Айкын эмес нейтралдуу темперацияланган Caputo бөлчөк тартиптеги Volterra–Fredholm интегралдык-дифференциалдык теңдемеси — бөлчөк тартиптеги жана экспоненциалдык темперацияны камтыган Caputo туундусун; өткөнгө байланышкан кечиктирилген аргументтерди, келечекке созулган алдыга жылдырылган аргументтерди, нейтралдуу функционалдык мүчөнү жана Volterra менен Fredholm интегралдык операторлорун бир эле математикалык түзүмдө бириктирген теңдемелер классы. Abdulrahman A. Sharif жана Muath Awadallaнын изилдөөсү бул класстагы маселелердин чечиминин бар болушун, жалгыздыгын жана туруктуулугун кыймылсыз чекит теориясы аркылуу карайт. Скаляры үзгүлтүксүз функциялар мейкиндигинде Banach кысуу принциби жана Schauder кыймылсыз чекит теоремасы; жалпы Banach мейкиндигинде болсо Darbo кыймылсыз чекит теоремасы менен Kuratowski компакттуу эместик өлчөмү колдонулат. Изилдөө мындан тышкары Ulam–Hyers–Rassias туруктуулугу үчүн жетиштүү шарттарды чыгарат жана теориялык түзүмдү MATLAB R2023a менен жүргүзүлгөн сандык мисалдар аркылуу талдайт.

Сандык бөлүмдө темперацияланган Caputo туундусу L1 схемасы менен дискреттештирилет. Volterra жана Fredholm интегралдары скалярдык маселеде курама Simpson эрежеси, Banach мейкиндиги маселесинде трапеция эрежеси менен жакындатылат; чечимди эсептөөдө интегралдык теңдеме формасынан чыгарылган кыймылсыз чекит итерациясы колдонулат. Problem 1 үчүн тор майдаланган сайын байкалган жакындашуу тартиби болжол менен 1,38–1,44, Problem 2 үчүн болжол менен 1,37 деп берилет. Кыймылсыз чекит итерациясынын отчеттолгон алгачкы алты кадамындагы ката катышы эки маселеде тең болжол менен 0,273 деңгээлинде калат. Бирок бул изилдөө чыныгы физикалык системада талаалык текшерүү жүргүзбөйт; вискоэластикалуулук, башкаруу теориясы жана нейрон динамикасы булакта моделдер классынын мүмкүн болгон мотивациялары катары берилет.

Темперацияланган Caputo бөлчөк туундусу деген эмне?

Темперацияланган Caputo бөлчөк туундусу классикалык Caputo бөлчөк туундусуна экспоненциалдык темперация өзгөртүүсүн кошуп, узак мөөнөттүү эс тутумдун бөлчөк жана локалдуу эмес мүнөзүн сактоо менен бирге алыскы өткөндүн таасирин экспоненциалдуу түрдө басаңдатуучу бөлчөк туунду оператору.

Изилдөөдө темперация параметри \(w_1\geq 0\), ал эми бөлчөк тартип \(w\) менен белгиленет. Адегенде темперацияланган Riemann–Liouville бөлчөк интегралы төмөнкү түзүм менен аныкталат:

\[ {}_0 I_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\,{}_0 I_{\rho}^{w}\left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) = \frac{1}{\Gamma(w)} \int_0^\rho e^{-w_1(\rho-\varpi)} (\rho-\varpi)^{w-1} F(\varpi)\,d\varpi . \]

Бул жерде \(\Gamma(w)\) — Gamma функциясы. Өзөктөгү \((\rho-\varpi)^{w-1}\) мүчөсү бөлчөк эс тутумду, ал эми \(e^{-w_1(\rho-\varpi)}\) мүчөсү темперацияны билдирет. \(w_1=0\) болгондо темперацияланган интеграл классикалык Riemann–Liouville бөлчөк интегралына өтөт.

Ал эми темперацияланган Caputo туундусу булакта

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}F(\rho) = e^{-w_1\rho}\, {}_0^C D_{\rho}^{w} \left(e^{w_1\rho}F(\rho)\right) \]

түрүндө берилет. Бул аныктама адегенде функцияны \(e^{w_1\rho}\) менен салмактоону, андан кийин классикалык Caputo туундусун алууну жана акырында \(e^{-w_1\rho}\) фактору менен темперациялоону билдирет. Ошентип, модель учурдагы абалга гана эмес, өткөн абалдардын салмакталган жыйындысына да көз каранды бойдон калат, ал эми өтө алыскы өткөндүн таасири темперация параметри аркылуу алсыратылат.

Өткөн, учурдагы жана алдыга жылдырылган убакыт сегменттери

Изилдөөнүн маанилүү өзгөчөлүктөрүнүн бири — чечим функциясы \([0,\xi]\) негизги аралыкта гана аныкталбайт. Маселе үч бөлүктүү убакыт түзүмүн колдонот: өткөн сегмент \([ -a,0]\), негизги чечим сегменти \([0,\xi]\) жана алдыга жылдырылган сегмент \([\xi,\xi+g]\). Булакта \(a,g>0\) деп алынат.

Бир \(\rho\) чекитинин айланасындагы функциянын өткөнү жана алдыга жылдырылган бөлүгү

\[ k^\rho(\ell)=k(\rho+\ell), \qquad \ell\in[-a,g] \]

сегменти менен көрсөтүлөт. Ошентип, теңдеменин оң тарабы \(k(\rho)\) маанисин гана эмес, \(\rho\) айланасындагы кечиктирилген жана алдыга жылдырылган маанилерди да колдоно алат.

Volterra жана Fredholm мүчөлөрү бул модельде эмнени билдирет?

Volterra мүчөсү жогорку чеги учурдагы өзгөрмө \(\rho\) болгон жана ошондуктан чечимдин \(\rho\) га чейин топтолгон өткөнүн билдирген интегралдык оператор; Fredholm мүчөсү болсо туруктуу \([0,\xi]\) аралыгынын бүтүндөй бөлүгү боюнча интеграл алгандыктан көбүрөөк глобалдык өз ара аракеттенүүнү же бүт аралыктын салымын билдирет.

Изилдөөнүн негизги теңдемесиндеги эки интегралдык түзүм төмөнкүлөр:

\[ V_1[k](\rho) = \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi , \]

\[ V_2[k](\rho) = \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi . \]

Биринчи интегралдын жогорку чеги \(\rho\) болушу баалоо чекити жылган сайын эсепке алынган өткөн аралык да чоңойорун билдирет. Экинчи интеграл болсо ар бир \(\rho\) үчүн бүт \([0,\xi]\) аралыгын камтыйт. Булактагы изилдөө бул түзүмдү тарыхый/эс тутумга байланышкан таасирлер менен көбүрөөк глобалдык өз ара аракеттенүүлөрдү бир модельде бириктирүүнүн математикалык жолу катары карайт.

Негизги айкын эмес нейтралдуу маселе

Изилдөөнүн борборундагы маселе жөнөкөйлөтүлгөн белгилөөдө төмөнкү түзүмгө ээ:

\[ {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1} \left[ k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho) \right] = F\left( \rho, k^\rho, {}_0^C D_{\rho}^{w,w_1}k(\rho), \int_0^\rho \hbar_1(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi, \int_0^\xi \hbar_2(\rho,\varpi,k(\varpi))\,d\varpi \right), \]

\[ \rho\in[0,\xi], \qquad k(\rho)=\varphi(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[-a,0], \qquad k(\rho)=\widehat{\varphi}(\rho)\;\text{için}\;\rho\in[\xi,\xi+g]. \]

Теңдеме айкын эмес, анткени бөлчөк туунду сол тарапта гана жайгашпайт; ал \(F\) функциясынын кириштеринин бири катары оң тарапта да бар. Нейтралдуу, анткени туунду түздөн-түз \(k(\rho)\) үстүнөн эмес, \(k(\rho)-\aleph(\rho,k^\rho)\) айкалышы үстүнөн алынат. Буга кечиктирилген жана алдыга жылдырылган аргументтер менен эки башка интегралдык оператордун кошулушу классикалык баштапкы маанилүү маселелерге караганда татаалыраак функционалдык түзүмдү түзөт.

Эмне үчүн кыймылсыз чекит теориясы колдонулат?

Авторлор дифференциалдык маселени ылайыктуу интегралдык теңдемеге айландырып, чечимди оператордун кыймылсыз чекити катары карашат. \(S\) оператору үчүн \(Sk=k\) теңдигин канааттандырган функция баштапкы интегралдык-дифференциалдык маселенин чечимине туура келет. Бул өзгөртүү аркылуу бар болуу жана жалгыздык маселеси дифференциалдык теңдемени түздөн-түз чечүүдөн оператордун белгилүү функциялар мейкиндиктеринде кандай касиеттерге ээ экенин изилдөөгө өтөт.

Kuratowski компакттуу эместик өлчөмү

Жалпы Banach мейкиндигинде классикалык компакттуулук шарттары түздөн-түз ыңгайлуу болбой калышы мүмкүн. Ошондуктан булак чектелген \(M\) көптүгүнө аны чектүү сандагы кичине диаметрлүү көптүктөр менен жабуу үчүн керектүү масштабга негизделген компакттуу эместик өлчөмүн берет. Өлчөмдүн нөл болушу тиешелүү көптүктүн компакттуу экенин билдирет. Darbo ыкмасында максат — чечим оператору бул өлчөмдү \(q<1\) коэффициенти менен азайтарын көрсөтүү.

Моделдин колдонуу контекстин кантип түшүндүрүү керек?

Булак бул математикалык классты вискоэластикалуулук, башкаруу теориясы, берүү линиялары жана нейрон динамикасы сыяктуу эс тутум, кечигүү же алдын ала таасирлерди камтышы мүмкүн болгон системалар менен байланыштырат. Ошентсе да изилдөө бул тармактардын биринде да чыныгы эксперименттик маалыматтарды колдонбойт жана белгилүү бир физикалык системада талаалык текшерүү жүргүзбөйт. Демек, бул колдонмолор моделдин математикалык мотивациялары болуп саналат; изилдөөнүн түздөн-түз текшерилген инженердик же биологиялык натыйжалары эмес.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Изилдөө чечимдин бар болушун жана жалгыздыгын кантип негиздейт?

Скалярдык маселеде чечим оператору ылайыктуу Lipschitz жана өсүү шарттары астында кысуу экени көрсөтүлгөндө Banach принциби жалгыз чечимди берет; алсызыраак компакттуулук шарттарында Schauder жок дегенде бир чечимди камсыз кылат, ал эми жалпы Banach мейкиндигине өткөндө Darbo теоремасы жана Kuratowski компакттуу эместик өлчөмү аркылуу жок дегенде бир чечим алынат.

Скалярдык маселедеги жалгыздык шарты

Булактын H1–H6 божомолдору \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) жана \(\hbar_2\) үчүн үзгүлтүксүздүк, Lipschitz жана өсүү көзөмөлдөрүн киргизет. Теорема 4тө төмөнкү сандык шарт борбордук роль ойнойт:

\[ \lambda+ \frac{ \left(\mu+A_1\delta_1\xi+A_2\delta_2\xi\right)\xi^w }{ (1-A)\Gamma(w+1) } <1. \]

Сол тараптагы сумма чечим операторунун жалпы сезгичтигинин жогорку чеги сыяктуу иштейт. \(\lambda\) нейтралдуу мүчөнүн \(k^\rho\) дагы өзгөрүүлөргө сезгичтигин; \(\mu\), \(A\), \(A_1\) жана \(A_2\) болсо \(F\) тин ар башка кириштерине байланышкан Lipschitz коэффициенттерин; \(\delta_1\) жана \(\delta_2\) интегралдык өзөктөрдүн чечим өзгөрмөсүнө сезгичтигин билдирет. Бул бириктирилген коэффициент бирден кичине болгондо оператор кысуу болот жана кыймылсыз чекит жалгыз болот.

Булактын скалярдык колдонмосунда \(w=1/3\) жана \(w_1=1\) колдонулат. Берилген атайын \(F\), \(\aleph\), \(\hbar_1\) жана \(\hbar_2\) функцияларынан алынган коэффициенттер жалгыздык теңсиздигине коюлганда булак болжол менен

\[ 0.1685<1 \]

маанисин эсептейт. Бул натыйжа булакта аныкталган Problem (16)–(18) үчүн Теорема 4түн жетиштүү шарты аткарылганын жана маселенин жалгыз чечими бар экенин көрсөтөт.

Schauder менен бар болуу

Булак жалгыздыкты талап кылбастан, чечимдин бар болушун гана алуу үчүн Schauder кыймылсыз чекит теоремасына да кайрылат. Бул жерде чечим операторунун үзгүлтүксүздүгү, ылайыктуу чектелген-жабык-томпок көптүктү өзүнө жөнөтөрү жана сүрөттөлүштүн тең үзгүлтүксүз/салыштырмалуу компакттуу экени көрсөтүлөт. Натыйжада тиешелүү божомолдор жана булакта берилген жогорку чек шарты астында маселенин жок дегенде бир чечими бар. Schauder жыйынтыгы жалгыздыкка кепилдик бербейт.

Жалпы Banach мейкиндигине кеңейтүү

Изилдөөнүн экинчи негизги теориялык кадамы — скалярдык \(\mathbb{R}\)-маанилүү маселеден жалпы Banach мейкиндиги \(E\) ге өтүү. Бул учурда чечим \(k(\rho)\) эми сөзсүз реал сан болууга тийиш эмес; Banach мейкиндигинин элементи болушу мүмкүн. Булак H7–H14 тибиндеги божомолдор астында чечим операторунун үзгүлтүксүздүгүн, ылайыктуу көптүктү өзүнө жөнөтөрүн, тең үзгүлтүксүздүгүн жана компакттуу эместик өлчөмүн азайтуу касиетин негиздейт.

Теорема 6нын негизги шарты булактын белгилөөсү менен жыйынтыкталганда

\[ \widehat N_1^{*} + \frac{ \left( \widehat K_2^{*} + \widehat K_4^{*}\widehat{\delta}_1\xi + \widehat K_5^{*}\widehat{\delta}_2\xi \right)\xi^w }{ \left(1-\widehat K_3^{*}\right)\Gamma(w+1) } <1 \]

түрүндө болот. Бул теңсиздик Darbo кыймылсыз чекит алкагы үчүн керектүү азайтуу касиетин берет. Булактагы \(\ell^1\) мейкиндигинде түзүлгөн колдонмодо эсептелген маани болжол менен

\[ 0.00422987<1 \]

болгондуктан Problem (21)–(23) үчүн жок дегенде бир чечим табылды деген тыянак чыгарылат.

Ulam–Hyers–Rassias туруктуулугу эмнени билдирет?

Ulam–Hyers–Rassias туруктуулугу теңдемени кичине жана көзөмөлдөнгөн калдык ката менен канааттандырган жакындатылган чечим ылайыктуу божомолдор астында чыныгы чечимден дагы эле көзөмөлдөнгөн аралыкта каларын билдирет; изилдөө бул аралыкты \(\varepsilon\) жана салмак функциясы \(\Delta(\rho)\) менен чектейт.

Булакта туруктуулуктун негизги максаты төмөнкүдөй:

\[ \|k(\rho)-\bar{k}(\rho)\| \leq \varepsilon\lambda_{F,\Delta}\Delta(\rho), \]

бул жерде \(k\) — бузулган теңсиздикти канааттандырган жакындатылган чечим, \(\bar{k}\) — баштапкы маселенин чечими жана \(\lambda_{F,\Delta}>0\) — булактагы божомолдордон чыгарылган туруктуулук туруктуусу. Бул натыйжа теңдемедеги кичине калдык ката чечимди көзөмөлсүз түрдө алыстатпай турганын математикалык жактан чектейт.

Теорема 7 мындан тышкары кемибеген \(\Delta\) функциясын жана

\[ {}_0 I_\rho^{w,w_1}\Delta(\rho) \leq \mu_\Delta\Delta(\rho) \]

шартын колдонот. Булак текстинде Теорема 7нин божомолдорунун арасында “condition (15)” деген сөз айкашы да бар. Banach мейкиндиги бөлүмүндөгү туруктуулардын белгилөөсү башка болгондуктан, бул кайчылаш шилтеме бул жерде үнсүз түрдө кайра номерленген же оңдолгон эмес.

Сандык ыкма

Сандык эксперименттер MATLAB R2023a менен жүргүзүлөт. Темперацияланган Caputo туундусу үчүн L1 жакындатуусу колдонулат. Булак \(g(\rho)=e^{w_1\rho}f(\rho)\) өзгөртүүсүн классикалык L1 дискреттештирүүсүнө колдонуп, натыйжаны \(e^{-w_1\rho_k}\) менен темперациялайт. Салмактар

\[ b_j=(j+1)^{1-w}-j^{1-w} \]

түрүндө аныкталат. Жетиштүү жылмакай \(f\) үчүн булак жергиликтүү кесүү катасы \(O(\Delta\rho^{\,2-w})\) тартибинде экенин билдирет.

Volterra жана Fredholm интегралдары Problem 1де курама Simpson эрежеси менен, \(\ell^1\) Banach мейкиндиги маселесинде болсо трапеция эрежеси менен эсептелет. Ар бир итерацияда бөлчөк туунду, Volterra интегралы, Fredholm интегралы жана айкын эмес \(F\) мүчөсү жаңыланат; андан кийин интегралдык формуладан жаңы чечим жакындатуусу алынат.

Problem 1: скалярдык чектүү-аралык мисалы

Problem 1де бөлчөк тартип \(w=1/3\), темперация параметри \(w_1=1\), негизги аймак \([0,1]\) жана сандык жакындашуу толеранттуулугу \(10^{-6}\) деп берилет. Тордун сезгичтигин баалоо үчүн \(N=1600\) чечими эталондук чечим катары колдонулат.

Эмпирикалык жакындашуу тартиби

\[ p= \frac{\log(E_i/E_{i+1})} {\log(h_i/h_{i+1})} \]

менен эсептелет. Тор майдаланган сайын эталондук чечимге карата ката ырааттуу азаят жана отчеттолгон акыркы эки кадамда тартип болжол менен 1,44кө жетет.

Булакта толук аналитикалык чечим жок болгондуктан, итерация таблицасындагы “Maximum Error” чыныгы чечимге карата ката эмес. Бул чоңдук

\[ \|k^{(n)}-k^{(n-1)}\|_\infty \]

деп, башкача айтканда, удаалаш эки кыймылсыз чекит итерациясынын айырмасы катары аныкталган. Ошого жараша отчеттолгон алгачкы алты кадамда маани 0.154327ден 0.000234кө чейин төмөндөйт, ал эми удаалаш ката катышы болжол менен 0.273 деңгээлинде калат.

Түшүндүрмөнүн чеги:Булак алгоритмде \(10^{-6}\) толеранттуулугун көрсөткөнү менен, отчеттолгон алтынчы итерациядагы айырма \(2.34\times10^{-4}\) болуп саналат. Ошондуктан таблица алты кадамдагы ачык геометриялык жакындашууну жана болжол менен 0.273 кысуу жүрүм-турумун көрсөтөт; таблицанын өзү алтынчы кадамда \(10^{-6}\) токтотуу толеранттуулугуна жеткенин көрсөтпөйт.

Булактын 1-сүрөтү төрт панелден турат: тордун жакындашуусу, толук чечим профили, темперацияланган бөлчөк туунду жана Volterra–Fredholm интегралдык салымдары. Verianla үчүн бул сүрөт булак маалыматтарын колдонуу менен өз алдынча графикалык композицияда кайра чийүүгө ылайыктуу; булак сүрөтүнүн пикселдик же дизайн көчүрмөсү талап кылынбайт.

Problem 2: \(\ell^1\) Banach мейкиндиги мисалы

Экинчи маселе чексиз өлчөмдүү \(\ell^1\) тизмектер мейкиндигинде аныкталат. Бөлчөк тартип кайрадан \(w=1/3\), бирок темперация параметри \(w_1=3\). Сандык эсептөө чексиз сандагы компоненттерди түздөн-түз иштете албагандыктан система алгачкы \(M\) компонентке чейин кесилет.

Булак компоненттер индекс чоңойгон сайын тез азайышына таянып, \(10^{-6}\) үчүн консервативдүү кесүү деңгээли \(M=1000\) болорун билдирет. Бирок таблицаларда эсептөө жана көрсөтүү жеңил болушу үчүн \(M=5\) колдонулган; ошондой эле \(M=20\) жана \(M=50\) эсептөөлөрү алдыңкы компоненттер жана \(\ell^1\) нормасы боюнча айырмаланбаган натыйжаларды бергени маалымдалган.

Бул маселеде алгачкы үч компонент булакта ырааттуу масштабдалган түзүмдү көрсөтөт. Мисалы, \(\rho=1\)де \(k_1=0.543210\), \(k_2=0.271605\) жана \(k_3=0.181070\) деп берилет.

Алгачкы алты итерация үчүн удаалаш чечим айырмасы 0.142567ден 0.000217ге чейин төмөндөп жатканда, берилген кысуу катышы болжол менен 0.273 тегерегинде калат. Problem 2нин тор жакындашуу тартиби болжол менен 1.37. Булак ошондой эле \(w_1=3\) темперациясында бөлчөк туунду Problem 1деги \(w_1=1\) абалына салыштырмалуу тезирээк азаярын билдирет.

PDFнин 32-бетиндеги 2-сүрөт; тор катасын жана 1.37 ылдыйлоосун, алгачкы үч чечим компонентин, \(k_1\)дин темперацияланган бөлчөк туундусун жана \(\ell^1\) нормасынын \([0,1]\) боюнча өзгөрүшүн бирге көрсөтөт.

Эки маселе чогуу эмнени көрсөтөт?

Булактын сандык мисалдары тор майдаланган сайын эталондук чечимге карата ката азаярын, кыймылсыз чекит итерацияларында окшош болжол менен 0.273 кысуу катыштары пайда болорун жана скалярдык да, \(\ell^1\) түзүмүндө да жылмакай чечим профилдери алынарын көрсөтөт. Problem 2де чоңураак темперация параметри бөлчөк туунду салымынын тезирээк азайышы менен байланыштырылат.

Изилдөө колдогон жыйынтык:Белгиленген үзгүлтүксүздүк, Lipschitz, өсүү жана компакттуу эместик шарттары астында бул теңдемелер классы үчүн чечимдин бар болушу, белгилүү скалярдык шарттарда чечимдин жалгыздыгы жана Ulam–Hyers–Rassias туруктуулугу математикалык түрдө негизделиши мүмкүн. Берилген атайын мисалдар тиешелүү жетиштүү шарттарды аткарат; сандык ыкмалар да тандалган мисалдарда ырааттуу жакындашуу жүрүм-турумун көрсөтөт.

Изилдөө колдобогон жыйынтык:Изилдөө бардык айкын эмес бөлчөк Volterra–Fredholm маселелеринин шартсыз түрдө жалгыз чечими бар экенин көрсөтпөйт. Математикалык жетиштүү шарттар бузулганда ошол эле жыйынтык автоматтык түрдө жарактуу болбойт. Сандык симуляциялар кыймылсыз чекит теоремаларын алмаштырган өз алдынча математикалык далил эмес. Мындан тышкары, вискоэластикалык, биологиялык, нейрондук же башкаруу системаларындагы чыныгы талаа көрсөткүчтөрү бул изилдөөдө эксперименттик түрдө текшерилген эмес.

Булакта көңүл бурууну талап кылган эки отчеттук жагдай

Биринчи жагдай — Теорема 7 H7–H12 божомолдоруна кошумча “condition (15)” деген сөз айкашына шилтеме кылат. Булактын Banach-мейкиндик бөлүмүндө өзүнчө туруктуу жана коэффициент белгилөөлөрү болгондуктан, бул кайчылаш шилтеме Verianla тарабынан үнсүз түрдө башка теңдеме номерине өзгөртүлгөн эмес.

Экинчи жагдай — сандык ыкма үчүн \(10^{-6}\) толеранттуулугу көрсөтүлгөнү менен, булак таблицалары алгачкы алты итерацияны гана көрсөтөт жана алтынчы кадамдагы удаалаш итерация айырмалары дагы эле болжол менен \(2\times10^{-4}\) деңгээлинде. Ошондуктан Verianla баяны булакта өзүнчө кездешкен “алты итерацияда жакындашуу” деген сөз айкашын алты итерацияда \(10^{-6}\) толеранттуулугуна жетти деп кеңейтпейт.

Келечектеги изилдөө багыттары

Булак келечектеги изилдөөлөр үчүн көбүрөөк адистештирилген сандык алгоритмдерди иштеп чыгууну, \(\psi\)-Hilfer, Hadamard же Katugampola түрүндөгү башка бөлчөк операторлорго кеңейтүүнү, оптималдуу башкаруу маселелерин, белгилүү физикалык-биологиялык-инженердик-экономикалык моделдерге колдонмолорду, стохастикалык бузулууларды жана өз ара байланышкан теңдемелер системаларын сунуштайт.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түп нуска изилдөө: Analysis of Implicit Neutral-Tempered Caputo Fractional Volterra–Fredholm Integro-Differential Equations Involving Retarded and Advanced Arguments

Авторлор: Abdulrahman A. Sharif; Muath Awadalla.

Мекемелер: Department of Mathematics, Hodeidah University, Yemen; Department of Mathematics, Dr. Babasaheb Ambedkar Marathwada University, India; Department of Mathematics and Statistics, College of Science, King Faisal University, Saudi Arabia.

Журнал: Mathematics.

Басмакана: MDPI.

Библиографиялык жазуу: Mathematics 2026, 14(3), 470.

DOI: 10.3390/math14030470.

Жөнөтүлгөн:4 январь 2026.Кайра кароо:24 январь 2026.Кабыл алынган:26 январь 2026.Жарыяланган:29 январь 2026.

Булактын түрү:Рецензияланган академиялык изилдөө макаласы; теориялык математикалык анализди, түзүмдүк мисалдарды жана сандык симуляцияларды камтыйт.

Лицензия:Creative Commons Attribution (CC BY). Verianla тексти булак макаланын сүйлөмдөрүн же сүрөт дизайнын кайра жарыялоонун ордуна илимий фактыларды, теңдемелерди, ыкмаларды, натыйжаларды жана чектөөлөрдү өз алдынча окутуучу баяндама менен кайра түзгөн.

Каржылоо:Изилдөө King Faisal University курамындагы Deanship of Scientific Research, Vice Presidency for Graduate Studies and Scientific Research тарабынан KFU260481 номериндеги грант менен колдоого алынган.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү:Авторлор изилдөөнүн түпкү салымдары макаланын ичинде экенин, кошумча суроолор corresponding authorларга жөнөтүлүшү мүмкүн экенин билдиришет.

Кызыкчылыктардын кагылышы:Авторлор кызыкчылыктардын кагылышын билдиришкен эмес.

Авторлордун салымдары:Abdulrahman A. Sharif концептуалдаштырууну, методологияны жана алгачкы долбоорду жазууну; Muath Awadalla карап чыгууну жана редакциялоону аткарган. Теориялык карап чыгуу жана формалдык анализ эки автор тарабынан жүргүзүлгөн.

Методологиялык чек:Натыйжалар булакта аныкталган жетиштүү математикалык божомолдорго көз каранды. Сандык бөлүм эки атайын маселе менен иштейт жана чыныгы дүйнөдөгү талаалык текшерүү эмес. \(\ell^1\) мисалын эсептөө чексиз өлчөмдүү мейкиндикти чектүү компоненттерге кесүү аркылуу жүргүзүлгөн.

Сандык отчеттуулуктун чеги:Булакта \(10^{-6}\) итерация толеранттуулугу көрсөтүлгөнүнө карабастан, жарыяланган алты-кадамдуу таблицаларда акыркы удаалаш итерация айырмалары бул чектен чоң. Ошондуктан Verianla булакта көрүнгөн геометриялык кысуу жүрүм-турумун берет, бирок алты итерацияда \(10^{-6}\) толеранттуулугуна жетти деген жыйынтыкты өз алдынча чыгарбайт.

Сүрөттү кайра чийүүгө ылайыктуулугу:Ылайыктуу. Булактын Таблица 1–7 маалыматтарынан толугу менен жаңы Verianla графикалык композицияларын даярдоого болот. PDFдеги 1-сүрөт жана 2-сүрөттүн илимий билдирүүсүн кайра чийүүгө болот; түп нуска сүрөттүн жайгашуусун көчүрүүнүн кереги жок.

Verianla Live / Live Figure ылайыктуулугу:Жарым-жартылай ылайыктуу. Кыймылсыз чекит итерациясындагы катанын азайышы, тордун жакындашуусу жана \(\ell^1\) нормасынын өзгөрүшү булак маалыматтарын өзгөртпөстөн ойнотуу/токтотуу/кайра баштоо түрүндө берилсе болот. Колдонуучуга \(w\), \(w_1\), толеранттуулук же башка илимий параметрлерди өзгөртүп жаңы натыйжа чыгаруу мүмкүнчүлүгү берилбеши керек.