Глобалдык Карлеман баалоосу — жекече туундулуу дифференциалдык теңдеменин чечимине атайын тандалган чоң параметрлүү салмактарды колдонуу аркылуу чечимдин ички аймактагы энергиялык чоңдуктарын булак мүчөлөрү жана жеткиликтүү байкоолор менен көзөмөлдөгөн априордук теңсиздик. Luchuan Zhou жана Bo You жүргүзгөн изилдөө борбордо \(\mu/|x|^2\) түрүндөгү сингулярдуулукка ээ жана Wiener ызы-чуусу менен бузулган стохастикалык Шрёдингер теңдемелери үчүн ушундай баалоону курат. Изилдөөнүн негизги татаалдыгы — сингулярдуу потенциалдын Hardy-критикалык жүрүм-турумун, чечимдин комплекстүү маанилүү болушун жана Itô стохастикалык мүчөлөрүн бир эле далилдин ичинде биргелешип көзөмөлдөө.

Авторлор адегенде критикалык Hardy туруктуусу \(\mu^*=(N-2)^2/4\) айланасында ылайыктуу функциялык мейкиндиктерди куруп, түз жана артка системалардын корректтүү коюлушун жана артка түйүндөш чечимдин чек арадагы нормал туундусунун регулярдуулугун камсыз кылышат. Андан соң \(\psi(x)=\ln|x|\), убакыттын учтарында сингулярлашкан \(K(t)=[t(T-t)]^{-3}\) жана эки чоң Карлеман параметри \(s,\lambda\) аркылуу салмакталган теңдештикти чыгарышат. Hardy тибиндеги теңсиздиктер бул теңдештикте тескери-квадрат сингулярдуулугу пайда кылган терс энергиялык мүчөлөрдү көзөмөлдөө үчүн колдонулат.

Курулган Карлеман баалоосунан артка түйүндөш система үчүн байкалуучулук теңсиздиги алынат. Стохастикалык дуалдуулук, Hahn-Banach теоремасы жана Riesz өкүлчүлүк теоремасы аркылуу бул байкалуучулук натыйжасы башкарылуучу түз системага өткөрүлүп, булакта көрсөтүлгөн божомолдор астында ар бир \(T>0\) үчүн так башкарылуучулук далилденет. Ошол эле Карлеман механизминин түз система үчүн версиясы чек арадагы нормал туунду байкоолорунан баштапкы абалдардын айырмасын чектеген туруктуулук баалоосун да берет.

Изилденген стохастикалык Шрёдингер системасы

Изилдөө \(N\geq3\) болгон учурда чектелген \(G\subset\mathbb R^N\) областында жана \(Q=G\times(0,T)\) мейкиндик-убакыт цилиндринде төмөнкү башкарылуучу стохастикалык системаны карайт:

\[ \begin{cases} i\,dy+\Delta y\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}y\,dt =(py+f)\,dt+(qy+g)\,dW(t), & \text{Q içinde},\\[4pt] y=0, & \Sigma\setminus\Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y=u, & \Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y(0)=y_0, & G\text{ içinde}. \end{cases} \]

Бул жерде \(W(t)\) — бир өлчөмдүү стандарттуу Brownian кыймылы. \(p\) жана \(q\) төмөнкү тартиптеги коэффициенттер. \(f\) — детерминисттик-убакыт дифференциалы каналындагы тышкы мүчө; \(u\) — чек аралык башкаруу; \(g\) болсо стохастикалык диффузия каналындагы башкаруу. Изилдөөдөгү так башкарылуучулук натыйжасы чек аралык \(u\) башкаруусуна гана таянбайт; \((u,g)\) башкаруу жубу бирге колдонулат.

Тескери-Квадрат Сингулярдуу Потенциал Эмне Үчүн Критикалык Математикалык Маселе?

Тескери-квадрат потенциал \(\mu/|x|^2\), \(x=0\) чекитинде чексиз болуп кеткендиктен, стандарттуу \(H_0^1(G)\) энергиялык баалоолорун түздөн-түз колдонуу кыйындайт. Изилдөө бул сингулярдуулукту Hardy теңсиздиги менен көзөмөлдөйт жана \(\mu^*=(N-2)^2/4\) туруктуусун критикалык босого катары колдонот; \(\mu<\mu^*\) учурда энергиялык норма стандарттуу Sobolev нормасына эквиваленттүү болсо, \(\mu=\mu^*\) критикалык учурда кыйла назик Hardy тибиндеги баалоолор талап кылынат.

Hardy критикалык туруктуусу жана \(H_\mu\) мейкиндиги

Булакта классикалык Hardy теңсиздигинин критикалык туруктуусу

\[ \mu^*=\frac{(N-2)^2}{4} \]

деп аныкталат жана

\[ \mu^*\int_G\frac{|v(x)|^2}{|x|^2}\,dx \leq \int_G|\nabla v(x)|^2\,dx \]

теңсиздиги колдонулат. Мунун негизинде \(\mu\leq\mu^*\) үчүн

\[ \langle u,v\rangle_{H_\mu} = \int_G \left( \nabla u\cdot\nabla\overline v - \frac{\mu}{|x|^2}u\overline v \right)dx \]

энергиялык түзүлүш аныкталат. Субкритикалык \(\mu<\mu^*\) режиминде бул норма \(H_0^1(G)\) нормасына эквиваленттүү. Ал эми критикалык \(\mu=\mu^*\) учурда булак кошумча үч так Hardy тибиндеги теңсиздикти пайдаланат.

Бул айырма жөн гана техникалык эмес. Башкарылуучу маселе үчүн критикалык учурда булак кошумча \(p=q=0\) божомолун коёт. Түз системанын абалды байкоо бөлүмүндө колдонулган Condition 2.7 болсо критикалык учурда \(p=q=f=0\) шартын камтыйт. Ошондуктан макаланын критикалык режимдеги натыйжаларын төмөнкү тартиптеги жалпы коэффициенттери бар маселе үчүн шартсыз натыйжа катары түшүнүүгө болбойт.

Артка түйүндөш система эмне үчүн керек?

Так башкарылуучулукту далилдөө түз теңдемени түздөн-түз башкарууга аракет кылуунун ордуна, ага дуал болгон артка стохастикалык Шрёдингер системасынын байкалуучулугун изилдейт:

\[ \begin{cases} i\,dz+\Delta z\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}z\,dt =(pz-iqZ)\,dt+Z\,dW(t),\\[4pt] z=0 \quad \text{sınırda},\\[4pt] z(T)=z_T. \end{cases} \]

Бул жерде \(z\) — түйүндөш абал; \(Z\) болсо артка стохастикалык системанын мартингалдык/диффузиялык компоненти. Изилдөө адегенде \((z,Z)\) үчүн корректтүү коюлушту жана энергиялык баалоолорду алат. Андан кийин чек арадагы нормал туундунун

\[ \frac{\partial z}{\partial\nu} \]

квадратынын убакыт-чек ара интегралы терминалдык берилменин \(H_\mu\) нормасы менен көзөмөлдөнөт. Бул «жашыруун регулярдуулук» натыйжасы Карлеман баалоосундагы чек аралык байкоо мүчөсүнүн математикалык жактан маанилүү болушун камсыз кылат.

Транспозициялык чечим эмне үчүн колдонулат?

Чек аралык башкаруу \(u\) жана баштапкы берилме \(y_0\in H_\mu'\) сыяктуу төмөн регулярдуулуктагы берилмелер менен түз системанын классикалык же күчтүү чечимин талап кылуу ылайыктуу эмес. Ошондуктан булак түз системаны транспозициялык чечим аркылуу аныктайт. Чечим артка жардамчы маселенин чечимдери менен түзүлгөн дуалдуулук теңдештигин аткарышы аркылуу белгиленет.

Бул ыкманын илимий ролу чек аралык башкарууну жана стохастикалык мүчөлөрдү алсызыраак функциялык мейкиндиктерде кармап туруп, ошентсе да так аныкталган түз эволюцияны курууда турат. Булак адегенде \(p=q=0\) учурда Riesz өкүлчүлүк теоремасы менен бар болууну алат; андан кийин жалпы субкритикалык учурда кичине убакыт интервалдарында Banach туруктуу чекит теоремасын колдонуп, интервалдарды бириктирүү менен бүтүндөй \([0,T]\) аралыгына өтөт.

Карлеман Баалоосу Бул Изилдөөдө Эмнени Камсыз Кылат?

Карлеман баалоосу чечимдин салмакталган \(L^2\), градиент жана Hardy-энергия мүчөлөрүн; булак мүчөлөрү, стохастикалык диффузия мүчөсү жана байкалуучу чек арадагы нормал туунду менен көзөмөлдөйт. Бул жалгыз теңсиздик кийин артка системанын байкалуучулугунун да, түз системадагы абалды байкоо туруктуулугунун да негизги аналитикалык киргизүүсү болуп калат.

Изилдөөнүн салмак функциясы

Булак Карлеман салмагын

\[ \alpha(t,x) = K(t) \left( e^{5\lambda\|\psi\|} - e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} - \frac{|x|^2}{2} \right) \]

түрүндө аныктайт. Мындан тышкары

\[ K(t)=[t(T-t)]^{-3}, \qquad \psi(x)=\ln|x|, \]

\[ \xi = K e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} = K e^{3\lambda\|\psi\|}|x|^\lambda, \qquad \theta=e^{-s\alpha} \]

колдонулат. Байкалуучу чек ара бөлүгү болсо

\[ \Gamma_0 = \{x\in\Gamma:\;x\cdot\nu(x)>0\} \]

деп тандалат.

Булактагы нотациялык чек: PDF бир эле жерде \(\|\psi\|=\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) жана \(\psi(x)=\ln|x|\) деп жазып, мурда \(0\in G\) божомолун берген. Стандарттуу \(L^\infty\)-норманын аныктамасында бул эки туюнтманы бирге колдонуу түшүндүрмөнү талап кылат. Бул жерде формула булакта кандай болсо ошондой берилет, бирок бул жагдай оңдолгон же чечилген деп кабыл алынбайт.

Негизги глобалдык Карлеман теңсиздиги

Теорема 3.1, \(\mu\leq\mu^*(N)\) үчүн жетишерлик чоң \(\lambda\) жана ага байланыштуу жетишерлик чоң \(s\) маанилеринде,

\[ i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt = F_1\,dt+F_2\,dW(t), \qquad z|_\Sigma=0 \]

системасынын чечимдери төмөнкү түзүлүштөгү глобалдык баалоону аткарарын билдирет:

\[ \begin{aligned} & \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^3K^3|x|^2|z|^2 + sK|x|^2|\nabla z|^2 \right)\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2s^{5/3}K^{5/3}|z|^2\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2sK \left( |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \right)\,dxdt\\ &\leq C\Bigg[ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G\theta^2|F_1|^2\,dxdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_{\Gamma_0} \theta^2s\lambda\xi \left|\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|^2 \,dSdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^{19/12}K^{4/3}|F_2|^2 + s^{11/12}K|x|^2|\nabla F_2|^2 \right)\,dxdt \Bigg]. \end{aligned} \]

Теңсиздиктин сол тарабы үч түрдүү маалыматты бир убакта көзөмөлдөйт: мейкиндик боюнча салмакталган абал чоңдугун, салмакталган градиент чоңдугун жана тескери-квадрат потенциалды камтыган Hardy энергия айырмасын. Оң тарабы болсо дрейф булагы \(F_1\), байкалуучу чек арадагы нормал туунду жана стохастикалык булак \(F_2\) камтыйт.

Айрыкча

\[ |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \]

мүчөсүн оң/көзөмөлдөнүүчү энергиялык түзүлүштө кармоо Hardy теңсиздиктеринин бул изилдөөдөгү борбордук функциясын көрсөтөт.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Карлеман далилинин төрт баскычы

Салмакталган теңдештиктин негизги өзгөрмөлөрү

Далилде

\[ v=\theta z \]

өзгөртүүсү колдонулат жана булак

\[ I = is\alpha_t v + 2s\nabla\alpha\cdot\nabla v + s\Delta\alpha\,v \]

туюнтмасын аныктайт. Шрёдингер оператору болсо

\[ Pz = i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt \]

түрүндө каралат. \(I\) менен \(Pz\)-нин салмакталган көбөйтүндүсү ачылганда, булакта \(J_1,\ldots,J_7\) түрүндө топтолгон көлөмдүк, чек аралык, убакыттык жана стохастикалык квадраттык вариация мүчөлөрү пайда болот.

Бул баскычта Шрёдингер чечиминин комплекстүү маанилүү болушунан улам чыныгы энергиялык мүчөлөр гана эмес, элестүү бөлүктөрдөн келип чыккан кайчылаш мүчөлөр да бар. Стохастикалык түзүлүш мындан тышкары \((dv)(d\overline v)\) тибиндеги Itô мүчөлөрүн пайда кылат. Авторлор тандаган салмак жана Hardy баалоолору бул мүчөлөрдү тиешелүү белгиге ээ негизги энергиялык мүчөлөргө абсорбциялоо үчүн иштелип чыккан.

Критикалык режимде Hardy баалоолорунун милдети

Булак критикалык \(\mu=\mu^*\) учурда классикалык Hardy теңсиздигин гана эмес, кошумча салмакталган Hardy тибиндеги натыйжаларды да колдонот. Алар өзгөчө

\[ \int_G \left( |\nabla v|^2-\frac{\mu^*}{|x|^2}|v|^2 \right)dx \]

энергия айырмасынан \(L^2\) көзөмөлүн да, \(|x|^2|\nabla v|^2\) сыяктуу салмакталган туунду көзөмөлүн да алууга мүмкүндүк берет. Ошентип сингулярдуулук Карлеман баалоосунун сол тарабында жоголуп кетпестен, ачык түрдө сакталат.

Артка түйүндөш система үчүн чыгарылган Карлеман баалоосу

Негизги теңсиздикте

\[ F_1=pz-iqZ,\qquad F_2=Z \]

деп тандоо менен артка түйүндөш системага мүнөздүү Карлеман теңсиздиги алынат. Жетишерлик чоң \(s\) менен \(p\) жана \(q\)-дан келген ылайыктуу төмөнкү тартиптеги мүчөлөр абсорбциялангандан кийин чечимдин ички энергиялык мүчөлөрү негизинен эки байкалуучу чоңдук менен көзөмөлдөнөт:

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial\nu} \right|_{\Gamma_0} \qquad\text{ve}\qquad Z. \]

Бул эки мүчөнүн кийин байкалуучулук теңсиздигинде бирге көрүнүшү кокустук эмес; стохастикалык Шрёдингер системасынын башкаруу маселесинде эмне үчүн чек аралык башкаруу да, стохастикалык башкаруу да талап кылынарынын аналитикалык дал келүүсү болуп саналат.

Байкалуучулук Теңсиздиги Так Башкарылуучулукка Кантип Байланышат?

Артка түйүндөш системанын терминалдык абалы \(z_T\), чек арадагы нормал туунду байкоосу жана стохастикалык түйүндөш компонент \(Z\) аркылуу көзөмөлдөнө алганда, бул байкалуучулук теңсиздиги дуалдуулук жолу менен түз система үчүн башкаруу функцияларынын бар болушуна айландырылат. Изилдөө бул өтүүдө Hahn-Banach кеңейтүү теоремасын жана Riesz өкүлчүлүк теоремасын колдонуп, каалаган \(y_1\) терминалдык абалына жеткирүүчү \((u,g)\) башкаруу жубун курат.

Байкалуучулук натыйжасы

Теорема 4.2-де артка система үчүн

\[ \|z_T\|_{L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu)} \leq C\left( \left\| \frac{\partial z}{\partial\nu} \right\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} + \|Z\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu)} \right) \]

теңсиздиги алынат.

Бул натыйжа терминалдык түйүндөш абалдын толук нормасы байкалуучу/башкаруу-дуалдык каналдар аркылуу гана чектеле аларын билдирет. Карлеман баалоосу алгач орто убакыт интервалында чечимди көзөмөлдөйт; артка энергиялык баалоо андан соң бул маалыматты терминалдык убакыттагы \(z_T\)-ге жеткирет.

Так башкарылуучулук

Булакта системанын \(T\) убакытта так башкарылуучу болушу ар бир уруксат берилген баштапкы \(y_0\) абалы жана ар бир максаттуу

\[ y_1\in L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu') \]

үчүн ылайыктуу

\[ (g,u) \in L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu') \times L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0)) \]

башкарууларынын табылышы жана тиешелүү чечимдин

\[ y(T)=y_1 \qquad \mathbb P\text{-hemen hemen kesin} \]

теңдигин аткарышы катары аныкталат.

Теорема 4.3, Assumption 2.1 астында \(\mu\leq\mu^*\) жана \(T>0\) үчүн бул так башкарылуучулукту билдирет.

Дуалдуулук далилинин логикасы

Далилде түйүндөш чечимдерден турган мейкиндикте

\[ \mathcal L \left( \left.\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|_{\Gamma_0},Z \right) = \mathbb E\int_G y_1\overline{z_T}\,dx \]

сызыктуу функционал аныкталат. Байкалуучулук теңсиздиги бул функционалдын чектелген экенин берет. Hahn-Banach теоремасы функционалды бүтүндөй көбөйтүндү мейкиндигине кеңейтет, ал эми Riesz өкүлчүлүк теоремасы \((\widetilde u,\widetilde g)\) жубун камсыз кылат. Андан соң булак

\[ (u,g)=(i\widetilde u,\widetilde g) \]

тандоосун транспозициялык чечимдин дуалдуулугу менен бириктирип,

\[ \mathbb E\int_G (y(T)-y_1)\overline{z_T}\,dx =0 \]

натыйжасына ар бир ылайыктуу \(z_T\) үчүн келет; мындан \(y(T)=y_1\) жыйынтыгы чыгат.

Абалды Байкоонун Туруктуулук Баалоосу Эмнени Чектейт?

Абалды байкоонун туруктуулук баалоосу бир эле түз стохастикалык Шрёдингер системасы үчүн эки башка баштапкы абалдын айырмасын байкалуучу чек ара бөлүгүндөгү нормал туундулардын айырмасы менен чектейт. Ошентип, чек арадагы байкоонун кичине айырмасы баштапкы абалда чексиз белгисиздикке туура келбестиги булакта берилген божомолдор астында Lipschitz тибиндеги туруктуулук байланышы менен туюнтулат.

Эки чечим \(y\) жана \(\widehat y\) тиешелүүлүгүнө жараша \(y_0\) жана \(\widehat y_0\) баштапкы абалдары менен байланыштуу болсо, Теорема 4.4

\[ \boxed{ \|y_0-\widehat y_0\|_{H_\mu} \leq C \left\| \frac{\partial y}{\partial\nu} - \frac{\partial\widehat y}{\partial\nu} \right\|_ {L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} } \]

баалоосун берет.

Далил

\[ h=y-\widehat y \]

айырмасын алып, бир тектүү булактуу түз маселеге өтөт жана түз система үчүн чыгарылган Карлеман теңсиздигин \(h\)-ке колдонот. Мурда алынган артка энергия/корректтүү коюлуш баалоолору менен бирге бул баштапкы норманы чек арадагы нормал туундунун айырмасы аркылуу көзөмөлдөөгө айланат.

Критикалык учурдагы маанилүү чектөө

Булактын Remark 4.5 бөлүгү маанилүү чектөө коёт. \(\mu=\mu^*\) критикалык режиминде курулган Карлеман баалоосу өз алдынча жалпылыраак коэффициенттерге жол бере тургандай көрүнгөнү менен, 2.5-бөлүмдө алынган регулярдуулук натыйжалары \(p,q\neq0\) учуру үчүн жетишсиз. Авторлор критикалык режимде бул регулярдуулукту кеңейтүүгө мүмкүн болсо, Теорема 4.4түн божомолун да жумшартууга болорун белгилешет.

Изилдөө колдогон натыйжалар жана чечмелөө чеги

• Сингулярдуу тескери-квадрат потенциалдуу стохастикалык Шрёдингер теңдемелери үчүн булакта көрсөтүлгөн шарттар астында жаңы глобалдык Карлеман баалоосу курулган.
• Карлеман баалоосу критикалык \(\mu=\mu^*\) учурдагы Hardy энергия мүчөсүн да ачык түрдө көзөмөлдөй тургандай иштелген.
• Артка түйүндөш система үчүн байкалуучулук теңсиздиги алынган.
• Башкарылуучу түз система булакта көрсөтүлгөн \((u,g)\) башкаруу жубу колдонулуп, божомолдор аткарылганда ар бир \(T>0\) үчүн так башкарылуучу.
• Түз маселе үчүн баштапкы абалга байланыштуу чек аралык байкоого негизделген туруктуулук баалоосу алынган.
• Натыйжалар теориялык; физикалык кванттык системада эксперименттик башкаруунун ийгилиги же сандык колдонмонун өндүрүмдүүлүгү көрсөтүлгөн эмес.
• «Так башкарылуучулук» бардык реалдуу кванттык системаларды практикада каалаган абалга алып келүүгө болот дегенди билдирбейт; теорема көрсөтүлгөн стохастикалык PDE модели, функциялык мейкиндиктер жана коэффициенттик божомолдор чегинде колдонулат.
• Критикалык режимде төмөнкү тартиптеги коэффициенттер үчүн кошумча нөлгө теңөө божомолдору бар; натыйжалар алар жоктой жалпыланбашы керек.
• Булактын Карлеман салмагындагы \(\psi=\ln|x|\) жана \(L^\infty\)-норма белгилөөсү түшүндүрмөнү талап кылган булак ичиндеги жагдай болуп саналат жана Verianla тарабынан оңдолду деп эсептелбейт.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталышы: Global Carleman estimate for stochastic Schrödinger equations with singular inverse-square potentials and its applications

Авторлор: Luchuan Zhou; Bo You.

Байланыш үчүн автор: SSRN жазуусу Bo You'ну байланыш үчүн автор катары көрсөтөт.

Мекеме: School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, 710049, P. R. China.

PDF датасы: 28 май 2026.

Платформа: SSRN.

SSRN Abstract ID: 6963586.

DOI: 10.2139/ssrn.6963586.

SSRN'ге жөнөтүлгөн дата: 18 июнь 2026.

Булактын түрү: Теориялык математика боюнча изилдөө препринти.

Рецензиялоо абалы: Рецензиядан өтө элек; PDF муну ачык көрсөтөт.

Журнал/басмакана: Булакта рецензияланган журналдык жарыя же расмий акыркы басылма версиясы тууралуу маалымат жок; колдонулган нуска SSRN препринти.

Лицензия/автордук укук абалы: SSRN жазуусу “All rights reserved; no reuse allowed without permission” деген маалыматты берет. Ошондуктан булак тексти, түпнуска баяндоо түзүлүшү же түпнуска барак дизайны кайра жарыяланган эмес; илимий фактылар, математикалык туюнтмалар, ыкма жана натыйжалар көз карандысыз Verianla окутуу архитектурасында түшүндүрүлгөн.

Каржылоо: Булак National Science Foundation of China Grant 11871389, Fundamental Research Funds for the Central Universities xzy012022008 жана Shaanxi Fundamental Science Research Project for Mathematics and Physics 22JSY032 алкагында жарым-жартылай каржылык колдоо көрсөтүлгөнүн билдирет.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Изилдөө теориялык PDE иши болуп саналат; талданган эксперименттик маалымат топтому билдирилген эмес.

Авторлордун салымдары: Өзүнчө CRediT салым билдирүүсү аныкталган эмес.

Кызыкчылыктардын кагылышы: PDF ичинде өзүнчө кызыкчылыктардын кагылышы бөлүмү аныкталган эмес.

Негизги ыкма: Hardy критикалык энергия мейкиндиктери, түз/артка стохастикалык Шрёдингер теңдемелеринин корректтүү коюлушу, Itô эсептөөсү, салмакталган Карлеман теңдештиги, Hardy тибиндеги теңсиздиктер, чек аралык байкалуучулук, стохастикалык дуалдуулук, Hahn-Banach теоремасы жана Riesz өкүлчүлүк теоремасы.

Негизги математикалык чек: Натыйжалар \(N\geq3\), \(\mu\leq\mu^*\), булакта аныкталган коэффициенттердин регулярдуулугу жана критикалык учурда көрсөтүлгөн кошумча коэффициенттик божомолдор астында алынган.

Булак ичиндеги шайкештик эскертүүсү 1: Булак \(\psi(x)=\ln|x|\), \(0\in G\) жана \(\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) белгилөөлөрүн бирге колдонот. Стандарттуу норма түшүндүрмөсүндө бул жагдай кошумча түшүндүрүүнү талап кылат; Verianla булактан тышкаркы оңдоо киргизбейт.

Булак ичиндеги шайкештик эскертүүсү 2: 4.2-бөлүмдүн киришинде problem (2.35) деген туюнтма орун алса, Теорема 4.4 жана андан кийинки эсептөөлөр problem (2.33)тү колдонот. Бул кайчылаш шилтеме айырмасы булакта түшүндүрүлгөн эмес.

Визуалды кайра чийүү: Булакта маалыматка негизделген график же эксперименттик визуал жок болгондуктан, эң коопсуз ыкма — толугу менен оригиналдуу математикалык схема: борбордук \(1/|x|^2\) сингулярдуулугу, \(G\) областы, \(\Gamma_0\) байкоо чек арасы жана Карлеман → байкалуучулук → дуалдуулук → так башкарылуучулук агымы.

Verianla Live / Live Figure: Туруктуу параметрлүү ыкма агымы үчүн жарым-жартылай ылайыктуу. Илимий параметрлерди өзгөрткөн колдонуучу башкарган симуляция же реалдуу кванттык динамика тууралуу доомат койгон анимация ылайыктуу эмес.