Qlobal Karleman qiymətləndirməsi, qismən diferensial tənliyin həllinə xüsusi seçilmiş böyük parametrli çəkilər tətbiq etməklə həllin daxili bölgədəki enerji kəmiyyətlərini mənbə terminləri və əlçatan müşahidələrlə idarə edən aprior bərabərsizlikdir. Luchuan Zhou və Bo You-nun tədqiqatı, mərkəzdə \(\mu/|x|^2\) şəklində singulyarlıq daşıyan və Wiener səs-küyü ilə pozulan stoxastik Şredinger tənlikləri üçün belə bir qiymətləndirmə qurur. Tədqiqatın əsas çətinliyi singulyar potensialın Hardy-kritik davranışının, həllin kompleks qiymətli olmasının və Itô stoxastik terminlərinin eyni isbat daxilində birlikdə idarə edilməsidir.

Müəlliflər əvvəlcə kritik Hardy sabiti \(\mu^*=(N-2)^2/4\) ətrafında uyğun funksiya fəzalarını qurur; irəli və geri sistemlərin yaxşı-qurulmuşluğunu və geri adjoint həllin sərhəddəki normal törəməsinin requlyarlığını təmin edirlər. Ardınca \(\psi(x)=\ln|x|\), zamanın uclarında singulyarlaşan \(K(t)=[t(T-t)]^{-3}\) və iki böyük Karleman parametri \(s,\lambda\) vasitəsilə çəkili eynilik çıxarırlar. Hardy tipli bərabərsizliklər bu eynilikdə tərs-kvadrat singulyarlığının yaratdığı mənfi enerji terminlərini idarə etmək üçün istifadə olunur.

Qurulan Karleman qiymətləndirməsindən geri adjoint sistem üçün müşahidəolunma bərabərsizliyi əldə edilir. Stoxastik dualitet, Hahn-Banach teoremi və Riesz təmsil teoremi vasitəsilə bu müşahidəolunma nəticəsi idarə olunan irəli sistemə ötürülür və mənbədə göstərilən fərziyyələr altında hər \(T>0\) üçün tam idarəolunma isbat edilir. Eyni Karleman mexanizminin irəli sistem versiyası həmçinin sərhəddəki normal törəmə müşahidələrindən başlanğıc vəziyyətlər arasındakı fərqi məhdudlaşdıran sabitlik qiymətləndirməsi verir.

Tədqiq edilən stoxastik Şredinger sistemi

Tədqiqat, \(N\geq3\) olmaqla məhdud bir \(G\subset\mathbb R^N\) oblastında və \(Q=G\times(0,T)\) fəza-zaman silindrində aşağıdakı idarə olunan stoxastik sistemi nəzərdən keçirir:

\[ \begin{cases} i\,dy+\Delta y\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}y\,dt =(py+f)\,dt+(qy+g)\,dW(t), & \text{Q içinde},\\[4pt] y=0, & \Sigma\setminus\Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y=u, & \Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y(0)=y_0, & G\text{ içinde}. \end{cases} \]

Burada \(W(t)\) birölçülü standart Brownian hərəkətidir. \(p\) və \(q\) aşağı tərtibli əmsallardır. \(f\), deterministik-zaman diferensialı kanalındakı xarici termindir; \(u\) sərhəd idarəsidir; \(g\) isə stoxastik diffuziya kanalındakı idarədir. Tədqiqatdakı tam idarəolunma nəticəsi yalnız sərhəd idarəsi \(u\)-ya əsaslanmır; idarə cütü \((u,g)\) birlikdə istifadə olunur.

Tərs-Kvadrat Singulyar Potensial Niyə Kritik Riyazi Problemdir?

Tərs-kvadrat potensial \(\mu/|x|^2\), \(x=0\)-da məhdudsuz olduğuna görə standart \(H_0^1(G)\) enerji qiymətləndirmələrinin birbaşa istifadəsini çətinləşdirir. Tədqiqat bu singulyarlığı Hardy bərabərsizliyi ilə idarə edir və \(\mu^*=(N-2)^2/4\) sabitini kritik hədd kimi istifadə edir; \(\mu<\mu^*\) halında enerji normu standart Sobolev normuna ekvivalent olduğu halda, \(\mu=\mu^*\) kritik halında daha həssas Hardy tipli qiymətləndirmələr tələb olunur.

Hardy kritik sabiti və \(H_\mu\) fəzası

Mənbədə klassik Hardy bərabərsizliyinin kritik sabiti

\[ \mu^*=\frac{(N-2)^2}{4} \]

kimi təyin edilir və

\[ \mu^*\int_G\frac{|v(x)|^2}{|x|^2}\,dx \leq \int_G|\nabla v(x)|^2\,dx \]

bərabərsizliyindən istifadə olunur. Buna əsasən \(\mu\leq\mu^*\) üçün

\[ \langle u,v\rangle_{H_\mu} = \int_G \left( \nabla u\cdot\nabla\overline v - \frac{\mu}{|x|^2}u\overline v \right)dx \]

enerji strukturu təyin edilir. Altkritik \(\mu<\mu^*\) rejimində bu norm \(H_0^1(G)\) normuna ekvivalentdir. Kritik \(\mu=\mu^*\) halında isə mənbə əlavə üç kəskin Hardy tipli bərabərsizlikdən istifadə edir.

Bu fərq yalnız texniki deyil. İdarə olunan problem üçün kritik halda mənbə əlavə olaraq \(p=q=0\) fərziyyəsini qoyur. İrəli sistemin vəziyyət müşahidəsi bölməsində istifadə olunan Condition 2.7 isə kritik halda \(p=q=f=0\) şərtini ehtiva edir. Buna görə məqalənin kritik rejim nəticələri ümumi aşağı tərtibli əmsallı problem üçün şərtsiz nəticə kimi oxunmamalıdır.

Geri adjoint sistem niyə lazımdır?

Tam idarəolunmanın isbatı irəli tənliyi birbaşa idarə etməyə çalışmaq əvəzinə, ona dual olan geri stoxastik Şredinger sisteminin müşahidəolunmasını araşdırır:

\[ \begin{cases} i\,dz+\Delta z\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}z\,dt =(pz-iqZ)\,dt+Z\,dW(t),\\[4pt] z=0 \quad \text{sınırda},\\[4pt] z(T)=z_T. \end{cases} \]

Burada \(z\) adjoint vəziyyətdir; \(Z\) isə geri stoxastik sistemin martingal/diffuziya komponentidir. Tədqiqat əvvəlcə \((z,Z)\) üçün yaxşı-qurulmuşluq və enerji qiymətləndirmələri əldə edir. Sonra sərhəddəki normal törəmənin

\[ \frac{\partial z}{\partial\nu} \]

kvadratının zaman-sərhəd inteqralı terminal verilənin \(H_\mu\) normu ilə idarə edilir. Bu “hidden regularity” nəticəsi Carleman qiymətləndirməsindəki sərhəd müşahidəsi termininin riyazi baxımdan mənalı olmasını təmin edir.

Transpozisiya həlli nə işə yarayır?

Sərhəd idarəsi \(u\) və başlanğıc verilən \(y_0\in H_\mu'\) kimi aşağı requlyarlıqlı verilənlərlə irəli sistemin klassik və ya güclü həllini tələb etmək uyğun deyil. Buna görə mənbə irəli sistemi transpozisiya həlli vasitəsilə təyin edir. Həll, geri köməkçi problemin həlləri ilə qurulan dualitet eyniliyini ödəməsi əsasında müəyyən edilir.

Bu yanaşmanın elmi rolu sərhəd idarəsini və stoxastik terminləri daha zəif funksiya fəzalarında saxlayaraq yenə də yaxşı təyin edilmiş irəli təkamül qurmaqdır. Mənbə əvvəlcə \(p=q=0\) halında Riesz təmsil teoremi ilə mövcudluğu əldə edir; sonra ümumi altkritik halda kiçik zaman intervallarında Banach sabit nöqtə teoremindən istifadə edir və intervalları birləşdirərək \([0,T]\)-nin hamısına keçir.

Carleman Qiymətləndirməsi Bu Tədqiqatda Nəyi Təmin Edir?

Carleman qiymətləndirməsi həllin çəkiləndirilmiş \(L^2\), qradient və Hardy-enerji terminlərini; mənbə terminləri, stoxastik diffuziya termini və müşahidə olunan sərhəddəki normal törəmə ilə idarə edir. Bu tək bərabərsizlik daha sonra həm geri sistemin müşahidəolunmasının, həm də irəli sistemdə vəziyyət müşahidəsinin sabitliyinin əsas analitik girişinə çevrilir.

Tədqiqatın çəki funksiyası

Mənbə Carleman çəkisini

\[ \alpha(t,x) = K(t) \left( e^{5\lambda\|\psi\|} - e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} - \frac{|x|^2}{2} \right) \]

ilə təyin edir. Həmçinin

\[ K(t)=[t(T-t)]^{-3}, \qquad \psi(x)=\ln|x|, \]

\[ \xi = K e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} = K e^{3\lambda\|\psi\|}|x|^\lambda, \qquad \theta=e^{-s\alpha} \]

istifadə olunur. Müşahidə olunan sərhəd hissəsi isə

\[ \Gamma_0 = \{x\in\Gamma:\;x\cdot\nu(x)>0\} \]

kimi seçilir.

Mənbədaxili notasiya həddi: PDF eyni yerdə \(\|\psi\|=\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) və \(\psi(x)=\ln|x|\) yazdığı halda, əvvəl \(0\in G\) fərziyyəsini vermişdir. Standart \(L^\infty\)-norm tərifində bu iki ifadənin birlikdə istifadəsi izah tələb edir. Burada formula mənbədə olduğu kimi ötürülür, lakin bu məqam düzəldilmiş və ya həll edilmiş hesab edilmir.

Əsas qlobal Carleman bərabərsizliyi

Teorem 3.1 bildirir ki, \(\mu\leq\mu^*(N)\) üçün kifayət qədər böyük \(\lambda\) və ona bağlı kifayət qədər böyük \(s\) qiymətlərində,

\[ i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt = F_1\,dt+F_2\,dW(t), \qquad z|_\Sigma=0 \]

sisteminin həlləri aşağıdakı quruluşda qlobal qiymətləndirməni ödəyir:

\[ \begin{aligned} & \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^3K^3|x|^2|z|^2 + sK|x|^2|\nabla z|^2 \right)\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2s^{5/3}K^{5/3}|z|^2\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2sK \left( |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \right)\,dxdt\\ &\leq C\Bigg[ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G\theta^2|F_1|^2\,dxdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_{\Gamma_0} \theta^2s\lambda\xi \left|\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|^2 \,dSdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^{19/12}K^{4/3}|F_2|^2 + s^{11/12}K|x|^2|\nabla F_2|^2 \right)\,dxdt \Bigg]. \end{aligned} \]

Bərabərsizliyin sol tərəfi üç fərqli məlumatı birlikdə idarə edir: fəza üzrə çəkili vəziyyət kəmiyyəti, çəkili qradient kəmiyyəti və tərs-kvadrat potensialını ehtiva edən Hardy enerji fərqi. Sağ tərəfdə isə drift mənbəyi \(F_1\), müşahidə olunan sərhəddəki normal törəmə və stoxastik mənbə \(F_2\) yerləşir.

Xüsusilə

\[ |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \]

termininin müsbət/idarəolunan enerji strukturunda saxlanması Hardy bərabərsizliklərinin bu tədqiqatdakı mərkəzi funksiyasını göstərir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Carleman isbatının dörd mərhələsi

Çəkili eyniliyin əsas dəyişənləri

İsbatda

\[ v=\theta z \]

çevrilməsindən istifadə olunur və mənbə

\[ I = is\alpha_t v + 2s\nabla\alpha\cdot\nabla v + s\Delta\alpha\,v \]

ifadəsini təyin edir. Şredinger operatoru isə

\[ Pz = i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt \]

kimi götürülür. \(I\) ilə \(Pz\)-nin çəkili hasili açıldıqda mənbədə \(J_1,\ldots,J_7\) şəklində qruplaşdırılan həcm, sərhəd, zaman və stoxastik kvadratik variasiya terminləri meydana çıxır.

Bu mərhələdə kompleks qiymətli Şredinger həlli səbəbindən yalnız həqiqi enerji terminləri deyil, xəyali hissələrdən yaranan çarpaz terminlər də mövcuddur. Stoxastik struktur əlavə olaraq \((dv)(d\overline v)\) tipli Itô terminləri yaradır. Müəlliflərin seçdiyi çəki və Hardy qiymətləndirmələri bu terminlərin uyğun işarəli əsas enerji terminləri tərəfindən absorbsiya olunmasını təmin etmək üçün tərtib edilmişdir.

Kritik rejimdə Hardy qiymətləndirmələrinin vəzifəsi

Mənbə kritik \(\mu=\mu^*\) halında yalnız klassik Hardy bərabərsizliyindən deyil, əlavə çəkili Hardy tipli nəticələrdən istifadə edir. Bunlar xüsusilə

\[ \int_G \left( |\nabla v|^2-\frac{\mu^*}{|x|^2}|v|^2 \right)dx \]

enerji fərqindən həm \(L^2\) idarəsi, həm də \(|x|^2|\nabla v|^2\) kimi çəkili törəmə idarəsi əldə etməyə imkan verir. Beləliklə singulyarlıq Carleman qiymətləndirməsinin sol tərəfində yox olmaq əvəzinə açıq şəkildə saxlanılır.

Geri adjoint sistem üçün çıxarılan Carleman qiymətləndirməsi

Əsas bərabərsizlikdə

\[ F_1=pz-iqZ,\qquad F_2=Z \]

seçilərək geri adjoint sistemə xas Carleman bərabərsizliyi alınır. Kifayət qədər böyük \(s\) ilə \(p\) və \(q\)-dan gələn uyğun aşağı tərtibli terminlər absorbsiya edildikdən sonra həllin daxili enerji terminləri əsasən iki müşahidə olunan kəmiyyətlə idarə edilir:

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial\nu} \right|_{\Gamma_0} \qquad\text{ve}\qquad Z. \]

Bu iki terminin sonradan müşahidəolunma bərabərsizliyində birlikdə görünməsi təsadüfi deyil; stoxastik Şredinger sisteminin idarəetmə problemində niyə həm sərhəd idarəsinin, həm də stoxastik idarənin lazım olduğunun analitik qarşılığıdır.

Müşahidəolunma Bərabərsizliyi Tam İdarəolunmaya Necə Bağlanır?

Geri adjoint sistemin terminal vəziyyəti \(z_T\), sərhəddəki normal törəmə müşahidəsi və stoxastik adjoint komponent \(Z\) tərəfindən idarə edilə bildikdə, bu müşahidəolunma bərabərsizliyi dualitet yolu ilə irəli sistem üçün idarə funksiyalarının mövcudluğuna çevrilir. Tədqiqat bu keçiddə Hahn-Banach uzatma teoremi və Riesz təmsil teoremindən istifadə edərək arzu olunan terminal vəziyyəti \(y_1\)-ə çatdıran \((u,g)\) idarə cütünü qurur.

Müşahidəolunma nəticəsi

Teorem 4.2-də geri sistem üçün

\[ \|z_T\|_{L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu)} \leq C\left( \left\| \frac{\partial z}{\partial\nu} \right\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} + \|Z\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu)} \right) \]

bərabərsizliyi əldə edilir.

Bu nəticə terminal adjoint vəziyyətin bütün normunun yalnız müşahidə olunan/idarə-dual kanallardan məhdudlaşdırıla bildiyini ifadə edir. Carleman qiymətləndirməsi əvvəlcə orta zaman intervalında həlli idarə edir; geri enerji qiymətləndirməsi isə daha sonra bu məlumatı terminal zamandakı \(z_T\)-yə daşıyır.

Tam idarəolunma

Mənbədə sistemin \(T\) zamanında tam idarə olunan olması, hər icazə verilən başlanğıc vəziyyəti \(y_0\) və hər hədəf

\[ y_1\in L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu') \]

üçün uyğun

\[ (g,u) \in L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu') \times L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0)) \]

idarələrinin mövcud olması və uyğun həllin

\[ y(T)=y_1 \qquad \mathbb P\text{-hemen hemen kesin} \]

bərabərliyini ödəməsi kimi müəyyən edilir.

Teorem 4.3, Assumption 2.1 altında \(\mu\leq\mu^*\) və \(T>0\) üçün bu tam idarəolunmanı bildirir.

Dualitet isbatının məntiqi

İsbatda adjoint həllərdən ibarət fəza üzərində

\[ \mathcal L \left( \left.\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|_{\Gamma_0},Z \right) = \mathbb E\int_G y_1\overline{z_T}\,dx \]

xətti funksionalı təyin edilir. Müşahidəolunma bərabərsizliyi bu funksionalın məhdud olduğunu verir. Hahn-Banach teoremi funksionalı bütün hasil fəzasına genişləndirir və Riesz təmsil teoremi bir \((\widetilde u,\widetilde g)\) cütü təmin edir. Mənbə daha sonra

\[ (u,g)=(i\widetilde u,\widetilde g) \]

seçimi ilə transpozisiya həlli dualitetini birləşdirərək

\[ \mathbb E\int_G (y(T)-y_1)\overline{z_T}\,dx =0 \]

nəticəsinə hər uyğun \(z_T\) üçün çatır; buradan \(y(T)=y_1\) nəticəsi çıxır.

Vəziyyət Müşahidəsi Sabitlik Qiymətləndirməsi Nəyi Məhdudlaşdırır?

Vəziyyət müşahidəsi sabitlik qiymətləndirməsi eyni irəli stoxastik Şredinger sistemi üçün iki fərqli başlanğıc vəziyyəti arasındakı fərqi müşahidə olunan sərhəd hissəsindəki normal törəmələr arasındakı fərqlə məhdudlaşdırır. Beləliklə kiçik sərhəd-müşahidə fərqinin başlanğıc vəziyyətində məhdudsuz qeyri-müəyyənliyə uyğun gəlmədiyi, mənbədə verilən fərziyyələr altında Lipschitz tipli sabitlik əlaqəsi ilə ifadə edilir.

İki həll \(y\) və \(\widehat y\), müvafiq olaraq başlanğıc vəziyyətləri \(y_0\) və \(\widehat y_0\) ilə əlaqəlidirsə, Teorem 4.4

\[ \boxed{ \|y_0-\widehat y_0\|_{H_\mu} \leq C \left\| \frac{\partial y}{\partial\nu} - \frac{\partial\widehat y}{\partial\nu} \right\|_ {L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} } \]

qiymətləndirməsini verir.

İsbat

\[ h=y-\widehat y \]

fərqini götürərək homogen mənbəli irəli problemə keçir və irəli sistem üçün çıxarılmış Carleman bərabərsizliyini \(h\)-yə tətbiq edir. Əvvəllər əldə edilmiş geri enerji/yaxşı-qurulmuşluq qiymətləndirmələri ilə birlikdə bu, başlanğıc normunun sərhəddəki normal törəmə fərqi ilə idarəsinə çevrilir.

Kritik halda mühüm məhdudiyyət

Mənbənin Remark 4.5-i mühüm sərhəd qoyur. \(\mu=\mu^*\) kritik rejimində qurulan Carleman qiymətləndirməsi təkbaşına daha ümumi əmsallara imkan verə biləcək kimi görünsə də, Bölmə 2.5-də əldə olunan requlyarlıq nəticələri \(p,q\neq0\) halı üçün kifayət deyil. Müəlliflər kritik rejimdə bu requlyarlıq genişləndirilə bilsə, Teorem 4.4-ün fərziyyəsinin də zəiflədilə biləcəyini bildirirlər.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr və şərh sərhədi

• Singulyar tərs-kvadrat potensiallı stoxastik Şredinger tənlikləri üçün mənbədə göstərilən şərtlər altında yeni qlobal Carleman qiymətləndirməsi qurulmuşdur.
• Carleman qiymətləndirməsi kritik \(\mu=\mu^*\) halındakı Hardy enerji terminini də açıq şəkildə idarə edəcək formada tərtib edilmişdir.
• Geri adjoint sistem üçün müşahidəolunma bərabərsizliyi əldə edilmişdir.
• İdarə olunan irəli sistem, mənbədə göstərilən idarə cütü \((u,g)\) istifadə edildikdə və fərziyyələr ödəndikdə hər \(T>0\) üçün tam idarəolunandır.
• İrəli problem üçün başlanğıc vəziyyətinə dair sərhəd-müşahidəyə əsaslanan sabitlik qiymətləndirməsi əldə edilmişdir.
• Nəticələr nəzəridir; fiziki kvant sistemində eksperimental idarəetmə uğuru və ya ədədi tətbiq performansı göstərilməmişdir.
• “Tam idarəolunma” bütün real kvant sistemlərinin praktik olaraq arzu olunan vəziyyətə gətirilə bilməsi demək deyil; teorem göstərilən stoxastik PDE modeli, funksiya fəzaları və əmsal fərziyyələri daxilindədir.
• Kritik rejimdə aşağı tərtibli əmsallara dair əlavə sıfırlama fərziyyələri vardır; nəticələr bunlar yoxmuş kimi ümumiləşdirilməməlidir.
• Mənbənin Carleman çəkisindəki \(\psi=\ln|x|\) və \(L^\infty\)-norm göstərimi izah tələb edən mənbədaxili məqamdır və Verianla tərəfindən düzəldilmiş hesab edilməmişdir.

Mənbə və Metod Qeydi

Özgün başlıq: Global Carleman estimate for stochastic Schrödinger equations with singular inverse-square potentials and its applications

Müəlliflər: Luchuan Zhou; Bo You.

Müxbir müəllif: SSRN qeydi Bo You-nu əlaqə müəllifi kimi göstərir.

Qurum: School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, 710049, P. R. China.

PDF tarixi: 28 may 2026.

Platforma: SSRN.

SSRN Abstract ID: 6963586.

DOI: 10.2139/ssrn.6963586.

SSRN-ə təqdim edilmə tarixi: 18 iyun 2026.

Mənbə növü: Nəzəri riyaziyyat tədqiqat preprinti.

Rəyçilik statusu: Rəyçi qiymətləndirməsindən keçməmişdir; PDF bunu açıq şəkildə bildirir.

Jurnal/nəşriyyat: Mənbədə rəyli jurnal nəşri və ya rəsmi yekun nəşr versiyası barədə məlumat yoxdur; istifadə olunan versiya SSRN preprintidir.

Lisenziya/müəlliflik hüququ statusu: SSRN qeydi “All rights reserved; no reuse allowed without permission” məlumatını verir. Buna görə mənbə mətni, orijinal nəql quruluşu və ya orijinal səhifə dizaynı yenidən dərc edilməmiş; elmi faktlar, riyazi ifadələr, metod və nəticələr müstəqil Verianla tədris arxitekturasında izah edilmişdir.

Maliyyələşdirmə: Mənbə, National Science Foundation of China Grant 11871389, Fundamental Research Funds for the Central Universities xzy012022008 və Shaanxi Fundamental Science Research Project for Mathematics and Physics 22JSY032 çərçivəsində qismən maliyyə dəstəyi bildirir.

Məlumat əlçatanlığı: Tədqiqat nəzəri PDE işidir; təhlil olunan eksperimental məlumat dəsti bildirilməmişdir.

Müəllif töhfələri: Ayrı CRediT töhfə bəyanatı müəyyən edilməmişdir.

Maraqların toqquşması: PDF-də ayrıca maraqların toqquşması bölməsi müəyyən edilməmişdir.

Əsas metod: Hardy kritik enerji fəzaları, irəli/geri stoxastik Şredinger tənliklərinin yaxşı-qurulmuşluğu, Itô hesabı, çəkili Carleman eyniliyi, Hardy tipli bərabərsizliklər, sərhəd müşahidəolunması, stoxastik dualitet, Hahn-Banach teoremi və Riesz təmsil teoremi.

Əsas riyazi sərhəd: Nəticələr \(N\geq3\), \(\mu\leq\mu^*\), mənbədə təyin olunan əmsal requlyarlıqları və kritik halda göstərilən əlavə əmsal fərziyyələri altındadır.

Mənbədaxili uyğunluq qeydi 1: Mənbə \(\psi(x)=\ln|x|\), \(0\in G\) və \(\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) göstərimlərini birlikdə istifadə edir. Standart norm şərhi altında bu məqam izah tələb edir; Verianla mənbədən kənar düzəliş etmir.

Mənbədaxili uyğunluq qeydi 2: Bölmə 4.2-nin girişində problem (2.35) ifadəsi yer aldığı halda, Teorem 4.4 və sonrakı hesablamalar problem (2.33)-dən istifadə edir. Bu çarpaz istinad fərqi mənbədə izah edilməmişdir.

Vizualın yenidən çəkilməsi: Mənbədə verilənlərə əsaslanan qrafik və ya eksperimental vizual olmadığından ən təhlükəsiz yanaşma tamamilə orijinal riyazi sxemdir: mərkəzi \(1/|x|^2\) singulyarlığı, \(G\) oblastı, \(\Gamma_0\) müşahidə sərhədi və Carleman → müşahidəolunma → dualitet → tam idarəolunma axını.

Verianla Live / Live Figure: Sabit parametrli metod axını üçün qismən uyğundur. Elmi parametri dəyişdirən istifadəçi idarəli simulyasiya və ya real kvant dinamikası iddiası daşıyan animasiya uyğun deyil.