Surroqat model əsaslı qeyri-müəyyənliyin kəmiyyətcə qiymətləndirilməsi (surrogate-based uncertainty quantification, UQ), hesablama baxımından bahalı fiziki modelin giriş–çıxış davranışını daha sürətli işləyən riyazi yaxınlaşdırma modeli ilə təmsil edərək çoxsaylı təsadüfi nümunələrin təsirini hesablamağa yönəlmiş üsuldur. Younes Koulou və həmkarları birləşmiş struktur–akustik sistemdə Finite Element Method (FEM) ilə əldə edilən yüksək dəqiqlikli həllər əsasında Quadratic Response Surface (QRS) və Kriging surroqat modelləri qurmuş, bu modelləri 20 və 30 nöqtəli Latin Hypercube Sampling (LHS) dizaynları ilə müqayisə etmiş və ən uğurlu Kriging modelini \(10^6\) nümunəli Monte Carlo Simulation (MCS) üçün istifadə etmişlər.

Tədqiq edilən sistem sərt divarlı akustik boşluqla qarşılıqlı təsirdə olan iki elastik alüminium lövhədən ibarətdir. Young modulu, sıxlıq və iki lövhənin qalınlığı qeyri-müəyyən dəyişənlər kimi modelləşdirilmişdir. 30 LHS nöqtəsi ilə qurulan Kriging modeli mənbədə verilən müqayisədə QRS-dən daha aşağı xəta göstərmiş; Relative Maximum Error \(4.125\times10^{-7}\), RMSE isə \(8.926\times10^{-6}\) olmuşdur. Kriging üzərindən aparılan \(10^6\) nümunəli Monte Carlo hesabı təxminən 27 saniyədə tamamlandığı halda, eyni sayda nümunənin birbaşa FEM ilə həlli bir FEM işə salınmasının təxminən 3 dəqiqəlik xərcinə əsasən təxminən \(3\times10^6\) dəqiqə kimi qiymətləndirilmişdir.

Bu nəticə Kriging-in araşdırılan dördölçülü və tək benchmark struktur–akustik problemində yüksək dəqiqliklə çox böyük hesablama qənaəti təmin etdiyini göstərir. Lakin tədqiqat yalnız bir ədədi benchmark sistemində doğrulanmışdır. Daha yüksəkölçülü sənaye həndəsələrində, fərqli cavab kəmiyyətlərində və ya non-stationary davranışlarda eyni performansın avtomatik əldə ediləcəyi göstərilməmişdir.

Birləşmiş struktur–akustik problem nədir?

Elastik struktur titrədikdə ətrafındakı və ya daxilindəki akustik mayenin təzyiq sahəsinə təsir göstərə bilər; akustik təzyiq də öz növbəsində struktura geri qüvvə tətbiq edə bilər. Beləliklə, struktur vibrasiyası ilə səs sahəsi bir-birindən müstəqil iki problem olmaqdan çıxır və qarşılıqlı bağlı vibro-akustik sistem yaranır.

Avtomobil kabinləri, təyyarə kabinləri, qapalı maşın gövdələri və oxşar sistemlərdə bu qarşılıqlı təsirin tezlik cavabı xüsusilə rezonans ətrafında həssas ola bilər. Material elastikliyində, sıxlıqda və ya istehsal toleranslarında kiçik dəyişikliklər təbii tezlikləri dəyişdirərək səs təzyiqinin pik nöqtələrinin yerini dəyişə bilər.

Surroqat model əsaslı qeyri-müəyyənliyin kəmiyyətcə qiymətləndirilməsi niyə istifadə olunur?

Surroqat model əsaslı qeyri-müəyyənliyin kəmiyyətcə qiymətləndirilməsi hər Monte Carlo nümunəsində bahalı FEM modelini yenidən həll etmək əvəzinə, məhdud sayda yüksək dəqiqlikli FEM həlli ilə öyrədilmiş sürətli yaxınlaşdırma modelindən istifadə edir. Bu tədqiqatda FEM yalnız LHS təlim nöqtələrində həqiqi model cavablarını yaratmaq üçün istifadə edilmiş, daha sonra milyonlarla təsadüfi girişin nəticəsi seçilmiş Kriging modeli vasitəsilə hesablanmışdır.

Birbaşa Monte Carlo niyə bahalıdır?

Monte Carlo üsulu qeyri-müəyyən parametrlərdən çoxsaylı təsadüfi kombinasiyalar yaradır və hər kombinasiyada model çıxışını hesablayır. Nümunə sayı \(10^5\) və ya \(10^6\) səviyyəsinə çatdıqda hər nümunədə FEM həll etmək hesablama xərcini sürətlə artırır.

Mənbədəki benchmark-da bir deterministik FEM analizi təxminən 3 dəqiqə çəkir. Bu halda \(10^6\) müstəqil FEM işə salınmasının sadə hesablama müddəti təxminən \(3\times10^6\) dəqiqə olur. Bu göstərici birbaşa icra edilmiş bir milyon FEM işə salınmasının ölçülmüş müddəti deyil, bir işə salınmanın müddətinə əsaslanan hesablanmış qiymətləndirmədir.

Surroqat model necə yaradılır?

Ümumi \(m\)-ölçülü dizayn problemində giriş vektoru

\[ \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_m) \]

ilə göstərilir. LHS ilə seçilmiş \(n\) təlim nöqtəsinin yaratdığı giriş matrisi və bu nöqtələrdəki FEM cavabları yaxınlaşdırma funksiyası \(\hat{y}(\mathbf{x})\) yaratmaq üçün istifadə olunur.

Proses dörd əsas addımda ümumiləşdirilə bilər:

1. Qeyri-müəyyən giriş fəzası Latin Hypercube Sampling ilə nümunələnir.
2. Hər təlim nöqtəsində yüksək dəqiqlikli FEM cavabı hesablanır.
3. QRS və ya Kriging surroqat modeli giriş–çıxış əlaqəsinə uyğunlaşdırılır.
4. Modelin dəqiqliyi müstəqil xəta metrikləri və çarpaz doğrulama ilə yoxlanılır.

Latin Hypercube Sampling niyə istifadə olunur?

LHS hər qeyri-müəyyən parametrin paylanma intervalını nümunələmə fəzasında daha müntəzəm təmsil etməyə yönəlmiş space-filling nümunələmə strategiyasıdır. Tədqiqatda həm 20, həm də 30 nöqtəli LHS dizaynları sınaqdan keçirilmişdir.

Eyni dörd qeyri-müəyyən parametr fəzasında 30 təlim nöqtəsinin istifadəsi xüsusilə Kriging modelinin dəqiqliyini artırmışdır. Bununla belə, mənbə 30 nöqtənin bütün surrogate-model problemləri üçün universal optimal say olduğunu iddia etmir; yalnız oxşar ölçü və hamarlığa malik problemlər üçün məqbul başlanğıc nöqtəsi kimi qiymətləndirir.

QRS ilə Kriging arasındakı əsas fərq

Quadratic Response Surface girişlərlə çıxış arasındakı əlaqəni ikinci dərəcəli polinoma bənzər qlobal cavab səthi ilə yaxınlaşdırır. Kriging isə qlobal trend ilə giriş fəzasındakı nöqtələr arasındakı korrelyasiyanı birlikdə istifadə edən Gaussian-process əsaslı interpolasiya yanaşmasıdır.

Tədqiqatdakı Kriging tətbiqi MATLAB R2019a DACE toolbox istifadə edilərək həyata keçirilmişdir. Modeldə quadratic global trend və exponential covariance kernel istifadə olunmuşdur.

Kriging niyə bu tədqiqatda QRS-dən daha dəqiq nəticə verdi?

Kriging araşdırılan struktur–akustik benchmark-da kəskin rezonans davranışını QRS ilə müqayisədə xeyli aşağı doğrulama xətası ilə təmsil etmişdir. 30 LHS nöqtəsi altında Kriging üçün RME \(4.125\times10^{-7}\) və RMSE \(8.926\times10^{-6}\) olduğu halda, QRS üçün eyni metriklər müvafiq olaraq 0,002 və 0,002 kimi bildirilmişdir; bu nəticə yalnız bu tədqiqatın dörd qeyri-müəyyən dəyişənli benchmark problemi üçün keçərlidir.

30 nöqtəli Kriging dizaynı üçün leave-one-out cross-validation zamanı orta proqnoz standart sapması \(8.93\times10^{-3}\) dB kimi bildirilmişdir.

Fiziki benchmark sistemi

Tədqiqat iki elastik alüminium lövhənin qapalı akustik boşluğa birləşdirildiyi həndəsi modeldən istifadə edir. Mənbənin Figure 4-də sistemin pilləli/L formalı həndəsəsi, lövhələrin mövqeləri, həyəcanlandırma nöqtəsi F və müşahidə nöqtələri G1/G2 göstərilir.

Plate 1-in qalınlığı 2 mm, Plate 2-nin qalınlığı 4 mm-dir. Alüminium üçün nominal Young modulu 70 GPa, sıxlıq 2700 kg/m³ və Poisson əmsalı 0,33 götürülmüşdür.

FEM modeli

Mesh sıxlığı 1000 Hz-də təxminən 0,34 m akustik dalğa uzunluğu üçün ən azı altı element/dalğa uzunluğu meyarını ödəyəcək şəkildə seçilmişdir. Struktur mesh-in də araşdırılan diapazondakı ilk on struktur modunu tutduğu bildirilir.

Qeyri-müəyyən dəyişənlərin təyin edilməsi

Mənbə dörd təsadüfi dəyişəni statistik baxımdan müstəqil qəbul edir. Bu, model fərziyyəsidir; material və həndəsi parametrlər arasında ölçülmüş korrelyasiya məlumatı olmadığı üçün tətbiq edilmişdir.

Rezonans ətrafında qeyri-müəyyənlik niyə çox artır?

Rezonans ətrafında SPL qeyri-müəyyənliyi artır, çünki material və qalınlıq dəyişənləri təbii tezliyi sürüşdürür; təbii tezlikdə təxmini standart sapma \(\sigma(f_n)\approx25\) Hz olduğu halda, rezonansın yarım zolaq eni yalnız təxminən 6,8 Hz-dir. Buna görə müxtəlif Monte Carlo nümunələrində rezonans zirvəsi müxtəlif tezliklərə sürüşür və təxminən 640–720 Hz diapazonunda geniş SPL paylanması yaranır.

Mənbə birinci tərtib qeyri-müəyyənlik yayılmasını aşağıdakı əlaqə ilə ifadə edir:

\[ \sigma(f_n)\approx f_n \sqrt{ (0.5\,COV_E)^2+ (0.5\,COV_\rho)^2+ (0.5\,COV_{t_1})^2+ (0.5\,COV_{t_2})^2 } \]

Burada \(f_n\) təbii tezliyi, \(COV_E\) elastiklik modulunun variasiya əmsalını, \(COV_\rho\) sıxlığın variasiya əmsalını və \(COV_{t_1}\), \(COV_{t_2}\) iki lövhənin qalınlığındakı variasiya əmsallarını təmsil edir.

Bu əlaqənin mənbə parametrləri ilə qiymətləndirilməsi təxminən 25 Hz təbii tezlik standart sapması verir. Bu dəyər təxminən 6,8 Hz rezonans yarım zolaq enindən böyükdür.

Buna görə mənbədə 640–720 Hz ətrafında yüksək variasiya müşahidə olunur. 5.–95. persentil SPL zolağının bu bölgədə təxminən 70–115 dB arasında genişləndiyi, rezonansdan kənar tezliklərdə isə variasiyanın nəzərə alınmayacaq səviyyəyə endiyi bildirilir.

Monte Carlo nümunə sayı

Kriging modeli seçildikdən sonra təsadüfi giriş dəyişənləri üçün \(N=10^6\) Monte Carlo nümunəsi yaradılmışdır. Bu mərhələdə hər nümunə üçün FEM həll edilməmiş; əvvəlcədən öyrədilmiş Kriging surrogate modeli istifadə olunmuşdur.

Mənbə \(10^6\) nümunə altında orta proqnoz xətasının təxminən 0,013 dB miqyasında olduğunu və statistik yaxınlaşmanın əldə edildiyini bildirir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Metod axını

1. Birləşmiş structural–acoustic FEM benchmark modeli yaradılır.
2. Nominal tezlik cavabı 0–1000 Hz arasında həll edilir.
3. Dörd fiziki/həndəsi parametr təsadüfi dəyişən kimi təyin edilir.
4. LHS ilə 20 və 30 təlim nöqtəsi yaradılır.
5. Hər təlim nöqtəsində FEM cavabı hesablanır.
6. QRS və Kriging surrogate modelləri yaradılır.
7. Cross-validation və xəta metrikləri ilə dəqiqlik müqayisə edilir.
8. Ən uğurlu 30 nöqtəli Kriging modeli seçilir.
9. Kriging üzərindən \(10^6\) nümunəli MCS aparılır.
10. SPL paylanması və rezonans ətrafındakı qeyri-müəyyənlik qiymətləndirilir.

Deterministik tezlik cavabı

Mənbənin Figure 6-da G2 nöqtəsindəki deterministik SPL cavabı göstərilir. Əyri 0–1000 Hz boyunca nisbətən yavaş dəyişdiyi halda, rezonans bölgəsində kəskin pik yaradır. Bu kəskin pik təbii tezlikdəki kiçik sürüşmələrin SPL qeyri-müəyyənliyini niyə dramatik şəkildə böyüdə bildiyini izah edən fiziki əsasdır.

Cross-validation nəticəsi

Mənbə Figures 7 və 8-də FEM ilə əldə edilmiş həqiqi SPL dəyərləri ilə Kriging proqnozlarını müqayisə edir. 30 LHS nöqtəli halda proqnoz və FEM nöqtələri demək olar ki, eyni xətt üzərində görünür. Ədədi metriklər də 30 nöqtəli Kriging modelinin müqayisə edilən dörd surrogate konfiqurasiyası arasında ən aşağı xəta dəyərlərinə malik olduğunu göstərir.

Kriging MCS nəticəsi

Figure 9, \(N=10^6\) nümunə üzərindən Kriging MCS ilə əldə edilən orta SPL tezlik cavabını göstərir. Orta spektr deterministik həllin rezonans quruluşunu qoruyur, lakin qeyri-müəyyənlik analizi yalnız orta əyridən ibarət deyil; əsas mühüm nəticə rezonans tezliyinin nümunələr arasında sürüşməsi səbəbindən bu bölgədə paylanmanın genişlənməsidir.

Surrogate əsaslı Monte Carlo hesablamanı nə qədər sürətləndirdi?

Mənbə benchmark-ında bir deterministik FEM işə salınması təxminən 3 dəqiqə çəkdiyi halda, 30 təlim FEM işə salınması təxminən 90 dəqiqə tələb etmişdir; öyrədilmiş Kriging modeli üzərindən \(10^6\) Monte Carlo qiymətləndirilməsi isə təxminən 27 saniyədə tamamlanmışdır. Birbaşa \(10^6\) FEM işə salınması bir işə salınma müddətinin xətti miqyaslanması ilə təxminən \(3\times10^6\) dəqiqə kimi qiymətləndirildiyindən, surrogate MCS qiymətləndirmə mərhələsində sürət fərqi altı milyon dəfə səviyyəsini aşır.

Bu müqayisədə 27 saniyəlik MCS müddəti ilə 3 milyon dəqiqəlik birbaşa FEM qiymətləndirməsini birbaşa müqayisə edərkən təlim xərcinin ayrıca mövcud olduğu unudulmamalıdır. Tədqiqatın ümumi surrogate iş axınında təxminən 90 dəqiqəlik FEM təlim büdcəsi də vardır.

RBDO, PSO və PPSO-nun tədqiqatdakı rolu

Mənbə qeyri-müəyyənlik altında dizayn optimallaşdırmasının sonrakı mərhələlərini izah etmək üçün Reliability-Based Design Optimization (RBDO), dynamic hybrid method, Particle Swarm Optimization (PSO) və Parallel PSO (PPSO) strukturlarını ayrıca təqdim edir.

Dynamic hybrid metodunda yenidən formalaşdırılmış məqsəd funksiyası mənbədə aşağıdakı şəkildə verilir:

\[ F(\{x\},\{y\})= f(\{x\})\,d_\beta(\{x\},\{y\}) \]

və etibarlılıq bölgəsi aşağıdakı tip məhdudiyyətlərlə sərhədlənir:

\[ G(\{x\},\{y\},t)\leq0, \qquad d_\beta(\{x\},\{y\},t)\leq\beta_t(t) \]

\[ g_k(x,t)\leq0 \]

\(d_\beta\), normallaşdırılmış Hybrid Design Space daxilində mövcud dizayn nöqtəsindən limit-state səthinə ən qısa məsafəni təmsil edir. Normal paylanma şərtlərində bu kəmiyyət Hasofer–Lind etibarlılıq indeksi ilə əlaqələndirilir.

Lakin mövcud məqalənin ədədi nəticələrində tam PPSO–Kriging RBDO optimallaşdırması tətbiq olunmur. Müəlliflər bu inteqrasiyanı sonrakı tədqiqata saxlamış və hazırkı araşdırmanın əsas tətbiqini surrogate-based uncertainty quantification ilə məhdudlaşdırmışlar.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Araşdırılan benchmark-da Kriging QRS-dən daha aşağı surrogate-model xəta dəyərləri yaratmışdır.
• 30 nöqtəli LHS dizaynı 20 nöqtəli dizaynla müqayisədə Kriging dəqiqliyini artırmışdır.
• Kriging üzərindən \(10^6\) nümunəli Monte Carlo analizi çox aşağı hesablama xərci ilə aparılmışdır.
• Material və qalınlıq qeyri-müəyyənliklərinin təsiri xüsusilə rezonans ətrafında cəmlənir.
• Rezonans tezliyində təxminən 25 Hz standart sapma təxminən 6,8 Hz yarım zolaq enindən böyükdür.
• Təxminən 640–720 Hz diapazonu nəzərəçarpacaq yüksək SPL qeyri-müəyyənliyi göstərir.
• Kriging-in kəskin rezonanslı vibro-akustik UQ problemlərində lokal interpolasiya və proqnoz qeyri-müəyyənliyi xüsusiyyətlərinə görə faydalı olduğu bu benchmark üzərində göstərilmişdir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• 30 LHS nöqtəsinin bütün Kriging problemləri üçün optimal say olduğu göstərilməmişdir.
• Kriging-in bütün struktur–akustik problemlərdə QRS-dən qəti şəkildə üstün olduğu göstərilməmişdir.
• Metod real avtomobil, təyyarə və ya sənaye kabinində sahə doğrulaması ilə sınaqdan keçirilməmişdir.
• Yüksəkölçülü və ya non-stationary sənaye problemlərində eyni dəqiqlik və sürət nisbəti təmin edilmir.
• Dörd təsadüfi dəyişənin müstəqilliyi eksperimental korrelyasiya ölçməsinə deyil, model fərziyyəsinə əsaslanır.
• PPSO–Kriging ilə tam RBDO həlli bu məqalədə tətbiq edilmiş nəticə deyil.
• \(3\times10^6\) dəqiqəlik birbaşa FEM-MCS dəyəri icra edilmiş bir milyon işə salınmanın ölçülmüş müddəti deyil.

Əsas məhdudiyyətlər

Tədqiqat yalnız bir benchmark həndəsəsi və dörd qeyri-müəyyən dəyişən üzrə doğrulanmışdır. Parametrlərin sayı artdıqda surrogate modelin təlim ehtiyacı və lazım olan LHS ölçüsü dəyişə bilər.

Araşdırılan çıxış əsasən SPL davranışıdır. Çoxsaylı çıxışların, müxtəlif struktur modlarının və ya non-stationary cavabların eyni surrogate konfiqurasiyasında eyni dəqiqliklə təmsil ediləcəyi göstərilməmişdir.

Qeyri-müəyyən parametrlər müstəqil qəbul edilmişdir. Real istehsal sistemlərində material və ya həndəsi dəyişənlər arasında korrelyasiya varsa, bu fərziyyə ayrıca doğrulanmalıdır.

Tədqiqat ədədi simulyasiyadır. Eksperimental akustik ölçmə və ya fiziki prototip doğrulaması bildirilməmişdir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal başlıq: Surrogate-Based Uncertainty Quantification for Coupled Structural–Acoustic Problems

Müəlliflər: Younes Koulou; Hakima Reddad; Norelislam El Hami; Nabil Hmina; Abdelkhalak El Hami.

Corresponding author: Abdelkhalak El Hami.

Qurumlar: Science and Engineering Laboratory, ENSA Kenitra, Ibn Tofail University; Advanced Systems Engineering Laboratory, ENSA Kenitra, Ibn Tofail University; Ibnou Zohr University; Laboratory of Mechanics of Normandy, INSA Rouen Normandy, University of Rouen.

Jurnal: Acoustics.

Nəşriyyat: MDPI, Basel, Switzerland.

Biblioqrafik qeyd: Acoustics 2026, Volume 8, Issue 2, Article 31.

DOI: 10.3390/acoustics8020031

Nəşr tarixi: 14 may 2026.

Redaksiya tarixləri: Received 15 September 2025; Revised 8 May 2026; Accepted 11 May 2026.

Mənbə növü: Resenziyalı ədədi mühəndislik / computational vibro-acoustic uncertainty quantification tədqiqatı.

Lisenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Əsas metod: FEM + LHS + QRS/Kriging surrogate modeling + cross-validation + Kriging əsaslı Monte Carlo Simulation.

FEM proqram təminatı: ANSYS-APDL 17.2.

Kriging proqram təminatı: MATLAB R2019a DACE toolbox; quadratic global trend və exponential covariance kernel.

Benchmark: Sərt divarlı akustik boşluqla birləşdirilmiş iki elastik alüminium lövhə.

FEM mesh: Akustik həcmdə 3000 FLUID30; lövhələrdə 200 SHELL181 element.

Tezlik analizi: 0–1000 Hz, 1 Hz addım.

Həyəcanlandırma: Plate 2 mərkəzindəki F nöqtəsində 1 N harmonik qüvvə.

Qeyri-müəyyən parametrlər: \(E\), \(\rho\), \(t_1\) və \(t_2\).

Surrogate doğrulaması: 20 və 30 nöqtəli LHS; MAE, RME, RMSE və leave-one-out cross-validation.

Monte Carlo nümunə sayı: \(N=10^6\).

Maliyyələşdirmə: Tədqiqat xarici maliyyə almamışdır.

Məlumatların əlçatanlığı: Məlumatlar davam edən tədqiqatla bağlı məxfilik məhdudiyyətləri səbəbindən ictimaiyyətə açıq deyil; corresponding author-dan tələb edilə bilər.

Maraqların toqquşması: Müəlliflər maraqların toqquşmasının olmadığını bəyan etmişlər.

Müəllif töhfələri: Conceptualization: A.E.H. və N.E.H.; methodology və software: A.E.H., Y.K. və N.E.H.; validation: A.E.H., Y.K., N.E.H., H.R. və N.H.; formal analysis: A.E.H., N.E.H. və N.H.; investigation: A.E.H. və N.E.H.; resources/data curation: A.E.H., Y.K. və H.R.; original draft: A.E.H. və Y.K.; review/editing: H.R.; visualization: Y.K. və H.R.; supervision: A.E.H., N.E.H. və N.H.; project administration: A.E.H., Y.K. və H.R.

Əsas şərh sərhədi: Tədqiqatın nəticələri yalnız dörd qeyri-müəyyən parametrli bir structural–acoustic benchmark üzərində ədədi olaraq doğrulanmışdır. Kriging-in yüksəkölçülü və ya bütün sənaye vibro-akustik problemlərində eyni dəqiqliyi və hesablama qazancını təmin edəcəyi bu tədqiqatla göstərilməmişdir. PPSO–Kriging əsaslı tam RBDO tətbiqi də hazırkı tədqiqatın ədədi nəticəsi deyil.