Utafiti huu unatengeneza mkabala wa udhibiti badilifu wa fuzzy funnel ili kudumisha ufuatiliaji wa rejea katika mifumo ya nonstrict-feedback yenye mienendo isiyo ya mstari isiyojulikana, pale ambapo hitilafu ya actuator na ucheleweshaji thabiti wa ingizo hutokea kwa wakati mmoja. Kazi zisizojulikana hukadiriwa kwa Fuzzy Logic Systems (FLS), ucheleweshaji wa ingizo hubadilishwa kuwa mfumo uliopanuliwa usio na ucheleweshaji kwa kutumia Padé approximation ya daraja la kwanza, upotevu wa ufanisi wa actuator na vipengele vya additive fault huingizwa moja kwa moja kwenye modeli ya udhibiti, na controller inayotegemea backstepping huchunguzwa kwa uchambuzi wa Lyapunov. Matokeo ya kinadharia ya utafiti ni kwamba, chini ya assumptions zilizotajwa, ishara za closed-loop hubaki semi-globally uniformly ultimately bounded (SGUUB), na tracking error hushikiliwa ndani ya mpaka wa funnel uliowekwa mapema. Matokeo haya yameonyeshwa kwa simulation ya mfumo wa electromechanical, si kwa jaribio la kimwili.

Lengo kuu la funnel control si kupunguza tracking error pekee. Eneo la kosa linaloruhusiwa, linalopungua kadiri muda unavyopita, hufafanuliwa mapema kwa mfumo; kisha controller hulenga kuhakikisha trajectory ya kosa haivuki mpaka huo. Katika utafiti, mpaka wa funnel ni:

\[ F_\psi(t)=(\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

Kwa sababu katika simulation \(\beta_0=3\), \(\beta_\infty=0,15\) na \(\alpha=0,3\) vimechaguliwa, mpaka wa kosa unaoruhusiwa huanza kwenye kiwango cha 3 na baadaye hukaribia 0,15 kadiri muda unavyopita.

Kwa ucheleweshaji wa ingizo, chanzo kinatumia Padé approximation ya daraja la kwanza. Hatua hii haiingizi moja kwa moja signal ya udhibiti iliyocheleweshwa katika muundo wa backstepping; badala yake inaongeza variable msaidizi \(\eta_{n+1}\) na kuhamisha mienendo ya kukadiria ucheleweshaji kwenye modeli ya hali. Waandishi wanasema Padé approximation ya daraja la juu ingeweza kutoa uwakilishi wa kina zaidi wa delay, lakini ingeongeza degree ya mfumo na ugumu wa uchambuzi wa Lyapunov. Ndiyo maana wamechagua approximation ya daraja la kwanza.

Hitilafu ya actuator imegawanywa katika vipengele viwili. \(\gamma(t)\) ni multiplicative effectiveness factor inayonyesha actuator inaweza kutekeleza amri ya udhibiti kwa kiwango gani, na \(\zeta(t)\) ni additive fault term ambayo controller haiwezi kuidhibiti moja kwa moja:

\[ u(v(t))=\gamma(t)v+\zeta(t) \]

Katika uchambuzi wa kinadharia assumptions zifuatazo hutumika:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1 \]

na:

\[ |\zeta(t)|\leq\zeta_{\max} \]

Kwa hiyo mbinu hii haijumuishi actuator iliyopoteza kabisa mamlaka ya udhibiti; \(\gamma_{\min}\) lazima iwe chanya.

Katika mfano wa nambari, mfumo wa electromechanical wenye hali tatu umetumika na rejea imechaguliwa kuwa:

\[ y_d(t)=\sin(t) \]

Ucheleweshaji wa ingizo ni 1,5 s. Hitilafu ya actuator haipo katika sekunde 10 za mwanzo; wakati \(t\geq10\), ufanisi wa actuator hupunguzwa kama:

\[ \gamma(t)=0,4+0,6e^{-0,2t} \]

Function hii hukaribia 0,4 kwa muda mrefu; kwa maneno mengine, sehemu muhimu ya control authority ya actuator hupotea katika modeli, lakini haishuki hadi sifuri kabisa.

Katika Vielelezo 3–7, output ya simulation inafuata rejea kwa karibu, tracking error inabaki ndani ya funnel iliyofafanuliwa katika chanzo, na variables za state/adaptive-law zinaonyesha tabia iliyodhibitiwa. Katika parameter sensitivity analysis, mpangilio wa gain kubwa zaidi unaoitwa “Case 3” katika chanzo hutoa MSE na RMSE ndogo zaidi pamoja na BFR kubwa zaidi iliyoripotiwa katika Jedwali 1: MSE 0,0018, RMSE 0,0424, na kulingana na jedwali la chanzo BFR ni %98,75. Hata hivyo, kuna kutokulingana kwa ndani kati ya formulas za chanzo na values za jedwali katika columns za BFR na MAE; kwa hiyo metrics hizi mbili zinapaswa kufasiriwa kwa tahadhari.

Kielelezo 8 kinalinganisha method iliyopendekezwa na curve inayohusishwa na utafiti mwingine, na kinaeleza kuwa method iliyopendekezwa ina improvement ndogo katika tracking error. Hata hivyo, maelezo ya reference [40] katika maandishi na kichwa cha [40] kwenye bibliography havilingani. Kwa sababu hiyo, grafu hii haipaswi kuchukuliwa kama independent benchmark yenye nguvu. Pia hakuna jedwali moja linalotoa MSE, RMSE, settling time au control effort kwa methods hizo mbili.

Tathmini kwa mtazamo wa Uturuki: Tatizo linaloshughulikiwa na utafiti huu ni muhimu kimethodolojia kwa kazi za servo systems, robotic manipulators, electric drive systems, aviation control, production automation na mifumo ya electromechanical inayodhibitiwa kupitia mtandao nchini Uturuki. Hasa katika mifumo ambako upungufu wa actuator performance na kuchelewa kwa signal ya udhibiti hutokea pamoja, kufafanua mpaka wa kosa mapema ni mkabala unaostahili kuchunguzwa. Hata hivyo, matokeo yaliyopo hayajathibitishwa kwenye motor halisi, sensor halisi, vifaa vya network au embedded controller. Kabla ya matumizi, real-time processor load, actuator saturation, sensor noise, variable delay, dynamics zisizomo kwenye modeli na physical fault-injection tests zinahitaji kuthibitishwa kando.

Tatizo kuu ambalo utafiti unajaribu kutatua ni nini?

Katika nonlinear control systems, matatizo matatu yanaweza kutokea kwa wakati mmoja: baadhi ya dynamic functions za mfumo zinaweza kutofahamika kikamilifu, actuator inaweza kutotekeleza nominal command kikamilifu, na command ya udhibiti inaweza kuufikia mfumo ikiwa imechelewa. Athari hizi tatu zikitokea pamoja, feedback controller iliyobuniwa kwa nominal model pekee inaweza kupoteza tracking accuracy.

Utafiti unaongeza lengo la nne kwenye tatizo hili: tracking error haipaswi kupungua tu asymptotically, bali pia katika transient regime haipaswi kutoka nje ya mpaka uliowekwa mapema. Kwa hiyo adaptive fuzzy control, fault-tolerant control, input-delay compensation na funnel control huunganishwa chini ya muundo mmoja wa backstepping.

Mfumo wa nonstrict-feedback unaigwa kwa namna gani?

Mfumo mkuu katika chanzo ni:

\[ \begin{cases} \dot{\eta}_i=\phi_i(\eta)+\eta_{i+1}+p_i(t), & 1\leq i\leq n-1,\\ \dot{\eta}_n=\phi_n(\eta)+u(v(t-\tau))+p_n(t),\\ y=\eta_1 \end{cases} \]

\(\eta=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T\) ni state vector. \(\phi_i(\eta)\) huwakilisha nonlinear functions ambazo exact form yake haijulikani; \(p_i(t)\) ni bounded external disturbances; \(v(t)\) ni control command; na \(u(v(t-\tau))\) ni athari ya udhibiti inayoufikia mfumo baada ya actuator fault na input delay.

Kwa external disturbances, assumption ifuatayo hutumika:

\[ |p_i(t)|\leq\bar p_i \]

Kwa hiyo uchambuzi wa Lyapunov umejengwa kwa class ya disturbances zenye upper bound finite, si kwa disturbances zisizo na kikomo.

Ucheleweshaji wa ingizo hushughulikiwaje?

Pure delay huwakilishwa katika Laplace domain kwa:

\[ e^{-\kappa s} \]

Chanzo kinaandika Padé approximation ya daraja la kwanza katika Denklem (2) kama:

\[ \mathcal{L}\{u(v(t-\kappa))\} = e^{-\kappa s}\mathcal{L}\{u(v(t))\} \approx \frac{1-\kappa s/2} {1+\tau s/2} \mathcal{L}\{u(v(t))\} \]

Kikomo cha notation ndani ya chanzo: delay inaonekana katika equation hiyo hiyo kwa symbols \(\kappa\) na \(\tau\). Katika Denklem (3), denominator inaandikwa tena kwa \(\kappa\). Kwa hiyo formula hii haijarekebishwa kimya kimya kuwa standard Padé form katika maudhui ya Verianla.

Variable msaidizi ya delay inafanya kazi gani?

Chanzo kinafafanua variable msaidizi \(\eta_{n+1}\) na kuingiza athari ya takriban ya delay kwenye mfumo kwa differential equation:

\[ \dot{\eta}_{n+1} = \frac{4}{\kappa}u(v(t)) - \frac{2}{\kappa}\eta_{n+1} = 2\rho u(v(t))-\rho\eta_{n+1} \]

Variable hii si state ya msingi ya physical system; ni intermediate state inayotumika kwa input-delay compensation.

Dokezo la notation: Chanzo kinaandika \(\rho=2/t_d\) kabla ya transformation hii; \(t_d\) haijafafanuliwa hapo awali. Uhusiano kati ya \(\kappa\) na \(t_d\) kwenye mstari huo haupewi wazi.

Hitilafu ya actuator inaigwa namna gani?

Output ya actuator inaigwa kwa:

\[ u(v(t)) = \gamma(t)v+\zeta(t) \]

• \(\gamma(t)\): actuator effectiveness factor; inaweza kuwa karibu na 1 katika nominal state na ndogo zaidi chini ya fault.
• \(\zeta(t)\): additive fault term isiyotegemea controller moja kwa moja.
• \(v\): real control command iliyobuniwa.

Assumption kuu ni kwamba \(\gamma(t)\) haishuki hadi sifuri:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1,\qquad \gamma_{\min}>0 \]

Assumption hii inahitaji controller iwe na angalau kiasi fulani cha control authority juu ya actuator wakati wote.

Funnel control inatofautiana vipi?

Classical tracking problem inaweza kulenga tu kupunguza:

\[ e_1(t)=y(t)-y_d(t) \]

Funnel control, kwa upande mwingine, hufafanua mapema allowed error boundary kama function ya time:

\[ |e_1(t)|<F_\psi(t) \]

na hutumia:

\[ F_\psi(t) = (\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

\(\beta_0\) hufafanua initial error boundary, \(\beta_\infty\) long-term allowable boundary, na \(\alpha\) kasi ya funnel kuwa nyembamba.

Transformation mpya ya kosa la funnel

Chanzo kinasema kuwa funnel variable katika utafiti uliopita iliyokuwa na absolute value ilikuwa na differentiability problem katika \(e_1=0\). Kwa hiyo kinatumia transformation:

\[ \xi_1 = \frac{e_1} {\sqrt{F_\psi^2-e_1^2}} \]

Derivative yake ni:

\[ \dot{\xi}_1 = \Upsilon_1 \left( \dot{\eta}_1 - \dot y_d - \frac{e_1\dot F_\psi}{F_\psi} \right) \]

na:

\[ \Upsilon_1 = \frac{F_\psi^2} {(F_\psi^2-e_1^2)^{3/2}} \]

Katika transformation hii, \(e_1\) ikikaribia funnel boundary, denominator hupungua na magnitude ya \(\xi_1\) huongezeka. Kisha chanzo kinajaribu kutoa upper bound ndogo kuliko \(F_\psi\) kwa real tracking error kupitia Lyapunov analysis.

Kikomo cha kihisabati cha funnel transformation

Katika Remark 2, chanzo kina statement kali kwamba kutoka tu kwenye \(|e_1|<F_\psi\), denominator “haikaribii mpaka”. Lakini strict inequality pekee haionyeshi kuwa \(F_\psi^2-e_1^2\) imetenganishwa na sifuri kwa uniform margin; \(e_1\) inaweza kukaribia mpaka kwa kadiri yoyote ikiwa bado iko ndani yake.

Matokeo ya baadaye ya Lyapunov katika makala ni:

\[ |e_1| \leq \sqrt{ \frac{ 2V(0)+2d_0/c_0 }{ 1+2V(0)+2d_0/c_0 } } |F_\psi| < |F_\psi| \]

Hili linatoa relative bound iliyo kali zaidi. Kwa hiyo usalama wa transformation haupaswi kutafsiriwa kwa strict inequality ya Remark 2 pekee; boundedness result hii ya baadaye pia lazima izingatiwe.

Kwa nini Fuzzy Logic Systems hutumika?

Kwa kuwa controller haijui exact analytical form ya unknown nonlinear functions kama \(\phi_i(\eta)\), chanzo hutumia universal approximation property ya Fuzzy Logic Systems.

General fuzzy output ni:

\[ y(X) = \frac{ \sum_{l=1}^{g} W_l \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) }{ \sum_{l=1}^{g} \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) } \]

Kwa kutumia normalized fuzzy basis function, structure inakuwa:

\[ y(X)=W^TP(X) \]

Chanzo kinakubali bounded approximation error ya aina:

\[ \sup_{X\in\Omega} |\phi(X)-\theta^TP(X)| \leq\epsilon \]

kwa continuous unknown function na parameters zinazofaa.

Muundo wa backstepping hujengwaje?

Katika coordinate transformation, error variable ya kwanza ni funnel transformation:

\[ z_1=\xi_1 \]

Katika layers zinazofuata hutumika:

\[ z_i=\eta_i-\alpha_{i-1}, \qquad i=2,\ldots,n \]

\(\alpha_i\) ni virtual control signals za intermediate backstepping layers. Katika kila hatua, term mpya ya \(z_i^2/2\) na fuzzy parameter estimation error term huongezwa kwenye Lyapunov function.

Lyapunov function katika layer ya kwanza

Chanzo kinatumia:

\[ V_1 = \frac{1}{2}\xi_1^2 + \frac{1}{2\varsigma_1} \tilde\omega_1^2 \]

\(\tilde\omega_1=\omega_1-\hat\omega_1\) huwakilisha tofauti kati ya unknown fuzzy weight magnitude na online estimate.

Adaptive law kwa ujumla husasisha \(\hat\omega_i\) kulingana na tracking/backstepping error magnitude na fuzzy basis activity. Pia hutumia leakage-like term \(-\vartheta_i\hat\omega_i\) ili kuzuia estimate kukua bila kikomo.

Real control law

Katika hatua ya mwisho ya backstepping, chanzo kinatoa real control command kama:

\[ v = -k_nz_n -z_{n-1} - \frac{1}{2a_n^2} z_n\hat\omega_n P_n^T(Z_n)P_n(Z_n) \]

Term ya kwanza hupunguza final tracking/backstepping error, term ya pili husaidia kufuta coupling na layer iliyotangulia, na term ya tatu inalenga kufidia athari ya fuzzy approximation ya unknown nonlinear function.

SGUUB ina maana gani?

Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded ina maana kwamba chini ya initial region na controller parameters zinazofaa, variables za closed-loop hazikui bila kikomo na hatimaye huingia katika finite region ambayo ukubwa wake hutegemea uncertainties na gains.

Lyapunov inequality kuu inayolengwa na chanzo ni:

\[ \dot V_n \leq -c_0V_n+d_0 \]

Kutoka hapo:

\[ 0\leq V_n(t) \leq \left( V(0)-\frac{d_0}{c_0} \right)e^{-c_0t} + \frac{d_0}{c_0} \]

hutokana.

\(d_0/c_0\) huamua ukubwa wa ultimate bound. Kulingana na chanzo, fuzzy approximation error, actuator fault, external disturbance na Padé approximation error zinaweza kuongeza bound hii.

Tatizo muhimu la ishara katika derivation ya Lyapunov

Katika Denklem (60) iliyochapishwa:

\[ -k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

inaonekana kama negative damping term.

Lakini kwenye mstari wa kwanza unaoelekea Denklem (62), term hiyo hiyo inaonekana kama:

\[ +k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

ikiwa na sign chanya. Baada ya hapo, bado chanzo kinaenda kwenye:

\[ \dot V_n\leq-c_0V_n+d_0 \]

Katika hali ilivyoandikwa, positive quadratic term haiwezi kubadilishwa moja kwa moja kuwa negative-definite bound. Kwa hiyo huenda kuna sign au typesetting error katika chanzo; lakini inconsistency hii haipaswi kurekebishwa kimya kimya.

Tatizo la pili la notation katika Denklem (60)

Katika equation hiyo hiyo, error term ya kwanza imeandikwa kama:

\[ -k_n\xi_n^2 \]

Katika control design, special funnel variable \(\xi_1\) hufafanuliwa, wakati intermediate layers huonyeshwa kwa \(z_i\). Kwa kuwa hakuna definition tofauti ya \(\xi_n\), expression hii haiendani moja kwa moja na derivation chain.

Mfano wa electromechanical unatumia mfumo gani?

Kama application model, chanzo kinatumia electromechanical system inayounganisha mechanical rotational motion na electric circuit:

\[ M\ddot q+B\dot q+N\sin(q)=\tau \]

\[ L\dot I=V_0-RI-K_\tau\dot q \]

Hapa \(q\) ni mechanical position, \(M\) ni mechanical parameter, \(B\) ni damping, \(N\sin q\) ni nonlinear restoring term, \(\tau\) ni torque, \(L\) ni inductance, \(R\) ni resistance, na \(V_0\) ni voltage term ya umeme.

Kisha chanzo kinatumia variables:

\[ \eta_1=q,\qquad \eta_2=\dot q,\qquad \eta_3=\tau \]

na kubadilisha mfumo kuwa third-order nonstrict-feedback form.

External disturbances katika simulation

Katika equations tatu za state, bounded disturbance signals zifuatazo huongezwa:

\[ p_1(t)=0,2\cos(t) \]

\[ p_2(t)=\cos(0,5t) \]

\[ p_3(t)=0,2\sin(t) \]

Kwa hiyo controller inasimuliwa si chini ya actuator fault na input delay pekee, bali pia chini ya external disturbances zinazoendelea kubadilika kwa muda.

Ucheleweshaji wa ingizo ni kiasi gani?

Katika simulation hutumika:

\[ \kappa=1,5\ \text{s} \]

Value hii ni fixed. Kwa hiyo utafiti hautoi uthibitisho kwa variable, unknown au stochastic communication delay scenario.

Hitilafu ya actuator inaanza lini?

Katika chanzo:

\[ u(v)= \begin{cases} v, & t<10,\\ (0,4+0,6e^{-0,2t})v+\cos^2(x_1)x_2, &t\geq10 \end{cases} \]

hutumika.

Katika sekunde 10 za mwanzo actuator ni nominal. Baadaye multiplicative effectiveness factor hupungua na nonlinear additive fault huanza kufanya kazi.

Dokezo la notation ya chanzo: ingawa modeli kuu hutumia \(\eta_1,\eta_2\), equation hii inahamia kwenye symbols \(x_1,x_2\). Chanzo hakizifafanui upya.

Fuzzy membership functions zimeundwaje?

Kwa kila state variable, six Gaussian membership functions zimefafanuliwa katika interval \([-2,2]\). Centers ni:

• −2,
• −1,5,
• −0,5,
• 0,5,
• 1,5,
• 2

Kwa mfano, membership function ya kwanza ni:

\[ \mu_{F_j^1}(X) = \exp \left( -\frac{(X+2)^2}{2} \right) \]

Nyingine zina muundo huo huo wa Gaussian uliosogezwa kwenye centers tofauti.

Nominal controller parameters

Waandishi wanasema values hizi zimeamuliwa kwa trial-and-error. Kwa hiyo nominal tuning si matokeo ya global optimum search au automatic gain optimization.

Masharti ya awali

Initial states zimechaguliwa kama:

\[ [\eta_1(0),\eta_2(0),\eta_3(0)]^T = [0,5,\ 0,5,\ 0,5]^T \]

na fuzzy parameter estimates kama:

\[ [\hat\omega_1(0),\hat\omega_2(0),\hat\omega_3(0)]^T = [0,\ 0,\ 0]^T \]

Kielelezo 3 kinaonyesha nini?

Kielelezo 3 kinaonyesha system output \(y\) na sinusoidal reference \(y_d\) pamoja. Chanzo hufasiri kufuatana kwa karibu kwa curves hizo baada ya transient period kama successful tracking behavior.

Grafu hii si physical sensor measurement; ni output ya numerical model.

Matokeo ya funnel katika Kielelezo 4

Kielelezo 4 kinaonyesha tracking error \(e_1\) na funnel boundary kwenye time axis. Dai kuu la chanzo ni kwamba error curve inabaki ndani ya boundary iliyowekwa mapema katika simulation yote.

Grafu hii inaunga mkono kwamba lengo la funnel-control limetimizwa kwa mfano uliotazamwa. Lakini simulation ya modeli moja ya parametric si guarantee ya field performance kwa mifumo yote ya nonstrict-feedback.

Vielelezo 5–7 vinaonyesha nini?

Kielelezo 5 kinaonyesha intermediate state variables \(\eta_2\) na \(\eta_3\); Kielelezo 6 kinaonyesha system input \(u\) na delayed control input \(v(t-\kappa)\); Kielelezo 7 kinaonyesha adaptive-law trajectories za \(\hat\omega_1\), \(\hat\omega_2\) na \(\hat\omega_3\).

Chanzo kinachukulia curves hizi kubaki finite kama numerical behavior inayolingana na theoretical SGUUB result. Hasa, input graph inaonyesha values za udhibiti kubwa kwa muda mfupi; hii inaonyesha tracking performance haipaswi kutathminiwa tofauti na gharama ya control effort.

Parameter sensitivity analysis ilifanywaje?

Bila kubadilisha initial conditions, controller-parameter sets tatu zilitumiwa.

Case 3 yenye gain kubwa zaidi inatoa values ndogo zaidi katika error-based metrics kwenye jedwali la chanzo. Remark 4 ya chanzo pia inaeleza kuwa gains kubwa zaidi zinaweza kupunguza tracking error, lakini pia zinaweza kuongeza control-energy demand.

Matokeo ya nambari ya Jedwali 1

Columns za MSE, RMSE, SSE na NMSE zinaonyesha mpangilio thabiti wa tracking error kupungua kutoka Case 1 hadi Case 3. Lakini kwa MAE na BFR, matatizo ya kihisabati ya ndani ya chanzo yaliyoelezwa hapa chini yanamaanisha columns hizi hazipaswi kufasiriwa kwa kiwango sawa cha uhakika.

Tatizo la ndani la chanzo katika definition ya MAE

Katika Denklem (73), chanzo kinatoa:

\[ MAE = \max_{1\leq t\leq N} |y(t)-y_r(t)| \]

Formula hii si standard “mean absolute error”; ni maximum absolute error.

Zaidi ya hilo, katika Jedwali 1 kila value iliyo chini ya label MAE ni ndogo kuliko RMSE. Maximum absolute error haiwezi kuwa ndogo kuliko RMS error kihisabati. Kwa hiyo kuna inconsistency isiyotatuliwa kati ya formula ya MAE, label ya MAE au calculation ya jedwali.

Kwa nini BFR na NMSE hazilingani?

Denklem (78) ya chanzo ni:

\[ BFR = \left( 1- \frac{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y(t)-y_r(t))^2} }{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y_r(t)-\bar y_r)^2} } \right) \times100\% \]

Kwa kuwa square ya ratio hiyo hiyo imetolewa kama NMSE katika Denklem (77), formulas zilizochapishwa zikichukuliwa pamoja hutoa:

\[ BFR=100(1-\sqrt{NMSE}) \]

Values za NMSE katika Jedwali 1 zikiwekwa kwenye formula hii hazitoi values za BFR kwenye jedwali. Chanzo hakielezi normalization nyingine au njia tofauti ya calculation. Kwa hiyo column ya BFR inapaswa kuletwa kama ilivyo, lakini si kama metric iliyothibitishwa kikamilifu na formula.

Ulinganisho wa method katika Kielelezo 8

Kielelezo 8 kinaonyesha tracking-error trajectories za method iliyopendekezwa na method nyingine iliyoonyeshwa kama Ref. [40]. Curves ziko karibu sana, na watafiti wanasema method iliyopendekezwa inaleta improvement ndogo.

Hata hivyo, maandishi ya comparative-results yanasema Ref. [40] inashughulikia input delay lakini haitumii funnel control, wakati kichwa cha Ref. [40] katika bibliography kina neno “funnel dynamic surface control” waziwazi na hakioneshi input delay kwenye kichwa.

Kwa hiyo Kielelezo 8 hakipaswi kutolewa kama ushahidi thabiti wa “proposed method versus correctly matched input-delay baseline”. Ndani ya utafiti wenyewe kuna inconsistency katika definition ya sifa za reference method.

Jedwali 2 linalinganisha nini?

Jedwali 2 halilinganishi performance numbers; linalinganisha kwa ubora sifa ambazo methods zinajumuisha.

Jedwali hili si performance benchmark ya aina ya “proposed controller ilitoa RMSE ya chini”. Linaonyesha tu classification ya kimaelezo ya coverage ya methods kama ilivyotolewa na waandishi.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti

• Upotevu wa actuator effectiveness, additive actuator fault na fixed input delay zimeingizwa katika adaptive-control model moja.
• Fuzzy logic approximation imetumika kwa unknown nonlinear functions.
• Funnel boundary inayopungua kwa muda imefafanuliwa kwa tracking error.
• Virtual-control na real-control laws za backstepping zimetolewa.
• Chanzo kinalenga kupata SGUUB result kwa closed-loop signals chini ya assumptions zilizotajwa.
• Katika simulation ya electromechanical system, tracking error ilibaki ndani ya funnel iliyofafanuliwa.
• Reference tracking ilidumishwa katika simulation ambapo actuator fault inaanza katika \(t=10\) s na input delay ni 1,5 s.
• Kati ya parameter sets tatu, Case 3 ilitoa errors ndogo zaidi katika MSE, RMSE, SSE na NMSE zilizochapishwa.
• Chanzo kinaweka method kama framework inayojumuisha actuator faults, input delay, funnel control na nonstrict-feedback katika muundo mmoja.

Matokeo ambayo utafiti hauungi mkono au hauyathibitishi

• Haijaonyeshwa kwamba controller hufanya kazi kwenye electromechanical hardware halisi.
• Real actuator fault haikuingizwa kimwili.
• Real network latency au communication delay haikupimwa.
• Scenarios za variable au stochastic input delay hazikuthibitishwa.
• Total actuator loss \(\gamma=0\) haijumuishwi.
• Actuator saturation au rate limit haijaingizwa wazi kwenye control design.
• Idadi ya fuzzy-rules na real execution time kwenye embedded processor havikupimwa.
• Hakuna global sensitivity pana au Monte Carlo robustness analysis zaidi ya gain sets tatu.
• Comparison ya Kielelezo 8 haioneshi asilimia ya superiority ya method dhidi ya [40].
• Mathematical consistency kamili ya MAE na BFR values za Jedwali 1 na formulas zilizochapishwa haiwezi kuonyeshwa.
• Bila kutatua sign/notation problems katika Lyapunov derivation, haiwezi kusemwa kuwa hatua zote za algebraic proof chain ni kamili.
• Neno “real-world example” halimaanishi field au laboratory validation ya kimwili.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Mlolongo wa adaptive fuzzy funnel control

Muhtasari wa masharti ya simulation

Matokeo ya controller-parameter sensitivity

Katika metrics nne za error zilizo consistent, Case 3 ina error ndogo zaidi na Case 1 ina error kubwa zaidi. Hii inaonyesha kuwa controller gains zina athari wazi kwenye tracking performance. Hata hivyo, kwa kuwa hakuna jedwali la nambari la control-energy trade-off, haiwezi kuhitimishwa kuwa “Case 3 ndiyo controller bora kwa kila kipengele”.

Metrics zote za Jedwali 1 katika chanzo

Onyo la kisayansi: MAE na BFR values zimechukuliwa kama zilivyo kutoka kwenye jedwali la chanzo; kwa sababu ya formula–table inconsistencies zilizoelezwa, hazijawasilishwa kama values zilizohesabiwa upya au kuthibitishwa.

Mgawanyo wa viwango vya ushahidi

Nguvu za utafiti

• Unashughulikia actuator fault na input delay katika adaptive fuzzy-control problem moja.
• Unadhibiti transient tracking behavior kwa predefined funnel badala ya error minimization pekee.
• Unatumia FLS approximation kwa unknown nonlinear functions.
• Unatoa derivation ya backstepping kwa degree nzima ya mfumo.
• Unawakilisha multiplicative effectiveness loss na additive actuator fault kwa variables tofauti.
• Unaingiza external disturbances katika control theory.
• Kwa parameter sensitivity, hautegemei nominal setting moja tu; unaonyesha gain sets tatu.
• Unaripoti quantitative simulation metrics kama MSE, RMSE, SSE na NMSE.
• Unaonyesha funnel boundary na tracking error pamoja katika time domain.

Vikwazo vikuu vya kimethodolojia na vya ndani ya chanzo

• Hakuna physical experiment.
• Padé approximation ya daraja la kwanza ni representation ya takriban ya delay.
• Notation ya \(\kappa\), \(\tau\) na \(t_d\) katika Padé equations haitumiki kwa consistency.
• Actuator haiwezi kuwa completely ineffective; \(\gamma_{\min}>0\) huchukuliwa kama assumption.
• Actuator saturation na rate constraints hazijamodeliwa.
• Kuna sign/notation problem kati ya Denklem (60)–(62) katika Lyapunov derivation.
• Kuna tofauti za notation/sign kati ya simulation control law na theoretical equations.
• Katika mfano wa actuator fault, symbols \(x_1,x_2\) hutumiwa bila kufafanuliwa.
• Formula ya MAE na values za Jedwali 1 hazilingani kihisabati.
• Formula ya BFR na values za NMSE/BFR hazilingani.
• Maelezo ya comparison ya Ref. [40] yanapingana na title yake kwenye bibliography.
• Parameter sensitivity ina controller settings tatu tu zilizochaguliwa.
• Hakuna quantitative total energy au RMS energy comparison table kwa control effort.
• Real-time computational complexity haijapimwa.
• Variable delay, sensor fault na cyber-physical communication constraints zimeachwa kwa future work.

Dokezo la Chanzo na Mbinu

Jina kamili la utafiti asili: Adaptive Tracking Control of Nonstrict-Feedback Nonlinear Systems with Actuator Faults and Input Delay via a Fuzzy Funnel Approach

Waandishi: Abdelwaheb Mhemdi, Mohamed Kharrat, Ameni Gargouri na Paolo Mercorelli.

Mpangilio wa waandishi: 1. Abdelwaheb Mhemdi; 2. Mohamed Kharrat; 3. Ameni Gargouri; 4. Paolo Mercorelli.

Mwandishi wa mawasiliano: Paolo Mercorelli.

Mchango sawa/first authorship sawa: Hakuna tamko kama hilo katika chanzo.

Taasisi:

1. Mathematics Department, College of Sciences and Humanities, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj, Riyadh, Saudi Arabia.
2. Laboratory of Probability and Statistics LR18ES28, Faculty of Sciences, Sfax University, Sfax, Tunisia.
3. Institute for Production Technology and Systems, Leuphana University of Lueneburg, Germany.

Jarida: Actuators.

Mchapishaji: MDPI, Basel, Switzerland.

Taarifa ya bibliografia: Actuators 2026, 15(7), 384.

DOI:10.3390/act15070384

Kiungo rasmi cha uchapishaji:MDPI – Actuators 15(7), 384

Tarehe ya uchapishaji: 8 Julai 2026. Utafiti ulipokelewa 14 Juni 2026, ukarekebishwa 5 Julai 2026 na kukubaliwa 6 Julai 2026.

Aina ya chanzo na hali ya peer review: Ni makala ya utafiti iliyopitiwa na wahakiki na kuchapishwa katika Actuators. Uthibitishaji wa mbinu unategemea analytical stability analysis na numerical electromechanical-system simulation.

Leseni: Creative Commons Attribution (CC BY).

Mhariri wa kitaaluma: Giorgio Olmi.

Ufadhili: Utafiti uliungwa mkono na Prince Sattam bin Abdulaziz University chini ya project number PSAU/2025/01/33516.

Kamati ya maadili: Haitumiki.

Ridhaa ya taarifa: Haitumiki.

Upatikanaji wa data: Chanzo kinaeleza kuwa data zimo ndani ya makala; maswali ya ziada yanaweza kuelekezwa kwa mwandishi wa mawasiliano.

Mgongano wa maslahi: Waandishi wametangaza kuwa hakuna conflict of interest.

Michango ya waandishi: Abdelwaheb Mhemdi alishiriki katika investigation, methodology na review/editing; Mohamed Kharrat katika investigation, validation na original draft; Ameni Gargouri katika review/editing; Paolo Mercorelli katika supervision, conceptualization na review/editing.

Upeo wa kisayansi: Utafiti unaunganisha fuzzy logic approximation, adaptive backstepping, funnel transformation, actuator-fault accommodation na Padé input-delay approximation katika control framework moja kwa nonstrict-feedback nonlinear systems.

Aina ya uthibitishaji: Ingawa abstract na conclusion hutumia “real-world example”, Section 4 iko chini ya “Simulation Results”. Mfumo wa electromechanical haukujengwa kama physical experimental setup; ulisimuliwa kwenye mathematical model. Kwa hiyo utafiti haupaswi kuwasilishwa kama field au laboratory validation.

Kikomo cha Padé notation: Katika Denklem (2), Padé expression ya delay \(e^{-\kappa s}\) hutumia \(\kappa\) kwenye numerator na \(\tau\) kwenye denominator. Denklem (3) hutumia tena \(\kappa\). Baadaye \(\rho=2/t_d\) hufafanuliwa bila \(t_d\) kuelezw a hapo awali. Chanzo hakisuluhishi notations hizi.

Kikomo cha funnel transformation: Chanzo kinasema condition \(|e_1|<F_\psi\) huhakikisha denominator ya transformation inabaki chanya. Strict inequality pekee haionyeshi uniform separation kutoka boundary, lakini Lyapunov result ya baadaye inatoa bound ya \(e_1\) kwa fixed ratio ya \(F_\psi\).

Dokezo la Lyapunov proof: Term \(-k_n\gamma_{\min}z_n^2\) katika Denklem (60) inaonekana kama \(+k_n\gamma_{\min}z_n^2\) wakati wa kwenda Denklem (62). Katika Denklem (60) hiyo hiyo, symbol \(\xi_n\) ambayo haijafafanuliwa hapo awali inatumika. Licha ya hayo, chanzo kinaenda kwenye \(\dot V_n\leq-c_0V_n+d_0\). Tatizo hili la sign/notation halijarekebishwa kimya kimya.

Dokezo la controller-denklem: Expression ya \(\alpha_1\) katika Denklem (72) ya simulation hailingani kikamilifu na formula ya awali ya theoretical derivation kwa matumizi ya sign na symbol. Chanzo hakielezi transition hiyo kando.

Actuator-fault notation: Katika Denklem (70), additive fault imetolewa kama \(\cos^2(x_1)x_2\); katika modeli iliyotangulia states zilionyeshwa kwa \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\). \(x_1,x_2\) hazijafafanuliwa kando.

MAE inconsistency: Denklem (73) inafafanua MAE kama \(\max|y-y_r|\), yaani maximum absolute error. Values za “MAE” katika Jedwali 1 ni ndogo kuliko RMSE katika cases zote tatu, kwa hiyo hazilingani na formula ya maximum-error iliyochapishwa.

BFR inconsistency: Denklem (77) na Denklem (78) zikitumiwa pamoja hutoa \(BFR=100(1-\sqrt{NMSE})\). Columns za NMSE na BFR zilizochapishwa katika Jedwali 1 hazitimizi relation hii. Chanzo hakielezi calculation method au normalization tofauti.

Kikomo cha comparison: Kielelezo 8 kinalinganisha method iliyopendekezwa na Ref. [40]. Maandishi ya comparative-results yanasema Ref. [40] ina input delay lakini haitumii funnel control. Title ya bibliography ya Ref. [40] ni “Observer-based adaptive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknown control coefficients and hysteresis input”. Kwa hiyo kuna contradiction ya ndani kuhusu baseline method.

Kikomo cha parameter sensitivity: Comparison ya Case 1–3 ni controller-parameter sets tatu zilizochaguliwa. Si stochastic uncertainty pana, Monte Carlo, global tuning au optimizer-based sensitivity campaign.

Kikomo cha computational complexity: Chanzo kinadai method haitaji matrix inversion au iterative online optimization, na complexity hukua takriban linearly na fuzzy-rule pamoja na state count. Hata hivyo, hakuna execution-time, memory au sampling-frequency benchmark kwenye embedded processor halisi.

Future work: Waandishi wanapendekeza kupanua method kwenda stochastic nonlinear switched systems, actuator na sensor faults, communication constraints, event-triggered control na cyber–physical applications.

Method ya kisayansi, equations, simulation parameters, tables, comparisons na limitations katika maudhui haya ya Verianla zinategemea tu utafiti uliokaguliwa. Chanzo cha nje kimetumika tu kuthibitisha utambulisho wa bibliografia ya uchapishaji. Inconsistencies za kihisabati, notation na comparison katika chanzo hazijarekebishwa kimya kimya.