yakınsama hızına göre optimizasyonu QMC hesaplarını hızlandırmak için potansiyel bir stratejidir.

Çalışmanın kanıtlamadığı sonuçlar

• Hayali zaman gerçek fiziksel zaman değildir; ITME gerçek zamanda sıcak bir kuantum sisteminin daha hızlı soğuduğu anlamına gelmez.
• Çalışma genel ve kapalı-form bir ITME teorisi geliştirmemektedir.
• Düşük enerjili uyarımların varlığı ITME'nin mutlaka oluşacağını garanti etmez.
• ITME'nin bütün kuantum çok-cisim sistemlerinde evrensel olduğu gösterilmemiştir.
• QMC işaret probleminin çözüldüğü veya kaldırıldığı gösterilmemiştir.
• En hızlı yakınsayan başlangıç durumunun bütün modellerde temel-durum gözlenebilirlerini en iyi tahmin edeceği kanıtlanmamıştır.
• Çalışma gerçek bir kuantum işlemcide ITME deneyi gerçekleştirmemektedir.
• Bosonik sistemler için verilen XXZ sonucu kapsamlı bir evrensellik testi değil, ek materyaldeki ön nümerik bulgudur.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık:Imaginary-time Mpemba effect in quantum many-body systems

Yazarlar: Wei-Xuan Chang, Shuai Yin, Shi-Xin Zhang ve Zi-Xiang Li.

Yüklenen bilimsel kaynak: arXiv:2409.06547v1 [cond-mat.str-el], Eylül 2024.

Kaynak kapsamı: Ana makale ile Supplementary Materials birlikte değerlendirilmiştir. Ek materyalde Projective Quantum Monte Carlo algoritmasının ayrıntıları, spinful honeycomb Hubbard modeli, etkileşimsiz Dirac sistemleri, özel başlangıç durumları, ek yapı-faktörü testleri ve bir boyutlu XXZ spin modeline ilişkin ön sonuçlar bulunmaktadır.

Güncel hakemli yayın: Aynı çalışma daha sonra Physical Review Letters, Cilt 136, Makale 100403 olarak 11 Mart 2026 tarihinde yayımlanmıştır.

DOI: 10.1103/dvrt-n2hq.

Gönderim / revizyon / kabul: 23 Eylül 2024 / 1 Ocak 2026 / 12 Şubat 2026.

Bilimsel içerik sınırı: Bu Verianla makalesindeki yöntem, formüller, model parametreleri ve sonuçlar yüklenen 2024 v1 sürümünden alınmıştır. 2026 hakemli sürümün daha sonraki bilimsel değişiklikleri bu metne aktarılmamıştır.

Finansman: Kaynakta Wei-Xuan Chang ve Zi-Xiang Li için NSFC 12347107; Shuai Yin için NSFC 12075324 ve 12222515 ile Guangdong Province 2021QN02X561; Shi-Xin Zhang için Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences başlangıç desteği bildirilmektedir.

Çıkar çatışması: Yüklenen v1 metninde ayrı bir çıkar çatışması beyanı yer almamaktadır.

CRediT: Yüklenen v1 metninde ayrı bir CRediT yazar-katkı tablosu bulunmamaktadır.

Şekil kullanımı: Hakemli APS sayfasında ©2026 American Physical Society ve yeniden kullanım izin bağlantısı bulunmaktadır. Bu nedenle kaynak figürleri doğrudan kopyalanmamalı; grafikler ancak kaynak verisi mevcutsa yeniden üretilmeli, kavramsal mekanizmalar ise özgün Verianla çizimleriyle anlatılmalıdır.

Verianla Live: Bu çalışma Live Figure için uygundur. En anlamlı canlı görselleştirme, iki başlangıç durumunun \(E_\tau\) eğrilerini hayali zamanda ilerletip kesişme noktasında ITME'yi göstermektir. Ancak nicel bir Live grafik yalnız kaynak verilerinin güvenilir biçimde çıkarılması veya yazar veri setinin bulunması halinde kullanılmalıdır; PDF grafiğinden göz kararı nokta üretmek uygun değildir.