STORX: MATLAB чөйрөсүндө форма жана топология оптималдаштыруусун бириктирген ачык булактуу объектке багытталган алкак

STORX — Shape and Topology Optimization for Research and Experimentation — параметрдик форма оптималдаштыруусун, level-set форма оптималдаштыруусун жана топология оптималдаштыруунун бир нече үй-бүлөсүн бир MATLAB негизиндеги объектке багытталган программалык архитектурада бириктирген ачык булактуу эсептөө-дизайн алкагы. Иштин негизги салымы жалгыз жаңы алгоритм эмес; геометрияны, акыркы элементтер анализин, абал теңдемесин, максат жана чектөө функционалдарын, сезгичтик анализин, долбоорду жаңыртууну жана өндүрүш чектөөлөрүн туруктуу абстракттык интерфейстер аркылуу бөлүп уюштурган архитектура болуп саналат.

Framework параметрдик оптималдаштырууну, Hamilton–Jacobi level-set ыкмаларын, SIMP/RAMP тыгыздык интерполяциясын, ESO, BESO жана PareTO tracing ыкмаларын бир эле физикалык жана сандык инфраструктурада салыштырууга мүмкүндүк берет. Ошондой эле көп жүк учурлары, өз салмагы, стационардык жылуулук өткөрүү, чыңалууну минималдаштыруу, локалдык көлөм үлүшү жана Brinkman penalization колдонгон суюктук топология оптималдаштыруусу көрсөтүлгөн.

STORX эң тез атайын код экенин изилдөө ырастабайт. top88 менен салыштырганда орточо тор өлчөмдөрүндө бир итерацияга убакыт болжол менен 65–68% узун; 320×160 өлчөмүндө айырма болжол менен 60%. 50 миңге жакын элементте визуалдаштыруусуз итерация болжол менен 0,4 секунд. Демек негизги артыкчылык — ылдамдык эмес, кеңейтилүүчү жана түшүнүктүү программалык түзүлүш.

Жалпы эсептөө агымы

Форма оптималдаштырууда параметрлер тешик радиусу, чек аранын абалы же фаска сыяктуу геометриялык чоңдуктар болот. Топология оптималдаштырууда элементтик псевдо-тыгыздык, level-set талаасы же топологиялык сезгичтик материалдын жайгашуусун өзгөртөт. STORX ушул методдордун жалпы бөлүгүн: geometry → mesh → FEA → sensitivity → filtering/constraints → update агымын ачык көрсөтөт.

Класстар жана B-Rep

brep2d, gridMesher, fea2d, simulation2d, functional, mfgConstraints, parameterOpt2d, density2d, levelset2d, evolutionary2d жана pareto2d сыяктуу класстар геометрияны, FEAны жана оптималдаштырууну бөлүп уюштурат. B-Rep төбөлөр жана line/arc сегменттери менен жалпы 2D геометрияны берет.

\[ R_{\mathrm{el}}(d)=K_{\mathrm{el}}d-f_{\mathrm{el}}=0. \tag{1} \]

Gripper мисалында 4.000ге жакын элемент, \(E=2\) GPa, \(\nu=0.35\), 10 N күч. Үч бурчтуу FEA: \(1.00\times10^{-6}\) m жана 6,87 MPa; grid FEA: \(1.05\times10^{-6}\) m жана 6,31 MPa.

Параметрдик форма оптималдаштыруу

\[ \begin{aligned} \min_{p=[a,b,c,r]^\top}\;&C(d;p) \tag{2a}\\ K_{el}(p)d-f_{el}&=0 \tag{2b}\\ A-A_{\max}&\le0 \tag{2c}\\ a_{\min}\le a&\le a_{\max} \tag{2d}\\ b_{\min}\le b&\le b_{\max} \tag{2e}\\ c_{\min}\le c&\le c_{\max} \tag{2f}\\ r_{\min}\le r&\le r_{\max}. \tag{2g} \end{aligned} \]

\[ C_i'=f^\top u_i' \tag{3} \]

\[ K^{(k)}u_i'=-K_i'u^{(k)} \tag{4} \]

\[ K_i'= \frac{K^{(k)}_{i,\mathrm{pert}}-K^{(k)}}{\Delta p_i}. \tag{5} \]

Жарым-аналитикалык FD: \(p_0=(0.20,0.15,1.20,0.10)\) → \(p_{FD}=(0.363,0.224,1.500,0.076)\); 118 итерация, 1.070 FEA; аянт 1,906→1,7995 m²; compliance 3,91→3,95 N·m; максималдык жылышуу болжол 0,04 mm.

GlobalSearch: \(p_{GS}=(0.310,0.226,1.248,0.141)\), A=1,79 m², C=4,022 N·m, 305 FEA. MultiStart: \(p_{MS}=(0.327,0.138,1.466,0.155)\), A=1,798, C=4,001, 2.545 FEA. Random Search: \(p_{RS}=(0.359,0.150,1.337,0.150)\), A=1,779, C=4,021, 22 FEA.

Level-set форма оптималдаштыруу

\[ \psi(x) \begin{cases} <0,&x\in\Omega\\ =0,&x\in\partial\Omega\\ >0,&x\notin\Omega\cup\partial\Omega \end{cases} \tag{6} \]

\[ \begin{aligned} \min_\psi\;&\phi(\psi)\\ |\Omega(\psi)|-V^*&\le0,\\ R_{el}(d)&=0. \end{aligned} \tag{7} \]

\[ \frac{\partial\psi}{\partial t} +\operatorname{sign}(\psi_0)(|\nabla\psi|-1)=0 \tag{8} \]

\[ \operatorname{sign}(\psi)= \frac{\psi}{\sqrt{\psi^2+|\nabla\psi|^2\epsilon^2}}. \tag{9} \]

Тыгыздыкка негизделген TO

\[ \begin{aligned} \min_\rho\;&\phi(d;\rho) \tag{10a}\\ \sum_e\rho_ev_e-V^*&\le0 \tag{10b}\\ K_{el}(\rho)d-f_{el}&=0 \tag{10c}\\ 0<\rho_{\min}\le\rho_e&\le1. \tag{10d} \end{aligned} \]

\[ K=\sum_{\mathrm{assemble}}k_e(\rho_e) \tag{11} \]

\[ C=d^\top Kd=\sum_e\rho_e^p d_e^\top K_0d_e \tag{12} \]

\[ D_\rho C=-d^\top K'd \tag{13} \]

\[ E(\rho_e)=\rho_e^pE_0 \tag{14} \]

\[ \frac{\partial k_e}{\partial\rho_e} =p\rho_e^{p-1}k_0 \tag{15} \]

\[ E(\rho_e)=\frac{\rho_e}{1+q(1-\rho_e)}E_0 \tag{16} \]

\[ \frac{\partial k_e}{\partial\rho_e} = \frac{1+q}{[1+q(1-\rho_e)]^2}k_0. \tag{17} \]

Level-set TO жана топологиялык сезгичтик

\[ \psi(x,y)=\mathbf1_D(x,y) \cos\left(\frac{n_x\pi x}{l_x}\right) \cos\left(\frac{n_y\pi y}{l_y}\right) \tag{18} \]

\[ T(p)= \lim_{\epsilon\to0^+} \frac{\phi(\Omega_\epsilon)-\phi(\Omega)} {\pi\epsilon^2} \tag{19} \]

\[ \Omega_\tau= \{p_\tau\in\mathbb R^2\mid p_\tau=p+\tau n,\ p\in\Omega_\epsilon\} \tag{20} \]

\[ T(p)= \frac4{1+\nu}\sigma:\epsilon - \frac{1-3\nu}{1-\nu^2} tr(\sigma)tr(\epsilon). \tag{21} \]

Modified-HJE бөлүмүндө көрсөтүлгөн forcing term \(g=-sign(\psi)T\), бирок текст \(w\) оң салмак факторун да айтат. Формулада \(w\) жок; булактагы айырма өзгөртүлгөн жок.

ESO, BESO, PareTO

\[ \Omega_\tau=\{p\mid D\phi(p)>\tau\} \tag{22} \]

\[ \Omega_{\tau^-}^{keep} =\{p\in\Omega\mid\alpha(p)>\tau^-\} \tag{23} \]

\[ \Omega_{\tau^+}^{add} =\{p\in\Omega\mid\alpha(p)>\tau^+\} \tag{24} \]

\[ \begin{aligned} \min_{\Omega(x)\subseteq D}\;&\{V,\phi(d)\}\\ V(x)&\le V^*,\\ R_{el}(d)&=0. \end{aligned} \tag{25} \]

\[ \Delta V(\Omega_1,\Omega_2) = V(\Omega_1\setminus\Omega_2) + V(\Omega_2\setminus\Omega_1) \le\delta. \tag{26} \]

Өндүрүш фильтрлери

\[ \chi_e= \begin{cases} 1,&e\in\Omega_{design}\\ 0,&\text{башка учурда} \end{cases} \tag{27} \]

\[ \tilde\rho_e= \frac{\sum_iH_{ei}\chi_i\rho_i}{\sum_iH_{ei}\chi_i} \tag{28} \]

\[ H_{ei}= \begin{cases} r_{\min}-dist(e,i),&dist(e,i)\le r_{\min}\\ 0,&\text{башка учурда} \end{cases} \tag{29} \]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} = \sum_e \frac{\partial\phi}{\partial\tilde\rho_e} \frac{\partial\tilde\rho_e}{\partial\rho_i} \tag{30} \]

\[ \frac{\partial\tilde\rho_e}{\partial\rho_i} = \frac{H_{ei}\chi_i}{\sum_jH_{ej}\chi_j} \tag{31} \]

\[ \widehat{\left(\frac{\partial\phi}{\partial\rho_i}\right)} = \frac1{\max(\rho_i,\epsilon)} \sum_eH_{ei}\rho_i \frac{\partial\phi}{\partial\tilde\rho_e}, \quad\epsilon=10^{-3} \tag{32} \]

\[ \hat\rho_e= \frac{\tanh(\beta\eta)+\tanh[\beta(\rho_e-\eta)]} {\tanh(\beta\eta)+\tanh[\beta(1-\eta)]} \tag{33} \]

\[ \frac{\partial\hat\rho_e}{\partial\rho_e} = \frac{\beta[1-\tanh^2(\beta(\rho_e-\eta))]} {\tanh(\beta\eta)+\tanh[\beta(1-\eta)]} \tag{34} \]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial\rho_e} = \frac{\partial\phi}{\partial\hat\rho_e} \frac{\partial\hat\rho_e}{\partial\rho_e} \tag{35} \]

\[ \frac{\partial\phi}{\partial\rho_i} = \sum_e \frac{\partial\phi}{\partial\hat\rho_e} \frac{\partial\hat\rho_e}{\partial\tilde\rho_e} \frac{\partial\tilde\rho_e}{\partial\rho_i}. \tag{36} \]

Retain аймактары

\[ \rho_e^{filtered}=1 \quad\text{эгер}\quad\chi_e^{ret}=1 \tag{37} \]

\[ \left.\frac{\partial\phi}{\partial\rho_e}\right|_{\chi_e^{ret}=1} = \min_i\left(\frac{\partial\phi}{\partial\rho_i}\right) \tag{38} \]

\[ \left.\frac{\partial\phi}{\partial\phi_e}\right|_{\chi_e^{ret}=1}=0 \tag{39} \]

\[ \left.\frac{\partial\phi}{\partial\rho_e}\right|_{\chi_e^{ret}=1} = \max_i\left(\frac{\partial\phi}{\partial\rho_i}\right). \tag{40} \]

Көп жүк, өз салмак жана жылуулук

\[ C_{avg} = \frac1{N_L}\sum_{\ell=1}^{N_L}F^{(\ell)T}d^{(\ell)} \tag{41} \]

\[ \begin{aligned} \min_\rho\;&\phi(d;\rho) \tag{42a}\\ \sum_e\rho_ev_e-V^*&\le0 \tag{42b}\\ K_{el}(\rho)d-f_{el}-b(\rho)&=0 \tag{42c}\\ 0<\rho_{\min}\le\rho_e&\le1. \tag{42d} \end{aligned} \]

\[ \rho_e^{eff}=\rho_e\rho_e^{mat} \tag{43} \]

\[ b=\sum_e\rho_e^{eff}a_ev_e \tag{44} \]

\[ b'=\rho_e^{mat}a_ev_e \tag{45} \]

\[ \begin{aligned} \nabla\cdot(\kappa\nabla T)+f&=0 \tag{46a}\\ T-T_0&=0 \tag{46b}\\ (\kappa\nabla T)\cdot n-q_n(x)&=0. \tag{46c} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \min_\rho\;&T^\top K_{th}(\rho)T \tag{47a}\\ \sum_e\rho_ev_e-V^*&\le0 \tag{47b}\\ K_{th}(\rho)T-f_{th}&=0 \tag{47c}\\ 0<\rho_{\min}\le\rho_e&\le1. \tag{47d} \end{aligned} \]

Чыңалуу жана башка кеңейтүүлөр

\[ \tilde\sigma_{vm,e}=\rho_e^{q_{vm}}\sigma_{vm,e} \tag{48} \]

\[ \sigma_{PN} = \left(\sum_e\tilde\sigma_{vm,e}^{p_{vm}}\right)^{1/p_{vm}} \tag{49} \]

\[ \begin{aligned} \min_\rho\;&\sigma_{PN}(d;\rho) \tag{50a}\\ \sum_e\rho_ev_e-V^*&\le0 \tag{50b}\\ R_{el}(d;\rho)&=0 \tag{50c}\\ 0<\rho_{\min}\le\rho_e&\le1. \tag{50d} \end{aligned} \]

\[ \frac{d\sigma_{PN}}{d\rho_e} = \frac{\partial\sigma_{PN}}{\partial\hat\rho_e} \frac{\partial\hat\rho_e}{\partial\bar\rho_e} \frac{\partial\bar\rho_e}{\partial\rho_e} \tag{51} \]

\[ \frac{d\sigma_{PN}}{d\rho} = \frac{\partial\sigma_{PN}}{\partial\rho} + \lambda^\top\frac{\partial F}{\partial\rho} \tag{52} \]

\[ K(\rho)^\top\lambda= \frac{\partial\sigma_{PN}}{\partial d}. \tag{53} \]

6.000 элементтүү stress мисалында максималдык von Mises 60,6 MPaдан 23,0 MPaга түшөт. Локалдык көлөм beam текстинде p=6, коддо localPNorm=16. Fluid wrapper steady laminar incompressible Navier–Stokes + Brinkman penalty колдонот: pipe bend/double pipe 2.000 элемент, SIMP p=3, MMA, \(V_f=0.3\), \(U_{in}=1\) m/s; wind tunnel 40.000 элемент, Re=10.

Кыргызстан үчүн мүмкүн болгон мааниси

Бул иш Кыргызстандагы маалыматтар менен текшерилген эмес. Бирок ачык MATLAB коду, FEA, геометрия, өндүрүш фильтрлери жана жылуулук/суюктук кеңейтүүлөрү инженердик билим берүү жана эсептөө механикасы үчүн адаптацияланышы мүмкүн. Мындай колдонууда жергиликтүү материалдар, өндүрүш тактыгы, программалык жеткиликтүүлүк жана эксперименттик текшерүү өзүнчө бааланышы керек.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Метод / мисал	C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)
LSSO Cantilever төмөн	7.85	9.37e-05	10.5
LSSO Cantilever орто	12.5	9.99e-05	4.93
LSSO L-bracket үстү	25.8	2.76e-04	37.8
LSSO L-bracket орто	25.7	2.89e-04	54.3
LSSO MBB	22.7	2.48e-04	6.18
SIMP-OC Cantilever төмөн	6.98	7.46e-05	6.94
SIMP-OC Cantilever орто	10.6	8.50e-05	8.83
SIMP-OC L-bracket үстү	22.9	2.46e-04	21.0
SIMP-OC L-bracket орто	21.7	2.42e-04	23.0
SIMP-OC MBB	15.0	1.64e-04	6.98
Standard HJE Cantilever төмөн	6.38	6.85e-05	2.34
Standard HJE Cantilever орто	9.68	7.84e-05	2.83
Standard HJE L-bracket үстү	21.2	2.27e-04	25.2
Standard HJE L-bracket орто	19.7	2.21e-04	36.1
Standard HJE MBB	14.0	1.53e-04	3.98
Modified HJE Cantilever төмөн	6.31	6.70e-05	2.59
Modified HJE Cantilever орто	9.65	7.76e-05	3.06
Modified HJE L-bracket үстү	20.1	2.20e-04	9.49
Modified HJE L-bracket орто	19.3	2.19e-04	29.5
Modified HJE MBB	13.7	1.50e-04	4.74

Verianla Live: ESO, BESO жана PareTO

Мисал / метод	C (N·m)	δmax (m)	σvm,max (MPa)	Source
Cantilever төмөн — ESO	6.48	6.89e-05	4.52	Table 6
Cantilever төмөн — BESO	6.43	6.86e-05	5.79	Table 6
Cantilever төмөн — PareTO	6.32	6.74e-05	3.24	Table 6
Cantilever орто — ESO	9.76	7.83e-05	6.69	Table 6
Cantilever орто — BESO	9.76	7.83e-05	6.69	Table 6
Cantilever орто — PareTO	9.59	7.69e-05	3.28	Table 6
L-bracket үстү — ESO	20.4	2.23e-04	7.99	Table 6
L-bracket үстү — BESO	20.4	2.23e-04	7.99	Table 6
L-bracket үстү — PareTO	20.3	2.21e-04	8.01	Table 6
L-bracket орто — ESO	21.2	3.20e-04	490	Table 6
L-bracket орто — BESO	21.2	3.20e-04	490	Table 6
L-bracket орто — PareTO	19.2	2.16e-04	19.6	Table 6
MBB — ESO	14.2	1.55e-04	19.4	Table 6
MBB — BESO	14.2	1.55e-04	19.4	Table 6
MBB — PareTO	13.4	1.46e-04	5.39	Table 6

3D басылган gripper compliance: LSSO \(1.04\times10^{-5}\), standard HJE \(8.49\times10^{-6}\), modified HJE \(8.33\times10^{-6}\), SIMP \(8.66\times10^{-6}\), PareTO \(8.29\times10^{-6}\) N·m. Авторлор бул универсалдык рейтинг эмес экенин баса белгилешет.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түп нуска аталышы: STORX: An Open-Source Object-Oriented Framework for Shape and Topology Optimization in MATLAB.

Авторлор: Amir M. Mirzendehdel; Krishnan Suresh.

Булак: arXiv:2606.17291v2 [cs.CE], 25-июль 2026.

DOI: 10.48550/arXiv.2606.17291.

Лицензия: CC BY 4.0.

Рецензия статусу: Бул иш рецензиядан өтө элек preprint; натыйжалар ушул басылма стадиясын эске алуу менен бааланышы керек.

Код: https://github.com/DEL-KU/storx.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор кагылыш жок деп билдирет.

Generative AI: Кол жазманын айрым бөлүктөрүнүн окулушун жакшыртуу үчүн колдонулган; техникалык мазмун жана жыйынтыктар авторлор тарабынан иштелип чыгып текшерилген.

Чектөөлөр: Негизги framework 2D; benchmark натыйжалары универсалдык артыкчылыкты далилдебейт; OOP жалпы түзүлүшү атайын компакт коддорго салыштырмалуу runtime overhead берет.

Булактагы айырмалар: p=6 / localPNorm=16, modified-HJE w маселеси жана wind-tunnel Aact типографиясы өзгөртүлгөн жок.

Маалымдоо жана түзөтүү эскертүүсү

Бул мазмун тиешелүү академиялык изилдөөгө таянуу менен жасалма интеллект колдогон куралдарды колдонуп даярдалды. Максат — изилдөөнүн негизги темасын, ыкмасын жана жыйынтыктарын түшүнүктүү жана жеткиликтүү түрдө баяндоо.

Мазмунду даярдоодо баштапкы изилдөөгө берилген бойдон калууга көңүл бурулганы менен, жасалма интеллект аркылуу мазмун түзүү процессинде маани, туюнтуу, котормо же чечмелөө каталары болушу мүмкүн. Илимий, техникалык же контексттик ката байкасаңыз, бизге info@verianla.com.tr дареги аркылуу билдире аласыз. Билдирилген жагдайлар каралып, зарыл болгон түзөтүүлөр киргизилет.

Мындан тышкары, Verianla сайтында изилдөөсү жарыяланган макаланын автору, укук ээси же ыйгарым укуктуу өкүлү тиешелүү мазмунду жарыялоодон алып салууну талап кыла алат. Алып салуу өтүнүчү үчүн макаланын шилтемесин жана өтүнүчтүн кыскача түшүндүрмөсүн info@verianla.com.tr дарегине жөнөтүү жетиштүү. Өтүнүч каралгандан кийин зарыл чара көрүлөт.

Verianla академиялык изилдөөлөрдү алмаштырууну эмес, илимий мазмунду кеңири аудиториянын түшүнүшүнө салым кошууну көздөйт. Академиялык же кесиптик баалоодо ар дайым изилдөөнүн түпнуска булагына таянуу сунушталат.

Бөлүшүү: