Таҳқиқот як равиши амалии таълимиро тавсиф мекунад, ки ба истифодаи нармафзори MATLAB дар якҷоягӣ бо дарси назариявӣ дар таълими математикаи олӣ дар Guangzhou Medical University асос ёфтааст. Соатҳои таҷрибавии MATLAB ба низоми муқаррарии баҳогузории курс илова мешаванд; донишҷӯён графикҳои функсияҳоро мекашанд, экстремумҳоро ба таври ададӣ меёбанд, интегралҳоро бо усулҳои рамзӣ ва ададӣ ҳал мекунанд, сатҳҳои гардишии сеченакаро визуалӣ месозанд ва муодилаҳои дифференсиалиро ба таври рамзӣ ҳал мекунанд. Муаллифон хабар медиҳанд, ки ин равиш мафҳумҳои абстрактии математикаро намоёнтар месозад, хоҳиши донишҷӯёнро барои кор бо нармафзор зиёд мекунад, таваҷҷуҳро ба фаъолиятҳои моделсозии математикӣ боло мебарад ва ба ҷойи арзёбии танҳо ба имтиҳони ниҳоӣ асосёфта, ҳисоботҳои таҷрибавӣ ва супоришҳои онлайнро низ ба баҳогузорӣ ворид мекунад. Бо вуҷуди ин, азбаски таҳқиқот шумораи донишҷӯён, гурӯҳи назоратӣ, санҷиши миқдории дастовард ё таҳлили оморӣ пешниҳод намекунад, то чӣ андоза ин равиши таълимӣ муваффақияти омӯзишро зиёд мекунад, ба таври илмӣ ва миқдорӣ муайян нашудааст.

Арзиши асосии мақола аз нуқтаи назари омӯзиши MATLAB дар он аст, ки нишон медиҳад масъалаҳои гуногуни математикӣ чӣ гуна дар як муҳити ягонаи ҳисоббарорӣ ифода мешаванд. `fplot` рафтори функсияро визуалӣ мекунад, `fminbnd` дар як фосилаи маҳдуд минимумро ҷустуҷӯ мекунад; `int` барои интеграли рамзӣ, `integral` барои интеграли ададӣ, `diff` барои ҳосила ва санҷиш, `meshgrid` барои шабакаи сатҳи параметрӣ, `surf` ва `mesh` барои тасвири сеченака ва `dsolve` барои ҳалли рамзии муодилаҳои дифференсиалӣ истифода мешаванд.

Мушкилоти таълимие, ки таҳқиқот мехоҳад ҳал кунад

Манбаъ таъкид мекунад, ки яке аз ҳадафҳои муҳими курсҳои математикаи олӣ дар факултетҳои тиббӣ ва барномаҳои вобаста ба тандурустӣ рушди қобилияти тафаккури абстрактӣ ва ҳисобкунии ададии донишҷӯён, фароҳам кардани имкони таҳлили миқдорӣ бо абзорҳои математикӣ ва эҷоди заминаи математикӣ барои илмҳои асосии тиббӣ ва таҳқиқоти тиббии оянда мебошад.

Дар муқобил, дар таълими анъанавӣ чор мушкилот махсус таъкид мешаванд:

• бартарии шарҳи назариявӣ,
• усули якнавохти таълим,
• баҳогузории яксамта, махсусан такя ба имтиҳони ниҳоӣ,
• истифодаи нокифояи абзорҳои технологӣ.

Муаллифон бар онанд, ки донишҷӯён аксаран математикаро ҳамчун дарси «ҳалли масъала ва баровардани формула» мебинанд; иштироки паст дар давоми семестр ва рӯ овардан ба ҳалли зиёди масъалаҳо пеш аз имтиҳон низ низоми баҳогузориро маҳдуд мекунад.

«Таҷрибаи математикӣ» чӣ маъно дорад?

Манбаъ мафҳуми «таҷрибаи математикӣ»-ро ҳамчун омӯзиши амалӣ дар муҳити компютерӣ муайян мекунад. Назарияи математика чаҳорчӯбаи асосии мантиқиро фароҳам мекунад; масъала ё модели муайяни математикӣ объекти таҳқиқ мегардад; бо истифода аз интерфейси компютерӣ ё коди барнома рӯйи масъала амалҳо иҷро мешаванд.

Дар ин раванд манбаъ се равиши асосии техникиро махсус ҷудо мекунад:

• Ҳалли ададӣ: ба даст овардани ҳисобҳое, ки ба шакли пӯшида осон ҳал намешаванд, бо усулҳои ададӣ.
• Ҳалли рамзӣ: ҳал кардани аналитикии ифодаҳо, ба монанди интеграл ё муодилаи дифференсиалӣ.
• Визуализатсияи динамикӣ: нишон додани рафтори функсия, сатҳ ё модел дар график.

Дар ниҳоят аз донишҷӯ натиҷа дар шакли ҳисоботи стандартии таҷриба гирифта мешавад.

Визуалӣ кардани мафҳуми лимит бо MATLAB

Дар таҷрибаи аввалини таҳқиқот чор функсия дар доираи як мавзӯъ кашида шудаанд:

\[ y_1=\frac{\sin x}{x} ] [ y_2=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x ] [ y_3=e^{-0.2x}\cos(\pi x) ] [ y_4=\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]

Фармонҳои MATLAB, ки дар манбаъ истифода шудаанд:

fplot('sin(x)/x',[-100,100]);
fplot('(1+1/x)^x',[-100,100]);
fplot('exp(-0.2*x)*cos(pi*x)',[0,10*pi]);
fplot('sin(1/x)',[-8,8]);

fplot дар ин ҷо чӣ кор мекунад?

fplot, функсияи математикии додашударо дар фосилаи муайяни x арзёбӣ карда, графики онро месозад. Масалан:

fplot('sin(x)/x',[-100,100])

дар ин фармон ифодаи аввал функсияи кашидашавандаро ва ифодаи дуюм бошад:

\[ -100\le x\le100 \]

фосиларо муайян мекунад.

Ин равиши визуализатсия ба донишҷӯ имкон медиҳад, ки ба ҷойи танҳо фикр кардан дар бораи формула, ҳамзамон бубинад, ки функсия барои қиматҳои калон ва хурди x чӣ гуна рафтор мекунад.

Чаро \(\sin(x)/x\) як мисоли омӯзанда аст?

Манбаъ дар панели аввал рафтори наздики \(x\rightarrow0\)-ро визуалӣ мекунад. Худи функсия дар \(x=0\) мустақиман муайян нашудааст, аммо аз график дида мешавад, ки аз ҳар ду тараф ба як қимат наздик мешавад. Ҳамин тавр, ба таври визуалӣ шарҳ додан мумкин аст, ки «қимати функсия дар як нуқта» ва «лимит ҳангоми наздик шудан ба он нуқта» як мафҳум нестанд.

Ларзиши экспоненсиалӣ хомӯшшаванда

Функсияи сеюм:

\[ e^{-0.2x}\cos(\pi x) \]

ҳамзамон ду рафтори гуногунро нишон медиҳад. Ҳангоми он ки \(\cos(\pi x)\) ларзиш ба вуҷуд меорад, \(e^{-0.2x}\) амплитударо тадриҷан кам мекунад. Манбаъ ин графикро ҳамчун яке аз шарҳҳои визуалии лимити \(x\rightarrow+\infty\) истифода мебарад.

Чаро \(\sin(1/x)\) аз нигоҳи нопайвастагӣ ҷолиб аст?

Вақте \(x\) ба сифр наздик мешавад:

\[ \frac1x \]

хеле зуд калон мешавад ва функсияи синус торафт зудтар ларзиш мекунад. Аз ин рӯ, манбаъ \(x=0\)-ро ҳамчун мисоли «oscillatory discontinuity» нишон медиҳад.

Тафсири \((1+1/x)^x\), ки дар манбаъ бояд бо эҳтиёт хонда шавад

Мақола аз графики дуюм хулоса мекунад, ки дар \(x=0\) «infinite discontinuity» мушоҳида мешавад. Ин тафсир бояд дар таълим бо эҳтиёт истифода шавад. Домени функсия дар ададҳои воқеӣ дар ҳамсоягии чапи сифр ба таври пайваста мавҷуд нест ва рафтори \(x\to0^+\) низ намунаи классикии нопайвастагии беохир нест. Аз ин рӯ, ин ҷумлаи манбаъ аз ҷониби Verianla ҳамчун таснифи стандартии нопайвастагӣ қабул намешавад.

Гузариш аз графики функсия ба экстремум

Татбиқи дуюм:

\[ y=2x^3-9x^2+12x+1, \qquad 0\le x\le3 \]

экстремумҳои маҳаллии функсияро ҷустуҷӯ мекунад.

Аввал график кашида мешавад:

y='2*x^3-9*x^2+12*x+1';
fplot(y,[0,3])

Аз график ду минтақаи муҳим дида мешаванд: атрофи \(x=1\) ва \(x=2\).

Сипас манбаъ:

[x1,y1]=fminbnd(y,1.5,3)

фармонро истифода мебарад.

fminbnd чӣ кор мекунад?

fminbnd функсияи MATLAB мебошад, ки дар фосилаи муайян минимуми маҳаллии функсияро ҷустуҷӯ мекунад. Дар ин ҷо фосилаи ҷустуҷӯ:

\[ 1.5\le x\le3 \]

интихоб шавад:

\[ x_1=2,\qquad y_1=5 \]

ба даст меояд.

Манбаъ махсус таъкид мекунад, ки интихоби огоҳонаи фосила муҳим аст. Агар фосилаи хеле васеъ истифода шавад, ҷустуҷӯ метавонад ба ҷойи экстремуми маҳаллии дилхоҳ ба минтақаи дигар ё ба нуқтаи канорӣ равона шавад.

Бо функсияи минимум максимум чӣ гуна ёфта мешавад?

Манбаъ дар ин ҷо усули хеле омӯзанда истифода мебарад. Ба ҷойи ҷустуҷӯи мустақими максимуми функсияи аслӣ, аломати функсия баръакс карда мешавад:

\[ -y=-2x^3+9x^2-12x-1. \]

Коди MATLAB:

y='-2*x^3+9*x^2-12*x-1';
[x2,y2]=fminbnd(y,0.5,1.5)

Ин амал минимуми функсияи манфиро меёбад:

\[ x_2=1,\qquad y_2=-6. \]

Қимати \(-6\) дар функсияи манфӣ барои функсияи аслӣ ба:

[ y=6 ]

максимум мувофиқ меояд.

Дар натиҷа, нуқтаҳои воқеии экстремуми мисоли манбаъ чунинанд:

Оё MATLAB дар ин ҷо математикаро ба ҷойи донишҷӯ иҷро мекунад?

Равиши таълимии манбаъ инро ҳадаф намегирад. Аввал мушоҳидаи графики функсия, фаҳмидани минтақаи экстремум ва сипас дар фосилаи мувофиқ иҷро кардани fminbnd талаб карда мешавад. Яъне ҳадафи нармафзор нест кардани мафҳуми назариявӣ нест, балки пайваст кардани рафтори функсия бо натиҷаи ададӣ дар як экран барои донишҷӯ мебошад.

Фарқи интеграли рамзӣ ва интеграли ададӣ

Мавзӯи дуюми калони манбаъ ҳисобкунии интеграл аст. MATLAB дар ин ҷо ду равиши гуногун пешниҳод мекунад:

• int — интеграли рамзӣ/аналитикӣ,
• integral — интеграли муайяни ададӣ.

Интеграли аввал: \(\int x^2\sin x\,dx\)

Манбаъ тағйирёбандаи рамзӣ месозад:

syms x;
int(x^2*sin(x))

Дар ин ҷо:

syms x

ба MATLAB хабар медиҳад, ки тағйирёбандаи `x` на тағйирёбандаи одии ададӣ, балки объекти рамзии математикӣ аст.

Натиҷаи гирифтаи манбаъ:

\[ -x^2\cos x+2\cos x+2x\sin x. \]

Санҷидани натиҷаи интеграл бо ҳосила

Ҳамин натиҷа:

syms x;
diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))

ҳосила гирифта мешавад ва:

\[ x^2\sin x \]

ба даст меояд.

Ин таҷриба дар муҳити нармафзор намоён мекунад, ки ҳосила ва интеграли номуайян амалҳои баръакс мебошанд.

diff чаро танҳо фармони ҳисоб кардани ҳосила нест?

Дар ин мисол истифодаи асосии омӯзишии diff барои санҷиш аст. Донишҷӯ аввал натиҷаи интегралро мегирад; сипас ҳосила гирифта месанҷад, ки оё ба интегранди ибтидоӣ бармегардад ё не.

Интеграли муайяни ададӣ

Дар мисоли дуюм манбаъ:

\[ \int_1^3 (x^3-2x^2+x),dx \]

интегралро ҳисоб мекунад:

f = @(x) x.^3 - 2*x.^2 + x;
result = integral(f, 1, 3);

Натиҷа:

[ 6.6667 ]

гузориш шудааст.

@(x) чӣ маъно дорад?

Дар ин ҷо манбаъ ба ҷойи symbolic expression як anonymous function / функсияи беном-ро муайян мекунад:

@(x)

ифода нишон медиҳад, ки тағйирёбандаи вурудии ифодаи математикӣ дар тарафи рост `x` аст.

Чаро x.^3 навишта шудааст?

Оператори нуқтагии дараҷа:

.^

дараҷаро ба ҳар як унсури массиви MATLAB алоҳида татбиқ мекунад. Азбаски функсияҳои интеграли ададӣ метавонанд интеграндро дар чандин қимати x арзёбӣ кунанд, истифодаи амалиёти element-wise муҳим аст.

Ҳади интеграли беохир дар MATLAB чӣ гуна навишта мешавад?

Манбаъ:

\[ \int_0^\infty e^{-x^2}(\ln x)^2,dx \]

интегралро бо:

fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;
q = integral(fun,0,Inf);
disp(['数值积分结果: ', num2str(q)]);

ҳисоб мекунад.

Дар ин ҷо:

• Inf беохирии мусбатро,
• exp функсияи экспоненсиалиро,
• log логарифми табииро,
• .* зарби element-wise-ро,
• num2str табдил додани натиҷаи ададӣ ба матнро,
• disp нишон додани натиҷаро дар Command Window

таъмин мекунад.

Манбаъ натиҷаи ададиро:

[ 1.9475 ]

медиҳад.

Ҳалли рамзии ҳамон интеграл

syms x;
f=exp(-x.^2).*log(x).^2;
result2 = int(f, 0, Inf);
disp(['符号积分结果: ', char(result2)]);

Манбаъ натиҷаи рамзиро:

\[ \frac{\sqrt{\pi}}{8} \left[ (\gamma+\ln4)^2+\frac{\pi^2}{2} \right] \]

ба ҳамин шакл медиҳад.

Дар ин ҷо \(\gamma\) доимии Euler–Mascheroni мебошад ва манбаъ қимати тақрибии онро чунин нишон медиҳад:

[ 0.5772156649015329 ]

.

char(result2) чаро истифода мешавад?

result2 объекти рамзии MATLAB аст. Манбаъ барои табдил додани он ба матни хондашаванда дар дохили `disp` аз char истифода мебарад. Ҳамин тавр, ҳалли аналитикӣ метавонад дар Command Window ҳамчун ифодаи математикӣ намоиш дода шавад.

Чаро формулаи Newton–Leibniz ҳамеша кофӣ нест?

Манбаъ таъкид мекунад, ки дар равиши асосии математикӣ барои интеграли муайян метавон аз антиҳосила истифода бурд; аммо дар баъзе масъалаҳо антиҳосила бо функсияҳои элементарӣ ифода намешавад ё додаҳо танҳо дар шакли ҷадвал/график мавҷуданд. Дар чунин ҳолатҳо аҳамияти таълимии усулҳои интеграли ададӣ равшан мегардад.

Сохтани сатҳи гардишии 3B бо MATLAB

Яке аз татбиқҳои интеграл ҳаҷми ҷисми гардишӣ аст. Манбаъ қайд мекунад, ки барои донишҷӯён тасаввур кардани он ки каҷи дученака ҳангоми гардиш дар атрофи меҳвар чӣ гуна ҷисм ба вуҷуд меорад, душвор буда метавонад.

Аз ин рӯ:

\[ z=x^3-x+1,\qquad 0\le x\le0.9 \]

каҷ дар атрофи меҳвари z гардонда мешавад.

[theta, r] = meshgrid( ...
    linspace(0,2*pi,100), ...
    linspace(0,0.9,50));

X = r.*cos(theta);
Y = r.*sin(theta);
Z = r.^3-r+1;

surf(X, Y, Z);

linspace дар ин ҷо чӣ кор мекунад?

Истифодаи аввал:

linspace(0,2*pi,100)

як гардиши пурраро аз 0 то \(2\pi\) ба 100 нуқтаи кунҷӣ тақсим мекунад.

Истифодаи дуюм:

linspace(0,0.9,50)

параметри радиус/каҷи ибтидоиро аз 0 то 0,9 ба 50 нуқта тақсим мекунад.

meshgrid чаро лозим аст?

Сатҳи параметрии сеченака аз танҳо як массиви x иборат нест. Ҳар қимати радиус бояд бо қиматҳои зиёди кунҷ якҷоя карда шавад. meshgrid ин ду массиви якченакаиро ба шабакаи дученакаи параметрӣ табдил медиҳад.

Сипас:

\[ X=r\cos\theta ] [ Y=r\sin\theta \]

табдил аз координатаҳои силиндрӣ ба координатаҳои декартиро анҷом медиҳад.

Чаро r.*cos(theta) навишта мешавад?

r ва theta акнун матритса мебошанд. Радиус дар ҳар нуқтаи шабака бояд ба қимати косинуси ҳамон нуқта зарб карда шавад. Аз ин рӯ, ба ҷойи зарби матритсавии `*`, зарби element-wise:

.*

истифода мешавад.

surf ва бартарии таълимии он

Дар тасвири саҳифаи чоруми манбаъ аввал шакли дученакаи каҷи ибтидоӣ ва сипас сатҳи сеченакае нишон дода мешавад, ки аз гардиши ҳамон каҷ дар атрофи меҳвар ба вуҷуд меояд. Ин тасвир ҳадаф дорад маънои геометрии унсури ҳаҷмро ҳангоми интегралгирӣ назар ба танҳо формула хеле намоёнтар созад.

Мисоли эллипсоид

Манбаъ барои кашидани эллипсоиди умумитар:

\[ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}=1 \]

ифодаро истифода мебарад.

a = 1.0;
b = 3.0;
c = 2.0;

[u, v] = meshgrid( ...
    linspace(0, 2*pi, 100), ...
    linspace(0, pi, 50));

x = a * sin(v) .* cos(u);
y = b * sin(v) .* sin(u);
z = c * cos(v);

mesh(x,y,z);

Ин код параметрҳои кунҷии сфериро ба координатаҳои декартӣ табдил дода, эллипсоиди се-меҳварӣ месозад.

Ҷузъиёте дар бораи эллипсоид, ки дар манбаъ бояд ба он диққат дод

Матн эллипсоиди гардиширо, ки аз гардиши эллипс дар атрофи меҳвари z ба вуҷуд меояд, баррасӣ карда, барои он шарти \(a=b\)-ро шарҳ медиҳад. Аммо коди намунавӣ:

\[ a=1,\qquad b=3,\qquad c=2 \]

истифода мекунад, бинобар ин сатҳи кашидашуда симметрияи гардишӣ надорад. Яъне код аз ҷиҳати математикӣ эллипсоиди дуруст месозад, аммо бо геометрияи махсуси тавсифшудаи «эллипсоиди гардишӣ дар атрофи меҳвари z» айнан яксон нест.

surf ва mesh дар истифодаи таълимӣ чӣ фарқ доранд?

Манбаъ дар ҷисми гардишии аввал аз surf, ва дар мисоли эллипсоид аз mesh истифода мебарад. Ҳар ду фармон геометрияи сатҳи сеченакаро нишон медиҳанд; дар тасвирҳои манбаъ surf сатҳро пурратар, mesh бошад сохтори шабакаро равшантар нишон медиҳад.

Байни таълими тиббӣ ва сатҳҳои 3B чӣ гуна робита гузошта мешавад?

Муаллифон таълими сатҳҳои 3B-ро танҳо ҳамчун бозичаи математикӣ намебинанд. Дар мақола гуфта мешавад, ки дар соҳаи биотиббӣ сатҳҳои мувофиқ ба анатомияи инсон ва геометрияҳои махсус, ба монанди гиперболоид ва параболоид, метавонанд дар тарҳи биомувофиқӣ баррасӣ шаванд; инчунин чопи 3B ва сатҳҳои муҳандисӣ низ метавонанд мисолҳои татбиқӣ бошанд, ки таваҷҷуҳи донишҷӯёнро зиёд мекунанд.

Таҳқиқот оид ба ин татбиқҳо озмоиш анҷом намедиҳад; онҳоро ҳамчун соҳаҳои намунавие пешниҳод мекунад, ки метавонанд дар дарси математика ангеза бахшанд.

Чаро муодилаҳои дифференсиалӣ барои донишҷӯёни тиб муҳим ҳисобида мешаванд?

Манбаъ таъкид мекунад, ки муодилаҳои дифференсиалӣ дар масъалаҳои тиббӣ ва биотиббӣ доираи васеи истифода доранд. Ба сифати мисол:

• модели экспоненсиалии эпидемия,
• модели SI,
• модели SIS,
• модели SIR,
• модели афзоиши Gompertz

зикр мешаванд.

Махсусан гуфта мешавад, ки модели Gompertz метавонад дар равандҳое ба монанди афзоиши биологӣ ва рушди варам истифода шавад; агар тағйирёбии тасодуфии оксиген, ҳарорат, ғизо, фаъолияти ферментҳо ва муҳити табобат модел карда шавад, система метавонад ба муодилаҳои дифференсиалии мураккабтар табдил ёбад.

Ин татбиқҳо дар мақола ба таври ададӣ модел нашудаанд; онҳо барои шарҳи заминаи тиббии омӯзиши муодилаҳои дифференсиалӣ оварда шудаанд.

dsolve чӣ кор мекунад?

Дар MATLAB dsolve барои ҳалли рамзии муодилаҳои дифференсиалии одӣ истифода мешавад.

Мисоли аввалини манбаъ:

\[ y'=-2y+2x^2+2x, \qquad y(0)=1. \]

Код:

syms y(x)
y=dsolve( ...
    diff(y)==-2*y+2*x^2+2*x, ...
    y(0)==1)

Натиҷаи дар манбаъ додашуда:

\[ y=e^{-2x}+x^2. \]

syms y(x) ва syms x фарқашон чист?

syms x тағйирёбандаи рамзӣ месозад, дар ҳоле ки:

syms y(x)

`y`-ро ҳамчун функсияи рамзии `x` муайян мекунад. Ҳамин тавр:

diff(y)

ҳамчун \(dy/dx\) тафсир мешавад.

Муодилаи дифференсиалии тартиби дуюм

Манбаъ:

\[ y''-2y'+y=e^x \]

муодиларо бо:

\[ y(0)=1, \qquad y'(0)=-1 \]

шартҳои ибтидоӣ ҳал мекунад.

syms y(x)
dy=diff(y)

y=dsolve( ...
    diff(y,2)-2*diff(y)+y==exp(x), ...
    y(0)==1, ...
    dy(0)==-1)

Натиҷа:

\[ y= e^x+ \frac{x^2e^x}{2} ---------------- 2xe^x. \]

diff(y,2) чӣ маъно дорад?

Аргументи дуюми `2` нишон медиҳад, ки ҳосила аз тартиби дуюм гирифта мешавад:

\[ \texttt{diff(y,2)} \equiv \frac{d^2y}{dx^2}. \]

Ҳамин мантиқ барои ҳосилаҳои тартиби сеюм ва чорум низ истифода мешавад.

Мисоли тартиби чорум

Муодилаи дифференсиалии дар манбаъ додашуда:

\[ y^{(4)} +10y^{(3)} +35y'' +50y' +24y ==== u'', \]

ва:

\[ u(t)=e^{-t}\cos t \]

аст.

Коди манбаъ:

syms y(t)

dy=diff(y);
d2y=diff(y,2);
d3y=diff(y,3);

u=exp(-t)*cos(t);

y=dsolve( ...
 diff(y,4)+10*diff(y,3)+35*diff(y,2) ...
 +50*diff(y)+24*y==diff(u,2), ...
 y(0)==0, ...
 dy(0)==-1, ...
 d2y(0)==1, ...
 d3y(0)==1)

Хатои муҳими манбаъ дар ин мисол

Дар тавсифи масъала шарти ибтидоии аввал:

[ y(0)=1 ]

навишта шудааст. Аммо коди MATLAB:

y(0)==0

-ро истифода мебарад.

Ҳалли дар манбаъ додашуда:

\[ y= -\frac{e^{-4t}}{30} \left( 70e^{3t} -135e^{2t} +84e^t +6e^{3t}\sin t -19 \right) \]

мебошад ва ин ҳал дар ҳақиқат:

[ y(0)=0 ]

шартро иҷро мекунад. Аз ин рӯ, ҳал ба қимати \(y(0)=1\) дар матни масъала не, балки ба \(y(0)=0\)-и коди MATLAB тааллуқ дорад.

Ин мисол дар омӯзиши MATLAB як дарси бисёр арзишманд медиҳад: он ки код иҷро шуд ва натиҷа дод, маънои дуруст интиқол ёфтани таърифи масъала нест. Шартҳои ибтидоӣ, муодила ва натиҷа бояд ҳатман якҷоя санҷида шаванд.

Чаро санҷиши код дар таълими математика зарур аст?

Ин номувофиқиҳои дар манбаъ дидашуда як принсипи муҳимро дар таълими математикаи бо нармафзор дастгиришаванда нишон медиҳанд. MATLAB таърифи математикӣеро, ки донишҷӯ ворид кардааст, бо садоқат ҳисоб мекунад; аммо агар шарти ибтидоӣ нодуруст ворид шуда бошад, барнома намедонад «мақсади китоби дарсӣ» чӣ буд.

Аз ин рӯ, занҷири дурусти кор бояд чунин бошад:

1. Масъаларо ба таври математикӣ навис.
2. Тағйирёбандаҳо ва шартҳои ибтидоиро санҷ.
3. Коди MATLAB-ро бо масъалаи математикӣ муқоиса кун.
4. Натиҷаро иҷро кун.
5. Санҷиши графикӣ ё рамзӣ анҷом деҳ.
6. Санҷ, ки оё натиҷа воқеан шартҳои ибтидоиро иҷро мекунад.

.

Ворид кардани дарсҳои таҷрибавӣ ба баҳогузорӣ

Манбаъ пешниҳод намекунад, ки таҷрибаҳои MATLAB танҳо дар синф нишон дода шуда, сипас гузаронида шаванд. Аз донишҷӯён талаб мешавад, ки дар анҷоми таҷриба ҳисобот супоранд ва масъалаҳои ҳисобӣ ё графикии монанд ба мисолҳои нишон додашударо ҳал кунанд.

Дар баҳогузорӣ манбаъ унсурҳои зеринро муайян мекунад:

• ҳисоботи таҷрибавии MATLAB,
• ҳисоб кардани масъалаҳои хоси математикӣ,
• сохтани график,
• сатҳи анҷом додани супоришҳо,
• тафаккури навоварона / равиши дигар,
• супоришҳои онлайн.

Илова кардани инҳо ба баҳогузории семестрӣ ҳадаф дорад вобастагиро аз танҳо имтиҳони ниҳоии китобпӯшида коҳиш диҳад.

Рафторҳои донишҷӯён, ки муаллифон мушоҳида кардаанд

Манбаъ мегӯяд, ки донишҷӯён дар дарсҳои амалии MATLAB умуман ба нармафзор хуб мутобиқ шудаанд. Тибқи мушоҳидаҳои сифатии муаллифон, қисми назарраси донишҷӯён ба лабораторияи компютерӣ барвақт омадаанд, баъзеҳо компютери шахсии худро оварда, MATLAB-ро пешакӣ насб кардаанд ва берун аз вақти дарс низ машқ кардаанд.

Муаллифон инчунин изҳор мекунанд, ки таҷрибаҳои нармафзор хоҳиши иштирок дар озмунҳои моделсозии математикӣ ва мутобиқшавии донишҷӯён ба муҳитҳои нави барномасозиро зиёд кардааст.

Ин мушоҳидаҳо додаҳои миқдории самаранокии таълимӣ нестанд. Азбаски манбаъ шумораи донишҷӯён, сатҳи иштирок, фарқи баҳои пеш ва баъд ё санҷиши оморӣ намедиҳад, андозаи ин рафторҳо ё он ки мустақиман аз истифодаи MATLAB ба вуҷуд омадаанд, чен карда намешавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

• MATLAB метавонад барои нишон додани мавзӯъҳои математикаи олӣ, ба монанди лимит, экстремум, интеграл, сатҳи сеченака ва муодилаи дифференсиалӣ, дар як муҳити ягонаи таълимӣ истифода шавад.
• Манбаъ барои мисолҳои воқеии дарсӣ фармонҳо ва кодҳои коркунандаи MATLAB пешниҳод мекунад.
• Истифодаи график имкон медиҳад сохторҳои абстрактии математикӣ ба таври визуалӣ нишон дода шаванд.
• Ҳисобҳои рамзӣ ва ададӣ имкон медиҳанд шаклҳои гуногуни ҳалли як масъалаи математикӣ муқоиса шаванд.
• int ва diff якҷоя истифода шуда, натиҷаи интеграли рамзиро санҷидан мумкин аст.
• meshgrid, surf ва mesh барои сохтани намояндагии сеченакаи сатҳҳои гардишӣ/геометрӣ истифода мешаванд.
• dsolve барои мисолҳои муодилаҳои дифференсиалии яктағйирёбандаи дар манбаъ овардашуда ҳалли аналитикӣ тавлид мекунад.
• Манбаъ сохтори гуногунтари баҳогузориро пешниҳод мекунад, ки дар он ҳисоботҳои таҷрибавӣ ва супоришҳои онлайн ба баҳогузории семестрӣ дохил карда мешаванд.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад ё насанҷидааст

• Нишон дода нашудааст, ки истифодаи MATLAB баҳои донишҷӯёнро бо фоизи муайян зиёд мекунад.
• Муқоисаи ду гурӯҳи донишҷӯён — истифодабарандагони MATLAB ва ғайриистифодабарандагон — анҷом дода нашудааст.
• Барои дастовардҳои омӯзишӣ pre-test/post-test гузаронида нашудааст.
• Таҳлили аҳамияти оморӣ анҷом дода нашудааст.
• Барои қаноатмандии донишҷӯён додаҳои миқдории пурсиш пешниҳод нашудаанд.
• Исбот нашудааст, ки тағйирот дар муваффақияти озмунҳои моделсозии математикӣ мустақиман аз дарсҳои MATLAB ба вуҷуд омадааст.
• Санҷида нашудааст, ки натиҷаҳои таълимии таҳқиқот ба ҳамин шакл ба донишгоҳҳо ё кишварҳои дигар умумӣ гардонида мешаванд.
• Ҳамаи мисолҳои математика/код дар манбаъ бехато нестанд; баъзе номувофиқии матн–код ва геометрӣ вуҷуд доранд.

Аз нуқтаи назари таҳсил дар Туркия ин корро чӣ гуна бояд хонд?

Таҳқиқот дар заминаи Guangzhou Medical University дар Чин анҷом шудааст. Фоизи муваффақиятро мустақиман ба барномаҳои тиббӣ, илмҳои тандурустӣ, муҳандисии биотиббӣ ё илмҳои асосӣ дар Туркия интиқол додан мумкин нест. Бо вуҷуди ин, модели таълимиро метавон маҳаллӣ мутобиқ кард: дарси назариявии математикаи олӣ, лабораторияи MATLAB, ҳисоботи таҷриба, кори онлайн ва моделсозии амалии математикӣ метавонанд якҷоя тарҳрезӣ шаванд.

Дар татбиқ дар Туркия бояд шароити маҳаллӣ, аз ҷумла вақти дарсӣ, дастрасии донишҷӯён ба компютер, лицензияи MATLAB, иқтидори лаборатория, барномаи амалкунандаи математикаи олӣ ва таҷрибаи барномасозии донишҷӯён, алоҳида арзёбӣ шавад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Тарҳи таҳқиқот

Ин кор таҳқиқоти назоратшавандаи таҷрибавии таълимӣ нест. Он асосан як гузориши тарҳи таълимӣ ва таҷрибаи татбиқ мебошад. Муҳаққиқон ба курсҳои математикаи олӣ машғулиятҳои лаборатории MATLAB илова карда, мисолҳои дарсӣеро нишон додаанд, ки метавон истифода бурд, ва мушоҳидаҳои сифатиро оид ба рафтори донишҷӯён гузориш додаанд.

Модулҳои таҷрибавии MATLAB

Шакли 1 — визуализатсияи чор функсия дар MATLAB

Дар тасвири манбаъ чор панели ҷудогона мавҷуд аст. \(\sin(x)/x\) рафтори лимитро дар наздикии сифр, \((1+1/x)^x\) тағйиротро дар фосилаи васеи x, \(e^{-0.2x}\cos(\pi x)\) ларзиши хомӯшшаванда ва \(\sin(1/x)\) ларзишҳои торафт зичтар дар атрофи сифрро нишон медиҳанд.

Паёми таълимии шакл ин аст, ки мафҳумҳое чун лимит ва нопайвастагӣ на танҳо тавассути рамзҳои алгебравӣ, балки бо нишон додани геометрияи умумӣ ва маҳаллии функсия якҷоя шарҳ дода шаванд.

Шакли 2 — аввал ёфтани экстремум ба таври визуалӣ

Дар графики функсияи кубӣ каҷ дар атрофи \(x=1\) қулла ва дар атрофи \(x=2\) чуқурӣ ба вуҷуд меорад. Равиши манбаъ аз донишҷӯ мехоҳад аввал ин ду минтақаро аз график шиносад ва баъд бо fminbnd натиҷаи ададиро пайдо кунад.

Ин усул ба модели таълимии «аввал рафтори функсияро бубин, баъд бо алгоритм дақиқ кун» мувофиқ аст, на «аввал алгоритм, баъд маъно».

Шакли 3 — аз каҷ ба сатҳи гардишӣ

Дар саҳифаи чоруми манбаъ Шакли 3(a) профили ибтидоӣ ва Шакли 3(b) сатҳи сеченакаеро нишон медиҳад, ки аз гардиши пурраи ҳамон профил дар атрофи меҳвари z ба вуҷуд омадааст. Тасвир ба мафҳуми ҷисми гардишӣ дар интегралгирӣ мувофиқати мустақими геометрӣ медиҳад.

Шакли 4 — эллипсоид

Манбаъ бо истифода аз параметрҳои кунҷии сферӣ дар MATLAB эллипсоиди рангаи симмонанд месозад. Тасвир нишон медиҳад, ки муодилаи сеченакаи ба таври пинҳонӣ додашуда бо табдили координатаҳои параметрӣ ба ҳолати қобили кашидан оварда мешавад.

Аммо, тавре ки боло гуфта шуд, параметрҳои истифодашудаи \(a=1\), \(b=3\), \(c=2\) симметрияи гардишӣ надоранд ва эллипсоиди се-меҳварӣ ба вуҷуд меоранд.

Натиҷаи асосии мисолҳои интеграл

Натиҷаи асосии мисолҳои муодилаҳои дифференсиалӣ

Усули баҳогузории таълим

Пас аз таҷрибаҳо донишҷӯён ҳисоботи таҷрибавӣ месупоранд ва масъалаҳои шабеҳи MATLAB-ро ҳал мекунанд. Манбаъ қайд мекунад, ки унсурҳои зерин метавонанд ба баҳои семестрӣ дохил шаванд:

• анҷом додани масъала,
• истеҳсол кардани ҳисоб ё графики MATLAB,
• қобилияти татбиқ,
• сатҳи тафаккури навоварона

.

Илова бар ин, супоришҳои онлайн низ ба баҳогузорӣ дохил карда шуда, иштирок дар озмунҳои моделсозии математикӣ ташвиқ мешавад.

Таъсирҳои омӯзишие, ки манбаъ гузориш медиҳад

Муаллифон изҳор мекунанд, ки лабораторияҳои MATLAB ба тезтар фаҳмидани мафҳумҳое чун лимит, ҳосила ва интеграл кумак мекунанд, бори дарси назариявиро кам мекунанд ва таваҷҷуҳи донишҷӯёнро ба курс зиёд менамоянд.

Рафторҳое ба монанди барвақт омадани донишҷӯён ба лабораторияи компютерӣ, овардани компютери шахсӣ, насб кардани MATLAB ва машқ кардан берун аз вақти дарс аз ҷониби муаллифон ҳамчун нишондиҳандаҳои қабули мусбати нармафзор тафсир шудаанд.

Аммо азбаски таҳқиқот ин мушоҳидаҳоро бо шумораи донишҷӯён ё миқёси ченкунӣ гузориш намедиҳад, андозаи ин таъсир ба таври миқдорӣ маълум нест.

Ҷанбаи қавитарини таҳқиқот

Ҷанбаи қавитарини мақола он аст, ки ба ҷойи танҳо пешниҳоди андешаи консептуалии «MATLAB барои таълим муфид аст», мисолҳои кӯтоҳи кодеро медиҳад, ки донишҷӯ воқеан метавонад иҷро кунад. Аз лимит то интеграл, аз интеграл то геометрияи 3B ва муодилаҳои дифференсиалӣ мавзӯъҳои гуногуни математикӣ дар як абзор нишон дода мешаванд.

Муҳимтарин маҳдудияти илмии таҳқиқот

Гарчанде мақола ҷумлаҳои натиҷавиро мисли таҳқиқоти самаранокии таълимӣ истифода мекунад, барои чен кардани самаранокӣ тарҳи миқдории таҳқиқотӣ вуҷуд надорад. Азбаски гурӯҳи назоратӣ, андозаи намуна, баҳои дастовард, холҳои пурсиш ё санҷиши оморӣ вуҷуд надорад, таъсири сабабии MATLAB ба муваффақияти донишҷӯён бо ин таҳқиқот исбот намешавад.

Аз ин рӯ, дурусттарин хулоса чунин аст: таҳқиқот мисолҳои муфассал ва амалиро барои чӣ гуна ҳамгиро кардани MATLAB ба таълими математикаи олии тиббӣ пешниҳод мекунад; аммо миқдоран чен намекунад, ки ин ҳамгироӣ то чӣ андоза ба муваффақияти омӯзишӣ саҳм мегузорад.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони пурраи аслии чинӣ: MATLAB 软件在医学高等数学数字化改革的实践探索

Унвони англисии дар манбаъ додашуда: Practical Exploration of MATLAB Software in the Digital Transformation of Medical Advanced Mathematics

Муаллифон: Wang Jing (王静); Gu Jinyu (顾锦裕); Chen Weixian (陈唯贤); Ding Youde (丁有得).

Муаллифи масъул: Ding Youde (丁有得).

Муассиса: Guangzhou Medical University, Guangzhou 511436, Guangdong, China.

Маҷалла: 中国现代教育学报 / Journal of Modern Educational Studies in China.

Ҷилд / шумора: 2(3).

Саҳифаҳо: 31–36.

DOI: 10.70693/jyxb.v2i3.556.

Соли нашр: 2026.

Санаи PDF-и манбаъ: May–Jun. 2026.

Фарқи санаҳои библиографӣ:Саҳифаи шумораи маҷалла 26 майи 2026-ро нишон медиҳад, дар ҳоле ки саҳифаи сабти нави мақола санаи нашри 30 июни 2026-ро нишон медиҳад. Ҳар ду сабт ба ҳамон DOI, ҳамон муаллифон ва фосилаи саҳифаҳои 31–36 тааллуқ доранд.

Навъи манбаъ: Мақола оид ба таълими математика, омӯзиши рақамӣ ва татбиқи дарс бо дастгирии MATLAB.

Вазъи арзёбии ҳамтоён: Мақола дар маҷалла нашр шудааст. Азбаски хусусияти раванди рецензия барои ҳамин кори мушаххас аз сабтҳои оммавӣ мустақилона тасдиқ нашуд, ибораи «мақолаи рецензияшуда» бо тахмин илова нашудааст.

Литсензия: Дар саҳифаи расмии сабти мақола ҳамчун CC BY 4.0 нишон дода шудааст.

Маблағгузорӣ: Guangzhou Medical University Undergraduate Teaching Quality and Teaching Reform Engineering Construction Project (2025JXGG017); 2025–2026 university-level College Student Innovation Training Program (20261131); Ministry of Education Industry–University Cooperation Collaborative Education Project (240805211262351).

Дастрасии додаҳо: Маҷмӯи додаҳои ҷудогона пешниҳод нашудааст.

Дастрасии код: Намунаҳои коди MATLAB дар дохили мақола намоён дода шудаанд; анбори алоҳидаи кушодаи код нишон дода нашудааст.

Ихтилофи манфиатҳо: Дар манбаъ изҳороти ҷудогона вуҷуд надорад.

CRediT: Ҷадвали ҷудогонаи саҳми муаллифон аз рӯйи CRediT вуҷуд надорад.

Маҳдудияти тарҳи таҳқиқот: Таҳқиқот шумораи донишҷӯён, гурӯҳи назоратӣ, pre-test/post-test, тақсимоти холҳо ё таҳлили аҳамияти омориро пешниҳод намекунад. Натиҷаҳо оид ба таваҷҷуҳи донишҷӯён ва фаъолиятҳои моделсозии математикӣ ба мушоҳидаҳои сифатии татбиқии муаллифон асос ёфтаанд.

Ёддоштҳои мутобиқати математикӣ дар дохили манбаъ: Таснифи нопайвастагии функсияи \((1+1/x)^x\) дар \(x=0\) баҳсбарангез аст; матни эллипсоид ва параметрҳои коди `a=1, b=3` аз нуқтаи назари симметрияи гардишӣ мувофиқ нестанд; дар муодилаи дифференсиалии тартиби чорум матни масъала \(y(0)=1\) медиҳад, аммо код ва ҳал \(y(0)=0\)-ро истифода мекунанд; дар мисоли экстремум номи тағйирёбандаи дуюми баромад дар матн саҳван боз ҳамчун `[x1,y1]` навишта шудааст. Ин мушкилот аз ҷониби Verianla хомӯшона ислоҳ нашудаанд.

Баррасии визуалӣ: Чор графики лимит/нопайвастагӣ, графики экстремуми кубӣ, сатҳи гардишӣ ва тасвирҳои эллипсоиди манбаъ баррасӣ шуданд. Гарчанде литсензияи кушодаи манбаъ истифодаи дубораи визуалҳоро иҷозат медиҳад, дар ин мақолаи Verianla асосан сохторҳои аслии омӯзишии HTML/SVG истифода шудаанд, ки аз код ва математикаи манбаъ бароварда шудаанд.

Манбаи муҳтавои илмӣ: Кодҳои MATLAB, мисолҳои математикӣ, усули таълим, модели баҳогузорӣ, мушоҳидаҳои муаллифон ва доираи натиҷаҳо дар мақола ба кори боршуда асос ёфтаанд. Санҷиши библиографии беруна танҳо барои тасдиқи ҳувияти нашр, сабти маҷалла, санаҳои нашр ва литсензия истифода шудааст.