Моделҳои Ҷаҳиш-Диффузияи Semi-Markov ва Hawkes дар Савдои Алгоритмӣ ва Басомади Баланд: Стратегияҳои Оптималии Харид ва...

Q: Чаро Компоненти Ҷаҳиш Ба Тақриби Диффузия Табдил Дода Мешавад?

Ҳадафи асосии тақриби диффузия дар таҳқиқот он аст, ки шумораи зиёди ҷаҳишҳои дискретии LOB дар сатҳи миллисония бо коэффисиентҳои самараноки drift ва волатилӣ дар миқёсҳои тӯлонитари дақиқа ё соат ифода карда шуда, масъалаҳои идоракунии оптималии стохастикӣ бо PDE-и стандартӣ ва усулҳои фарқиятҳои ниҳоӣ ҳалшаванда гарданд. Дар модели Semi-Markov миқёсгузории навъи law of large numbers ва дар модели Hawkes functional central limit theorem истифода мешавад; муаллифон таъкид мекунанд, ки бе ин тақриб усули коҳиши андоза ва ҳалли ададие, ки истифода кардаанд, ба ҳамин шакл татбиқ намешавад.

Моделҳои Ҷаҳиш-Диффузияи Semi-Markov ва Hawkes дар Савдои Алгоритмӣ ва Басомади Баланд: Стратегияҳои Оптималии Харид ва Ликвидатсия

Ин таҳқиқот моделҳои нархии ҷаҳиш-диффузияро, ки бар Semi-Markov ва Hawkes асос ёфтаанд ва рафтори ҷаҳишӣ ва non-Markov-ро дар додаҳои дафтари фармоишҳои лимитӣ (Limit Order Book, LOB) ба масъалаҳои савдои алгоритмӣ ва басомади баланд ворид мекунанд, баррасӣ менамояд. Модели пешниҳодшудаи ҷаҳиш-диффузия як модели стохастикии нархи миёна аст, ки ҳаракати мустақили Brown-ро бо динамикаи ҷаҳишҳое, ки аз равандҳои Semi-Markov ё Hawkes ҳосил мешаванд, муттаҳид мекунад. Муаллифон компонентҳои ҷаҳиширо дар зери ҳудудҳои миқёсгузорӣ ба тақриби диффузия табдил медиҳанд, сипас барои харидорӣ ва ликвидатсияи мавқеъҳои калон масъалаҳои идоракунии оптималии стохастикӣ месозанд ва муодилаҳои дифференсиалии қисмии марбутро бо усули фарқиятҳои ниҳоии IMEX ҳал мекунанд. Параметрҳои аз додаҳои Microsoft LOB калибршуда ва 10.000 симулятсияи стратегия нишон медиҳанд, ки ҳангоми афзоиши таъсири компонентҳои ҷаҳиш алгоритми оптималӣ ҳам дар тарафи харид ва ҳам дар тарафи фурӯш ба суръати баландтар ва барвақттари савдо мегузарад. Натиҷаҳо бо шартҳои модел ва симулятсия маҳдуданд; онҳо далели даромаднокии воқеан бадастомада ё иҷрои бартар дар бозори зинда нестанд.

Навоварии асосии таҳқиқот дар он аст, ки моделҳои нархие, ки танҳо диффузияи Brown-ро истифода мебаранд, бо моделҳои қаблие, ки танҳо компоненти ҷаҳишро тавассути тақриби диффузия ифода мекунанд, дар як раванди умумитарини нарх муттаҳид карда мешаванд. Сохтори Semi-Markov ба динамикаи non-Markov иҷозат медиҳад, ки дар он вақтҳои интизории байни фармоишҳо ҳатман тақсимоти экспоненсиалӣ надоранд; сохтори Hawkes бошад гурӯҳбандии рӯйдодҳо ва рафтори худангезишро модел мекунад. Дар қабати идоракунии оптималии модел тағйирёбандаи асосии идоракунӣ суръати савдо \(\nu_t\) мебошад; нарх, инвентар, нақд ва нархи иҷрои савдо таҳти таъсири ин идоракунӣ якҷоя тағйир меёбанд.

Чаро танҳо ҳаракати Brown кофӣ ҳисобида намешавад?

Нуқтаи оғози таҳқиқот ин аст, ки нархҳои миёнаи LOB-и басомади баланд, ҳарчанд аксар вақт ҳаракати монанд ба диффузияи пайвастаро нишон медиҳанд, дар баъзе лаҳзаҳо ҷаҳишҳои шадиди нархро низ дар бар мегиранд. Расми 1-и манбаъ роҳи нархи миёнаи саҳмияи Microsoft-ро барои 21 июни 2012 дар фосилаи 09:30–10:30 ET нишон медиҳад ва визуалӣ месозад, ки дар дохили ҳаракати пайваста тағйироти намоёни сатҳ метавонанд вуҷуд дошта бошанд. Ҳадафи муаллифон ин аст, ки ба ҷойи маҳдуд кардани ин сохтори нарх ба ҳаракати арифметикии Brown, ҷаҳиш ва диффузияро якҷоя модел кунанд.

Раванди ибтидоии нархи истинодӣ дар манбаъ ҳамчун Муодилаи (1) чунин дода шудааст:

\[ S_t=\pm g(\nu_t)t+\sigma W_t,\qquad S_0=S. \]

Дар ин ҷо \(S_t\) нархи миёна, \(g(\nu_t)\) таъсири доимии нархии савдогар, \(\nu_t\) суръати савдо, \(W_t\) ҳаракати стандартии Brown ва \(\sigma\) коэффисиенти диффузияро ифода мекунад. Аломати мусбат таъсири доимии нархро дар самти харид ва аломати манфӣ дар самти фурӯш нишон медиҳад.

Модели Ҷаҳиш-Диффузияи Semi-Markov ва Hawkes Чист?

Модели ҷаҳиш-диффузияи Semi-Markov ва Hawkes модели нархи миёнаест, ки диффузияи пайвастаи Brown-ро бо раванди ҷаҳише, ки ҷаҳишҳои дискретии нархро дар LOB ифода мекунад, муттаҳид карда, компоненти ҷаҳишро бо динамикаи Semi-Markov ё Hawkes муайян мекунад. Дар таҳқиқот ин равандҳои ҷаҳиш баъдан дар зери ҳудудҳои миқёсгузорӣ ба тақриби диффузия табдил дода мешаванд, то масъалаҳои стандартии идоракунии оптималии стохастикӣ ба таври ададӣ ҳалшаванда гарданд.

Модели ҷаҳиши Semi-Markov

Дар манбаъ аввалин раванди умумии ҷаҳиш-диффузия бо Муодилаи (2) дода шудааст:

\[ S_t=S_0\pm g(\nu_t)t+\sigma W_t+\sum_{k=1}^{N(t)}X_k. \]

\(X_k\), \(\pm\delta\) değerlerini alan ergodik bir Markov zinciridir ve ardışık fiyat artış/azalışlarını temsil eder. \(N(t)\), \(t\) zamanına kadar gerçekleşen fiyat değişimi sayısını veren counting process'tir. Kaynak \(N(t)\), \(X_k\) ve \(W_t\)'nin birbirinden bağımsız olduğunu varsayar.

Ҳангоми татбиқи тақриби диффузия ба компоненти ҷаҳиши Semi-Markov, раванди нарх дар Муодилаи (3) ба шакли зерин табдил меёбад:

\[ S_t=S_0+\bigl(\pm g(\nu_t)\eta_{SM}\bigr)t+ \sqrt{\sigma^2+\bar{\sigma}_{SM}^{\,2}+ \left(\frac{\sigma^*}{\sqrt{m_\tau}}\right)^2}\,W_t \]

\[ =S_0+\bigl(\pm g(\nu_t)\eta_{SM}\bigr)t+ \sqrt{\sigma^2+\bar{\sigma}_{SM}^{\,2}+\varsigma_{SM}^{\,2}}\,W_t. \]

Коэффисиенти drift-и Semi-Markov барои ҳолати мутавозини бозор:

\[ \eta_{SM}=\frac{s^*}{m_\tau}. \]

Дар ин ҷо \(s^*=\delta(2\pi^*-1)\), \(\pi^*\) эҳтимоли ҳолати дарозмуддат аст ва \(m_\tau\) аз компонентҳои вақти миёнаи интизорӣ вобаста ба ҳолатҳо иборат мебошад. Коэффисиенти иловагии диффузия аз компоненти ҷаҳиш:

\[ \varsigma_{SM}=\frac{\sigma^*}{\sqrt{\tau}}. \]

Дар манбаъ барои занҷири дуҳолатӣ \(\sigma^*\) бо Муодилаи (5):

\[ (\sigma^*)^2= \sqrt{ 4\delta^2 \left( \frac{1-p'_{\mathrm{cont}}+ \pi^*(p'_{\mathrm{cont}}-p_{\mathrm{cont}})} {(p_{\mathrm{cont}}+p'_{\mathrm{cont}}-2)^2} \right) }. \]

\(p_{\mathrm{cont}}\), pozitif fiyat değişiminden sonra yine pozitif değişim; \(p'_{\mathrm{cont}}\) ise negatif değişimden sonra yine negatif değişim olasılığıdır. Kaynak ayrıca:

\[ \bar{\sigma}_{SM} = \sqrt{ \frac{(\sigma^*)^2}{m_\tau} + \frac{\Pi\sigma^2}{m_\tau} } \]

аз ин муносибат истифода мешавад. Ин ҳадҳо нишон медиҳанд, ки динамикаи ҷаҳиш дар миқёси вақти дароз ба таъсири иловагии drift ва диффузия чӣ гуна табдил меёбад.

Раванди Hawkes Рӯйдодҳои LOB-ро Чӣ Гуна Ифода Мекунад?

Раванди Hawkes як point process-и худангезанда аст, ки дар он рӯйдоди гузашта метавонад дар кӯтоҳмуддат шиддати ба вуҷуд омадани рӯйдодҳои навро баланд кунад. Ин хусусият барои ифодаи ҳолатҳое истифода мешавад, ки дар LOB фармоишҳо, бекоркуниҳо ва ҳаракатҳои нарх метавонанд дар тӯли вақт гурӯҳбандӣ шаванд; дар таҳқиқот ҷаҳишҳои аз раванди Hawkes ҳосилшуда компоненти jump-diffusion-и нархи миёнаро ташкил медиҳанд.

Шиддати якченакаи Hawkes дар Муодилаи (7):

\[ \lambda(t)=\lambda+\int_0^t\mu(t-s)\,dN(s) \]

чунин аст. \(\lambda>0\) шиддати асосӣ, \(\mu\) бошад функсияи excitation/response мебошад, ки таъсири рӯйдодҳои гузашта ба шиддати ояндаро муайян мекунад.

Раванди ҷаҳиш-диффузияи асосёфта ба Hawkes:

\[ S_t=S_0\pm g(\nu_t)t+\sigma W_t+ \sum_{k=1}^{N(t)}a(X_k) \]

чунин сохта мешавад. Пас аз тақриби диффузия Муодилаи (9):

\[ S_t=S_0\pm\bigl(g(\nu_t)\eta_{HP}\bigr)t+ \sqrt{ \sigma^2+\bar{\sigma}_{HP}^{\,2}+ \left( \sigma^*\sqrt{\frac{\lambda}{1-\hat{\mu}}} \right)^2 }\,W_t \]

\[ =S_0\pm\bigl(g(\nu_t)\eta_{HP}\bigr)t+ \sqrt{\sigma^2+\bar{\sigma}_{HP}^{\,2}+\varsigma_{HP}^{\,2}}\,W_t. \]

Коэффисиенти drift-и Hawkes:

\[ \eta_{HP}=a^*\frac{\lambda}{1-\hat{\mu}}, \]

ва ҳади иловагии диффузия:

\[ \varsigma_{HP} = \sigma^*\sqrt{\frac{\lambda}{1-\hat{\mu}}} \]

чунин аст. Манбаъ барои занҷири дуҳолатии Markov:

\[ \sigma^* = \sqrt{ 4\delta^2 \left( \frac{1-p'+\pi^*(p'-p)} {(p+p'-2)^2} -\pi^*(1-\pi^*) \right) } \]

ин ифодаро медиҳад. Коэффисиенти дигари диффузияи Hawkes дар манбаъ:

\[ \bar{\sigma}_{HP} = \sqrt{ (\sigma^*)^2+ \left( a^*\sqrt{\frac{\lambda}{1-\hat{\mu}}} \right) } \]

чунин навишта шудааст. Илова бар ин:

\[ \sigma^*=\hat{\sigma}\sqrt{\frac{\lambda}{1-\hat{\mu}}}, \qquad \hat{\sigma}^2=\sum_{i\in X}\pi_i^*v(i) \]

ва шартҳои устуворӣ/интегралпазирии Hawkes:

\[ 0<\hat{\mu}:=\int_0^\infty\mu(s)\,ds<1, \qquad \int_0^\infty s\mu(s)\,ds<\infty \]

чунин дода мешаванд.

Чаро Компоненти Ҷаҳиш Ба Тақриби Диффузия Табдил Дода Мешавад?

Ҳадафи асосии тақриби диффузия дар таҳқиқот он аст, ки шумораи зиёди ҷаҳишҳои дискретии LOB дар сатҳи миллисония бо коэффисиентҳои самараноки drift ва волатилӣ дар миқёсҳои тӯлонитари дақиқа ё соат ифода карда шуда, масъалаҳои идоракунии оптималии стохастикӣ бо PDE-и стандартӣ ва усулҳои фарқиятҳои ниҳоӣ ҳалшаванда гарданд. Дар модели Semi-Markov миқёсгузории навъи law of large numbers ва дар модели Hawkes functional central limit theorem истифода мешавад; муаллифон таъкид мекунанд, ки бе ин тақриб усули коҳиши андоза ва ҳалли ададие, ки истифода кардаанд, ба ҳамин шакл татбиқ намешавад.

Модели умумисозишудаи нархи миёна

Дар қисми боқимондаи масъалаҳои харид ва ликвидатсия индексҳои Semi-Markov ва Hawkes хориҷ карда шуда, динамикаи умумии нарх истифода мешавад:

\[ dS_t^\nu= \pm g(\nu_t)\eta\,dt+ \sqrt{\sigma^2+\bar{\sigma}^{\,2}+\varsigma^2}\,dW_t. \]

Дар ин ҷо \(\eta\), \(\bar{\sigma}\) ва \(\varsigma\) вобаста ба модели интихобшуда коэффисиентҳои Semi-Markov ё Hawkes-ро ифода мекунанд.

Равандҳои асосии идорашаванда

Раванд	Маъно	Робита бо идоракунӣ
\(\nu_t\)	Суръат/меъёри савдо	Тағйирёбандаи мустақими идоракунӣ
\(Q_t^\nu\)	Инвентар	Бо суръати савдо тағйир меёбад
\(S_t^\nu\)	Нархи миёнаи идорашаванда	Таъсири доимии нархро дар бар мегирад
\(\hat{S}_t^\nu\)	Нархи иҷро	Spread ва таъсири муваққатии нархро дар бар мегирад
\(C_t^\nu\)	Раванди нақд	Бо савдоҳои иҷрошуда нав карда мешавад

Динамикаи инвентар:

\[ dQ_t^\nu=\pm\nu_tdt,\qquad Q_0^\nu=q. \]

Аломати мусбат ҳангоми харид ва аломати манфӣ ҳангоми ликвидатсия истифода мешавад.

Нархи иҷро:

\[ \hat{S}_t^\nu = S_t^\nu+ \left(\frac{\Delta}{2}\pm f(\nu_t)\right) \]

чунин аст. \(\Delta\) bid-ask spread-и доимӣ ва \(f(\nu_t)\) таъсири муваққатии бозор мебошад. Раванди нақд:

\[ dC_t^\nu=\hat{S}_t^\nu\nu_tdt. \]

Маҳдудияти муҳими модели манбаъ вобаста ба нарх

Азбаски модел динамикаи арифметикии нархро истифода мебарад, аз нигоҳи назариявӣ метавонад нархи манфӣ ба вуҷуд оварад. Муаллифон мегӯянд, ки нархи ибтидоӣ нисбат ба андозаҳои эҳтимолии ҷаҳиш ба қадри кофӣ баланд нигоҳ дошта шудааст ва дар симулятсияҳои онҳо нархҳо ба минтақаи манфӣ нарафтаанд. Бо вуҷуди ин, барои пурра бартараф кардани ин эҳтимоли математикӣ онҳо пешниҳод мекунанд, ки дар оянда модели экспоненсиалии jump-diffusion истифода шавад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Масъалаи харид

Дар масъалаи харид сармоягузор мехоҳад дар уфуқи вақти \(T\) дар маҷмӯъ \(N\) воҳид дороӣ ба даст орад. \(S_{\max}\) ҳадди болоии нарх аст. Стратегия вақте қатъ мешавад, ки миқдори ҳадаф пурра шавад, ба \(T\) расад ё нархи миёна ба \(S_{\max}\) бирасад:

\[ \tau= T\wedge \{t:S_t^\nu=S_{\max}\} \wedge \{t:Q_t^\nu=N\}. \]

Миқдори боқимондаи харид дар манбаъ ҳамчун \(Y_t^\nu=N-Q_t^\nu\) таъриф шудааст. Манбаъ дар Муодилаи (21):

\[ dY_t^\nu=\nu_tdt \]

чунин менависад. Аммо агар таърифи \(Y=N-Q\) ва барои харид \(dQ_t^\nu=+\nu_tdt\) якҷоя баррасӣ шаванд, ин аломат бо аломати манфӣ дар Муодилаи (33), ки баъдан истифода мешавад, мувофиқ нест. Verianla ин ифодаро хомӯшона тағйир намедиҳад.

Меъёри хароҷоти харид:

\[ H^\nu(t,S,y) = \mathbb{E}_{t,s,y} \left[ \int_t^\tau (S_u+f(\nu_u))\,du + y_\tau(S_\tau+\alpha y_\tau) + \phi\int_t^\tau y_u^2\,du \right]. \]

Функсияи арзиш:

\[ H(t,S,y) = \inf_{\nu\in\mathcal{A}} H^\nu(t,S,y). \]

Манбаъ таъсирҳои хаттии нархи \(g(\nu)=b\nu\) ва \(f(\nu)=\kappa\nu\)-ро истифода мебарад. Муодилаи барномарезии динамикӣ:

\[ \partial_tH+ \frac{1}{2} (\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2) \partial_{SS}H +\phi y^2 + \inf_{\nu\in\mathcal{A}} \left\{ -\nu\partial_yH+ b\nu\eta\partial_SH+ (S+\kappa\nu)\nu \right\}=0. \]

Шартҳои сарҳадӣ ва терминалӣ:

\[ H(T,S,y)=(S+\alpha y)y, \]

\[ H(t,S_{\max},y)=(S_{\max}+\alpha y)y, \qquad H(t,S,0)=0. \]

Суръати оптималии савдо:

\[ \nu^*(t,S,y) = -\frac{1}{2\kappa} \left( b\eta\partial_SH- \partial_yH+ S \right). \]

Вақте ин суръат дубора ба DPE гузошта мешавад:

\[ \partial_tH+ \frac{1}{2} (\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2) \partial_{SS}H - \frac{1}{4\kappa} \left( b\eta\partial_SH-\partial_yH+S \right)^2 +\phi y^2 =0. \]

Барои осон кардани ҳалли ададӣ манбаъ \(b=0\) мегирад. Сабаб ин аст, ки таъсири доимии ҳаракат дар тӯли LOB нисбат ба таъсири муваққатӣ хурдтар фарз карда мешавад. Муаллифон алоҳида қайд мекунанд, ки ин метавонад таъсири дарозмуддати бозорро нопурра арзёбӣ кунад.

Ansatz-и коҳиши андоза:

\[ H(t,S,y)=yS+y^2h(t,S). \]

Дар натиҷа:

\[ \partial_th+ \frac{1}{2} (\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2) \partial_{SS}h - \frac{1}{\kappa}h^2 +\phi =0. \]

Шартҳои терминалӣ ва ҳадди болоии нарх:

\[ h(T,S)=\alpha,\qquad h(t,S_{\max})=\alpha. \]

Суръати оптималии харид:

\[ \nu^*(t,S)=\frac{1}{\kappa}yh(t,S). \]

Динамикаи оптималии миқдори боқимонда:

\[ dY_t^* = -\nu^*dt = -\frac{1}{\kappa}Y_th(t,S_t)dt. \]

Манбаъ инвентари харидро:

\[ Q_t^* = \left( 1- e^{ -\frac{1}{\kappa} \int_0^t h(u,S_u)\,du } \right)N \]

чунин медиҳад. Аз ин рӯ, роҳи нарх ба тағйирёбии инвентар дар тӯли вақт мустақиман таъсир мерасонад.

Масъалаи ликвидатсия

Дар ликвидатсия сармоягузор мехоҳад \(N\) воҳидро то вақти \(T\) фурӯшад ва \(S_{\min}\) ҳадди поёнии нарх мебошад:

\[ \tau= T\wedge \{t:S_t^\nu=S_{\min}\} \wedge \{t:Q_t^\nu=0\}. \]

Меъёри самаранокӣ:

\[ H^\nu(t,S,q) = \mathbb{E}_{t,s,q} \left[ \int_t^\tau (S_u-f(\nu_u))\,du + Q_\tau(S_\tau-\alpha Q_\tau) - \phi\int_t^\tau Q_u^2\,du \right]. \]

Функсияи арзиш ин дафъа максимум аст:

\[ H(t,S,q)= \sup_{\nu\in\mathcal{A}} H^\nu(t,S,q). \]

DPE-и ликвидатсия:

\[ \partial_tH+ \frac{1}{2} (\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2) \partial_{SS}H -\phi q^2 + \sup_{\nu\in\mathcal{A}} \left\{ -\nu\partial_qH -b\nu\eta\partial_SH +(S-\kappa\nu)\nu \right\}=0. \]

Шартҳои сарҳадӣ:

\[ H(T,S,q)=(S-\alpha q)q, \]

\[ H(t,S_{\min},q)=(S_{\min}-\alpha q)q, \qquad H(t,S,0)=0. \]

Суръати оптималии ликвидатсия:

\[ \nu^*(t,S,q) = -\frac{1}{2\kappa} \left( b\eta\partial_SH+ \partial_qH- S \right). \]

Вақте дубора ба DPE гузошта мешавад:

\[ \partial_tH+ \frac{1}{2} (\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2) \partial_{SS}H - \frac{1}{4\kappa} \left( b\eta\partial_SH+ \partial_qH- S \right)^2 -\phi q^2 =0. \]

\(b=0\) ve:

\[ H(t,S,q)=qS+q^2h(t,S) \]

ҳангоми истифода:

\[ \partial_th+ \frac{1}{2} (\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2) \partial_{SS}h - \frac{1}{\kappa}h^2 -\phi =0. \]

Шартҳо:

\[ h(T,S)=\alpha, \qquad h(t,S_{\min})=\alpha. \]

Суръати оптималии фурӯш:

\[ \nu^*(t,S)=\frac{1}{\kappa}qh(t,S). \]

Барои инвентари боқимонда манбаъ Муодилаи (47)-ро:

\[ dQ_t^* = -\frac{1}{\kappa} Q_th(t,S_t)dt \]

чунин медиҳад. Аммо Муодилаи (48)-и фавран баъдӣ дар манбаъ:

\[ Q_t^* = \left( 1- e^{ \frac{1}{\kappa} \int_0^t h(u,S_u)\,du } \right)N \]

ба ин шакл навишта шудааст. Ин ифода бо ҳалли мустақими Муодилаи (47) ва таърифи \(Q_t\) ҳамчун “инвентари боқимонда барои ликвидатсия” як номувофиқии дохилии намоён дорад. Verianla формулаи манбаъро тағйир намедиҳад, вале номувофиқиро ошкоро нишон медиҳад.

Ҳангоми Афзоиши Таъсири Ҷаҳиш Суръати Оптималии Савдо Чӣ Гуна Тағйир Меёбад?

Дар ҳалли ададӣ ва 10.000 симулятсияи стратегия дар манбаъ, бо афзоиши \(\bar{\sigma}\) ё \(\varsigma\) волатилии умумии самаранок зиёд мешавад ва ҳам стратегияи харид ва ҳам стратегияи ликвидатсия ба анҷом додани савдоҳо дар вақти барвақттар майл мекунанд. Дар масъалаи харид ҳаракатҳои болоравии нарх хавфи расидан ба ҳадди болоии нархро зиёд мекунанд ва аз ин рӯ суръати харид; дар ликвидатсия ҳаракатҳои поёнравӣ хавфи расидан ба ҳадди поёнии нархро зиёд мекунанд ва аз ин рӯ суръати фурӯш, махсусан дар вақтҳои аввал, боло меравад. Ин натиҷа ба модел ва сенарияҳои параметрии истифодашуда тааллуқ дорад; он кафолат намедиҳад, ки дар бозори воқеӣ ҳамон вокуниш ба амал меояд.

Ҳалли ададӣ

Таҳқиқот барои Microsoft (MSFT) аз додаҳои LOBSTER истифода мебарад. Рӯзи истифодашуда 21 июни 2012 аст. Параметрҳои асосёфта ба Hawkes аз калибровкаҳои таҳқиқоти қаблӣ гирифта шудаанд ва \(\sigma\) алоҳида аз додаҳои MSFT бо равиши maximum likelihood калибр шудааст.

PDE-ҳо бо усули фарқиятҳои ниҳоии IMEX:

\[ [0,T]\times[S_{\min},S_{\max}] \]

дар шабака ҳал карда мешаванд. Манбаъ:

\[ \Delta t=\frac{T}{N}, \qquad \Delta S=\frac{S_{\max}-S_{\min}}{M} \]

ин таърифҳоро истифода мебарад.

Барои масъалаи харид дар гиреҳҳои дохилӣ Муодилаи (49):

\[ \frac{h_i^{n+1}-h_i^n}{\Delta t} + \frac{\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2}{2} \frac{h_{i+1}^n+h_{i-1}^n-2h_i^n}{\Delta S^2} - \frac{1}{\kappa}(h_i^n)^2 +\phi =0. \]

Дар манбаъ ба назар мерасад, ки дар Муодилаи (50) ҳади квадратӣ бе квадрат чоп шудааст, дар ҳоле ки Муодилаи (49) ва ифодаи матритсаи баъдӣ ҳади квадратиро истифода мебаранд. Ин фарқи алгебравии дохили манбаъ бояд нигоҳ дошта шавад.

Муодилаи мувофиқ барои ликвидатсия:

\[ \frac{h_i^{n+1}-h_i^n}{\Delta t} + \frac{\sigma^2+\bar{\sigma}^2+\varsigma^2}{2} \frac{h_{i+1}^n+h_{i-1}^n-2h_i^n}{\Delta S^2} - \frac{1}{\kappa}(h_i^n)^2 -\phi =0. \]

Параметрҳои асосии ададии истифодашуда дар манбаъ

Параметр	Арзиш	Нақш
\(\bar{\sigma}\)	0.01598	Компоненти иловагии диффузияи калибршуда
\(\varsigma\)	0.1323	Компоненти иловагии диффузия аз тақриби ҷаҳиш
\(\sigma\)	0.1041	Волатилии асосии мустақилона калибршуда барои MSFT
\(S_0\)	30.97	Нархи миёнаи ибтидоӣ
\(T\)	1	Уфуқи савдо
\(\alpha\)	0.01	Параметри ҷаримаи терминалӣ
\(\kappa\)	0.0001	Коэффисиенти таъсири муваққатии нарх
\(\phi\)	0.00001	Ҷаримаи ҷории инвентар
\(N\)	390	Параметри шабакаи вақт
\(M\)	1000	Параметри шабакаи нарх
\(S_{\min}\)	29	Ҳадди поёнии нарх дар ҳалли харид
\(S_{\max}\)	31.1	Ҳадди болоии нархи харид
\(\Delta t\)	0.002	Қадами вақт, ки дар ҷадвали манбаъ дода шудааст
\(\Delta S\)	0.002	Қадами нарх, ки дар ҷадвали манбаъ дода шудааст

Ҳарчанд манбаъ таърифҳои \(\Delta t=T/N\) ва \(\Delta S=(S_{\max}-S_{\min})/M\)-ро медиҳад, дар Ҷадвали 1 ҳар ду арзишро 0.002 гузориш мекунад. Бо арзишҳои додашудаи \(T=1\), \(N=390\), \(S_{\min}=29\), \(S_{\max}=31.1\) ва \(M=1000\) ин арзишҳо дақиқ баробар нестанд; аз ин рӯ, дар манбаъ шарҳ дода нашудааст, ки арзишҳои ҷадвал натиҷаи гирдкунӣ ҳастанд ё интихоби ҷудогонаи татбиқи ададӣ.

Расми 2: Сатҳи суръати оптималии харид

Дар Расми 2 ҳангоми гузаштани вақт аз \(t=0\) то \(T=1\) ва нарх тақрибан аз \(S_0=30.97\) то \(S_{\max}=31.1\), суръати оптималӣ нишон дода мешавад. Бо наздик шудан ба анҷоми мӯҳлат ва ҳадди болоии нарх суръат меафзояд. Ҳангоми зиёд кардани \(\bar{\sigma}\) ва \(\varsigma\), минтақаҳои суръати баланди савдо ба вақтҳои барвақттар ва нархҳои пасттар васеъ мешаванд.

Расми 3: Сатҳи суръати оптималии ликвидатсия

Дар тарафи ликвидатсия ҳамин рафтор дар самти баръакси нарх дида мешавад. Бо наздик шудан ба \(S_{\min}\) ва \(T\) суръати ликвидатсия боло меравад. Манбаъ дар Section 4.2 мегӯяд, ки барои ликвидатсия \(S_{\min}=30.8\) ва \(S_{\max}=33\)-ро истифода кардааст.

10.000 симулятсияи стратегия

Манбаъ барои ҳар як сенарияи харид ва ликвидатсия дар маҷмӯъ 10.000 роҳи нархро симулятсия мекунад. Дар ҳар қадами вақт нархи ҷорӣ бо арзиши мувофиқ дар матритсаи пешакӣ ҳалшудаи \(h(t,S)\) мутобиқ карда мешавад; ин арзиш суръати нави оптималии савдоро муайян мекунад. Пас аз савдо инвентар, нақд ва нархи иҷро нав карда мешаванд. Агар вақти терминалӣ ё монеаи нарх гузаронида шавад, миқдори боқимонда бо ҷаримаи терминалӣ баста мешавад.

Симулятсияҳои харид: Расмҳои 4–9

Расми 4: \(\bar{\sigma}\) ve \(\varsigma\)'nın farklı değerlerinde beş örnek fiyat yolu.
Расми 5: Гистограммаҳои нархҳои миёнаи харид дар 10.000 симулятсия.
Расми 6: Тағйирёбии инвентар дар тӯли вақт барои ҳамон роҳҳои намунавӣ.
Расми 7: Тағйирёбии суръати савдо дар тӯли вақт.
Расми 8: Харитаи гармии 10.000 роҳи инвентар; миёнаи стратегияи оптималӣ бо benchmark-и Almgren–Chriss муқоиса карда мешавад.
Расми 9: Харитаи гармии 10.000 роҳи суръати савдо ва муқоисаи суръати миёна.

Дар benchmark-и диффузияи холис, ҳатто агар роҳи нарх тағйир ёбад, стратегияи оптималӣ мунтазамтар мемонад; бо афзоиши коэффисиентҳои иловагии ҷаҳиш-диффузия роҳи нарх ба қарорҳои савдо таъсири қавитар мерасонад. Дар бисёр симулятсияҳо инвентари ҳадаф пеш аз \(T\) пурра мешавад.

Симулятсияҳои ликвидатсия: Расмҳои 10–15

Расми 10: Панҷ роҳи намунавии нархи ликвидатсия.
Расми 11: Гистограммаҳои нархҳои миёнаи фурӯш дар 10.000 симулятсия.
Расми 12: Роҳҳои инвентар.
Расми 13: Роҳҳои суръати савдо.
Расми 14: Харитаи гармии 10.000 роҳи инвентар.
Расми 15: Харитаи гармии 10.000 роҳи суръати савдо.

Дар ликвидатсия, бо зиёд шудани \(\bar{\sigma}\) ё \(\varsigma\), инвентар барвақттар кам карда мешавад ва суръати савдо дар оғоз боло меравад. Хусусан роҳҳои поёнравии нарх хавфи расидан ба ҳадди поёнии нархро зиёд мекунанд, бинобар ин модел ба фурӯши тезтар мегузарад.

Номувофиқии ҳадди поёнии нарх дар дохили манбаъ

Ҳарчанд Section 4.2 барои ликвидатсия \(S_{\min}=30.8\) ва \(S_{\max}=33\)-ро медиҳад, дар як нуқтаи матни Section 5.2 монеа ҳамчун \(S_{\min}=19.8\) навишта шудааст. Минтақаи тақрибан 30–31-и нарх, ки дар расмҳо истифода шудааст, ва таърифи ададии қаблӣ нишон медиҳанд, ки ин ду арзиш ҳамон як сенарияро ифода намекунанд. Verianla арзиши 19.8-ро хомӯшона ба 30.8 тағйир намедиҳад.

Benchmark-и Almgren–Chriss Дар Ин Таҳқиқот Барои Чӣ Истифода Мешавад?

Стратегияи Almgren–Chriss benchmark-и детерминистии иҷрои фармоиши калон аст, ки барои муқоисаи стратегияи оптималии стохастикӣ ва ҳассос ба роҳи нархи таҳқиқот истифода мешавад. Вақте \(\bar{\sigma}\) ва \(\varsigma\) ба сифр наздиканд, стратегияи таҳқиқот ба benchmark бештар наздик мешавад; бо афзоиши таъсири ҷаҳиш-диффузия роҳҳои оптималии инвентар ва суръати савдо аз хатти Almgren–Chriss бештар дур мешаванд.

Барои харид манбаъ Муодилаи (55):

\[ \nu_t^{AC} = \sqrt{\kappa\phi} \frac{\xi e^{2\gamma(T-t)}+1} {\xi e^{2\gamma(T-t)}-1}, \]

барои ликвидатсия Муодилаи (56):

\[ \nu_t^{AC} = \sqrt{\kappa\phi} \frac{1+\xi e^{2\gamma(T-t)}} {1-\xi e^{2\gamma(T-t)}}, \]

ва параметрҳои умумӣ:

\[ \xi= \frac{\alpha+\sqrt{\kappa\phi}} {\alpha-\sqrt{\kappa\phi}}, \qquad \gamma=\sqrt{\frac{\phi}{\kappa}} \]

чунинанд. Манбаъ мегӯяд, ки ин benchmark барои \(\phi>0\) истифода мешавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ мекунад

Рафторҳои ҷаҳишии аз Semi-Markov ва Hawkes ҳосилшуда метавонанд тавассути тақриби диффузия ба раванди нархи SOC илова карда шаванд.
Компонентҳои иловагии \(\bar{\sigma}\) ва \(\varsigma\) ҳалли оптималии харид ва ликвидатсияро тағйир медиҳанд.
Ҳангоми боло рафтани волатилии самаранок, модел барои муқобила бо хавфи расидан ба монеаи нарх ё анҷоми мӯҳлат савдоҳоро барвақттар анҷом медиҳад.
Бо афзоиши таъсири ҷаҳиш роҳҳои оптималии инвентар ва суръати савдо аз benchmark-и детерминистии Almgren–Chriss бештар дур мешаванд.
Ин рафтор ҳам дар ҳалли ададии PDE ва ҳам дар симулятсияҳои стратегия дар 10.000 роҳи нарх дида мешавад.

Натиҷаҳое, ки таҳқиқот дастгирӣ намекунад

Модел нишон намедиҳад, ки дар бозори зинда нисбат ба Almgren–Chriss ё алгоритми дигар ҳатман даромадноктар аст.
10.000 симулятсия 10.000 савдои воқеии бозор нест.
Натиҷаҳое, ки ба як рӯзи додаҳои MSFT ва калибровкаҳои гирифташуда аз таҳқиқоти қаблӣ такя мекунанд, исбот намекунанд, ки онҳоро ба ҳамаи синфҳои дороӣ умумӣ кардан мумкин аст.
Механизми калибровкаи зинда, ки дар он арзишҳои баланди \(\bar{\sigma}\) ё \(\varsigma\) дар вақти воқеӣ бевосита чен шуда, фавран ба стратегия интиқол дода мешаванд, санҷида нашудааст.
Нишон намедиҳад, ки фарзияҳои bid-ask spread-и доимӣ ва \(b=0\) дар ҳамаи шароити бозор дурустанд.
Модели арифметикии нарх эҳтимоли нархи манфиро аз ҷиҳати математикӣ бартараф намекунад.

Маҳдудиятҳои асосӣ

Маҳдудият	Таъсир ба натиҷа
Ифодаи ҷаҳишҳо бо тақриби диффузия	Ҳамаи хусусиятҳои роҳии раванди аслии ҷаҳиши дискретӣ дар марҳилаи идоракунии оптималӣ бевосита нигоҳ дошта намешаванд.
\(b=0\)	Бо сарфи назар кардани таъсири доимии бозор, таъсири дарозмуддати нарх метавонад нопурра ифода шавад.
Раванди арифметикии нарх	Эҳтимоли назариявии нархи манфӣ вуҷуд дорад.
Фарзияи spread-и доимӣ	Динамикаи воқеии spread, ки вобаста ба ликвиддӣ ва волатилӣ тағйир меёбад, ифода намешавад.
MSFT ва намунаи якрӯзаи LOBSTER	Барои дороиҳо ва режимҳои гуногуни бозор санҷиши иловагӣ лозим аст.
10.000 симулятсияи асосёфта ба модел	Муваффақияти иҷро дар бозори зиндаро бевосита нишон намедиҳад.
Номувофиқиҳои муодила ва параметр дар дохили манбаъ	Ҳангоми такрористеҳсоли мустақил муодилаҳои дахлдор бояд бо коди аслии татбиқ санҷида шаванд.

Самтҳои таҳқиқоти оянда

Муаллифон пешниҳод мекунанд, ки дар режимҳои гуногуни бозор диапазонҳои васеътари параметрҳо санҷида шаванд, равиш ба масъалаҳои дигари савдо, аз қабили market making, pairs trading ва statistical arbitrage, васеъ карда шавад, равандҳои нархии Semi-Markov/Hawkes jump-diffusion бо reinforcement learning ё deep reinforcement learning якҷоя гарданд ва дар ҳолатҳои мувофиқ равандҳои нархии Lévy арзёбӣ шаванд.

Ёддошти Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Algorithmic and High-Frequency Trading Problems for Semi-Markov and Hawkes Jump-Diffusion Models.

Муаллифон: Luca Lalor; Anatoliy Swishchuk.

Муассиса: University of Calgary, Department of Mathematics and Statistics, Calgary, Alberta, Canada.

Манбаи боршуда: arXiv:2409.12776v2 [q-fin.MF], 4 марти 2025; дар ҳуҷҷат санаи 6 марти 2025 нишон дода шудааст.

Нашри баъдии баррасишуда: Quantitative Finance, Volume 25, Issue 9, 2025, саҳифаҳои 1437–1459.

DOI-и версияи баррасишуда: 10.1080/14697688.2025.2541007.

Corresponding author: Luca Lalor.

Усул: Моделҳои нархи миёнаи Semi-Markov ва Hawkes jump-diffusion, scaling-limit/diffusion approximation, stochastic optimal control, формулировкаи HJB/DPE-PDE, ҳалли IMEX finite-difference ва симулятсияи стратегияи Monte Carlo.

Додаҳо: Додаҳои Microsoft (MSFT) LOB; намунаи 21 июни 2012 дар манбаи LOBSTER. Расми 1 роҳи нархи миёнаи 09:30–10:30 ET-ро нишон медиҳад.

Шумораи симулятсияҳо: Дар таҳлили стратегияҳои харид ва ликвидатсия 10.000 роҳи нарх.

Benchmark: Стратегияи иҷрои фармоиши калони Almgren–Chriss.

Маблағгузорӣ: Манбаи боршуда дастгирии MITACS ва NSERC-ро нишон медиҳад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор мекунанд, ки бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Ёддошти версияи манбаъ: Мазмуни илмии ин матни Verianla ба ҳуҷҷати боршудаи arXiv v2 асос ёфтааст. Сабти баъдии Quantitative Finance танҳо барои нав кардани вазъи библиографӣ/баррасӣ истифода шудааст.

Огоҳии такрористеҳсолшавӣ: Азбаски байни Муодилаи (21), Муодилаи (48), Муодилаи фарқиятҳои ниҳоии (50)/(53), баъзе параметрҳои grid ва арзиши \(S_{\min}\) дар Section 5.2 номувофиқиҳои дохили манбаъ вуҷуд доранд, барои репликаи пурраи ададӣ бояд коди татбиқии муаллифон ё муодилаҳои версияи охирини баррасишуда алоҳида санҷида шаванд.

Ёддошти иттилоотӣ ва ислоҳ

Ин муҳтаво дар асоси тадқиқоти академии дахлдор ва бо истифода аз абзорҳои ёрирасони зеҳни сунъӣ омода шудааст. Ҳадаф ба шакли фаҳмотар ва дастрас пешниҳод кардани мавзӯи асосӣ, усул ва натиҷаҳои тадқиқот мебошад.

Ҳарчанд ҳангоми омода кардани муҳтаво ба риояи манбаи аслӣ таваҷҷуҳ шудааст, дар раванди тавлиди муҳтаво бо ёрии зеҳни сунъӣ метавонад хатои маъноӣ, баёнӣ, тарҷумавӣ ё тафсирӣ рух диҳад. Агар хатои илмӣ, техникӣ ё матниро ошкор кунед, метавонед тавассути info@verianla.com.tr ба мо хабар диҳед. Мавридҳои гузоришшуда баррасӣ шуда, ислоҳҳои зарурӣ ворид карда мешаванд.

Илова бар ин, муаллиф, соҳиби ҳуқуқ ё намояндаи ваколатдори мақолае, ки тадқиқоташ дар Verianla ҷой дода шудааст, метавонад ҳазфи муҳтавои дахлдорро дархост кунад. Барои дархости ҳазф фиристодани пайванди мақола ва шарҳи кӯтоҳи дархост ба info@verianla.com.tr кофист. Пас аз баррасии дархост чораҳои зарурӣ андешида мешаванд.

Verianla ҳадафи иваз кардани тадқиқоти академиро надорад; ҳадафи он мусоидат ба фаҳмиши муҳтавои илмӣ аз ҷониби доираи васеи хонандагон аст. Барои арзёбиҳои академӣ ё касбӣ ҳамеша такя ба манбаи аслии тадқиқот тавсия дода мешавад.

Мубодила:

Моделҳои Ҷаҳиш-Диффузияи Semi-Markov ва Hawkes дар Савдои Алгоритмӣ ва Басомади Баланд: Стратегияҳои Оптималии Харид ва Ликвидатсия