Klasik çıktı regülasyonu teorisinde kontrolcünün amacı, dinamik sistemin çıkışını istenen referansa yaklaştırırken dış bozucuların etkisini gidermektir. Klasik teorinin önemli bölümü, referans ve bozucu sinyallerin düzgün diferansiyel denklemler üreten bir exosystem tarafından oluşturulduğunu varsayar. Buna karşılık gerçek uygulamalarda testere dişi, üçgen dalga, anahtarlamalı veya pulse-width-modulation (PWM) benzeri düzgün olmayan ve bazen periyodik olmayan sinyaller de bulunabilir. Bu çalışma tam olarak bu daha genel durumun matematiksel çözülebilirlik problemine odaklanmaktadır.

Araştırmacıların daha önceki NNOR — non-smooth non-periodic output regulation — çerçevesinde kullandıkları quasi-regulator denklemleri integral terimleri içerdiğinden çözülebilirlik analizi klasik regulator denklemleri kadar doğrudan değildir. Yeni çalışma ilk olarak bu integral denklemlerini eşdeğer bir diferansiyel-cebirsel denklem (DAE) sistemine dönüştürmekte ve ardından feedforward terimi \(D\)'nin bulunup bulunmamasına göre problemi ikiye ayırmaktadır.

Feedforward yolunun bulunmadığı \(D=0\) durumunda ilk önemli sonuç, düzenlenecek \(Q\Lambda(t,t_0)\) sinyalinin yeterli düzgünlüğe sahip olması gerektiğidir. Çalışma, quasi-regulator denklemlerinin çözülebilmesi için en azından bu fonksiyonun yerel Lipschitz sürekliliğinin gerekli olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla doğrudan feedforward etkisi yokken çıkışta gerçek bir sıçrama oluşturan referansı sonlu ve klasik bir kontrol girdisiyle anlık olarak iptal etmek genel olarak mümkün değildir.

İkinci temel sonuç, sistemin bağıl derecesinin düzgün olmayan çıktı regülasyonunda klasik durumdan farklı olarak çözülebilirliği doğrudan etkilemesidir. Araştırmacılar yardımcı \(V_j(t)\) fonksiyonlarının düzgünlük derecesini kullanarak, \(D=0\) durumunda bağıl derece \(r\)'nin belirli bir üst sınıra uyması gerektiğini ortaya koymaktadır. Genel gerekli koşul:

\[ r\le j^*+1,\qquad j^*=c_n \]

şeklinde verilmektedir.

Çalışmanın ana teoremlerinden biri, \(D=0\), belirtilen düzgünlük varsayımları ve birim bağıl derece \(r=1\) altında quasi-regulator denklemlerinin herhangi bir \(P\) ve \(Q\) için çözülebilmesinin, araştırmacıların tanımladığı non-smooth non-resonance condition ile eşdeğer olduğunu göstermektedir. Feedforward yolunun bulunduğu \(D\neq0\) durumunda ise aynı gerekli-yeterli non-resonance sonucu, bağıl derece ve ek düzgünlük varsayımlarına ihtiyaç duyulmadan elde edilmektedir.

Araştırmacılar ayrıca kontrol edilen doğrusal sistem minimum phase ise yeni non-smooth non-resonance koşulunun sağlandığını göstermektedir. Ancak bu minimum-phase sonucu bir yeterli koşuldur; yeni non-resonance koşulunun tanımıyla aynı şey değildir.

Türkiye açısından çalışma, özellikle güç elektroniği, robotik, anahtarlamalı sistemler ve endüstriyel kontrol gibi düzgün olmayan referans veya bozucuların ortaya çıkabildiği alanlarda temel kontrol teorisi açısından önemlidir. Ancak kaynak herhangi bir Türkiye sistemi, gerçek kontrol donanımı veya performans testi üzerinde uygulama yapmamaktadır. Dolayısıyla çalışmanın değeri doğrudan bir saha kontrol algoritmasının performansını göstermekten çok, böyle bir kontrol probleminin matematiksel olarak hangi koşullarda çözülebileceğini açıklayan teorik altyapıyı geliştirmesidir.

Çıktı regülasyonu problemi nedir?

Çıktı regülasyonu, bir dinamik sistemin çıktısını istenen referans yörüngeye yaklaştırırken dış bozucuları bastıracak bir kontrolcü tasarlama problemidir. Çalışmada ele alınan tek girişli–tek çıkışlı (SISO) doğrusal zamanla değişmeyen sistem:

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P\omega(t) \]

\[ e(t)=Cx(t)+Du(t)+Q\omega(t) \]

şeklindedir.

Burada \(x(t)\) sistem durumu, \(u(t)\) kontrol girişi, \(e(t)\) regülasyon hatası ve:

\[ \omega(t)= \begin{bmatrix} r(t)\\ d(t) \end{bmatrix} \]

referans ve bozucu sinyalleri içeren exogenous signal vektörüdür.

Klasik teoriden temel fark nedir?

Klasik doğrusal çıktı regülasyonunda exogenous sinyal çoğunlukla:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

gibi düzgün bir dinamik sistemden türetilir. Bu çalışmanın ele aldığı daha genel yapıda ise:

\[ \omega(t)=\Lambda(t,t_0)\omega_0 \]

biçimindeki açık bir generator kullanılmaktadır.

\(\Lambda(t,t_0)\)'nun standart semigroup özelliğini sağlaması da zorunlu değildir. Bu genişletme, düzgün olmayan ve periyodik olmak zorunda olmayan sinyal sınıflarının kapsanmasına imkân vermektedir.

NNOR problemi hangi iki hedefi istiyor?

Çalışmada non-smooth non-periodic output regulation problemi iki koşulla ifade edilmektedir:

• SF — Stabilization condition: Exogenous sinyal sıfır olduğunda kapalı çevrim sisteminin orijini üstel kararlı olmalıdır.
• RF — Regulation condition: Exosystem sisteme bağlandığında regülasyon hatası zamanla sıfıra gitmelidir: \[ \lim_{t\to+\infty}e(t)=0. \]

Quasi-regulator denklemleri neden gerekiyor?

Klasik output-regulation teorisinde regulator denklemleri, sıfır kararlı-durum hatasını oluşturan durum ve kontrol yörüngelerini karakterize eder. Ancak düzgün olmayan ve periyodik olmayan genel sinyal sınıfında klasik anlamdaki steady state her zaman iyi tanımlı değildir.

Bu nedenle araştırmacılar önceki çalışmalarında:

\[ x^*(t)=\Pi(t)\omega(t), \qquad u^*(t)=\Delta(t)\omega(t) \]

biçimindeki hata-sıfırlayan beklenen yörüngeleri tanımlayan quasi-regulator equations kullanmıştır.

Çalışmanın önemli kavramsal sınırı şudur: quasi-regulator denklemlerinin çözümü NNOR problemini çözmek için yeterli bir yapıdır; genel NNOR probleminde klasik regulator denklemlerindeki gibi zorunlu bir karakterizasyon olduğu iddia edilmemektedir.

Quasi-regulator denklemlerinin integral biçimi

Çalışmadaki denklem sistemi:

\[ \Pi_x(t)= \left[ e^{A(t-t_0)} \Pi_x(t_0)\Lambda(t_0,t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} P_\Delta(\tau) \Lambda(\tau,t_0)d\tau \right] \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ve:

\[ 0_{1\times\nu} = C\Pi_x(t)+D\Delta(t)+Q \]

biçimindedir; burada:

\[ P_\Delta(t)=P+B\Delta(t). \]

Problem, bütün \(t\ge t_0\) için bu denklemleri sağlayan sınırlı, parçalı sürekli \(\Pi(t)\) ve \(\Delta(t)\) fonksiyonlarının bulunup bulunamayacağıdır.

Neden denklemler DAE biçimine dönüştürülüyor?

Integral formdaki denklemlerin doğrudan çözülebilirlik analizi zordur. Çalışmanın Lemma 1 sonucu, \(\Lambda\)'nın terslenebilirliği altında quasi-regulator denklemlerinin aşağıdaki DAE sistemiyle eşdeğer olduğunu göstermektedir:

\[ \dot{\Psi}_x(t) = A\Psi_x(t) + \big(B\Delta(t)+P\big)\Lambda(t,t_0) \]

\[ 0_{1\times\nu} = C\Psi_x(t) + \big(D\Delta(t)+Q\big) \Lambda(t,t_0). \]

Dönüşüm:

\[ \Psi_x(t)=\Pi_x(t)\Lambda(t,t_0) \]

ile yapılmaktadır.

Bu eşdeğerlik çalışmanın geri kalan bütün çözülebilirlik analizinin başlangıç noktasıdır.

Feedforward terimi neden bu kadar önemli?

Çıkış:

\[ e=Cx+Du+Q\omega \]

olduğundan \(D\neq0\) ise kontrol girdisi \(u\), regülasyon hatasına doğrudan etki edebilir. \(D=0\) durumunda ise giriş önce durum dinamiklerinden geçmek zorundadır.

Bu ayrım düzgün olmayan sinyallerde kritik hale gelir. Bir referans veya bozucu çıkışta ani bir sıçrama oluşturuyorsa sürekli sistem durumu \(Cx\) aynı anda ters yönde sıçrayamaz. Doğrudan feedforward yolu \(Du\) bulunuyorsa kontrol girdisi bu ani bileşeni doğrudan dengeleyebilir.

Theorem 1 ne söylüyor?

Çalışmanın ilk temel gerekli koşulu şöyledir:

\(D=0\) ise quasi-regulator denklemlerinin çözülebilmesi için \(Q\Lambda(t,t_0)\) fonksiyonunun bütün zamanlarda yerel Lipschitz sürekli olması gerekir.

Bunun önemli sonucu, \(D=0\) iken \(Q\Lambda\)'da gerçek süreksizlik varsa sınırlı \(\Delta(t)\) kullanılarak quasi-regulator denklemlerinin çözülememesidir.

Kaynak bunu fiziksel olarak şu şekilde yorumlamaktadır: sürekli bir \(Cx\) sinyali, doğrudan feedforward yardım olmadan kesikli bir \(Q\omega\) sinyalinin sıçramasını anlık olarak iptal edemez.

Araştırmacılar impulsive control kullanımının bu durumu değiştirebileceğini not etmekte, ancak bunu gelecek çalışmaya bırakmaktadır.

Assumption 2 hangi düzgünlüğü istiyor?

\(D=0\) için çalışma bundan sonra \(Q\Lambda(t,t_0)\)'nun piecewise differentiable olmasını ve:

\[ \frac{d}{dt} \left( Q\Lambda(t,t_0) \right) \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ifadesinin ilgili düzgün zaman aralıklarında sınırlı kalmasını varsaymaktadır.

Piecewise differentiability burada sinyalin sürekli olduğu ancak belirli noktalarda sol ve sağ türevlerinin farklı olabileceği bir yapıyı kapsar. Üçgen dalgalar bu tür düzgün olmayan davranış için temel örneklerden biridir.

Bu varsayım bütün \(\omega(t)\)'nın sürekli olmasını mı gerektiriyor?

Hayır. Çalışma özellikle bunu ayırmaktadır. \(Q\Lambda\)'nın gerekli düzgünlüğe sahip olması, \(\Lambda\)'nın veya \(\omega\)'nın bütün bileşenlerinin sürekli olması anlamına gelmez.

Exogenous sinyaldeki bir sıçrama \(Q\)'nun çekirdeğinde kalıyorsa bu sıçrama doğrudan regülasyon çıkışına yansımayabilir. Dolayısıyla \(P\omega\) üzerinden sistem durumuna etki eden bazı kesikli bileşenler teori tarafından tamamen dışlanmamaktadır.

Bağıl derece neden klasik teoriden farklı biçimde öne çıkıyor?

SISO bir sistemde bağıl derece \(r\), kontrol girişinin çıkışta ilk kez görünür hale geldiği türev seviyesini ifade eder. Kaynak bunu:

\[ CA^{r-1}B\neq0 \]

koşulunu sağlayan en küçük pozitif \(r\le n\) olarak tanımlamaktadır.

Klasik düzgün LTI output regulation probleminde bağıl derece regulator denklemlerinin çözülebilirlik koşulunun merkezinde değildir. Bu çalışmada ise düzgün olmayan sinyaller söz konusu olduğunda bağıl derece, kontrol girişinin çıkışın ne kadar düşük düzgünlükteki davranışını oluşturabileceğini belirlemektedir.

Başka bir ifadeyle, kontrol girdisinin çıkış üzerinde etkili olması için çok fazla dinamik türevden geçmesi gerekiyorsa, sonlu bir kontrol girdisinin yeterince keskin bir exogenous çıkış bileşenini iptal etmesi mümkün olmayabilir.

\(V_j(t)\) yardımcı fonksiyonları neden tanımlanıyor?

Düzgün olmayan \(\Lambda\) nedeniyle araştırmacılar denklemleri istenildiği kadar doğrudan türevleyememektedir. Bunun yerine tekrar integrasyon içeren:

\[ V_j(t) = \sum_{i=1}^{j} I_{t_0}^{[i]} \left[ CA^{i-1}P\Lambda(t,t_0) \right] + Q\Lambda(t,t_0) \]

fonksiyonlarını tanımlamaktadır.

\(V_0(t)=Q\Lambda(t,t_0)\) olarak alınır ve her \(V_j\)'nin düzgünlük derecesi \(c_j\) ile gösterilir.

Bu yardımcı yapı, sinyalin düzgünlük miktarı ile sistem bağıl derecesini aynı matematiksel çerçevede karşılaştırmayı mümkün hale getirir.

Lemma 2'nin temel mesajı nedir?

\(j^*=c_n

• \(j\le j^*\) için \(V_j\) en az \(j\) kez türevlenebilir;
• \(j>j^*\) olduğunda bütün sonraki \(V_j\) fonksiyonlarının düzgünlük derecesi \(j^*\)'da kalır.

Böylece düzgünlüğün hangi türev seviyesinde “tükendiği” matematiksel olarak belirlenmektedir.

Bağıl derece için gerekli koşul nedir?

Proposition 1, \(D=0\) ve Assumption 1–2 altında quasi-regulator denklemleri çözülebiliyorsa:

\[ \boxed{r\le j^*+1} \]

olması gerektiğini göstermektedir.

Burada:

\[ j^*=c_n \]

yardımcı \(V_n\) fonksiyonunun düzgünlük derecesidir.

Bu bir gerekli koşuldur; çalışma \(r\le j^*+1\) eşitsizliğinin tek başına her durumda yeterli olmadığını açıkça belirtmektedir.

Neden çalışma daha sonra \(r=1\)'e odaklanıyor?

Araştırmacılar özellikle üçgen veya kare dalga benzeri düzgün olmayan sinyallerin hedeflendiği durumda \(c_n\ge1\) olmasının daha az tipik olduğunu belirtiyor. Bu nedenle geniş düzgün olmayan sinyal sınıfı için çözülebilirliği güvence altına alacak temel durum olarak:

\[ r=1 \]

yani unitary relative degree varsayımına odaklanılıyor.

Bu durumda:

\[ CB\neq0 \]

olur ve giriş çıkış üzerinde ilk türev seviyesinde etkili hale gelir.

Non-smooth non-resonance condition nedir?

Çalışmanın ana kavramsal katkısı Definition 1'de tanımlanan yeni rezonans-dışılık koşuludur. Sistemler, belirli bir \(\Omega(t_0)\) başlangıç değeri için:

\[ \Omega(t)= \left[ \left( \Lambda(t_0,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-t_0)} \right]\Omega(t_0) \]

\[ + \int_{t_0}^{t} \left[ \left( \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-\tau)} \right]d\tau \]

fonksiyonu bütün \(t\ge t_0\) için sınırlı kalıyorsa non-resonant olarak tanımlanmaktadır.

\(A_z\)'nin özdeğerleri kontrol edilen sistemin transmission zero'larıyla aynıdır.

Dolayısıyla yeni kriter yalnız klasik exosystem özdeğerleri ile transmission zero'ları karşılaştırmak yerine, düzgün olmayan ve genel zaman bağımlı \(\Lambda\) dinamiğinin sıfır dinamikleriyle etkileşimini zaman alanındaki bir boundedness problemi olarak ifade etmektedir.

Theorem 2'nin gerekli ve yeterli sonucu nedir?

\(D=0\), Assumption 1 ve 2 ile:

\[ r=1 \]

varsayımı altında çalışma şu eşdeğerliği elde etmektedir:

Quasi-regulator denklemleri herhangi bir \(P\) ve \(Q\) için çözülebilir ⇔ kontrol edilen sistem ile exogenous-signal generator non-smooth non-resonant'tır.

Bu çalışma içindeki ana gerekli-yeterli çözülebilirlik sonucudur.

Theorem 2'nin ispatında sistem nasıl ayrıştırılıyor?

\(r=1\) durumunda:

\[ b=CB\neq0 \]

olduğu için araştırmacılar \(T\) doğrusal dönüşümüyle sistemi zero-dynamics ve output bileşenlerine ayırmaktadır:

\[ \Theta=T\Psi_x = \operatorname{col}(\Theta_z,\Theta_y). \]

DAE'nin cebirsel kısmı doğrudan:

\[ \Theta_y(t)=-Q\Lambda(t,t_0) \]

sonucunu verir.

Geriye kalan \(\Theta_z\) dinamiği ise transmission zero'ları taşıyan \(A_{11}\) matrisi üzerinden ilerler. Böylece bütün quasi-regulator çözülebilirlik problemi, zero-dynamics bileşenindeki belirli zamanla değişen integral çözümünün sınırlı olup olmadığı problemine indirgenmektedir.

Feedforward varsa sonuç nasıl değişiyor?

\(D\neq0\) durumunda kontrol girdisi çıktı denkleminde doğrudan bulunduğu için:

\[ \Delta = -D^{-1} \left( C\Psi_x\Lambda^{-1}+Q \right) \]

olarak cebirsel biçimde çözülebilmektedir.

Bu nedenle \(D=0\) durumundaki ek düzgünlük ve unitary-relative-degree şartları gerekli değildir.

Theorem 3'e göre \(D\neq0\) ve Assumption 1 altında quasi-regulator denklemleri herhangi bir \(P,Q\) için çözülebilir ancak ve ancak iki sistem non-smooth non-resonant ise.

Minimum-phase sistemler neden önemli?

Çalışmadaki Proposition 2 şu yeterli sonucu vermektedir:

Kontrol edilen doğrusal sistem minimum phase ise, Assumption 1 altında non-smooth non-resonance koşulu sağlanır.

Minimum-phase durumda transmission zero'ları açık sol yarı düzlemdedir ve dolayısıyla \(A_z\) Hurwitz olur. Böylece:

\[ \|e^{A_z(t-\tau)}\| \le \alpha e^{-\beta(t-\tau)} \]

şeklindeki üstel azalma kullanılarak Definition 1'deki integral terimin sınırlılığı gösterilmektedir.

Minimum phase gerekli mi?

Çalışma minimum-phase koşulunu gerekli olarak sunmamaktadır. Proposition 2 yalnızca:

\[ \text{minimum phase} \Rightarrow \text{non-smooth non-resonance} \]

sonucunu kurmaktadır.

Dolayısıyla non-minimum-phase bir sistemin bütün durumlarda çözülemez olduğu sonucu bu çalışmadan çıkarılamaz.

Yeni koşul klasik non-resonance ile nasıl ilişkili?

Klasik LTI output regulation probleminde exosystem:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

ve dolayısıyla:

\[ \Lambda(t,t_0)=e^{S(t-t_0)} \]

olduğunda regulator equation, Sylvester tipi cebirsel denkleme indirgenir.

Klasik non-resonance şartının özü:

\[ \sigma(A_z)\cap\sigma(S)=\varnothing \]

yani sistemin transmission zero'ları ile exosystem özdeğerlerinin çakışmamasıdır.

Çalışma, yeni non-smooth non-resonance koşulunun bu klasik düşüncenin düzgün olmayan ve periyodik olmayan sinyal üreticilerine genişletilmiş biçimi olduğunu göstermektedir.

Kaynağın Remark 2'sindeki önemli ayrım, yeni boundedness koşulunun klasik özdeğer ayrıklığından daha güçlü olabilmesidir. Başka bir ifadeyle yalnızca spektrumların çakışmaması, genel non-smooth/non-periodic generator için Definition 1'deki bütün zamanlı sınırlılığı otomatik olarak garanti etmez.

Çözümler benzersiz mi?

Hayır. Remark 3, quasi-regulator denklemlerinin çözülebilir olmasının çözümün benzersiz olduğu anlamına gelmediğini açıkça belirtmektedir.

Örneğin minimum-phase durumda \(A_{11}\) Hurwitz olduğunda farklı:

\[ \bar{\Pi}_z(t_0) \]

başlangıç değerleriyle başlayan çeşitli çözümler yine sınırlı kalabilir. Böylece farklı bounded piecewise-continuous \(\Pi\) ve \(\Delta\) çözümleri aynı çözülebilirlik koşulunu sağlayabilir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Quasi-regulator denklemleri uygun dönüşüm altında bir DAE sistemiyle eşdeğerdir.
• \(D=0\) durumunda \(Q\Lambda\)'nın yerel Lipschitz sürekliliği çözülebilirlik için gerekli bir koşuldur.
• Düzgün olmayan çıktı dinamiklerinde sistemin bağıl derecesi quasi-regulator çözülebilirliğini etkiler.
• \(D=0\) altında gerekli bağıl derece koşulu \(r\le j^*+1\)'dir.
• \(D=0\), ilgili düzgünlük varsayımları ve \(r=1\) altında non-smooth non-resonance koşulu herhangi bir \(P,Q\) için çözülebilirliğin gerekli ve yeterli karakterizasyonudur.
• \(D\neq0\) durumunda aynı gerekli-yeterli sonuç ek \(r=1\) şartı olmadan elde edilir.
• Minimum-phase olmak yeni non-smooth non-resonance koşulu için yeterlidir.
• Quasi-regulator çözümlerinin non-smooth non-periodic durumda benzersiz olması gerekmez.

Çalışmanın desteklemediği veya test etmediği sonuçlar

• Çalışma belirli bir fiziksel plant üzerinde deneysel performans artışı göstermemektedir.
• Bir kontrol algoritmasının hata, yerleşme zamanı veya enerji tüketimi açısından sayısal üstünlüğünü karşılaştırmamaktadır.
• Sonuçlar bütün nonlinear sistemler için verilmemiştir; temel problem SISO LTI sistem sınıfı için kurulmuştur.
• Quasi-regulator denklemlerinin çözülebilirliği tek başına bütün olası NNOR tasarımlarının gerekli koşulu olarak sunulmamaktadır.
• \(D=0\) durumundaki \(r\le j^*+1\) koşulu tek başına yeterli değildir.
• Minimum-phase olmak çözülebilirlik için zorunlu koşul olarak gösterilmemiştir.
• Discontinuous çıkışı feedforward olmadan izlemek için impulsive control seçeneği analiz edilmemiştir.
• Kaynak gerçek PWM devresi, robot, güç dönüştürücü veya endüstriyel sistem üzerinde uygulama doğrulaması sunmamaktadır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Araştırma deneysel değil, teorem tabanlıdır

Bu çalışmada klasik anlamda deney grubu, veri seti, sensör, örneklem büyüklüğü veya istatistiksel hipotez testi bulunmamaktadır. Araştırma yöntemi matematiksel kontrol teorisine dayanmaktadır.

İspat yapısı temel olarak şu araçları kullanmaktadır:

• integral quasi-regulator denklemlerinin DAE formuna dönüştürülmesi,
• fonksiyon düzgünlüğü ve local Lipschitz özellikleri,
• bağıl derece analizi,
• tekrarlı integrallerle tanımlanan yardımcı \(V_j\) fonksiyonları,
• doğrusal koordinat dönüşümü,
• zero-dynamics ve transmission-zero yapısı,
• Kronecker çarpımı,
• durum geçiş matrisi/integral çözümünün sınırlılık analizi,
• Hurwitz ve minimum-phase özellikleri.

Assumption 1

Exogenous signal generator için \(\Lambda(t,t_0)\)'nun:

• piecewise continuous,
• non-singular,
• finite-time bounded

olması ve:

\[ \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ifadesinin bütün \(t\ge\tau\ge t_0\) için uniform bounded olması kabul edilmektedir.

Assumption 2

\(D=0\) durumunda:

\[ Q\Lambda(t,t_0) \]

piecewise differentiable olmalı ve:

\[ \frac{d}{dt}(Q\Lambda) \Lambda^{-1} \]

ilgili düzgün zaman aralıklarında sınırlı kalmalıdır.

Assumption 3

Theorem 2'nin ana gerekli-yeterli sonucu için sistem:

\[ r=1 \]

yani unitary relative degree özelliğine sahip kabul edilmektedir.

Çalışmadaki ana matematiksel sonuçların özeti

\(D=0\) ve \(D\neq0\) arasındaki temel fark

Klasik ve yeni non-resonance yaklaşımının farkı

Sonuç neden özellikle teorik kontrol açısından önemli?

Bir kontrolcü tasarlamadan önce ideal hata-sıfırlayan yörüngelerin matematiksel olarak var olup olmadığını bilmek gerekir. Eğer quasi-regulator denklemleri çözülemiyorsa, bu denklemlere dayanan NNOR kontrol tasarımı başlangıçtan itibaren gerekli yapı taşını kaybetmiş olur.

Bu çalışma böylece “hangi kontrolcü daha iyi?” sorusundan daha temel bir soruya yanıt vermektedir:

Düzgün olmayan ve periyodik olmayan bir referans/bozucu altında hata-sıfırlayan durum ve giriş yörüngelerinin varlığı hangi sistem ve sinyal özelliklerine bağlıdır?

Kaynağın cevabı; feedforward yapısı, sinyal düzgünlüğü, sistem bağıl derecesi, transmission zero'ları ve yeni non-smooth non-resonance koşulunun birlikte değerlendirilmesi gerektiğidir.

Çalışmanın sınırlılıkları

• Temel sistem sınıfı SISO LTI sistemdir.
• Sonuçlar tanımlanan Assumption 1–3 kapsamındadır.
• Fiziksel veya sayısal uygulama örneği sunulmamaktadır.
• \(D=0\) için genel gerekli-yeterli sonuç özellikle unitary relative degree durumuna odaklanmaktadır.
• Daha yüksek bağıl dereceler için Proposition 1 gerekli bir koşul verse de tam genel çözülebilirlik karakterizasyonu sunulmamaktadır.
• Feedforward bulunmadan gerçek discontinuous çıkışları takip etmek için impulsive control incelenmemiştir.
• Quasi-regulator çözümünün benzersizliği garanti edilmemektedir.

Kaynak ve Yöntem Notu

Tam özgün çalışma adı: On the Solvability of Quasi-Regulator Equations in Non-smooth Output Regulation

Yazarlar: Zirui Niu, Daniele Astolfi ve Giordano Scarciotti.

Yazar sırası: Kaynak sürümündeki sıra aynen korunmuştur.

Eş birinci yazar/eş katkı: İncelenen sürümde eş katkı beyanı bulunmamaktadır.

Sorumlu yazar: Kaynakta ayrı bir corresponding-author işareti bulunmadığından belirli bir yazar sorumlu yazar olarak atanmadı.

Kurumlar: Zirui Niu ve Giordano Scarciotti — EEE, Imperial College London, Exhibition Road, South Kensington, London, United Kingdom. Daniele Astolfi — Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEPP UMR5007, Villeurbanne, France.

Kaynakta verilen iletişim bilgileri: Zirui Niu — zn120@ic.ac.uk; Giordano Scarciotti — gs3610@ic.ac.uk; Daniele Astolfi — daniele.astolfi@univ-lyon1.fr.

Platform: arXiv.

arXiv kimliği: 2605.28665.

İncelenen sürüm: arXiv:2605.28665v1.

Gönderim tarihi: 27 Mayıs 2026.

Kategoriler: Systems and Control (eess.SY); ayrıca arXiv kaydında Optimization and Control (math.OC) alanıyla ilişkilendirilmektedir.

DOI: 10.48550/arXiv.2605.28665.

Resmî kayıt:https://arxiv.org/abs/2605.28665

Yayın/hakemlik durumu: İncelenen belge arXiv preprint sürümüdür. Güncel arXiv metadata kaydında çalışma “7 pages, accepted by MTNS 2026” olarak belirtilmektedir. Erişilen kaynaklar konferans hakemlik prosedürünü ayrıca belgelemediğinden, bu Verianla metninde durum “arXiv preprinti; MTNS 2026'ya kabul edilmiş” biçiminde belirtilmiş ve ayrıca hakemli nihai proceedings yayını varmış gibi sunulmamıştır.

Nihai proceedings bibliyografisi: İncelenen kaynak ve yapılan bibliyografik kontrolde cilt, sayfa, proceedings DOI'si veya nihai MTNS 2026 bibliyografik künyesi doğrulanmadığından eklenmemiştir.

Lisans: arXiv kaydındaki yeniden kullanım lisansı genel bir Creative Commons yayın lisansı olarak yorumlanmamıştır.

Finansman: İncelenen çalışmada ayrı bir finansman beyanı tespit edilmemiştir.

Çıkar çatışması: İncelenen çalışmada ayrı competing-interests beyanı tespit edilmemiştir.

Veri/kod: Çalışma kuramsaldır; ayrı bir deney veri seti veya kod deposu beyanı bulunmamaktadır.

CRediT/yazar katkıları: İncelenen sürümde ayrı CRediT authorship statement bulunmamaktadır.

Araştırma türü: Kuramsal/matematiksel kontrol teorisi analizi. Deney, saha ölçümü veya sayısal benchmark performans testi bulunmamaktadır.

Ana matematiksel araçlar: Quasi-regulator integral denklemleri, differential-algebraic equation dönüşümü, relative-degree analizi, piecewise differentiability, repeated-integral yardımcı fonksiyonları, zero dynamics, transmission zeros, Kronecker product, Hurwitz/minimum-phase özellikleri ve boundedness analizi.

Ana gerekli koşullar: \(D=0\) durumunda \(Q\Lambda\)'nın local Lipschitz sürekliliği ve uygun düzgünlük altında \(r\le j^*+1\).

Ana gerekli-yeterli sonuç: \(D=0\), Assumption 1–3 ve \(r=1\) altında; ayrıca \(D\neq0\), Assumption 1 altında quasi-regulator denklemlerinin herhangi bir \(P,Q\) için çözülebilirliği non-smooth non-resonance koşuluna eşdeğerdir.

Yeterli özel durum: Minimum-phase sistem olmak non-smooth non-resonance koşulunun sağlanması için yeterlidir; gerekli olduğu gösterilmemiştir.

Çözüm tekliği: Kaynak, non-smooth non-periodic durumda bounded quasi-regulator çözümlerinin genel olarak benzersiz olmak zorunda olmadığını açıkça belirtmektedir.

Bilimsel kapsam sınırı: Sonuçlar kaynakta tanımlanan matematiksel sistem sınıfı ve varsayımlar için çözülebilirlik teoremleridir. Fiziksel sistem performansı, sayısal kontrol kazancı, kararlılık marjı veya deneysel doğruluk sonucu değildir.

İçerik temeli: Bu Verianla açıklaması çalışmanın problem tanımı, quasi-regulator denklemleri, Lemma 1–2, Theorem 1–3, Proposition 1–2, Definition 1, Remark 1–3, matematiksel ispat akışı ve sonuç bölümüne dayanmaktadır. Bibliyografik kimlik/yayın durumu doğrulaması dışında dış kaynaklardan yeni bilimsel sonuç eklenmemiştir.