Lemniskati ya polinomu ni mkusanyiko wa nukta ambamo thamani kamili ya polinomu changamano ni ndogo kuliko au sawa na kizingiti fulani. Utafiti huu unachunguza daraja la polinomu linalohitajika ili kupata lemniskati ya polinomu inayojumuisha mkusanyiko kompakt lengwa K lakini isivuke ukanda mwembamba wa nje unaofafanuliwa kwa funksi ya Green ya lengwa. Kwa kusudi hili, waandishi wanafafanua kiasi viwili vinavyohusiana kwa namna ya kinyume: hitilafu ndogo kabisa ya ukanda wa Green inayoweza kutokea chini ya daraja lisilobadilika ε_n(K) na daraja dogo kabisa linalohitajika kwa upana fulani wa ukanda N_K(s). Matokeo makuu ya kimaelezo yanaonyesha kwamba, chini ya kikomo cha daraja lisilobadilika, hitilafu sifuri ya ukanda inawezekana tu ikiwa mkusanyiko lengwa tayari ni lemniskati kamili ya polinomu. Kwa malengo yenye mpaka analitiki wa Jordan, polinomu za Faber hutumiwa kupata mpaka wa juu wa kielelezo kwa hitilafu na ukuaji wa kilogarithimu kwa daraja linalohitajika.

Kadirio kuu la Faber katika utafiti, kwa kila upana unaofaa wa mwendelezo analitiki σ ni

\[ \varepsilon_n(K)\le C_\sigma\frac{e^{-\sigma n}}{n} \]

Matokeo yake ya kinyume kuhusu uchangamano ni:

\[ N_K(s) \le \frac{1}{\sigma}\log\frac{1}{s} - \frac{1}{\sigma}\log\log\frac{1}{s} + O_\sigma(1) \]

Hivyo, katika hali ya mpaka analitiki, daraja la polinomu linalohitajika hukua kwa kiwango kisichozidi cha kilogarithimu kadiri ukanda wa Green unavyobana.

Utafiti huu ni kazi ya kinadharia katika hisabati. Matokeo hayakutokana na uigaji wa namba wala majaribio, bali na uthibitisho unaotumia uchanganuzi changamano, funksi za Green, ramani konformali na polinomu za Faber. Makala haitoi sheria kali ya asimptotiki ya pande mbili ya daraja kwa maeneo yote analitiki ya Jordan; inathibitisha tu mpaka fulani wa juu wa kielelezo kwa hitilafu na mpaka wa juu wa kilogarithimu wa daraja unaolingana nao.

Lemniskati ya polinomu ni nini?

Kwa polinomu changamano P na konstanti chanya c,

\[ \{z\in\mathbb C:|P(z)|\le c\} \]

mkusanyiko wa kiwango-chini wa umbo hilo huitwa lemniskati ya polinomu. Mikusanyiko hii hujitokeza kiasili katika nadharia ya ukadiriaji changamano, funksi za Green na matatizo ya ukadiriaji wa kijiometri kwa polinomu.

Lengo la utafiti huu si kuchora tu kwa makadirio mkunjo lengwa. Lengo ni kuzalisha lemniskati inayojumuisha mkusanyiko kompakt lengwa K na wakati huohuo isivuke eneo jembamba linaloruhusiwa la ukanda wa Green lililo nje yake.

Ukanda wa Green ni Nini?

Ukanda wa Green ni eneo la ujirani linalopanga katika tabaka nukta zilizo nje ya mkusanyiko kompakt lengwa kulingana na ukubwa wa funksi za Green. Katika utafiti, \(g_K\) ni funksi ya Green yenye ncha kwenye ukomo kwa eneo \(\mathbb C\setminus K\), na huendelezwa kuwa sifuri juu ya \(K\); kwa \(s>0\), \(K_s=\{z:g_K(z)<s\}\) hufafanuliwa. \(s\) ndogo humaanisha ukanda wa nje unaokumbatia mkusanyiko lengwa kwa ukaribu zaidi.

Muundo huu hutoa tabaka la umbali wa kijiometri linalolingana kiasili na nadharia ya potenshali badala ya umbali wa Euclid.

Lemniskati iliyosanifishwa

Kwa polinomu isiyo konstanti P:

\[ \|P\|_K=\max_{z\in K}|P(z)| \]

na

\[ L_K(P)= \{z\in\mathbb C: |P(z)|\le\|P\|_K\} \]

hufafanuliwa.

Sifa muhimu ya usanifishaji huu ni:

\[ K\subseteq L_K(P) \]

Hivyo, lemniskati ya polinomu daima hufanya kazi kama ukadiriaji wa nje unaofunika mkusanyiko lengwa.

ε_n(K) Hupima Nini?

\(\varepsilon_n(K)\) ni thamani ndogo kabisa inayowezekana, miongoni mwa polinomu zote zenye daraja lisilozidi \(n\), ya kiasi ambacho lemniskati iliyosanifishwa inayojumuisha mkusanyiko lengwa lazima ivuke kuelekea nje kwa kipimo cha funksi ya Green. Kwa hiyo, \(\varepsilon_n(K)\) ndogo inaonyesha kwamba lemniskati ya daraja la chini inaweza kuukumbatia mkusanyiko lengwa kwa ukaribu katika maana ya nadharia ya potenshali.

Ufafanuzi:

\[ \varepsilon_n(K) = \inf_{1\le\deg P\le n} \sup_{z\in L_K(P)} g_K(z). \]

Usemi huu unaunganisha viwango viwili vya uboreshaji.

1. Kwa kila polinomu mgombea, thamani kubwa kabisa ya Green juu ya lemniskati hupatikana.
2. Miongoni mwa polinomu zote zenye daraja lisilozidi n, thamani hii ya juu hupunguzwa iwe ndogo iwezekanavyo.

Kuwa na \(\varepsilon_n(K)=0\) humaanisha kwamba, bila kubadilisha kikomo cha daraja, inawezekana kulikaribia lengwa kwa lemniskati zinazobana kwa kiwango chochote kinachotakiwa.

N_K(s) Hupima Nini?

\(N_K(s)\) ni daraja dogo kabisa la polinomu linalohitajika kuunda lemniskati ya polinomu iliyosanifishwa inayojumuisha mkusanyiko lengwa na kubaki kabisa ndani ya ukanda wa Green wa \(K_s\). Hivyo, \(N_K(s)\) hupima gharama ya daraja kwa kiwango cha usahihi kilichochaguliwa mapema, ilhali \(\varepsilon_n(K)\) hupima usahihi bora zaidi unaowezekana kwa bajeti ya daraja iliyochaguliwa mapema.

Ufafanuzi:

\[ N_K(s) = \min\{ \deg P: K\subset L_K(P)\subset K_s \}. \]

Ikiwa hakuna polinomu inayofaa:

\[ N_K(s)=\infty. \]

Kuna Uhusiano Gani Kati ya Hitilafu ya Ukanda na Uchangamano wa Daraja?

Nadharia ya collar-separation dictionary katika utafiti inaonyesha kwamba kiasi hivi viwili vinaeleza matatizo yaliyo kinyume kabisa: kwa kila \(s>0\), \(N_K(s)=\min\{n\ge1:\varepsilon_n(K)<s\}\). Sharti hilo hilo ni sawia na uwezekano wa lemniskati iliyosanifishwa yenye daraja lisilozidi \(n\) kujumuisha \(K\) huku ikibaki mbali na eneo lote la nje ambako \(g_K\ge s\).

Kwa hiyo:

\[ \varepsilon_n(K)

ukosefu huu wa usawa si kipimo cha usahihi wa ukadiriaji pekee; pia ni sharti la utengano wa kijiometri.

Eneo la nje lililokatazwa

\[ E_s= \{z\in\mathbb C: g_K(z)\ge s\} \]

liwe.

Basi:

\[ L_K(P)\subset K_s \]

na

\[ L_K(P)\cap E_s=\varnothing \]

ni sawia.

Hivyo, ukadiriaji kwa ukanda na “utengano salama kutoka eneo la nje lililokatazwa” hugeuka kuwa tatizo lilelile la kihisabati.

Hitilafu Sifuri kwa Daraja Lisilobadilika Inawezekana Lini?

Kwa \(N\) lisilobadilika, \(\varepsilon_N(K)=0\) inawezekana ikiwa na ikiwa tu \(K\) ni lemniskati kamili ya polinomu yenye daraja lisilozidi \(N\). Kwa hiyo, ikiwa mkusanyiko lengwa si wa darasa hili maalumu la kijiometri, daraja linalohitajika lazima likue bila kikomo kadiri ukanda wa Green unavyobana hadi sifuri.

Sharti la kuwa lemniskati kamili ya polinomu:

\[ K= \{z\in\mathbb C: |P(z)|\le\|P\|_K\}. \]

Kivumishi “kamili” hapa ni muhimu. Haitoshi kwamba sehemu moja tu iliyounganishwa ya mkusanyiko wa kiwango-chini wa polinomu iwe sawa na \(K\).

Kwa nini sehemu moja pekee haitoshi?

Mkusanyiko wa kiwango-chini wa polinomu hiyo hiyo unaweza kuwa na sehemu nyingine zilizounganishwa nje ya eneo lengwa. Katika hali hiyo, huenda isiwezekane kuweka lemniskati yote iliyosanifishwa ndani ya ukanda mwembamba wa Green. Hoja ya kikomo ya daraja lenye ukomo hudhibiti si sehemu lengwa tu bali lemniskati nzima.

Wazo la uthibitisho wa nadharia ya finite-degree gap

Ikiwa \(\varepsilon_N(K)=0\) inadhaniwa, huchaguliwa polinomu zenye daraja lisilozidi \(N\) ambazo hitilafu ya ukanda wake inakaribia sifuri:

\[ P_j. \]

Aina zake zilizosawazishwa:

\[ p_j= \frac{P_j}{\|P_j\|_K} \]

kwa:

\[ \|p_j\|_K=1, \qquad K\subset\{|p_j|\le1\}. \]

Kwa kuwa kikomo cha daraja ni kisichobadilika, nafasi ya polinomu ina vipimo vyenye ukomo. Mfuatano mdogo unaofaa hukaribia kwa usawa wa ndani polinomu p.

Kwa polinomu ya kikomo, ndani:

\[ |p(z)|\le1, \qquad z\in K \]

na nje:

\[ |p(z)|\ge1, \qquad z\notin K \]

hupatikana.

Eneo la nje limeunganishwa. \(\log|p|\) ni funksi harmoniki isiyo hasi katika eneo hili. Ikiwa ni sifuri kwenye nukta yoyote ya nje, kanuni kali ya kiwango cha chini inahitaji iwe konstanti katika eneo lote la nje; jambo hili linapingana na p kuwa konstanti.

Kwa hiyo:

\[ |p(z)|>1, \qquad z\in\mathbb C\setminus K. \]

Kwa hivyo:

\[ K=\{|p|\le1\}. \]

Kwa Nini Mpaka Analitiki Hutoa Ukadiriaji wa Kielelezo kwa Polinomu za Faber?

Kwenye mpaka analitiki wa Jordan, kinyume cha ramani konformali ya nje kinaweza kuendelezwa kianalitiki kuvuka mpaka hadi eneo la pete; polinomu za Faber huwakilisha nguvu za koordinenati hiyo konformali kwa polinomu kwa usahihi wa kielelezo. Kadirio hili la kielelezo la remainder linaweka moja kwa moja kikomo cha kiasi cha lemniskati kuvuka ndani ya ukanda wa Green katika mpangilio wa \(e^{-\sigma n}/n\).

Ramani konformali ya nje

\[ \Phi: \mathbb C\setminus K \longrightarrow \{|w|>1\} \]

husawazishwa kwa umbo hili.

Funksi ya Green:

\[ g_K(z)=\log|\Phi(z)| \]

huwapo.

Upana wa mwendelezo analitiki

\[ \Psi=\Phi^{-1} \]

iwe.

Katika utafiti:

\[ \sigma_*= \sup \left\{ \sigma>0: \Psi \text{, } e^{-\sigma}<|w|<\infty \text{ bölgesine conformal devam eder} \right\} \]

hufafanuliwa.

\(\sigma_*\) kubwa zaidi humaanisha kwamba ramani konformali kinyume inaweza kuendelezwa kianalitiki kuelekea upande wa ndani wa mpaka kupitia pete pana zaidi.

Ufafanuzi wa polinomu ya Faber

\(F_n\) ni sehemu ya kipolinomu ya \(\Phi(z)^n\) kwenye ukomo:

\[ \Phi(z)^n = F_n(z) + O(1/z), \qquad z\to\infty. \]

Uwakilishi wa kontua uliotumika katika chanzo:

\[ F_n(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|u|=R} \frac{ u^n\Psi'(u) }{ \Psi(u)-z } \,du. \]

Kadirio la remainder la Faber

Kwa kila:

\[ 0<\sigma<\sigma_* \]

:

\[ |F_n(\Psi(w))-w^n| \le C_\sigma e^{-\sigma n}, \qquad |w|\ge1. \]

Katika ukosefu huu wa usawa:

• \(F_n\): polinomu ya Faber ya n,
• \(\Psi\): kinyume cha ramani konformali ya nje,
• \(w^n\): nguvu ya koordinenati bora ya konformali,
• \(C_\sigma\): konstanti inayotegemea continuation width iliyochaguliwa,
• \(e^{-\sigma n}\): ni neno la hitilafu linalopungua kwa kielelezo kadiri daraja linavyoongezeka.

Kadirio la Ukanda wa Faber Linasema Nini?

Kadirio la ukanda wa Faber linasema kwamba, kwa lengwa lenye mpaka analitiki wa Jordan, kadiri daraja \(n\) linavyoongezeka, hitilafu bora zaidi ya lemniskati ya ukanda wa Green ni isiyozidi \(C_\sigma e^{-\sigma n}/n\). Hivyo, upana unaofaa wa mwendelezo analitiki ukiwa thabiti, ongezeko la daraja hupunguza hitilafu ya ukanda hasa kwa kasi ya kielelezo.

Nadharia:

\[ \boxed{ \varepsilon_n(K) \le C_\sigma \frac{e^{-\sigma n}}{n} } \]

na kwa sababu hiyo:

\[ \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log\varepsilon_n(K) \le -\sigma_*. \]

Mlolongo mkuu wa kihisabati wa ukosefu wa usawa

Juu ya mpaka:

\[ \|F_n\|_K \le 1+C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Kwa nukta iliyo nje:

\[ w=\Phi(z) \]

na:

\[ |w| = e^{g_K(z)}. \]

Kutokana na kadirio la remainder:

\[ |F_n(z)| \ge e^{ng_K(z)} - C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Ikiwa:

\[ z\in L_K(F_n), \]

basi:

\[ |F_n(z)| \le \|F_n\|_K. \]

Kwa hiyo:

\[ e^{ng_K(z)} - C_\sigma e^{-\sigma n} \le 1+C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Kutoka hapa:

\[ e^{ng_K(z)} \le 1+2C_\sigma e^{-\sigma n} \]

na:

\[ g_K(z) \le \frac1n \log \left( 1+2C_\sigma e^{-\sigma n} \right). \]

Wakati ukosefu wa usawa \(\log(1+x)\le x\) unatumiwa:

\[ g_K(z) \le \frac{ 2C_\sigma e^{-\sigma n} }{n}. \]

Kwa kuwa bound hii ni halali katika lemniskati yote ya Faber iliyosanifishwa, nadharia ya \(\varepsilon_n(K)\) hupatikana.

Daraja Linalohitajika kwa Ukanda Mwembamba wa Green Hukuaje?

Katika eneo analitiki la Jordan, daraja linalohitajika hukua kwa kiwango kisichozidi cha kilogarithimu: kwa kila \(0<\sigma<\sigma_*\), wakati \(s\downarrow0\), \(N_K(s)\le \sigma^{-1}\log(1/s)-\sigma^{-1}\log\log(1/s)+O_\sigma(1)\). Kwa hiyo, kudai mikanda myembamba zaidi huongeza daraja kwa kiwango cha kilogarithimu, si kwa sheria ya nguvu.

Usemi mkuu:

\[ \boxed{ N_K(s) \le \frac1\sigma \log\frac1s - \frac1\sigma \log\log\frac1s + O_\sigma(1) } \]

na hasa:

\[ N_K(s) = O_K\left( \log\frac1s \right). \]

Neno la kwanza:

\[ \frac1\sigma\log\frac1s \]

ndilo gharama kuu ya daraja.

Neno la pili:

\[ -\frac1\sigma \log\log\frac1s \]

ni marekebisho ya kiwango cha pili yanayotokana na kipengele cha \(1/n\) katika Faber bound.

Mkusanyiko Uliokatazwa Unawezaje Kutenganishwa kwa Lemniskati ya Polinomu?

Kwa mkusanyiko kompakt \(W\) ulio nje ya mkusanyiko lengwa, tukichukua \(t=\min_W g_K>0\), daraja likichaguliwa kuwa kubwa vya kutosha, lemniskati iliyosanifishwa ya polinomu ya Faber hujumuisha \(K\) huku ikiiacha \(W\) nje kabisa. Daraja linalotosha tena hukua takribani katika kiwango cha \(\sigma^{-1}\log(1/t)\).

Sharti la kutosha:

\[ n \ge \frac1\sigma \log\frac1t - \frac1\sigma \log\log\frac1t + A_\sigma. \]

Katika hali hii polinomu P hupatikana na:

\[ K \subset \{z:|P(z)|\le\|P\|_K\} \]

ilhali:

\[ W \cap \{z:|P(z)|\le\|P\|_K\} = \varnothing. \]

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Aina ya utafiti wa kihisabati

Utafiti ni wa kinadharia kabisa. Hakukutumiwa data za majaribio, uigaji wa namba, seti ya data ya mafunzo wala jaribio la nadharia tete la kitakwimu.

Zana kuu:

• funksi ya Green,
• mikusanyiko ya kiwango-chini ya polinomu changamano,
• ramani konformali,
• funksi harmoniki,
• kanuni za kiwango cha juu/cha chini,
• polinomu za Faber,
• integali ya kontua na mwendelezo analitiki,
• uchanganuzi wa ukuaji wa asimptotiki.

Dhana kuu

Kwa nadharia za kwanza, \(\Omega\) ni eneo la Jordan lenye mpaka na lililounganishwa kwa urahisi, na \(K\) ni ufungaji wake kompakt.

Kwa makadirio ya Faber, kwa ziada \(\partial K\) lazima iwe mpaka analitiki wa Jordan.

Nadharia 1.2 — Collar-separation dictionary

\[ N_K(s) = \min \{ n\ge1: \varepsilon_n(K)

Usawa huu unaunganisha ukadiriaji wa ukanda na utengano kutoka eneo la nje lililokatazwa chini ya tatizo lilelile la daraja.

Nadharia 1.3 — Finite-degree gap

\[ \varepsilon_N(K)=0 \]

inawezekana ikiwa na ikiwa tu K, ni ya daraja lisilozidi N na ni lemniskati kamili ya polinomu.

Matokeo:

\[ K \text{ tam polinom lemniskatı değilse} \quad N_K(s)\to\infty \quad(s\downarrow0). \]

Nadharia 1.4 — Faber collar estimate

Kwenye mpaka analitiki wa Jordan na:

\[ 0<\sigma<\sigma_* \]

wakati:

\[ \varepsilon_n(K) \le C_\sigma \frac{e^{-\sigma n}}{n}. \]

Korolari 1.5 — Logarithmic degree growth

\[ N_K(s) \le \frac1\sigma \log\frac1s - \frac1\sigma \log\log\frac1s + O_\sigma(1). \]

Kwa hiyo:

\[ N_K(s) = O_K(\log(1/s)). \]

Korolari 1.6 — Utengano kutoka mkusanyiko uliokatazwa

\[ t=\min_W g_K>0 \]

basi daraja la kutosha ni:

\[ n \ge \frac1\sigma \log\frac1t - \frac1\sigma \log\log\frac1t + A_\sigma \]

linapochaguliwa, mkusanyiko lengwa na W vinaweza kutenganishwa kwa lemniskati ya polinomu.

Mfano wa modeli 1: diski iliyofungwa

Diski iliyofungwa ni lemniskati kamili ya daraja la kwanza.

\[ P(z)=z \]

kwa kuchagua:

\[ L_K(P)=K. \]

Hivyo:

\[ N_K(s)=1 \]

ni halali kwa kila \(s>0\).

Mfano wa modeli 2: duaradufu isiyo ya duara

Duaradufu isiyo ya duara si lemniskati kamili ya polinomu.

Umbo la kawaida la kinyume cha ramani ya nje:

\[ z= \zeta+\frac{q}{\zeta}, \qquad 0

na lina branch point.

Kwa sababu ya nadharia ya finite-degree gap:

\[ N_K(s)\to\infty \]

lakini kwa sababu ya mpaka analitiki, kadirio la Faber pia hutoa:

\[ N_K(s) = O(\log(1/s)) \]

kama mpaka wa juu.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Kwa daraja lisilobadilika, hitilafu sifuri ya ukanda wa Green inawezekana tu kwa lemniskati kamili za polinomu.
• Kwa malengo ambayo si lemniskati kamili za polinomu, daraja linalohitajika hukua bila kikomo kadiri ukanda unavyobana hadi sifuri.
• Kwenye mipaka analitiki ya Jordan, polinomu za Faber hutoa mpaka wa juu wa kielelezo kwa hitilafu ya ukanda.
• Kwa malengo analitiki, ukuaji wa juu wa kilogarithimu hupatikana kwa daraja linalohitajika.
• Kiasi hicho hicho cha uchangamano pia hudhibiti tatizo la kulitenganisha lengwa na mikusanyiko kompakt ya nje iliyokatazwa.

Matokeo yasiyoungwa mkono na utafiti

• Kasi ileile ya kielelezo haijathibitishwa kwa maeneo yote ya Jordan; kadirio la Faber hutumia dhana ya mpaka analitiki.
• Asimptotiki kali ya pande mbili ya \(N_K(s)\) haijatolewa kwa maeneo yote analitiki ya Jordan.
• Lower bound ya jumla yenye umbo \(N_K(s)\sim c\log(1/s)\) haijathibitishwa.
• Kuwa na sehemu moja tu ya mkusanyiko wa kiwango-chini wa polinomu iliyo sawa na lengwa haitoshi kwa finite-degree rigidity.
• Matokeo hayajatokana na majaribio ya uboreshaji wa namba wala hesabu zinazosaidiwa na kompyuta.

Mwelekeo mkuu ulio wazi

Kwa mujibu wa remark ya mwisho ya makala, uchangamano unaweza kuwa bounded kwa lemniskati kamili za polinomu, ilhali kwa maeneo mengine analitiki ya Jordan \(N_K(s)\to\infty\). Kwa dhana zilizopo pekee, kiwango cha chini kilicho kali cha ukuaji huu hakiwezi kubainishwa.

Kwa hiyo, dhana za ziada za kijiometri zinahitajika kwa mipaka ya chini iliyo kali zaidi.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Utafiti asilia:Polynomial lemniscate collar complexity

Waandishi: Venkata Siddharth Pendyala; Neel Narayan.

Taasisi iliyo kwenye PDF: Interlake Senior High School.

Tarehe ya utafiti: 31 Mei 2026.

Tarehe ya kuchapishwa SSRN: 19 Juni 2026.

Jukwaa: SSRN.

SSRN DOI: 10.2139/ssrn.6859738

Aina ya chanzo: Preprint / working paper.

Hali ya mapitio ya rika: Katika uthibitishaji huu, toleo la jarida lililopitiwa na rika halikupatikana; utafiti umetathminiwa kama preprint ya SSRN.

Hali ya leseni / haki: Ukurasa wa rekodi wa SSRN unasema “All rights reserved. No reuse allowed without permission”.

Mathematics Subject Classification: Primary 30C10; Secondary 30E10, 31A15, 41A10.

Maneno muhimu ya chanzo: polynomial lemniscates, Faber polynomials, Green functions, conformal maps, polynomial approximation.

Ufadhili: Hakuna tamko la ufadhili lililoripotiwa katika PDF ya chanzo.

Mgongano wa maslahi: Hakuna tamko tofauti la mgongano wa maslahi lililoripotiwa katika PDF ya chanzo.

Upatikanaji wa data: Utafiti ni makala ya kinadharia ya hisabati; hakuna seti ya data ya majaribio au uchunguzi iliyotumiwa.

Mipaka mikuu ya kimethodolojia:Kadirio la kielelezo la Faber na mpaka wa juu wa kilogarithimu wa daraja hutegemea dhana ya mpaka analitiki wa Jordan. Utafiti hautoi uwiano huohuo wa kiasi kwa maeneo ya jumla ya Jordan wala lower bound ya jumla na kali kwa maeneo yote analitiki ya non-lemniscate. \(\sigma_*\) hutegemea upana wa mwendelezo analitiki wa kinyume cha ramani konformali ya nje na hubadilika kutoka jiometri moja hadi nyingine.

Kanuni ya uwasilishaji ya Verianla: Maudhui haya si tafsiri kamili ya maandishi ya preprint ya chanzo wala uandishi upya wa uthibitisho mstari kwa mstari. Ufafanuzi, nadharia, milinganyo na matokeo ya kihisabati yamehifadhiwa; mantiki kuu ya uthibitisho imeelezwa katika muundo huru wa kufundishia. Kwa rejea ya kitaaluma na uthibitisho kamili wa kiufundi, utafiti asilia wa SSRN unapaswa kuchunguzwa.