Дар назарияи классикии танзими баромад ҳадафи идоракунанда ин аст, ки баромади системаи динамикиро ба сигнали истинодии дилхоҳ наздик кунад ва ҳамзамон таъсири халалҳои берунаро бартараф намояд. Қисми муҳими назарияи классикӣ фарз мекунад, ки сигналҳои истинодӣ ва халалдоркунанда аз ҷониби як exosystem, ки муодилаҳои дифференсиалии ҳамвор ҳосил мекунад, тавлид мешаванд. Аммо дар барномаҳои воқеӣ сигналҳои аррашакл, мавҷи секунҷа, коммутатсионӣ ё монанд ба pulse-width-modulation (PWM), ки ҳамвор нестанд ва баъзан даврӣ ҳам нестанд, метавонанд вуҷуд дошта бошанд. Ин таҳқиқот маҳз ба масъалаи математикии ҳалшавандагии ҳамин ҳолати умумитар равона шудааст.

Азбаски муодилаҳои quasi-regulator, ки муҳаққиқон қаблан дар чаҳорчӯбаи NNOR — non-smooth non-periodic output regulation — истифода мебурданд, аъзои интегралӣ доранд, таҳлили ҳалшавандагии онҳо мисли муодилаҳои классикии regulator бевосита нест. Кори нав аввал ин муодилаҳои интегралиро ба системаи эквивалентии муодилаҳои дифференсиалӣ-алгебравӣ (DAE) табдил медиҳад ва сипас масъаларо вобаста ба мавҷуд ё набудани узви feedforward \(D\) ба ду ҳолат ҷудо мекунад.

Дар ҳолати набудани роҳи feedforward, яъне \(D=0\), натиҷаи муҳими аввал ин аст, ки сигнали \(Q\Lambda(t,t_0)\), ки бояд танзим карда шавад, бояд ҳамвории кофӣ дошта бошад. Таҳқиқот нишон медиҳад, ки барои ҳалшаванда будани муодилаҳои quasi-regulator ҳадди ақал пайвастагии локалии Lipschitz-и ин функсия зарур аст. Аз ин рӯ, вақте таъсири мустақими feedforward вуҷуд надорад, дар маҷмӯъ бо воридоти идоракунии маҳдуд ва классикӣ бекор кардани фаврии сигнали истинодие, ки дар баромад ҷаҳиши воқеӣ ба вуҷуд меорад, имконнопазир аст.

Натиҷаи дуюми асосӣ ин аст, ки дараҷаи нисбии система дар танзими баромади ноҳамвор, бар хилофи ҳолати классикӣ, ба ҳалшавандагӣ мустақиман таъсир мерасонад. Муҳаққиқон бо истифода аз дараҷаи ҳамвории функсияҳои ёрирасони \(V_j(t)\) нишон медиҳанд, ки дар ҳолати \(D=0\) дараҷаи нисбии \(r\) бояд ба як ҳади болоии муайян мувофиқат кунад. Шарти умумии зарурӣ:

\[ r\le j^*+1,\qquad j^*=c_n \]

ба ҳамин шакл дода мешавад.

Яке аз теоремаҳои асосии таҳқиқот нишон медиҳад, ки таҳти \(D=0\), фарзияҳои зикршудаи ҳамворӣ ва дараҷаи нисбии воҳидӣ \(r=1\), ҳалшавандагии муодилаҳои quasi-regulator барои ҳар гуна \(P\) ва \(Q\) ба non-smooth non-resonance condition, ки муҳаққиқон муайян кардаанд, эквивалент аст. Дар ҳолати мавҷуд будани роҳи feedforward, яъне \(D\neq0\), ҳамон натиҷаи зарурӣ-кофии non-resonance бе ниёз ба дараҷаи нисбӣ ва фарзияҳои иловагии ҳамворӣ ба даст меояд.

Муҳаққиқон ҳамчунин нишон медиҳанд, ки агар системаи хаттии идорашаванда minimum phase бошад, шарти нави non-smooth non-resonance иҷро мешавад. Аммо ин натиҷаи minimum-phase як шарти кофӣ аст; он бо таърифи худи шарти нави non-resonance як чиз нест.

Аз нуқтаи назари Туркия, ин кор махсусан барои назарияи бунёдии идоракунӣ дар соҳаҳое чун электроникаи қудратӣ, робототехника, системаҳои коммутатсионӣ ва идоракунии саноатӣ, ки дар онҳо сигналҳои истинодӣ ё халалҳои ноҳамвор пайдо шуда метавонанд, аҳамият дорад. Бо вуҷуди ин, манбаъ ягон татбиқро дар системаи Туркия, таҷҳизоти воқеии идоракунӣ ё санҷиши иҷро пешниҳод намекунад. Аз ин рӯ, арзиши таҳқиқот бештар дар рушди заминаи назариявиест, ки мефаҳмонад чунин масъалаи идоракунӣ аз ҷиҳати математикӣ дар кадом шартҳо ҳалшаванда аст, на дар нишон додани иҷрои мустақими алгоритми саҳроии идоракунӣ.

Масъалаи танзими баромад чист?

Танзими баромад масъалаи тарҳрезии идоракунандаест, ки баромади системаи динамикиро ба траекторияи истинодии дилхоҳ наздик намуда, халалҳои берунаро фурӯ менишонад. Системаи хаттии тағйирнопазир нисбат ба вақт, якдаромада–якбаромада (SISO), ки дар таҳқиқот баррасӣ мешавад:

\[ \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)+P\omega(t) \]

\[ e(t)=Cx(t)+Du(t)+Q\omega(t) \]

ба ҳамин шакл аст.

Дар ин ҷо \(x(t)\) ҳолати система, \(u(t)\) воридоти идоракунӣ, \(e(t)\) хатои танзим ва:

\[ \omega(t)= \begin{bmatrix} r(t)\\ d(t) \end{bmatrix} \]

вектори exogenous signal мебошад, ки сигналҳои истинодӣ ва халалдоркунандаро дар бар мегирад.

Фарқи асосӣ аз назарияи классикӣ чист?

Дар танзими классикии хаттии баромад exogenous signal одатан аз системаи динамикии ҳамворе монанди:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

ҳосил мешавад. Аммо дар сохтори умумитаре, ки ин таҳқиқот баррасӣ мекунад:

\[ \omega(t)=\Lambda(t,t_0)\omega_0 \]

генератори кушодаи чунин шакл истифода мешавад.

Ҳатто талаб карда намешавад, ки \(\Lambda(t,t_0)\) хосияти стандартии semigroup-ро иҷро кунад. Ин васеъсозӣ имконият медиҳад синфҳои сигналҳои ноҳамвор ва ҳатман даврӣ набударо фаро гирифт.

Масъалаи NNOR кадом ду ҳадафро талаб мекунад?

Дар таҳқиқот масъалаи non-smooth non-periodic output regulation бо ду шарт ифода мешавад:

• SF — Stabilization condition: Вақте exogenous signal сифр аст, нуқтаи ибтидоии системаи ҳалқаи пӯшида бояд устувории экспоненсиалӣ дошта бошад.
• RF — Regulation condition: Вақте Exosystem ба система пайваст мешавад, хатои танзим бояд бо гузашти вақт ба сифр майл кунад: \[ \lim_{t\to+\infty}e(t)=0. \]

Чаро муодилаҳои quasi-regulator лозиманд?

Дар назарияи классикии output-regulation муодилаҳои regulator траекторияҳои ҳолат ва идоракуниро тавсиф мекунанд, ки хатои устувори сифрро ба вуҷуд меоранд. Аммо дар синфи умумии сигналҳои ноҳамвор ва ғайридаврӣ steady state ба маънои классикӣ ҳамеша хуб муайян намешавад.

Аз ҳамин сабаб муҳаққиқон дар корҳои қаблии худ:

\[ x^*(t)=\Pi(t)\omega(t), \qquad u^*(t)=\Delta(t)\omega(t) \]

муодилаҳои quasi-regulator equations-ро истифода кардаанд, ки траекторияҳои интизории сифркунандаи хаторо бо ҳамин шакл муайян мекунанд.

Ҳади муҳими консептуалии таҳқиқот чунин аст: ҳалли муодилаҳои quasi-regulator барои ҳал кардани масъалаи NNOR як сохтори кофӣ мебошад; иддао намешавад, ки он дар масъалаи умумии NNOR мисли муодилаҳои классикии regulator тавсифи зарурӣ бошад.

Шакли интегралии муодилаҳои quasi-regulator

Системаи муодилаҳои таҳқиқот:

\[ \Pi_x(t)= \left[ e^{A(t-t_0)} \Pi_x(t_0)\Lambda(t_0,t_0) + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)} P_\Delta(\tau) \Lambda(\tau,t_0)d\tau \right] \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

ва:

\[ 0_{1\times\nu} = C\Pi_x(t)+D\Delta(t)+Q \]

мебошад; дар ин ҷо:

\[ P_\Delta(t)=P+B\Delta(t). \]

Масъала ин аст, ки оё функсияҳои маҳдуд ва порча-порча пайвастаи \(\Pi(t)\) ва \(\Delta(t)\), ки ин муодилаҳоро барои ҳамаи \(t\ge t_0\) қонеъ кунанд, ёфт мешаванд ё не.

Чаро муодилаҳо ба шакли DAE табдил дода мешаванд?

Таҳлили мустақими ҳалшавандагии муодилаҳо дар шакли интегралӣ душвор аст. Натиҷаи Lemma 1 нишон медиҳад, ки таҳти баргардандагии \(\Lambda\), муодилаҳои quasi-regulator ба системаи DAE-и зерин эквивалентанд:

\[ \dot{\Psi}_x(t) = A\Psi_x(t) + \big(B\Delta(t)+P\big)\Lambda(t,t_0) \]

\[ 0_{1\times\nu} = C\Psi_x(t) + \big(D\Delta(t)+Q\big) \Lambda(t,t_0). \]

Табдил:

\[ \Psi_x(t)=\Pi_x(t)\Lambda(t,t_0) \]

ба воситаи ҳамин ифода анҷом дода мешавад.

Ин эквивалентӣ нуқтаи оғози тамоми таҳлили минбаъдаи ҳалшавандагии таҳқиқот аст.

Чаро узви feedforward ин қадар муҳим аст?

Азбаски баромад:

\[ e=Cx+Du+Q\omega \]

мебошад, агар \(D\neq0\) бошад, воридоти идоракунӣ \(u\) метавонад ба хатои танзим бевосита таъсир расонад. Дар ҳолати \(D=0\) бошад, воридот бояд аввал аз динамикаи ҳолат гузарад.

Ин фарқ дар сигналҳои ноҳамвор аҳамияти ҳалкунанда дорад. Агар истинод ё халал дар баромад ҷаҳиши фаврӣ ба вуҷуд орад, ҳолати пайвастаи система \(Cx\) ҳамон лаҳза дар самти муқобил ҷаҳида наметавонад. Агар роҳи мустақими feedforward \(Du\) вуҷуд дошта бошад, воридоти идоракунӣ метавонад ин ҷузъи фавриро бевосита мувозинат кунад.

Theorem 1 чӣ мегӯяд?

Аввалин шарти асосии зарурии таҳқиқот чунин аст:

Агар \(D=0\) бошад, барои ҳалшаванда будани муодилаҳои quasi-regulator функсияи \(Q\Lambda(t,t_0)\) бояд дар ҳамаи вақтҳо локалӣ Lipschitz-пайваста бошад.

Натиҷаи муҳими ин аст, ки агар ҳангоми \(D=0\) дар \(Q\Lambda\) қатъшавии воқеӣ мавҷуд бошад, бо истифода аз \(\Delta(t)\)-и маҳдуд муодилаҳои quasi-regulator-ро ҳал кардан мумкин нест.

Манбаъ инро аз ҷиҳати физикӣ чунин шарҳ медиҳад: сигнали пайвастаи \(Cx\) бе кӯмаки мустақими feedforward ҷаҳиши сигнали қатъшавандаи \(Q\omega\)-ро якбора бекор карда наметавонад.

Муҳаққиқон қайд мекунанд, ки истифодаи impulsive control метавонад ин вазъро тағйир диҳад, вале ин мавзӯъро ба кори оянда мегузоранд.

Assumption 2 кадом ҳамвориро талаб мекунад?

Барои \(D=0\) таҳқиқот баъдан фарз мекунад, ки \(Q\Lambda(t,t_0)\) piecewise differentiable бошад ва:

\[ \frac{d}{dt} \left( Q\Lambda(t,t_0) \right) \Lambda(t,t_0)^{-1} \]

дар фосилаҳои мувофиқи ҳамвори вақт маҳдуд боқӣ монад.

Piecewise differentiability дар ин ҷо сохтореро фаро мегирад, ки сигнал пайваста аст, аммо дар нуқтаҳои муайян ҳосилаҳои чап ва рост метавонанд гуногун бошанд. Мавҷҳои секунҷа яке аз мисолҳои асосии чунин рафтори ноҳамвор мебошанд.

Оё ин фарзия талаб мекунад, ки тамоми \(\omega(t)\) пайваста бошад?

Не. Таҳқиқот инро махсус ҷудо мекунад. Доштани ҳамвории зарурӣ барои \(Q\Lambda\) маънои онро надорад, ки ҳамаи ҷузъҳои \(\Lambda\) ё \(\omega\) бояд пайваста бошанд.

Агар ҷаҳиши exogenous signal дар ядрои \(Q\) боқӣ монад, ин ҷаҳиш метавонад бевосита дар баромади танзим инъикос нашавад. Аз ин рӯ, баъзе ҷузъҳои қатъшавандае, ки тавассути \(P\omega\) ба ҳолати система таъсир мекунанд, аз ҷониби назария пурра истисно карда намешаванд.

Чаро дараҷаи нисбӣ бар хилофи назарияи классикӣ махсус муҳим мешавад?

Дар системаи SISO дараҷаи нисбии \(r\) сатҳи ҳосилаеро нишон медиҳад, ки дар он воридоти идоракунӣ бори аввал дар баромад пайдо мешавад. Манбаъ онро ҳамчун хурдтарин \(r\le n\)-и мусбат, ки шарти:

\[ CA^{r-1}B\neq0 \]

-ро қонеъ мекунад, муайян мекунад.

Дар масъалаи классикии ҳамвори LTI output regulation дараҷаи нисбӣ дар маркази шарти ҳалшавандагии муодилаҳои regulator нест. Аммо дар ин таҳқиқот, вақте сигналҳо ноҳамворанд, дараҷаи нисбӣ муайян мекунад, ки воридоти идоракунӣ то кадом дараҷаи пасти ҳамворӣ метавонад рафтори баромадро ба вуҷуд орад.

Ба ибораи дигар, агар барои таъсир кардани воридоти идоракунӣ ба баромад он бояд аз ҳад зиёд марҳилаҳои ҳосилавии динамикӣ гузарад, мумкин аст воридоти идоракунии маҳдуд ҷузъи кофӣ тези exogenous output-ро бекор карда натавонад.

Чаро функсияҳои ёрирасони \(V_j(t)\) муайян карда мешаванд?

Аз сабаби \(\Lambda\)-и ноҳамвор муҳаққиқон наметавонанд муодилаҳоро то ҳар дараҷае, ки мехоҳанд, мустақиман дифференсиатсия кунанд. Ба ҷойи ин, онҳо функсияҳои:

\[ V_j(t) = \sum_{i=1}^{j} I_{t_0}^{[i]} \left[ CA^{i-1}P\Lambda(t,t_0) \right] + Q\Lambda(t,t_0) \]

-ро муайян мекунанд, ки интегралҳои такрориро дар бар мегиранд.

\(V_0(t)=Q\Lambda(t,t_0)\) қабул мешавад ва дараҷаи ҳамвории ҳар як \(V_j\) бо \(c_j\) нишон дода мешавад.

Ин сохтори ёрирасон имкон медиҳад миқдори ҳамвории сигнал ва дараҷаи нисбии системаро дар як чаҳорчӯбаи математикӣ муқоиса кард.

Паёми асосии Lemma 2 чист?

\(j^*=c_n

• барои \(j\le j^*\), \(V_j\) ҳадди ақал \(j\) маротиба дифференсиатсияшаванда аст;
• вақте \(j>j^*\), дараҷаи ҳамвории ҳамаи функсияҳои минбаъдаи \(V_j\) дар \(j^*\) боқӣ мемонад.

Ҳамин тавр, аз ҷиҳати математикӣ муайян карда мешавад, ки ҳамворӣ дар кадом сатҳи ҳосила “тамом мешавад”.

Шарти зарурӣ барои дараҷаи нисбӣ чист?

Proposition 1 нишон медиҳад, ки агар таҳти \(D=0\) ва Assumption 1–2 муодилаҳои quasi-regulator ҳалшаванда бошанд:

\[ \boxed{r\le j^*+1} \]

бояд иҷро шавад.

Дар ин ҷо:

\[ j^*=c_n \]

дараҷаи ҳамвории функсияи ёрирасони \(V_n\) мебошад.

Ин як шарти зарурӣ аст; таҳқиқот ошкоро мегӯяд, ки нобаробарии \(r\le j^*+1\) танҳо ба худӣ худ дар ҳамаи ҳолатҳо кофӣ нест.

Чаро таҳқиқот баъдан ба \(r=1\) тамаркуз мекунад?

Муҳаққиқон қайд мекунанд, ки махсусан вақте сигналҳои ноҳамвор, ба монанди мавҷи секунҷа ё квадратӣ ҳадаф қарор мегиранд, \(c_n\ge1\) камтар маъмул аст. Аз ин рӯ, ҳамчун ҳолати асосӣ барои кафолати ҳалшавандагӣ дар синфи васеи сигналҳои ноҳамвор:

\[ r=1 \]

яъне фарзияи unitary relative degree мавриди таваҷҷуҳ қарор мегирад.

Дар ин ҳолат:

\[ CB\neq0 \]

мешавад ва воридот дар сатҳи ҳосилаи аввал ба баромад таъсир мекунад.

Non-smooth non-resonance condition чист?

Саҳми асосии консептуалии таҳқиқот шарти нави ғайрирезонансӣ мебошад, ки дар Definition 1 муайян шудааст. Системаҳо барои як қимати ибтидоии муайяни \(\Omega(t_0)\), агар функсияи:

\[ \Omega(t)= \left[ \left( \Lambda(t_0,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-t_0)} \right]\Omega(t_0) \]

\[ + \int_{t_0}^{t} \left[ \left( \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \right)^T \otimes e^{A_z(t-\tau)} \right]d\tau \]

барои ҳамаи \(t\ge t_0\) маҳдуд боқӣ монад, non-resonant таъриф мешаванд.

Қиматҳои хоси \(A_z\) бо transmission zero-ҳои системаи идорашаванда яксонанд.

Бинобар ин, меъёри нав ба ҷойи танҳо муқоисаи қиматҳои хоси exosystem-и классикӣ бо transmission zero-ҳо, ҳамкории динамикаи ноҳамвор ва умумии вобаста ба вақти \(\Lambda\)-ро бо динамикаи сифрӣ ҳамчун масъалаи boundedness дар соҳаи вақт ифода мекунад.

Натиҷаи зарурӣ ва кофии Theorem 2 чист?

Бо \(D=0\), Assumption 1 ва 2:

\[ r=1 \]

таҳти ин фарзия таҳқиқот эквивалентии зеринро ба даст меорад:

Муодилаҳои quasi-regulator барои ҳар гуна \(P\) ва \(Q\) ҳалшавандаанд ⇔ системаи идорашаванда ва exogenous-signal generator non-smooth non-resonant мебошанд.

Ин натиҷаи асосии зарурӣ-кофии ҳалшавандагӣ дар дохили таҳқиқот аст.

Дар исботи Theorem 2 система чӣ гуна ҷудо мешавад?

Дар ҳолати \(r=1\):

\[ b=CB\neq0 \]

аз ҳамин сабаб муҳаққиқон бо табдили хаттии \(T\) системаро ба ҷузъҳои zero-dynamics ва output ҷудо мекунанд:

\[ \Theta=T\Psi_x = \operatorname{col}(\Theta_z,\Theta_y). \]

Қисми алгебравии DAE бевосита натиҷаи:

\[ \Theta_y(t)=-Q\Lambda(t,t_0) \]

-ро медиҳад.

Динамикаи боқимондаи \(\Theta_z\) тавассути матритсаи \(A_{11}\), ки transmission zero-ҳоро дар бар мегирад, пеш меравад. Ҳамин тавр, тамоми масъалаи ҳалшавандагии quasi-regulator ба масъалаи маҳдуд ё номаҳдуд будани як ҳалли интегралии муайяни вобаста ба вақт дар ҷузъи zero-dynamics кам карда мешавад.

Агар feedforward вуҷуд дошта бошад, натиҷа чӣ гуна тағйир меёбад?

Дар ҳолати \(D\neq0\), азбаски воридоти идоракунӣ бевосита дар муодилаи баромад ҷой дорад:

\[ \Delta = -D^{-1} \left( C\Psi_x\Lambda^{-1}+Q \right) \]

онро ба таври алгебравӣ ҳал кардан мумкин аст.

Аз ин рӯ, шартҳои иловагии ҳамворӣ ва unitary-relative-degree, ки дар ҳолати \(D=0\) лозим буданд, талаб намешаванд.

Мувофиқи Theorem 3, таҳти \(D\neq0\) ва Assumption 1 муодилаҳои quasi-regulator барои ҳар гуна \(P,Q\) ҳалшавандаанд, агар ва танҳо агар ду система non-smooth non-resonant бошанд.

Чаро системаҳои minimum-phase муҳиманд?

Proposition 2 дар таҳқиқот натиҷаи кофии зеринро медиҳад:

Агар системаи хаттии идорашаванда minimum phase бошад, таҳти Assumption 1 шарти non-smooth non-resonance иҷро мешавад.

Дар ҳолати minimum-phase transmission zero-ҳо дар нимҳамвории кушодаи чап қарор доранд ва аз ин рӯ \(A_z\) Hurwitz мешавад. Ҳамин тавр бо истифода аз коҳиши экспоненсиалии:

\[ \|e^{A_z(t-\tau)}\| \le \alpha e^{-\beta(t-\tau)} \]

маҳдуд будани узви интегралӣ дар Definition 1 нишон дода мешавад.

Оё minimum phase зарур аст?

Таҳқиқот шарти minimum-phase-ро ҳамчун шарти зарурӣ пешниҳод намекунад. Proposition 2 танҳо натиҷаи:

\[ \text{minimum phase} \Rightarrow \text{non-smooth non-resonance} \]

-ро муқаррар мекунад.

Аз ин рӯ, аз ин таҳқиқот хулоса баровардан мумкин нест, ки системаи non-minimum-phase дар ҳамаи ҳолатҳо ҳалнашаванда аст.

Шарти нав бо non-resonance-и классикӣ чӣ гуна алоқаманд аст?

Дар масъалаи классикии LTI output regulation exosystem:

\[ \dot{\omega}=S\omega \]

ва аз ин рӯ:

\[ \Lambda(t,t_0)=e^{S(t-t_0)} \]

бошад, regulator equation ба муодилаи алгебравии навъи Sylvester кам мешавад.

Моҳияти шарти классикии non-resonance:

\[ \sigma(A_z)\cap\sigma(S)=\varnothing \]

яъне transmission zero-ҳои система бо қиматҳои хоси exosystem мувофиқат накунанд.

Таҳқиқот нишон медиҳад, ки шарти нави non-smooth non-resonance шакли васеъшудаи ҳамин андешаи классикӣ барои генераторҳои сигналҳои ноҳамвор ва ғайридаврӣ мебошад.

Фарқи муҳим дар Remark 2-и манбаъ ин аст, ки шарти нави boundedness метавонад аз ҷудоии классикии қиматҳои хос қавитар бошад. Ба ибораи дигар, танҳо мувофиқат накардани спектрҳо барои generator-и умумии non-smooth/non-periodic маҳдудияти тамоми вақтро дар Definition 1 ба таври худкор кафолат намедиҳад.

Оё ҳалҳо ягонаанд?

Не. Remark 3 ошкоро мегӯяд, ки ҳалшаванда будани муодилаҳои quasi-regulator маънои ягона будани ҳалро надорад.

Масалан, дар ҳолати minimum-phase, вақте \(A_{11}\) Hurwitz аст, ҳалҳои гуногуне, ки аз қиматҳои ибтидоии гуногуни:

\[ \bar{\Pi}_z(t_0) \]

оғоз мешаванд, метавонанд ҳамоно маҳдуд боқӣ монанд. Ҳамин тавр, ҳалҳои гуногуни bounded piecewise-continuous барои \(\Pi\) ва \(\Delta\) метавонанд ҳамон шарти ҳалшавандагиро қонеъ кунанд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Муодилаҳои quasi-regulator таҳти табдили мувофиқ ба системаи DAE эквивалентанд.
• Дар ҳолати \(D=0\) пайвастагии локалии Lipschitz-и \(Q\Lambda\) шарти зарурии ҳалшавандагӣ аст.
• Дар динамикаи ноҳамвори баромад дараҷаи нисбии система ба ҳалшавандагии quasi-regulator таъсир мерасонад.
• Таҳти \(D=0\) шарти зарурии дараҷаи нисбӣ \(r\le j^*+1\) мебошад.
• Таҳти \(D=0\), фарзияҳои дахлдори ҳамворӣ ва \(r=1\), шарти non-smooth non-resonance тавсифи зарурӣ ва кофии ҳалшавандагӣ барои ҳар гуна \(P,Q\) аст.
• Дар ҳолати \(D\neq0\) ҳамон натиҷаи зарурӣ-кофӣ бе шарти иловагии \(r=1\) ба даст меояд.
• Minimum-phase будан барои шарти нави non-smooth non-resonance кофӣ аст.
• Ҳалҳои quasi-regulator дар ҳолати non-smooth non-periodic ҳатман ягона нестанд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад ё насанҷидааст

• Таҳқиқот афзоиши таҷрибавии иҷро дар ягон plant-и физикии мушаххас нишон намедиҳад.
• Бартарии ададии алгоритми идоракуниро аз рӯи хато, вақти нишаст ё масрафи энергия муқоиса намекунад.
• Натиҷаҳо барои ҳамаи системаҳои nonlinear дода нашудаанд; масъалаи асосӣ барои синфи системаҳои SISO LTI гузошта шудааст.
• Ҳалшавандагии муодилаҳои quasi-regulator ба худӣ худ ҳамчун шарти зарурии ҳамаи тарҳҳои имконпазири NNOR пешниҳод намешавад.
• Шарти \(r\le j^*+1\) дар ҳолати \(D=0\) ба худӣ худ кофӣ нест.
• Minimum-phase будан ҳамчун шарти зарурии ҳалшавандагӣ нишон дода нашудааст.
• Варианти impulsive control барои пайгирии баромади discontinuous бе feedforward таҳлил нашудааст.
• Манбаъ татбиқи санҷидашударо дар схемаҳои воқеии PWM, робот, табдилдиҳандаи қудратӣ ё системаи саноатӣ пешниҳод намекунад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Таҳқиқот таҷрибавӣ нест, балки ба теоремаҳо асос ёфтааст

Дар ин кор ба маънои классикӣ гурӯҳи таҷрибавӣ, маҷмӯи додаҳо, сенсор, андозаи намуна ё санҷиши гипотезаи оморӣ вуҷуд надорад. Усули таҳқиқот ба назарияи математикии идоракунӣ асос ёфтааст.

Сохтори исбот асосан аз абзорҳои зерин истифода мекунад:

• табдили муодилаҳои интегралии quasi-regulator ба шакли DAE,
• ҳамвории функсия ва хосиятҳои local Lipschitz,
• таҳлили дараҷаи нисбӣ,
• функсияҳои ёрирасони \(V_j\), ки бо интегралҳои такрорӣ муайян шудаанд,
• табдили хаттии координатҳо,
• сохтори zero-dynamics ва transmission-zero,
• ҳосили Kronecker,
• таҳлили маҳдудияти матритсаи гузариши ҳолат/ҳалли интегралӣ,
• хосиятҳои Hurwitz ва minimum-phase.

Assumption 1

Барои exogenous signal generator қабул мешавад, ки \(\Lambda(t,t_0)\):

• piecewise continuous,
• non-singular,
• finite-time bounded

бошад ва:

\[ \Lambda(\tau,t_0)\Lambda(t,t_0)^{-1} \]

барои ҳамаи \(t\ge\tau\ge t_0\) uniform bounded бошад.

Assumption 2

Дар ҳолати \(D=0\):

\[ Q\Lambda(t,t_0) \]

бояд piecewise differentiable бошад ва:

\[ \frac{d}{dt}(Q\Lambda) \Lambda^{-1} \]

дар фосилаҳои мувофиқи ҳамвори вақт маҳдуд боқӣ монад.

Assumption 3

Барои натиҷаи асосии зарурӣ-кофии Theorem 2 система:

\[ r=1 \]

яъне дорои хосияти unitary relative degree қабул мешавад.

Хулосаи натиҷаҳои асосии математикии таҳқиқот

Фарқи асосӣ байни \(D=0\) ва \(D\neq0\)

Фарқи равиши классикӣ ва нави non-resonance

Чаро натиҷа махсусан барои назарияи идоракунӣ муҳим аст?

Пеш аз тарҳрезии идоракунанда бояд донист, ки оё траекторияҳои идеалии сифркунандаи хато аз ҷиҳати математикӣ вуҷуд доранд ё не. Агар муодилаҳои quasi-regulator ҳал нашаванд, тарҳи идоракунии NNOR, ки ба ин муодилаҳо такя мекунад, аз ибтидо ҷузъи зарурии сохториро аз даст медиҳад.

Ҳамин тавр, ин кор ба саволи бунёдитар аз “кадом идоракунанда беҳтар аст?” ҷавоб медиҳад:

Мавҷудияти траекторияҳои ҳолат ва воридоти сифркунандаи хато таҳти истинод/халали ноҳамвор ва ғайридаврӣ аз кадом хусусиятҳои система ва сигнал вобаста аст?

Ҷавоби манбаъ ин аст, ки сохтори feedforward, ҳамвории сигнал, дараҷаи нисбии система, transmission zero-ҳо ва шарти нави non-smooth non-resonance бояд якҷоя арзёбӣ шаванд.

Маҳдудиятҳои таҳқиқот

• Синфи асосии система SISO LTI мебошад.
• Натиҷаҳо дар доираи Assumption 1–3-и муайяншудаанд.
• Мисоли физикӣ ё ададии татбиқ пешниҳод намешавад.
• Натиҷаи умумии зарурӣ-кофӣ барои \(D=0\) махсусан ба ҳолати unitary relative degree равона шудааст.
• Барои дараҷаҳои нисбии баландтар Proposition 1 шарти зарурӣ медиҳад, вале тавсифи комилан умумии ҳалшавандагӣ пешниҳод намекунад.
• Impulsive control барои пайгирии баромадҳои воқеан discontinuous бе feedforward таҳқиқ нашудааст.
• Ягонагии ҳалли quasi-regulator кафолат дода намешавад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Tam özgün çalışma adı: On the Solvability of Quasi-Regulator Equations in Non-smooth Output Regulation

Муаллифон: Zirui Niu, Daniele Astolfi ва Giordano Scarciotti.

Тартиби муаллифон: Тартиб дар версияи манбаъ бетағйир нигоҳ дошта шудааст.

Муаллифи якуми муштарак/саҳми баробар: Дар версияи баррасишуда изҳороти саҳми баробар вуҷуд надорад.

Муаллифи масъул: Азбаски дар манбаъ аломати ҷудогонаи corresponding-author мавҷуд нест, ягон муаллифи мушаххас ҳамчун муаллифи масъул таъин нашудааст.

Муассисаҳо: Zirui Niu ва Giordano Scarciotti — EEE, Imperial College London, Exhibition Road, South Kensington, London, United Kingdom. Daniele Astolfi — Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEPP UMR5007, Villeurbanne, France.

Маълумоти иртиботӣ дар манбаъ: Zirui Niu — zn120@ic.ac.uk; Giordano Scarciotti — gs3610@ic.ac.uk; Daniele Astolfi — daniele.astolfi@univ-lyon1.fr.

Платформа: arXiv.

Шиносаи arXiv: 2605.28665.

Версияи баррасишуда: arXiv:2605.28665v1.

Санаи пешниҳод: 27 Май 2026.

Категорияҳо: Systems and Control (eess.SY); инчунин дар сабти arXiv бо соҳаи Optimization and Control (math.OC) алоқаманд аст.

DOI: 10.48550/arXiv.2605.28665.

Сабти расмӣ:https://arxiv.org/abs/2605.28665

Вазъи нашр/баррасӣ: Ҳуҷҷати баррасишуда версияи arXiv preprint мебошад. Дар metadata-и ҷории arXiv кор ҳамчун “7 pages, accepted by MTNS 2026” нишон дода шудааст. Азбаски манбаъҳои дастрас тартиби баррасии конференсияро алоҳида ҳуҷҷатгузорӣ намекунанд, дар ин матни Verianla вазъ ҳамчун “arXiv preprint; ба MTNS 2026 қабул шудааст” оварда шуда, гӯё нашри ниҳоии алоҳидаи proceedings-и баррасишуда мавҷуд бошад, нишон дода нашудааст.

Библиографияи ниҳоии proceedings: Азбаски дар манбаи баррасишуда ва санҷиши библиографӣ ҷилд, саҳифа, proceedings DOI ё сабти ниҳоии библиографии MTNS 2026 тасдиқ нашуд, илова карда нашудааст.

Иҷозатнома: Иҷозатномаи истифодаи дубора дар сабти arXiv ҳамчун иҷозатномаи умумии нашри Creative Commons тафсир нашудааст.

Маблағгузорӣ: Дар кори баррасишуда изҳороти алоҳидаи маблағгузорӣ муайян нашудааст.

Тазоди манфиатҳо: Дар кори баррасишуда изҳороти алоҳидаи competing-interests муайян нашудааст.

Дода/код: Кор назариявӣ аст; изҳороти ҷудогона оид ба маҷмӯи додаҳои таҷрибавӣ ё анбори код вуҷуд надорад.

CRediT/саҳми муаллифон: Дар версияи баррасишуда CRediT authorship statement-и алоҳида мавҷуд нест.

Навъи таҳқиқот: Таҳлили назариявӣ/математикии назарияи идоракунӣ. Таҷриба, ченкунии саҳроӣ ё санҷиши иҷрои ададии benchmark вуҷуд надорад.

Абзорҳои асосии математикӣ: Муодилаҳои интегралии Quasi-regulator, табдили differential-algebraic equation, таҳлили relative-degree, piecewise differentiability, функсияҳои ёрирасони repeated-integral, zero dynamics, transmission zeros, Kronecker product, хосиятҳои Hurwitz/minimum-phase ва таҳлили boundedness.

Шартҳои асосии зарурӣ: Дар ҳолати \(D=0\) пайвастагии local Lipschitz-и \(Q\Lambda\) ва таҳти ҳамвории мувофиқ \(r\le j^*+1\).

Натиҷаи асосии зарурӣ-кофӣ: Таҳти \(D=0\), Assumption 1–3 ва \(r=1\); инчунин таҳти \(D\neq0\), Assumption 1 ҳалшавандагии муодилаҳои quasi-regulator барои ҳар гуна \(P,Q\) ба шарти non-smooth non-resonance эквивалент аст.

Ҳолати махсуси кофӣ: Minimum-phase будани система барои иҷрои шарти non-smooth non-resonance кофӣ аст; зарур будани он нишон дода нашудааст.

Ягонагии ҳал: Манбаъ ошкоро қайд мекунад, ки дар ҳолати non-smooth non-periodic ҳалҳои bounded quasi-regulator умуман ҳатман ягона нестанд.

Ҳади фарогирии илмӣ: Натиҷаҳо теоремаҳои ҳалшавандагӣ барои синфи математикӣ ва фарзияҳои дар манбаъ муайяншуда мебошанд. Онҳо натиҷаи иҷрои системаи физикӣ, фоидаи ададии идоракунӣ, ҳошияи устуворӣ ё дақиқии таҷрибавӣ нестанд.

Асоси мундариҷа: Ин шарҳи Verianla ба таърифи масъала, муодилаҳои quasi-regulator, Lemma 1–2, Theorem 1–3, Proposition 1–2, Definition 1, Remark 1–3, ҷараёни исботи математикӣ ва бахши натиҷаи таҳқиқот асос ёфтааст. Ба ғайр аз санҷиши ҳувияти библиографӣ/вазъи нашр, аз манбаъҳои беруна натиҷаи нави илмӣ илова нашудааст.