Gündəlik intuisiya, iki sistem eyni tarazlıq vəziyyətinə doğru irəliləyirsə, başlanğıcda tarazlığa daha yaxın olan sistemin hədəfə əvvəl çatacağını gözləyir. Mpemba effekti bu intuisiya ilə ziddiyyət təşkil edən halları təsvir edir: klassik nümunədə daha isti bir sistem müəyyən şərtlərdə daha soyuq sistemdən əvvəl dona bilər. Wei-Xuan Chang və əməkdaşları bu fikrin fərqli bir kvant qarşılığını, real zaman əvəzinə xəyali-zaman təkamülü daxilində araşdırırlar.

Tədqiqatçıların “xəyali-zaman Mpemba effekti” və ya qısaca ITME adlandırdığı halda, başlanğıc enerjisi daha yüksək olan müəyyən bir kvant çox-cisim vəziyyəti, başlanğıcda daha aşağı enerjiyə malik başqa bir vəziyyətdən daha sürətli şəkildə əsas vəziyyətə yaxınlaşa bilir. Nümerik Quantum Monte Carlo hesablamalarında bu davranış iki başlanğıc vəziyyətinə aid enerji əyrilərinin xəyali zaman irəlilədikcə kəsişməsi ilə birbaşa görünür.

Buradakı “xəyali zaman” real laboratoriya saatını ifadə etmir. \(\tau\), kvant vəziyyətinin \(e^{-\tau H}\) operatoru ilə yüksək enerjili komponentlərdən təmizlənərək əsas vəziyyətə doğru proyeksiya edildiyi riyazi və nümerik təkamül parametridir. Buna görə tədqiqat “yüksək enerjili fiziki sistem real zamanda daha sürətli soyuyur” nəticəsini deyil; əsas-vəziyyət hesablamalarında istifadə olunan xəyali-zaman proyeksiyasının başlanğıc vəziyyətindən asılı yaxınlaşma sürətində qeyri-adi davranışı bildirir.

Tədqiqatın ən mühüm praktik nəticəsi də burada ortaya çıxır: Quantum Monte Carlo kimi əsas-vəziyyət metodlarında ən aşağı başlanğıc enerjisinə malik sınaq dalğa funksiyasını seçmək hər zaman ən sürətli yaxınlaşmanı təmin etməyə bilər. Bəzi hallarda bir qədər daha yüksək enerjili, lakin aşağı enerjili həyəcanlanmış özvəziyyətlərlə daha az örtüşən başlanğıc vəziyyəti əsas vəziyyətə daha qısa xəyali zamanda çata bilər.

Xəyali-zaman təkamülü nədir?

Bir kvant çox-cisim sistemində normal Schrödinger təkamülü real zaman \(t\) üçün unitardır. Xəyali-zaman yanaşmasında isə təkamül parametri \(\tau\) istifadə olunur və normallaşdırılmış vəziyyət üçün mənbədə

\[ -\frac{\partial}{\partial\tau}|\psi(\tau)\rangle = \left(\hat H-E_\tau\right)|\psi(\tau)\rangle \]

tənliyi verilir. Burada

\[ E_\tau= \langle\psi(\tau)|\hat H|\psi(\tau)\rangle \]

xəyali-zamandakı enerji gözlənti dəyəridir.

Bir başlanğıc vəziyyəti \(|\psi_I\rangle\) üçün hər hansı \(\hat O\) müşahidə olunanının gözlənti dəyəri

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H}\hat Oe^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I|e^{-2\tau\hat H}|\psi_I\rangle } \]

şəklində hesablanır.

Başlanğıc vəziyyəti Hamiltonyenin özvəziyyətləri cinsindən

\[ |\psi_I\rangle=\sum_n a_n|n\rangle \]

şəklində açılarsa enerji

\[ E_\tau= \frac{ \sum_n E_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} }{ \sum_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} } \]

halını alır. \(E_n>E_0\) olan həyəcanlanmış komponentlər \(\tau\) artdıqca əsas vəziyyətə görə daha sürətli bastırıldığı üçün kifayət qədər uzun xəyali zamanda, başlanğıc vəziyyətinin əsas vəziyyətlə örtüşməsi sıfır deyilsə, sistem \(E_0\)-a yaxınlaşır.

Xəyali-Zaman Mpemba Effekti Nədir?

Xəyali-zaman Mpemba effekti, eyni Hamiltonyen altında təkamül edən iki başlanğıc vəziyyətindən başlanğıc enerjisi daha yüksək olanın enerji baxımından əsas vəziyyətə daha sürətli yaxınlaşması və müəyyən bir \(\tau\) dəyərindən sonra başlanğıcda daha aşağı enerjili olan vəziyyəti keçməsidir; tədqiqatda bu davranış enerji əyrilərinin kəsişməsi ilə müəyyənləşdirilir.

Niyə başlanğıc enerjisi təkbaşına kifayət deyil?

Bir başlanğıc vəziyyətinin əsas vəziyyətə nə qədər sürətli yaxınlaşacağını yalnız başlanğıc enerjisi müəyyənləşdirmir. Əsas olan başlanğıc dalğa funksiyasının Hamiltonyenin müxtəlif enerji özvəziyyətləri ilə etdiyi örtüşmələrdir.

Mənbənin təklif etdiyi mexanizmdə iki başlanğıc vəziyyətindən biri aşağı enerjili həyəcanlanmış vəziyyətlərlə güclü örtüşməyə malik ola bilər. Bu komponentlərin enerji fərqi kiçik olduğu üçün

\[ e^{-2(E_n-E_0)\tau} \]

bastırılması nisbətən yavaşdır. Başlanğıc enerjisi daha yüksək olan digər vəziyyət isə əsas vəziyyətlə və daha yüksək enerjili həyəcanlanmalarla güclü örtüşərkən ən aşağı həyəcanlanmış səviyyələrlə daha zəif örtüşə bilər. Yüksək enerjili komponentlər xəyali zamanda daha sürətli söndürüldüyü üçün bu vəziyyət başlanğıcda daha yüksək enerjiyə malik olmasına baxmayaraq əsas vəziyyətə daha sürətli yaxınlaşa bilər.

Başqa sözlə, ITME-nin açarı yalnız “nə qədər yüksək enerjidə başladığı” deyil, bu enerjinin Hamiltonyenin özvəziyyətləri arasında necə paylandığıdır.

Aşağı Enerjili Həyəcanlanmalar ITME Üçün Niyə Vacibdir?

Tədqiqatın nümerik nəticələri, aydın ITME-nin xüsusilə aşağı enerjili həyəcanlanmaların mövcud olduğu rejimlərdə ortaya çıxdığını göstərir; kvant kritik nöqtələrindəki boşluqsuz kritik modlar və davamlı simmetriya qırılmasından yaranan Goldstone modları bu cür yavaş sönən komponentləri təmin edə bilir, lakin aşağı enerjili həyəcanlanmaların varlığı təkbaşına ITME-ni təmin etmir.

π-flux kvadrat qəfəs Hubbard modeli

Tədqiqatçıların ilk əsas nümunəsi hər plaquette üzərində \(\pi\) axını olan kvadrat qəfəs Hubbard modelidir:

\[ H= -\sum_{\langle ij\rangle\sigma} t_{ij}c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma} +\mathrm{h.c.} + U\sum_i \left( \sum_\sigma n_{i\sigma}-1 \right)^2 . \]

Qarşılıqlı təsirsiz sərhəddə bu model Dirac nöqtələrinə malikdir. İtələyici Hubbard qarşılıqlı təsiri artdıqca Dirac yarımmetalından Néel antiferromaqnit izolyator fazasına keçid baş verir və mənbə kritik qarşılıqlı təsiri təxminən

\[ U_c\simeq5.5 \]

kimi istifadə edir.

Başlanğıc dalğa funksiyaları antiferromaqnit orta-sahə parametri \(M_N\) dəyişdirilərək hazırlanır. \(L=20\) sistemində \(U=4.0\), \(5.5\) və \(7.0\) üçün aparılan QMC hesablamalarının hamısında aydın enerji-əyrisi kəsişmələri görünür.

Xüsusilə \(U=4.0\) nümunəsində \(M_N=0.9\) başlanğıc vəziyyətləri arasında ən aşağı başlanğıc enerjisinə malik olduğu halda, daha yüksək başlanğıc enerjili \(M_N=0\) vəziyyəti çox daha sürətli boşalır və daha qısa xəyali zamanda əsas-vəziyyət enerjisinə yaxınlaşır. Bu, tədqiqatın ITME-ni ən açıq şəkildə göstərdiyi nümunələrdən biridir.

Bal pətəyi qəfəsində spinless t-V modeli

İkinci əsas model spin daşımayan fermionlar üçün

\[ H= -t\sum_{\langle ij\rangle}c_i^\dagger c_j + V\sum_{\langle ij\rangle} \left(n_i-\frac12\right) \left(n_j-\frac12\right) \]

Hamiltonyenidir. Güclü sıxlıq qarşılıqlı təsiri Dirac yarımmetalı ilə yük-sıxlıq-dalğası (CDW) fazası arasında təxminən

\[ V_c\simeq1.35 \]

nöqtəsində kvant faza keçidi yaradır.

Mənbə \(2\times L\times L\), \(L=12\) qəfəslərdə \(V=1.1\), \(1.35\) və \(1.6\) üçün müxtəlif CDW orta-sahə başlanğıc vəziyyətlərini araşdırır. Kritik nöqtəyə yaxın bu üç rejimdə də enerji əyrilərinin kəsişməsi ITME-nin ortaya çıxdığını göstərir.

Fermi səthi nesting olan Hubbard modeli

Müəlliflər effektin yalnız Dirac fermionları ilə məhdud olmadığını yoxlamaq üçün maqnit axını olmayan kvadrat-qəfəs Hubbard modelini də araşdırırlar. Yarı dolumda bu model mükəmməl \((\pi,\pi)\) Fermi-səthi nesting xüsusiyyətinə malikdir və antiferromaqnit qeyri-sabitlik \(U>0\) üçün ortaya çıxır.

\(U=2.0\) və \(U=4.0\) hesablamalarında yenə enerji əyrilərinin kəsişdiyi görünür. Beləliklə ITME yalnız Dirac kritik sistemlərdə ortaya çıxan xüsusi bir xüsusiyyət olaraq qalmır.

Kritik nöqtə ilə dərin nizamlı faza arasındakı fərq

Müəlliflərin mexanizm şərhini sınamaq üçün apardığı müqayisə xüsusilə vacibdir.

Spinless t-V modelinin \(V=4.0\) dəyərindəki dərin CDW fazasında həyəcanlanmalar tamamilə boşluqludur və mənbə aydın bir ITME görmür. Buna qarşılıq π-flux Hubbard modelinin \(U=10.0\) dəyərindəki dərin antiferromaqnit fazasında ITME davam edir.

Bu fərq antiferromaqnit fazadakı davamlı simmetriya qırılmasının yaratdığı boşluqsuz Goldstone modları ilə əlaqələndirilir. Beləliklə vacib dəyişənin yalnız kvant kritik nöqtəsində olmaq olmadığı; sistemdə aşağı enerjili həyəcanlanma kanallarının mövcudluğunun da oxşar şərtlər yarada bildiyi görünür.

Lakin mənbə bu nöqtədə vacib bir sərhəd qoyur: aşağı enerjili həyəcanlanmalar aydın ITME-nin ortaya çıxması üçün mümkün bir ilkin şərtdir; kifayət şərt deyil. Effektin görünüb-görünməməsi eyni zamanda seçilən başlanğıc vəziyyətlərinin özvəziyyətlərlə örtüşmə quruluşundan asılıdır.

Qarşılıqlı təsirsiz sistemlər nə deyir?

Supplementary Materials bu şərhi daha ətraflı sınayır. Qarşılıqlı təsirsiz \(\pi\)-flux Dirac sistemində, müxtəlif AFM orta-sahə sahələri ilə hazırlanan standart başlanğıc vəziyyətləri istifadə edildikdə ITME görünmür. Bu halda başlanğıc enerjisi aşağı olan vəziyyət əsas vəziyyətə daha sürətli yaxınlaşır.

Bununla birlikdə müəlliflər özvəziyyət tərkibi nəzarətli şəkildə seçilmiş süni başlanğıc vəziyyətləri yaratdıqlarında, qarşılıqlı təsirsiz sistemdə belə ITME istehsal edə bildiklərini göstərirlər. Bu nəticə ITME-nin yalnız “qarşılıqlı təsir var/yox” ikiliyi ilə izah oluna bilməyəcəyini; müəyyənedici kəmiyyətin başlanğıc vəziyyətinin enerji özbazisindəki paylanması olduğunu dəstəkləyir.

Ən sürətli başlanğıc vəziyyəti əsas vəziyyəti daha yaxşı təmsil edə bilərmi?

Tədqiqatda diqqətçəkən başqa bir müşahidə də orta-sahə dalğa funksiyalarının fiziki nizam parametrləri ilə bağlıdır.

Ənənəvi orta-sahə yanaşmasında “ən yaxşı” başlanğıc vəziyyəti adətən enerjini minimuma endirən parametrlə seçilir. ITME tapıldıqda isə enerji minimumunu verən başlanğıc vəziyyəti ilə xəyali zamanda ən sürətli yaxınlaşan başlanğıc vəziyyəti eyni deyil.

Müəlliflər π-flux Hubbard modelində antiferromaqnit struktur faktorunu \(S_{\mathrm{AFM}}\), spinless t-V modelində isə CDW struktur faktorunu \(S_{\mathrm{CDW}}\) hesablayırlar. Araşdırılan nümunələrdə ən sürətli yaxınlaşan orta-sahə vəziyyətinin struktur faktoru, real əsas-vəziyyət nəticəsinə ən aşağı enerjili orta-sahə vəziyyətindən çox daha yaxın görünür.

Əlavə materialda fərqli sistem ölçüləri və qarşılıqlı təsir dəyərləri ilə aparılan əlavə testlər də eyni meyli göstərir. Lakin müəlliflər bu erkən-zaman yaxınlaşma xüsusiyyəti ilə əsas-vəziyyət müşahidə olunanları arasındakı əlaqənin altında duran ümumi nəzəriyyənin hələ bilinmədiyini xüsusilə qeyd edirlər.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Projective Quantum Monte Carlo metodu

Tədqiqatın əsas nümerik metodu, əsas-vəziyyət xüsusiyyətlərini xəyali-zaman proyeksiyası ilə hesablayan projective determinant Quantum Monte Carlo yanaşmasıdır.

Müşahidə olunanın gözlənti dəyəri Supplementary Materials-da

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H} \hat O e^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I| e^{-2\tau\hat H} |\psi_I\rangle } \]

kimi verilir.

Xəyali zaman \(N_\tau\) hissəyə bölünür:

\[ \Delta\tau=\frac{\tau}{N_\tau}. \]

Qarşılıqlı təsir terminləri Hubbard–Stratonovich çevrilməsindən istifadə edilərək köməkçi klassik sahələrə ayrılır. Beləliklə fermionik problem verilmiş köməkçi-sahə konfiqurasiyası altında bilinear fermion operatorları cinsindən hesablana bilər və köməkçi sahələr standart Metropolis əhəmiyyət nümunələməsi ilə nümunələnə bilər.

Spinful Hubbard modeli üçün mənbə dörd dəyərli ayrıq Hubbard–Stratonovich çevrilməsindən istifadə edir. Spinless t-V modelində seçilən sıxlıq-kanalı ayrılmasının isə işarə problemi daşıdığı, lakin tədqiqatın fokuslandığı qısa xəyali-zaman rejimində bu problemin nəzərə alınmaya edilə biləcək səviyyədə olduğu bildirilir.

Enerji Əyrilərinin Kəsişməsi Niyə ITME-nin Birbaşa Göstəricisidir?

İki vəziyyət eyni əsas-vəziyyət enerjisinə yaxınlaşarkən başlanğıcda daha yüksək enerjili olan əyri daha sürətli düşüb digər əyrinin altına keçirsə, başlanğıcdakı enerji sıralaması tərsinə dönmüş olur; tədqiqatda bu kəsişmə xəyali-zaman Mpemba effektinin əməli göstəricisi kimi istifadə edilir.

Əsas kəmiyyət nəticələri

Birölçülü spin modelində ilkin nəticələr

Əsas tədqiqat fermionik sistemlərə fokuslansa da, əlavə materialda birölçülü XXZ spin modeli də exact diagonalization metodu ilə araşdırılır:

\[ \hat H= J_x\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^x\sigma_j^x+ J_y\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^y\sigma_j^y+ J_z\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^z\sigma_j^z . \]

Müəlliflər \(J_x=J_y=1\) və \(L=16\) üçün müxtəlif \(J_z\) dəyərlərində antiferromaqnit orta-sahə başlanğıc vəziyyətlərini təkamül etdirirlər. \(J_z=1\) kvant kritik nöqtəsinin ətrafında enerji əyrilərindəki kəsişmələr aydın ITME davranışı göstərir.

Bu nəticə fenomenin yalnız fermionik modellərə xas olmaya biləcəyinə dair ilkin dəstəklərdən biridir. Lakin tədqiqat bunu ilkin araşdırma kimi təqdim edir; bütün bosonik sistemlərə universal ümumiləşdirmə aparılmır.

QMC hesablamaları üçün mümkün praktik nəticə

Xəyali-zaman proyeksiyasında tələb olunan maksimum \(\tau\), hesablama xərclərinin müəyyənləşdirilməsində kritik önəmlidir. Xüsusilə fermion işarə problemi olan QMC hesablamalarında xərclərin xəyali zamanla çox sürətli, mənbədə istinad edilən ədəbiyyata görə eksponensial şəkildə arta bilməsi səbəbilə daha sürətli yaxınlaşan başlanğıc vəziyyətlərinin tapılması böyük önəm daşıyır.

Ənənəvi yanaşmada orta-sahə dalğa funksiyasının parametrləri çox vaxt başlanğıc enerjisini minimuma endirəcək şəkildə seçilir. ITME isə bu xəbərdarlığı gətirir:

Ən aşağı başlanğıc enerjisi ən qısa xəyali-zaman proyeksiyasını təmin etmir.

Buna görə optimallaşdırma hədəfinin yalnız

\[ \min E_{\mathrm{initial}} \]

olması əvəzinə, əsas-vəziyyətə yaxınlaşma sürətini də nəzərə alan seçim strategiyası daha səmərəli ola bilər.

Bu nəticə işarə probleminin riyazi mənbəyini aradan qaldırmır. Tədqiqatın təklif etdiyi ehtimal daha məhdud, lakin praktikdir: uyğun başlanğıc vəziyyəti sayəsində tələb olunan proyeksiya müddəti azaldıla bilsə, işarə probleminin hesablama üzərində təsirinə məruz qalınan xəyali-zaman aralığı da azaldıla bilər.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Araşdırılan bir çox qarşılıqlı təsirli fermion modelində xəyali-zaman Mpemba effekti müşahidə olunur.
• Daha yüksək başlanğıc enerjili bir vəziyyət bəzi şərtlərdə əsas vəziyyətə daha sürətli yaxınlaşa bilər.
• Enerji əyrilərinin xəyali zamanda kəsişməsi ITME-nin açıq nümerik göstəricisidir.
• Aydın ITME, araşdırılan nümunələrdə aşağı enerjili həyəcanlanmaların olduğu rejimlərlə güclü şəkildə əlaqəlidir.
• Kvant kritik nöqtələri və Goldstone modları bu cür aşağı enerjili kanalları təmin edə bilər.
• ITME-nin müşahidə olunması başlanğıc vəziyyətinin Hamiltonyen özvəziyyətləri ilə örtüşməsindən asılıdır.
• Ən aşağı enerjili orta-sahə başlanğıc vəziyyəti hər zaman ən sürətli yaxınlaşan başlanğıc vəziyyəti deyil.
• Araşdırılan nümunələrdə ən sürətli yaxınlaşan başlanğıc vəziyyətinin struktur faktorları real əsas-vəziyyət nəticələrinə diqqətçəkici şəkildə yaxındır.
• Başlanğıc vəziyyətinin yaxınlaşma sürətinə görə optimallaşdırılması QMC hesablamalarını sürətləndirmək üçün potensial strategiyadır.

Tədqiqatın sübut etmədiyi nəticələr

• Xəyali zaman real fiziki zaman deyil; ITME real zamanda isti kvant sisteminin daha sürətli soyuduğu mənasına gəlmir.
• Tədqiqat ümumi və qapalı-formalı ITME nəzəriyyəsi inkişaf etdirmir.
• Aşağı enerjili həyəcanlanmaların varlığı ITME-nin mütləq yaranacağını təmin etmir.
• ITME-nin bütün kvant çox-cisim sistemlərində universal olduğu göstərilməmişdir.
• QMC işarə probleminin həll edildiyi və ya aradan qaldırıldığı göstərilməmişdir.
• Ən sürətli yaxınlaşan başlanğıc vəziyyətinin bütün modellərdə əsas-vəziyyət müşahidə olunanlarını ən yaxşı proqnozlaşdıracağı sübut edilməmişdir.
• Tədqiqat real kvant prosessorunda ITME təcrübəsi həyata keçirmir.
• Bosonik sistemlər üçün verilən XXZ nəticəsi geniş universalıq testi deyil, əlavə materialdakı ilkin nümerik nəticədir.

Mənbə və Metod Qeydi

Özgün başlıq:Imaginary-time Mpemba effect in quantum many-body systems

Müəlliflər: Wei-Xuan Chang, Shuai Yin, Shi-Xin Zhang və Zi-Xiang Li.

Yüklənmiş elmi mənbə: arXiv:2409.06547v1 [cond-mat.str-el], sentyabr 2024.

Mənbə əhatəsi: Əsas məqalə və Supplementary Materials birlikdə qiymətləndirilmişdir. Əlavə materialda Projective Quantum Monte Carlo alqoritminin detalları, spinful honeycomb Hubbard modeli, qarşılıqlı təsirsiz Dirac sistemləri, xüsusi başlanğıc vəziyyətləri, əlavə struktur-faktoru testləri və birölçülü XXZ spin modelinə aid ilkin nəticələr vardır.

Güncəl rəyli nəşr: Eyni tədqiqat daha sonra Physical Review Letters, Cild 136, Məqalə 100403 kimi 11 mart 2026 tarixində yayımlanmışdır.

DOI: 10.1103/dvrt-n2hq.

Göndərim / reviziya / qəbul: 23 sentyabr 2024 / 1 yanvar 2026 / 12 fevral 2026.

Elmi məzmun sərhədi: Bu Verianla məqaləsindəki metod, formullar, model parametrləri və nəticələr yüklənmiş 2024 v1 sürümündən alınmışdır. 2026 rəyli sürümün daha sonrakı elmi dəyişiklikləri bu mətnə ötürüllmamışdır.

Maliyyələşmə: Mənbədə Wei-Xuan Chang və Zi-Xiang Li üçün NSFC 12347107; Shuai Yin üçün NSFC 12075324 və 12222515 ilə Guangdong Province 2021QN02X561; Shi-Xin Zhang üçün Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences başlanğıc dəstəyi bildirilir.

Maraqlar toqquşması: Yüklənmiş v1 mətnində ayrıca maraqlar toqquşması bəyanı mövcud deyil.

CRediT: Yüklənmiş v1 mətnində ayrıca CRediT müəllif-töhfə cədvəli yoxdur.

Şəkil istifadəsi: Rəyli APS səhifəsində ©2026 American Physical Society və yenidən istifadə icazəsi bağlantısı vardır. Buna görə mənbə fiqurları birbaşa kopyalanmamalı; qrafiklər yalnız mənbə məlumatı mövcuddursa yenidən istehsal edilməli, konseptual mexanizmlər isə özgün Verianla çizgiləri ilə izah edilməlidir.

Verianla Live: Bu tədqiqat Live Figure üçün uyğundur. Ən mənalı canlı vizuallaşdırma iki başlanğıc vəziyyətinin \(E_\tau\) əyrilərini xəyali zamanda irəlilədib kəsişmə nöqtəsində ITME-ni göstərməkdir. Lakin kəmiyyət əsaslı Live qrafik yalnız mənbə məlumatlarının etibarlı şəkildə çıxarılması və ya müəllif verilənlər dəstinin tapılması halda istifadə olunmalıdır; PDF qrafikindən təxmini nöqtə istehsal etmək uyğun deyil.