Polinom lemniskatı, kompleks polinomun mütləq qiymətinin müəyyən həddən kiçik və ya ona bərabər olduğu nöqtələr çoxluğudur. Bu tədqiqat müstəvidəki kompakt hədəf çoxluq K-nı ehtiva edən, lakin hədəfin Green funksiyası ilə müəyyən olunan dar xarici yaxalığın hüdudlarından kənara çıxmayan polinom lemniskatını əldə etmək üçün tələb olunan polinom dərəcəsini araşdırır. Müəlliflər bunun üçün qarşılıqlı iki kəmiyyət müəyyənləşdirirlər: sabit dərəcə daxilində yarana bilən ən kiçik Green-yaxalı xəta ε_n(K) və müəyyən yaxalıq enində tələb olunan ən kiçik dərəcə N_K(s). Əsas keyfiyyət nəticəsi göstərir ki, sabit dərəcə həddi altında sıfır yaxalıq xətası yalnız hədəf çoxluq artıq tam polinom lemniskatı olduqda mümkündür. Analitik Jordan sərhədinə malik hədəflərdə isə Faber polinomlarından istifadə etməklə xəta üçün eksponensial yuxarı sərhəd və tələb olunan dərəcə üçün loqarifmik artım əldə edilir.

Tədqiqatın əsas Faber qiymətləndirməsi hər uyğun analitik davam eni σ üçün

\[ \varepsilon_n(K)\le C_\sigma\frac{e^{-\sigma n}}{n} \]

şəklindədir. Bunun tərs mürəkkəblik nəticəsi:

\[ N_K(s) \le \frac{1}{\sigma}\log\frac{1}{s} - \frac{1}{\sigma}\log\log\frac{1}{s} + O_\sigma(1) \]

olur. Beləliklə, analitik sərhəd halında tələb olunan polinom dərəcəsi Green yaxalığı daraldıqca ən çox loqarifmik miqyasda artır.

Bu tədqiqat nəzəri riyaziyyat işidir. Nəticələr ədədi simulyasiya və ya təcrübədən deyil, kompleks analiz, Green funksiyaları, konformal təsvirlər və Faber polinomlarından istifadə edilən isbatlardan əldə edilmişdir. Məqalə bütün analitik Jordan oblastları üçün dəqiq ikitərəfli asimptotik dərəcə qanunu vermir; yalnız müəyyən eksponensial xəta yuxarı sərhədini və ona uyğun loqarifmik dərəcə yuxarı sərhədini sübut edir.

Polinom lemniskatı nədir?

Kompleks polinom P və müsbət sabit c üçün

\[ \{z\in\mathbb C:|P(z)|\le c\} \]

şəklindəki alt-səviyyə çoxluğuna polinom lemniskatı deyilir. Bu çoxluqlar kompleks yaxınlaşma nəzəriyyəsində, Green funksiyalarında və polinomlarla həndəsi yaxınlaşma məsələlərində təbii şəkildə meydana çıxır.

Bu tədqiqatda məqsəd yalnız hədəf əyrini təxmini çəkmək deyil. Məqsəd verilmiş kompakt hədəf çoxluq K-nı ehtiva edən və eyni zamanda onun xaricində icazə verilən nazik Green-yaxalı bölgənin hüdudlarından kənara çıxmayan lemniskat yaratmaqdır.

Green Yaxalığı Nədir?

Green yaxalığı hədəf kompakt çoxluğun xaricindəki nöqtələri Green funksiyalarının qiymətinə görə təbəqələndirən qonşuluq bölgəsidir. Tədqiqatda \(g_K\), \(\mathbb C\setminus K\) oblastının sonsuzluqda qütbü olan Green funksiyasıdır və \(K\) üzərində sıfıra qədər davam etdirilir; \(s>0\) üçün \(K_s=\{z:g_K(z)<s\}\) müəyyən edilir. Kiçik \(s\) hədəf çoxluğa daha sıx sarılan xarici yaxalıq deməkdir.

Bu quruluş Evklid məsafəsi əvəzinə potensial nəzəriyyəsi ilə təbii şəkildə uyğunlaşan həndəsi məsafə təbəqəsi təmin edir.

Normallaşdırılmış lemniskat

Sabit olmayan polinom P üçün:

\[ \|P\|_K=\max_{z\in K}|P(z)| \]

və

\[ L_K(P)= \{z\in\mathbb C: |P(z)|\le\|P\|_K\} \]

müəyyən edilir.

Bu normallaşdırmanın mühüm xüsusiyyəti:

\[ K\subseteq L_K(P) \]

olmasıdır. Beləliklə, polinom lemniskatı həmişə hədəf çoxluğu əhatə edən xarici yaxınlaşma kimi işləyir.

ε_n(K) Nəyi Ölçür?

\(\varepsilon_n(K)\), dərəcəsi ən çox \(n\) olan bütün polinomlar arasında hədəf çoxluğu ehtiva edən normallaşdırılmış lemniskatın Green funksiyası baxımından xaricə nə qədər daşmağa məcbur olduğunun mümkün ən kiçik qiymətidir. Buna görə kiçik \(\varepsilon_n(K)\), aşağı dərəcəli lemniskatın hədəf çoxluğa potensial-nəzəri mənada sıx sarıla bildiyini göstərir.

Tərif:

\[ \varepsilon_n(K) = \inf_{1\le\deg P\le n} \sup_{z\in L_K(P)} g_K(z). \]

Bu ifadə iki optimallaşdırma səviyyəsini birləşdirir.

1. Hər namizəd polinom üçün lemniskat üzərindəki ən böyük Green qiyməti tapılır.
2. Dərəcəsi ən çox n olan bütün polinomlar arasında bu maksimum qiymət minimuma endirilir.

\(\varepsilon_n(K)=0\) olması dərəcə həddi dəyişdirilmədən hədəfə istənilən dərəcədə sıx lemniskatlarla yaxınlaşmağın mümkün olduğu deməkdir.

N_K(s) Nəyi Ölçür?

\(N_K(s)\), hədəf çoxluğu ehtiva edən və tamamilə \(K_s\) Green yaxalığı daxilində qalan normallaşdırılmış polinom lemniskatı yaratmaq üçün tələb olunan ən kiçik polinom dərəcəsidir. Beləliklə, \(N_K(s)\) əvvəlcədən seçilmiş dəqiqlik səviyyəsinin dərəcə xərcini ölçür, \(\varepsilon_n(K)\) isə əvvəlcədən seçilmiş dərəcə büdcəsinin ən yaxşı dəqiqliyini ölçür.

Tərif:

\[ N_K(s) = \min\{ \deg P: K\subset L_K(P)\subset K_s \}. \]

Uyğun polinom yoxdursa:

\[ N_K(s)=\infty. \]

Yaxalıq Xətası ilə Dərəcə Mürəkkəbliyi Arasında Hansı Əlaqə Var?

Tədqiqatın collar-separation dictionary teoremi iki kəmiyyətin dəqiq olaraq bir-birinə tərs məsələləri ifadə etdiyini göstərir: hər \(s>0\) üçün \(N_K(s)=\min\{n\ge1:\varepsilon_n(K)<s\}\). Eyni şərt, dərəcəsi ən çox \(n\) olan normallaşdırılmış lemniskatın \(K\)-nı ehtiva edərkən \(g_K\ge s\) olan bütün xarici bölgədən uzaq qala bilməsinə ekvivalentdir.

Buna görə:

\[ \varepsilon_n(K)

bərabərsizliyi yalnız yaxınlaşma dəqiqliyi deyil; eyni zamanda həndəsi ayırma şərtidir.

Qadağan olunmuş xarici bölgə

\[ E_s= \{z\in\mathbb C: g_K(z)\ge s\} \]

olsun.

Onda:

\[ L_K(P)\subset K_s \]

ilə

\[ L_K(P)\cap E_s=\varnothing \]

ekvivalentdir.

Beləliklə, yaxalıq yaxınlaşması ilə “qadağan olunmuş xarici bölgədən təhlükəsiz ayrılma” eyni riyazi məsələyə çevrilir.

Sabit Dərəcədə Sıfır Xəta Nə Zaman Mümkündür?

Sabit \(N\) üçün \(\varepsilon_N(K)=0\) olması yalnız və yalnız \(K\), dərəcəsi ən çox \(N\) olan tam polinom lemniskatı olduqda mümkündür. Buna görə hədəf çoxluq bu xüsusi həndəsi sinfə aid deyilsə, Green yaxalığı sıfıra daraldıqca tələb olunan dərəcə qeyri-məhdud artmalıdır.

Tam polinom lemniskatı olma şərti:

\[ K= \{z\in\mathbb C: |P(z)|\le\|P\|_K\}. \]

Buradakı “tam” sifəti vacibdir. Polinom alt-səviyyə çoxluğunun yalnız bir bağlı komponentinin \(K\)-ya bərabər olması kifayət deyil.

Niyə yalnız bir komponent kifayət deyil?

Eyni polinomun alt-səviyyə çoxluğunun hədəf bölgədən kənarda başqa bağlı komponentləri ola bilər. Bu halda normallaşdırılmış lemniskatın hamısını dar Green yaxalığı daxilində saxlamaq mümkün olmaya bilər. Sonlu-dərəcə limit arqumenti yalnız hədəf komponenti deyil, bütün lemniskatı nəzarətdə saxlayır.

Sonlu-dərəcə gap teoreminin isbat ideyası

\(\varepsilon_N(K)=0\) fərz edilərsə, dərəcəsi ən çox \(N\) olan və yaxalıq xətası sıfıra yaxınlaşan polinomlar seçilir:

\[ P_j. \]

Normallaşdırılmış formaları:

\[ p_j= \frac{P_j}{\|P_j\|_K} \]

üçün:

\[ \|p_j\|_K=1, \qquad K\subset\{|p_j|\le1\}. \]

Dərəcə həddi sabit olduğuna görə polinom fəzası sonluölçülüdür. Uyğun altardıcıllıq lokal bərabər şəkildə bir polinoma p-yə yaxınlaşır.

Limit polinomu üçün daxildə:

\[ |p(z)|\le1, \qquad z\in K \]

və xaricdə:

\[ |p(z)|\ge1, \qquad z\notin K \]

əldə edilir.

Xarici bölgə bağlıdır. \(\log|p|\) bu bölgədə harmonik və mənfi olmayan funksiyadır. Xaricdə hər hansı nöqtədə sıfır olması güclü minimum prinsipinə görə onun bütün xarici bölgədə sabit olmasını tələb edir; bu isə p-nin sabit olması ilə ziddiyyət təşkil edir.

Buna görə:

\[ |p(z)|>1, \qquad z\in\mathbb C\setminus K. \]

Nəticədə:

\[ K=\{|p|\le1\}. \]

Analitik Sərhəd Faber Polinomları ilə Niyə Eksponensial Yaxınlaşma Təmin Edir?

Analitik Jordan sərhədində xarici konformal təsvirin tərsi sərhəddən o tərəfə halqavari bölgədə analitik olaraq davam etdirilə bilər; Faber polinomları bu konformal koordinatın qüvvələrini eksponensial dəqiqliklə polinomlarla təmsil edir. Bu eksponensial remainder qiymətləndirməsi lemniskatın Green yaxalığı daxilindəki daşma miqdarını birbaşa \(e^{-\sigma n}/n\) tərtibində məhdudlaşdırır.

Xarici konformal təsvir

\[ \Phi: \mathbb C\setminus K \longrightarrow \{|w|>1\} \]

şəklində normallaşdırılır.

Green funksiyası:

\[ g_K(z)=\log|\Phi(z)| \]

olur.

Analitik davam eni

\[ \Psi=\Phi^{-1} \]

olsun.

Tədqiqatda:

\[ \sigma_*= \sup \left\{ \sigma>0: \Psi \text{, } e^{-\sigma}<|w|<\infty \text{ bölgesine conformal devam eder} \right\} \]

müəyyən edilir.

Daha böyük \(\sigma_*\), tərs konformal təsvirin sərhədin daxili tərəfinə doğru daha geniş halqa boyunca analitik davam etdirilə bilməsi deməkdir.

Faber polinomunun tərifi

\(F_n\), \(\Phi(z)^n\)-in sonsuzluqdakı polinom hissəsidir:

\[ \Phi(z)^n = F_n(z) + O(1/z), \qquad z\to\infty. \]

Mənbədə istifadə edilən kontur ifadəsi:

\[ F_n(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|u|=R} \frac{ u^n\Psi'(u) }{ \Psi(u)-z } \,du. \]

Faber remainder qiymətləndirməsi

Hər:

\[ 0<\sigma<\sigma_* \]

üçün:

\[ |F_n(\Psi(w))-w^n| \le C_\sigma e^{-\sigma n}, \qquad |w|\ge1. \]

Bu bərabərsizlikdə:

• \(F_n\): n-ci Faber polinomu,
• \(\Psi\): xarici konformal təsvirin tərsi,
• \(w^n\): ideal konformal koordinat qüvvəsi,
• \(C_\sigma\): seçilmiş continuation width-dən asılı sabit,
• \(e^{-\sigma n}\): dərəcə artdıqca eksponensial şəkildə kiçilən xəta terminidir.

Faber Yaxalıq Qiymətləndirməsi Nə Deyir?

Faber yaxalıq qiymətləndirməsi analitik Jordan sərhədinə malik hədəf üçün dərəcə \(n\) artdıqca ən yaxşı Green-yaxalı lemniskat xətasının ən çox \(C_\sigma e^{-\sigma n}/n\) olduğunu bildirir. Beləliklə, uyğun analitik davam eni sabit olduqda dərəcə artımı yaxalıq xətasını əsasən eksponensial sürətlə azaldır.

Teorem:

\[ \boxed{ \varepsilon_n(K) \le C_\sigma \frac{e^{-\sigma n}}{n} } \]

və buna uyğun olaraq:

\[ \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log\varepsilon_n(K) \le -\sigma_*. \]

Bərabərsizliyin əsas riyazi zənciri

Sərhəd üzərində:

\[ \|F_n\|_K \le 1+C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Xaricdəki bir nöqtə üçün:

\[ w=\Phi(z) \]

və:

\[ |w| = e^{g_K(z)}. \]

Remainder qiymətləndirməsindən:

\[ |F_n(z)| \ge e^{ng_K(z)} - C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Əgər:

\[ z\in L_K(F_n), \]

isə:

\[ |F_n(z)| \le \|F_n\|_K. \]

Beləliklə:

\[ e^{ng_K(z)} - C_\sigma e^{-\sigma n} \le 1+C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Buradan:

\[ e^{ng_K(z)} \le 1+2C_\sigma e^{-\sigma n} \]

və:

\[ g_K(z) \le \frac1n \log \left( 1+2C_\sigma e^{-\sigma n} \right). \]

\(\log(1+x)\le x\) bərabərsizliyi istifadə edildikdə:

\[ g_K(z) \le \frac{ 2C_\sigma e^{-\sigma n} }{n}. \]

Bu bound bütün normallaşdırılmış Faber lemniskatı boyunca qüvvədə olduğuna görə \(\varepsilon_n(K)\) üçün teorem əldə edilir.

Dar Green Yaxalığı üçün Tələb Olunan Dərəcə Necə Artır?

Analitik Jordan oblastında tələb olunan dərəcə ən çox loqarifmik artır: hər \(0<\sigma<\sigma_*\) üçün \(s\downarrow0\) halında \(N_K(s)\le \sigma^{-1}\log(1/s)-\sigma^{-1}\log\log(1/s)+O_\sigma(1)\). Buna görə daha dar yaxalıqlar tələb etmək dərəcəni qüvvət qanunu ilə deyil, loqarifmik miqyasda artırır.

Əsas ifadə:

\[ \boxed{ N_K(s) \le \frac1\sigma \log\frac1s - \frac1\sigma \log\log\frac1s + O_\sigma(1) } \]

və xüsusən:

\[ N_K(s) = O_K\left( \log\frac1s \right). \]

Birinci termin:

\[ \frac1\sigma\log\frac1s \]

əsas dərəcə xərcidir.

İkinci termin:

\[ -\frac1\sigma \log\log\frac1s \]

Faber bound-undakı \(1/n\) amilindən gələn daha incə düzəlişdir.

Qadağan Olunmuş Çoxluğu Polinom Lemniskatı ilə Necə Ayırmaq Olar?

Hədəf çoxluğun xaricində yerləşən kompakt \(W\) üçün \(t=\min_W g_K>0\) götürüldükdə, dərəcə kifayət qədər böyük seçilərsə Faber polinomunun normallaşdırılmış lemniskatı \(K\)-nı ehtiva edərkən \(W\)-ni tamamilə xaricdə saxlayır. Kifayət edən dərəcə yenə təxminən \(\sigma^{-1}\log(1/t)\) miqyasında artır.

Kifayət edən şərt:

\[ n \ge \frac1\sigma \log\frac1t - \frac1\sigma \log\log\frac1t + A_\sigma. \]

Bu halda bir polinom P tapılır və:

\[ K \subset \{z:|P(z)|\le\|P\|_K\} \]

olarkən:

\[ W \cap \{z:|P(z)|\le\|P\|_K\} = \varnothing. \]

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Riyazi tədqiqatın növü

Tədqiqat tamamilə nəzəridir. Eksperimental məlumat, ədədi simulyasiya, təlim verilənlər toplusu və ya statistik hipotez testi istifadə edilməmişdir.

Əsas vasitələr:

• Green funksiyası,
• kompleks polinom alt-səviyyə çoxluqları,
• konformal təsvirlər,
• harmonik funksiyalar,
• maksimum/minimum prinsipləri,
• Faber polinomları,
• kontur inteqralı və analitik davam,
• asimptotik artım təhlili.

Əsas fərziyyə

İlk teoremlər üçün \(\Omega\) məhdud və sadə bağlı Jordan oblastı, \(K\) isə onun kompakt qapanmasıdır.

Faber qiymətləndirmələri üçün əlavə olaraq \(\partial K\)-nın analitik Jordan sərhədi olması tələb olunur.

Teorem 1.2 — Collar-separation dictionary

\[ N_K(s) = \min \{ n\ge1: \varepsilon_n(K)

Bu bərabərlik yaxalıq yaxınlaşması ilə xarici qadağan olunmuş bölgədən ayrılmanı eyni dərəcə məsələsi altında birləşdirir.

Teorem 1.3 — Finite-degree gap

\[ \varepsilon_N(K)=0 \]

yalnız və yalnız K, dərəcəsi ən çox N olan tam polinom lemniskatı olduqda mümkündür.

Nəticə:

\[ K \text{ tam polinom lemniskatı değilse} \quad N_K(s)\to\infty \quad(s\downarrow0). \]

Teorem 1.4 — Faber collar estimate

Analitik Jordan sərhədində və:

\[ 0<\sigma<\sigma_* \]

olduqda:

\[ \varepsilon_n(K) \le C_\sigma \frac{e^{-\sigma n}}{n}. \]

Nəticə 1.5 — Logarithmic degree growth

\[ N_K(s) \le \frac1\sigma \log\frac1s - \frac1\sigma \log\log\frac1s + O_\sigma(1). \]

Beləliklə:

\[ N_K(s) = O_K(\log(1/s)). \]

Nəticə 1.6 — Qadağan olunmuş çoxluqdan ayrılma

\[ t=\min_W g_K>0 \]

olduqda kifayət edən dərəcə:

\[ n \ge \frac1\sigma \log\frac1t - \frac1\sigma \log\log\frac1t + A_\sigma \]

seçildikdə hədəf çoxluq ilə W polinom lemniskatı vasitəsilə ayrıla bilər.

Model nümunə 1: qapalı disk

Qapalı disk tam birinci dərəcəli lemniskatdır.

\[ P(z)=z \]

seçimi ilə:

\[ L_K(P)=K. \]

Beləliklə:

\[ N_K(s)=1 \]

bütün \(s>0\) üçün doğrudur.

Model nümunə 2: dairəvi olmayan ellips

Dairəvi olmayan ellips tam polinom lemniskatı deyil.

Xarici təsvirin tərsinin tipik forması:

\[ z= \zeta+\frac{q}{\zeta}, \qquad 0

olub branch point-lər ehtiva edir.

Finite-degree gap teoreminə görə:

\[ N_K(s)\to\infty \]

lakin analitik sərhədə görə Faber qiymətləndirməsi eyni zamanda:

\[ N_K(s) = O(\log(1/s)) \]

yuxarı sərhədini təmin edir.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• Sabit dərəcədə sıfır Green-yaxalı xəta yalnız tam polinom lemniskatlarında mümkündür.
• Tam polinom lemniskatı olmayan hədəflərdə tələb olunan dərəcə yaxalıq sıfıra daraldıqca qeyri-məhdud artır.
• Analitik Jordan sərhədlərində Faber polinomları eksponensial yaxalıq-xətası yuxarı sərhədi verir.
• Analitik hədəflərdə tələb olunan dərəcə üçün loqarifmik yuxarı artım əldə edilir.
• Eyni mürəkkəblik kəmiyyəti hədəfin kompakt xarici qadağan olunmuş çoxluqlardan ayrılması məsələsini də idarə edir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• Bütün Jordan oblastları üçün eyni eksponensial sürət sübut edilməyib; Faber qiymətləndirməsi analitik sərhəd fərziyyəsindən istifadə edir.
• Bütün analitik Jordan oblastları üçün dəqiq ikitərəfli \(N_K(s)\) asimptotikası verilməyib.
• \(N_K(s)\sim c\log(1/s)\) formasında universal lower bound sübut edilməyib.
• Polinom alt-səviyyə çoxluğunun yalnız bir komponentinin hədəfə bərabər olması finite-degree rigidity üçün kifayət deyil.
• Nəticələr ədədi optimallaşdırma təcrübələrindən və ya kompüter dəstəkli hesablamadan çıxarılmayıb.

Əsas açıq istiqamət

Məqalənin son remark-ına görə tam polinom lemniskatlarında mürəkkəblik bounded ola bildiyi halda digər analitik Jordan oblastlarında \(N_K(s)\to\infty\) olur. Yalnız mövcud fərziyyələrlə bu artımın dəqiq aşağı tərtibi müəyyən edilə bilməz.

Buna görə daha dəqiq aşağı sərhədlər üçün əlavə həndəsi fərziyyələr tələb olunur.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal tədqiqat:Polynomial lemniscate collar complexity

Müəlliflər: Venkata Siddharth Pendyala; Neel Narayan.

PDF-dəki qurum: Interlake Senior High School.

Tədqiqat tarixi: 31 may 2026.

SSRN nəşr tarixi: 19 iyun 2026.

Platforma: SSRN.

SSRN DOI: 10.2139/ssrn.6859738

Mənbə növü: Preprint / working paper.

Resenziya vəziyyəti: Bu yoxlamada resenziyalı jurnal versiyası tapılmadı; tədqiqat SSRN preprinti kimi qiymətləndirilib.

Lisenziya / hüquq vəziyyəti: SSRN qeydiyyat səhifəsində “All rights reserved. No reuse allowed without permission” bildirilir.

Mathematics Subject Classification: Primary 30C10; Secondary 30E10, 31A15, 41A10.

Mənbə açar sözləri: polynomial lemniscates, Faber polynomials, Green functions, conformal maps, polynomial approximation.

Maliyyələşdirmə: Mənbə PDF-də maliyyələşdirmə bəyanatı bildirilməyib.

Maraqlar toqquşması: Mənbə PDF-də ayrıca maraqlar toqquşması bəyanatı bildirilməyib.

Məlumatların əlçatanlığı: Tədqiqat nəzəri riyaziyyat məqaləsidir; eksperimental və ya müşahidə məlumat dəsti istifadə edilməyib.

Əsas metodoloji məhdudiyyətlər: Eksponensial Faber qiymətləndirməsi və loqarifmik dərəcə yuxarı sərhədi analitik Jordan sərhədi fərziyyəsinə əsaslanır. Tədqiqat ümumi Jordan oblastları üçün eyni kəmiyyət nisbətini və ya bütün non-lemniscate analitik oblastlar üçün universal dəqiq lower bound təmin etmir. \(\sigma_*\), tərs xarici konformal təsvirin analitik davam enindən asılıdır və həndəsədən həndəsəyə dəyişir.

Verianla təqdimat prinsipi: Bu məzmun mənbə preprintin tam mətn tərcüməsi və ya isbatların sətir-sətir yenidən yazılması deyil. Təriflər, teoremlər, tənliklər və riyazi nəticələr qorunub; isbatların əsas məntiqi müstəqil öyrədici quruluşda izah edilib. Akademik istinad və tam texniki isbat üçün orijinal SSRN tədqiqatı nəzərdən keçirilməlidir.