Ushbu tadqiqot epidemiologiyada qoʻllaniladigan klassik SI va SIR bo‘linmali modellarining sonli yechimida Python, MATLAB va R muhitlarini ham hisoblash vaqti, ham sonli aniqlik nuqtai nazaridan taqqoslaydi. Ayni matematik modellar uch xil sonli usul — birinchi tartibli Euler usuli, toʻrtinchi tartibli Runge–Kutta (RK4) usuli va Predictor–Corrector (P-C) usuli — bilan amalga oshirilgan. SI modeli uchun analitik yechim mavjud bo‘lgani sababli sonli natijalarning aniqligi R² mezoni bilan baholangan; SIR modelida esa MATLABning ODE45 yechuvchisi yuqori aniqlikdagi etalon sifatida ishlatilgan va MATLAB RK4 natijalari shu etalon bilan taqqoslangan.

SI modelida RK4 ko‘rib chiqilgan barcha h = 0,25, 0,10 va 0,01 qadam o‘lchamlarida Python, MATLAB va R uchun jadvalda yetti o‘nlik xonagacha yaxlitlanganda R² = 1,0 natijasini bergan. P-C usuli h = 0,25 uchun R² = 0,9994189, h = 0,10 uchun 0,9999798 va h = 0,01 uchun 1,0 qiymatiga yetgan bo‘lsa, Euler usuli ayni qadam o‘lchamlarida mos ravishda 0,9585463, 0,9927564 va 0,9999239 qiymatlarini hosil qilgan. Shunday qilib, manba sharoitlarida qadam o‘lchami kichraygani sari Euler va P-C yechimlari analitik SI yechimiga yaqinlashgan, RK4 esa ishlatilgan aniqlik darajasida eng yuqori R² qiymatlarini bergan.

Ishlash vaqtlarida Python hisobot qilingan barcha SI va SIR kombinatsiyalarida MATLAB va R dan kichikroq qiymatlarni hosil qilgan. Biroq bu natija bitta Apple M4 asosidagi kompyuter, manbada ko‘rsatilmagan dasturiy ta’minot versiyalari va yakka vaqt o‘lchash tartibi uchun amal qiladi. Bundan tashqari, manbaning natijalar bo‘limida R doimiy ravishda eng sekin muhit ekani aytilgan bo‘lsa-da, jadvallar ayrim sharoitlarda R MATLABdan tezroq ekanini ko‘rsatadi. Shu sababli tadqiqot muayyan amalga oshirish va apparat sharoitida Python foydasiga kuchli vaqt farqini ko‘rsatsa-da, uni umumiy maqsadli dasturlash tillari unumdorligi reytingi sifatida talqin qilish kerak emas.

Tadqiqotning asosiy savoli nima?

Tadqiqotning asosiy savoli quyidagicha: Ayni epidemiologik differensial tenglamalar tizimi ayni sonli usul bilan yechilganda Python, MATLAB va R o‘rtasida hisoblash vaqti bo‘yicha qanday farq yuzaga keladi va ishlatilgan sonli usul yechim aniqligiga qanday ta’sir qiladi?

Shu sababli tadqiqot ikki xil taqqoslashni bir-biridan ajratadi:

• Sonli usullar taqqoslanishi: Euler, RK4 va Predictor–Corrector.
• Dasturiy muhitlar taqqoslanishi: Python, MATLAB va R.

Bu farqlash muhim, chunki yuqori aniqlik to‘g‘ridan-to‘g‘ri ishlatilayotgan dasturiy muhitning emas, asosan sonli usul va qadam o‘lchamining natijasidir. Darhaqiqat, SI modelidagi R² qiymatlari ayni usul va ayni h ishlatilganda Python, MATLAB va R uchun manba jadvalida bir xil.

SI modeli nima?

SI populyatsiyani ikki bo‘limga ajratadigan eng asosiy epidemiologik modellardan biridir:

• S — Susceptible: infeksiyaga moyil shaxslar,
• I — Infected: infeksiyalangan shaxslar.

Manbada ishlatilgan model:

\[ \frac{dS}{dt}=-\alpha SI \]

va:

\[ \frac{dI}{dt}=\alpha SI \]

tenglamalaridan tashkil topgan.

Umumiy populyatsiya:

\[ N=S+I \]

ko‘rinishida o‘zgarmas deb qabul qilingan. \(\alpha\), tadqiqotda infeksiya uzatilish parametridir.

SI tajribasida manba:

dan foydalangan.

SI modelining analitik yechimi nega muhim?

SI modelining ushbu shakli uchun manbada analitik yechim berilganligi sababli sonli usullar hosil qilgan egri chiziqlarni bevosita etalon yechim bilan taqqoslash mumkin.

Manbada:

\[ S(t)= \frac{Ne^{-\alpha tN}c} {1+e^{-\alpha tN}c} \]

va:

\[ I(t)= \frac{N(N-S_0)} {N-S_0+e^{-N\alpha t}S_0} \]

ifodalari beriladi, bunda:

\[ c=\frac{S_0}{N-S_0} \]

deb aniqlanadi.

Bu analitik yechim Euler, RK4 va P-C usullarining taqribiy natijalari qanchalik yaqinlashishini o‘lchash uchun etalon vazifasini bajaradi.

SIR modeli SI modelidan qanday farq qiladi?

SIR modeliga uchinchi bo‘lim qo‘shiladi:

• S: moyil,
• I: infeksiyalangan,
• R: sog‘aygan/chiqarilgan shaxslar.

Manbada SIR tizimi:

\[ \frac{dS}{dt}=-\alpha SI \]

\[ \frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I \]

\[ \frac{dR}{dt}=\beta I \]

deb aniqlangan.

Umumiy populyatsiya:

\[ N=S+I+R \]

ko‘rinishida.

Manba bu parametrlarni Murray keltirgan va 1978-yilda o‘g‘il bolalar internat maktabidagi gripp epidemiyasi bilan bog‘langan ma’lumotlarga asoslaydi.

Euler usuli qanday ishlaydi?

Euler usuli tadqiqotdagi eng sodda va birinchi tartibli sonli usuldir. Umumiy boshlang‘ich qiymat masalasi:

\[ \frac{dy}{dx}=f(x,y) \]

uchun yechim:

\[ y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n) \]

orqali qadam-baqadam hisoblanadi.

Qadam o‘lchami:

\[ h=\frac{b-x_0}{n} \]

deb aniqlangan.

SI modeli uchun:

\[ S_{n+1}=S_n-h\alpha S_n I_n \]

\[ I_{n+1}=I_n+h\alpha S_n I_n \]

hosil bo‘ladi.

Euler usuli har bir qadamda faqat joriy nuqtadagi qiyalikdan foydalangani sababli hisoblash xarajati past; biroq manba natijalari, ayniqsa kattaroq h qiymatlarida, RK4 va P-C ga qaraganda pastroq R² qiymatlari hosil bo‘lganini ko‘rsatadi.

RK4 nega aniqroq natija beradi?

To‘rtinchi tartibli Runge–Kutta usuli har bir vaqt qadamida to‘rtta oraliq qiyalikni hisoblab, yechim o‘zgarishini batafsilroq ifodalaydi.

Umumiy RK4 yangilanishi:

\[ y_{n+1} = y_n+ \frac{h}{6} (k_1+2k_2+2k_3+k_4) \]

ko‘rinishida.

Manbada \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) va \(k_4\) SI va SIR tizimlarining S, I va kerak bo‘lganda R o‘zgaruvchilari uchun alohida-alohida keltirib chiqarilgan.

SI natijalarida RK4, h = 0,25 kabi tekshirilgan eng katta qadam o‘lchamida ham jadvalda yetti o‘nlik xona darajasida R² = 1,0 beradi. Bu qiymat manbaning yaxlitlangan hisoboti bo‘lib, RK4 yechimi analitik yechim bilan matematik jihatdan mutlaqo aynan bir xil ekanini isbotlamaydi.

Predictor–Corrector usuli qanday ishlaydi?

P-C usuli ikki bosqichli. Avval Eulerga o‘xshash predictor qadami bilan keyingi nuqta bashorat qilinadi:

\[ \tilde y_{i+1} = y_i+h f(x_i,y_i) \]

So‘ng bashorat qilingan nuqtadagi hosila ham ishlatilib, corrector qo‘llanadi:

\[ y_{i+1} = y_i+ \frac{h}{2} \left[ f(x_i,y_i)+ f(x_{i+1},\tilde y_{i+1}) \right] \]

Manba natijalarida P-C aniqligi Eulerdan sezilarli darajada yuqori, biroq RK4 dan biroz past yoki hisobot aniqligida unga teng ko‘rinadi.

R² bu yerda nimani o‘lchaydi?

Manba sonli yechim bilan etalon yechim o‘rtasidagi moslikni:

\[ R^2 = 1- \frac{ \sum_{i=1}^{n} (y_i-\tilde y_i)^2 }{ \sum_{i=1}^{n} (y_i-\bar y)^2 } \]

orqali baholaydi.

Bu yerda \(y_i\) exact/reference yechimni, \(\tilde y_i\) sonli usul bashoratini va \(\bar y\) etalon yechimning o‘rtacha qiymatini ifodalaydi.

SI modelida etalon analitik yechimdir. SIR modelida esa manba faqat MATLAB RK4 baholashi uchun MATLAB ODE45 chiqishini etalon sifatida ishlatgan.

SI modelida qaysi usul aniqroq?

Manbaning 1-jadvali aniq tartibni ko‘rsatadi. Ayni h qiymatida Python, MATLAB va R bir xil R² qiymatini beradi; farq dasturiy muhitdan emas, sonli usuldan kelib chiqadi.

Euler usuli h = 0,25 da R² = 0,9585463 bo‘lsa, h = 0,01 da 0,9999239 ga yetadi. P-C ayni sharoitlarda 0,9994189 dan manba hisobot aniqligida 1,0 gacha ko‘tariladi.

RK4 esa tekshirilgan uchala h qiymatining barchasida yetti o‘nlik xonagacha yaxlitlanganda R² = 1,0 deb hisobot qilingan.

6-sahifadagi SI grafiklari nimani ko‘rsatadi?

Manbaning 6-sahifasida Python, MATLAB va R natijalari uch alohida qator ko‘rinishida berilgan. Har bir qatorda Euler, RK4 va P-C bo‘yicha uchta grafik mavjud.

Euler grafiklarida turli h qiymatlari uchun sonli egri chiziqlar orasida, ayniqsa S va I egri chiziqlari tez o‘zgaradigan o‘tish hududida ko‘zga ko‘rinadigan ajralish mavjud. Qadam kichraygani sari egri chiziqlar exact solution ga yaqinlashadi.

RK4 grafiklarida turli h yechimlari va exact solution vizual jihatdan deyarli ustma-ust tushadi. P-C grafiklarida ham yaqin moslik ko‘rinadi. Bu vizual xatti-harakat 1-jadvaldagi R² qiymatlariga mos keladi.

SI modelida ishlash vaqtlari qancha?

Python SI jadvalidagi to‘qqizta usul/qadam kombinatsiyasining barchasida eng past vaqtni beradi.

Biroq MATLAB va R o‘rtasida manbaning natijalar bo‘limida aytilganidek mutlaq tartib yo‘q. Masalan, Euler/h=0,01 va P-C/h=0,10 tajribalarida R MATLABdan qisqaroq vaqt ko‘rsatgan.

Qadam o‘lchami kichrayganda nega vaqt ko‘pincha ortadi?

Kichikroq h ayni 14 kunlik vaqt oralig‘ida ko‘proq hisoblash qadami deganidir. Manba jadvallarida, ayniqsa Python uchun, bu xatti-harakat juda aniq ko‘rinadi.

Masalan, SI–RK4 uchun Python vaqti:

• h = 0,25 → 0,000163 s,
• h = 0,10 → 0,000398 s,
• h = 0,01 → 0,003950 s

tarzida ortadi.

R va MATLAB qiymatlari esa ayrim kichik tajribalarda to‘liq monoton emas. Bu holat manbada alohida tahlil qilinmagan va vaqt o‘lchash takrorlari soni yoki o‘lchov o‘zgaruvchanligi hisobot qilinmagani sababli kichik vaqt farqlarining sababini manbadan aniq aniqlab bo‘lmaydi.

SIR modelida egri chiziqlar nimani ko‘rsatadi?

Manbaning 8-sahifasida yana Python, MATLAB va R uchun uchtadan panel mavjud. SIR modelida susceptible populyatsiya vaqt o‘tishi bilan kamayadi, infected populyatsiya avval ko‘tarilib cho‘qqiga yetgach pasayadi, recovered populyatsiya esa vaqt davomida ortadi.

Euler usulida turli h qiymatlari orasida aniqroq ajralish ko‘rinadi, RK4 va P-C grafiklaridagi yechimlar esa bir-biriga yaqinroq ko‘rinadi.

Bu shakllar sifat xatti-harakatini taqqoslaydi. Manba SIR uchun barcha usullar va dasturlarni qamrab oladigan umumiy R² jadvalini bermaydi.

MATLAB ODE45 nega ishlatilgan?

SIR tizimi uchun ushbu tadqiqot doirasida analitik exact solution ishlatilmagani sababli mualliflar MATLABning ODE45 yechuvchisini yuqori aniqlikdagi etalon sifatida tanlagan.

Keyin faqat MATLABdagi RK4 yechimlari shu etalon bilan taqqoslangan.

Bu natijalar manba sharoitlarida MATLAB RK4 yechimi ODE45 etaloniga juda yaqin ekanini ko‘rsatadi.

Biroq uchta h qiymatida aynan bir xil yetti o‘nlik xonali qiymatlar mavjudligi turli qadam o‘lchamlarida haqiqatan ham aynan bir xil xato borligini isbotlamaydi; tadqiqot natijalarni yetti o‘nlik xonagacha yaxlitlaydi.

Bundan tashqari, manba ODE45 tolerantlik sozlamalarini bermaydi. Shu sababli ODE45 bu yerda tadqiqot tanlagan yuqori aniqlikdagi etalon bo‘lib, matematik exact solution sifatida baholanmasligi kerak.

SIR modelida ishlash vaqtlari qancha?

Python bu yerda ham to‘qqizta shartning barchasida eng past hisobot qilingan ishlash vaqtiga ega.

SIR P-C uchun h = 0,01 shartida esa R ning 0,018921 soniyalik vaqti MATLABning 0,025391 soniyalik vaqtidan past. Bu qiymat manba natijalaridagi “R consistently slowest” ifodasi barcha tajriba kombinatsiyalari uchun to‘g‘ri emasligini aniq ko‘rsatadi.

Python haqiqatan MATLABdan tezroqmi?

Ushbu tadqiqot hisobot qilgan tajribalarda ha; umuman barcha Python va MATLAB dasturlari uchun bunday xulosa chiqarib bo‘lmaydi.

Manba jadvallarida Python jami 18 ta SI/SIR usul–h kombinatsiyasining barchasida MATLAB va R dan kichikroq vaqt beradi. Bu tadqiqot ma’lumotlari qo‘llab-quvvatlaydigan kuchli natijadir.

Biroq tajriba dizaynida quyidagi ma’lumotlar berilmagan:

• Python versiyasi,
• MATLAB versiyasi,
• R versiyasi,
• ishlatilgan interpreter/compiler tafsilotlari,
• har bir tilda ishlatilgan aniq timing funksiyasi,
• ayni test necha marta takrorlangani,
• o‘rtacha yoki median vaqt ishlatilgan-yo‘qligi,
• vaqtlarning standart og‘ishi yoki ishonch oralig‘i,
• warm-up yoki JIT ta’sirlari qanday boshqarilgani.

O‘lchovlar shuningdek faqat Apple M4 protsessorli va 16 GB RAMli bitta MacBook Airda bajarilgan.

Shu sababli natijani “manbadagi implementatsiyalar ushbu apparat va usul sharoitida Python’da qisqaroq ishlash vaqtini hosil qilgan” deb talqin qilish kerak.

MATLAB nuqtai nazaridan tadqiqotning asosiy natijasi nima?

MATLAB ushbu tadqiqotda ikki alohida rolni bajaradi. Birinchisi, Euler, RK4 va P-C usullari Python va R bilan taqqoslanadigan umumiy hisoblash muhitlaridan biridir. Ikkinchisi va MATLABga xos rol SIR yechimini tekshirishda ODE45 etalon yechuvchisining ishlatilishidir.

MATLABning ishlash vaqtlari Pythondan yuqori bo‘lishiga qaramay, SIR modelidagi MATLAB RK4 natijalari ODE45 etaloniga nisbatan:

• S uchun R² = 0,9999998,
• I uchun R² = 0,9999996,
• R uchun R² = 0,9999998

darajasida hisobot qilingan.

Shunday qilib, tadqiqot MATLAB nuqtai nazaridan “eng tez muhit” degan natijani bermaydi; biroq foydalanuvchi tomonidan kodlangan klassik RK4 yechimi va ichki ODE45 etaloni bir tadqiqot ichida taqqoslanishini ta’minlaydi.

Turkiya nuqtai nazaridan nega alohida e’tiborga loyiq?

Tadqiqotning ikkala muallifi ham Ankara universiteti Matematika bo‘limi bilan bog‘liq. Shuning uchun tadqiqot bevosita Turkiyadagi akademik muassasadan chiqqan.

Biroq ishlatilgan epidemiologik parametrlar Turkiyadagi joriy epidemiya ma’lumotlaridan olinmagan. Manba SI/SIR parametrlarini Murray keltirgan va 1978-yildagi internat maktabi gripp epidemiyasi ma’lumotlari bilan bog‘langan misoldan oladi.

Shu sababli tadqiqot Turkiyadagi infeksiya tarqalishini bashorat qiluvchi epidemiologik dala tadqiqoti emas, balki epidemiologik differensial tenglama modellari orqali bajarilgan sonli usul va hisoblash muhiti taqqoslanishidir.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• SI va SIR modellari Euler, RK4 va Predictor–Corrector usullari bilan Python, MATLAB va R muhitlarida yechilgan.
• SI modelida ayni usul va h qiymati uchun Python, MATLAB va R ayni hisobot qilingan R² qiymatlarini hosil qilgan.
• SI modelida RK4 manba jadvalida barcha h qiymatlarida R² = 1,0 deb hisobot qilingan.
• P-C SI modelida Eulerdan yuqoriroq R² qiymatlarini hosil qilgan.
• Euler yechimining SI aniqligi h kichraygani sari sezilarli ravishda oshgan.
• Python hisobot qilingan barcha SI va SIR ishlash vaqti kombinatsiyalarida eng past vaqtni bergan.
• MATLAB RK4 SIR yechimi ODE45 etaloniga juda yuqori R² qiymatlari bilan yaqinlashgan.
• RK4 va P-C usullari odatda Eulerdan ko‘proq amal talab qiladigan algoritmlar bo‘lib, manba jadvallarida ko‘pchilik taqqoslashlarda yuqoriroq vaqtlar ko‘rinadi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan, sinamagan yoki isbotlamagan natijalar

• Python barcha sonli ilmiy hisoblashlarda MATLAB va R dan tezroq ekani ko‘rsatilmagan.
• R barcha test sharoitlarida MATLABdan sekinroq ekani manba jadvallari tomonidan qo‘llab-quvvatlanmaydi.
• Tadqiqot turli CPU, operatsion tizim yoki kompyuter arxitekturalarida ayni tezlik tartibi saqlanishini ko‘rsatmaydi.
• Tadqiqot dasturiy ta’minot versiyalari o‘rtasida unumdorlik taqqoslanishini bajarmaydi.
• Tadqiqot takroriy o‘lchovlardan olingan dispersiya, standart og‘ish yoki ishonch oralig‘ini bermaydi.
• SIR modelida Python, MATLAB va R aniqligi umumiy ODE45 R² jadvali bilan taqqoslanmagan.
• SIR modelida Euler va P-C usullarining ODE45 ga nisbatan R² tekshiruvi hisobot qilinmagan.
• Jadvalda R² = 1,0 ko‘rinishi sonli yechim exact solution bilan matematik jihatdan to‘liq teng ekanini isbotlamaydi; qiymatlar yaxlitlangan.
• Tadqiqot real vaqt epidemiya prognozi yoki epidemiologik siyosat samaradorligini baholash emas.
• Tadqiqot Python, MATLAB yoki R ning kod ishlab chiqish vaqti, xotira sarfi, ekotizim, foydalanish qulayligi yoki litsenziya xarajatini taqqoslamaydi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tajriba dizaynining qisqacha mazmuni

SI aniqlik natijalarining barchasi nimani aytadi?

SI modelida dasturiy muhit o‘zgartirilishiga qaramay, ayni usul va qadam o‘lchamida R² o‘zgarmaydi. Masalan, Euler/h=0,25 uchun Python, MATLAB va R ning har biri R² = 0,9585463 beradi.

Shu sababli SI accuracy jadvali Python–MATLAB–R o‘rtasidagi sonli aniqlik farqidan ko‘ra Euler–P-C–RK4 o‘rtasidagi usul farqini ko‘rsatadi.

Bu qiymatlar S va I uchun bir xil.

Tezlik taqqoslanishining eng ishonchli natijasi nima?

Manba ma’lumotlaridagi eng izchil ishlash vaqti natijasi Pythonning eng past vaqtni berishidir.

Masalan, eng kichik qadam o‘lchami h = 0,01 ishlatilganda:

Python ushbu olti taqqoslashning barchasida eng kichik qiymatga ega. Bunga qarshi MATLAB va R tartibi usulga qarab o‘zgaradi.

Manbaning “R eng sekin” degan xulosasidagi nomuvofiqlik

Tadqiqotning natijalar bo‘limi R uchta muhit orasida doimiy ravishda eng sekin ekanini aytadi. Biroq 2-jadval va 4-jadval bu mutlaq ifodaga to‘liq mos kelmaydi.

Shuning uchun manba jadvaliga sodiq xulosa quyidagicha: Python hisobot qilingan barcha kombinatsiyalarda eng tez; MATLAB va R o‘rtasidagi ikkinchi/uchinchi o‘rin esa barcha sharoitlarda o‘zgarmas emas.

Vaqt o‘lchovining qamrovi

Manba tadqiqotida taymer algoritm boshida va oxirida joylashtirilgan va faqat sonli usulning sof hisoblash vaqti qayd etilgan.

Quyidagi amallar o‘lchovga kiritilmagan:

• parametrlarni aniqlash,
• o‘zgaruvchi initialization,
• model setup,
• grafik chizish.

Bu yondashuv sonli loop ishlash vaqtiga e’tibor qaratadi; biroq foydalanuvchining haqiqiy boshidan oxirigacha tahlil vaqtini o‘lchamaydi.

Benchmarkning qayta ishlab chiqarilish chegaralari

Manba apparatni tavsiflaydi, ammo unumdorlik taqqoslanishini to‘liq takrorlash uchun zarur bo‘lgan ayrim texnik tafsilotlarni hisobot qilmaydi.

Ayniqsa eng kichik o‘lchovlar o‘nlab yoki yuzlab mikrosoniya darajasida bo‘lgani sababli, bu tafsilotlar umumiy dasturlash tili unumdorligi haqida xulosa chiqarishda muhim. Manba o‘z o‘lchash tartibida bu omillarning ta’sirini alohida tahlil qilmaydi.

SIR tekshiruvining qamrovi

SIR uchun 3-jadval sarlavhasi “R² values of each numerical method in MATLAB” ifodasidan foydalansa-da, jadvalning o‘zi faqat RK4 Method – MATLAB natijalarini o‘z ichiga oladi.

Shu sababli manbadan:

• MATLAB Eulerning ODE45 ga nisbatan R² si,
• MATLAB P-C ning ODE45 ga nisbatan R² si,
• Python RK4 ning ODE45 ga nisbatan R² si,
• R RK4 ning ODE45 ga nisbatan R² si

chiqarib bo‘lmaydi.

Manba tasdiqlagan torroq natija shuki, MATLABda mualliflar amalga oshirgan RK4 yechimi ODE45 etaloniga juda yaqin.

Tadqiqotning asosiy natijasi

Manba ma’lumotlari birgalikda baholanganda ikki xil natija yuzaga chiqadi:

1. Aniqlik jihatidan: SI modelida RK4 eng yuqori hisobot qilingan R² qiymatlariga ega; P-C juda yaqin va Euler ayniqsa katta qadam o‘lchamida pastroq aniqlik ko‘rsatadi.
2. Manba implementatsiyalaridagi vaqt jihatidan: Python hisobot qilingan barcha tajriba kombinatsiyalarida MATLAB va R dan qisqaroq ishlash vaqtini beradi.

Bu ikki natijani bir-biriga aralashtirmaslik kerak. Pythonning qisqaroq ishlash vaqti RK4 ning sonli aniqligidan alohida topilmadir.

Asosiy cheklovlar

• Unumdorlik testi bitta kompyuterda bajarilgan.
• Python, MATLAB va R versiyalari hisobot qilinmagan.
• Vaqt o‘lchovining takrorlar soni berilmagan.
• Ishlash vaqtlari uchun dispersiya yoki ishonch oralig‘i yo‘q.
• Faqat algoritmning sof hisoblash vaqti o‘lchangan.
• Turli implementatsiyalarning kod optimallashtirish darajalari tengmi yoki yo‘qligi batafsil ko‘rsatilmagan.
• SI accuracy baholashi R² bilan cheklangan; mutlaq xato yoki maksimal xato jadvali mavjud emas.
• SIR accuracy testi faqat MATLAB RK4 va ODE45 taqqoslanishiga qo‘llangan.
• ODE45 tolerantlik sozlamalari manbada hisobot qilinmagan.
• Model faqat SI va SIR kabi kichik tenglamalar tizimlarini qamrab oladi; tezlik natijalarini katta ODE tizimlariga bevosita umumlashtirib bo‘lmaydi.

Manba va Usul Haqida Izoh

To‘liq asl ish nomi: Performance comparison of Python, MATLAB and R for numerical solutions of SI and SIR epidemiological models

Mualliflar va asl tartib: Berkay Özışık; Elif Demirci.

Mas’ul muallif: Yuklangan PDFda alohida corresponding-author belgisi yo‘q. Har ikki muallif uchun alohida elektron pochta manzili berilgan.

Teng birinchi/teng hissa: Yuklangan versiyada teng hissa bayonoti yo‘q.

Muassasa: Ankara University, Faculty of Sciences, Department of Mathematics, Besevler, Ankara, Türkiye.

Manba turi: Sonli tahlil, epidemiologik matematik modellashtirish va dasturlash muhiti unumdorligini taqqoslash tadqiqoti.

Nashr holati: Yuklangan ish ekspert taqrizidan o‘tmagan arXiv preprintidir; topilmalar ushbu nashr bosqichi hisobga olinib baholanishi kerak.

Platforma: arXiv.

arXiv identifikatori: 2603.01916.

Yuklangan versiya: v2 [math.NA].

Dastlabki yuborish: 2 mart 2026.

v2 tahrir sanasi: 4 mart 2026.

DOI: 10.48550/arXiv.2603.01916.

Taqrizli nashr versiyasi: 24 avgust 2026 holatiga bibliografik tekshiruvda ayni nom bilan tasdiqlangan alohida taqrizli jurnal versiyasi aniqlanmagan.

Maqola litsenziyasi: arXiv qaydidagi litsenziya havolasi CC BY-SA 4.0 litsenziyasiga yo‘naltiradi.

Asosiy modellar: Susceptible–Infected (SI) va Susceptible–Infected–Recovered (SIR).

Sonli usullar: Euler usuli, to‘rtinchi tartibli Runge–Kutta (RK4) va Predictor–Corrector.

Taqqoslangan muhitlar: Python, MATLAB va R.

SI tekshiruvi: Manbada berilgan analitik SI yechimiga nisbatan R².

SIR tekshiruvi: MATLAB ODE45 etaloniga nisbatan faqat MATLAB RK4 yechimi uchun R².

Apparat: Apple M4 protsessorli va 16 GB RAMli MacBook Air.

Ishlash vaqti qamrovi: Faqat sonli algoritmning sof hisoblash vaqti o‘lchangan; parameter definition, variable initialization, model setup va plotting chiqarib tashlangan.

Reproducibility chegarasi: Manba Python, MATLAB va R versiyalarini, aniq timing funksiyalarini, benchmark takrorlar sonini, warm-up/JIT usulini, vaqtlarning o‘rtacha/median ekanini va timing dispersiyasini hisobot qilmaydi.

Manba ichidagi natija nomuvofiqligi — R ishlash vaqti: Natijalar bo‘limida R uch muhit orasida doimiy ravishda eng sekin ekani aytiladi. Biroq 2-jadvalda SI Euler/h=0,01 uchun R = 0,009426 s va MATLAB = 0,018744 s; SI P-C/h=0,10 uchun R = 0,010234 s va MATLAB = 0,015156 s. 4-jadvalda SIR P-C/h=0,01 uchun R = 0,018921 s va MATLAB = 0,025391 s. Shu sababli “R har bir shartda eng sekin” xulosasi manba jadvallari bilan to‘liq mos emas. Python esa barcha hisobot qilingan kombinatsiyalarda eng past vaqtga ega.

Manba ichidagi jadval ifodasi — SIR R²: 3-jadval izohi “each numerical method in MATLAB” iborasini ishlatsa-da, jadvalda faqat RK4 Method uchun MATLAB–ODE45 taqqoslanishi mavjud. Euler va P-C uchun ODE45 R² qiymatlari manbada keltirilmagan.

Yaxlitlash chegarasi: SI 1-jadvalda RK4 va ayrim P-C qiymatlari R² = 1,0; SIR 3-jadvalda esa turli h qiymatlari ayni yetti o‘nlik xonali qiymatlar bilan hisobot qilingan. Manba qiymatlarni yetti o‘nlik xonagacha yaxlitlagani sababli ular exact numerical equality yoki nol xato sifatida talqin qilinmagan.

ODE45 chegarasi: Manba ODE45 ni SIR uchun high-accuracy reference solution sifatida ishlatadi, biroq solver tolerantlik sozlamalarini hisobot qilmaydi. ODE45 chiqishi analitik exact solution sifatida taqdim etilmagan.

Ma’lumot konteksti: SI/SIR boshlang‘ich shartlari va parametrlari manbada Murray (2002) orqali 1978-yildagi internat maktabi gripp epidemiyasi ma’lumotlari bilan bog‘langan. Tadqiqot Turkiyaga oid epidemiologik dala ma’lumotlarini modellashtirmaydi.

Moliyalashtirish: Yuklangan preprintda alohida funding statement mavjud emas.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Yuklangan preprintda alohida competing-interest bayonoti mavjud emas; bundan manfaatlar to‘qnashuvi yo‘q degan xulosa chiqarilmagan.

CRediT/muallif hissalari: Yuklangan versiyada alohida CRediT authorship contribution statement mavjud emas.

Ilmiy sharh chegarasi: Tadqiqotdagi ishlash vaqti natijalari muayyan SI/SIR implementatsiyalari, bitta apparat va hisobot qilingan vaqt o‘lchash tartibi uchun amal qiladi. Bular Python, MATLAB va R ning barcha ilmiy hisoblash vazifalaridagi umumiy yoki apparatdan mustaqil unumdorlik tartibi emas.

Ilmiy mazmun chegarasi: Ushbu Verianla maqolasidagi differensial tenglamalar, sonli usullar, parametrlar, R² qiymatlari, ishlash vaqtlari, ODE45 taqqoslanishi va natija cheklovlari yuklangan arXiv v2 ishiga asoslanadi. Tashqi bibliografik tekshiruv faqat muallif shaxsi, arXiv versiyasi, DOI, sana, nashr holati va maqola litsenziyasini tasdiqlash uchun ishlatilgan; manbada bo‘lmagan epidemiologik natija qo‘shilmagan.