Баҳодиҳии глобалии Карлеман нобаробарии априорист, ки бо татбиқи вазнҳои махсус интихобшудаи дорои параметри калон ба ҳалли муодилаи дифференсиалии хусусӣ бузургиҳои энергетикии ҳалли дохили минтақаро тавассути аъзоҳои манбаъ ва мушоҳидаҳои дастрас назорат мекунад. Тадқиқоти Luchuan Zhou ва Bo You барои муодилаҳои стохастикии Шрёдингер, ки дар марказ сингулярияти шакли \(\mu/|x|^2\) доранд ва бо садои Wiener халалдор мешаванд, чунин баҳодиҳиро месозад. Душвории асосии таҳқиқот аз он иборат аст, ки рафтори Hardy-критикии потенсиали сингулярӣ, комплексарзиш будани ҳал ва аъзоҳои стохастикии Itô дар як исбот якҷоя назорат карда шаванд.

Муаллифон нахуст фазоҳои функсионалии мувофиқро дар атрофи доимии критикии Hardy, \(\mu^*=(N-2)^2/4\), месозанд; дурустгузоштагии системаҳои пешрав ва баръакс ва регулярияти ҳосилаи нормалии ҳалли адъюнктии баръаксро дар сарҳад таъмин мекунанд. Сипас тавассути \(\psi(x)=\ln|x|\), функсияи \(K(t)=[t(T-t)]^{-3}\), ки дар нӯгҳои вақт сингуляр мешавад, ва ду параметри калони Карлеман \(s,\lambda\) айнияти вазндорро ҳосил мекунанд. Нобаробариҳои навъи Hardy барои назорат кардани аъзоҳои манфии энергияе истифода мешаванд, ки сингулярияти баръакс-квадратӣ дар ин айният ба вуҷуд меорад.

Аз баҳодиҳии сохташудаи Карлеман барои системаи адъюнктии баръакс нобаробарии мушоҳидашавандагӣ ба даст меояд. Тавассути дуалияти стохастикӣ, теоремаи Hahn-Banach ва теоремаи намояндагии Riesz ин натиҷаи мушоҳидашавандагӣ ба системаи идорашавандаи пешрав интиқол дода мешавад ва дар зери фарзияҳои дар манбаъ зикршуда барои ҳар \(T>0\) идорашавандагии дақиқ исбот мегардад. Версияи ҳамин механизми Карлеман барои системаи пешрав ҳамчунин баҳодиҳии устувориеро медиҳад, ки фарқи ҳолатҳои ибтидоиро аз рӯйи мушоҳидаҳои ҳосилаи нормалӣ дар сарҳад маҳдуд мекунад.

Системаи стохастикии Шрёдингери таҳқиқшуда

Таҳқиқот барои \(N\geq3\) дар минтақаи маҳдуди \(G\subset\mathbb R^N\) ва дар силиндри фазо-вақтии \(Q=G\times(0,T)\) системаи стохастикии идорашавандаи зеринро баррасӣ мекунад:

\[ \begin{cases} i\,dy+\Delta y\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}y\,dt =(py+f)\,dt+(qy+g)\,dW(t), & \text{Q içinde},\\[4pt] y=0, & \Sigma\setminus\Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y=u, & \Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y(0)=y_0, & G\text{ içinde}. \end{cases} \]

Дар ин ҷо \(W(t)\) ҳаракати стандартии якченакаи Brownian мебошад. \(p\) ва \(q\) коэффисиентҳои тартиби поёнӣ мебошанд. \(f\) аъзои беруна дар канали дифференсиали детерминистии вақт аст; \(u\) идоракунии сарҳадӣ; \(g\) бошад идоракунӣ дар канали диффузияи стохастикӣ мебошад. Натиҷаи идорашавандагии дақиқ дар таҳқиқот танҳо ба идоракунии сарҳадии \(u\) такя намекунад; ҷуфти идоракунии \((u,g)\) якҷоя истифода мешавад.

Чаро Потенсиали Сингулярии Баръакс-Квадратӣ Масъалаи Критикии Математикӣ Аст?

Потенсиали баръакс-квадратии \(\mu/|x|^2\) дар \(x=0\) номаҳдуд мешавад, бинобар ин истифодаи мустақими баҳодиҳиҳои стандартии энергетикии \(H_0^1(G)\)-ро душвор мегардонад. Таҳқиқот ин сингуляриятро бо нобаробарии Hardy назорат мекунад ва доимии \(\mu^*=(N-2)^2/4\)-ро ҳамчун ҳадди критикӣ истифода мебарад; дар ҳолати \(\mu<\mu^*\) нормаи энергетикӣ ба нормаи стандартии Sobolev эквивалент аст, дар ҳоле ки дар ҳолати критикии \(\mu=\mu^*\) баҳодиҳиҳои дақиқтари навъи Hardy лозим мешаванд.

Доимии критикии Hardy ва фазои \(H_\mu\)

Дар манбаъ доимии критикии нобаробарии классикии Hardy

\[ \mu^*=\frac{(N-2)^2}{4} \]

муайян карда мешавад ва

\[ \mu^*\int_G\frac{|v(x)|^2}{|x|^2}\,dx \leq \int_G|\nabla v(x)|^2\,dx \]

истифода мегардад. Дар асоси ин, барои \(\mu\leq\mu^*\)

\[ \langle u,v\rangle_{H_\mu} = \int_G \left( \nabla u\cdot\nabla\overline v - \frac{\mu}{|x|^2}u\overline v \right)dx \]

сохтори энергетикӣ муайян мешавад. Дар режими зеркритикии \(\mu<\mu^*\) ин норма ба нормаи \(H_0^1(G)\) эквивалент аст. Дар ҳолати критикии \(\mu=\mu^*\) бошад, манбаъ аз се нобаробарии иловагии тези навъи Hardy истифода мебарад.

Ин фарқ танҳо техникӣ нест. Барои масъалаи идорашаванда дар ҳолати критикӣ манбаъ инчунин фарзияи \(p=q=0\)-ро мегузорад. Condition 2.7, ки дар бахши мушоҳидаи ҳолати системаи пешрав истифода мешавад, дар ҳолати критикӣ шарти \(p=q=f=0\)-ро дар бар мегирад. Аз ин рӯ, натиҷаҳои мақола дар режими критикӣ набояд ҳамчун натиҷаи бечунучаро барои масъалаи умумӣ бо коэффисиентҳои тартиби поёнӣ хонда шаванд.

Чаро системаи адъюнктии баръакс лозим аст?

Исботи идорашавандагии дақиқ ба ҷойи кӯшиши мустақим барои идора кардани муодилаи пешрав мушоҳидашавандагии системаи стохастикии баръакси Шрёдингерро, ки ба он дуал аст, меомӯзад:

\[ \begin{cases} i\,dz+\Delta z\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}z\,dt =(pz-iqZ)\,dt+Z\,dW(t),\\[4pt] z=0 \quad \text{sınırda},\\[4pt] z(T)=z_T. \end{cases} \]

Дар ин ҷо \(z\) ҳолати адъюнктӣ аст; \(Z\) бошад ҷузъи мартингалӣ/диффузионии системаи стохастикии баръакс мебошад. Таҳқиқот аввал барои \((z,Z)\) дурустгузоштагӣ ва баҳодиҳиҳои энергетикиро ба даст меорад. Сипас интеграли вақт-сарҳадии квадрати ҳосилаи нормалӣ дар сарҳад,

\[ \frac{\partial z}{\partial\nu} \]

бо нормаи \(H_\mu\)-и додаи терминалӣ назорат карда мешавад. Ин натиҷаи «регулярияти пинҳонӣ» маънодории математикии аъзои мушоҳидаи сарҳадиро дар баҳодиҳии Карлеман таъмин мекунад.

Ҳалли транспозитсионӣ барои чӣ лозим аст?

Бо додаҳои дорои регулярияти паст, монанди идоракунии сарҳадии \(u\) ва додаи ибтидоии \(y_0\in H_\mu'\), талаб кардани ҳалли классикӣ ё қавии системаи пешрав мувофиқ нест. Аз ин рӯ, манбаъ системаи пешравро тавассути ҳалли транспозитсионӣ муайян мекунад. Ҳал бо он муайян мешавад, ки айнияти дуалиятеро, ки бо ҳалҳои масъалаи ёрирасони баръакс сохта шудааст, қонеъ мекунад.

Нақши илмии ин равиш аз он иборат аст, ки идоракунии сарҳадӣ ва аъзоҳои стохастикӣ дар фазоҳои функсионалии заифтар нигоҳ дошта шуда, ҳамзамон эволютсияи пешрави дуруст муайяншуда сохта шавад. Манбаъ аввал дар ҳолати \(p=q=0\) мавҷудиятро бо теоремаи намояндагии Riesz ба даст меорад; баъдан дар ҳолати умумии зеркритикӣ теоремаи нуқтаи собити Banach-ро дар фосилаҳои хурди вақт истифода мебарад ва бо пайвастани фосилаҳо ба тамоми \([0,T]\) мегузарад.

Баҳодиҳии Карлеман Дар Ин Таҳқиқот Чиро Таъмин Мекунад?

Баҳодиҳии Карлеман аъзоҳои вазндори \(L^2\), градиент ва Hardy-энергияи ҳалро тавассути аъзоҳои манбаъ, аъзои диффузияи стохастикӣ ва ҳосилаи нормалӣ дар сарҳади мушоҳидашаванда назорат мекунад. Ин як нобаробарӣ баъдан ҳам барои мушоҳидашавандагии системаи баръакс ва ҳам барои устувории мушоҳидаи ҳолат дар системаи пешрав вуруди асосии аналитикӣ мешавад.

Функсияи вазнии таҳқиқот

Манбаъ вазни Карлеманро

\[ \alpha(t,x) = K(t) \left( e^{5\lambda\|\psi\|} - e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} - \frac{|x|^2}{2} \right) \]

муайян мекунад. Ҳамчунин

\[ K(t)=[t(T-t)]^{-3}, \qquad \psi(x)=\ln|x|, \]

\[ \xi = K e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} = K e^{3\lambda\|\psi\|}|x|^\lambda, \qquad \theta=e^{-s\alpha} \]

истифода мешаванд. Қисми мушоҳидашавандаи сарҳад бошад

\[ \Gamma_0 = \{x\in\Gamma:\;x\cdot\nu(x)>0\} \]

интихоб карда мешавад.

Маҳдудияти нотационии дохили манбаъ: PDF дар як ҷой ҳам \(\|\psi\|=\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) ва ҳам \(\psi(x)=\ln|x|\)-ро менависад, дар ҳоле ки пештар фарзияи \(0\in G\)-ро додааст. Дар таърифи стандартии нормаи \(L^\infty\) ин ду ифода дар якҷоягӣ шарҳро талаб мекунанд. Дар ин ҷо формула ҳамон тавре оварда мешавад, ки дар манбаъ ҳаст, аммо ин нукта ислоҳшуда ё ҳалшуда ҳисобида намешавад.

Нобаробарии асосии глобалии Карлеман

Теоремаи 3.1 хабар медиҳад, ки барои \(\mu\leq\mu^*(N)\), ҳангоми ба қадри кофӣ калон будани \(\lambda\) ва вобаста ба он ба қадри кофӣ калон будани \(s\),

\[ i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt = F_1\,dt+F_2\,dW(t), \qquad z|_\Sigma=0 \]

ҳалҳои система баҳодиҳии глобалии сохтори зеринро қонеъ мекунанд:

\[ \begin{aligned} & \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^3K^3|x|^2|z|^2 + sK|x|^2|\nabla z|^2 \right)\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2s^{5/3}K^{5/3}|z|^2\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2sK \left( |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \right)\,dxdt\\ &\leq C\Bigg[ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G\theta^2|F_1|^2\,dxdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_{\Gamma_0} \theta^2s\lambda\xi \left|\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|^2 \,dSdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^{19/12}K^{4/3}|F_2|^2 + s^{11/12}K|x|^2|\nabla F_2|^2 \right)\,dxdt \Bigg]. \end{aligned} \]

Тарафи чапи нобаробарӣ се навъи маълумотро якҷоя назорат мекунад: бузургии вазндори ҳолат дар фазо, бузургии вазндори градиент ва фарқи энергияи Hardy, ки потенсиали баръакс-квадратиро дар бар мегирад. Дар тарафи рост бошад манбаи дрейф \(F_1\), ҳосилаи нормалӣ дар сарҳади мушоҳидашаванда ва манбаи стохастикии \(F_2\) ҷойгиранд.

Махсусан

\[ |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \]

нигоҳ доштани ин аъзо дар сохтори мусбат/назоратшавандаи энергия нақши марказии нобаробариҳои Hardy-ро дар ин таҳқиқот нишон медиҳад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Чор марҳилаи исботи Карлеман

Тағйирёбандаҳои асосии айнияти вазндор

Дар исбот

\[ v=\theta z \]

табдил истифода мешавад ва манбаъ

\[ I = is\alpha_t v + 2s\nabla\alpha\cdot\nabla v + s\Delta\alpha\,v \]

ифодаро муайян мекунад. Оператори Шрёдингер бошад

\[ Pz = i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt \]

баррасӣ мешавад. Ҳангоми кушодани ҳосили вазндори \(I\) ва \(Pz\), аъзоҳои ҳаҷмӣ, сарҳадӣ, вақтӣ ва вариатсияи квадратии стохастикӣ ба вуҷуд меоянд, ки дар манбаъ ҳамчун \(J_1,\ldots,J_7\) гурӯҳбандӣ шудаанд.

Дар ин марҳила аз сабаби комплексарзиш будани ҳалли Шрёдингер на танҳо аъзоҳои ҳақиқии энергия, балки аъзоҳои салибие, ки аз қисмҳои мавҳум меоянд, низ вуҷуд доранд. Сохтори стохастикӣ ҳамчунин аъзоҳои Itô-и навъи \((dv)(d\overline v)\)-ро тавлид мекунад. Вазн ва баҳодиҳиҳои Hardy, ки муаллифон интихоб кардаанд, барои он тарҳрезӣ шудаанд, ки ин аъзоҳо аз тарафи аъзоҳои асосии энергетикии дорои аломати мувофиқ абсорбсия карда шаванд.

Вазифаи баҳодиҳиҳои Hardy дар режими критикӣ

Манбаъ дар ҳолати критикии \(\mu=\mu^*\) на танҳо нобаробарии классикии Hardy, балки натиҷаҳои иловагии вазндори навъи Hardy-ро низ истифода мебарад. Онҳо махсусан аз фарқи энергетикии

\[ \int_G \left( |\nabla v|^2-\frac{\mu^*}{|x|^2}|v|^2 \right)dx \]

ҳам назорати \(L^2\) ва ҳам назорати ҳосилаи вазндор, монанди \(|x|^2|\nabla v|^2\), ба даст оварданро имкон медиҳанд. Ҳамин тавр, сингулярият дар тарафи чапи баҳодиҳии Карлеман нопадид намешавад, балки ошкоро нигоҳ дошта мешавад.

Баҳодиҳии Карлеман, ки барои системаи адъюнктии баръакс ҳосил шудааст

Дар нобаробарии асосӣ

\[ F_1=pz-iqZ,\qquad F_2=Z \]

интихоб шуда, нобаробарии Карлеман барои системаи адъюнктии баръакс ба даст меояд. Пас аз он ки бо \(s\)-и ба қадри кофӣ калон аъзоҳои мувофиқи тартиби поёнӣ аз \(p\) ва \(q\) абсорбсия мешаванд, аъзоҳои энергияи дохилии ҳал асосан бо ду бузургии мушоҳидашаванда назорат карда мешаванд:

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial\nu} \right|_{\Gamma_0} \qquad\text{ve}\qquad Z. \]

Дар нобаробарии мушоҳидашавандагии баъдӣ якҷоя зоҳир шудани ин ду аъзо тасодуфӣ нест; ин муодили аналитикии он аст, ки чаро дар масъалаи идоракунии системаи стохастикии Шрёдингер ҳам идоракунии сарҳадӣ ва ҳам идоракунии стохастикӣ лозиманд.

Нобаробарии Мушоҳидашавандагӣ Бо Идорашавандагии Дақиқ Чӣ Гуна Пайваст Мешавад?

Вақте ҳолати терминалии \(z_T\)-и системаи адъюнктии баръакс тавассути мушоҳидаи ҳосилаи нормалӣ дар сарҳад ва ҷузъи стохастикии адъюнктии \(Z\) назоратшаванда аст, ин нобаробарии мушоҳидашавандагӣ тавассути дуалият ба мавҷудияти функсияҳои идоракунӣ барои системаи пешрав табдил дода мешавад. Таҳқиқот дар ин гузариш теоремаи васеъкунии Hahn-Banach ва теоремаи намояндагии Riesz-ро истифода бурда, барои расидан ба ҳолати терминалии дилхоҳи \(y_1\) ҷуфти идоракунии \((u,g)\)-ро месозад.

Натиҷаи мушоҳидашавандагӣ

Дар Теоремаи 4.2 барои системаи баръакс

\[ \|z_T\|_{L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu)} \leq C\left( \left\| \frac{\partial z}{\partial\nu} \right\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} + \|Z\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu)} \right) \]

нобаробарӣ ба даст меояд.

Ин натиҷа ифода мекунад, ки тамоми нормаи ҳолати терминалии адъюнктӣ танҳо тавассути каналҳои мушоҳидашаванда/идоракунӣ-дуалӣ маҳдуд карда шуда метавонад. Баҳодиҳии Карлеман аввал ҳалро дар фосилаи миёнаи вақт назорат мекунад; баҳодиҳии энергияи баръакс баъдан ин маълумотро ба \(z_T\) дар вақти терминалӣ интиқол медиҳад.

Идорашавандагии дақиқ

Дар манбаъ дақиқ идорашаванда будани система дар вақти \(T\) чунин муайян мешавад: барои ҳар ҳолати ибтидоии иҷозашудаи \(y_0\) ва ҳар ҳадафи

\[ y_1\in L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu') \]

идоракуниҳои мувофиқи

\[ (g,u) \in L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu') \times L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0)) \]

мавҷуд бошанд ва ҳалли мувофиқ баробарии

\[ y(T)=y_1 \qquad \mathbb P\text{-hemen hemen kesin} \]

-ро қонеъ кунад.

Теоремаи 4.3 таҳти Assumption 2.1 барои \(\mu\leq\mu^*\) ва \(T>0\) ҳамин идорашавандагии дақиқро баён мекунад.

Мантиқи исботи дуалият

Дар исбот дар фазои иборат аз ҳалҳои адъюнктӣ

\[ \mathcal L \left( \left.\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|_{\Gamma_0},Z \right) = \mathbb E\int_G y_1\overline{z_T}\,dx \]

функсионали хаттӣ муайян карда мешавад. Нобаробарии мушоҳидашавандагӣ маҳдуд будани ин функсионалро медиҳад. Теоремаи Hahn-Banach функсионалро ба тамоми фазои ҳосили зарбӣ васеъ мекунад ва теоремаи намояндагии Riesz ҷуфти \((\widetilde u,\widetilde g)\)-ро таъмин менамояд. Сипас манбаъ

\[ (u,g)=(i\widetilde u,\widetilde g) \]

интихобро бо дуалияти ҳалли транспозитсионӣ якҷоя карда,

\[ \mathbb E\int_G (y(T)-y_1)\overline{z_T}\,dx =0 \]

натиҷаро барои ҳар \(z_T\)-и мувофиқ ба даст меорад; аз ин \(y(T)=y_1\) бармеояд.

Баҳодиҳии Устувории Мушоҳидаи Ҳолат Чиро Маҳдуд Мекунад?

Баҳодиҳии устувории мушоҳидаи ҳолат барои як системаи пешрави стохастикии Шрёдингер фарқи ду ҳолати ибтидоии гуногунро бо фарқи ҳосилаҳои нормалӣ дар қисми мушоҳидашавандаи сарҳад маҳдуд мекунад. Ҳамин тавр, дар зери фарзияҳои дар манбаъ овардашуда, хурд будани фарқи мушоҳидаҳои сарҳадӣ ба номуайянии номаҳдуд дар ҳолати ибтидоӣ мувофиқат намекунад ва ин бо робитаи устувории навъи Lipschitz ифода мешавад.

Агар ду ҳал \(y\) ва \(\widehat y\) мутаносибан бо ҳолатҳои ибтидоии \(y_0\) ва \(\widehat y_0\) алоқаманд бошанд, Теоремаи 4.4

\[ \boxed{ \|y_0-\widehat y_0\|_{H_\mu} \leq C \left\| \frac{\partial y}{\partial\nu} - \frac{\partial\widehat y}{\partial\nu} \right\|_ {L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} } \]

баҳодиҳиро медиҳад.

Исбот бо гирифтани фарқи

\[ h=y-\widehat y \]

ба масъалаи пешрав бо манбаи якҷинса мегузарад ва нобаробарии Карлеманро, ки барои системаи пешрав ҳосил шудааст, ба \(h\) татбиқ мекунад. Якҷоя бо баҳодиҳиҳои пештар бадастомадаи энергияи баръакс/дурустгузоштагӣ, ин ба назорати нормаи ибтидоӣ тавассути фарқи ҳосилаҳои нормалӣ дар сарҳад табдил меёбад.

Маҳдудияти муҳим дар ҳолати критикӣ

Remark 4.5-и манбаъ маҳдудияти муҳим мегузорад. Гарчанде баҳодиҳии Карлеман, ки дар режими критикии \(\mu=\mu^*\) сохта шудааст, худ аз худ метавонад барои коэффисиентҳои умумитар имконият диҳад, натиҷаҳои регулярияте, ки дар Бахши 2.5 ба даст омадаанд, барои ҳолати \(p,q\neq0\) кофӣ нестанд. Муаллифон қайд мекунанд, ки агар ин регулярият дар режими критикӣ васеъ карда шавад, фарзияи Теоремаи 4.4 низ метавонад суст карда шавад.

Натиҷаҳои дастгиришудаи таҳқиқот ва ҳадди тафсир

• Барои муодилаҳои стохастикии Шрёдингер бо потенсиали сингулярии баръакс-квадратӣ, таҳти шартҳои дар манбаъ зикршуда, баҳодиҳии нави глобалии Карлеман сохта шудааст.
• Баҳодиҳии Карлеман тавре тарҳрезӣ шудааст, ки аъзои энергияи Hardy-ро дар ҳолати критикии \(\mu=\mu^*\) низ ошкоро назорат кунад.
• Барои системаи адъюнктии баръакс нобаробарии мушоҳидашавандагӣ ба даст омадааст.
• Системаи пешрави идорашаванда, ҳангоми истифодаи ҷуфти идоракунии \((u,g)\)-и дар манбаъ зикршуда ва иҷро шудани фарзияҳо, барои ҳар \(T>0\) дақиқ идорашаванда аст.
• Барои масъалаи пешрав баҳодиҳии устувории бар мушоҳидаи сарҳадӣ асосёфта нисбат ба ҳолати ибтидоӣ ба даст омадааст.
• Натиҷаҳо назариявӣ мебошанд; муваффақияти таҷрибавии идоракунӣ дар системаи физикии квантӣ ё самаранокии татбиқи ададӣ нишон дода нашудааст.
• «Идорашавандагии дақиқ» маънои онро надорад, ки ҳамаи системаҳои воқеии квантиро дар амал ба ҳолати дилхоҳ овардан мумкин аст; теорема дар доираи модели нишон додашудаи стохастикии PDE, фазоҳои функсионалӣ ва фарзияҳои коэффисиентҳо амал мекунад.
• Дар режими критикӣ фарзияҳои иловагии ба сифр баробар кардани коэффисиентҳои тартиби поёнӣ мавҷуданд; натиҷаҳо набояд гӯё ин фарзияҳо вуҷуд надоранд, умумӣ карда шаванд.
• Нишондоди \(\psi=\ln|x|\) ва нормаи \(L^\infty\) дар вазни Карлемани манбаъ нуктаи дохили манбаъ аст, ки шарҳ мехоҳад ва аз ҷониби Verianla ислоҳшуда ҳисобида нашудааст.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони аслӣ: Global Carleman estimate for stochastic Schrödinger equations with singular inverse-square potentials and its applications

Муаллифон: Luchuan Zhou; Bo You.

Муаллифи масъул: Сабти SSRN Bo You-ро ҳамчун муаллиф барои тамос нишон медиҳад.

Муассиса: School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, 710049, P. R. China.

Санаи PDF: 28 май 2026.

Платформа: SSRN.

SSRN Abstract ID: 6963586.

DOI: 10.2139/ssrn.6963586.

Санаи ирсол ба SSRN: 18 июн 2026.

Навъи манбаъ: Препринти таҳқиқоти назариявии математика.

Ҳолати баррасии ҳамтоён: Аз баррасии ҳамтоён нагузаштааст; PDF инро ошкоро зикр мекунад.

Маҷалла/нашриёт: Дар манбаъ маълумот дар бораи нашри маҷаллаи ҳамтоёнбаррасишуда ё версияи расмии ниҳоӣ вуҷуд надорад; версияи истифодашуда препринти SSRN аст.

Ҳолати иҷозатнома/ҳуқуқи муаллиф: Сабти SSRN маълумоти “All rights reserved; no reuse allowed without permission”-ро медиҳад. Аз ин рӯ, матни манбаъ, сохтори аслии баён ё тарҳи аслии саҳифа дубора нашр нашудаанд; далелҳои илмӣ, ифодаҳои математикӣ, усул ва натиҷаҳо дар меъмории мустақили таълимии Verianla шарҳ дода шудаанд.

Маблағгузорӣ: Манбаъ дастгирии қисмии молиявиро дар доираи National Science Foundation of China Grant 11871389, Fundamental Research Funds for the Central Universities xzy012022008 ва Shaanxi Fundamental Science Research Project for Mathematics and Physics 22JSY032 зикр мекунад.

Дастрасии додаҳо: Таҳқиқот кори назариявии PDE аст; маҷмӯи додаҳои таҷрибавии таҳлилшуда гузориш нашудааст.

Саҳми муаллифон: Изҳороти ҷудогонаи CRediT оид ба саҳмҳо ошкор нашудааст.

Бархӯрди манфиатҳо: Дар PDF бахши ҷудогонаи бархӯрди манфиатҳо ошкор нашудааст.

Усули асосӣ: Фазоҳои энергетикии критикии Hardy, дурустгузоштагии муодилаҳои стохастикии пешрав/баръакси Шрёдингер, ҳисоби Itô, айнияти вазндори Карлеман, нобаробариҳои навъи Hardy, мушоҳидашавандагии сарҳадӣ, дуалияти стохастикӣ, теоремаи Hahn-Banach ва теоремаи намояндагии Riesz.

Ҳадди асосии математикӣ: Натиҷаҳо таҳти \(N\geq3\), \(\mu\leq\mu^*\), регулярияти коэффисиентҳои дар манбаъ муайяншуда ва фарзияҳои иловагии коэффисиентҳо дар ҳолати критикӣ ба даст омадаанд.

Ёддошти мувофиқати дохили манбаъ 1: Манбаъ нишондодҳои \(\psi(x)=\ln|x|\), \(0\in G\) ва \(\|\psi\|_{L^\infty(G)}\)-ро якҷоя истифода мекунад. Таҳти тафсири стандартии норма ин нукта шарҳ талаб мекунад; Verianla ислоҳи берун аз манбаъ анҷом намедиҳад.

Ёддошти мувофиқати дохили манбаъ 2: Дар муқаддимаи Бахши 4.2 ифодаи problem (2.35) ҷой дорад, дар ҳоле ки Теоремаи 4.4 ва ҳисобҳои баъдӣ problem (2.33)-ро истифода мебаранд. Ин фарқи истиноди салибӣ дар манбаъ шарҳ дода нашудааст.

Азнавсозии визуалӣ: Азбаски манбаъ графики ба додаҳо асосёфта ё тасвири таҷрибавӣ надорад, равиши бехатартарин нақшаи комилан аслии математикӣ мебошад: сингулярияти марказии \(1/|x|^2\), минтақаи \(G\), сарҳади мушоҳидаи \(\Gamma_0\) ва ҷараёни Карлеман → мушоҳидашавандагӣ → дуалият → идорашавандагии дақиқ.

Verianla Live / Live Figure: Барои ҷараёни усули дорои параметрҳои собит қисман мувофиқ аст. Симулятсияи аз ҷониби корбар идорашавандае, ки параметрҳои илмиро тағйир медиҳад, ё аниматсияе, ки даъвои динамикаи воқеии квантиро дорад, мувофиқ нест.