Kundalik sezgi, ikki tizim bir xil muvozanat holatiga qarab borsa, dastlab muvozanatga yaqinroq bo‘lgan tizim maqsadga avval yetib borishini kutadi. Mpemba effekti ana shu sezgiga qarshi chiqadigan holatlarni tasvirlaydi: klassik misolda issiqroq tizim ma’lum sharoitlarda sovuqroq tizimdan oldin muzlashi mumkin. Wei-Xuan Chang va hamkorlari bu fikrning boshqa bir kvant muqobilini, haqiqiy vaqt o‘rniga xayoliy-vaqt evolyutsiyasi ichida tadqiq qilmoqda.

Tadqiqotchilar “xayoliy-vaqt Mpemba effekti” yoki qisqacha ITME deb atagan holatda, boshlang‘ich energiyasi yuqoriroq bo‘lgan muayyan kvant ko‘p-jismli holati, dastlab pastroq energiyaga ega boshqa bir holatdan tezroq tarzda asosiy holatga yaqinlasha oladi. Raqamli Quantum Monte Carlo hisoblarida bu xatti-harakat ikki boshlang‘ich holatga tegishli energiya egri chiziqlarining xayoliy vaqt o‘tishi bilan kesishishi orqali bevosita ko‘rinadi.

Bu yerdagi “xayoliy vaqt” haqiqiy laboratoriya soatini anglatmaydi. \(\tau\), kvant holatining \(e^{-\tau H}\) operatori orqali yuqori energiyali komponentlardan tozalanib, asosiy holatga qarab proyeksiya qilinadigan matematik va raqamli evolyutsiya parametridir. Shu sababli tadqiqot “yuqori energiyali fizik tizim haqiqiy vaqtda tezroq soviydi” degan natijani emas; asosiy-holat hisoblarida ishlatiladigan xayoliy-vaqt proyeksiyasining boshlang‘ich holatga bog‘liq yaqinlashish tezligidagi noodatiy xatti-harakatni xabar qiladi.

Tadqiqotning eng muhim amaliy natijasi ham shu yerda yuzaga chiqadi: Quantum Monte Carlo kabi asosiy-holat usullarida eng past boshlang‘ich energiyaga ega sinov to‘lqin funksiyasini tanlash har doim eng tez yaqinlashishni ta’minlamasligi mumkin. Ayrim hollarda biroz yuqoriroq energiyali, ammo past energiyali uyg‘ongan xosholatlar bilan kamroq ustma-ust tushadigan boshlang‘ich holat asosiy holatga qisqaroq xayoliy vaqtda yetishi mumkin.

Xayoliy-vaqt evolyutsiyasi nima?

Kvant ko‘p-jismli tizimida normal Schrödinger evolyutsiyasi haqiqiy vaqt \(t\) uchun unitardir. Xayoliy-vaqt yondashuvida esa evolyutsiya parametri sifatida \(\tau\) ishlatiladi va normallashtirilgan holat uchun manbada

\[ -\frac{\partial}{\partial\tau}|\psi(\tau)\rangle = \left(\hat H-E_\tau\right)|\psi(\tau)\rangle \]

tenglamasi beriladi. Bu yerda

\[ E_\tau= \langle\psi(\tau)|\hat H|\psi(\tau)\rangle \]

xayoliy-vaqtdagi energiyaning kutilma qiymatidir.

Boshlang‘ich holat \(|\psi_I\rangle\) uchun istalgan \(\hat O\) kuzatiluvchisining kutilma qiymati

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H}\hat Oe^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I|e^{-2\tau\hat H}|\psi_I\rangle } \]

ko‘rinishida hisoblanadi.

Boshlang‘ich holat Hamiltonianning xosholatlari bo‘yicha

\[ |\psi_I\rangle=\sum_n a_n|n\rangle \]

ko‘rinishida yoyilsa, energiya

\[ E_\tau= \frac{ \sum_n E_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} }{ \sum_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} } \]

shaklini oladi. \(E_n>E_0\) bo‘lgan uyg‘ongan komponentlar \(\tau\) ortgani sari asosiy holatga nisbatan tezroq bostirilgani uchun yetarlicha uzun xayoliy vaqtda, boshlang‘ich holatning asosiy holat bilan ustma-ust tushishi nol bo‘lmasa, tizim \(E_0\) ga yaqinlashadi.

Xayoliy-Vaqt Mpemba Effekti Nima?

Xayoliy-vaqt Mpemba effekti — bir xil Hamiltonian ostida evolyutsiyalanayotgan ikki boshlang‘ich holatdan boshlang‘ich energiyasi yuqoriroq bo‘lganining energiya jihatidan asosiy holatga tezroq yaqinlashishi va ma’lum bir \(\tau\) qiymatidan keyin dastlab pastroq energiyali bo‘lgan holatdan o‘tib ketishidir; tadqiqotda bu xatti-harakat energiya egri chiziqlarining kesishishi bilan ta’riflanadi.

Nega boshlang‘ich energiya yakka o‘zi yetarli emas?

Boshlang‘ich holat asosiy holatga qanchalik tez yaqinlashishini faqat boshlang‘ich energiya belgilamaydi. Muhimi, boshlang‘ich to‘lqin funksiyasining Hamiltonianning turli energiya xosholatlari bilan ustma-ust tushishlaridir.

Manba taklif qilgan mexanizmda ikki boshlang‘ich holatdan biri past energiyali uyg‘ongan holatlar bilan kuchli ustma-ust tushishga ega bo‘lishi mumkin. Bu komponentlarning energiya farqi kichik bo‘lgani uchun

\[ e^{-2(E_n-E_0)\tau} \]

bostirilishi nisbatan sekin. Boshlang‘ich energiyasi yuqoriroq bo‘lgan boshqa holat esa asosiy holat va yuqoriroq energiyali uyg‘onishlar bilan kuchli ustma-ust tushar ekan, eng past uyg‘ongan sathlar bilan zaifroq ustma-ust tushishi mumkin. Yuqori energiyali komponentlar xayoliy vaqtda tezroq so‘ndirilgani uchun bu holat dastlab yuqoriroq energiyaga ega bo‘lishiga qaramay asosiy holatga tezroq yaqinlasha oladi.

Boshqacha aytganda, ITME ning kaliti faqat “qanchalik yuqori energiyada boshlangani” emas, bu energiyaning Hamiltonianning xosholatlari orasida qanday taqsimlanganidir.

Past Energetik Uyg‘onishlar ITME Uchun Nega Muhim?

Tadqiqotning raqamli natijalari yaqqol ITME ayniqsa past energetik uyg‘onishlar mavjud bo‘lgan rejimlarda yuzaga chiqishini ko‘rsatadi; kvant kritik nuqtalaridagi bo‘shliqsiz kritik modlar va uzluksiz simmetriya buzilishidan kelib chiqadigan Goldstone modlari bunday sekin so‘nuvchi komponentlarni ta’minlay oladi, biroq past energetik uyg‘onishlarning mavjudligi yakka o‘zi ITME ni kafolatlamaydi.

π-flux kvadrat panjara Hubbard modeli

Tadqiqotchilarning birinchi asosiy misoli har bir plaquette ustida \(\pi\) oqimi bo‘lgan kvadrat panjara Hubbard modelidir:

\[ H= -\sum_{\langle ij\rangle\sigma} t_{ij}c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma} +\mathrm{h.c.} + U\sum_i \left( \sum_\sigma n_{i\sigma}-1 \right)^2 . \]

O‘zaro ta’sirsiz chegarada bu model Dirac nuqtalariga ega. Itaruvchi Hubbard o‘zaro ta’siri kattalashgani sari Dirac yarimmetallidan Néel antiferromagnit izolyator fazasiga o‘tish ro‘y beradi va manba kritik o‘zaro ta’sirni taxminan

\[ U_c\simeq5.5 \]

sifatida ishlatadi.

Boshlang‘ich to‘lqin funksiyalari antiferromagnit o‘rtacha-maydon parametri \(M_N\) o‘zgartirilishi orqali tayyorlanadi. \(L=20\) tizimida \(U=4.0\), \(5.5\) va \(7.0\) uchun bajarilgan QMC hisoblarining barchasida yaqqol energiya-egri chizig‘i kesishishlari ko‘rinadi.

Ayniqsa \(U=4.0\) misolida \(M_N=0.9\) boshlang‘ich holatlar orasida eng past boshlang‘ich energiyaga ega bo‘lsa-da, yuqoriroq boshlang‘ich energiyali \(M_N=0\) holati ancha tezroq relaksatsiyalanadi va qisqaroq xayoliy vaqtda asosiy-holat energiyasiga yaqinlashadi. Bu tadqiqot ITME ni eng aniq ko‘rsatgan misollardan biridir.

Asalari uyasi panjarasida spinless t-V modeli

Ikkinchi asosiy model spin tashimaydigan fermionlar uchun

\[ H= -t\sum_{\langle ij\rangle}c_i^\dagger c_j + V\sum_{\langle ij\rangle} \left(n_i-\frac12\right) \left(n_j-\frac12\right) \]

Hamiltonianidir. Kuchli zichlik o‘zaro ta’siri Dirac yarimmetalli bilan zaryad-zichlik-to‘lqini (CDW) fazasi o‘rtasida taxminan

\[ V_c\simeq1.35 \]

nuqtasida kvant faza o‘tishini hosil qiladi.

Manba \(2\times L\times L\), \(L=12\) panjaralarda \(V=1.1\), \(1.35\) va \(1.6\) uchun turli CDW o‘rtacha-maydon boshlang‘ich holatlarini tekshiradi. Kritik nuqtaga yaqin bu uch rejimda ham energiya egri chiziqlarining kesishishi ITME yuzaga chiqqanini ko‘rsatadi.

Fermi sirti nesting mavjud Hubbard modeli

Mualliflar effekt faqat Dirac fermionlari bilan cheklanmaganini sinash uchun magnit oqimi bo‘lmagan kvadrat-panjara Hubbard modelini ham tekshiradi. Yarim to‘ldirishda bu model mukammal \((\pi,\pi)\) Fermi-sirti nesting xususiyatiga ega va antiferromagnit beqarorlik \(U>0\) uchun yuzaga chiqadi.

\(U=2.0\) va \(U=4.0\) hisoblarida yana energiya egri chiziqlari kesishgani ko‘rinadi. Shunday qilib, ITME faqat Dirac kritik tizimlarida paydo bo‘ladigan maxsus xususiyat bo‘lib qolmaydi.

Kritik nuqta bilan chuqur tartibli faza o‘rtasidagi farq

Mualliflarning mexanizm talqinini sinash uchun qilgan taqqoslashi ayniqsa muhimdir.

Spinless t-V modelining \(V=4.0\) qiymatidagi chuqur CDW fazasida uyg‘onishlar to‘liq bo‘shliqlidir va manba yaqqol ITME ko‘rmaydi. Bunga qarshi, π-flux Hubbard modelining \(U=10.0\) qiymatidagi chuqur antiferromagnit fazasida ITME davom etadi.

Bu farq antiferromagnit fazadagi uzluksiz simmetriya buzilishi hosil qiladigan bo‘shliqsiz Goldstone modlari bilan bog‘lanadi. Shunday qilib, muhim o‘zgaruvchi faqat kvant kritik nuqtasida bo‘lish emasligi; tizimda past energiyali uyg‘onish kanallari mavjudligi ham o‘xshash sharoitlarni yaratishi mumkinligi ko‘rinadi.

Biroq manba bu nuqtada muhim chegara qo‘yadi: past energiyali uyg‘onishlar yaqqol ITME yuzaga chiqishi uchun mumkin bo‘lgan dastlabki shartdir; yetarli shart emas. Effektning ko‘rinish-ko‘rinmasligi ayni paytda tanlangan boshlang‘ich holatlarning xosholatlar bilan ustma-ust tushish tuzilishiga bog‘liq.

O‘zaro ta’sirsiz tizimlar nima deydi?

Supplementary Materials bu talqinni yanada batafsil sinaydi. O‘zaro ta’sirsiz \(\pi\)-flux Dirac tizimida turli AFM o‘rtacha-maydon maydonlari bilan tayyorlangan standart boshlang‘ich holatlar ishlatilganda ITME ko‘rinmaydi. Bu holatda boshlang‘ich energiyasi past bo‘lgan holat asosiy holatga tezroq yaqinlashadi.

Shu bilan birga, mualliflar xosholat tarkibi nazoratli tarzda tanlangan sun’iy boshlang‘ich holatlarni yaratganlarida o‘zaro ta’sirsiz tizimda ham ITME hosil qila olganlarini ko‘rsatadilar. Bu natija ITME ni faqat “o‘zaro ta’sir bor/yo‘q” ikkilik tushunchasi bilan izohlab bo‘lmasligini; belgilovchi miqdor boshlang‘ich holatning energiya xosbazisidagi taqsimoti ekanini qo‘llab-quvvatlaydi.

Eng tez boshlang‘ich holat asosiy holatni yaxshiroq ifodalashi mumkinmi?

Tadqiqotdagi yana bir e’tiborli kuzatish o‘rtacha-maydon to‘lqin funksiyalarining fizik tartib parametrlari bilan bog‘liq.

An’anaviy o‘rtacha-maydon yondashuvida “eng yaxshi” boshlang‘ich holat odatda energiyani minimallashtiradigan parametr bilan tanlanadi. ITME topilganda esa energiya minimumini beradigan boshlang‘ich holat bilan xayoliy vaqtda eng tez yaqinlashadigan boshlang‘ich holat bir xil emas.

Mualliflar π-flux Hubbard modelida antiferromagnit tuzilma faktorini \(S_{\mathrm{AFM}}\), spinless t-V modelida esa CDW tuzilma faktorini \(S_{\mathrm{CDW}}\) hisoblaydi. Tekshirilgan misollarda eng tez yaqinlashadigan o‘rtacha-maydon holatining tuzilma faktori haqiqiy asosiy-holat natijasiga eng past energiyali o‘rtacha-maydon holatidan ancha yaqin ko‘rinadi.

Qo‘shimcha materialda turli tizim kattaliklari va o‘zaro ta’sir qiymatlari bilan qilingan qo‘shimcha testlar ham xuddi shu moyillikni ko‘rsatadi. Biroq mualliflar bu erta-vaqt yaqinlashish xususiyati bilan asosiy-holat kuzatiluvchilari o‘rtasidagi munosabatning ostida yotgan umumiy nazariya hali ma’lum emasligini alohida ta’kidlaydilar.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Projective Quantum Monte Carlo usuli

Tadqiqotning asosiy raqamli usuli, asosiy-holat xususiyatlarini xayoliy-vaqt proyeksiyasi bilan hisoblaydigan projective determinant Quantum Monte Carlo yondashuvidir.

Kuzatiluvchining kutilma qiymati Supplementary Materials’da

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H} \hat O e^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I| e^{-2\tau\hat H} |\psi_I\rangle } \]

sifatida beriladi.

Xayoliy vaqt \(N_\tau\) bo‘lakka bo‘linadi:

\[ \Delta\tau=\frac{\tau}{N_\tau}. \]

O‘zaro ta’sir hadlari Hubbard–Stratonovich o‘zgartirishi yordamida yordamchi klassik maydonlarga ajratiladi. Shunday qilib, fermionik muammo berilgan yordamchi-maydon konfiguratsiyasi ostida bilinear fermion operatorlari bo‘yicha hisoblanishi mumkin va yordamchi maydonlar standart Metropolis ahamiyatli namunalash orqali tanlanishi mumkin.

Spinful Hubbard modeli uchun manba to‘rt qiymatli diskret Hubbard–Stratonovich o‘zgartirishidan foydalanadi. Spinless t-V modelidagi tanlangan zichlik-kanali ajratishining esa ishora muammosiga ega ekani, biroq tadqiqot diqqat qaratgan qisqa xayoliy-vaqt rejimida bu muammo e’tiborsiz qoldirilishi mumkinligi bildiriladi.

Energiya Egri Chiziqlarining Kesishishi Nega ITME ning Bevosita Ko‘rsatkichidir?

Ikki holat bir xil asosiy-holat energiyasiga yaqinlashayotgan paytda dastlab yuqoriroq energiyali bo‘lgan egri chiziq tezroq pasayib boshqa egri chiziqning ostiga o‘tsa, boshlang‘ichdagi energiya tartibi teskari aylanadi; tadqiqotda bu kesishish xayoliy-vaqt Mpemba effektining operatsion ko‘rsatkichi sifatida ishlatiladi.

Asosiy miqdoriy topilmalar

Bir o‘lchamli spin modelida dastlabki topilmalar

Asosiy tadqiqot fermionik tizimlarga qaratilgan bo‘lsa-da, qo‘shimcha materialda bir o‘lchamli XXZ spin modeli ham exact diagonalization usuli bilan tekshiriladi:

\[ \hat H= J_x\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^x\sigma_j^x+ J_y\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^y\sigma_j^y+ J_z\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^z\sigma_j^z . \]

Mualliflar \(J_x=J_y=1\) va \(L=16\) uchun turli \(J_z\) qiymatlarida antiferromagnit o‘rtacha-maydon boshlang‘ich holatlarini evolyutsiyalashtiradi. \(J_z=1\) kvant kritik nuqtasi atrofida energiya egri chiziqlaridagi kesishishlar yaqqol ITME xatti-harakatini ko‘rsatadi.

Bu natija hodisa faqat fermionik modellarga xos bo‘lmasligi mumkinligiga oid dastlabki dalillardan biridir. Biroq tadqiqot buni dastlabki tadqiqot sifatida taqdim etadi; barcha bosonik tizimlarga universal umumlashtirish qilinmaydi.

QMC hisoblari uchun ehtimoliy amaliy natija

Xayoliy-vaqt proyeksiyasida zarur maksimal \(\tau\), hisoblash xarajatini belgilashda kritik ahamiyatga ega. Ayniqsa fermion ishora muammosi mavjud QMC hisoblarida xarajat xayoliy vaqt bilan juda tez, manbada iqtibos qilingan adabiyotga ko‘ra eksponensial tarzda ortishi mumkinligi sababli tezroq yaqinlashadigan boshlang‘ich holatlarni topish katta ahamiyatga ega.

An’anaviy yondashuvda o‘rtacha-maydon to‘lqin funksiyasining parametrlari ko‘pincha boshlang‘ich energiyani minimallashtiradigan tarzda tanlanadi. ITME esa quyidagi ogohlantirishni beradi:

Eng past boshlang‘ich energiya eng qisqa xayoliy-vaqt proyeksiyasini kafolatlamaydi.

Shu bois optimallashtirish maqsadi faqat

\[ \min E_{\mathrm{initial}} \]

bo‘lishi o‘rniga, asosiy-holatga yaqinlashish tezligini ham hisobga oladigan tanlash strategiyasi samaraliroq bo‘lishi mumkin.

Bu natija ishora muammosining matematik manbasini yo‘q qilmaydi. Tadqiqot taklif qiladigan ehtimol ancha cheklangan, biroq amaliydir: mos boshlang‘ich holat yordamida kerakli proyeksiya muddati qisqartirilsa, ishora muammosining hisoblashga ta’siriga duchor bo‘linadigan xayoliy-vaqt oralig‘i ham qisqartirilishi mumkin.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• Tekshirilgan ko‘plab o‘zaro ta’sirli fermion modellarida xayoliy-vaqt Mpemba effekti kuzatilmoqda.
• Yuqoriroq boshlang‘ich energiyali holat ayrim sharoitlarda asosiy holatga tezroq yaqinlashishi mumkin.
• Energiya egri chiziqlarining xayoliy vaqtda kesishishi ITME ning ochiq raqamli ko‘rsatkichidir.
• Yaqqol ITME tekshirilgan misollarda past energiyali uyg‘onishlar mavjud bo‘lgan rejimlar bilan kuchli bog‘liq.
• Kvant kritik nuqtalari va Goldstone modlari bunday past energiyali kanallarni ta’minlashi mumkin.
• ITME ning ko‘rinishi boshlang‘ich holatning Hamiltonian xosholatlari bilan ustma-ust tushishiga bog‘liq.
• Eng past energiyali o‘rtacha-maydon boshlang‘ich holati har doim eng tez yaqinlashadigan boshlang‘ich holat emas.
• Tekshirilgan misollarda eng tez yaqinlashadigan boshlang‘ich holatning tuzilma faktorları haqiqiy asosiy-holat natijalariga e’tiborli darajada yaqindir.
• Boshlang‘ich holatni yaqinlashish tezligiga ko‘ra optimallashtirish QMC hisoblarini tezlashtirish uchun potensial strategiyadir.

Tadqiqot isbotlamagan natijalar

• Xayoliy vaqt haqiqiy fizik vaqt emas; ITME haqiqiy vaqtda issiq kvant tizimi tezroq sovishini anglatmaydi.
• Tadqiqot umumiy va yopiq-formali ITME nazariyasini ishlab chiqmaydi.
• Past energiyali uyg‘onishlarning mavjudligi ITME albatta yuzaga kelishini kafolatlamaydi.
• ITME barcha kvant ko‘p-jismli tizimlarda universal ekani ko‘rsatilmagan.
• QMC ishora muammosi yechilgani yoki olib tashlangani ko‘rsatilmagan.
• Eng tez yaqinlashadigan boshlang‘ich holat barcha modellarda asosiy-holat kuzatiluvchilarini eng yaxshi taxmin qilishi isbotlanmagan.
• Tadqiqot haqiqiy kvant protsessorda ITME tajribasini amalga oshirmaydi.
• Bosonik tizimlar uchun berilgan XXZ natijasi keng qamrovli universallik testi emas, qo‘shimcha materialdagi dastlabki raqamli topilmadir.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha:Imaginary-time Mpemba effect in quantum many-body systems

Mualliflar: Wei-Xuan Chang, Shuai Yin, Shi-Xin Zhang va Zi-Xiang Li.

Yuklangan ilmiy manba: arXiv:2409.06547v1 [cond-mat.str-el], sentabr 2024.

Manba qamrovi: Asosiy maqola va Supplementary Materials birgalikda baholangan. Qo‘shimcha materialda Projective Quantum Monte Carlo algoritmining tafsilotlari, spinful honeycomb Hubbard modeli, o‘zaro ta’sirsiz Dirac tizimlari, maxsus boshlang‘ich holatlar, qo‘shimcha tuzilma-faktori testlari va bir o‘lchamli XXZ spin modeliga oid dastlabki natijalar mavjud.

Hozirgi hakamli nashr: Xuddi shu tadqiqot keyinchalik Physical Review Letters, Jild 136, Maqola 100403 sifatida 11 mart 2026 sanasida chop etilgan.

DOI: 10.1103/dvrt-n2hq.

Yuborish / reviziya / qabul: 23 sentabr 2024 / 1 yanvar 2026 / 12 fevral 2026.

Ilmiy mazmun chegarasi: Ushbu Verianla maqolasidagi usul, formulalar, model parametrlari va natijalar yuklangan 2024 v1 versiyasidan olingan. 2026 hakamli versiyasining keyingi ilmiy o‘zgarishlari bu matnga ko‘chirilmagan.

Moliyalashtirish: Manbada Wei-Xuan Chang va Zi-Xiang Li uchun NSFC 12347107; Shuai Yin uchun NSFC 12075324 va 12222515 hamda Guangdong Province 2021QN02X561; Shi-Xin Zhang uchun Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences boshlang‘ich ko‘magi bildirilgan.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Yuklangan v1 matnida alohida manfaatlar to‘qnashuvi bayonoti mavjud emas.

CRediT: Yuklangan v1 matnida alohida CRediT muallif-hissa jadvali mavjud emas.

Shakldan foydalanish: Hakamli APS sahifasida ©2026 American Physical Society va qayta foydalanish ruxsati havolasi mavjud. Shu sababli manba shakllari bevosita ko‘chirilmasligi kerak; grafiklar faqat manba ma’lumotlari mavjud bo‘lsa qayta ishlab chiqarilishi, konseptual mexanizmlar esa özgün Verianla chizmalari bilan tushuntirilishi kerak.

Verianla Live: Ushbu tadqiqot Live Figure uchun mos. Eng mazmunli jonli vizuallashtirish ikki boshlang‘ich holatning \(E_\tau\) egri chiziqlarini xayoliy vaqtda oldinga siljitib, kesishish nuqtasida ITME ni ko‘rsatishdir. Biroq miqdoriy Live grafik faqat manba ma’lumotlari ishonchli tarzda chiqarilgan yoki mualliflar ma’lumotlar to‘plami topilgan holdagina ishlatilishi kerak; PDF grafigidan ko‘z chamasi nuqta ishlab chiqarish mos emas.