Benjamin-Aaron-Mayumbo (BAM) modeli transport zichligi va oʻrtacha tezlik kabi agregat oʻzgaruvchilar bilan ishlaydigan, klassik Payne-Whitham (PW) modelini oldingi transport vositasigacha mavjud masofaga bogʻliq haydovchi reaksiyasi bilan kengaytiruvchi ikkinchi tartibli makroskopik transport oqimi modelidir. Modelning asosiy yangiligi oldinga yoʻnalgan transport vositalari orasidagi masofadan faqat kerakli tezlikni belgilash uchun emas, balki haydovchining joriy tezlikdan kerakli tezlikka qanchalik tez yaqinlashishini belgilovchi samarali relaksatsiya vaqtini ham oʻzgartirish uchun foydalanishidir. Tadqiqot BAMni analitik barqarorlik tahlili va nazorat qilinadigan sonli simulyatsiyalar orqali klassik PW modeli bilan taqqoslaydi.

Model makroskopik zichlikdan transport vositalari orasidagi taxminiy masofaga oʻtish uchun \(\Delta x \approx 1/\rho\) munosabatidan foydalanadi. Bu yondashuv transport oqimidagi transport vositalari taxminan bir xil oraliqlarda taqsimlangan degan farazga asoslanadi. Olingan oraliq keyin ikki alohida mexanizmga kiradi: haydovchi erishishni maqsad qilgan oraliq bilan boshqariladigan tezlik \(v_d\) va tezlikni moslashtirishning vaqt masshtabini belgilovchi samarali relaksatsiya vaqti \(\tau_{eff}\). Shunday qilib, transport zichligi oshganda oldinda mavjud masofa qisqaradi; model ham maqsad tezligini, ham tezlikni moslashtirish xatti-harakatini ayni transport holatiga bogʻlaydi.

Tadqiqotning asosiy taqqoslashlarida klassik PW modeli sinovdan oʻtkazilgan sharoitlarda juda katta sonli tezlik tebranishlarini hosil qilgan boʻlsa, BAM tezliklarni model uchun koʻzda tutilgan diapazonda ushlab turgan va silliqroq transport toʻlqinlarini hosil qilgan. Manba PW simulyatsiyasida tezlik taxminan \(320\,m/s\) gacha koʻtarilib, taxminan \(-180\,m/s\) gacha tushishi mumkinligini bildirar ekan, BAM 0–20 \(m/s\) qilib belgilangan modellashtirish diapazoni ichida qolganini qayd etadi. Bu BAM tekshirilgan sonli tuzilmada boshqariluvchanroq xatti-harakat koʻrsatishini anglatadi; real transportda aniqroq bashorat qilishi degani emas.

Chiziqli barqarorlik tahlilida tadqiqot keltirib chiqargan strukturaviy shart \(C_0 \geq -\rho_0 v_d'(\rho_0)\) koʻrinishidadir. Oraliq bilan boshqariladigan kerakli tezlik funksiyasining hosilasi qoʻyilganda chegara \(C_0 \geq \frac{s\rho_0v_{max}}{(1+s\rho_0)^2}\) boʻladi. \(\rho_0=0.30\,veh/m\), \(v_{max}=20\,m/s\) va \(s=8\,m\) uchun tadqiqot kritik qiymatni taxminan \(C_{0,critical}=4.15\,m/s\) deb hisoblagan. \(C_0=2.0\,m/s\) beqaror, \(4.15\,m/s\) kritik chegara va \(20.0\,m/s\) barqaror holat sifatida sonli tarzda sinovdan oʻtkazilgan.

Eng muhim talqin chegarasi quyidagicha: BAM hali real transport kuzatuvlari bilan kalibrlanmagan yoki mustaqil ravishda tasdiqlanmagan. Natijalar yopiq halqali yoʻllar, belgilangan boshlangʻich perturbatsiyalar va tanlangan parametrlar ostida oʻtkazilgan nazorat qilinadigan sonli tajribalarning natijalaridir. Shu sababli tadqiqot BAM real yoʻl tarmoqlarida PWdan qatʼiy ravishda aniqroq bashorat qilishini koʻrsatmaydi; u boshqariluvchanroq va barqarorroq sonli xatti-harakat hosil qila olishini koʻrsatadi.

BAM Transport Oqimi Modeli Nima?

Benjamin-Aaron-Mayumbo (BAM) modeli klassik Payne-Whitham modelining transport vositalari saqlanishi va transport-bosim/oldindan hisobga olish tuzilmasini saqlaydigan, biroq doimiy relaksatsiya xatti-harakati oʻrniga transport zichligidan keltirib chiqarilgan oldinga yoʻnalgan transport vositalari orasidagi masofaga bogʻliq kerakli tezlik va samarali relaksatsiya vaqtidan foydalanadigan ikkinchi tartibli makroskopik transport oqimi modelidir.

Makroskopik transport modeli nimani ifodalaydi?

Mikroskopik transport modellari alohida transport vositalari va haydovchilarni kuzatsa, makroskopik modellar transportni oqayotgan uzluksiz muhit sifatida qaraydi. Shu sababli har bir transport vositasining rul, gaz yoki tormoz buyruqlarini alohida modellashtirish oʻrniga yoʻl boʻylab zichlik, oʻrtacha tezlik va oqim kabi maydon oʻzgaruvchilaridan foydalaniladi.

Ushbu tadqiqotdagi asosiy oʻzgaruvchilar quyidagilar:

LWR modeli: transport vositalarining saqlanishi

Tadqiqotning matematik boshlangʻich nuqtalaridan biri Lighthill-Whitham-Richards (LWR) modelidir. Manbadagi Tenglama (1):

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial x}=0 \tag{1} \]

Bu tenglama saqlanish qonunidir. \(\rho v\) koʻpaytmasi transport oqimini ifodalaydi. Muayyan yoʻl kesimidagi zichlik vaqt oʻtishi bilan oʻzgarsa, bunga transport vositalarining kesimga kirishi va undan chiqishi sabab boʻladi. Tenglama oʻz-oʻzidan haydovchi qanday tezlashishi yoki sekinlashishini aytmaydi; u faqat transport vositalari sonining saqlanishini ifodalaydi.

Payne-Whitham modeli nima uchun ikkinchi tenglamaga muhtoj?

LWR modeli tezlikning dinamik oʻzgarishini alohida tenglama bilan tushuntirmaydi. Shuning uchun Payne-Whitham modeli saqlanish tenglamasiga tezlik/momentum tenglamasini qoʻshadi:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial x}=0 \tag{2} \]

\[ \frac{\partial v}{\partial t} +v\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{C_0^2}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial x} = \frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{3} \]

Tenglama (3)da \(\frac{\partial v}{\partial t}\) tezlikning vaqt boʻyicha oʻzgarishini, \(v\frac{\partial v}{\partial x}\) oqim bilan tashiladigan tezlik oʻzgarishini va \(\frac{C_0^2}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial x}\) transport zichligi gradienti yuzaga keltiradigan bosim/oldindan hisobga olish taʼsirini ifodalaydi. Oʻng tomondagi \(\frac{v_e(\rho)-v}{\tau}\) esa haydovchining joriy tezligini muvozanat tezligiga qarab moslashtirishini ifodalovchi relaksatsiya hadidir.

Klassik PW modelidagi muammo \(\tau\)ning doimiy deb olinishi hisoblanadi. BAMning asosiy aralashuvi aynan ushbu manba hadiga qaratilgan.

Oraliq bilan boshqariladigan reaksiya hadi

Tadqiqotning Tenglama (4)i:

\[ A_{gap} = \frac{ v_{max}\frac{\Delta x}{\Delta x+s}-v }{ \tau_0\frac{\Delta x}{\Delta x+s_0} } \tag{4} \]

Suratning birinchi qismi haydovchining mavjud oraliq sharoitida erishmoqchi boʻlgan tezligini, maxraj esa tezlikning ushbu qiymatga qaysi vaqt masshtabida yaqinlashishini ifodalaydi. Shunday qilib, BAM faqat “qanchalik tez yurishni istayman?” savolini emas, “oʻsha tezlikka qanchalik tez yaqinlashaman?” savolini ham transport vositalari orasidagi oraliqqa bogʻlaydi.

Greenshields tezlik-zichlik munosabati

Manba klassik muvozanat munosabati uchun Greenshields modelidan foydalanadi:

\[ v_e(\rho)=v_{max}\left(1-\frac{\rho}{\rho_m}\right) \tag{5} \]

Zichlik nolga yaqinlashganda muvozanat tezligi \(v_{max}\)ga yaqinlashadi. Zichlik \(\rho_m\)ga yaqinlashganda tenglamadagi muvozanat tezligi nolga yaqinlashadi.

Tenglama (6) ushbu munosabatning zichlik boʻyicha hosilasidir:

\[ v_e'(\rho) = \frac{d}{d\rho} \left[ v_{max}\left(1-\frac{\rho}{\rho_m}\right) \right] = -\frac{v_{max}}{\rho_m} \tag{6} \]

Manfiy ishora zichlik oshgani sari muvozanat tezligi kamayishini matematik jihatdan koʻrsatadi.

Samarali Relaksatsiya Vaqti Haqiqiy Haydovchi Reaksiyasi Kechikishimi?

Yoʻq. BAMdagi \(\tau_{eff}\) haydovchining ogohlantirishni koʻrgandan keyin maʼlum vaqt kutishini ifodalovchi aniq vaqt kechikishi emas; u joriy tezlikning oraliq bilan boshqariladigan kerakli tezlikka yaqinlashish tezligini belgilaydigan, transport holatiga bogʻliq vaqt masshtabidir. Manba bu farqni alohida taʼkidlaydi va haqiqiy kechikish modelida tizim \(t-\tau\) kabi oʻtmishdagi transport holatiga bogʻliq boʻlishi kerakligini bildiradi.

Oraliq bilan boshqariladigan kerakli tezlik

Tenglama (7):

\[ v_d = v_{max}\frac{\Delta x}{\Delta x+s} \tag{7} \]

\(\Delta x\) kattalashgani sari \(\frac{\Delta x}{\Delta x+s}\) nisbati 1 ga yaqinlashadi va \(v_d\) erkin oqim tezligi \(v_{max}\)ga yaqinlashadi. Transport vositalari bir-biriga yaqinlashgani sari nisbat kichrayadi va kerakli tezlik pasayadi.

Oraliqqa bogʻliq samarali relaksatsiya vaqti

Tenglama (8):

\[ \tau_{eff} = \tau_0\frac{\Delta x}{\Delta x+s_0} \tag{8} \]

Bu formula BAMning klassik doimiy \(\tau\) yondashuvidan farqlanadigan ikkinchi muhim nuqtadir. \(\tau_{eff}\) transport holati bilan oʻzgaradi.

Manbada \(s_0\) “spacing scaling parameter” sifatida taʼriflanadi va 5-jadvalda 0.30 qiymati beriladi. Biroq bu parametrning birligi jadvalda aniq koʻrsatilmagan. Tenglama tuzilishida \(\Delta x+s_0\) yigʻindisida qatnashgani uchun oʻlchoviy talqin nuqtai nazaridan bu yetishmovchilik muhimdir; Verianla ushbu boʻshliqqa manbada boʻlmagan birlikni qoʻshmaydi.

Tezlanish tenglamasi

Tenglama (9):

\[ a=\frac{v_d-v}{\tau_{eff}} \tag{9} \]

Kerakli tezlik joriy tezlikdan katta boʻlsa surat musbat va model tezlanish yoʻnalishida; joriy tezlik kerakli tezlikdan yuqori boʻlsa surat manfiy va sekinlashish yoʻnalishida reaksiya hosil qiladi. \(\tau_{eff}\) esa ushbu moslashuv qanchalik tez sodir boʻlishini masshtablaydi.

Tenglama (7) va Tenglama (8)dagi ifodalar Tenglama (9)da birlashtirilganda, manbada Tenglama (10) sifatida berilgan oraliq bilan boshqariladigan tezlanish tuzilmasi hosil boʻladi:

\[ a= \frac{ v_{max}\frac{\Delta x}{\Delta x+s}-v }{ \tau_0\frac{\Delta x}{\Delta x+s_0} } \tag{10} \]

Manba ichidagi raqamlash izohi: PDF izoh matni ushbu keltirib chiqarishning ayrim joylarida tenglama raqamlariga notoʻgʻri oʻzaro havolalar beradi. Bu yerda formulalar manbada bosilgan matematik ifodaga koʻra tartiblangan; oʻzaro havola xatolari manba matnining bir qismi kabi yashirincha qayta yaratilmagan.

Mikroskopik oraliqdan makroskopik zichlikka oʻtish

Tadqiqotning asosiy yondashuvi:

\[ \Delta x\approx\frac{1}{\rho} \tag{11} \]

Bu munosabat transport vositalari taxminan bir xil taqsimlangan transport oqimida zichlikning teskari qiymatini oʻrtacha oldinga yoʻnalgan masofa uchun makroskopik yaqinlashuv sifatida ishlatadi. \(\rho\) veh/m bilan ifodalanganda \(1/\rho\) har bir transport vositasiga toʻgʻri keladigan uzunlik masshtabini beradi. Manba ham ushbu oʻzgartirish transport vositalari orasidagi oraliqning nisbatan bir xil boʻlishi faraziga asoslanishini aniq qayd etadi.

Tenglama (11) kerakli tezlik tenglamasiga qoʻllanganda:

\[ v_d = v_{max} \frac{1/\rho}{1/\rho+s} = \frac{v_{max}}{1+s\rho} \tag{12} \]

Xuddi shuningdek, samarali relaksatsiya vaqti:

\[ \tau_{eff} = \tau_0 \frac{1/\rho}{1/\rho+s_0} = \frac{\tau_0}{1+s_0\rho} \tag{13} \]

Shunday qilib, BAMning tezlanish ifodasini bevosita transport zichligi orqali yozish mumkin:

\[ a= \frac{ \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v }{ \frac{\tau_0}{1+s_0\rho} } \tag{14} \]

Qayta tartiblangan koʻrinishi:

\[ a= \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{15} \]

Tenglama (15) BAMning mohiyatini juda aniq koʻrsatadi. Zichlik \(\rho\) ham maqsad tezligi \(\frac{v_{max}}{1+s\rho}\), ham moslashuv masshtabi \(\frac{1+s_0\rho}{\tau_0}\)ga taʼsir qiladi.

Yakuniy BAM tezlik tenglamasi

Klassik PW relaksatsiya hadi yangi zichlikka bogʻliq manba hadi bilan almashtirilganda:

\[ \frac{\partial v}{\partial t} + v\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{C_0^2}{\rho} \frac{\partial\rho}{\partial x} = \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{16} \]

Bu tenglama transport vositalari saqlanishi tenglamasi bilan birgalikda BAM tizimini tashkil qiladi:

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v)}{\partial x} = 0 \tag{17} \]

PW va BAM oʻrtasidagi asosiy matematik farq

Roe ajratishi va saqlanish shakli

BAM va PW tenglamalari sonli yechim uchun Roe approximate Riemann solver yordamida chekli hajm shaklida diskretlashtirilgan. Manba giperbolik balans qonunini quyidagi umumiy koʻrinishda beradi:

\[ G_t+f(G)_x=S(G) \tag{18} \]

Manbadagi dastlabki vektor ifodasi:

\[ G= \begin{bmatrix} \rho\\ v \end{bmatrix} \tag{19} \]

\[ f(G)= \begin{bmatrix} \rho v\\ \frac{v^2}{2}+C_0^2\ln(\rho) \end{bmatrix} \tag{20} \]

\[ S(G)= \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \end{bmatrix} \tag{21} \]

Bu yerda \(G\) transport holatini, \(f(G)\) ushbu holatning fazo boʻylab koʻchishini va \(S(G)\) haydovchining moslashuvi kabi manba taʼsirlarini ifodalaydi.

Manbada Tenglama (22)ning birinchi hosila hadi nashrda quyidagi koʻrinishda berilgan:

\[ \frac{\partial t}{\partial G} + A(G)\frac{\partial G}{\partial x} = 0 \tag{22, kaynakta basılı biçim} \]

Bu ifoda bevosita yonidagi tushuntirishda “quasilinear form” sifatida taʼriflanadi. Standart giperbolik tizim notatsiyasi bilan taqqoslanganda birinchi hosila yoʻnalishi nashrda teskari yozilgandek koʻrinadi; bu manba ichidagi terish/hosila koʻrsatish nomuvofiqligidir. Verianla buni manba formulasi sifatida yashirincha tuzatmaydi, nomuvofiqlikni ochiq qayd etadi.

Saqlanuvchi momentum shakliga oʻtish: Tenglama (23)–(36)

Manba Roe yechuvchisida ishlatilishi mumkin boʻlgan saqlanuvchi tuzilmaga erishish uchun algebraik oʻzgartirishlar zanjirini quradi. Tenglama (23):

\[ v\rho_t+v(\rho v)_x=0 \tag{23} \]

Tenglama (24):

\[ v\rho_t=(\rho v)_t-\rho v_t \tag{24} \]

Bulardan Tenglama (25) yoziladi:

\[ \rho v_t=(\rho v)_t+v(\rho v)_x \tag{25} \]

PW tezlik tenglamasi zichlikka koʻpaytirilganda manba Tenglama (26)ni beradi:

\[ \rho v_t+\rho vv_x+C_0^2\rho_x = \rho\frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{26} \]

Fazoviy tashish hadi uchun Tenglama (27):

\[ \rho vv_x=(\rho v^2)_x-v(\rho v)_x \tag{27} \]

Ushbu munosabatlar birlashtirilganda:

\[ (\rho v)_t+(\rho v^2)_x+C_0^2\rho_x = \rho\frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{28} \]

Manba momentum oqimini saqlanuvchi oʻzgaruvchi \(\rho v\) orqali qayta ifodalovchi oraliq oʻzgartirishni Tenglama (29) sifatida beradi va undan soʻng klassik PWning saqlanuvchi momentum shakliga keladi:

\[ (\rho v)_t+ \left( \frac{(\rho v)^2}{\rho}+C_0^2\rho \right)_x = \rho\frac{v_e(\rho)-v}{\tau} \tag{30} \]

Manbaning Tenglama (31)ida holat vektori ifodasi bilan uning darhol ostidagi “saqlanuvchi oʻzgaruvchilar zichlik va momentumdir” izohi oʻrtasida notatsion nomuvofiqlik mavjud. Keyingi Tenglama (36) saqlanuvchi holat vektorini aniq \([\rho,\rho v]^T\) sifatida beradi. Shu sababli bu yerda manba ichidagi ikki ifoda bir-biriga aralashtirilmaydi.

BAM uchun momentumga oʻxshash tezlik tenglamasi yana:

\[ v_t+vv_x+\frac{C_0^2}{\rho}\rho_x = \frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{32} \]

Zichlikka koʻpaytirilgan shakli:

\[ \rho v_t+\rho vv_x+C_0^2\rho_x = \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{33} \]

Koʻpaytma qoidasi va transport vositalarining saqlanish tenglamasi qoʻllangandan keyin:

\[ (\rho v)_t+ (\rho v^2+C_0^2\rho)_x = \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{34} \]

Tezlik \(v=(\rho v)/\rho\)dan foydalanib, butunlay saqlanuvchi oʻzgaruvchilar orqali:

\[ (\rho v)_t+ \left( \frac{(\rho v)^2}{\rho}+C_0^2\rho \right)_x = \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \tag{35} \]

Manbaning yakuniy saqlanuvchi vektor ifodasi:

\[ G= \begin{bmatrix} \rho\\ \rho v \end{bmatrix}, \qquad f(G)= \begin{bmatrix} \rho v\\ \frac{(\rho v)^2}{\rho}+C_0^2\rho \end{bmatrix} \]

\[ S(G)= \begin{bmatrix} 0\\ \rho\frac{1+s_0\rho}{\tau_0} \left( \frac{v_{max}}{1+s\rho}-v \right) \end{bmatrix} \tag{36} \]

Jacobian va xarakteristik toʻlqin tezliklari

PW oqim tuzilmasiga tegishli Jacobian:

\[ A(G)= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ C_0^2-v^2 & 2v \end{bmatrix} \tag{37} \]

Xos qiymat muammosi:

\[ A-\lambda I= \begin{bmatrix} -\lambda & 1\\ C_0^2-v^2 & 2v-\lambda \end{bmatrix} \tag{38} \]

Xarakteristik xos qiymatlar:

\[ \lambda_1=v+C_0, \qquad \lambda_2=v-C_0 \tag{39} \]

BAM manba hadini oʻzgartirib, asosiy oqim tuzilmasini oʻzgartirmagani sababli tadqiqotda PW va BAM bir xil xarakteristik toʻlqin tezliklariga ega degan xulosaga kelinadi. Xos qiymatlar haqiqiy va alohida boʻlganda tizim qatʼiy giperbolik tuzilishini saqlaydi. Manba, shuningdek, xos qiymatlar nolga yaqinlashadigan sonik nuqtalarda Roe yechuvchisining fizik boʻlmagan yoyilish shoklarini oldini olish maqsadida Harten entropy fix ishlatilganini bildiradi.

BAM Modelining Barqarorlik Sharti Nima?

Tadqiqotning chiziqli perturbatsiya tahlilida BAM kichik buzilishlarni asimptotik ravishda soʻndira olishi uchun olingan strukturaviy shart \(C_0\geq-\rho_0v_d'(\rho_0)\)dir; modelning oraliq bilan boshqariladigan kerakli tezlik hosilasi qoʻyilganda bu chegara \(C_0\geq\frac{s\rho_0v_{max}}{(1+s\rho_0)^2}\) koʻrinishiga aylanadi.

Kichik perturbatsiyalarni aniqlash

Bir jinsli muvozanat holati atrofida:

\[ \rho(x,t)=\rho_0+\delta\rho(x,t), \qquad v(x,t)=v_0+\delta v(x,t) \tag{40} \]

Bu yerda \(\delta\rho\ll\rho_0\) va \(\delta v\ll v_0\) deb qabul qilinadi. Yaʼni chiziqli tahlil katta transport oʻzgarishlarini emas, muvozanat atrofidagi kichik buzilishlarni oʻrganadi.

Chiziqlashtirilgan saqlanish tenglamasi:

\[ \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial t} + v_0\frac{\partial(\delta\rho)}{\partial x} + \rho_0\frac{\partial(\delta v)}{\partial x} = 0 \tag{41} \]

Chiziqlashtirilgan tezlik tenglamasi:

\[ \frac{\partial(\delta v)}{\partial t} + v_0\frac{\partial(\delta v)}{\partial x} + \frac{C_0^2}{\rho_0} \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial x} = \frac{1+s_0\rho_0}{\tau_0} \left[ v_d'(\rho_0)\delta\rho-\delta v \right] \tag{42} \]

Muvozanat holatidagi samarali relaksatsiya vaqti:

\[ \tau_{eff}=\frac{\tau_0}{1+s_0\rho_0} \]

Manba, oʻzgaruvchilar yoʻqotilganda, zichlik perturbatsiyasi uchun ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamani quyidagi koʻrinishda beradi:

\[ \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_0\frac{\partial}{\partial x} \right)^2 \delta\rho - C_0^2 \frac{\partial^2(\delta\rho)}{\partial x^2} = -\frac{1}{\tau_{eff}} \left( \frac{\partial}{\partial t} + v_0\frac{\partial}{\partial x} \right) \delta\rho - \frac{\rho_0v_d'(\rho_0)}{\tau_{eff}} \frac{\partial(\delta\rho)}{\partial x} \tag{43} \]

Toʻlqin yechimi va dispersiya munosabati

Manba perturbatsiyani garmonik toʻlqin shaklida qaraydi:

\[ \delta\rho(x,t)=\hat{\rho}e^{i(kx-\omega t)} \]

Bu yerda \(k\) fazoviy toʻlqin soni, \(\omega=\omega_r+i\omega_i\) esa kompleks burchak chastotasidir. Ushbu faraz Tenglama (43)ga qoʻllanganda manba Tenglama (44)ni beradi:

\[ (v_0k-\omega)^2 - C_0^2k^2 - \frac{i}{\tau_{eff}}(v_0k-\omega) - \frac{i\rho_0v_d'(\rho_0)k}{\tau_{eff}} = 0 \tag{44} \]

Uzun toʻlqinli, yaʼni kichik \(k\) buzilishlar uchun yoyilma bajarilganda kinematik toʻlqinning tarqalish tezligi:

\[ c_k=v_0+\rho_0v_d'(\rho_0) \tag{45} \]

Ikkinchi tartibli hadlar oʻsish/soʻnish parametrini beradi:

\[ \alpha= \tau_{eff} \left[ C_0^2- \left( \rho_0v_d'(\rho_0) \right)^2 \right] \tag{46} \]

Manba olgan chiziqli barqarorlik sharti:

\[ C_0\geq-\rho_0v_d'(\rho_0) \tag{47} \]

Oraliq bilan boshqariladigan kerakli tezlikning zichlik boʻyicha hosilasi:

\[ v_d'(\rho_0) = -\frac{s\,v_{max}}{(1+s\rho_0)^2} \]

Shunday qilib, yakuniy barqarorlik chegarasi:

\[ C_0 \geq \frac{s\rho_0v_{max}} {(1+s\rho_0)^2} \tag{48} \]

Barqarorlik chegarasining sonli tasdiqlanishi

Manba \(\rho_0=0.30\,veh/m\), \(v_{max}=20\,m/s\) va \(s=8\,m\) uchun:

\[ C_{0,critical} = \frac{8\times0.30\times20} {(1+8\times0.30)^2} \approx 4.15\,m/s \]

Manba 1-rasmda uchta holatning yoʻl boʻylab zichlik profillarini turli vaqtlarda koʻrsatadi. Barqaror \(C_0=20\,m/s\) holatida boshlangʻich sinusoidal toʻlqinning amplitudasi vaqt oʻtishi bilan kamayadi, \(C_0=2\,m/s\) holatida esa buzilish sezilarli ravishda oʻsadi. Grafik bu yerda aynan qayta ishlatilmagan; ilmiy natija yuqoridagi manba qiymatlari bilan mustaqil tarzda tuzilgan.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Sonli yechim usuli

PW va BAM tizimlari Roe approximate Riemann solver yordamida chekli hajmlar usuli bilan diskretlashtirilgan. Roe yondashuvining tadqiqotdagi roli transport oqimida yuzaga kelishi mumkin boʻlgan keskin oʻzgarishlar va shokka oʻxshash toʻlqinlarni giperbolik saqlanish qonunlari doirasida sonli ravishda kuzatishdan iborat. BAMning oqim Jacobian-i PW bilan bir xil qolganligi sababli ikki model uchun ham bir xil asosiy Roe ajratishidan foydalanish mumkin.

Manba sonik nuqtalarda xos qiymatlardan biri nolga yaqinlashganda Harten entropy fix qoʻllanilishini bildiradi. Ushbu tuzatishning maqsadi sonli yechuvchining fizik boʻlmagan yoyilish shoklarini hosil qilishiga yoʻl qoʻymaslikdir.

Asosiy simulyatsiya parametrlari

Manba ichidagi vaqt qadami nomuvofiqligi: 5-jadvalda \(\Delta t=0.005\,s\) yozilgan va \(1200\times0.005=6\,s\) boʻlgani uchun jadval oʻz ichida umumiy davomiylik bilan mos keladi. Biroq 18-sahifadagi izoh matnida \(\Delta t=0.006\,s\) yozilgan. Verianla bu ikki qiymatdan birini tadqiqotchi oʻrniga yashirincha tanlamaydi; jadval bilan bayon oʻrtasidagi farqni ochiq qoldiradi. Keyingi 50 soniyalik robustlik tajribalarida manba yana \(\Delta t=0.005\,s\) ishlatilganini aniq bildiradi.

Boshlangʻich zichlik tenglamasi

Manba, shuningdek, Tenglama (49)da boshlangʻich zichlikni boʻlakma-boʻlak quyidagicha belgilaydi:

\[ \rho(x,0)= \begin{cases} 0.01, & x\leq30\\ 0.3, & 30<x\leq100\\ 0.1, & x>100 \end{cases} \tag{49} \]

Manba ichidagi boshlangʻich shart izohi: Ushbu boʻlakma-boʻlak profil 5-jadvaldagi “mean initial density = 0.30 veh/m” ifodasi bilan bevosita bir xil taʼrif emas. Manba ikkala maʼlumotni birga beradi, biroq ular orasidagi munosabatni batafsil tushuntirmaydi. Shu sababli Verianla ularni sunʼiy ravishda muvofiqlashtirmaydi.

0.052 soniyalik qiymat nimani anglatadi?

Manba \(\tau_0=0.52\,s\)ni tayanch inson reaksiyasi qiymati sifatida ishlatar ekan, \(0.052\,s\)ni tipik inson haydovchisi reaksiya vaqti sifatida taqdim etmaydi. Bu qiymat asosiy qiymatni bir tartib kamaytirish orqali hosil qilingan nazorat qilinadigan sezgirlik parametridir. Xuddi shuningdek, 2 m standstill oraligʻi ham normal haydovchi xatti-harakatining universal qiymati sifatida emas, qiyosiy sezgirlik sharti sifatida ishlatiladi.

PW va BAM tezlik xatti-harakatini taqqoslash

500 m yopiq halqali yoʻldagi asosiy taqqoslashda PW modeli keskin transport oʻzgarishlari ostida manbada “fizik jihatdan imkonsiz” deb tavsiflangan kuchli sonli tebranishlarni koʻrsatgan. Manba taxminan \(320\,m/s\) maksimal va \(-180\,m/s\) minimal tezlik excursion-larini qayd etadi.

BAM xuddi shu sinov sharoitlarida tezlikni belgilangan 0–20 m/s model diapazonida ushlab turgan va ancha silliq tezlik evolyutsiyasini hosil qilgan. Biroq mualliflar bu taqqoslashni empirik aniqlik ustunligi sifatida talqin qilmaydi. Natijalar faqat sinovdan oʻtkazilgan sonli sharoitlarda BAM cheklanganroq va fizik jihatdan maqbulroq sonli tezlik xatti-harakatini hosil qilganini koʻrsatadi.

Zichlik maydoni qanday oʻzgargan?

BAM uchun 500 m halqali yoʻldagi 50 soniyalik zichlik simulyatsiyasida manba taxminan \(x=150\,m\) atrofida taxminan \(0.45\,veh/m\) mahalliy maksimum va taxminan \(x=375\,m\) atrofida taxminan \(0.15\,veh/m\) minimumni qayd etadi. Maydon umuman silliq qoladi va yaqqol uzilishlar hosil qilmaydi.

Klassik PW zichlik maydonida esa manba taxminan \(150\,m\) atrofida \(0.42\,veh/m\) maksimum va taxminan \(350\,m\) atrofida \(0.17\,veh/m\) minimumni bildiradi. Dastlabki silliq profil vaqt oʻtishi bilan keskinroq tuzilmalarga va orqaga tarqaluvchi stop-and-go toʻlqinlariga aylanadi. Tadqiqot talqiniga koʻra, sinovdan oʻtkazilgan sharoitlarda PW boshlangʻich buzilishni kuchaytiradi, BAM esa silliqroq toʻlqin tarqalishini hosil qiladi.

Transport oqimi natijalari

PW uchun manba 500 m yoʻl va 6 soniyalik oqim tahlilida taxminan \(150\,m\)da \(4.55\,veh/s\) maksimum va taxminan \(350\,m\)da \(3.4\,veh/s\) minimumni qayd etadi. Toʻlqin shakli vaqt oʻtishi bilan simmetriyasini yoʻqotadi va deformatsiyalanadi.

BAM uchun oqim maksimumi taxminan \(125\,m\)da yana \(4.55\,veh/s\), minimum esa taxminan \(375\,m\)da \(3.4\,veh/s\) deb qayd etilgan. Oqim miqdorlarining bir-biriga yaqin boʻlishi muhim: mualliflar xulosa boʻlimida ham qayd etganidek, BAMning sinovlardagi asosiy farqi “koʻproq transport oqimi” hosil qilish emas, balki transport holatlarining vaqt va fazodagi rivojlanishi boshqariluvchanroq boʻlishidir.

Robustlik tajribalari qanday tuzilgan?

Tadqiqot keyin BAMni 250, 500 va 1000 m uzunlikdagi yopiq halqali yoʻllarda toʻrtta shart ostida 50 soniya davomida tekshirgan. Ushbu tajribalarda fazoviy qadam 1 m, vaqt qadami 0.005 s, \(C_0=20\,m/s\), \(s_0=0.30\) va \(v_{max}=20\,m/s\) holida saqlangan.

D ssenariysida yoʻl markazidagi %10 lik kesimda erishish mumkin boʻlgan maksimal tezlik %25 kamaytirilib, takrorlanuvchi mahalliy sigʻim cheklovi hosil qilingan.

RMS buzilish nisbati nimani koʻrsatadi?

Tadqiqot boshlangʻich zichlik perturbatsiyasidan simulyatsiya oxirida qanchasi qolganini baholash uchun yakuniy RMS zichlik perturbatsiyasining boshlangʻich RMS qiymatiga nisbatidan foydalanadi. Nisbat 1 dan past boʻlsa, buzilish umuman soʻngan; 1 dan yuqori boʻlsa, yakuniy buzilish boshlangʻichdagidan kattaroq boʻlgan.

A ssenariyida yoʻl uzunligi ortgani sari yakuniy RMS nisbati 0.002 dan 0.213 va 0.681 gacha oshgan. Yaʼni qisqa yoʻlda boshlangʻich buzilish deyarli toʻliq soʻngan boʻlsa, uzunroq yoʻl koʻproq qoldiq fazoviy oʻzgaruvchanlikni saqlagan.

B ssenariyida boshlangʻich zichlik yuqoriroq va perturbatsiya kuchliroq boʻlishiga qaramay, yechimlar sinovdan oʻtkazilgan uchala yoʻl uzunligida ham cheklangan qolgan. RMS nisbatlari mos ravishda 0.002, 0.219 va 0.686.

C ssenariyida uzoqroq asosiy relaksatsiya vaqt masshtabi va kattaroq standstill oraligʻi ishlatilgan. Manba matni 250 m uchun RMS nisbatini taxminan 0.000001 deb tushuntiradi, 7-jadval esa uni uch oʻnlik xona bilan 0.000 qilib koʻrsatadi. Bu farq yaxlitlash darajasidadir; bu yerda jadval qiymati jadval ichida aynan saqlangan.

Eng kuchli qoldiq buzilish faol tor boʻgʻin D ssenariysida yuzaga kelgan. 500 m va 1000 m yoʻllar uchun RMS nisbatlari mos ravishda 1.332 va 1.923; yaʼni yakuniy zichlik perturbatsiyasi boshlangʻich qiymatdan kattaroq. Manba buni qoʻllangan mahalliy sigʻim cheklovi yuzaga keltirgan doimiy fazoviy qayta taqsimlanish va buzilishning kuchayishi sifatida talqin qiladi.

Manba matnida D ssenariysi, 1000 m uchun maksimal tezlik 6.728 m/s deb yozilgan, 7-jadvaldagi qiymat esa 6.729 m/s. Verianla sonli jadvalda manba jadvalidagi 6.729 m/s qiymatini saqlaydi va bayon bilan jadval oʻrtasidagi 0.001 m/s farqni yashirmaydi.

250, 500 va 1000 metrlik yoʻllarni taqqoslash

Manba 8–15-rasmlarda toʻrtta ssenariyning 250, 500 va 1000 m yoʻl uzunliklari uchun yakuniy zichlik va tezlik profillarini beradi. Umumiy tendensiya shuki, qisqa yoʻllar boshlangʻich buzilishni kuchliroq soʻndiradi, uzun yoʻllar esa koʻproq fazoviy oʻzgaruvchanlikning saqlanib qolishiga imkon beradi. Bu natija ayniqsa RMS nisbatlarida aniq koʻrinadi.

Biroq bu holatni “qisqa yoʻllar real transportda har doim barqarorroq” tarzida umumlashtirib boʻlmaydi. Tadqiqotdagi yoʻl uzunligi taʼsiri yopiq halqa, davriy chegara sharti, tanlangan BAM parametrlari va belgilangan boshlangʻich buzilishlar ostida olingan sonli natijadir.

Reaksiya vaqti va standstill oraligʻi sezgirligi

Manba 16 va 17-rasmlarda 500 m halqali yoʻlda ikki parametr toʻplamini taqqoslaydi. Birinchi holatda \(\tau=0.52\,s\) va \(l_s=8\,m\); ikkinchi holatda qisqaroq \(0.052\,s\) vaqt masshtabi va 2 m oraliq ishlatilgan. Manba kattaroq vaqt masshtabi va standstill oraligʻida zichlik toʻlqinlari silliqroq boʻlganini; kichikroq qiymatlarda esa kuchliroq tezlik va zichlik oʻzgarishlari yuzaga kelganini bildiradi.

0.052 s va 2 m qiymatlari normal inson haydashini ifodalaydi deb oʻylamaslik kerak. Maqola ushbu qiymatlarni aniq nazorat qilinadigan sezgirlik shartlari sifatida ishlatadi.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlaydigan xulosalar

• BAM sinovdan oʻtkazilgan sonli sharoitlarda klassik PWga nisbatan cheklanganroq tezlik qiymatlari va silliqroq transport toʻlqini evolyutsiyasini hosil qila olishi qoʻllab-quvvatlanadi.
• Oraliq bilan boshqariladigan kerakli tezlik va zichlikka bogʻliq relaksatsiya vaqt masshtabidan birgalikda foydalanish modelning manba hadini transport holatiga moslashtiradi.
• Chiziqli tahlil BAM uchun aniq barqarorlik chegarasini beradi.
• \(C_0=2.0\), \(4.15\) va \(20.0\,m/s\) sinovlari nazariy barqarorlik chegarasiga mos sonli xatti-harakatni koʻrsatgan.
• 250–1000 m robustlik tajribalarida BAM yechimlari tekshirilgan parametr fazosida cheklangan qolgan.
• Faol tor boʻgʻin tekshirilgan sharoitlar ichida eng katta qoldiq zichlik buzilishini hosil qilgan.
• BAM va PW transport oqimi miqdorlari oʻxshash boʻlishi mumkin; tadqiqotdagi asosiy farq koʻproq holatlarning barqarorligi va vaqt-fazo evolyutsiyasida namoyon boʻlgan.

Tadqiqot qoʻllab-quvvatlamaydigan xulosalar

• BAM real yoʻl tarmoqlarida PWdan qatʼiy ravishda aniqroq ekani koʻrsatilmagan.
• Model real transport sensori, loop detector yoki transport vositasi trayektoriya maʼlumotlari bilan kalibrlanmagan.
• Mustaqil real dunyo maʼlumotlar toʻplamida bashorat muvaffaqiyati oʻlchanmagan.
• Turli transport vositasi uzunliklari, transport vositasi turlari va individual haydovchi xususiyatlari aniq yechilmaydi.
• Tadqiqotdagi \(\Delta x\approx1/\rho\) yondashuvi geterogen transport vositalari oraliqlarining barchasini ifodalamaydi.
• 0.052 soniyalik parametr real inson haydovchisi reaksiya vaqti natijasi emas.
• 2 m standstill oraligʻi umumiy real transport normasi sifatida taqdim etilmaydi.
• Nazorat qilinadigan simulyatsiyadagi sonli barqarorlik real transport bashorati aniqligining dalili emas.

Tadqiqotning asosiy cheklovlari

Mualliflar aniq qayd etgan eng muhim cheklov empirik kalibrlash va tasdiqlashning mavjud emasligidir. Mavjud natijalar yopiq halqali yoʻl va oldindan belgilangan boshlangʻich perturbatsiyalar ustidagi nazorat qilinadigan sonli tajribalarga asoslanadi.

BAM, shuningdek, oldinga yoʻnalgan transport vositalari orasidagi masofani \(\Delta x\approx1/\rho\) yondashuvi orqali makroskopik zichlikdan keltirib chiqaradi. Ushbu yondashuv nisbatan bir xil oraliq farazini qabul qiladi va turli transport vositasi turlari, transport vositasi uzunliklari yoki individual haydovchi xususiyatlaridan kelib chiqadigan geterogenlikni aniq yechmaydi.

Kelgusi ish sifatida mualliflar BAM parametrlarini real transport maʼlumotlari bilan kalibrlashni; transport oqimi, tezlik, zichlik, headway va safar vaqti kabi mustaqil oʻlchovlar bilan tasdiqlashni; geterogen transport sharoitlari, parametr sezgirligi va realistikroq tarmoq tuzilmalarini oʻrganishni taklif qiladilar.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl sarlavha: A macroscopic traffic flow model with gap-controlled driver response and adaptive reaction dynamics

Mualliflar va tartibi: Benjamin Simwinga; Aaron Zimba; Mayumbo Nyirenda.

Masʼul muallif: Benjamin Simwinga.

Muassasalar: Benjamin Simwinga va Aaron Zimba — School of Computing, Technology and Applied Sciences, ZCAS University, Lusaka, Zambia. Mayumbo Nyirenda — Department of Computer Science, University of Zambia, Lusaka, Zambia.

Jurnal: Discover Networks.

Nashriyot/platforma: Springer Nature / Springer Nature Link.

Jild va maqola raqami: Volume 2, Article 39 (2026).

DOI: 10.1007/s44354-026-00053-y

Nashr sanasi: 8 Oktabr 2026.

Jarayon sanalari: Qabul qilindi: 10 Avgust 2026; qayta koʻrib chiqildi: 19 Sentabr 2026; maʼqullandi: 28 Sentabr 2026.

Manba turi: Research article; matematik model ishlab chiqish, chiziqli barqarorlik tahlili va nazorat qilinadigan sonli simulyatsiya tadqiqoti.

Litsenziya: Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0). Litsenziya ochiq kirishni taʼminlaydi, biroq moslashtirilgan materialni ulashishga ruxsat bermaydi; shu sababli Verianla bayoni manba matni va figuralardan mustaqil ilmiy axborot arxitekturasi bilan tayyorlangan.

Muallif hissalari: Manbada BS maqolani yozgani; AZ va MN koʻrib chiqish va yoʻnaltirishni taʼminlagani bildiriladi.

Moliyalashtirish: Tadqiqot moliyalashtirish olmaganini bildiradi.

Maʼlumotlarning mavjudligi: Tadqiqot davomida yaratilgan va/yoki tahlil qilingan maʼlumotlar toʻplamlarini asosli soʻrov boʻyicha masʼul muallifdan olish mumkinligi bildiriladi.

Manfaatlar toʻqnashuvi: Mualliflar manfaatlar toʻqnashuvi yoʻqligini bildiradilar.

Etik tasdiq va ishtirokchi roziligi: Qoʻllanilmaydi deb bildirilgan.

Empirik tasdiqlash holati: Yoʻq. BAM hali kuzatilgan transport maʼlumotlari bilan kalibrlanmagan va mustaqil dala oʻlchovlari bilan tasdiqlanmagan.

Statistik xulosa chiqarish: Tadqiqotda p qiymati, ishonch oraligʻi, klinik/eksperimental namuna statistikasi yoki statistik gipoteza testi qayd etilmagan. Natijalar analitik barqarorlik shartlari va sonli simulyatsiya chiqishlaridir.

Manba ichidagi texnik nomuvofiqliklar: 5-jadvalda \(\Delta t=0.005\,s\) berilgan boʻlsa-da, izoh matnining bir joyida 0.006 s yozilgan. 5-jadvaldagi 0.005 s qiymati 1200 qadam va 6 soniyalik umumiy davomiylik bilan oʻz ichida mos keladi; biroq Verianla shu sababli manba matnidagi 0.006 s ifodasini yashirincha oʻchirib tashlamagan. 5-jadvalda berilgan 0.30 veh/m “oʻrtacha boshlangʻich zichlik” bilan Tenglama (49)dagi 0.01/0.30/0.10 boʻlakma-boʻlak boshlangʻich profil oʻrtasidagi munosabat ham manbada batafsil tushuntirilmagan. Tenglamalarning oʻzaro havolalarida va ayrim vektor ifodalarida ham terish/notatsiya nomuvofiqliklari mavjud.