STORX: MATLAB’da Şekil ve Topoloji Optimizasyonunu Birleştiren Açık Kaynaklı Nesne Yönelimli Çerçeve

Q: Çalışma neyi destekliyor, neyi desteklemiyor?

Desteklediği: Aynı nesne yönelimli MATLAB framework’ü içinde parametrik şekil, level-set şekil, yoğunluk tabanlı TO, level-set TO, ESO/BESO/PareTO, üretim kısıtları ve çeşitli fizik uzantılarının çalıştırılabildiğini; örnek problemlerin sayısal ve görsel olarak üretilebildiğini; yeni fonksiyonellerin ve kısıtların sınıf türetimiyle eklenebildiğini göstermektedir.

STORX: MATLAB’da Şekil ve Topoloji Optimizasyonunu Birleştiren Açık Kaynaklı Nesne Yönelimli Çerçeve

STORX, açılımıyla Shape and Topology Optimization for Research and Experimentation, parametrik şekil optimizasyonu, seviye-kümesi tabanlı şekil optimizasyonu ve birden fazla topoloji optimizasyonu ailesini aynı MATLAB tabanlı nesne yönelimli yazılım mimarisi altında birleştirmeyi amaçlayan açık kaynaklı bir hesaplamalı tasarım çerçevesidir. Çalışmanın temel katkısı yalnızca yeni bir optimizasyon algoritması sunmak değildir; asıl katkı geometri tanımı, sonlu eleman analizi, durum denklemi çözümü, amaç/kısıt fonksiyonelleri, duyarlılık analizi, tasarım güncellemesi ve üretilebilirlik kısıtlarını birbirinden ayrılmış ancak ortak arabirimlerle bağlanmış sınıflar halinde düzenleyen bir yazılım mimarisidir. Bu yapı parametrik şekil optimizasyonu, Hamilton–Jacobi tabanlı seviye-kümesi yöntemleri, SIMP ve RAMP yoğunluk interpolasyonu, ESO, BESO ve Pareto-izleme gibi topolojik duyarlılık yöntemleri arasında aynı fiziksel ve sayısal altyapı üzerinde karşılaştırma yapılmasına imkân verir.

Çalışma iki boyutlu doğrusal elastisite problemlerini ana doğrulama alanı olarak kullanmakla birlikte çerçevenin kapsamını bununla sınırlamaz. Çoklu yük senaryoları, öz-ağırlık, kararlı ısı iletimi, gerilme minimizasyonu, yerel hacim oranı kısıtı ve Brinkman cezalandırması kullanan kararlı, laminer ve sıkıştırılamaz akış topoloji optimizasyonu da aynı nesne yönelimli yaklaşımın uzantıları olarak gösterilir. Yazarların hedefi, tek bir formülasyonu öğreten kısa MATLAB betiklerinin şeffaflığını korurken farklı optimizasyon yöntemleri arasında ortak olan “geometri → ayrıklaştırma → durum çözümü → duyarlılık → kısıt/filtre → tasarım güncellemesi” zincirini görünür hale getirmektir.

Sonuçlar STORX’un en hızlı özel amaçlı MATLAB topoloji optimizasyonu kodu olduğunu göstermemektedir. Tam tersine yazarlar, nesne yönelimli ve genel amaçlı yapının bir hesaplama maliyeti doğurduğunu açıkça rapor eder. Cantilever karşılaştırmasında STORX, top88’e göre orta çözünürlüklerde iterasyon başına yaklaşık %65–68 daha uzun çalışırken bu fark 320×160 çözünürlükte yaklaşık %60’a iner. Buna rağmen yaklaşık 50.000 elemanlı problemde görselleştirme hariç bir iterasyon yaklaşık 0,4 saniyede tamamlanmaktadır. Çalışmanın iddiası hız üstünlüğü değil; yöntemlerin, fiziklerin, amaçların, kısıtların ve üretilebilirlik operatörlerinin ortak ve genişletilebilir bir MATLAB altyapısında çalıştırılabilmesidir.

Araştırmanın temel problemi nedir?

Şekil optimizasyonu ve topoloji optimizasyonu aynı genel hesaplamalı tasarım döngüsünün farklı tasarım gösterimlerini kullanır. Şekil optimizasyonunda tasarım değişkeni bir deliğin yarıçapı, çentiğin konumu, pah derinliği veya hareket eden sınır gibi geometrik nicelikler olabilir. Topoloji optimizasyonunda ise element yoğunlukları, seviye-kümesi alanı veya topolojik duyarlılık gibi değişkenler malzemenin nerede bulunacağını ve tasarımın bağlantı yapısının değişip değişmeyeceğini belirler.

Literatürdeki eğitim kodlarının önemli bölümü tek bir yaklaşımı olabildiğince kısa ve okunabilir biçimde öğretmek üzere tasarlanmıştır. top99, top88, top3d, PolyTop, TOPRBF, MMC188 ve benzeri örnekler belirli yöntemleri anlaşılır hale getirmede son derece etkilidir. Ancak “her yöntem için ayrı betik” yaklaşımı; FEA, amaç fonksiyonu, kısıtlar, üretim filtresi, geometri, çözümleyici ve duyarlılık hesabının hangi bölümlerinin ortak, hangilerinin yönteme özgü olduğunu gizleyebilir. STORX bu ortak yapıyı yazılım mimarisinin merkezine yerleştirir.

STORX’un nesne yönelimli mimarisi

Çalışmanın 5. sayfasındaki sınıf diyagramı çerçevenin dört ana bileşenini gösterir:

Solver: Geometri, sınır koşulları, ağ üretimi ve sonlu eleman çözümünü yönetir. brep2d, gridMesher, fea2d ve simulation2d gibi sınıflar bu katmana bağlıdır.
Optimizer: Tasarım değişkenini günceller. Şekil optimizasyonunda parameterOpt2d ve seviye-kümesi sınıfları; topoloji optimizasyonunda density2d, levelset2d, evolutionary2d ve pareto2d gibi sınıflar bulunur.
Fiziksel amaçlar ve kısıtlar: Hacim, compliance, gerilme, kaldırma, sürükleme gibi nicelikler functional soyut temel sınıfından türetilir.
Tasarım ve üretim kısıtları: Minimum özellik boyutu, tutulacak bölgeler, fiziksel yoğunluk projeksiyonu ve simetri gibi işlemler mfgConstraints temel sınıfından türetilir.

Bu “niyetlerin ayrılması” yaklaşımı, örneğin yeni bir amaç fonksiyonunun mevcut optimizasyon döngüsüne eklenmesini, çekirdek optimizasyon kodunu yeniden yazmaya gerek bırakmadan mümkün kılar. Bir amaç/kısıt sınıfı için temel sözleşme evaluate ve gradient; üretim kısıtı için ise filterDesign ve filterSensitivity yöntemleridir.

Geometri: Boundary Representation

STORX genel iki boyutlu geometrileri B-Rep, yani sınır temsiliyle ele alır. B-Rep; köşe koordinatları ile bu köşeleri bağlayan doğru ve yay segmentlerinden oluşur. Geçerli bir 2B B-Rep için her gerçek köşenin iki başka köşeye bağlanması ve kenarların yalnızca köşelerde kesişmesi gerekir. Ek bölümde iç deliğe sahip dikdörtgen örneği üzerinden çizgi segmenti, yay segmenti ve “construction segment” kullanımı ayrıntılandırılır. Yay yönleri saat yönü ve saat yönünün tersi işaretleriyle saklanır; sınır boyunca ilerlerken malzemenin solda kalması beklenir.

Bu özellik önemlidir çünkü STORX yalnız dikdörtgen tasarım kutularıyla sınırlanmak istememektedir. Gripper örneği gibi karmaşık dış sınırlar ve delikler B-Rep ile tanımlanabilir; aynı sınır üzerinde yük, mesnet veya korunacak imalat bölgesi daha sonra farklı çözümleyici ve optimizasyon yöntemleriyle yeniden kullanılabilir.

Sonlu eleman analizi ve durum denklemi

STORX’un yapısal örneklerinde varsayılan fizik küçük şekil değiştirme ve küçük deplasman kabulüne dayalı doğrusal elastisitedir. İş akışı problem/geometri ve sınır koşullarının tanımlanmasıyla başlar; geometri sonlu elemanlara ayrılır; eleman rijitlik matrisleri oluşturulur; global rijitlik matrisi birleştirilir; cebirsel sistem çözülür; ardından deplasman, gerilme, compliance ve diğer ilgilenilen nicelikler hesaplanır.

\[ R_{\mathrm{el}}(d):=K_{\mathrm{el}}d-f_{\mathrm{el}}=0 \tag{1} \]

Burada \(d\) deplasman vektörü, \(K_{\mathrm{el}}\) global elastik rijitlik matrisi ve \(f_{\mathrm{el}}\) dış yük vektörüdür. Bu eşitlik şekil ve topoloji optimizasyonu boyunca durum denklemi kısıtı olarak korunur.

Gripper doğrulamasında yaklaşık 4.000 eleman, \(E=2\) GPa, \(\nu=0.35\) ve 10 N yatay yük kullanılır. Üçgensel ağ maksimum \(1.00\times10^{-6}\) m deplasman ve 6,87 MPa maksimum von Mises gerilmesi üretirken structured-grid çözümü \(1.05\times10^{-6}\) m ve 6,31 MPa verir. Yazarlar bu örnekte global deformasyon modu ve yük aktarım yolunun iki ağda da benzer olduğunu vurgular.

Parametrik şekil optimizasyonu

Parametrik yaklaşımda tasarım \(p=[a,b,c,r]^\top\) gibi düşük boyutlu bir vektörle tanımlanır. Cantilever-with-hole örneğinde \(a\) köşe pahı, \(b\) kenar çentiği, \(c\) deliğin yatay konumu ve \(r\) delik yarıçapıdır. Amaç compliance değerini küçültürken alanı üst sınırın altında tutmaktır:

\[ \begin{aligned} \underset{p=[a,b,c,r]^\top}{\operatorname{minimize}}\quad & C(d;p) \tag{2a}\\ \text{s.t.}\quad & K_{\mathrm{el}}(p)d-f_{\mathrm{el}}=0 \tag{2b}\\ & A-A_{\max}\le 0 \tag{2c}\\ & a_{\min}\le a\le a_{\max} \tag{2d}\\ & b_{\min}\le b\le b_{\max} \tag{2e}\\ & c_{\min}\le c\le c_{\max} \tag{2f}\\ & r_{\min}\le r\le r_{\max}. \tag{2g} \end{aligned} \]

Doğrudan finite-difference yaklaşımında \(n\) parametre için büyük iterasyon başına yaklaşık \(1+n\) tam FEA çözümü gerekir. Üçgensel ağlarda STORX yarı-analitik yaklaşım kullanarak pertürbe edilen geometri için tam yeniden analiz yerine rijitlik matrisi değişimini hesaplar ve ana rijitlik matrisinin faktorizasyonunu duyarlılık çözümleri arasında yeniden kullanır:

\[ C_i'=f^\top u_i' \tag{3} \]

\[ K^{(k)}u_i'=-K_i'u^{(k)} \tag{4} \]

\[ K_i'=\frac{K^{(k)}_{i,\mathrm{pert}}-K^{(k)}}{\Delta p_i}. \tag{5} \]

Başlangıç \(p_0=(0.20,0.15,1.20,0.10)\) iken yarı-analitik finite-difference çözümü 118 iterasyon ve 1.070 FEA çalıştırmasından sonra \(p_{\mathrm{FD}}=(0.363,0.224,1.500,0.076)\) değerine ulaşır. Alan 1,906 m²’den 1,7995 m²’ye iner. Compliance 3,91 N·m’den 3,95 N·m’ye hafif yükselir; çünkü başlangıç tasarımı alan kısıtı açısından fizibil değildir ve ilk iterasyonlar malzemeyi azaltmak zorundadır. Son maksimum deplasman yaklaşık 0,04 mm’dir.

GlobalSearch sonucu \(p_{\mathrm{GS}}=(0.310,0.226,1.248,0.141)\), \(A_{\mathrm{GS}}=1.79\) m² ve \(C_{\mathrm{GS}}=4.022\) N·m’dir; 305 FEA, 62 tasarım varyasyonu ve 39 fizibil çözüm rapor edilir. MultiStart 2.545 FEA sonunda \(p_{\mathrm{MS}}=(0.327,0.138,1.466,0.155)\), \(A_{\mathrm{MS}}=1.798\) m² ve \(C_{\mathrm{MS}}=4.001\) N·m verir. Random Search yalnız 22 FEA ile \(p_{\mathrm{RS}}=(0.359,0.150,1.337,0.150)\), \(A_{\mathrm{RS}}=1.779\) m² ve \(C_{\mathrm{RS}}=4.021\) N·m bulur. Çalışma Random Search’ü düşük boyutlu problemler için bir baseline veya warm-start yaklaşımı olarak konumlandırır; boyut arttığında “curse of dimensionality” nedeniyle verim hızla düşer.

Seviye-kümesi şekil optimizasyonu

Level-set Shape Optimization, serbest biçimli sınırların hareketine izin verirken başlangıç topolojisini korur; yani standart HJE ile yeni delik çekirdeklemek mümkün değildir. Geometri, işaretli bir seviye-kümesi fonksiyonu ile temsil edilir:

\[ \psi(x) \begin{cases} <0, & x\in\Omega\\ =0, & x\in\partial\Omega\\ >0, & x\notin\Omega\cup\partial\Omega. \end{cases} \tag{6} \]

Sıfır konturu fiziksel sınırı verir. Yapısal problem, FEA ile her iterasyonda durum denklemi sağlandıktan sonra hacim kısıtı altında şu şekilde yazılır:

\[ \begin{aligned} \underset{\psi}{\operatorname{minimize}}\quad & \phi(\psi)\\ \text{s.t.}\quad & |\Omega(\psi)|-V^*\le 0,\\ & R_{\mathrm{el}}(d):=K_{\mathrm{el}}d-f_{\mathrm{el}}=0. \end{aligned} \tag{7} \]

Seviye-kümesi alanının çok dik veya çok düz hale gelerek sayısal kararlılığı bozmasını önlemek için alan periyodik olarak signed-distance function’a yaklaştırılır:

\[ \frac{\partial\psi}{\partial t} +\operatorname{sign}(\psi_0)(|\nabla\psi|-1)=0 \tag{8} \]

\[ \operatorname{sign}(\psi)= \frac{\psi}{\sqrt{\psi^2+|\nabla\psi|^2\epsilon^2}}. \tag{9} \]

\(\epsilon\) tipik olarak bir sonlu elemanın karakteristik boyutu mertebesindedir. Şekil 17, yeniden başlatma yapılmadığında seviye-kümesi fonksiyonunun keskinleşmesini; SDF reinitialization sonrasında geçişin tekrar kontrollü hale gelmesini gösterir.

Yoğunluk tabanlı topoloji optimizasyonu

Yoğunluk yaklaşımında her sonlu eleman \(0<\rho_{\min}\le\rho_e\le1\) aralığında bir sözde-yoğunluğa sahiptir. Böylece ikili katı/boş problem sürekli tasarım uzayına gevşetilir:

\[ \begin{aligned} \underset{\rho}{\operatorname{minimize}}\quad & \phi(d;\rho) \tag{10a}\\ \text{s.t.}\quad & g:=\sum_e\rho_ev_e-V^*\le0 \tag{10b}\\ & R_{\mathrm{el}}(d;\rho):=K_{\mathrm{el}}(\rho)d-f_{\mathrm{el}}=0 \tag{10c}\\ & 0<\rho_{\min}\le\rho_e\le1,\quad \forall e. \tag{10d} \end{aligned} \]

\[ K=\sum_{\mathrm{assemble}} k_e(\rho_e) \tag{11} \]

Compliance için:

\[ \phi:=C=d^\top Kd =\sum_e\rho_e^p d_e^\top K_0d_e \tag{12} \]

\[ D_\rho C=-d^\top K'd. \tag{13} \]

SIMP interpolasyonu:

\[ E(\rho_e)=\rho_e^pE_0 \tag{14} \]

\[ \frac{\partial k_e}{\partial\rho_e} =p\rho_e^{p-1}k_0. \tag{15} \]

RAMP interpolasyonu:

\[ E(\rho_e)= \frac{\rho_e}{1+q(1-\rho_e)}E_0 \tag{16} \]

\[ \frac{\partial k_e}{\partial\rho_e} = \frac{1+q} {\left[1+q(1-\rho_e)\right]^2}k_0. \tag{17} \]

STORX, güncelleme için OC, MMA ve GCMMA seçeneklerini sağlar. SIMP için cezalandırma parametresi continuation yaklaşımıyla örneğin 2’den 3’e 0,05 artımlarla taşınabilir. Çalışmanın karşılaştırmalı grafiği SIMP/RAMP ile OC/MMA/GCMMA kombinasyonlarının nihai compliance ve hesaplama maliyetlerinin aynı olmadığını gösterir; burada hedef tek bir “kazanan” ilan etmek değil, aynı framework içinde kontrollü deney yapabilmektir.

Level-set topoloji optimizasyonu ve delik çekirdeklenmesi

Standart Hamilton–Jacobi level-set yaklaşımı yeni delik oluşturamadığından topoloji optimizasyonu için başlangıç tasarımına önceden delikler eklenebilir. Kaynakta kullanılan periyodik başlangıç alanı:

\[ \psi(x,y)=\mathbf{1}_D(x,y) \cos\left(\frac{n_x\pi x}{l_x}\right) \cos\left(\frac{n_y\pi y}{l_y}\right) \tag{18} \]

şeklindedir. Cantilever örneğinde 4×2 başlangıç deliği ve \(r_0=0.5\) kullanılır. Yükün veya fonksiyonel sınırların bulunduğu elemanların yanlışlıkla boşaltılmasını önlemek için retain_levelset gibi üretim kısıtları uygulanır.

Topolojik duyarlılık ve modified HJE

Topolojik duyarlılık, tasarımın içine \(p\) noktasında yarıçapı \(\epsilon\) olan sonsuz küçük bir deliğin açılmasının amaç fonksiyonunu ilk mertebede nasıl değiştireceğini ölçer:

\[ T(p)\equiv \lim_{\epsilon\rightarrow0^+} \frac{\phi(\Omega_\epsilon)-\phi(\Omega)} {\pi\epsilon^2}. \tag{19} \]

\[ \Omega_\tau= \left\{ p_\tau\in\mathbb{R}^2 \mid p_\tau=p+\tau n,\ p\in\Omega_\epsilon \right\}. \tag{20} \]

Compliance için kaynakta verilen kapalı biçim:

\[ T(p)= \frac{4}{1+\nu}\sigma:\epsilon - \frac{1-3\nu}{1-\nu^2} \operatorname{tr}(\sigma)\operatorname{tr}(\epsilon). \tag{21} \]

Burada \(\sigma\) özgün, delik açılmamış yapıda hesaplanan gerilme; \(\epsilon\) ise ilgili adjoint alanına bağlı gerinim alanıdır. Modified HJE bölümünde bu duyarlılığı level-set evrimine forcing term olarak katmak için kaynak g = -sign(ψ)T ifadesini verir; aynı cümlede pozitif bir \(w\) ağırlık faktöründen söz edilmesine rağmen gösterilen formülde \(w\) bulunmaz. Bu nedenle burada kaynak ifadesi aynen korunmuş, \(w\) katsayısı sessizce eklenmemiştir.

ESO, BESO ve PareTO

ESO yaklaşımı düşük duyarlılıklı malzemeyi geri dönüşsüz biçimde kaldırır:

\[ \Omega_\tau \equiv \{p\mid D\phi(p)>\tau\}. \tag{22} \]

BESO, hem malzeme kaldırıp hem de geri ekleyebildiği için ESO’nun erken yanlış silme riskini azaltmaya çalışır. Kaynak bunu alt ve üst duyarlılık eşikleriyle ifade eder:

\[ \Omega_{\tau^-}^{\mathrm{keep}} \equiv \{p\in\Omega\mid\alpha(p)>\tau^-\} \tag{23} \]

\[ \Omega_{\tau^+}^{\mathrm{add}} \equiv \{p\in\Omega\mid\alpha(p)>\tau^+\}. \tag{24} \]

PareTO ise hacim ile yapısal performans arasındaki lokal Pareto cephesini izlemeyi amaçlar:

\[ \begin{aligned} \underset{\Omega(x)\subseteq D}{\operatorname{minimize}}\quad & \{V,\phi(d)\}\\ \text{s.t.}\quad &V(x)\le V^*,\\ &R_{\mathrm{el}}(d):=K_{\mathrm{el}}d-f_{\mathrm{el}}=0. \end{aligned} \tag{25} \]

\[ \Delta V(\Omega_1,\Omega_2) = V(\Omega_1\setminus\Omega_2) + V(\Omega_2\setminus\Omega_1) \le\delta. \tag{26} \]

PareTO sınıfı, her dış hacim adımında fixed-point iterasyonla mevcut topolojinin belirlenen komşulukta yaklaşık lokal Pareto-optimal olmasını kontrol eder. Örneklerde paretoAggressiveness = 0.65 kullanılır.

Üretilebilirlik: minimum özellik boyutu

Yoğunluk tabanlı topoloji optimizasyonunda filtre olmadan oluşabilen checkerboard yapıları fiziksel olarak üretilebilir mikro-yapılar değil, ayrık sonlu eleman modelinin aşırı rijitlik üretmesine bağlı sayısal artefaktlardır. STORX, aktif tasarım alanını \(\chi_e\) ile maskeleyerek komşuluk filtresi uygular:

\[ \chi_e= \begin{cases} 1,&e\in\Omega_{\mathrm{design}},\\ 0,&\text{aksi halde}. \end{cases} \tag{27} \]

\[ \tilde{\rho}_e= \frac{\sum_{i=1}^{N}H_{ei}\chi_i\rho_i} {\sum_{i=1}^{N}H_{ei}\chi_i} \tag{28} \]

\[ H_{ei}= \begin{cases} r_{\min}-\operatorname{dist}(e,i), &\operatorname{dist}(e,i)\le r_{\min},\\ 0,&\text{aksi halde}. \end{cases} \tag{29} \]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} = \sum_{e=1}^{N} \frac{\partial\phi}{\partial\tilde{\rho}_e} \frac{\partial\tilde{\rho}_e}{\partial\rho_i} \tag{30} \]

\[ \frac{\partial\tilde{\rho}_e}{\partial\rho_i} = \frac{H_{ei}\chi_i} {\sum_{j=1}^{N}H_{ej}\chi_j} \tag{31} \]

\[ \widehat{\left( \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} \right)} = \frac{1}{\max(\rho_i,\epsilon)} \sum_{e=1}^{N} H_{ei}\rho_i \frac{\partial\phi}{\partial\tilde{\rho}_e}, \qquad \epsilon\ll1. \tag{32} \]

Kaynak uygulamada \(\epsilon=10^{-3}\) kullanır. Şekil 36, \(r_{\min}=1.5\) filtresinin L-bracket örneğinde checkerboard desenini bastırdığını gösterir.

Heaviside fiziksel yoğunluk projeksiyonu

\[ \hat{\rho}_e= \frac{ \tanh(\beta\eta) + \tanh\left[\beta(\rho_e-\eta)\right] }{ \tanh(\beta\eta) + \tanh\left[\beta(1-\eta)\right] } \tag{33} \]

\[ \frac{\partial\hat{\rho}_e}{\partial\rho_e} = \frac{ \beta\left[1-\tanh^2(\beta(\rho_e-\eta))\right] }{ \tanh(\beta\eta) + \tanh[\beta(1-\eta)] } \tag{34} \]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial\rho_e} = \frac{\partial\phi}{\partial\hat{\rho}_e} \frac{\partial\hat{\rho}_e}{\partial\rho_e} \tag{35} \]

Filtre ve projeksiyon art arda uygulanırsa:

\[ \rho \xrightarrow{\mathrm{filter}} \tilde{\rho} \xrightarrow{\mathrm{projection}} \hat{\rho} \]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} = \sum_{e=1}^{N} \frac{\partial\phi}{\partial\hat{\rho}_e} \frac{\partial\hat{\rho}_e}{\partial\tilde{\rho}_e} \frac{\partial\tilde{\rho}_e}{\partial\rho_i}. \tag{36} \]

\(\beta\) büyüdükçe geçiş basamak fonksiyonuna yaklaşır ve gri ara yoğunluklar azalır. Kaynak Şekil 38’de \(\eta=0.5\) için \(\beta=1,8,64\) etkisini karşılaştırır.

Tutulacak bölgeler

Yük uygulanan, bağlantı görevi yapan veya imalat sonrası geometrik olarak korunması gereken bölgeler optimizasyon tarafından boşaltılmamalıdır. STORX bunu yöntem ailesine göre farklı duyarlılık müdahaleleriyle yapar:

\[ \rho_e^{\mathrm{filtered}}=1 \quad\text{eğer}\quad \chi_e^{\mathrm{ret}}=1 \tag{37} \]

\[ \left. \frac{\partial\phi}{\partial\rho_e} \right|_{\chi_e^{\mathrm{ret}}=1} = \min_i \left( \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} \right) \tag{38} \]

\[ \left. \frac{\partial\phi}{\partial\phi_e} \right|_{\chi_e^{\mathrm{ret}}=1} =0 \tag{39} \]

\[ \left. \frac{\partial\phi}{\partial\rho_e} \right|_{\chi_e^{\mathrm{ret}}=1} = \max_i \left( \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} \right). \tag{40} \]

Gripper örneğinde 10.000 eleman, PETG için \(E=2\) GPa ve \(\nu=0.35\), 10 N yük ve 0,65 hacim oranı kullanılır. Retain kısıtı olmadan normalize compliance \(C_{\mathrm{NoRetain}}/C_0=0.32\), dairesel bağlantı bölgeleri korunduğunda \(C_{\mathrm{Retain}}/C_0=0.33\) olur. Bu, örnekte fonksiyonel bağlantı geometrisinin korunmasının performansı yalnız sınırlı miktarda etkilediğini gösterir.

Farklı yöntemlerle üretilen ve 3B basılan gripper tasarımları

Kaynak Şekil 40’ta beş optimize edilmiş gripper’ın fiziksel PETG baskısını gösterir. Tümü 0,65 hacim oranında ve dairesel bağlantı bölgeleri korunarak elde edilmiştir. Elegoo Centauri Carbon yazıcı ve beyaz PETG kullanılmıştır. Bildirilen compliance değerleri:

Level-set SO: \(1.04\times10^{-5}\) N·m
Standart-HJE level-set TO: \(8.49\times10^{-6}\) N·m
Modified-HJE level-set TO: \(8.33\times10^{-6}\) N·m
SIMP tabanlı TO: \(8.66\times10^{-6}\) N·m
PareTO: \(8.29\times10^{-6}\) N·m

Yazarların kendi sınırı önemlidir: bu sayılar yalnız bu problem, parametre ve durdurma ölçütleri içindir; yöntemlerin genel üstünlük sıralaması olarak yorumlanmamalıdır.

Çoklu yük senaryoları

Tek bir yük durumuna göre optimize edilen yapı başka servis koşullarında zayıf kalabilir. STORX bu nedenle \(N_L\) yük durumu için ortalama compliance kullanabilir:

\[ C_{\mathrm{avg}} = \frac{1}{N_L} \sum_{\ell=1}^{N_L}C^{(\ell)} = \frac{1}{N_L} \sum_{\ell=1}^{N_L} F^{(\ell)T}d^{(\ell)}. \tag{41} \]

Örnekte 3.200 eleman, \(E=100\) GPa, \(\nu=0.3\), 0,5 hacim oranı ve en çok 500 iterasyon kullanılır. Şekil 41’de bir yük \(F_1=+200\) kN yukarı, diğeri \(F_2=-100\) kN aşağı yöndedir. Ortalama compliance sonuçları LSSO 2,11 N·m, standart HJE 1,84 N·m, modified HJE 1,68 N·m, SIMP 1,89 N·m ve PareTO 1,70 N·m’dir.

Öz-ağırlık

\[ \begin{aligned} \underset{\rho}{\operatorname{minimize}}\quad&\phi(d;\rho) \tag{42a}\\ \text{s.t.}\quad& g:=\sum_e\rho_ev_e-V^*\le0 \tag{42b}\\ & \tilde{R}_{\mathrm{el}}(d;\rho) := K_{\mathrm{el}}(\rho)d -f_{\mathrm{el}} -b(\rho) =0 \tag{42c}\\ & 0<\rho_{\min}\le\rho_e\le1. \tag{42d} \end{aligned} \]

\[ \rho_e^{\mathrm{eff}} = \rho_e\rho_e^{\mathrm{mat}} \tag{43} \]

\[ b= \sum_e \rho_e^{\mathrm{eff}}a_ev_e \tag{44} \]

\[ b'=\rho_e^{\mathrm{mat}}a_ev_e. \tag{45} \]

Köprü örneğinde yaklaşık 3.000 eleman, \(E=100\) GPa, \(\nu=0.3\), \(\rho^{\mathrm{mat}}=1000\) kg/m³ ve \(g=[0,-10]\) m/s² kullanılır. Kaynak bu bölümde RAMP ile bağlantılı continuation parametresini “p=3’ten 5’e 0,2 artım” biçiminde ifade eder; RAMP’ın önceki tanımında sembol \(q\) kullanıldığı için bu terminoloji kaynak metinde kendi içinde tam tutarlı değildir.

Isı iletimi topoloji optimizasyonu

Kararlı izotropik ısı iletimi için:

\[ \begin{aligned} \nabla\cdot(\kappa\nabla T)+f &=0, &&x\in\Omega \tag{46a}\\ T-T_0&=0, &&x\in\Gamma_D \tag{46b}\\ (\kappa\nabla T)\cdot n-q_n(x)&=0, &&x\in\Gamma_N. \tag{46c} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \underset{\rho}{\operatorname{minimize}}\quad& C_{\mathrm{th}}(T;\rho) := T^\top K_{\mathrm{th}}(\rho)T \tag{47a}\\ \text{s.t.}\quad& g:=\sum_e\rho_ev_e-V^*\le0 \tag{47b}\\ & \tilde{R}_{\mathrm{th}}(T;\rho) = K_{\mathrm{th}}(\rho)T-f_{\mathrm{th}} =0 \tag{47c}\\ & 0<\rho_{\min}\le\rho_e\le1. \tag{47d} \end{aligned} \]

İki örnek de 10.000 eleman ve 0,5 hacim oranıyla çözülür. Boundary-flux probleminde \(\kappa=1\), \(q_n=1\) W/m², \(T=0\) K Dirichlet sınırı ve \(f=0\) W/m³ kullanılır; SIMP \(p=3\) ve OC güncellemesi seçilir. İç ısı üretimi örneğinde \(f=0.01\) W/m³, RAMP \(q=5\) ve OC kullanılır. Şekil 45 ve 46 optimize yoğunluğu, sıcaklık alanını ve çıkarılmış katı/boş geometriyi birlikte gösterir.

Yeni amaç: gerilme minimizasyonu

Düşük yoğunluk bölgelerindeki gerilme tekilliğini yumuşatmak için:

\[ \tilde{\sigma}_{\mathrm{vm},e} = \rho_e^{q_{\mathrm{vm}}} \sigma_{\mathrm{vm},e} \tag{48} \]

ve p-norm agregasyonu:

\[ \sigma_{\mathrm{PN}}(d;\rho) = \left( \sum_{e\in\Omega} \tilde{\sigma}_{\mathrm{vm},e}^{p_{\mathrm{vm}}} \right)^{1/p_{\mathrm{vm}}} \tag{49} \]

\[ \begin{aligned} \underset{\rho}{\operatorname{minimize}}\quad& \sigma_{\mathrm{PN}}(d;\rho) \tag{50a}\\ \text{s.t.}\quad& g:=\sum_e\rho_ev_e-V^*\le0 \tag{50b}\\ & R_{\mathrm{el}}(d;\rho)=0 \tag{50c}\\ & 0<\rho_{\min}\le\rho_e\le1. \tag{50d} \end{aligned} \]

\[ \frac{d\sigma_{\mathrm{PN}}}{d\rho_e} = \frac{\partial\sigma_{\mathrm{PN}}}{\partial\hat{\rho}_e} \frac{\partial\hat{\rho}_e}{\partial\bar{\rho}_e} \frac{\partial\bar{\rho}_e}{\partial\rho_e} \tag{51} \]

\[ \frac{d\sigma_{\mathrm{PN}}}{d\rho} = \frac{\partial\sigma_{\mathrm{PN}}}{\partial\rho} + \lambda^\top \frac{\partial F}{\partial\rho} \tag{52} \]

\[ K(\rho)^\top\lambda = \frac{\partial\sigma_{\mathrm{PN}}}{\partial d}. \tag{53} \]

6.000 eleman, SIMP \(p=3\), \(E=100\) GPa, \(\nu=0.3\) ve \(p_{\mathrm{vm}}=6\) ile L-bracket örneğinde yüksek-gerilme bölgelerine odaklanan optimizasyon maksimum von Mises gerilmesini 60,6 MPa’dan 23,0 MPa’a düşürür.

Yerel hacim oranı kısıtı

Global hacim kısıtı malzemenin bir bölgede yoğunlaşmasına izin verirken yerel hacim oranı her elemanın komşuluğundaki malzeme payını sınırlar. Beam mid-load örneği 80.000 elemanla çözülür. Kaynak açıklama metni 0,5 yerel hacim oranı, altı elemanlık komşuluk yarıçapı ve p-norm parametresi p=6 der; hemen ardından verilen MATLAB kodu ise localPNorm = 16 kullanır. Bu iki değer kaynakta uyuşmadığından burada hangisinin doğru olduğu varsayılmamaktadır.

Aynı beam için \(r_{\min}=1.5\), fiziksel yoğunluk projeksiyonu ve y-ekseni simetrisi, güncelleme için MMA kullanılır. Gripper uzantısında 80.000 aktif eleman, 0,65 yerel hacim oranı, on elemanlık komşuluk yarıçapı, metinde \(p=6\), \(r_{\min}=2.5\), fiziksel yoğunluk ve dairesel bölgeleri koruyan retain kısıtı kullanılır.

Akışkan topoloji optimizasyonu

STORX, Alexandersen’in yoğunluk tabanlı akış topoloji optimizasyonu yaklaşımını bir wrapper sınıfı üzerinden bağlar. Model kararlı, laminer ve sıkıştırılamaz Navier–Stokes akışıdır. \(\gamma(x)\in[0,1]\) tasarım alanı akışkan için \(\gamma=1\), katı için \(\gamma=0\) olacak şekilde yorumlanır. Katı bölgelerde hız Brinkman momentum-sink terimiyle bastırılır; böylece PDE tüm hesaplama alanında çözülürken tasarım akışkan/katı dağılımını belirler.

Pipe-bend ve double-pipe örneklerinde toplam enerji kaybı minimize edilir; SIMP \(p=3\), MMA, 2.000 sonlu eleman, \(V_f=0.3\), \(U_{\mathrm{in}}=1\) m/s, \(\rho=1\) kg/m³ ve \(\mu=1\) kg/(m·s) kullanılır.

Wind-tunnel örneğinde 40.000 eleman, \(Re=10\), \(U_{\mathrm{in}}=1\) m/s ve \(\rho=1\) kg/m³ kullanılır; viskozite \(\mu=\rho U_{\mathrm{ref}}L_c/Re\) ilişkisiyle belirlenir. Aktif tasarım bölgesi merkez \(c=[1.35,0.5]\) m, genişlik 1,5 m ve yükseklik 0,5 m olan dikdörtgendir. PDF’de aktif alan \(A_{\mathrm{act}}\) ifadesi tipografik olarak bozuk basılmıştır; bu nedenle burada kaynağın görünmeyen çarpım işareti kendi kendimize düzeltilmemiştir. Aktif bölgenin %85’inin katı olması istenir. Üç hedef incelenir: enerji dissipasyonunun minimizasyonu, drag minimizasyonu ve lift maksimizasyonu. Lift örneğinde aşırı döndürülmüş dejenere profilleri önlemek amacıyla drag kısıtı kullanılabilir; kaynakta \(\beta=1.1\) ve referans drag 2,4207 olarak verilir.

Türkiye açısından neden önemli olabilir?

Çalışmanın verileri Türkiye’ye ait değildir ve STORX’un Türkiye’deki bir üniversite, sanayi tesisi veya üretim hattında doğrulandığına ilişkin kanıt sunmaz. Bununla birlikte açık MATLAB kodu, genel 2B B-Rep geometrileri, üretilebilirlik kısıtları, ısı/akışkan uzantıları ve DXF/STL’ye uzanan üretim akışı; Türkiye’de hesaplamalı mekanik, makine tasarımı, havacılık, otomotiv, eklemeli imalat ve ileri mühendislik eğitimi açısından uyarlanabilir bir araştırma/öğretim altyapısı olarak değerlendirilebilir. Böyle bir uyarlama yapılırken yerel lisanslama, MATLAB erişimi, kullanılan üretim proseslerinin toleransları, malzeme modelleri ve endüstriyel doğrulama koşulları ayrıca test edilmelidir.

Çalışma neyi destekliyor, neyi desteklemiyor?

Desteklediği: Aynı nesne yönelimli MATLAB framework’ü içinde parametrik şekil, level-set şekil, yoğunluk tabanlı TO, level-set TO, ESO/BESO/PareTO, üretim kısıtları ve çeşitli fizik uzantılarının çalıştırılabildiğini; örnek problemlerin sayısal ve görsel olarak üretilebildiğini; yeni fonksiyonellerin ve kısıtların sınıf türetimiyle eklenebildiğini göstermektedir.

Desteklemediği: STORX’un bütün problemlerde mevcut özel amaçlı kodlardan daha hızlı, bütün TO yöntemlerinden daha iyi veya global optimum garantili olduğunu göstermez. ESO, BESO ve PareTO karşılaştırmaları belirli benchmarklar içindir. PareTO’nun örneklerde daha düşük compliance elde etmesi evrensel yöntem üstünlüğü değildir. Akışkan, termal ve yapısal örnekler çoğunlukla hesaplamalı benchmarklardır; kapsamlı gerçek saha doğrulaması değildir. Ana framework iki boyutlu problemlere odaklanır; çalışma bütün 3B, doğrusal olmayan, çok ölçekli veya endüstriyel üretim senaryolarını doğrudan kapsadığını iddia etmez.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Ana benchmark koşulları

LSSO ve temel TO benchmarklarında lineer elastisite için \(E=100\) GPa ve \(\nu=0.3\) kullanılır. Cantilever örneği 3.200 aktif quadrilateral elemanla ayrıklaştırılır ve 100 kN aşağı yönlü yük uygulanır. Temel hacim oranı çoğu karşılaştırmada 0,5’tir. Minimum özellik boyutu filtreleri yönteme göre convolution, distance veya Gaussian biçimlerinde uygulanabilir.

LSSO sonuçları

Örnek	C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)
Cantilever — alt yük	7.85	9.37e-05	10.5
Cantilever — orta yük	12.5	9.99e-05	4.93
L-bracket — üst yük	25.8	2.76e-04	37.8
L-bracket — orta yük	25.7	2.89e-04	54.3
MBB — simetri	22.7	2.48e-04	6.18

Yoğunluk tabanlı SIMP + OC sonuçları

Örnek	C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)
Cantilever — alt yük	6.98	7.46e-05	6.94
Cantilever — orta yük	10.6	8.50e-05	8.83
L-bracket — üst yük	22.9	2.46e-04	21.0
L-bracket — orta yük	21.7	2.42e-04	23.0
MBB — simetri	15.0	1.64e-04	6.98

Standart-HJE level-set TO sonuçları

Örnek	C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)
Cantilever — alt yük	6.38	6.85e-05	2.34
Cantilever — orta yük	9.68	7.84e-05	2.83
L-bracket — üst yük	21.2	2.27e-04	25.2
L-bracket — orta yük	19.7	2.21e-04	36.1
MBB — simetri	14.0	1.53e-04	3.98

Modified-HJE level-set TO sonuçları

Örnek	C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)
Cantilever — alt yük	6.31	6.70e-05	2.59
Cantilever — orta yük	9.65	7.76e-05	3.06
L-bracket — üst yük	20.1	2.20e-04	9.49
L-bracket — orta yük	19.3	2.19e-04	29.5
MBB — simetri	13.7	1.50e-04	4.74

ESO, BESO ve PareTO karşılaştırması

Topolojik duyarlılık yöntemlerinin nihai compliance karşılaştırması
Örnek / yöntem	Compliance C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)	Source
Cantilever alt — ESO	6.48	6.89e-05	4.52	Tablo 6
Cantilever alt — BESO	6.43	6.86e-05	5.79	Tablo 6
Cantilever alt — PareTO	6.32	6.74e-05	3.24	Tablo 6
Cantilever orta — ESO	9.76	7.83e-05	6.69	Tablo 6
Cantilever orta — BESO	9.76	7.83e-05	6.69	Tablo 6
Cantilever orta — PareTO	9.59	7.69e-05	3.28	Tablo 6
L-bracket üst — ESO	20.4	2.23e-04	7.99	Tablo 6
L-bracket üst — BESO	20.4	2.23e-04	7.99	Tablo 6
L-bracket üst — PareTO	20.3	2.21e-04	8.01	Tablo 6
L-bracket orta — ESO	21.2	3.20e-04	490	Tablo 6
L-bracket orta — BESO	21.2	3.20e-04	490	Tablo 6
L-bracket orta — PareTO	19.2	2.16e-04	19.6	Tablo 6
MBB simetri — ESO	14.2	1.55e-04	19.4	Tablo 6
MBB simetri — BESO	14.2	1.55e-04	19.4	Tablo 6
MBB simetri — PareTO	13.4	1.46e-04	5.39	Tablo 6

fidelity: source-faithful

Bu hareketli bilimsel figür, çalışmadaki ESO, BESO ve PareTO sonuçlarını aynı kaynak tablo üzerinden görsel olarak karşılaştırır; sayısal değerler değiştirilmez.

Örneklerin çoğunda PareTO eşit veya daha düşük compliance üretir. En çarpıcı fark L-bracket mid-load örneğindedir: ESO ve BESO için kaynak maksimum von Mises gerilmesini 490 MPa bildirirken PareTO için 19,6 MPa verir. Bu çok büyük fark kaynakta aynen yer almaktadır; başka bir sayıyla değiştirilmemiştir.

Hesaplama maliyeti

STORX-top88 karşılaştırması Intel Core Ultra 9 285K 3,70 GHz ve 128 GB RAM üzerinde yapılmıştır. Orta çözünürlüklerde STORX iterasyon başına yaklaşık %65–68 daha uzun sürer; 320×160 ağda fark yaklaşık %60’a iner. Yaklaşık 50.000 elemanlı problemde çizim hariç bir iterasyon yaklaşık 0,4 saniyedir. Bu sonuç framework’ün hesaplama maliyetini gizlemek yerine doğrudan ortaya koyar.

Görsellerin bilimsel mesajı

Şekil 1: Geometri, meshing, FEA, parametrik/level-set/topoloji optimizasyonu ve DXF–STL–3B baskıya uzanan uçtan uca zinciri gösterir.

Şekil 3: Abstract ve concrete sınıflar ile veri bağımlılıklarını ayırarak framework’ün “separation of intent” ilkesini görselleştirir.

Şekil 7: Problem → meshing → element stiffness → assembly → solve → post-process FEA zincirini verir.

Şekil 11–14: Parametrik FD, GlobalSearch, MultiStart ve Random Search sonuçlarının geometri ve arama uzayı davranışlarını gösterir.

Şekil 19, 22, 25 ve 27: Aynı benchmark ailelerinde LSSO, density TO, standard-HJE TO ve modified-HJE TO ile oluşan farklı malzeme yollarını görünür kılar.

Şekil 34–35: ESO/BESO/PareTO ilerleme eğrileri ve final karşılaştırmalarını verir.

Şekil 36–38: Checkerboard filtresi ve Heaviside projection’ın tasarım morfolojisi üzerindeki etkisini gösterir.

Şekil 40: Optimize geometrilerin yalnız ekranda kalmadığını, belirli gripper örneğinde PETG ile fiziksel olarak basıldığını gösterir.

Şekil 45–46: Isı akısı ve iç ısı üretimi problemlerinde yoğunluk, sıcaklık alanı ve çıkarılmış iso-surface ilişkisini gösterir.

Şekil 49–51: Akışkan TO’da pipe bend, double-pipe ve wind-tunnel hedeflerinin değişmesiyle hız/basınç alanı ve optimize geometrinin değiştiğini gösterir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Tam özgün çalışma adı: STORX: An Open-Source Object-Oriented Framework for Shape and Topology Optimization in MATLAB

Yazarlar: Amir M. Mirzendehdel; Krishnan Suresh.

Yazar sırası: Amir M. Mirzendehdel birinci ve sorumlu yazardır; Krishnan Suresh ikinci yazardır.

Kurumlar: University of Kansas, Aerospace Engineering Department; University of Wisconsin–Madison, Mechanical Engineering Department.

Kaynak türü: Açık kaynak yazılım çerçevesi ve hesaplamalı mühendislik yöntemlerini açıklayan akademik preprint.

Platform: arXiv, Computational Engineering, Finance, and Science kategorisi (cs.CE).

arXiv kimliği: arXiv:2606.17291v2.

PDF sürüm tarihi: 25 Temmuz 2026.

DOI: 10.48550/arXiv.2606.17291.

Lisans: CC BY 4.0.

Hakemlik durumu: Bu çalışma hakem değerlendirmesinden geçmemiş bir preprinttir; sonuçları bu yayın aşaması dikkate alınarak değerlendirilmelidir. Mevcut bibliyografik kontrolde aynı başlığın hakemli dergi sürümü doğrulanmamıştır.

Yazılım erişilebilirliği: Makale, MATLAB kodunun https://github.com/DEL-KU/storx adresindeki açık depoda bulunduğunu bildirir.

Finansman/destek: Amir M. Mirzendehdel, University of Kansas Aerospace Department desteğine teşekkür etmektedir. Çalışma ayrıca konuk ders katkıları ve 3B baskı yardımı için çeşitli araştırmacılara ve Grayson Klimek’e teşekkür eder.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması olmadığını beyan eder.

Yapay zekâ kullanımı: Yazarlar üretken yapay zekâ araçlarının metnin bazı bölümlerinin açıklığını ve okunabilirliğini iyileştirmek için kullanıldığını; teknik içerik, sonuçlar ve yorumların yazarlar tarafından geliştirilip doğrulandığını belirtir.

Bilimsel sınırlılıklar: Framework’ün ana çekirdeği iki boyutlu problemlere odaklanır. Birçok doğrulama kanonik benchmarklar ve hesaplamalı örneklerdir. Parametre ayarlarına bağlı yöntem karşılaştırmaları evrensel sıralama değildir. Nesne yönelimli genellik, top88 gibi son derece özelleştirilmiş kompakt kodlara göre ölçülebilir çalışma zamanı ek yükü getirir. Akışkan ve termal örnekler framework genişletilebilirliğini gösterir ancak bütün çok-fizikli endüstriyel problemler için kapsamlı doğrulama anlamına gelmez.

Kaynak içi tutarsızlıklar: Yerel hacim oranı beam örneğinde açıklama p-norm için p=6 derken kod localPNorm=16 kullanır. Modified-HJE metni pozitif bir w ağırlık faktöründen söz ederken gösterilen forcing term’de w yoktur. Wind-tunnel aktif alan ifadesinde PDF’de tipografik bozulma vardır. Bu noktalar sessizce düzeltilmemiştir.

Bu Verianla içeriğindeki bilimsel çekirdek yüklenen 51 sayfalık kaynak çalışmaya dayanmaktadır. Dış kaynaklar yalnız başlık, yazar, preprint/CoRR kimliği ve bibliyografik durumun doğrulanması için kullanılmış; dış kaynaktan yeni deneysel sonuç, formül veya performans değeri eklenmemiştir.

Bilgilendirme ve Düzeltme Notu

Bu içerik, ilgili akademik çalışma esas alınarak yapay zekâ destekli araçlardan yararlanılarak hazırlanmıştır. Amaç; çalışmanın temel konusu, yöntemi ve bulgularını daha anlaşılır ve erişilebilir bir biçimde aktarmaktır.

İçerik hazırlanırken kaynak çalışmaya bağlı kalınmasına özen gösterilmekle birlikte, yapay zekâ destekli içerik üretim süreçlerinde anlam, ifade, çeviri veya yorumlama kaynaklı hatalar oluşabilir. İçerikte bilimsel, teknik veya bağlamsal bir hata tespit etmeniz hâlinde bizi info@verianla.com.tr adresinden bilgilendirebilirsiniz. Bildirilen hususlar incelenerek gerekli görülen düzeltmeler yapılacaktır.

Ayrıca, Verianla üzerinde çalışmasına yer verilen makalenin yazarı, hak sahibi veya yetkili temsilcisi; ilgili içeriğin yayından kaldırılmasını talep edebilir. Kaldırma talepleri için info@verianla.com.tr adresine, ilgili makalenin bağlantısı ve talebi açıklayan kısa bir bilgi ile e-posta gönderilmesi yeterlidir. Talep incelendikten sonra gerekli işlem gerçekleştirilecektir.

Verianla, akademik çalışmaların yerine geçmeyi değil; bilimsel içeriğin daha geniş kitleler tarafından anlaşılmasına katkı sağlamayı amaçlar. Akademik veya profesyonel değerlendirmelerde her zaman çalışmanın özgün kaynağının esas alınması önerilir.

Paylaş: