Vekil model tabanlı belirsizlik nicelleştirmesi (surrogate-based uncertainty quantification, UQ), hesaplama maliyeti yüksek bir fiziksel modelin giriş–çıkış davranışını daha hızlı çalışan matematiksel bir yaklaşım modeliyle temsil ederek çok sayıda rastgele örneğin etkisini hesaplamaya yönelik bir yöntemdir. Younes Koulou ve çalışma arkadaşları, bağlı bir yapısal–akustik sistemde Finite Element Method (FEM) ile üretilen yüksek doğruluklu çözümlerden Quadratic Response Surface (QRS) ve Kriging vekil modelleri oluşturmuş, bu modelleri 20 ve 30 noktalı Latin Hypercube Sampling (LHS) tasarımlarıyla karşılaştırmış ve en başarılı Kriging modelini \(10^6\) örnekli Monte Carlo Simulation (MCS) için kullanmıştır.

İncelenen sistem rijit duvarlı bir akustik boşlukla etkileşim içindeki iki esnek alüminyum plakadan oluşmaktadır. Young modülü, yoğunluk ve iki plakanın kalınlığı belirsiz değişken olarak modellenmiştir. 30 LHS noktasıyla oluşturulan Kriging modeli, kaynakta raporlanan karşılaştırmada QRS'den daha düşük hata vermiş; Relative Maximum Error \(4.125\times10^{-7}\), RMSE ise \(8.926\times10^{-6}\) olarak bulunmuştur. Kriging üzerinden yürütülen \(10^6\) örnekli Monte Carlo hesabı yaklaşık 27 saniyede tamamlanırken, aynı örnek sayısının doğrudan FEM ile çözülmesi tek FEM koşusunun yaklaşık 3 dakikalık maliyetinden hareketle yaklaşık \(3\times10^6\) dakika olarak tahmin edilmiştir.

Bu sonuç, Kriging'in incelenen dört boyutlu ve tek benchmark yapısal–akustik probleminde yüksek doğrulukla çok büyük bir hesaplama tasarrufu sağladığını göstermektedir. Ancak çalışma yalnız tek bir sayısal benchmark sisteminde doğrulanmıştır. Daha yüksek boyutlu endüstriyel geometriler, farklı cevap büyüklükleri veya non-stationary davranışlarda aynı performansın otomatik olarak elde edileceği gösterilmemiştir.

Bağlı yapısal–akustik problem nedir?

Bir esnek yapı titreştiğinde çevresindeki veya içinde bulunduğu akustik akışkanın basınç alanını etkileyebilir; akustik basınç da yapıya geri kuvvet uygulayabilir. Böylece yapı titreşimi ile ses alanı birbirinden bağımsız iki problem olmaktan çıkar ve birbirine bağlı bir vibro-akustik sistem oluşur.

Otomobil kabinleri, uçak kabinleri, kapalı makine gövdeleri ve benzeri sistemlerde bu etkileşimin frekans cevabı özellikle rezonans çevresinde hassas olabilir. Malzeme elastikiyetindeki, yoğunluktaki veya üretim toleranslarındaki küçük değişiklikler doğal frekansları kaydırarak ses basıncı tepe noktalarının yerini değiştirebilir.

Vekil model tabanlı belirsizlik nicelleştirmesi neden kullanılır?

Vekil model tabanlı belirsizlik nicelleştirmesi, her Monte Carlo örneğinde pahalı FEM modelini yeniden çözmek yerine sınırlı sayıdaki yüksek doğruluklu FEM çözümüyle eğitilmiş hızlı bir yaklaşım modeli kullanır. Bu çalışmada FEM yalnız LHS eğitim noktalarındaki gerçek model cevaplarını üretmek için kullanılmış, daha sonra milyon adet rastgele girişin sonucu seçilen Kriging modeli üzerinden hesaplanmıştır.

Doğrudan Monte Carlo neden pahalı?

Monte Carlo yöntemi belirsiz parametrelerden çok sayıda rastgele kombinasyon üretir ve her kombinasyonda model çıktısını hesaplar. Örnek sayısı \(10^5\) veya \(10^6\) düzeyine çıktığında her örnekte FEM çözmek hesaplama maliyetini hızla büyütür.

Kaynak benchmark'ında tek deterministik FEM analizi yaklaşık 3 dakika sürmektedir. Bu durumda \(10^6\) bağımsız FEM koşusunun basit işlem süresi hesabı yaklaşık \(3\times10^6\) dakika olur. Bu değer doğrudan yürütülen bir milyon FEM koşusunun ölçülmüş süresi değil, tek koşu süresine dayanan hesaplanmış tahmindir.

Surrogate model nasıl oluşturuluyor?

Genel bir \(m\)-boyutlu tasarım probleminde giriş vektörü

\[ \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_m) \]

ile gösterilir. LHS ile seçilen \(n\) eğitim noktasının oluşturduğu giriş matrisi ve bu noktalardaki FEM cevapları, bir yaklaşım fonksiyonu \(\hat{y}(\mathbf{x})\) oluşturmak için kullanılır.

Süreç dört temel adımda özetlenebilir:

1. Belirsiz giriş uzayı Latin Hypercube Sampling ile örneklenir.
2. Her eğitim noktasında yüksek doğruluklu FEM cevabı hesaplanır.
3. QRS veya Kriging vekil modeli giriş–çıkış ilişkisine uydurulur.
4. Model doğruluğu bağımsız hata metrikleri ve çapraz doğrulamayla kontrol edilir.

Latin Hypercube Sampling neden kullanılıyor?

LHS, her belirsiz parametrenin dağılım aralığını örnekleme uzayında daha düzenli biçimde temsil etmeyi amaçlayan bir space-filling örnekleme stratejisidir. Çalışmada hem 20 hem de 30 noktalı LHS tasarımları sınanmıştır.

Aynı dört belirsiz parametre uzayında 30 eğitim noktasının kullanılması özellikle Kriging modelinin doğruluğunu artırmıştır. Bununla birlikte kaynak, 30 noktanın bütün surrogate-model problemleri için evrensel optimum sayı olduğunu iddia etmez; yalnız benzer boyut ve düzgünlükteki problemler için makul bir başlangıç noktası olarak değerlendirmektedir.

QRS ile Kriging arasındaki temel fark

Quadratic Response Surface, girişlerle çıktı arasındaki ilişkiyi ikinci dereceden polinom benzeri küresel bir cevap yüzeyiyle yaklaştırır. Kriging ise global trend ile giriş uzayındaki noktalar arasındaki korelasyonu birlikte kullanan bir Gaussian-process temelli interpolasyon yaklaşımıdır.

Çalışmadaki Kriging uygulaması MATLAB R2019a DACE toolbox kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Modelde quadratic global trend ve exponential covariance kernel kullanılmıştır.

Kriging neden bu çalışmada QRS'den daha doğru çıktı?

Kriging, incelenen yapısal–akustik benchmark'ta keskin rezonans davranışını QRS'ye kıyasla çok daha düşük doğrulama hatasıyla temsil etmiştir. 30 LHS noktası altında Kriging için RME \(4.125\times10^{-7}\) ve RMSE \(8.926\times10^{-6}\) iken, QRS için aynı metrikler sırasıyla 0,002 ve 0,002 olarak raporlanmıştır; bu sonuç yalnız bu çalışmanın dört belirsiz değişkenli benchmark problemi için geçerlidir.

30 noktalı Kriging tasarımı için leave-one-out cross-validation sırasında ortalama tahmin standart sapması \(8.93\times10^{-3}\) dB olarak raporlanmıştır.

Fiziksel benchmark sistemi

Çalışma, iki esnek alüminyum plakanın kapalı bir akustik boşluğa bağlandığı geometrik modeli kullanmaktadır. Kaynak Figure 4'te sistemin basamaklı/L biçimli geometrisi, plaka konumları, uyarım noktası F ve gözlem noktaları G1/G2 gösterilmektedir.

Plate 1'in kalınlığı 2 mm, Plate 2'nin kalınlığı 4 mm'dir. Alüminyum için nominal Young modülü 70 GPa, yoğunluk 2700 kg/m³ ve Poisson oranı 0,33 olarak kullanılmıştır.

FEM modeli

Mesh yoğunluğu, 1000 Hz'deki yaklaşık 0,34 m akustik dalga boyu için en az altı eleman/dalga boyu kriterini sağlayacak şekilde seçilmiştir. Yapısal mesh'in de incelenen banttaki ilk on yapısal modu yakaladığı belirtilmektedir.

Belirsiz değişkenlerin tanımlanması

Kaynak dört rastgele değişkeni istatistiksel olarak bağımsız kabul etmektedir. Bu bir model varsayımıdır; malzeme ve geometrik parametreler arasında ölçülmüş korelasyon verisi olmadığı için uygulanmıştır.

Rezonans çevresinde belirsizlik neden çok büyüyor?

Rezonans çevresindeki SPL belirsizliği büyür çünkü malzeme ve kalınlık değişkenleri doğal frekansı kaydırır; doğal frekanstaki yaklaşık standart sapma \(\sigma(f_n)\approx25\) Hz iken rezonans yarı bant genişliği yalnız yaklaşık 6,8 Hz'dir. Bu nedenle farklı Monte Carlo örneklerinde rezonans tepesi farklı frekanslara kayar ve yaklaşık 640–720 Hz bandında geniş bir SPL dağılımı oluşur.

Kaynak ilk mertebe belirsizlik yayılımını şu bağıntıyla ifade eder:

\[ \sigma(f_n)\approx f_n \sqrt{ (0.5\,COV_E)^2+ (0.5\,COV_\rho)^2+ (0.5\,COV_{t_1})^2+ (0.5\,COV_{t_2})^2 } \]

Burada \(f_n\) doğal frekansı, \(COV_E\) elastisite modülünün değişim katsayısını, \(COV_\rho\) yoğunluğun değişim katsayısını ve \(COV_{t_1}\), \(COV_{t_2}\) iki plakanın kalınlıklarındaki değişim katsayılarını temsil eder.

Bu bağıntının kaynak parametreleriyle değerlendirilmesi yaklaşık 25 Hz doğal frekans standart sapması vermektedir. Bu değer yaklaşık 6,8 Hz rezonans yarı bant genişliğinden büyüktür.

Bu nedenle kaynakta 640–720 Hz çevresinde yüksek varyans görülür. 5.–95. yüzdelik SPL bandının bu bölgede yaklaşık 70–115 dB arasında genişlediği, rezonans dışındaki frekanslarda ise varyansın ihmal edilebilir düzeye düştüğü raporlanmaktadır.

Monte Carlo örnek sayısı

Kriging modeli seçildikten sonra rastgele giriş değişkenleri için \(N=10^6\) Monte Carlo örneği üretilmiştir. Bu aşamada her örnek için FEM çözülmemiş; daha önce eğitilmiş Kriging surrogate modeli kullanılmıştır.

Kaynak, \(10^6\) örnek altında ortalama tahmin hatasının yaklaşık 0,013 dB ölçeğinde olduğunu ve istatistiksel yakınsamanın sağlandığını belirtmektedir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Yöntem akışı

1. Bağlı structural–acoustic FEM benchmark modeli oluşturulur.
2. Nominal frekans cevabı 0–1000 Hz arasında çözülür.
3. Dört fiziksel/geometrik parametre rastgele değişken olarak tanımlanır.
4. LHS ile 20 ve 30 eğitim noktası oluşturulur.
5. Her eğitim noktasında FEM cevabı hesaplanır.
6. QRS ve Kriging surrogate modelleri oluşturulur.
7. Cross-validation ve hata metrikleriyle doğruluk karşılaştırılır.
8. En başarılı 30 noktalı Kriging modeli seçilir.
9. Kriging üzerinden \(10^6\) örnekli MCS yürütülür.
10. SPL dağılımı ve rezonans çevresindeki belirsizlik değerlendirilir.

Deterministik frekans cevabı

Kaynak Figure 6'da G2 noktasındaki deterministik SPL cevabını göstermektedir. Eğri 0–1000 Hz boyunca nispeten yavaş değişirken rezonans bölgesinde keskin bir tepe oluşturmaktadır. Bu keskin tepe, doğal frekanstaki küçük kaymaların neden SPL belirsizliğini dramatik biçimde büyütebildiğini açıklayan fiziksel temelidir.

Cross-validation sonucu

Kaynak Figures 7 ve 8'de FEM ile elde edilen gerçek SPL değerleri ile Kriging tahminlerini karşılaştırmaktadır. 30 LHS noktalı durumda tahmin ve FEM noktaları neredeyse aynı doğrultu üzerinde görünmektedir. Sayısal metrikler de 30 noktalı Kriging modelinin karşılaştırılan dört surrogate konfigürasyon arasındaki en düşük hata değerlerine sahip olduğunu göstermektedir.

Kriging MCS sonucu

Figure 9, \(N=10^6\) örnek üzerinden Kriging MCS ile elde edilen ortalama SPL frekans cevabını göstermektedir. Ortalama spektrum deterministik çözümün rezonans yapısını korumakta, fakat belirsizlik analizi yalnız ortalama eğriden ibaret değildir; asıl önemli sonuç rezonans frekansının örnekler arasında kayması nedeniyle bu bölgede dağılımın genişlemesidir.

Surrogate tabanlı Monte Carlo hesaplamayı ne kadar hızlandırdı?

Kaynak benchmark'ında tek deterministik FEM koşusu yaklaşık 3 dakika sürerken 30 eğitim FEM koşusu yaklaşık 90 dakika gerektirmiştir; eğitilmiş Kriging modeli üzerinden \(10^6\) Monte Carlo değerlendirmesi ise yaklaşık 27 saniyede tamamlanmıştır. Doğrudan \(10^6\) FEM koşusu, tek koşu süresinin doğrusal ölçeklenmesiyle yaklaşık \(3\times10^6\) dakika olarak tahmin edildiğinden, surrogate MCS değerlendirme aşamasındaki hız farkı altı milyon kat mertebesini aşmaktadır.

Bu karşılaştırmada 27 saniyelik MCS süresiyle 3 milyon dakikalık doğrudan FEM tahminini doğrudan karşılaştırırken eğitim maliyetinin ayrıca bulunduğu unutulmamalıdır. Çalışmanın toplam surrogate iş akışında yaklaşık 90 dakikalık FEM eğitim bütçesi de vardır.

RBDO, PSO ve PPSO'nun çalışmadaki rolü

Kaynak, belirsizlik altında tasarım optimizasyonunun sonraki aşamalarını açıklamak amacıyla Reliability-Based Design Optimization (RBDO), dynamic hybrid method, Particle Swarm Optimization (PSO) ve Parallel PSO (PPSO) yapılarını ayrıca sunmaktadır.

Dynamic hybrid yöntemde reformüle edilmiş amaç fonksiyonu kaynakta şu biçimde verilmektedir:

\[ F(\{x\},\{y\})= f(\{x\})\,d_\beta(\{x\},\{y\}) \]

ve güvenilirlik bölgesi şu tür kısıtlarla sınırlandırılır:

\[ G(\{x\},\{y\},t)\leq0, \qquad d_\beta(\{x\},\{y\},t)\leq\beta_t(t) \]

\[ g_k(x,t)\leq0 \]

\(d_\beta\), normalize Hybrid Design Space içinde mevcut tasarım noktasından limit-state yüzeyine olan en kısa mesafeyi temsil eder. Normal dağılım koşullarında bu büyüklük Hasofer–Lind güvenilirlik indeksiyle ilişkilendirilmektedir.

Ancak mevcut makalenin sayısal sonuçlarında tam PPSO–Kriging RBDO optimizasyonu uygulanmamaktadır. Yazarlar bu entegrasyonu sonraki bir çalışmaya bırakmış ve mevcut araştırmanın asıl uygulamasını surrogate-based uncertainty quantification ile sınırlandırmıştır.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• İncelenen benchmark'ta Kriging, QRS'den daha düşük surrogate-model hata değerleri üretmiştir.
• 30 noktalı LHS tasarımı 20 noktaya kıyasla Kriging doğruluğunu artırmıştır.
• Kriging üzerinden \(10^6\) örnekli Monte Carlo analizi çok düşük hesaplama maliyetiyle yürütülebilmiştir.
• Malzeme ve kalınlık belirsizliklerinin etkisi özellikle rezonans çevresinde yoğunlaşmaktadır.
• Rezonans frekansındaki yaklaşık 25 Hz'lik standart sapma, yaklaşık 6,8 Hz'lik yarı bant genişliğinden büyüktür.
• Yaklaşık 640–720 Hz bandı belirgin yüksek SPL belirsizliği göstermektedir.
• Kriging'in keskin rezonanslı vibro-akustik UQ problemlerinde yerel interpolasyon ve tahmin belirsizliği özellikleri nedeniyle yararlı olduğu bu benchmark üzerinde gösterilmiştir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• 30 LHS noktasının bütün Kriging problemleri için optimum sayı olduğu gösterilmemiştir.
• Kriging'in bütün yapısal–akustik problemlerinde QRS'den kesin olarak üstün olduğu gösterilmemiştir.
• Yöntem gerçek otomobil, uçak veya endüstriyel kabinde saha doğrulamasıyla sınanmamıştır.
• Yüksek boyutlu veya non-stationary endüstriyel problemlerde aynı doğruluk ve hız oranı garanti edilmemektedir.
• Dört rastgele değişkenin bağımsızlığı deneysel korelasyon ölçümüne değil model varsayımına dayanmaktadır.
• PPSO–Kriging ile tam RBDO çözümü bu makalede uygulanmış bir sonuç değildir.
• \(3\times10^6\) dakikalık doğrudan FEM-MCS değeri gerçekleştirilmiş bir milyon koşunun ölçülmüş süresi değildir.

Temel sınırlılıklar

Çalışma yalnız tek bir benchmark geometrisi ve dört belirsiz değişken üzerinden doğrulanmıştır. Parametre sayısı yükseldiğinde surrogate modelin eğitim ihtiyacı ve gerekli LHS büyüklüğü değişebilir.

İncelenen çıkış temel olarak SPL davranışıdır. Çoklu çıktıların, farklı yapı modlarının veya non-stationary cevapların aynı surrogate konfigürasyonunda aynı doğrulukla temsil edileceği gösterilmemiştir.

Belirsiz parametreler bağımsız kabul edilmiştir. Gerçek üretim sistemlerinde malzeme veya geometrik değişkenler arasında korelasyon bulunuyorsa bu varsayım ayrıca doğrulanmalıdır.

Çalışma sayısal simülasyondur. Deneysel akustik ölçüm veya fiziksel prototip doğrulaması raporlanmamaktadır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: Surrogate-Based Uncertainty Quantification for Coupled Structural–Acoustic Problems

Yazarlar: Younes Koulou; Hakima Reddad; Norelislam El Hami; Nabil Hmina; Abdelkhalak El Hami.

Corresponding author: Abdelkhalak El Hami.

Kurumlar: Science and Engineering Laboratory, ENSA Kenitra, Ibn Tofail University; Advanced Systems Engineering Laboratory, ENSA Kenitra, Ibn Tofail University; Ibnou Zohr University; Laboratory of Mechanics of Normandy, INSA Rouen Normandy, University of Rouen.

Dergi: Acoustics.

Yayınevi: MDPI, Basel, Switzerland.

Bibliyografik kayıt: Acoustics 2026, Volume 8, Issue 2, Article 31.

DOI: 10.3390/acoustics8020031

Yayın tarihi: 14 Mayıs 2026.

Editoryal tarihler: Received 15 September 2025; Revised 8 May 2026; Accepted 11 May 2026.

Kaynak türü: Hakemli sayısal mühendislik / computational vibro-acoustic uncertainty quantification çalışması.

Lisans: Creative Commons Attribution (CC BY).

Ana yöntem: FEM + LHS + QRS/Kriging surrogate modeling + cross-validation + Kriging tabanlı Monte Carlo Simulation.

FEM yazılımı: ANSYS-APDL 17.2.

Kriging yazılımı: MATLAB R2019a DACE toolbox; quadratic global trend ve exponential covariance kernel.

Benchmark: Rijit duvarlı bir akustik boşlukla bağlı iki esnek alüminyum plaka.

FEM mesh: Akustik hacimde 3000 FLUID30; plakalarda 200 SHELL181 eleman.

Frekans analizi: 0–1000 Hz, 1 Hz adım.

Uyarım: Plate 2 merkezindeki F noktasında 1 N harmonik kuvvet.

Belirsiz parametreler: \(E\), \(\rho\), \(t_1\) ve \(t_2\).

Surrogate doğrulaması: 20 ve 30 noktalı LHS; MAE, RME, RMSE ve leave-one-out cross-validation.

Monte Carlo örnek sayısı: \(N=10^6\).

Finansman: Araştırma harici finansman almamıştır.

Veri erişilebilirliği: Veri, devam eden araştırmaya ilişkin gizlilik kısıtları nedeniyle kamuya açık değildir; corresponding author'dan talep edilebilir.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması olmadığını beyan etmiştir.

Yazar katkıları: Conceptualization: A.E.H. ve N.E.H.; methodology ve software: A.E.H., Y.K. ve N.E.H.; validation: A.E.H., Y.K., N.E.H., H.R. ve N.H.; formal analysis: A.E.H., N.E.H. ve N.H.; investigation: A.E.H. ve N.E.H.; resources/data curation: A.E.H., Y.K. ve H.R.; original draft: A.E.H. ve Y.K.; review/editing: H.R.; visualization: Y.K. ve H.R.; supervision: A.E.H., N.E.H. ve N.H.; project administration: A.E.H., Y.K. ve H.R.

Temel yorum sınırı: Çalışmanın sonuçları tek bir dört-belirsiz-parametreli structural–acoustic benchmark üzerinde sayısal olarak doğrulanmıştır. Kriging'in yüksek boyutlu veya endüstriyel bütün vibro-akustik problemlerde aynı doğruluk ve hesaplama kazancını sağlayacağı bu çalışma tarafından gösterilmemiştir. PPSO–Kriging tabanlı tam RBDO uygulaması da mevcut çalışmanın sayısal sonucu değildir.