Ҳаракати се фазаи гуногуни моеъ ё газ, ки бо ҳам омехта намешаванд, дар як соҳаи ҳисоббарорӣ яке аз масъалаҳои душвори динамикаи ҳисоббарории моеъҳо мебошад. Интерфейсҳо ҳаракат мекунанд, шакл иваз мекунанд, якҷо мешаванд, ҷудо мешаванд ва дар минтақаҳое, ки се фаза ба ҳам мерасанд, қувваҳои кашиши сатҳӣ ҳамзамон таъсир мекунанд. Ин таҳқиқот, ки аз ҷониби Adam Y. Ghoneim таҳия шудааст, барои ҳалли ин масъала бидуни сохтани шабакаи классикии ҳисоббарорӣ Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)-ро бо равиши Phase-Field муттаҳид мекунад.

Дар ин усул интерфейси байни моеъҳо на ҳамчун сарҳади тез, балки ҳамчун минтақаи гузариши Phase-Field бо ғафсии муайян муаррифӣ мешавад. Эволютсияи се фаза бо муодилаҳои Cahn–Hilliard ва майдони ҷараён бо муодилаҳои Navier–Stokes ҳал карда мешавад. Барои беҳтар кардани мувофиқати функсияҳои вазнии SPH равишҳои Reproducing Kernel (RK) ва Differential Reproducing Kernel (DRK) истифода шудаанд. Барои ҳалли фишор бошад, ба ҷойи Equation of State-и классикии бар зичӣ асосёфта General Pressure Equation интихоб шудааст, ки диффузияи фишори хомӯшкунанда дорад.

Усул аз benchmark-ҳои стандартӣ ба монанди Couette, Poiseuille ва lid-driven cavity оғоз шуда, дар масъалаҳои мураккабтар, аз ҷумла ҷудошавии сефаза, линзаи моеъ, системаи об–равған–ҳаво бо таносуби баланди зичӣ, қатраи афтанда, ҳубобчаи болораванда ва омехтаи зарфи дорои сатҳи озод санҷида шудааст. Дар санҷиши линзаи моеъ хатои максималии нисбӣ нисбат ба натиҷаҳои аналитикӣ аз %5 камтар боқӣ мондааст; нишебии ҳамгароии RK ва DRK мутаносибан 1,86 ва 1,93 буда, рафтори тақрибан тартиби дуюмро нишон додааст.

Усул инчунин системаи об–ҳаворо бо таносуби зичии тақрибан 1000:1 ба таври устувор ҳал карда тавонистааст. Аммо параметри Phase-Field mobility ба ғафсии интерфейс ва нигоҳдории ҳаҷм таъсири қавӣ дорад: дар санҷиши намунавии ҳубобчаи даврзананда барои M=0,01 талафоти ҳаҷм танҳо %0,3 буд, дар ҳоле ки барои M=0,05 он то %20 зиёд шуд. Аз ин рӯ, таҳқиқот на танҳо усули нави ҳалро пешниҳод мекунад, балки зарурати танзими бодиққати параметрҳои ададии онро низ нишон медиҳад.

Чаро ҳисоб кардани ҷараёни сефаза душвортар аст?

Ҳатто дар ҷараёнҳои дуфаза пайгирии дурусти ҳаракати интерфейси моеъ–газ ё моеъ–моеъ душвор аст. Дар системаи сефаза ба ин се кашиши алоҳидаи интерфейс ва минтақаҳои triple-junction, ки дар онҳо се фаза метавонанд ба ҳам расанд, илова мешаванд. Якҷошавӣ, кандашавӣ ё тағйири топологии интерфейс метавонад усулҳои классикии mesh-based-ро ба бозсозии шабака ё алгоритмҳои махсуси interface-capturing ниёзманд созад.

Равиши Phase-Field Се Фазаро Чӣ Гуна Муарифӣ Мекунад?

Дар усули Phase-Field барои ҳар як фаза order parameter-и пайваста бо номи \(\psi_p\) истифода мешавад. Дар минтақаи софи фаза ин қимат ба 0 ё 1 наздик мешавад, дар ҳоле ки дар интерфейси байни ду фаза қимат ба таври пайваста тағйир меёбад. Ҳамин тавр, ба ҷойи сарҳади тез diffuse interface-и дорои ғафсии ниҳоӣ ба вуҷуд меояд.

Барои се фаза:

\[ \psi_1+\psi_2+\psi_3=1 \]

шарт татбиқ мешавад.

Аз ин рӯ:

\[ \psi_3=1-\psi_1-\psi_2 \]

ва барои ҳамин ҳал кардани танҳо ду муодилаи мустақили Cahn–Hilliard кофӣ аст.

Энергияи озоди Helmholtz-и система дар шакли умумӣ:

\[ E(\psi)= \int_{\Omega} \sum_{p=1}^{N} \left[ F(\psi_p)+ \frac{\epsilon^2}{2}|\nabla\psi_p|^2 \right]dx \]

муайян карда мешавад.

Ҳади аввал ҷузъи bulk free-energy мебошад, ки фазаҳоро ба ҳолатҳои соф равона мекунад. Ҳади Gradient бошад, хароҷоти энергетикии ташаккули интерфейсро ифода мекунад.

Муодилаи Cahn–Hilliard чӣ кор мекунад?

Потенсиали химиявӣ аз вариатсияи энергияи озод нисбат ба order parameter гирифта мешавад ва тақсимоти фазаҳо:

\[ \frac{D\psi_p}{Dt} = M\nabla^2\mu_p \]

тағйир меёбад.

Дар ин ҷо \(M\) параметри Phase-Field mobility мебошад. Ин қимат танҳо доимии математикӣ нест; он байни диффузияи интерфейс, нигоҳдории ғафсии он ва талафоти ҳаҷм тавозуни муҳим ба вуҷуд меорад.

Чаро SPH Meshfree Номида Мешавад?

Дар Smoothed Particle Hydrodynamics соҳаи ҳисоббарорӣ ба шабакаҳои классикии унсури ниҳоӣ ё ҳаҷми ниҳоӣ тақсим намешавад. Ба ҷойи ин, соҳа аз зарраҳо иборат аст ва қимати тағйирёбанда дар як зарраи муайян аз саҳмҳои бо kernel вазнгузоришудаи зарраҳои ҳамсоя ҳисоб карда мешавад.

Наздиккунии SPH барои тағйирёбандаи майдон:

\[ \hat{u}_i = \sum_{j=1}^{n} u_j W_{ij} \]

ба ин шакл аст.

Бо шарофати ин сохтор, тақсимоти номунтазами нуқтаҳо, зарраҳои ҳаракаткунанда ва геометрияҳои мураккабро бе сохтани mesh connectivity коркард кардан мумкин аст.

Чаро RK ва DRK Лозиманд?

Функсияҳои классикии kernel-и SPH, махсусан дар минтақаҳои сарҳадӣ, на ҳамеша метавонанд шартҳои partition-of-unity ва reproducibility-ро пурра таъмин кунанд ва ин метавонад мушкилоти дақиқиро ба вуҷуд орад. Равиши Reproducing Kernel функсияҳои вазнро тавассути матритсаи момент ислоҳ карда, ин шартҳоро мустақим татбиқ мекунад.

Фарқи асосии Differential Reproducing Kernel дар он аст, ки шарти reproducibility на танҳо ба функсияи вазн, балки ба ҳосилаҳои фазоии он низ татбиқ мешавад. Бо ин роҳ, ҳисоб кардани ҳосилаҳои матритсаи момент, ки дар ҳисобкунии ошкори ҳосилаҳои RK лозим аст, метавонад пешгирӣ карда шавад.

Дар ин таҳқиқот ҳосилаҳои баландтартиби DRK мустақим истифода нашудаанд. RK ва DRK танҳо барои функсияи вазн ва градиентҳои тартиби якум истифода шудаанд; Laplacian бо ифодаи устувортари SPH ҳисоб карда шудааст. Аз ин рӯ, DRK бартарии ҳисоббарорӣ дорад, аммо ин бартарӣ хеле калон нест.

General Pressure Equation Чиро Тағйир Медиҳад?

Дар weakly-compressible SPH фишор одатан аз тағйири зичӣ бо ёрии Equation of State ҳисоб карда мешавад. Дар системаҳои бисёрфаза зичӣ дар интерфейс ногаҳон тағйир меёбад, аз ин рӯ ин равиш метавонад ба ларзишҳои номатлуби фишор ва зичӣ сабаб шавад.

Ин таҳқиқот ба ҷойи он:

\[ \frac{\partial P}{\partial t} = -C^2(\nabla\cdot\rho V) + \nu_{GPE}\nabla^2P \]

General Pressure Equation-ро истифода кардааст.

Ҳади \(\nu_{GPE}\nabla^2P\) механизми диффузия мебошад, ки ларзишҳои ададиро дар майдони фишор хомӯш мекунад. Азбаски ҳал метавонад маҳаллӣ ва explicit иҷро шавад, дар ҳар қадами вақт ҳал кардани системаи хаттии глобалии Pressure-Poisson лозим нест.

Интегратсияи вақт

Системаи CHNS бо равиши Runge–Kutta-и тартиби дуюм ба таври explicit пеш бурда шудааст. Қадами вақт аз рӯи ҳадди ақали маҳдудиятҳои суръати сунъии садо, часпакии максималӣ ва Phase-Field mobility интихоб мешавад:

\[ \Delta t= \min \left( \frac{\gamma_{CFL}h}{C}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2\nu_{max}}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2M} \right) \]

ва дар таҳқиқот \(\gamma_{CFL}=0,25\) истифода шудааст.

Чаро Particle Shifting Муҳим Аст?

Дар Lagrangian SPH зарраҳо ҳамроҳи ҷараён ҳаракат мекунанд, бинобар ин бо гузашти вақт метавонанд ба ҳам наздик шуда, ҷамъ шаванд. Азбаски дар RK/DRK ҳисоб кардани баръакси матритсаи моменти маҳаллӣ лозим аст, ин ҳолат танҳо бесарусомонии визуалӣ нест; матритса метавонад бадшарт шуда, ҳалро ноустувор кунад.

Таҳқиқот бо particle shifting зарраҳоро аз минтақаҳои дорои зичии баланди зарраҳо ба сӯи минтақаҳои камзич бо миқдори хурд мекӯчонад.

Дар муқоисаи саҳифаи 24-уми PDF, вақте shifting татбиқ намешавад ҷамъшавиҳои намоён ба вуҷуд меоянд, дар ҳоле ки баъд аз shifting зарраҳо ба тақсимоти тақрибан якхела бармегарданд.

Барои зарраҳои сатҳи озод миқдори shifting кам карда мешавад; вагарна геометрияи воқеии сатҳи озод метавонад ба таври сунъӣ вайрон шавад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Санҷиши Couette flow

Дар масъалаи Couette бо 50 зарра ва адади пасти Reynolds натиҷаҳои RK-SPH ва DRK-SPH ба ҳалли аналитикӣ хеле наздик буданд. Хатоҳои L2-norm дар вақтҳои гуногун тақрибан дар тартиби \(10^{-3}\)–\(10^{-2}\) мебошанд ва фарқи максималӣ байни натиҷаҳои RK–DRK тақрибан %0,16 аст.

Санҷиши Poiseuille flow

Дар се суръати қуллавии гуногун ҳалҳои RK ва DRK ба профили аналитикӣ мутобиқати хуб нишон доданд. Фарқи максималӣ дар қиматҳои хато байни ду равиш тақрибан %1,7 буд. Дар баъзе ҳолатҳо RK ба ҳалли аналитикӣ каме наздиктар буд, дар ҳоле ки DRK суръати максималиро андаке баландтар ҳисоб кард.

Lid-driven cavity

Барои Re=100 соҳаи 50×50 зарра ҳал карда шудааст. Дар равиши Eulerian натиҷаҳои зарраҳои собит бо маълумоти классикии истинодии Ghia ва ҳамкоронаш мутобиқати хеле хуб доштанд. Дар ҳалли Lagrangian аз сабаби номунтазамии зарраҳо дар қуллаҳои суръат хато бештар буд; зиёд кардани ҳалнокӣ то 10.000 зарра ин фарқро кам кард.

Оё Се Фаза Худбаҳуд Ҷудо Мешаванд?

Дар геометрияи ихтиёрии 2B бо 10.000 зарра, се order parameter, ки дар ибтидо тасодуфӣ тақсим шуда буданд, бо гузашти вақт ба минтақаҳои ҷудогонаи сурх, сабз ва кабуди фаза ҷудо шуданд. Дар ин раванд энергияи озоди умумӣ пайваста коҳиш ёфт.

Ҳамин рафтор дар геометрияҳои сфера ва торуси 3B бо 64.000 зарра низ ба даст омад. Ҳамин тавр, усул танҳо бо grid-и муназзами мураббаъ ё геометрияи оддии росткунҷа маҳдуд набуд.

Кашиши Сатҳӣ Геометрияи Интерфейсро Чӣ Гуна Тағйир Медиҳад?

Дар санҷиши назоратии дуфаза, фазаи дарунсохтаи ибтидоан мураббаъ аз сабаби қувваҳои кашиши сатҳӣ дар кунҷҳои дорои каҷии баланд бо гузашти вақт ба шакли доира табдил ёфт. Ин натиҷа бо тамоюли энергияи озод ба кам кардани масоҳати интерфейс мувофиқ аст.

Дар ҳолати сефаза таносуби кашиши сатҳӣ тағйир дода шуд:

Дар Линзаи Моеъ Ба Ҳалли Аналитикӣ То Чӣ Андоза Наздик Шуд?

Дар масъалаи линзаи моеъ, ки се фаза ба ҳам мерасанд, кунҷҳои назариявии тамос ва паҳнои линза бо қонуни Neumann ҳисоб карда шуданд.

Манбаъ хабар медиҳад, ки дар ҳамаи таносубҳои санҷидашудаи кашиши сатҳӣ хатои максималии нисбӣ аз %5 камтар боқӣ мондааст.

Ҳамгароӣ

Барои ин benchmark дақиқии тақрибан тартиби дуюм мушоҳида шуд. Пас аз 22.500 зарра дар энергияи озоди ҳолати устувор танҳо тағйироти хурд боқӣ монд.

Оё Таносуби Зичии 1000:1 Ба Таври Устувор Ҳал Шуд?

Санҷиши таносуби баланди зичӣ бо системаи об–равғани зайтун–ҳаво анҷом дода шуд.

Гарчанде таносуби об/ҳаво тақрибан 1000:1 буд, ҳалҳои PF-SPH дар асоси RK ва DRK устувор монданд. Натиҷаҳо бо ҳалли OpenFOAM multiphaseInterFoam FVM–VOF аз ҷиҳати рафтори умумии interfacial мувофиқат доранд.

Бо вуҷуди ин, ҳангоми зарбаи қатра ва бозгашт, геометрияи қатраи PF-SPH нисбат ба натиҷаи OpenFOAM каме ҳамвортар менамояд. Муаллиф яке аз сабабҳои эҳтимолиро нармшавии интерфейс ва талафоти ҳаҷм медонад, ки аз Phase-Field mobility ба вуҷуд меоянд.

Параметри Mobility Ба Нигоҳдории Ҳаҷм Чӣ Гуна Таъсир Мекунад?

Ин натиҷа нишон медиҳад, ки зиёд кардани қимати mobility ба таври автоматӣ ҳалли дақиқтар намедиҳад. Дар қиматҳои хеле хурд интерфейс зери адвекия паҳн мешавад, дар ҳоле ки дар қиматҳои хеле баланд, ҳатто агар шакл нигоҳ дошта шавад, талафоти ҳаҷм метавонад афзоиш ёбад.

Қатраи афтандаи сефаза

Вақте кашиши сатҳӣ сифр буд, қатраи дорои зичии миёна пас аз бархӯрд ба сатҳи моеъи поёнӣ ба таври васеъ паҳн шуд. Вақте таносуби кашиши сатҳӣ то 1,9:1:1 зиёд карда шуд, паҳншавии қатра ба таври назаррас маҳдуд шуда, қатра дар интерфейси байни ду фаза нигоҳ дошта шуд.

Ҳубобчаи болоравандаи сефаза

Ҳубобчаи фазаи дорои зичии пасттарин дар дохили моеъи поёнии зичтар боло рафт ва ҳангоми расидан ба интерфейси ду моеъи зич аз сабаби кашиши сатҳӣ дар он ҷо нигоҳ дошта шуд. Ҳамин рафтор дар ҳалли 2B Lagrangian бо 10.000 зарра ва 3B Eulerian бо 64.000 нуқта нишон дода шуд.

Омехтаи зарфи сефаза

Се фазаи омехтанашаванда бо зичиҳои 100, 50 ва 1 дар ибтидо паҳлуи ҳам ҷойгир карда шуданд. Дар зери таъсири ҷозиба система аз нав тартиб ёфт ва дар ҳолати устувор фазаи сурхи зичтарин дар поён, фазаи сабзи зичии миёна дар миёна ва фазаи кабуди сабуктарин дар минтақаи боло ҷойгир шуд.

Фарқи Равишҳои Eulerian ва Lagrangian Дар Чист?

Дар Lagrangian SPH зарраҳо ҳамроҳи ҷараёни физикӣ ҳаракат мекунанд. Ин равиш сатҳҳои озодро табиӣ муаррифӣ мекунад, аммо дар ҳар қадами вақт навсозии рӯйхати ҳамсояҳо ва иҷрои particle shifting-ро талаб мекунад.

Дар истифодаи Eulerian зарраҳо дар фазо ҳамчун approximation points-и собит нигоҳ дошта шуда, фазаҳо ва майдони суръат тавассути муодилаҳо advect карда шуданд. Ин равиш махсусан дар мисолҳои 3B хароҷоти ҳисоббарориро кам кард; зеро рӯйхати зарраҳои ҳамсоя ва алгоритми shifting пайваста аз нав сохта намешаванд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• Муодилаҳои CHNS бо SPH-RK/DRK пурра ба таври meshfree ҳал карда шуданд.
• GPE бе истифодаи density-based EOS ҳалли фишорро таъмин кард.
• RK ва DRK дар benchmark-ҳо бо ҳалҳои аналитикӣ/reference мувофиқати хуб нишон доданд.
• DRK дар баъзе санҷишҳо аз RK каме тезтар аст.
• RK дар баъзе benchmark-ҳо нисбат ба DRK натиҷаи каме дақиқтар додааст.
• Хатои аналитикии натиҷаҳои Liquid-lens аз %5 камтар боқӣ мондааст.
• Ҳамгароии RK ва DRK барои liquid-lens тақрибан тартиби дуюм аст.
• Ҷудошавии сефазаи 2B ва 3B дар геометрияҳои ихтиёрӣ ҳал карда шуд.
• Дар таносуби зичии тақрибан 1000:1 ҳалли устувор ба даст омад.
• Particle shifting барои устувории ҳалли Lagrangian RK/DRK муҳим дониста шуд.
• Равиши Phase-Field имкон дод, ки SPH ҳам ба таври Eulerian ва ҳам Lagrangian истифода шавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

• Нишон дода нашудааст, ки DRK дар ин татбиқ аз RK 10–25 маротиба тезтар аст.
• Нишон дода нашудааст, ки DRK дар ҳамаи benchmark-ҳо аз RK дақиқтар аст.
• Санҷиши зичии 1000:1 ба таври таҷрибавӣ тасдиқ нашудааст.
• Муқоисаи OpenFOAM нишон намедиҳад, ки ҳамаи геометрияҳои интерфейс аз ҷиҳати миқдорӣ яксонанд.
• Нишон дода нашудааст, ки равиши Phase-Field нигоҳдории пурраи маҳаллии ҳаҷмро таъмин мекунад.
• Нишон дода нашудааст, ки як қимати mobility барои ҳамаи масъалаҳои сефаза оптималӣ аст.
• Ғафсии diffuse-interface дар симулятсияро ҳамчун ғафсии физикии интерфейси воқеии моеъ шарҳ додан мумкин нест.
• Нишон дода нашудааст, ки усул дар ҳамаи ҷараёнҳои саноатии сефазаи турбулентӣ бо адади баланди Reynolds тасдиқ шудааст.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Кори аслӣ: Meshfree Phase-Field Modeling of Three-Phase Flow using Smoothed Particle Hydrodynamics with Differential Reproducing Kernels and Artificial Compressibility.

Муаллиф: Adam Y. Ghoneim.

Муассиса: Department of Mechanical Engineering, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, Canada.

Нашр: Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 469, Article 116654, 2025.

Санаи нашр: 1 December 2025.

DOI: 10.1016/j.cam.2025.116654.

Ҳолати баррасии ҳамтоён: Ин мақолаи маҷаллаи рецензияшаванда мебошад. Файли боршуда мазмуни версияи нашршудаи мақоларо дар бар мегирад ва дар бахши сипос аз арзёбиҳои рецензентҳои беном ташаккур гуфта шудааст.

Ёддошти библиографӣ: Дар эзоҳи саҳифаи аввали PDF номи маҷалла ҳамчун “Journal of Computational of Applied Mathematics” навишта шудааст. Номи дурусти маҷалла дар сабти расмии ношир “Journal of Computational and Applied Mathematics” мебошад.

Модели асосӣ: Модели сефазаи diffuse-interface-и Cahn–Hilliard–Navier–Stokes.

Усули ададӣ: Smoothed Particle Hydrodynamics; Reproducing Kernels ва Differential Reproducing Kernels.

Ҳалли фишор: artificial compressibility дар асоси General Pressure Equation.

Интегратсияи вақт: Runge–Kutta-и тартиби дуюм.

Устуворсозии асосӣ: GPE pressure diffusion, artificial viscosity ва particle shifting дар татбиқи Lagrangian.

Санҷишҳои асосӣ: Couette flow, Poiseuille flow, lid-driven cavity, surface-tension-driven interface relaxation, liquid lens analytical comparison, муқоисаи OpenFOAM FVM–VOF.

Намунаҳои ҳалнокии 2B: 2.500–40.000 зарра; дар бисёр санҷишҳои сефаза 10.000 зарра.

Ҳалнокии 3B: Дар мисолҳои сфера, торус, қатра ва ҳубобча 64.000 зарра/approximation point.

Санҷиши таносуби баланди зичӣ: об–равғани зайтун–ҳаво; таносуби максималии зичӣ тақрибан 1000:1.

Ҳамгароӣ: дар benchmark-и линзаи моеъ нишебии ҳамгароии RK ≈1,86 ва DRK ≈1,93.

Маҳдудияти асосӣ: Параметрҳои Phase-Field mobility ва interface-thickness ба масъала вобастаанд. mobility-и баланд метавонад ғафсии геометрии интерфейсро нигоҳ дорад, аммо талафоти ҳаҷмро зиёд кунад; mobility-и паст бошад метавонад ба диффузияи аз ҳад зиёди интерфейс оварда расонад.

Ҳудуди тасдиқ: Ин таҳқиқот мақолаи ададӣ/методологии CFD мебошад. Тасдиқи фарогир бо маълумоти воқеии таҷрибавии бисёрфаза анҷом дода нашудааст.

Ёддошт барои аз нав кашидани визуал: Ба ҷойи нусхабардории мустақими тасвирҳои рангаи симулятсияи сефаза аз манбаъ, барои Verianla бояд нақшаи илмии аслӣ истифода шавад, ки шабакаи зарраҳои meshfree, diffuse interface, се фаза, RK/DRK kernel, ҳалли фишори GPE, механизми қатраи афтанда ва ҳубобчаи болоравандаро муттаҳид мекунад.