Изилдөө белгисиз сызыктуу эмес динамикаларга ээ nonstrict-feedback системаларда актуатор бузулуусу менен туруктуу кириш кечигүүсү бир убакта бар болгон шартта эталонду көзөмөлдөөнү сактоо үчүн адаптивдүү бүдөмүк funnel башкаруу ыкмасын иштеп чыгат. Белгисиз функциялар Fuzzy Logic Systems (FLS) аркылуу жакындатылып моделденет, кириш кечигүүсү биринчи даражадагы Padé approximation аркылуу кечигүүсүз кеңейтилген системага айландырылат, актуатордун эффективдүүлүк жоготуусу жана кошумча бузулуу мүчөлөрү түздөн-түз башкаруу моделине киргизилет жана backstepping негизиндеги контроллер Lyapunov анализи менен каралат. Теориялык жыйынтык көрсөтүлгөн assumptions астында жабык контур сигналдарынын semi-globally uniformly ultimately bounded (SGUUB) бойдон калышы жана tracking error алдын ала белгиленген funnel чегинин ичинде кармалышы болуп саналат. Бул жыйынтык физикалык эксперимент менен эмес, электромеханикалык системанын сандык симуляциясы менен көрсөтүлгөн.

Funnel control ыкмасынын негизги максаты tracking errorду гана кичирейтүү эмес. Система үчүн убакыт менен тарыган уруксат берилген ката аймагы алдын ала аныкталат жана контроллер ката траекториясы бул чектен чыкпашын көздөйт. Изилдөөдө funnel чеги:

\[ F_\psi(t)=(\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

түрүндө. Симуляцияда \(\beta_0=3\), \(\beta_\infty=0,15\) жана \(\alpha=0,3\) тандалгандыктан уруксат берилген ката чеги башында 3 деңгээлинен башталып, убакыт өткөн сайын 0,15ке жакындайт.

Кириш кечигүүсү үчүн булак биринчи даражадагы Padé approximation колдонот. Бул өткөндөгү чыныгы кечиккен башкаруу сигналын түздөн-түз backstepping долбоорлоосунда пайдалануунун ордуна системага жардамчы \(\eta_{n+1}\) өзгөрмөсүн кошуп, кечигүүнүн болжолдуу динамикасын абал моделине алып келет. Авторлор жогорку даражалуу Padé ыкмасы теориялык жактан кеңири delay representation берерин, бирок система даражасын жана Lyapunov анализинин татаалдыгын көбөйтөрүн белгилеп, биринчи даражадагы ыкманы тандаган.

Актуатор бузулуусу эки компонентке бөлүнөт. \(\gamma(t)\) актуатор башкаруу буйругун канчалык эффективдүү аткара аларын көрсөткөн multiplicative effectiveness factor, ал эми \(\zeta(t)\) контроллер түздөн-түз башкара албаган additive fault мүчөсү:

\[ u(v(t))=\gamma(t)v+\zeta(t) \]

Теориялык анализде:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1 \]

жана:

\[ |\zeta(t)|\leq\zeta_{\max} \]

assumptions колдонулат. Демек, ыкма башкаруу мүмкүнчүлүгүн толугу менен жоготкон актуаторду камтыбайт; \(\gamma_{\min}\) оң болушу керек.

Сандык мисалда үч абалдуу электромеханикалык система колдонулуп, эталон:

\[ y_d(t)=\sin(t) \]

катары тандалган. Кириш кечигүүсү 1,5 s. Актуатор бузулуусу биринчи 10 секундда жок; \(t\geq10\) болгондо актуатор эффективдүүлүгү:

\[ \gamma(t)=0,4+0,6e^{-0,2t} \]

түрүндө азайтылат. Бул функция узак убакытта 0,4кө жакындайт; башкача айтканда, моделде актуатордун башкаруу ыйгарым укугунун чоң бөлүгү жоголсо да толук нөлгө түшпөйт.

3–7-сүрөттөрдө симуляциянын чыгышы эталонду жакын көзөмөлдөйт, tracking error булакта аныкталган funnel ичинде калат жана абал/adaptive-law өзгөрмөлөрү чектелген жүрүм-турум көрсөтөт. Параметр сезгичтиги анализинде булакта “Case 3” деп аталган жогорураак gain орнотуусу 1-таблицада эң төмөн MSE жана RMSE менен эң жогорку билдирилген BFR маанисин берет: MSE 0,0018, RMSE 0,0424 жана булак таблицасына ылайык BFR %98,75. Бирок BFR жана MAE тилкелеринде булак формулалары менен таблица маанилеринин ортосунда ички шайкешсиздик бар болгондуктан бул эки метрика этият чечмелениши керек.

8-сүрөттө сунушталган башкаруу ыкмасы башка бир ишке таандык ийри сызык менен салыштырылып, сунушталган ыкма tracking error боюнча чакан жакшыртуу бергендиги айтылат. Бирок изилдөөнүн [40] шилтемесин түшүндүргөн текст менен библиографиядагы [40] аталышы шайкеш келбегендиктен бул график күчтүү көз карандысыз benchmark катары каралбашы керек. Ошондой эле эки ыкма үчүн бир таблицада MSE, RMSE, settling time же control effort маанилери берилген эмес.

Түркия жагынан баалоо: Изилдөө караган маселе Түркияда servo системалар, роботтук манипуляторлор, электр жетектери, авиациялык башкаруу, өндүрүш автоматташтыруусу жана тармак аркылуу башкарылган электромеханикалык системалар үчүн методологиялык жактан маанилүү. Айрыкча актуатордун иштөө жөндөмү төмөндөшү менен башкаруу сигналындагы кечигүү бир убакта болгон системаларда ката чегин алдын ала аныктоо изилдөөгө татыктуу ыкма болуп саналат. Бирок учурдагы жыйынтыктар реалдуу мотор, реалдуу сенсор, тармак жабдуусу же embedded controller үстүндө текшерилген эмес. Колдонмого өтүүдөн мурда real-time processor load, actuator saturation, sensor noise, өзгөрмө кечигүү, моделден тышкаркы динамикалар жана физикалык fault-injection тесттери өзүнчө текшерилиши керек.

Изилдөө чечүүгө аракет кылган маселе эмне?

Сызыктуу эмес башкаруу системаларында үч маселе бир учурда пайда болушу мүмкүн: системанын айрым динамикалык функциялары толук белгисиз болушу, актуатор nominal буйрукту толук аткарбашы жана башкаруу буйругу системага кечигип жетиши. Бул үч таасир бирге болгондо nominal model боюнча гана түзүлгөн feedback controller көзөмөлдөө тактыгын жоготушу мүмкүн.

Изилдөө бул маселеге төртүнчү максатты да кошот: tracking error асимптотикалык гана азайбастан, transient режимде да алдын ала белгиленген чектен чыкпашы керек. Ошондуктан adaptive fuzzy control, fault-tolerant control, input-delay compensation жана funnel control бир backstepping түзүлүшүндө бириктирилет.

Nonstrict-feedback система кандай моделденет?

Булактын жалпы системасы:

\[ \begin{cases} \dot{\eta}_i=\phi_i(\eta)+\eta_{i+1}+p_i(t), & 1\leq i\leq n-1,\\ \dot{\eta}_n=\phi_n(\eta)+u(v(t-\tau))+p_n(t),\\ y=\eta_1 \end{cases} \]

түрүндө берилет.

\(\eta=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T\) — абал вектору. \(\phi_i(\eta)\) так формасы белгисиз nonlinear функцияларды, \(p_i(t)\) чектелген тышкы бузулууларды, \(v(t)\) башкаруу буйругун, \(u(v(t-\tau))\) болсо актуатор бузулуусу жана кириш кечигүүсүнөн кийин системага жеткен башкаруу таасирин билдирет.

Тышкы бузулуулар үчүн:

\[ |p_i(t)|\leq\bar p_i \]

assumption колдонулат. Ошондуктан Lyapunov анализи чексиз бузулуулар үчүн эмес, жогорку чеги чектүү disturbance классы үчүн курулган.

Кириш кечигүүсү кандай каралат?

Таза кечигүү Laplace аймагында:

\[ e^{-\kappa s} \]

менен көрсөтүлөт. Булак Denklem (2) ичинде биринчи даражадагы Padé approximation төмөнкүдөй жазат:

\[ \mathcal{L}\{u(v(t-\kappa))\} = e^{-\kappa s}\mathcal{L}\{u(v(t))\} \approx \frac{1-\kappa s/2} {1+\tau s/2} \mathcal{L}\{u(v(t))\} \]

Булак ичиндеги нотациялык чек: ушул эле теңдемеде кечигүү \(\kappa\) жана \(\tau\) символдору менен бирге көрүнөт. Кийинки Denklem (3) ичинде бөлүүчү кайра \(\kappa\) менен жазылат. Ошондуктан бул формула Verianla текстинде үнсүз стандарт Padé формасына айландырылган эмес.

Жардамчы кечигүү өзгөрмөсү эмне үчүн керек?

Булак \(\eta_{n+1}\) аттуу жардамчы өзгөрмөнү аныктайт жана кечигүүнүн болжолдуу таасирин дифференциалдык теңдеме катары системага киргизет:

\[ \dot{\eta}_{n+1} = \frac{4}{\kappa}u(v(t)) - \frac{2}{\kappa}\eta_{n+1} = 2\rho u(v(t))-\rho\eta_{n+1} \]

Бул өзгөрмө негизги физикалык система абалдарынын бири эмес, input-delay compensation үчүн колдонулган аралык абал катары берилет.

Нотация эскертүүсү: Булак бул өзгөртүүдөн дароо мурда \(\rho=2/t_d\) деп жазат; \(t_d\) мурда аныкталган эмес. Ошол эле саптагы \(\kappa\) менен \(t_d\) ортосундагы байланыш ачык берилбейт.

Актуатор бузулуусу кандай моделденет?

Актуатор чыгышы:

\[ u(v(t)) = \gamma(t)v+\zeta(t) \]

түрүндө моделденет.

• \(\gamma(t)\): актуатор эффективдүүлүк фактору; nominal абалда 1ге жакын, бузулуу астында кичирээк болушу мүмкүн.
• \(\zeta(t)\): контроллерден көз каранды эмес кошумча бузулуу мүчөсү.
• \(v\): долбоорлонгон чыныгы башкаруу буйругу.

Негизги assumption — \(\gamma(t)\) нөлгө түшпөшү:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1,\qquad \gamma_{\min}>0 \]

Бул assumption контроллер актуатор үстүндө ар дайым жок дегенде белгилүү өлчөмдө башкаруу ыйгарым укугуна ээ болушун талап кылат.

Funnel control эмнеси менен айырмаланат?

Классикалык көзөмөлдөө маселеси көбүнчө:

\[ e_1(t)=y(t)-y_d(t) \]

катасын кичирейтүүгө гана багытталышы мүмкүн. Funnel control болсо катанын уруксат берилген чегин убакыт функциясы катары алдын ала аныктайт:

\[ |e_1(t)|<F_\psi(t) \]

жана:

\[ F_\psi(t) = (\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

колдонот.

\(\beta_0\) баштапкы ката чегин, \(\beta_\infty\) узак мөөнөттүү уруксат берилген чекти жана \(\alpha\) funnel канчалык тез тарыарын аныктайт.

Жаңы funnel ката өзгөртүүсү

Булак мурдагы бир иштеги абсолюттук маанини камтыган funnel өзгөрмөсү \(e_1=0\) чекитинде differentiability маселесин жаратканын белгилеп:

\[ \xi_1 = \frac{e_1} {\sqrt{F_\psi^2-e_1^2}} \]

өзгөртүүсүн колдонот.

Анын туундусу:

\[ \dot{\xi}_1 = \Upsilon_1 \left( \dot{\eta}_1 - \dot y_d - \frac{e_1\dot F_\psi}{F_\psi} \right) \]

жана:

\[ \Upsilon_1 = \frac{F_\psi^2} {(F_\psi^2-e_1^2)^{3/2}} \]

түрүндө берилет.

Бул өзгөртүүдөгү \(e_1\) funnel чегине жакындаган сайын бөлүүчү кичирейип, \(\xi_1\) чоңоёт. Булак кийин Lyapunov анализи аркылуу чыныгы tracking error үчүн \(F_\psi\) чегинен да кичирээк жогорку чек чыгарууга аракет кылат.

Funnel өзгөртүүсүнүн математикалык чеги

Булактын Remark 2 түшүндүрмөсүндө жалгыз \(|e_1|<F_\psi\) шартынан чыгып, бөлүүчү “чекке жакындабайт” деген күчтүү билдирүү бар. Бирок strict inequality өзү эле \(F_\psi^2-e_1^2\) нөлдөн uniform ажыратылганын көрсөтпөйт; \(e_1\) чектин ичинен ага каалагандай жакындай алат.

Макаланын кийинки Lyapunov жыйынтыгы болсо:

\[ |e_1| \leq \sqrt{ \frac{ 2V(0)+2d_0/c_0 }{ 1+2V(0)+2d_0/c_0 } } |F_\psi| < |F_\psi| \]

түрүндө катуураак relative bound берет. Ошондуктан өзгөртүүнүн коопсуздугун чечмелөөдө Remark 2деги strict inequality гана эмес, ушул кийинки boundedness натыйжасы да эске алынышы керек.

Бүдөмүк логика системалары эмне үчүн колдонулат?

Контроллер \(\phi_i(\eta)\) сыяктуу белгисиз nonlinear функциялардын толук аналитикалык түрүн билбегендиктен, булак Fuzzy Logic Systems универсалдык approximation өзгөчөлүгүн колдонот.

Жалпы fuzzy чыгыш:

\[ y(X) = \frac{ \sum_{l=1}^{g} W_l \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) }{ \sum_{l=1}^{g} \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) } \]

түрүндө.

Normalize fuzzy basis function колдонулганда түзүлүш:

\[ y(X)=W^TP(X) \]

болуп кыскарат.

Булак үзгүлтүксүз белгисиз функция үчүн ылайыктуу параметрлер менен:

\[ \sup_{X\in\Omega} |\phi(X)-\theta^TP(X)| \leq\epsilon \]

түрүндөгү bounded approximation errorду кабыл алат.

Backstepping түзүлүшү кандай курулат?

Координата өзгөртүүсүндө биринчи ката өзгөрмөсү funnel өзгөртүүсү болуп саналат:

\[ z_1=\xi_1 \]

кийинки катмарларда:

\[ z_i=\eta_i-\alpha_{i-1}, \qquad i=2,\ldots,n \]

колдонулат.

\(\alpha_i\) аралык backstepping катмарларынын virtual control signalдары. Ар бир кадамда Lyapunov функциясына жаңы \(z_i^2/2\) мүчөсү жана fuzzy parameter estimation error мүчөсү кошулат.

Биринчи катмардагы Lyapunov функциясы

Булак:

\[ V_1 = \frac{1}{2}\xi_1^2 + \frac{1}{2\varsigma_1} \tilde\omega_1^2 \]

функциясын колдонот.

\(\tilde\omega_1=\omega_1-\hat\omega_1\) белгисиз fuzzy салмак чоңдугу менен online баалоо ортосундагы айырманы билдирет.

Адаптация мыйзамы жалпысынан tracking/backstepping ката чоңдугуна жана fuzzy basis activityге жараша \(\hat\omega_i\) жаңыртып, ошондой эле \(-\vartheta_i\hat\omega_i\) leakage сымал мүчө менен баалоонун чексиз өсүшүнө бөгөт коюуну көздөйт.

Чыныгы башкаруу мыйзамы

Акыркы backstepping кадамында булак чыныгы башкаруу буйругун:

\[ v = -k_nz_n -z_{n-1} - \frac{1}{2a_n^2} z_n\hat\omega_n P_n^T(Z_n)P_n(Z_n) \]

деп берет.

Түзүлүштүн биринчи мүчөсү акыркы tracking/backstepping катасын басат, экинчи мүчө мурдагы катмар менен байланышты жокко чыгарууга жардам берет, үчүнчү мүчө белгисиз nonlinear функциянын fuzzy approximation таасирин компенсациялоого багытталат.

SGUUB эмнени билдирет?

Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded натыйжасы ылайыктуу баштапкы аймак жана controller parameters астында жабык контур өзгөрмөлөрү чексиз чоңойбой турганын жана акыры чоңдугу белгисиздиктер менен gainдерге көз каранды чектүү аймакка кирерин билдирет.

Булактын максат кылган негизги Lyapunov теңсиздиги:

\[ \dot V_n \leq -c_0V_n+d_0 \]

түрүндө.

Мындан:

\[ 0\leq V_n(t) \leq \left( V(0)-\frac{d_0}{c_0} \right)e^{-c_0t} + \frac{d_0}{c_0} \]

алынат.

\(d_0/c_0\) акыркы bound чоңдугун аныктайт. Булактын түшүндүрмөсүнө караганда fuzzy approximation error, actuator fault, external disturbance жана Padé approximation error бул boundду чоңойто алган белгисиздик булактары.

Lyapunov чыгарылышындагы маанилүү белги маселеси

Булактын жарыяланган Denklem (60) ичинде:

\[ -k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

терс басаңдатуучу мүчө катары көрүнөт.

Бирок дароо кийинки Denklem (62)ге өтүүдө ошол эле мүчө:

\[ +k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

деп оң белги менен жазылган. Андан кийин ага карабастан:

\[ \dot V_n\leq-c_0V_n+d_0 \]

натыйжасына өтүлөт.

Көрсөтүлгөн түрүндө оң quadratic мүчө түздөн-түз negative-definite boundга айлана албайт. Ошондуктан булакта, кыязы, белги же терүү катасы бар; бирок бул иш үнсүз оңдолбостон, шайкешсиздик ачык айтылышы керек.

Denklem (60)дагы экинчи нотация маселеси

Ошол эле теңдемеде биринчи ката мүчөсү:

\[ -k_n\xi_n^2 \]

деп жазылган. Башкаруу дизайнында өзгөчө funnel өзгөрмөсү \(\xi_1\) аныкталып, аралык катмарлар \(z_i\) менен көрсөтүлөт. \(\xi_n\) үчүн өзүнчө аныктама берилбегендиктен бул туюнтма чыгарылыш чынжыры менен түз шайкеш келбейт.

Электромеханикалык мисал кайсы системаны колдонот?

Булак колдонмо модели катары механикалык айлануу кыймылы менен электр чынжыры байланышкан электромеханикалык системаны колдонот:

\[ M\ddot q+B\dot q+N\sin(q)=\tau \]

\[ L\dot I=V_0-RI-K_\tau\dot q \]

Бул жерде \(q\) механикалык абал, \(M\) механикалык параметр, \(B\) damping, \(N\sin q\) nonlinear restoring term, \(\tau\) момент, \(L\) индуктивдүүлүк, \(R\) каршылык жана \(V_0\) электр чыңалуу мүчөсү.

Андан соң булак:

\[ \eta_1=q,\qquad \eta_2=\dot q,\qquad \eta_3=\tau \]

өзгөрмөлөрү аркылуу системаны үчүнчү даражадагы nonstrict-feedback формасына өткөрөт.

Симуляциядагы тышкы бузулуулар

Үч абал теңдемесине төмөнкү bounded disturbance сигналдары кошулат:

\[ p_1(t)=0,2\cos(t) \]

\[ p_2(t)=\cos(0,5t) \]

\[ p_3(t)=0,2\sin(t) \]

Ошондуктан контроллер actuator fault жана input delay менен гана эмес, убакыт боюнча өзгөрүп турган тышкы бузулуулар менен да симуляцияланат.

Кириш кечигүүсү канча?

Симуляцияда:

\[ \kappa=1,5\ \text{s} \]

колдонулат. Бул туруктуу мааниге ээ. Демек, изилдөө өзгөрмө, белгисиз же stochastic communication delay сценарийин тастыктабайт.

Актуатор бузулуусу качан башталат?

Булакта:

\[ u(v)= \begin{cases} v, & t<10,\\ (0,4+0,6e^{-0,2t})v+\cos^2(x_1)x_2, &t\geq10 \end{cases} \]

колдонулат.

Биринчи 10 секундда актуатор nominal абалда. Андан кийин multiplicative effectiveness factor азайып, кошумча nonlinear additive fault ишке кирет.

Булак нотациясы: жалпы моделде \(\eta_1,\eta_2\) колдонулса да, бул теңдемеде \(x_1,x_2\) символдоруна өтөт. Булак буларды кайра аныктабайт.

Fuzzy membership functions кандай курулган?

Ар бир абал өзгөрмөсү үчүн \([-2,2]\) аралыгында алты Gaussian membership function аныкталган. Борбор чекиттер:

• −2,
• −1,5,
• −0,5,
• 0,5,
• 1,5,
• 2

катары тандалган.

Мисалы, биринчи membership function:

\[ \mu_{F_j^1}(X) = \exp \left( -\frac{(X+2)^2}{2} \right) \]

түрүндө. Калгандары ошол эле Gaussian түзүлүшүнүн ар башка борборлорго жылдырылган формалары.

Nominal controller parameters

Авторлор бул маанилер trial-and-error ыкмасы менен аныкталганын билдиришет. Демек, nominal tuning global optimum издөөсү же automatic gain optimization натыйжасы эмес.

Баштапкы шарттар

Абал баштапкылары:

\[ [\eta_1(0),\eta_2(0),\eta_3(0)]^T = [0,5,\ 0,5,\ 0,5]^T \]

жана fuzzy parameter estimates:

\[ [\hat\omega_1(0),\hat\omega_2(0),\hat\omega_3(0)]^T = [0,\ 0,\ 0]^T \]

катары тандалган.

3-сүрөт эмнени көрсөтөт?

3-сүрөттө система чыгышы \(y\) менен sinusoidal эталон \(y_d\) бирге көрсөтүлөт. Булак transient мезгилден кийин эки ийри бири-бирин жакын көзөмөлдөшүн ийгиликтүү tracking behavior катары чечмелейт.

Бул график физикалык сенсор өлчөөсү эмес, сандык модель чыгышы.

4-сүрөттөгү funnel жыйынтыгы

4-сүрөт tracking error \(e_1\) менен funnel чегин убакыт огунда көрсөтөт. Булактын негизги дооматы ката ийри сызыгы симуляция боюнча алдын ала белгиленген чектин ичинде калгандыгы.

Бул график funnel-control максаты каралган мисал үчүн аткарылганын колдойт. Бирок бир параметрдик модель симуляциясы бардык nonstrict-feedback системалар үчүн практикалык кепилдик эмес.

5–7-сүрөттөр эмнени көрсөтөт?

5-сүрөт аралык абал өзгөрмөлөрү \(\eta_2\) жана \(\eta_3\)тү; 6-сүрөт system input \(u\) жана кечиккен control input \(v(t-\kappa)\)ны; 7-сүрөт болсо \(\hat\omega_1\), \(\hat\omega_2\) жана \(\hat\omega_3\) adaptive-law trajectoriesни көрсөтөт.

Булак бул ийрилердин чектүү калышын SGUUB теориялык натыйжасына шайкеш сандык жүрүм-турум катары баалайт. Айрыкча input графигинде убактылуу чоң башкаруу маанилери көрүнүшү tracking performance control effort баасынан өз алдынча каралбашы керек экенин көрсөтөт.

Параметр сезгичтиги анализи кандай жасалды?

Баштапкы шарттар өзгөртүлбөстөн үч башка controller-parameter set колдонулган.

Жогорку gain колдонулган Case 3 булак таблицасында катага негизделген метрикаларда эң кичине маанилерди берет. Булактын Remark 4 түшүндүрмөсү да айрым чоң gainдер tracking errorду азайта аларын, бирок control-energy demandди көбөйтөрүн белгилейт.

1-таблицанын сандык жыйынтыктары

MSE, RMSE, SSE жана NMSE тилкелери Case 1ден Case 3кө карай ката азайганын ырааттуу көрсөтөт. Бирок MAE жана BFR үчүн төмөндө берилген булак ичиндеги математикалык маселелерден улам бул эки тилке ошол эле тактыкта чечмеленбеши керек.

MAE аныктамасындагы булак ичиндеги маселе

Булак Denklem (73) ичинде:

\[ MAE = \max_{1\leq t\leq N} |y(t)-y_r(t)| \]

аныктамасын берет.

Бул формула стандарт “mean absolute error” эмес, maximum absolute error аныктамасы.

Мындан да маанилүүсү, 1-таблицада ар бир сценарийде MAE белгисинин алдындагы сан RMSEден кичине. Максималдуу абсолюттук ката RMS катадан кичине болушу математикалык жактан мүмкүн эмес. Демек иштин ичинде MAE формуласы, MAE белгиси же таблица эсеби ортосунда чечилбеген шайкешсиздик бар.

BFR менен NMSE эмне үчүн шайкеш эмес?

Булактын Denklem (78)и:

\[ BFR = \left( 1- \frac{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y(t)-y_r(t))^2} }{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y_r(t)-\bar y_r)^2} } \right) \times100\% \]

түрүндө.

Ошол эле бөлчөк катышынын квадраты Denklem (77)де NMSE деп берилгендиктен жарыяланган формулалар бирге колдонулса:

\[ BFR=100(1-\sqrt{NMSE}) \]

байланышы чыгат.

1-таблицанын NMSE маанилери бул формулага коюлганда таблицадагы BFR маанилери алынбайт. Булак кайсы кошумча нормалдаштыруу колдонулганын түшүндүрбөйт. Ошондуктан BFR тилкеси болгонундай берилүүгө тийиш, бирок формула менен толук текшерилген метрика катары колдонулбашы керек.

8-сүрөттөгү ыкма салыштыруусу

8-сүрөт сунушталган ыкма менен булакта [40] деп берилген башка ыкманын tracking-error trajectoriesин бир графикте көрсөтөт. Ийрилер абдан жакын жана изилдөөчүлөр сунушталган ыкма жеңил жакшыруу бергенин айтышат.

Бирок ошол эле макаланын comparative-results тексти [40] input delay карайт, бирок funnel control колдонбойт десе, булактар тизмесиндеги [40] аталышында “funnel dynamic surface control” так жазылган жана input delay аталышта көрүнбөйт.

Ошондуктан 8-сүрөт күчтүү “proposed method versus correctly matched input-delay baseline” далили катары сунушталбашы керек. Иштин өзүндө салыштырылган reference ыкманын өзгөчөлүктөрүн сүрөттөөдө шайкешсиздик бар.

2-таблица эмнени салыштырат?

2-таблица performance сандарын эмес, ыкмалар кайсы өзгөчөлүктөрдү камтыганын сапаттык түрдө салыштырат.

Бул таблица “proposed controller төмөн RMSE берди” деген performance benchmark эмес. Ал авторлор тарабынан ыкма камтууларынын сапаттык классификациясын гана көрсөтөт.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• Актуатор эффективдүүлүк жоготуусу, additive actuator fault жана туруктуу input delay бир adaptive-control моделине киргизилген.
• Белгисиз nonlinear функциялар үчүн fuzzy logic approximation колдонулган.
• Tracking error үчүн убакыт менен тарыган funnel чеги аныкталган.
• Backstepping негизиндеги virtual-control жана real-control мыйзамдары чыгарылган.
• Булак көрсөтүлгөн assumptions астында closed-loop сигналдары үчүн SGUUB натыйжасын чыгарууну максат кылат.
• Электромеханикалык система симуляциясында tracking error белгиленген funnel ичинде калган.
• Актуатор fault \(t=10\) секундда башталып, input delay 1,5 s болгон симуляцияда эталон көзөмөлдөө сакталган.
• Үч parameter set ичинде Case 3 жарыяланган MSE, RMSE, SSE жана NMSE маанилеринде эң төмөн каталарды берген.
• Булак ыкманы actuator faults, input delay, funnel control жана nonstrict-feedback өзгөчөлүктөрүн бир framework ичинде камтыган түзүлүш катары жайгаштырат.

Изилдөө колдобогон же далилдебеген жыйынтыктар

• Контроллер чыныгы электромеханикалык жабдыкта иштегени көрсөтүлгөн эмес.
• Чыныгы актуатор бузулуусу физикалык киргизилген эмес.
• Чыныгы network latency же communication delay өлчөнгөн эмес.
• Кириш кечигүүсү өзгөрмө же stochastic болгон сценарийлер текшерилген эмес.
• Толук актуатор жоготуусу \(\gamma=0\) камтылбайт.
• Actuator saturation же rate limit ачык түрдө башкаруу дизайнына киргизилген эмес.
• Fuzzy-rule саны жана embedded processor үстүндө реалдуу execution time өлчөнгөн эмес.
• Үч gain setтен тышкары кең global sensitivity же Monte Carlo robustness анализи жасалган эмес.
• 8-сүрөт салыштыруусу ыкманын [40]га каршы сандык артыкчылык пайызын көрсөтпөйт.
• 1-таблицанын MAE жана BFR маанилеринин жарыяланган формулалар менен толук математикалык шайкештиги көрсөтүлө албайт.
• Lyapunov чыгарылышындагы жарыяланган белги/нотация маселелери чечилмейинче далил чынжырынын бардык алгебралык кадамдары толук деп айтууга болбойт.
• “Real-world example” сөз айкашы физикалык талаа же лабораториялык текшерүү дегенди билдирбейт.

Изилдөөнүн методу жана жыйынтыктары

Адаптивдүү бүдөмүк funnel башкаруу чынжыры

Симуляция шарттарынын кыскача жыйындысы

Controller-parameter sensitivity жыйынтыктары

Жарыяланган төрт шайкеш ката метрикасында Case 3 эң төмөн, Case 1 эң жогорку ката берет. Бул controller gainдери tracking performanceка так таасир этерин көрсөтөт; бирок control-energy trade-off үчүн өзүнчө сандык энергия таблицасы берилбегендиктен “Case 3 бардык жагынан эң мыкты controller” деген жыйынтык чыгарылбайт.

Булакта берилген бардык 1-таблица метрикалары

Илимий эскертүү: MAE жана BFR сандары булак таблицасынан өзгөртүлбөй алынды; бирок жогоруда айтылган formula–table шайкешсиздиктеринен улам кайра эсептелген же “тастыкталган” маанилер катары берилбейт.

Далил деңгээлдеринин бөлүнүшү

Изилдөөнүн күчтүү жактары

• Actuator fault менен input delayди бир adaptive fuzzy-control маселесинде карайт.
• Transient tracking behaviorду error minimization гана эмес, predefined funnel менен чектейт.
• Unknown nonlinear functions үчүн FLS approximation колдонот.
• Backstepping дизайнын система даражасы боюнча ачык чыгарат.
• Multiplicative effectiveness loss жана additive actuator faultту өзүнчө өзгөрмөлөр менен көрсөтөт.
• External disturbancesти башкаруу теориясына киргизет.
• Parameter sensitivity үчүн жалгыз nominal орнотуу менен чектелбей, үч gain set берет.
• MSE, RMSE, SSE жана NMSE сыяктуу сандык симуляция метрикаларын баяндайт.
• Funnel чегин жана tracking errorду убакыт аймагында бирге көрсөтөт.

Негизги методологиялык жана булак ичиндеги чектөөлөр

• Физикалык эксперимент жок.
• Биринчи даражадагы Padé approximation кечигүүнүн болжолдуу өкүлдүгү.
• Padé теңдемелеринде \(\kappa\), \(\tau\) жана \(t_d\) нотациясы ырааттуу колдонулган эмес.
• Актуатор толук таасирсиз боло албайт; \(\gamma_{\min}>0\) assumption алынат.
• Actuator saturation жана rate constraints моделденген эмес.
• Lyapunov чыгарылышында Denklem (60)–(62) ортосунда белги/нотация маселеси бар.
• Симуляция control law ичинде теориялык теңдемелер менен нотация/белги айырмалары бар.
• Актуатор fault мисалында \(x_1,x_2\) символдору түшүндүрүүсүз колдонулган.
• MAE формуласы менен 1-таблица маанилери математикалык жактан шайкеш эмес.
• BFR формуласы менен NMSE/BFR таблица маанилери шайкеш эмес.
• Ref. [40] салыштыруу түшүндүрмөсү ошол эле иштин библиографиясындагы аталышка каршы келет.
• Parameter sensitivity үч тандалган controller setting гана камтыйт.
• Control effort үчүн сандык жалпы энергия же RMS энергия салыштыруу таблицасы берилген эмес.
• Real-time computational complexity өлчөнгөн эмес.
• Variable delay, sensor fault жана cyber-physical communication constraints келечектеги иш катары калтырылган.

Булак жана метод эскертүүсү

Толук оригиналдуу изилдөө аталышы: Adaptive Tracking Control of Nonstrict-Feedback Nonlinear Systems with Actuator Faults and Input Delay via a Fuzzy Funnel Approach

Авторлор: Abdelwaheb Mhemdi, Mohamed Kharrat, Ameni Gargouri жана Paolo Mercorelli.

Авторлордун тартиби: 1. Abdelwaheb Mhemdi; 2. Mohamed Kharrat; 3. Ameni Gargouri; 4. Paolo Mercorelli.

Жооптуу автор: Paolo Mercorelli.

Тең салым/тең биринчи авторлук: Булакта мындай билдирүү жок.

Мекемелер:

1. Mathematics Department, College of Sciences and Humanities, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj, Riyadh, Saudi Arabia.
2. Laboratory of Probability and Statistics LR18ES28, Faculty of Sciences, Sfax University, Sfax, Tunisia.
3. Institute for Production Technology and Systems, Leuphana University of Lueneburg, Germany.

Журнал: Actuators.

Басма: MDPI, Basel, Switzerland.

Библиографиялык маалымат: Actuators 2026, 15(7), 384.

DOI:10.3390/act15070384

Расмий жарыя шилтемеси:MDPI – Actuators 15(7), 384

Жарыяланган дата: 8-июль 2026. Иш 14-июнь 2026да кабыл алынган, 5-июль 2026да оңдолгон жана 6-июль 2026да кабыл алынган.

Булак түрү жана рецензия абалы: Actuators журналында жарыяланган рецензияланган изилдөө макаласы. Методологиялык текшерүү аналитикалык stability analysis жана сандык электромеханикалык система симуляциясына таянат.

Лицензия: Creative Commons Attribution (CC BY).

Академиялык редактор: Giorgio Olmi.

Каржылоо: Изилдөө Prince Sattam bin Abdulaziz University тарабынан PSAU/2025/01/33516 долбоор номери менен колдоого алынган.

Этикалык кеңеш: Колдонулбайт.

Маалыматтуу макулдук: Колдонулбайт.

Маалыматтардын жеткиликтүүлүгү: Булак маалыматтар макаланын ичинде экенин жана кошумча суроолор жооптуу авторго багытталышы мүмкүн экенин билдирет.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор кызыкчылыктардын кагылышы жок экенин билдиришкен.

Автор салымдары: Abdelwaheb Mhemdi изилдөө, методология жана карап чыгуу/оңдоо; Mohamed Kharrat изилдөө, текшерүү жана биринчи долбоор; Ameni Gargouri карап чыгуу/оңдоо; Paolo Mercorelli кеңеш берүү, концептуалдаштыруу жана карап чыгуу/оңдоо ролдорун аткарган.

Илимий камтуу: Иш nonstrict-feedback nonlinear systems үчүн fuzzy logic approximation, adaptive backstepping, funnel transformation, actuator-fault accommodation жана Padé input-delay approximation компоненттерин бир control framework ичинде бириктирет.

Текшерүү түрү: Кыскача жана жыйынтык бөлүмдөрүндө “real-world example” айтылса да, 4-бөлүм “Simulation Results” аталышы астында. Электромеханикалык система физикалык эксперименттик түзүлүш катары курулган эмес; математикалык модель үстүндө симуляцияланган. Ошондуктан изилдөө реалдуу талаа же лабораториялык текшерүү катары көрсөтүлбөшү керек.

Padé нотация чеги: Denklem (2) ичинде \(e^{-\kappa s}\) кечигүүсү үчүн Padé туюнтмасынын алымы \(\kappa\), бөлүүчүсү \(\tau\) символун колдонот. Denklem (3) ичинде кайра \(\kappa\) колдонулат. Андан соң \(\rho=2/t_d\) аныкталганда \(t_d\) мурда түшүндүрүлбөйт. Булак бул нотацияларды шайкеш келтирбейт.

Funnel өзгөртүүсү чеги: Булак \(|e_1|<F_\psi\) шарты өзгөртүү бөлүүчүсүнүн оң калышын камсыздайт деп билдирет. Жөнөкөй strict inequality бөлүүчүнүн чектен uniform ажыраганын көрсөтпөсө да кийинки Lyapunov натыйжасы \(e_1\) үчүн \(F_\psi\)нин туруктуу катышы менен чек чыгарат.

Lyapunov далили эскертүүсү: Denklem (60)да \(-k_n\gamma_{\min}z_n^2\) болгон мүчө Denklem (62)ге өтүүдө \(+k_n\gamma_{\min}z_n^2\) болуп көрүнөт. Ошол эле Denklem (60)да мурда аныкталбаган \(\xi_n\) символу колдонулат. Ошого карабастан булак \(\dot V_n\leq-c_0V_n+d_0\) натыйжасына өтөт. Бул белги/нотация маселеси үнсүз оңдолгон эмес.

Controller-denklem эскертүүсү: Симуляция үчүн берилген Denklem (72)деги \(\alpha_1\) туюнтмасы теориялык чыгарылыштагы мурдагы формула менен белги жана символ колдонуу жагынан толук дал келбейт. Булак бул өтүүнү өзүнчө түшүндүрбөйт.

Actuator-fault нотациясы: Denklem (70)те additive fault \(\cos^2(x_1)x_2\) түрүндө берилген; мурдагы моделде абалдар \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\) менен көрсөтүлгөн. \(x_1,x_2\) өзүнчө аныкталган эмес.

MAE шайкешсиздиги: Denklem (73) MAEни \(\max|y-y_r|\) деп аныктайт. Бул максималдуу абсолюттук ката аныктамасы. 1-таблицадагы “MAE” маанилери болсо үч учурда тең RMSEден кичине жана ошондуктан жарыяланган maximum-error формуласы менен шайкеш эмес.

BFR шайкешсиздиги: Denklem (77) жана Denklem (78) бирге колдонулганда \(BFR=100(1-\sqrt{NMSE})\) байланышы чыгат. 1-таблицанын жарыяланган NMSE жана BFR тилкелери бул байланышты камсыз кылбайт. Булак башка эсептөө ыкмасын же нормалдаштырууну түшүндүрбөйт.

Салыштыруу чеги: 8-сүрөт сунушталган ыкманы Ref. [40] менен салыштырат. Comparative-results тексти Ref. [40] input delay камтыйт, бирок funnel control колдонбойт деп билдирет. Ушул эле макаланын библиографиялык аталышы Ref. [40]ды “Observer-based adaptive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknown control coefficients and hysteresis input” деп берет. Демек baseline ыкманын аныктамасында булак ичиндеги карама-каршылык бар.

Parameter-sensitivity чеги: Case 1–3 салыштыруусу үч тандалган controller-parameter set. Бул кең stochastic uncertainty, Monte Carlo, global tuning же optimizer-based sensitivity campaign эмес.

Эсептөө татаалдыгы чеги: Булак ыкма matrix inversion же iterative online optimization талап кылбасын жана complexity fuzzy-rule менен state санына болжолдуу түз өсөрүн айтат. Бирок чыныгы embedded processor үстүндө execution-time, memory же sampling-frequency benchmark берилген эмес.

Келечектеги иш: Авторлор ыкманы stochastic nonlinear switched systems, actuator жана sensor faults, communication constraints, event-triggered control жана cyber–physical applications багытында кеңейтүүнү сунуштайт.

Бул Verianla мазмунундагы илимий метод, теңдемелер, симуляция параметрлери, таблицалар, салыштыруулар жана чектөөлөр бир гана каралган изилдөөгө негизделет. Тышкы булак библиографиялык жарыя идентификациясын текшерүү максатында гана колдонулган. Булак ичиндеги математикалык, нотациялык жана салыштырма шайкешсиздиктер үнсүз оңдолгон эмес.