Ushbu tadqiqot ikki o‘zgaruvchili matematik funksiyalarning uch o‘lchovli geometriyasi va xususiy hosilalarini bir xil MATLAB hisoblash muhitida vizuallashtirish uchun ishlab chiqilgan hisoblashga asoslangan ilmiy vizuallashtirish prototipini ko‘rib chiqadi. Tizim ramziy funksiya ta’rifini, analitik xususiy hosilalarni hisoblashni, muntazam sonli to‘rda funksiyani baholashni va uch o‘lchovli grafiklarni yaratishni yagona ish jarayonida birlashtiradi. Manbada asosiy misol sifatida \(z=x^2-y^2\) giperbolik paraboloidi qo‘llanilgan; \(f_x=2x\) va \(f_y=-2y\) xususiy hosilalari MATLAB Symbolic Math Toolbox bilan bog‘langan va ushbu hosila komponentlari `quiver3` yordamida sirt ustida vektor maydoni ko‘rinishida tasvirlangan.

Tadqiqotning asosiy maqsadi yangi hosila usulini ishlab chiqish emas, balki ramziy matematika bilan geometrik talqin o‘rtasida hisoblash ko‘prigini yaratishdir. `meshgrid` funksiyasi bilan yaratilgan sonli sohada `surf` funksiyasi egar sirtini, `quiver3` esa o‘zgarish yo‘nalishlarini ifodalovchi strelkalarni hosil qiladi. Shu tariqa x yo‘nalishida ortadigan, y yo‘nalishida esa teskari tomonga o‘zgaradigan sirt xatti-harakati bir xil uch o‘lchovli muhitda o‘rganilishi mumkin. Biroq tizimning ta’limiy samaradorligi talabalar namunasi ustida eksperimental ravishda o‘lchanmagan; o‘rganishga doir xulosalar faqat potensial qo‘llanish sohasi sifatida baholanishi kerak.

Ko‘p O‘zgaruvchili Funksiyaning Xususiy Hosilasi Geometrik Jihatdan Nimani Anglatadi?

Ikki o‘zgaruvchili:

\[ z=f(x,y) \]

funksiyada \(x\) va \(y\) mustaqil o‘zgaruvchilari bir xil sirtning ikki xil yo‘nalishini belgilaydi. Xususiy hosilalardan:

\[ f_x= \frac{\partial f}{\partial x} \]

y o‘zgarmas saqlanganda x yo‘nalishidagi mahalliy o‘zgarish tezligini; boshqa hosila:

\[ f_y= \frac{\partial f}{\partial y} \]

esa x o‘zgarmas saqlanganda y yo‘nalishidagi mahalliy o‘zgarish tezligini ifodalaydi.

Ushbu ikki komponent birgalikda:

\[ \nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

gradient tuzilmasini hosil qiladi. Gradient funksiyaning kirish tekisligida eng tez o‘sish yo‘nalishi va mahalliy o‘zgarish kattaligini belgilovchi asosiy differensial tuzilmadir.

Tadqiqotda nega z=x²−y² tanlangan?

Manba benchmark funksiyasini:

\[ z=x^2-y^2 \]

sifatida tanlaydi.

Bu funksiya klassik giperbolik paraboloid, ya’ni egar sirtidir. Geometriyaning asosiy xususiyati x va y yo‘nalishlarida bir-biriga qarama-qarshi tarzda egilishidir.

x yo‘nalishida, \(y=0\) tanlanganda:

\[ z=x^2 \]

hosil bo‘ladi. Bu yuqoriga ochiluvchi paraboladir.

y yo‘nalishida, \(x=0\) tanlanganda:

\[ z=-y^2 \]

hosil bo‘ladi. Bu esa pastga ochiluvchi paraboladir.

Ushbu ikki qarama-qarshi xatti-harakat bir nuqtada kesishgani uchun:

\[ (0,0,0) \]

nuqta egar nuqtasi hisoblanadi.

Xususiy hosilalarning analitik natijasi

\[ f(x,y)=x^2-y^2 \]

uchun:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=2x \]

va:

\[ \frac{\partial f}{\partial y}=-2y \]

hosil qilinadi.

Shunday qilib, gradient:

\[ \nabla f=(2x,-2y) \]

ko‘rinishidadir.

Ushbu natija sirtning turli hududlaridagi o‘zgarish yo‘nalishi holatga bog‘liqligini ko‘rsatadi. x koordinatasining mutlaq qiymati ortgani sari x yo‘nalishidagi o‘zgarish kattaligi ortadi, y yo‘nalishidagi komponent esa \(−2y\) ishorasi sababli qarama-qarshi yo‘nalishda harakat qiladi.

MATLAB Ramziy Hosilani 3D Grafik Bilan Qanday Birlashtiradi?

Tadqiqotda MATLAB o‘zaro bog‘langan to‘rtta hisoblash qatlami sifatida ko‘rib chiqiladi: ramziy amal, sonli diskretlashtirish, vektor maydonini hosil qilish va uch o‘lchovli vizuallashtirish. Funksiya avval ramziy tarzda ta’riflanadi, so‘ng uning xususiy hosilalari hisoblanadi, bu ifodalar muntazam \(x-y\) to‘rida sonli qiymatlarga aylantiriladi va yakunda sirt bilan hosila maydoni bir xil grafik muhitda ko‘rsatiladi.

1. Ramziy amal qatlami

Appendix A dagi kod:

syms x y
f = x^2 - y^2;

df_dx = diff(f, x);
df_dy = diff(f, y);

ko‘rinishidadir.

`syms x y`, \(x\) va \(y\) ni ramziy o‘zgaruvchilar sifatida belgilaydi. `diff` funksiyasi esa funksiyaning analitik xususiy hosilalarini hisoblaydi.

2. Sonli diskretlashtirish qatlami

Manba kodida:

[xg, yg] = meshgrid(-2:0.1:2, -2:0.1:2);

qo‘llaniladi.

Shunday qilib, x va y sohalarining har ikkisi:

\[ -2\leq x\leq2 \]

\[ -2\leq y\leq2 \]

oraliqda va:

\[ \Delta x=\Delta y=0.1 \]

qadam bilan namunalanadi.

Funksiya qiymatlari:

z = xg.^2 - yg.^2;

bilan hisoblanadi.

3. Hosila maydonini sonli baholash

Analitik natijalar to‘g‘ridan-to‘g‘ri mesh ustida:

dz_dx = 2*xg;
dz_dy = -2*yg;

ko‘rinishida baholangan.

Shu sababli hisoblangan har bir grid nuqtasida ikkita o‘zgarish komponenti ma’lum:

\[ (2x,-2y). \]

4. Vizuallashtirish qatlami

Sirt:

surf(xg, yg, z);

yordamida yaratiladi.

Manba shuningdek:

colormap jet;
shading interp;

buyruqlaridan foydalanib, sirtni rang gradienti va interpolatsiyalangan soyalanish bilan ko‘rsatadi.

Quiver3 Grafigidagi Strelkalar Aynan Nimani Ko‘rsatadi?

Manba kodida `quiver3` chaqiruvi \(x\) va \(y\) xususiy hosilalarini strelkalarning gorizontal komponentlari sifatida qo‘llaydi, uchinchi vektor komponentini esa nolga tenglaydi. Shu sababli strelkalar \((2x,-2y,0)\) ko‘rinishidadir va sirtning 3D normal vektorini emas, ikki o‘zgaruvchili gradient komponentlarini sirt balandligiga joylashtirilgan holda ko‘rsatadi.

Appendix A dagi buyruq:

quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'r'
);

ko‘rinishidadir.

Birinchi uchta matritsa strelkalarning boshlang‘ich koordinatalarini:

\[ (x,y,f(x,y)) \]

belgilaydi.

Keyingi uchta matritsa esa strelka yo‘nalishlarini:

\[ (2x,-2y,0) \]

sifatida belgilaydi.

Bu farq muhimdir. Vizual:

• sirt normallarini,
• urinma tekisliklarni,
• 3D fazodagi normal gradientni

to‘g‘ridan-to‘g‘ri hisoblamaydi.

Buning o‘rniga ikki o‘zgaruvchili funksiyaning kirish tekisligidagi hosila tuzilmasini sirt ustiga joylashtirib, uni vizual ko‘rinishga keltiradi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Tizim arxitekturasining to‘rtta qatlami

Manbada berilgan hisoblash algoritmi

Maqolaning Algorithm 1 bo‘limidagi amallar ketma-ketligi:

1. Ramziy \(x,y\) o‘zgaruvchilarini ta’riflash.
2. \(f(x,y)\) funksiyasini yaratish.
3. \(f_x\) va \(f_y\) xususiy hosilalarini ramziy hisoblash.
4. `meshgrid` yordamida sonli domain yaratish.
5. Funksiya qiymatlaridan \(Z\) sirt matritsasini hosil qilish.
6. Hosila maydonlarini shu grid ustida baholash.
7. Ramziy va sonli xatti-harakat o‘rtasidagi moslikni tekshirish.
8. `surf` bilan sirtni yaratish.
9. `quiver3` bilan hosila vektorlarini qo‘shish.
10. Birlashtirilgan vizuallashtirishni ko‘rsatish.

1-rasm: egar sirti

Manba 1-rasm MATLAB ekranida yaratilgan:

\[ z=x^2-y^2 \]

sirtini ko‘rsatadi.

Sirt x yo‘nalishida yuqoriga, y yo‘nalishida pastga egiladi. Manba bu xatti-harakatni:

• x yo‘nalishida musbat egrilik,
• y yo‘nalishida manfiy egrilik,
• koordinata boshida egar nuqtasi

sifatida talqin qiladi.

2-rasm: xususiy hosila vektor maydoni

Manba 2-rasmda vektor maydoni alohida ko‘rsatiladi.

x komponenti:

\[ 2x \]

bo‘lgani uchun vektorlarning x yo‘nalishidagi komponenti x koordinatasi bilan chiziqli ravishda ortadi.

y komponenti:

\[ -2y \]

bo‘lgani uchun y ning ishorasi o‘zgarganda vektor yo‘nalishi teskari tomonga o‘zgaradi.

Manba vektor maydoni ikkala koordinata o‘qi atrofida kutilgan analitik simmetriyani ko‘rsatishini bildiradi.

3-rasm: birlashtirilgan sirt va hosila maydoni

So‘nggi asosiy chiqish `surf` va `quiver3` tuzilmalarining bitta figurada ustma-ust joylashtirilishidir:

surf(xg, yg, z);
hold on;
quiver3(
    xg, yg, z,
    dz_dx, dz_dy,
    zeros(size(z)),
    'k'
);

Ushbu tasvirda rangli egar sirti geometrik tuzilmani, strelkalar esa hosilalarning o‘zgarish komponentlarini bir xil koordinata fazosida ko‘rsatadi.

Ramziy-sonli moslikni tekshirish

Manba ikki bosqichli tekshirish protsedurasini tavsiflaydi:

• ramziy hosilalarni sonli sirt qiyaligi bilan solishtirish,
• vektor yo‘nalishlarini ortuvchi va kamayuvchi sirt hududlari bilan geometrik tekshirish.

Natijalar bo‘limida ramziy hosilalar sirt qiyaligi bilan mos ekani, vektor yo‘nalishlari sonli tendensiyalarni kuzatgani va sinovdan o‘tkazilgan sohada hisoblash nomuvofiqligi kuzatilmagani qayd etiladi.

Biroq manba miqdoriy xatolik o‘lchovini bermaydi. Appendix A kodida ham alohida finite-difference hosila hisobi yoki xatolik matritsasi mavjud emas. Shu sababli tekshirish ko‘proq analitik natija bilan grafik xatti-harakat o‘rtasidagi ichki moslikni tekshirish darajasidadir.

MATLAB versiyasi nuqtai nazaridan qayta ishlab chiqarish muammosi

Maqolaning bir xil tizim uchun uch xil MATLAB versiyasini ko‘rsatishi manba ichidagi metadata/usul nomuvofiqligidir.

Shunga qaramay, e’lon qilingan kod juda asosiy MATLAB va Symbolic Math Toolbox funksiyalariga tayangani sababli usul tuzilmasida qaysi buyruqlar ishlatilgani aniq. Verianla ushbu kuzatuvga asoslanib, biror versiyani “mutlaq to‘g‘ri versiya” deb qabul qilmaydi.

Bu MATLAB Tizimi Haqiqatan Ham Real Vaqtli va Interaktivmi?

Manba tizimni “dynamic”, “interactive” va ayrim bo‘limlarda “real-time visualization” iboralari bilan tavsiflaydi. E’lon qilingan kod esa sirt, vektor maydoni va birlashtirilgan ko‘rinishni yaratuvchi standart MATLAB figuralarini hosil qiladi; Appendix A da maxsus grafik interfeys, parametr slider-i, callback funksiyasi, animatsiya sikli yoki real vaqt ma’lumotlari kiritilishi mavjud emas. Shu sababli manba kontekstidagi interaktiv foydalanish MATLAB grafik muhitidagi uch o‘lchovli vizual tadqiqot sifatida tushunilishi kerak.

Manba kodining qayta ishlab chiqarish afzalligi

Tadqiqot tashqi ma’lumotlar to‘plamini talab qilmaydi.

Kerakli asosiy elementlar:

• MATLAB,
• Symbolic Math Toolbox,
• ichki `meshgrid`,
• `surf`,
• `quiver3`

funksiyalaridir.

Appendix A tadqiqotda ishlatilgan misol uchun ishga tushiriladigan kodni e’lon qiladi. Bu grafiklarni qayta yaratish nuqtai nazaridan tadqiqotning eng kuchli metodologik xususiyatlaridan biridir.

Modelning qamrovi

Batafsil natijalar faqat:

\[ z=x^2-y^2 \]

funksiyasi bo‘yicha taqdim etilgan.

Shu sababli quyidagi funksiya sinflari ushbu tadqiqotda alohida benchmark qilinmagan:

• uzluksiz bo‘lmagan funksiyalar,
• singulyarlikni o‘z ichiga olgan funksiyalar,
• juda yuqori tebranishli sirtlar,
• bo‘lakli funksiyalar,
• yuqoriroq o‘lchamli skalyar maydonlar.

Manba ham murakkabroq nonlinear yoki discontinuous funksiyalardagi samaradorlik hali baholanmaganini bildiradi.

Ushbu Tadqiqot MATLAB Vizuallashtirishi O‘rganishni Yaxshilashini Isbotlaydimi?

Yo‘q. Maqolada talaba yoki o‘qituvchi ishtirokchilar mavjud emas; nazorat guruhi, yutuq testi, munosabat shkalasi yoki o‘rganish natijalarini o‘lchash o‘tkazilmagan. Tadqiqot faqat vizuallashtirish dasturining matematik va hisoblash tuzilmasini baholaydi. Shu sababli vizual tizim ko‘p o‘zgaruvchili kalkulusni o‘rganishni qo‘llab-quvvatlashi mumkin degan fikr nazariy va potensial ta’limiy xulosadir, eksperimental ravishda tasdiqlangan o‘rganish ta’siri emas.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• MATLAB ichida ramziy hosila va uch o‘lchovli grafik bir xil hisoblash jarayonida birlashtirilishi mumkin.
• \(z=x^2-y^2\) funksiyasining egar geometriyasi `surf` bilan sifat jihatdan to‘g‘ri ko‘rsatiladi.
• Analitik xususiy hosilalar \(2x\) va \(−2y\) sifatida hisoblanadi.
• Ushbu hosila komponentlarini `quiver3` yordamida vektor maydoni sifatida vizuallashtirish mumkin.
• Sirt va hosila vektorlari bitta MATLAB figurasida birlashtirilishi mumkin.
• Tashqi ma’lumotlar to‘plami yoki uchinchi tomon MATLAB kutubxonasi talab qilinmaydi.
• Namuna ilovaning kodi maqolaning Appendix A bo‘limida berilgan.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan natijalar

• Tizim talabalarning imtihon natijalarini oshirishi.
• Tizim an’anaviy ta’limdan statistik jihatdan samaraliroq ekani.
• Barcha ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarda tasdiqlangani.
• Real vaqtli GUI yoki parametr boshqaruvli maxsus foydalanuvchi interfeysi ishlab chiqilgani.
• Miqdoriy ramziy-sonli xatolik qiymatlari hisoblangani.
• Quiver3 strelkalari sirt normal vektorlarini ifodalashi.
• Tizim murakkab yoki uzluksiz bo‘lmagan funksiyalarda ayni aniqlik va samaradorlikni ko‘rsatishi.

Kelajakdagi tadqiqotlar

Mualliflar tizimni yanada ilg‘or tuzilmalarga kengaytirishni taklif qiladilar. Bular orasida:

• murakkabroq matematik funksiyalar,
• yuqoriroq o‘lchamli vektor maydonlari,
• differensial manifoldlar,
• real vaqtli foydalanuvchi o‘zaro ta’sir interfeyslari,
• nazorat qilinadigan talaba tajribalari orqali ta’limiy samaradorlikni o‘lchash

mavjud.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot: Derivative and 3D Graph Simulation in MATLAB: Mathematical Exploration and Visual Analysis

Turkcha sarlavha: MATLAB'da Türev ve 3 Boyutlu Grafik Simülasyonu: Matematiksel Keşif ve Görsel Analiz

Mualliflar: Ali Türkoğlu; Yasin Soylu.

Mas’ul muallif: Ali Türkoğlu.

Affiliatsiya 1: Department of Computer Engineering, Faculty of Engineering, Ardahan University, Ardahan, Türkiye.

Affiliatsiya 2: Department of Mathematics and Science Teaching, Kazım Karabekir Faculty of Education, Atatürk University, Erzurum, Türkiye.

Jurnal: Journal of Studies in Advanced Technologies / İleri Teknolojilerde Çalışmalar Dergisi.

Jild / Son: 4(1).

Sahifalar: 50–59.

DOI: 10.63063/jsat.1927466

e-ISSN: 2980-2695.

Yuborilgan: 10-aprel 2026.

Qabul: 31-may 2026.

Nashr: 30-iyun 2026.

Maqola turi: Research Article.

Nashriyot: Ardahan University.

Peer review: JSAT ikki tomonlama ko‘r hakamlik siyosatini qo‘llashini va maqolalar kamida ikki hakam tomonidan baholanishini bildiradi.

Ochiq kirish: Journal of Studies in Advanced Technologies ochiq kirishli ilmiy jurnaldir.

Litsenziya: Jurnalning joriy ma’lumoti Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0) litsenziyasini ko‘rsatadi.

Asosiy tadqiqot dizayni: Computational scientific tool development / ilmiy vizuallashtirish dasturiy prototipi.

Benchmark funksiya: \(z=x^2-y^2\).

Xususiy hosilalar: \(f_x=2x\), \(f_y=-2y\).

Sonli soha: x va y uchun −2 dan +2 gacha, 0.1 grid qadami.

Asosiy MATLAB vositalari: Symbolic Math Toolbox, meshgrid, surf, quiver3 va MATLAB Graphics Engine.

Vizual chiqishlar: 3D egar sirti, hosila vektor maydoni va sirt-vektor birlashtirilgan grafigi.

Quiver3 talqini: E’lon qilingan kod vektor komponentlarini \((f_x,f_y,0)\) sifatida qo‘llaydi; shu sababli strelkalar to‘liq 3D sirt normal maydoni emas.

Qayta ishlab chiqarish: Ilova kodi Appendix A da berilgan va tashqi ma’lumotlar to‘plami yoki uchinchi tomon kutubxonasini talab qilmaydi.

MATLAB versiyasi nomuvofiqligi: Manba Abstract da R2023b, Methods bo‘limida R2026a, Reproducibility bo‘limida R2023b va Appendix A da R2023a ni ko‘rsatadi.

Tekshirish chegarasi: Manba ramziy-sonli va geometrik moslik tekshiruvini qayd etadi; biroq e’lon qilingan natijalarda miqdoriy xatolik normasi yoki finite-difference taqqoslash jadvali yo‘q.

Interaktivlik chegarasi: Manba “interactive/dynamic/real-time” iboralaridan foydalanadi; e’lon qilingan Appendix A kodida maxsus GUI, callback yoki animatsiya mexanizmi mavjud emas.

Ta’limiy tasdiqlash: Yo‘q. Inson ishtirokchilari yoki o‘rganish yutug‘i tajribasi o‘tkazilmagan.

Etika qo‘mitasi: Rasmiy maqola qaydida tadqiqot uchun etika qo‘mitasi tasdig‘i talab qilinmagani ko‘rsatilgan.

Moliyalashtirish: Rasmiy maqola qaydiga ko‘ra tadqiqot hech qanday tashkilot tomonidan qo‘llab-quvvatlanmagan.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Mualliflar manfaatlar to‘qnashuvi yo‘qligini bildiradilar.

Muallif hissalari: Ali Türkoğlu — dastlabki qoralama, metodologiya, tadqiqot, formal tahlil va ma’lumotlar kuratsiyasi; Yasin Soylu — ko‘rib chiqish/tahrirlash, metodologiya, xarakterizatsiya va nazorat.

Ma’lumotlardan foydalanish: Tadqiqot tashqi ma’lumotlar to‘plamiga asoslanmaydi; funksiya qiymatlari MATLAB ichida hisoblanadi.