Ин таҳқиқот муҳитҳои Python, MATLAB ва R-ро дар ҳалли ададии моделҳои классикии қисмбандишудаи SI ва SIR, ки дар эпидемиология истифода мешаванд, ҳам аз нигоҳи вақти ҳисоббарорӣ ва ҳам аз нигоҳи дақиқии ададӣ муқоиса мекунад. Ҳамин моделҳои математикӣ бо се усули гуногуни ададӣ — усули Euler-и тартиби якум, усули Runge–Kutta-и тартиби чорум (RK4) ва усули Predictor–Corrector (P-C) — татбиқ шудаанд. Азбаски барои модели SI ҳалли аналитикӣ мавҷуд аст, дақиқии натиҷаҳои ададӣ бо меъёри R² арзёбӣ шудааст; дар модели SIR бошад, ҳалкунандаи ODE45-и MATLAB ҳамчун истиноди дақиқии баланд истифода шуда, натиҷаҳои MATLAB RK4 бо ҳамин истинод муқоиса шудаанд.

Дар модели SI, RK4 барои ҳамаи андозаҳои қадами h = 0,25, 0,10 ва 0,01 дар Python, MATLAB ва R, вақте ки дар ҷадвал то ҳафт рақами даҳӣ гирд карда шудааст, R² = 1,0 додааст. Усули P-C барои h = 0,25 ба R² = 0,9994189, барои h = 0,10 ба 0,9999798 ва барои h = 0,01 ба 1,0 расидааст, дар ҳоле ки усули Euler барои ҳамин андозаҳои қадам мутаносибан 0,9585463, 0,9927564 ва 0,9999239 додааст. Ҳамин тавр, дар шароити манбаъ бо хурд шудани андозаи қадам ҳалли Euler ва P-C ба ҳалли аналитикии SI наздик шуда, RK4 дар дақиқии истифодашуда баландтарин қиматҳои R²-ро додааст.

Аз рӯи вақти иҷро Python дар ҳамаи комбинатсияҳои гузоришшудаи SI ва SIR нисбат ба MATLAB ва R қиматҳои камтар додааст. Бо вуҷуди ин, ин натиҷа танҳо барои як компютери Apple M4, версияҳои нармафзоре, ки дар манбаъ нишон дода нашудаанд, ва тартиби ягонаи вақтсанҷӣ эътибор дорад. Илова бар ин, гарчанде ки дар бахши натиҷаҳои манбаъ гуфта мешавад, ки R пайваста сусттарин муҳит аст, ҷадвалҳо нишон медиҳанд, ки дар баъзе шароит R аз MATLAB тезтар будааст. Аз ин рӯ, ҳарчанд таҳқиқот дар татбиқ ва сахтафзори мушаххас фарқи назарраси вақтро ба фоидаи Python нишон медиҳад, онро набояд ҳамчун рейтинги умумии самаранокии забонҳои барномарезӣ шарҳ дод.

Саволи асосии таҳқиқот чист?

Саволи асосии таҳқиқот чунин аст: Вақте ки ҳамон як системаи муодилаҳои дифференсиалии эпидемиологӣ бо ҳамон усули ададӣ ҳал мешавад, миёни Python, MATLAB ва R аз рӯи вақти ҳисоббарорӣ чӣ фарқ ба вуҷуд меояд ва усули ададии истифодашуда ба дақиқии ҳал чӣ гуна таъсир мекунад?

Аз ин рӯ, таҳқиқот ду муқоисаи гуногунро аз ҳам ҷудо мекунад:

• Муқоисаи усулҳои ададӣ: Euler, RK4 ва Predictor–Corrector.
• Муқоисаи муҳитҳои нармафзор: Python, MATLAB ва R.

Ин ҷудокунии мафҳумӣ муҳим аст, зеро дақиқии баланд бевосита натиҷаи муҳити нармафзори истифодашуда нест, балки асосан аз усули ададӣ ва андозаи қадам вобаста аст. Дар ҳақиқат, қиматҳои R² дар модели SI ҳангоми истифодаи ҳамон усул ва ҳамон h барои Python, MATLAB ва R дар ҷадвали манбаъ якхелаанд.

Модели SI чист?

SI яке аз соддатарин моделҳои эпидемиологӣ мебошад, ки аҳолиро ба ду қисм ҷудо мекунад:

• S — Susceptible: шахсони ҳассос ба сироят,
• I — Infected: шахсони сироятшуда.

Модели дар манбаъ истифодашуда:

\[ \frac{dS}{dt}=-\alpha SI \]

ва:

\[ \frac{dI}{dt}=\alpha SI \]

аз ҳамин муодилаҳо иборат аст.

Аҳолии умумӣ:

\[ N=S+I \]

доимӣ қабул карда мешавад. \(\alpha\) дар таҳқиқот параметри интиқоли сироят аст.

Дар таҷрибаи SI манбаъ аз:

истифода кардааст.

Чаро ҳалли аналитикии модели SI муҳим аст?

Азбаски барои ин шакли модели SI дар манбаъ ҳалли аналитикӣ дода шудааст, каҷхатҳое, ки усулҳои ададӣ ҳосил мекунанд, метавонанд мустақиман бо ҳалли истинодӣ муқоиса шаванд.

Дар манбаъ:

\[ S(t)= \frac{Ne^{-\alpha tN}c} {1+e^{-\alpha tN}c} \]

ва:

\[ I(t)= \frac{N(N-S_0)} {N-S_0+e^{-N\alpha t}S_0} \]

ифодаҳо дода мешаванд, ки дар онҳо:

\[ c=\frac{S_0}{N-S_0} \]

таъриф шудааст.

Ин ҳалли аналитикӣ ҳамчун истинод барои чен кардани он хизмат мекунад, ки натиҷаҳои тахминии усулҳои Euler, RK4 ва P-C то чӣ андоза наздик мешаванд.

Модели SIR аз модели SI чӣ фарқ дорад?

Ба модели SIR қисми сеюм илова мешавад:

• S: ҳассос,
• I: сироятшуда,
• R: шифоёфта/хориҷшуда.

Дар манбаъ системаи SIR:

\[ \frac{dS}{dt}=-\alpha SI \]

\[ \frac{dI}{dt}=\alpha SI-\beta I \]

\[ \frac{dR}{dt}=\beta I \]

таъриф шудааст.

Аҳолии умумӣ:

\[ N=S+I+R \]

мебошад.

Манбаъ ин параметрҳоро ба маълумоте асос медиҳад, ки Murray овардааст ва бо хуруҷи зуком дар мактаб-интернати писарона дар соли 1978 алоқаманд карда шудааст.

Усули Euler чӣ гуна кор мекунад?

Усули Euler соддатарин усули ададӣ ва усули тартиби якум дар таҳқиқот аст. Барои масъалаи умумии қимати ибтидоӣ:

\[ \frac{dy}{dx}=f(x,y) \]

ҳал бо:

\[ y_{n+1}=y_n+h f(x_n,y_n) \]

қадам ба қадам пеш бурда мешавад.

Андозаи қадам:

\[ h=\frac{b-x_0}{n} \]

таъриф шудааст.

Барои модели SI:

\[ S_{n+1}=S_n-h\alpha S_n I_n \]

\[ I_{n+1}=I_n+h\alpha S_n I_n \]

ҳосил мешавад.

Азбаски усули Euler дар ҳар қадам танҳо нишебии нуқтаи ҷориро истифода мебарад, арзиши ҳисоббарории он паст аст; аммо натиҷаҳои манбаъ нишон медиҳанд, ки махсусан барои қиматҳои калонтарини h нисбат ба RK4 ва P-C қиматҳои пасттари R² ба даст омадаанд.

Чаро RK4 натиҷаи дақиқтар медиҳад?

Усули Runge–Kutta-и тартиби чорум дар ҳар қадами вақт чор нишебии мобайниро ҳисоб карда, тағйири ҳалро муфассалтар ифода мекунад.

Навсозии умумии RK4:

\[ y_{n+1} = y_n+ \frac{h}{6} (k_1+2k_2+2k_3+k_4) \]

мебошад.

Дар манбаъ \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) ва \(k_4\) барои тағйирёбандаҳои S, I ва дар ҳолати зарурӣ R-и ҳам системаҳои SI ва ҳам SIR алоҳида бароварда шудаанд.

Дар натиҷаҳои SI, RK4 ҳатто дар калонтарин андозаи қадами санҷидашуда, яъне h = 0,25, дар ҷадвал то ҳафт рақами даҳӣ R² = 1,0 медиҳад. Ин қимат натиҷаи гирдкардашудаи манбаъ аст ва исбот намекунад, ки ҳалли RK4 аз ҷиҳати математикӣ бо ҳалли аналитикӣ комилан яксон аст.

Усули Predictor–Corrector чӣ гуна кор мекунад?

Усули P-C ду марҳила дорад. Аввал бо қадами predictor, ки ба Euler монанд аст, нуқтаи навбатӣ пешгӯӣ мешавад:

\[ \tilde y_{i+1} = y_i+h f(x_i,y_i) \]

Сипас бо истифода аз ҳосила дар нуқтаи пешгӯишуда corrector татбиқ мешавад:

\[ y_{i+1} = y_i+ \frac{h}{2} \left[ f(x_i,y_i)+ f(x_{i+1},\tilde y_{i+1}) \right] \]

Дар натиҷаҳои манбаъ дақиқии P-C назар ба Euler ба таври равшан баландтар, вале аз RK4 каме пасттар ё дар дақиқии гузориш ба он баробар менамояд.

R² дар ин ҷо чиро чен мекунад?

Манбаъ мувофиқати ҳалли ададӣ ва ҳалли истинодиро бо:

\[ R^2 = 1- \frac{ \sum_{i=1}^{n} (y_i-\tilde y_i)^2 }{ \sum_{i=1}^{n} (y_i-\bar y)^2 } \]

арзёбӣ мекунад.

Дар ин ҷо \(y_i\) ҳалли exact/reference, \(\tilde y_i\) пешгӯии усули ададӣ ва \(\bar y\) миёнаи ҳалли истинодиро ифода мекунад.

Дар модели SI истинод ҳалли аналитикӣ аст. Дар модели SIR бошад, манбаъ баромади MATLAB ODE45-ро танҳо барои арзёбии MATLAB RK4 ҳамчун истинод истифода кардааст.

Дар модели SI кадом усул дақиқтар аст?

Ҷадвали 1-и манбаъ тартиби равшанеро нишон медиҳад. Барои ҳамон қимати h, Python, MATLAB ва R ҳамон қимати R²-ро медиҳанд; фарқ аз муҳити нармафзор не, балки аз усули ададӣ меояд.

Усули Euler барои h = 0,25 R² = 0,9585463 дошта, барои h = 0,01 ба 0,9999239 мерасад. P-C дар ҳамин шароит аз 0,9994189 то 1,0 дар дақиқии гузориши манбаъ боло меравад.

RK4 бошад, барои ҳамаи се қимати h ҳангоми гирд кардан то ҳафт рақами даҳӣ ҳамчун R² = 1,0 гузориш шудааст.

Графикҳои SI дар саҳифаи 6 чиро нишон медиҳанд?

Дар саҳифаи 6-и манбаъ натиҷаҳои Python, MATLAB ва R дар се сатри алоҳида оварда шудаанд. Дар ҳар сатри онҳо се график барои Euler, RK4 ва P-C мавҷуд аст.

Дар графикҳои Euler миёни каҷхаттиҳои ададӣ барои қиматҳои гуногуни h, махсусан дар минтақаи гузариш, ки каҷхаттиҳои S ва I зуд тағйир меёбанд, ҷудошавии намоён вуҷуд дорад. Бо хурд шудани қадам каҷхаттиҳо ба exact solution наздик мешаванд.

Дар графикҳои RK4 ҳалли h-и гуногун ва exact solution аз нигоҳи визуалӣ қариб пурра рӯи ҳам меафтанд. Дар графикҳои P-C низ мувофиқати наздик дида мешавад. Ин рафтори визуалӣ бо қиматҳои R² дар Ҷадвали 1 мутобиқ аст.

Вақтҳои иҷро дар модели SI чӣ қадар аст?

Python дар ҳамаи нӯҳ комбинатсияи усул/қадам дар ҷадвали SI вақти пасттаринро медиҳад.

Аммо миёни MATLAB ва R он қадар тартиби қатъие, ки бахши натиҷаҳои манбаъ мегӯяд, вуҷуд надорад. Масалан, дар таҷрибаҳои Euler/h=0,01 ва P-C/h=0,10, R нисбат ба MATLAB вақти кӯтоҳтар гузориш кардааст.

Чаро бо хурд шудани андозаи қадам вақт одатан зиёд мешавад?

h-и хурдтар дар ҳамон фосилаи 14-рӯза маънои шумораи бештари қадамҳои ҳисоббарориро дорад. Дар ҷадвалҳои манбаъ, махсусан барои Python, ин рафтор хеле равшан дида мешавад.

Масалан, вақти Python барои SI–RK4:

• h = 0,25 → 0,000163 s,
• h = 0,10 → 0,000398 s,
• h = 0,01 → 0,003950 s

меафзояд.

Қиматҳои R ва MATLAB бошад, дар баъзе таҷрибаҳои хурд пурра монотонӣ нестанд. Ин ҳолат дар манбаъ алоҳида таҳлил нашудааст ва азбаски шумораи такрори вақтсанҷӣ ё тағйирпазирии андозагирӣ гузориш нашудааст, сабаби фарқиятҳои хурди вақтро аз манбаъ дақиқ муайян кардан имконнопазир аст.

Каҷхаттиҳои модели SIR чиро нишон медиҳанд?

Дар саҳифаи 8-и манбаъ боз барои Python, MATLAB ва R се панел мавҷуд аст. Дар модели SIR аҳолии susceptible бо гузашти вақт кам мешавад, аҳолии infected аввал зиёд шуда ба қулла мерасад ва сипас кам мешавад, аҳолии recovered бошад бо вақт зиёд мешавад.

Барои усули Euler миёни қиматҳои гуногуни h ҷудошавии равшантар дида мешавад, дар ҳоле ки ҳалли графикҳои RK4 ва P-C ба ҳам наздиктар менамоянд.

Ин шаклҳо рафтори сифатиро муқоиса мекунанд. Манбаъ барои SIR ҷадвали умумии R²-ро, ки ҳамаи усулҳо ва нармафзорҳоро дар бар гирад, пешниҳод намекунад.

Чаро MATLAB ODE45 истифода шудааст?

Азбаски барои системаи SIR дар доираи ин таҳқиқот ҳалли аналитикии exact solution истифода нашудааст, муаллифон ҳалкунандаи ODE45-и MATLAB-ро ҳамчун истиноди дақиқии баланд интихоб кардаанд.

Сипас танҳо ҳалли RK4 дар MATLAB бо ин истинод муқоиса шудааст.

Ин натиҷаҳо нишон медиҳанд, ки дар шароити манбаъ ҳалли MATLAB RK4 ба истиноди ODE45 хеле наздик аст.

Аммо якхела будани қиматҳои ҳафтрақамаи даҳӣ барои се қимати h исбот намекунад, ки андозаҳои гуногуни қадам воқеан як қимати хатогӣ доранд; натиҷаҳои таҳқиқот то ҳафт рақами даҳӣ гирд карда шудаанд.

Илова бар ин, манбаъ танзимоти tolerance-и ODE45-ро намедиҳад. Аз ин рӯ, ODE45 дар ин ҷо истиноди дақиқии баланди интихобкардаи таҳқиқот аст ва набояд ҳамчун exact solution-и математикӣ арзёбӣ шавад.

Вақтҳои иҷро дар модели SIR чӣ қадар аст?

Python дар ин ҷо низ дар ҳамаи нӯҳ шароит пасттарин вақти иҷрои гузоришшударо дорад.

Барои SIR P-C дар шарти h = 0,01 бошад, вақти R, яъне 0,018921 сония, аз вақти MATLAB, яъне 0,025391 сония камтар аст. Ин қимат ба таври равшан нишон медиҳад, ки ибораи “R consistently slowest” дар натиҷаҳои манбаъ барои ҳамаи комбинатсияҳои таҷриба дуруст нест.

Оё Python воқеан аз MATLAB тезтар аст?

Дар таҷрибаҳои гузоришшудаи ин таҳқиқот — ҳа; аммо барои ҳамаи барномаҳои Python ва MATLAB дар маҷмӯъ чунин хулоса баровардан мумкин нест.

Дар ҷадвалҳои манбаъ Python дар ҳамаи 18 комбинатсияи SI/SIR усул–h нисбат ба MATLAB ва R вақти камтар дорад. Ин натиҷаи қавиест, ки маълумоти таҳқиқот дастгирӣ мекунад.

Аммо дар тарҳи таҷриба маълумоти зерин дода нашудааст:

• версияи Python,
• версияи MATLAB,
• версияи R,
• тафсилоти interpreter/compiler-и истифодашуда,
• функсияи дақиқи timing дар ҳар забон,
• чанд маротиба такрор шудани ҳамон санҷиш,
• истифода шудани вақти миёна ё медианӣ,
• каҷшавии стандартӣ ё фосилаи эътимоди вақтҳо,
• чӣ гуна идора шудани таъсирҳои warm-up ё JIT.

Андозагириҳо инчунин танҳо дар як MacBook Air бо протсессори Apple M4 ва 16 GB RAM гузаронида шудаанд.

Аз ин рӯ, натиҷаро бояд чунин шарҳ дод: “татбиқҳои манбаъ дар ин сахтафзор ва бо ин усул дар Python вақти кӯтоҳтари иҷро додаанд”.

Натиҷаи асосии таҳқиқот аз нуқтаи назари MATLAB чист?

MATLAB дар ин таҳқиқот ду нақши ҷудогона дорад. Аввалан, он яке аз муҳитҳои умумии ҳисоббарорӣ мебошад, ки усулҳои Euler, RK4 ва P-C дар он бо Python ва R муқоиса мешаванд. Нақши дуюм ва хоси MATLAB — истифодаи ҳалкунандаи истинодии ODE45 барои санҷиши ҳалли SIR аст.

Гарчанде ки вақтҳои иҷрои MATLAB аз Python зиёдтаранд, натиҷаҳои MATLAB RK4 дар модели SIR нисбат ба истиноди ODE45 чунин гузориш шудаанд:

• барои S, R² = 0,9999998,
• барои I, R² = 0,9999996,
• барои R, R² = 0,9999998

.

Ҳамин тавр, таҳқиқот аз нуқтаи назари MATLAB натиҷаи “тезтарин муҳит”-ро намедиҳад; аммо муқоисаи ҳам ҳалли классикии RK4, ки корбар навиштааст, ва ҳам истиноди дарунсохти ODE45-ро дар як таҳқиқот таъмин мекунад.

Чаро аз нуқтаи назари Туркия ин кор махсусан ҷолиб аст?

Ҳар ду муаллифи таҳқиқот бо Шуъбаи математикаи Донишгоҳи Анкара алоқаманданд. Аз ин рӯ, таҳқиқот бевосита аз муассисаи академии Туркия баромадааст.

Бо вуҷуди ин, параметрҳои эпидемиологии истифодашуда аз маълумоти эпидемияи ҷории Туркия гирифта нашудаанд. Манбаъ параметрҳои SI/SIR-ро аз мисоле мегирад, ки Murray овардааст ва бо маълумоти хуруҷи зукоми мактаб-интернат дар соли 1978 алоқаманд аст.

Аз ин рӯ, таҳқиқот кори саҳроии эпидемиологӣ барои пешгӯии паҳншавии сироят дар Туркия нест, балки муқоисаи усули ададӣ ва муҳити ҳисоббарорӣ тавассути моделҳои муодилаҳои дифференсиалии эпидемиологӣ мебошад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Моделҳои SI ва SIR бо усулҳои Euler, RK4 ва Predictor–Corrector дар муҳитҳои Python, MATLAB ва R ҳал шудаанд.
• Дар модели SI барои ҳамон усул ва қимати h, Python, MATLAB ва R ҳамон қиматҳои гузоришшудаи R²-ро додаанд.
• Дар модели SI, RK4 дар ҷадвали манбаъ барои ҳамаи қиматҳои h ҳамчун R² = 1,0 гузориш шудааст.
• P-C дар модели SI нисбат ба Euler қиматҳои баландтари R² додааст.
• Дақиқии ҳалли Euler дар SI бо хурд шудани h ба таври равшан зиёд шудааст.
• Python дар ҳамаи комбинатсияҳои гузоришшудаи вақти иҷрои SI ва SIR пасттарин вақтро додааст.
• Ҳалли MATLAB RK4 барои SIR бо қиматҳои хеле баланди R² ба истиноди ODE45 наздик шудааст.
• Усулҳои RK4 ва P-C дар маҷмӯъ нисбат ба Euler алгоритмҳои дорои амалиёти бештар мебошанд ва дар ҷадвалҳои манбаъ дар аксари муқоисаҳо вақтҳои баландтар дида мешаванд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ, санҷиш ё исбот намекунад

• Нишон дода нашудааст, ки Python дар ҳамаи ҳисобҳои илмии ададӣ аз MATLAB ва R тезтар аст.
• Ҷадвалҳои манбаъ дастгирӣ намекунанд, ки R дар ҳамаи шароити санҷиш аз MATLAB сусттар аст.
• Таҳқиқот нишон намедиҳад, ки дар CPU, системаи амалиётӣ ё меъмории компютерии дигар ҳамон тартиби суръат нигоҳ дошта мешавад.
• Таҳқиқот муқоисаи самаранокиро байни версияҳои нармафзор иҷро намекунад.
• Таҳқиқот дисперсия, каҷшавии стандартӣ ё фосилаи эътимодро аз андозагириҳои такрорӣ пешниҳод намекунад.
• Дар модели SIR дақиқии Python, MATLAB ва R бо як ҷадвали умумии ODE45 R² муқоиса нашудааст.
• Дар модели SIR санҷиши R²-и усулҳои Euler ва P-C нисбат ба ODE45 гузориш нашудааст.
• Намоиши R² = 1,0 дар ҷадвал исбот намекунад, ки ҳалли ададӣ аз ҷиҳати математикӣ бо exact solution комилан баробар аст; қиматҳо гирд карда шудаанд.
• Таҳқиқот пешгӯии эпидемия дар вақти воқеӣ ё арзёбии самаранокии сиёсати эпидемиологӣ нест.
• Таҳқиқот вақти таҳияи код, истифодаи хотира, экосистема, осонии истифода ё хароҷоти иҷозатномаи Python, MATLAB ё R-ро муқоиса намекунад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Хулосаи тарҳи таҷриба

Ҳамаи натиҷаҳои дақиқии SI чӣ мегӯянд?

Дар модели SI, сарфи назар аз иваз шудани муҳити нармафзор, R² барои ҳамон усул ва андозаи қадам тағйир намеёбад. Масалан, барои Euler/h=0,25 ҳар яке аз Python, MATLAB ва R қимати R² = 0,9585463 медиҳад.

Аз ин рӯ, ҷадвали SI accuracy бештар аз фарқи дақиқии ададӣ байни Python–MATLAB–R, фарқи усулҳои Euler–P-C–RK4-ро нишон медиҳад.

Ин қиматҳо барои S ва I якхелаанд.

Эътимодноктарин натиҷаи муқоисаи суръат чист?

Мунтазамтарин натиҷаи вақти иҷро дар маълумоти манбаъ ин аст, ки Python пасттарин вақтро медиҳад.

Масалан, ҳангоми истифодаи хурдтарин андозаи қадам h = 0,01:

Python дар ҳамаи ин шаш муқоиса қимати камтаринро дорад. Дар муқобил, тартиби MATLAB ва R вобаста ба усул тағйир меёбад.

Номувофиқӣ дар хулосаи “R сусттарин аст” дар манбаъ

Бахши натиҷаҳои таҳқиқот мегӯяд, ки R миёни се муҳит пайваста сусттарин аст. Аммо Ҷадвалҳои 2 ва 4 бо ин изҳороти мутлақ пурра мувофиқ нестанд.

Аз ин рӯ, хулосаи содиқ ба ҷадвали манбаъ чунин аст: Python дар ҳамаи комбинатсияҳои гузоришшуда тезтарин аст; ҷойҳои дуюм/сеюм миёни MATLAB ва R дар ҳамаи шароит собит нестанд.

Доираи андозагирии вақт

Дар таҳқиқоти манбаъ таймер дар оғоз ва анҷоми алгоритм гузошта шуда, танҳо вақти софи ҳисоббарории усули ададӣ сабт шудааст.

Амалиёти зерин ба андозагирӣ дохил нашудаанд:

• таърифи параметрҳо,
• variable initialization,
• model setup,
• кашидани график.

Ин равиш ба вақти иҷрои loop-и ададӣ тамаркуз мекунад, вале вақти воқеии таҳлили аз аввал то охири корбарро чен намекунад.

Маҳдудиятҳои бозтавлидпазирии benchmark

Манбаъ сахтафзорро тавсиф мекунад, вале баъзе ҷузъиёти техникиеро, ки барои пурра бозтавлид кардани муқоисаи самаранокӣ заруранд, гузориш намедиҳад.

Махсусан азбаски хурдтарин андозагириҳо дар сатҳи даҳҳо ё садҳо микросонияанд, ин ҷузъиёт ҳангоми баровардани хулоса дар бораи самаранокии умумии забонҳои барномарезӣ муҳиманд. Манбаъ дар тартиби андозагирии худ таъсири ин омилҳоро алоҳида таҳлил намекунад.

Доираи санҷиши SIR

Гарчанде ки сарлавҳаи Ҷадвали 3 барои SIR аз ибораи “R² values of each numerical method in MATLAB” истифода мекунад, худи ҷадвал танҳо натиҷаҳои RK4 Method – MATLAB-ро дар бар мегирад.

Аз ин рӯ, аз манбаъ:

• R²-и MATLAB Euler нисбат ба ODE45,
• R²-и MATLAB P-C нисбат ба ODE45,
• R²-и Python RK4 нисбат ба ODE45,
• R²-и R RK4 нисбат ба ODE45

бароварда намешавад.

Натиҷаи маҳдудтаре, ки манбаъ тасдиқ мекунад, чунин аст: ҳалли RK4-и аз ҷониби муаллифон дар MATLAB татбиқшуда ба истиноди ODE45 хеле наздик аст.

Натиҷаи асосии таҳқиқот

Ҳангоми якҷо арзёбӣ кардани маълумоти манбаъ ду натиҷаи гуногун ба вуҷуд меоянд:

1. Аз нигоҳи дақиқӣ: дар модели SI RK4 баландтарин қиматҳои R²-и гузоришшударо дорад; P-C хеле наздик аст ва Euler махсусан дар андозаи калони қадам дақиқии пасттар нишон медиҳад.
2. Аз нигоҳи вақт дар татбиқҳои манбаъ: Python дар ҳамаи комбинатсияҳои гузоришшудаи таҷриба нисбат ба MATLAB ва R вақти кӯтоҳтари иҷро медиҳад.

Ин ду натиҷаро набояд омехта кард. Вақти кӯтоҳтари иҷрои Python аз дақиқии ададии RK4 натиҷаи ҷудогона аст.

Маҳдудиятҳои асосӣ

• Санҷиши самаранокӣ танҳо дар як компютер анҷом дода шудааст.
• Версияҳои Python, MATLAB ва R гузориш нашудаанд.
• Шумораи такрори андозагирии вақт дода нашудааст.
• Барои вақтҳои иҷро дисперсия ё фосилаи эътимод мавҷуд нест.
• Танҳо вақти софи ҳисоббарории алгоритм чен карда шудааст.
• Ба таври муфассал нишон дода нашудааст, ки сатҳи оптимизатсияи код дар татбиқҳои гуногун баробар аст ё не.
• Арзёбии SI accuracy танҳо бо R² маҳдуд аст; ҷадвали хатои мутлақ ё хатои ҳаддиакс мавҷуд нест.
• Санҷиши SIR accuracy танҳо ба муқоисаи MATLAB RK4 ва ODE45 татбиқ шудааст.
• Танзимоти tolerance-и ODE45 дар манбаъ гузориш нашудаанд.
• Модел танҳо системаҳои хурди муодилаҳо ба монанди SI ва SIR-ро фаро мегирад; натиҷаҳои суръатро мустақиман ба системаҳои бузурги ODE умумӣ кардан мумкин нест.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Номи пурраи аслии кор: Performance comparison of Python, MATLAB and R for numerical solutions of SI and SIR epidemiological models

Муаллифон ва тартиби аслӣ: Berkay Özışık; Elif Demirci.

Муаллифи масъул: Дар PDF-и боршуда нишонаи алоҳидаи corresponding-author вуҷуд надорад. Барои ҳар ду муаллиф суроғаҳои почтаи электронӣ ҷудогона дода шудаанд.

Ҳаммуаллифи аввал/саҳми баробар: Дар версияи боршуда изҳороти саҳми баробар вуҷуд надорад.

Муассиса: Ankara University, Faculty of Sciences, Department of Mathematics, Besevler, Ankara, Türkiye.

Навъи манбаъ: Таҳқиқоти таҳлили ададӣ, моделсозии математикии эпидемиологӣ ва муқоисаи самаранокии муҳити барномарезӣ.

Ҳолати нашр: Кори боршуда preprint-и arXiv мебошад, ки аз баррасии ҳамтоён нагузаштааст; натиҷаҳо бояд бо дарназардошти ин марҳилаи нашр арзёбӣ шаванд.

Платформа: arXiv.

Шиносаи arXiv: 2603.01916.

Версияи боршуда: v2 [math.NA].

Ирсоли аввал: 2 марти 2026.

Санаи бознигарии v2: 4 марти 2026.

DOI: 10.48550/arXiv.2603.01916.

Версияи нашри рецензияшуда: То 24 августи 2026 дар санҷиши библиографӣ версияи ҷудогонаи рецензияшудаи маҷалла бо ҳамин унвон тасдиқ нашудааст.

Литсензияи мақола: Пайванди литсензияи сабти arXiv ба CC BY-SA 4.0 мебарад.

Моделҳои асосӣ: Susceptible–Infected (SI) ва Susceptible–Infected–Recovered (SIR).

Усулҳои ададӣ: Усули Euler, Runge–Kutta-и тартиби чорум (RK4) ва Predictor–Corrector.

Муҳитҳои муқоисашуда: Python, MATLAB ва R.

Санҷиши SI: R² нисбат ба ҳалли аналитикии SI, ки дар манбаъ дода шудааст.

Санҷиши SIR: R² танҳо барои ҳалли MATLAB RK4 нисбат ба истиноди MATLAB ODE45.

Сахтафзор: MacBook Air бо протсессори Apple M4 ва 16 GB RAM.

Доираи вақти иҷро: Танҳо вақти софи ҳисоббарории алгоритми ададӣ чен шудааст; parameter definition, variable initialization, model setup ва plotting хориҷ шудаанд.

Маҳдудияти reproducibility: Манбаъ версияҳои Python, MATLAB ва R, функсияҳои дақиқи timing, шумораи такрори benchmark, усули warm-up/JIT, миёна ё медианӣ будани вақтҳо ва тағйирпазирии timing-ро гузориш намедиҳад.

Номувофиқии натиҷаи дохилиманбаъӣ — вақти иҷрои R: Дар бахши натиҷаҳо R пайваста сусттарин муҳит гуфта мешавад. Аммо дар Ҷадвали 2 барои SI Euler/h=0,01, R = 0,009426 s ва MATLAB = 0,018744 s; барои SI P-C/h=0,10, R = 0,010234 s ва MATLAB = 0,015156 s аст. Дар Ҷадвали 4 барои SIR P-C/h=0,01, R = 0,018921 s ва MATLAB = 0,025391 s аст. Аз ин рӯ, хулосаи “R дар ҳама шароит сусттарин аст” бо ҷадвалҳои манбаъ пурра мувофиқ нест. Python бошад дар ҳамаи комбинатсияҳои гузоришшуда пасттарин вақтро дорад.

Ифодаи ҷадвали дохилиманбаъӣ — SIR R²: Тавзеҳи Ҷадвали 3 ибораи “each numerical method in MATLAB”-ро истифода мекунад, аммо ҷадвал танҳо муқоисаи MATLAB–ODE45 барои RK4 Method-ро дар бар мегирад. Қиматҳои ODE45 R² барои Euler ва P-C дар манбаъ пешниҳод нашудаанд.

Маҳдудияти гирдкунӣ: Дар Ҷадвали 1-и SI қиматҳои RK4 ва баъзе P-C ҳамчун R² = 1,0, дар Ҷадвали 3-и SIR бошад қиматҳои гуногуни h бо ҳамон ҳафт рақами даҳӣ гузориш шудаанд. Азбаски манбаъ қиматҳоро то ҳафт рақами даҳӣ гирд мекунад, онҳо ҳамчун exact numerical equality ё хатои сифр тафсир нашудаанд.

Маҳдудияти ODE45: Манбаъ ODE45-ро барои SIR ҳамчун high-accuracy reference solution истифода мекунад, аммо танзимоти tolerance-и solver-ро гузориш намедиҳад. Баромади ODE45 ҳамчун exact solution-и аналитикӣ пешниҳод нашудааст.

Контексти маълумот: Шартҳои ибтидоӣ ва параметрҳои SI/SIR дар манбаъ тавассути Murray (2002) бо маълумоти хуруҷи зуком дар мактаб-интернати соли 1978 алоқаманд шудаанд. Таҳқиқот маълумоти саҳроии эпидемиологии Туркияро моделсозӣ намекунад.

Маблағгузорӣ: Дар preprint-и боршуда funding statement-и ҷудогона вуҷуд надорад.

Бархӯрди манфиатҳо: Дар preprint-и боршуда изҳороти ҷудогонаи competing-interest вуҷуд надорад; аз ин набудани бархӯрди манфиатҳо хулоса нашудааст.

CRediT/саҳмҳои муаллифон: Дар версияи боршуда CRediT authorship contribution statement-и ҷудогона вуҷуд надорад.

Маҳдудияти шарҳи илмӣ: Натиҷаҳои вақти иҷро дар таҳқиқот барои татбиқҳои мушаххаси SI/SIR, як сахтафзор ва тартиби гузоришшудаи вақтсанҷӣ эътибор доранд. Онҳо рейтинги умумӣ ё аз сахтафзор мустақили самаранокии Python, MATLAB ва R дар ҳамаи вазифаҳои ҳисоббарории илмӣ нестанд.

Маҳдудияти муҳтавои илмӣ: Муодилаҳои дифференсиалӣ, усулҳои ададӣ, параметрҳо, қиматҳои R², вақтҳои иҷро, муқоисаи ODE45 ва маҳдудиятҳои натиҷа дар ин мақолаи Verianla ба кори боршудаи arXiv v2 асос ёфтаанд. Санҷиши берунии библиографӣ танҳо барои тасдиқи шахсияти муаллифон, версияи arXiv, DOI, сана, ҳолати нашр ва литсензияи мақола истифода шудааст; натиҷаи эпидемиологии дар манбаъ набуда илова нашудааст.