Küresel Carleman tahmini, bir kısmi diferansiyel denklemin çözümüne özel olarak seçilmiş büyük parametreli ağırlıklar uygulayarak çözümün iç bölgedeki enerji büyüklüklerini kaynak terimleri ve erişilebilir gözlemlerle kontrol eden bir a priori eşitsizliktir. Luchuan Zhou ve Bo You'nun çalışması, merkezde \(\mu/|x|^2\) biçiminde tekillik taşıyan ve Wiener gürültüsüyle bozulan stokastik Schrödinger denklemleri için böyle bir tahmin kuruyor. Araştırmanın temel güçlüğü; tekil potansiyelin Hardy-kritik davranışı, çözümün karmaşık değerli olması ve Itô stokastik terimlerinin aynı ispat içinde birlikte denetlenmesidir.

Yazarlar önce kritik Hardy sabiti \(\mu^*=(N-2)^2/4\) etrafında uygun fonksiyon uzaylarını kuruyor; ileri ve geri sistemlerin iyi-kurulmuşluğunu ve geri adjoint çözümün sınırdaki normal türevinin düzenliliğini sağlıyor. Ardından \(\psi(x)=\ln|x|\), zamansal olarak uçlarda tekilleşen \(K(t)=[t(T-t)]^{-3}\) ve iki büyük Carleman parametresi \(s,\lambda\) üzerinden ağırlıklı bir özdeşlik türetiyor. Hardy tipi eşitsizlikler bu özdeşlikte ters-kare tekilliğinin ürettiği negatif enerji terimlerini kontrol etmek için kullanılıyor.

Kurulan Carleman tahmininden geri adjoint sistem için bir gözlenebilirlik eşitsizliği elde ediliyor. Stokastik dualite, Hahn-Banach teoremi ve Riesz temsil teoremiyle bu gözlenebilirlik sonucu kontrollü ileri sisteme aktarılıyor ve kaynakta belirtilen varsayımlar altında her \(T>0\) için tam kontrol edilebilirlik ispatlanıyor. Aynı Carleman mekanizmasının ileri sistem sürümü ayrıca sınırdaki normal türev gözlemlerinden başlangıç durumundaki farkı sınırlayan bir kararlılık tahmini veriyor.

İncelenen stokastik Schrödinger sistemi

Çalışma, \(N\geq3\) olmak üzere sınırlı bir \(G\subset\mathbb R^N\) bölgesinde ve \(Q=G\times(0,T)\) uzay-zaman silindirinde aşağıdaki kontrollü stokastik sistemi ele alır:

\[ \begin{cases} i\,dy+\Delta y\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}y\,dt =(py+f)\,dt+(qy+g)\,dW(t), & \text{Q içinde},\\[4pt] y=0, & \Sigma\setminus\Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y=u, & \Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y(0)=y_0, & G\text{ içinde}. \end{cases} \]

Burada \(W(t)\) tek boyutlu standart Brownian hareketidir. \(p\) ve \(q\) alt mertebe katsayılarıdır. \(f\), deterministik-zaman diferansiyeli kanalındaki dış terim; \(u\) sınır kontrolü; \(g\) ise stokastik difüzyon kanalındaki kontroldür. Çalışmadaki tam kontrol edilebilirlik sonucu yalnız sınır kontrolü \(u\)'ya dayanmaz; kontrol çifti \((u,g)\) birlikte kullanılır.

Ters-Kare Tekil Potansiyel Neden Kritik Bir Matematiksel Sorundur?

Ters-kare potansiyel \(\mu/|x|^2\), \(x=0\)'da sınırsız hale geldiği için standart \(H_0^1(G)\) enerji tahminlerinin doğrudan kullanılmasını güçleştirir. Çalışma bu tekilliği Hardy eşitsizliğiyle denetler ve \(\mu^*=(N-2)^2/4\) sabitini kritik eşik olarak kullanır; \(\mu<\mu^*\) durumunda enerji normu standart Sobolev normuna eşdeğerken, \(\mu=\mu^*\) kritik durumunda daha hassas Hardy tipi tahminler gerekir.

Hardy kritik sabiti ve \(H_\mu\) uzayı

Kaynakta klasik Hardy eşitsizliğinin kritik sabiti

\[ \mu^*=\frac{(N-2)^2}{4} \]

olarak tanımlanır ve

\[ \mu^*\int_G\frac{|v(x)|^2}{|x|^2}\,dx \leq \int_G|\nabla v(x)|^2\,dx \]

eşitsizliği kullanılır. Buna dayanarak \(\mu\leq\mu^*\) için

\[ \langle u,v\rangle_{H_\mu} = \int_G \left( \nabla u\cdot\nabla\overline v - \frac{\mu}{|x|^2}u\overline v \right)dx \]

enerji yapısı tanımlanır. Altkritik \(\mu<\mu^*\) rejiminde bu norm \(H_0^1(G)\) normuyla eşdeğerdir. Kritik \(\mu=\mu^*\) durumunda ise kaynak üç ek keskin Hardy tipi eşitsizlikten yararlanır.

Bu ayrım yalnız teknik değildir. Kontrollü problem için kritik durumda kaynak ayrıca \(p=q=0\) varsayımını koyar. İleri sistemin durum gözlemi bölümünde kullanılan Condition 2.7 ise kritik durumda \(p=q=f=0\) koşulunu içerir. Dolayısıyla makalenin kritik rejim sonuçları, genel alt mertebe katsayılı problem için koşulsuz bir sonuç olarak okunmamalıdır.

Geri adjoint sistem neden gerekiyor?

Tam kontrol edilebilirliğin ispatı doğrudan ileri denklemi kontrol etmeye çalışmak yerine, ona dual olan geri stokastik Schrödinger sisteminin gözlenebilirliğini inceler:

\[ \begin{cases} i\,dz+\Delta z\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}z\,dt =(pz-iqZ)\,dt+Z\,dW(t),\\[4pt] z=0 \quad \text{sınırda},\\[4pt] z(T)=z_T. \end{cases} \]

Burada \(z\), adjoint durum; \(Z\) ise geri stokastik sistemin martingale/difüzyon bileşenidir. Çalışma önce \((z,Z)\) için iyi-kurulmuşluk ve enerji tahminleri elde eder. Daha sonra sınırdaki normal türevin

\[ \frac{\partial z}{\partial\nu} \]

karesinin zaman-sınır integrali terminal verinin \(H_\mu\) normuyla kontrol edilir. Bu “hidden regularity” sonucu, Carleman tahminindeki sınır gözlem teriminin matematiksel olarak anlamlı olmasını sağlar.

Transpozisyon çözümü ne işe yarıyor?

Sınır kontrolü \(u\) ve başlangıç verisi \(y_0\in H_\mu'\) gibi düşük düzenlilikli verilerle ileri sistemin klasik veya güçlü çözümünü istemek uygun değildir. Bu nedenle kaynak ileri sistemi transpozisyon çözümü aracılığıyla tanımlar. Çözüm, geri yardımcı problemin çözümleriyle kurulan dualite özdeşliğini sağlaması üzerinden belirlenir.

Bu yaklaşımın bilimsel rolü, sınır kontrolü ve stokastik terimleri daha zayıf fonksiyon uzaylarında tutarken yine de iyi tanımlı bir ileri evrim kurabilmektir. Kaynak, önce \(p=q=0\) durumunda Riesz temsil teoremiyle varlığı elde eder; daha sonra genel altkritik durumda küçük zaman aralıklarında Banach sabit nokta teoremini kullanır ve aralıkları birleştirerek \([0,T]\)'nin tamamına geçer.

Carleman Tahmini Bu Çalışmada Neyi Sağlıyor?

Carleman tahmini, çözümün ağırlıklandırılmış \(L^2\), gradyan ve Hardy-enerji terimlerini; kaynak terimleri, stokastik difüzyon terimi ve gözlenebilir sınırdaki normal türev ile kontrol eder. Bu tek eşitsizlik daha sonra hem geri sistemin gözlenebilirliğinin hem de ileri sistemdeki durum gözlemi kararlılığının temel analitik girdisi olur.

Çalışmanın ağırlık fonksiyonu

Kaynak, Carleman ağırlığını

\[ \alpha(t,x) = K(t) \left( e^{5\lambda\|\psi\|} - e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} - \frac{|x|^2}{2} \right) \]

ile tanımlar. Ayrıca

\[ K(t)=[t(T-t)]^{-3}, \qquad \psi(x)=\ln|x|, \]

\[ \xi = K e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} = K e^{3\lambda\|\psi\|}|x|^\lambda, \qquad \theta=e^{-s\alpha} \]

kullanılır. Gözlenen sınır parçası ise

\[ \Gamma_0 = \{x\in\Gamma:\;x\cdot\nu(x)>0\} \]

olarak seçilir.

Kaynak-içi notasyon sınırı: PDF, aynı yerde \(\|\psi\|=\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) ve \(\psi(x)=\ln|x|\) yazarken daha önce \(0\in G\) varsaymıştır. Standart \(L^\infty\)-norm tanımında bu iki ifade birlikte açıklama gerektirir. Burada formül kaynakta bulunduğu biçimiyle aktarılmakta, ancak bu nokta düzeltilmiş veya çözülmüş kabul edilmemektedir.

Ana küresel Carleman eşitsizliği

Teorem 3.1, \(\mu\leq\mu^*(N)\) için yeterince büyük \(\lambda\) ve buna bağlı yeterince büyük \(s\) değerlerinde,

\[ i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt = F_1\,dt+F_2\,dW(t), \qquad z|_\Sigma=0 \]

sisteminin çözümlerinin şu yapıda bir global tahmini sağladığını bildirir:

\[ \begin{aligned} & \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^3K^3|x|^2|z|^2 + sK|x|^2|\nabla z|^2 \right)\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2s^{5/3}K^{5/3}|z|^2\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2sK \left( |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \right)\,dxdt\\ &\leq C\Bigg[ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G\theta^2|F_1|^2\,dxdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_{\Gamma_0} \theta^2s\lambda\xi \left|\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|^2 \,dSdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^{19/12}K^{4/3}|F_2|^2 + s^{11/12}K|x|^2|\nabla F_2|^2 \right)\,dxdt \Bigg]. \end{aligned} \]

Eşitsizliğin sol tarafı üç farklı bilgiyi birlikte kontrol eder: uzaysal ağırlıklı durum büyüklüğü, ağırlıklı gradyan büyüklüğü ve ters-kare potansiyeli içeren Hardy enerji farkı. Sağ tarafta ise drift kaynağı \(F_1\), gözlenebilir sınırdaki normal türev ve stokastik kaynak \(F_2\) bulunur.

Özellikle

\[ |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \]

teriminin pozitif/denetlenebilir enerji yapısında tutulabilmesi, Hardy eşitsizliklerinin bu çalışmadaki merkezi işlevini gösterir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Carleman ispatının dört aşaması

Ağırlıklı özdeşliğin temel değişkenleri

İspatta

\[ v=\theta z \]

dönüşümü kullanılır ve kaynak

\[ I = is\alpha_t v + 2s\nabla\alpha\cdot\nabla v + s\Delta\alpha\,v \]

ifadesini tanımlar. Schrödinger operatörü ise

\[ Pz = i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt \]

olarak ele alınır. \(I\) ile \(Pz\)'nin ağırlıklı çarpımı açıldığında kaynakta \(J_1,\ldots,J_7\) biçiminde gruplanan hacim, sınır, zaman ve stokastik kuadratik varyasyon terimleri ortaya çıkar.

Bu aşamada karmaşık değerli Schrödinger çözümü nedeniyle yalnız reel enerji terimleri değil, imaginer kısımlardan gelen çapraz terimler de bulunur. Stokastik yapı ayrıca \((dv)(d\overline v)\) tipindeki Itô terimlerini üretir. Yazarların seçtiği ağırlık ve Hardy tahminleri bu terimlerin uygun işaretli ana enerji terimleri tarafından absorbe edilmesini sağlamak üzere tasarlanmıştır.

Kritik rejimde Hardy tahminlerinin görevi

Kaynak, kritik \(\mu=\mu^*\) durumunda yalnız klasik Hardy eşitsizliğini değil, ek ağırlıklı Hardy tipi sonuçları kullanır. Bunlar özellikle

\[ \int_G \left( |\nabla v|^2-\frac{\mu^*}{|x|^2}|v|^2 \right)dx \]

enerji farkından hem \(L^2\) kontrolü hem de \(|x|^2|\nabla v|^2\) gibi ağırlıklı türev kontrolü elde edilmesine izin verir. Böylece tekillik, Carleman tahmininin sol tarafında kaybolmak yerine açıkça korunur.

Geri adjoint sistem için türetilen Carleman tahmini

Ana eşitsizlikte

\[ F_1=pz-iqZ,\qquad F_2=Z \]

seçilerek geri adjoint sisteme özgü bir Carleman eşitsizliği elde edilir. Yeterince büyük \(s\) ile \(p\) ve \(q\)'dan gelen uygun alt mertebe terimleri absorbe edildikten sonra çözümün iç enerji terimleri esas olarak iki gözlenebilir büyüklükle kontrol edilir:

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial\nu} \right|_{\Gamma_0} \qquad\text{ve}\qquad Z. \]

Bu iki terimin daha sonra gözlenebilirlik eşitsizliğinde birlikte görünmesi tesadüf değildir; stochastic Schrödinger sisteminin kontrol probleminde neden hem sınır kontrolü hem de stokastik kontrol gerektiğinin analitik karşılığıdır.

Gözlenebilirlik Eşitsizliği Tam Kontrol Edilebilirliğe Nasıl Bağlanıyor?

Geri adjoint sistemin terminal durumu \(z_T\), sınırdaki normal türev gözlemi ve stokastik adjoint bileşen \(Z\) tarafından kontrol edilebildiğinde, bu gözlenebilirlik eşitsizliği dualite yoluyla ileri sistem için kontrol fonksiyonlarının varlığına dönüştürülür. Çalışma bu geçişte Hahn-Banach uzatma teoremi ve Riesz temsil teoremini kullanarak, istenen terminal durum \(y_1\)'e ulaşan \((u,g)\) kontrol çiftini inşa eder.

Gözlenebilirlik sonucu

Teorem 4.2'de geri sistem için

\[ \|z_T\|_{L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu)} \leq C\left( \left\| \frac{\partial z}{\partial\nu} \right\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} + \|Z\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu)} \right) \]

eşitsizliği elde edilir.

Bu sonuç, terminal adjoint durumun bütün normunun yalnız gözlenebilir/kontrol-dual kanallardan sınırlanabileceğini ifade eder. Carleman tahmini önce orta zaman aralığında çözümü kontrol eder; geri enerji tahmini daha sonra bu bilgiyi terminal zamandaki \(z_T\)'ye taşır.

Tam kontrol edilebilirlik

Kaynakta sistemin \(T\) zamanında tam kontrol edilebilir olması, her izin verilen başlangıç durumu \(y_0\) ve her hedef

\[ y_1\in L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu') \]

için uygun

\[ (g,u) \in L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu') \times L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0)) \]

kontrollerinin bulunması ve karşılık gelen çözümün

\[ y(T)=y_1 \qquad \mathbb P\text{-hemen hemen kesin} \]

eşitliğini sağlaması olarak tanımlanır.

Teorem 4.3, Assumption 2.1 altında \(\mu\leq\mu^*\) ve \(T>0\) için bu tam kontrol edilebilirliği bildirir.

Dualite ispatının mantığı

İspatta adjoint çözümlerden oluşan uzay üzerinde

\[ \mathcal L \left( \left.\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|_{\Gamma_0},Z \right) = \mathbb E\int_G y_1\overline{z_T}\,dx \]

doğrusal fonksiyoneli tanımlanır. Gözlenebilirlik eşitsizliği bu fonksiyonelin sınırlı olduğunu verir. Hahn-Banach teoremi fonksiyoneli bütün ürün uzayına genişletir ve Riesz temsil teoremi bir \((\widetilde u,\widetilde g)\) çifti sağlar. Kaynak daha sonra

\[ (u,g)=(i\widetilde u,\widetilde g) \]

seçimiyle transpozisyon çözümü dualitesini birleştirerek

\[ \mathbb E\int_G (y(T)-y_1)\overline{z_T}\,dx =0 \]

sonucuna her uygun \(z_T\) için ulaşır; buradan \(y(T)=y_1\) sonucu çıkar.

Durum Gözlemi Kararlılık Tahmini Neyi Sınırlar?

Durum gözlemi kararlılık tahmini, aynı ileri stokastik Schrödinger sistemi için iki farklı başlangıç durumunun farkını, gözlenen sınır parçasındaki normal türevlerin farkıyla sınırlar. Böylece küçük sınır-gözlem farkının başlangıç durumunda sınırsız bir belirsizliğe karşılık gelmediği, kaynakta verilen varsayımlar altında Lipschitz tipinde bir kararlılık ilişkisiyle ifade edilir.

İki çözüm \(y\) ve \(\widehat y\), sırasıyla başlangıç durumları \(y_0\) ve \(\widehat y_0\) ile ilişkiliyse Teorem 4.4

\[ \boxed{ \|y_0-\widehat y_0\|_{H_\mu} \leq C \left\| \frac{\partial y}{\partial\nu} - \frac{\partial\widehat y}{\partial\nu} \right\|_ {L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} } \]

tahminini verir.

İspat,

\[ h=y-\widehat y \]

farkını alarak homojen kaynaklı ileri probleme geçer ve ileri sistem için türetilmiş Carleman eşitsizliğini \(h\)'ye uygular. Daha önce elde edilen geri enerji/iyi-kurulmuşluk tahminleriyle birlikte bu, başlangıç normunun sınırdaki normal türev farkıyla kontrolüne dönüşür.

Kritik durumda önemli sınırlılık

Kaynağın Remark 4.5'i önemli bir sınır koyar. \(\mu=\mu^*\) kritik rejiminde kurulan Carleman tahmini tek başına daha genel katsayılara izin verebilecek görünse de, Bölüm 2.5'te elde edilen düzenlilik sonuçları \(p,q\neq0\) durumu için yeterli değildir. Yazarlar, kritik rejimde bu düzenlilik genişletilebilirse Teorem 4.4'ün varsayımının da gevşetilebileceğini belirtir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar ve yorum sınırı

• Tekil ters-kare potansiyelli stokastik Schrödinger denklemleri için kaynakta belirtilen koşullar altında yeni bir küresel Carleman tahmini kurulmuştur.
• Carleman tahmini kritik \(\mu=\mu^*\) durumundaki Hardy enerji terimini de açık biçimde kontrol edecek şekilde tasarlanmıştır.
• Geri adjoint sistem için gözlenebilirlik eşitsizliği elde edilmiştir.
• Kontrollü ileri sistem, kaynakta belirtilen kontrol çifti \((u,g)\) kullanıldığında ve varsayımlar sağlandığında her \(T>0\) için tam kontrol edilebilirdir.
• İleri problem için başlangıç durumuna ilişkin sınır-gözlemi tabanlı kararlılık tahmini elde edilmiştir.
• Sonuçlar teoriktir; fiziksel kuantum sisteminde deneysel kontrol başarısı veya sayısal uygulama performansı gösterilmemiştir.
• “Tam kontrol edilebilirlik”, bütün gerçek kuantum sistemlerinin pratik olarak istenen duruma getirilebileceği anlamına gelmez; teorem belirtilen stokastik PDE modeli, fonksiyon uzayları ve katsayı varsayımları içindedir.
• Kritik rejimde alt mertebe katsayılarına ilişkin ek sıfırlama varsayımları vardır; sonuçlar bunlar yokmuş gibi genellenmemelidir.
• Kaynağın Carleman ağırlığındaki \(\psi=\ln|x|\) ve \(L^\infty\)-norm gösterimi açıklama gerektiren kaynak-içi bir noktadır ve Verianla tarafından düzeltilmiş varsayılmamıştır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün başlık: Global Carleman estimate for stochastic Schrödinger equations with singular inverse-square potentials and its applications

Yazarlar: Luchuan Zhou; Bo You.

Corresponding author: SSRN kaydı Bo You'yu contact author olarak göstermektedir.

Kurum: School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, 710049, P. R. China.

PDF tarihi: 28 Mayıs 2026.

Platform: SSRN.

SSRN Abstract ID: 6963586.

DOI: 10.2139/ssrn.6963586.

SSRN'ye gönderim tarihi: 18 Haziran 2026.

Kaynak türü: Teorik matematik araştırma preprinti.

Hakemlik durumu: Hakem değerlendirmesinden geçmemiştir; PDF bunu açıkça belirtmektedir.

Dergi/yayınevi: Kaynakta hakemli dergi yayını veya version-of-record bilgisi bulunmamaktadır; kullanılan sürüm SSRN preprintidir.

Lisans/telif durumu: SSRN kaydı “All rights reserved; no reuse allowed without permission” bilgisini vermektedir. Bu nedenle kaynak metin, özgün anlatı yapısı veya özgün sayfa tasarımı yeniden yayımlanmamış; bilimsel olgular, matematiksel ifadeler, yöntem ve sonuçlar bağımsız Verianla öğretim mimarisinde açıklanmıştır.

Finansman: Kaynak, National Science Foundation of China Grant 11871389, Fundamental Research Funds for the Central Universities xzy012022008 ve Shaanxi Fundamental Science Research Project for Mathematics and Physics 22JSY032 kapsamında kısmi finansal destek bildirir.

Veri erişilebilirliği: Araştırma teorik bir PDE çalışmasıdır; analiz edilen deneysel veri seti raporlanmamıştır.

Yazar katkıları: Ayrı bir CRediT katkı bildirimi tespit edilmemiştir.

Çıkar çatışması: PDF'de ayrı bir çıkar çatışması bölümü tespit edilmemiştir.

Temel yöntem: Hardy kritik enerji uzayları, ileri/geri stokastik Schrödinger denklemlerinin iyi-kurulmuşluğu, Itô hesabı, ağırlıklı Carleman özdeşliği, Hardy tipi eşitsizlikler, sınır gözlenebilirliği, stokastik dualite, Hahn-Banach teoremi ve Riesz temsil teoremi.

Temel matematiksel sınır: Sonuçlar \(N\geq3\), \(\mu\leq\mu^*\), kaynakta tanımlanan katsayı düzenlilikleri ve kritik durumda belirtilen ek katsayı varsayımları altındadır.

Kaynak-içi tutarlılık notu 1: Kaynak \(\psi(x)=\ln|x|\), \(0\in G\) ve \(\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) gösterimlerini birlikte kullanmaktadır. Standart norm yorumu altında bu nokta açıklama gerektirir; Verianla kaynak dışı bir düzeltme yapmamaktadır.

Kaynak-içi tutarlılık notu 2: Bölüm 4.2'nin girişinde problem (2.35) ifadesi yer alırken Teorem 4.4 ve devamındaki hesaplar problem (2.33)'ü kullanmaktadır. Bu çapraz referans farkı kaynakta açıklanmamıştır.

Görsel yeniden çizim: Kaynağın veriye dayalı grafik veya deney görseli bulunmadığından en güvenli yaklaşım tamamen özgün bir matematiksel şemadır: merkezî \(1/|x|^2\) tekilliği, \(G\) alanı, \(\Gamma_0\) gözlem sınırı ve Carleman → observability → duality → exact controllability akışı.

Verianla Live / Live Figure: Sabit-parametreli yöntem akışı için kısmen uygundur. Bilimsel parametre değiştiren kullanıcı kontrollü bir simülasyon veya gerçek kuantum dinamiği iddiası taşıyan animasyon uygun değildir.