Araştırma, bilinmeyen doğrusal olmayan dinamiklere sahip nonstrict-feedback sistemlerde aktüatör arızası ile sabit giriş gecikmesinin aynı anda bulunduğu koşullarda referans takibini korumak için uyarlamalı bulanık funnel kontrol yaklaşımı geliştirmektedir. Bilinmeyen fonksiyonlar Fuzzy Logic Systems (FLS) ile yaklaşık olarak modellenmekte, giriş gecikmesi birinci dereceden Padé yaklaşımıyla gecikmesiz genişletilmiş bir sisteme dönüştürülmekte, aktüatör etkinlik kaybı ve toplamsal arıza terimleri doğrudan kontrol modeline alınmakta ve backstepping tabanlı kontrolcü Lyapunov analiziyle incelenmektedir. Çalışmanın teorik sonucu, belirtilen varsayımlar altında kapalı çevrim sinyallerinin semi-globally uniformly ultimately bounded (SGUUB) kalması ve takip hatasının önceden tanımlanan funnel sınırının içinde tutulmasıdır. Bu sonuç fiziksel deneyle değil elektromekanik bir sistemin sayısal simülasyonuyla gösterilmiştir.

Funnel control yaklaşımının temel amacı yalnız takip hatasını küçük yapmak değildir. Sistem için zamanla daralan bir izin verilen hata bölgesi önceden tanımlanmakta ve kontrolcü, hata yörüngesinin bu sınırı aşmamasını hedeflemektedir. Çalışmada funnel sınırı:

\[ F_\psi(t)=(\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

biçimindedir. Simülasyonda \(\beta_0=3\), \(\beta_\infty=0,15\) ve \(\alpha=0,3\) seçildiği için izin verilen hata sınırı başlangıçta 3 düzeyinden başlamakta ve zamanla 0,15'e yaklaşmaktadır.

Giriş gecikmesi için kaynak birinci dereceden Padé approximation kullanmaktadır. Bu işlem, geçmişteki gerçek gecikmeli kontrol sinyalini doğrudan backstepping tasarımında kullanmak yerine sisteme yardımcı bir \(\eta_{n+1}\) değişkeni ekleyerek gecikmenin yaklaşık dinamiğini durum modeline taşımaktadır. Yazarlar yüksek dereceli Padé yaklaşımının teorik olarak daha ayrıntılı bir gecikme temsili sunabileceğini, ancak sistem derecesini ve Lyapunov analizinin karmaşıklığını artıracağını belirterek birinci dereceli yaklaşımı tercih etmektedir.

Aktüatör arızası iki bileşene ayrılmıştır. \(\gamma(t)\) aktüatörün kontrol komutunu ne kadar etkili uygulayabildiğini gösteren multiplicative effectiveness factor, \(\zeta(t)\) ise kontrolcü tarafından doğrudan yönetilemeyen additive fault terimidir:

\[ u(v(t))=\gamma(t)v+\zeta(t) \]

Teorik analizde:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1 \]

ve:

\[ |\zeta(t)|\leq\zeta_{\max} \]

varsayımları kullanılmaktadır. Bu nedenle yöntem tamamen kontrol yetkisini kaybetmiş bir aktüatörü kapsamaz; \(\gamma_{\min}\) pozitif olmalıdır.

Sayısal örnekte üç durumlu bir elektromekanik sistem kullanılmış ve referans:

\[ y_d(t)=\sin(t) \]

olarak seçilmiştir. Giriş gecikmesi 1,5 s'dir. Aktüatör arızası ilk 10 saniyede yoktur; \(t\geq10\) olduğunda aktüatör etkinliği:

\[ \gamma(t)=0,4+0,6e^{-0,2t} \]

şeklinde azaltılmaktadır. Bu fonksiyon uzun zamanda 0,4'e yaklaşmaktadır; başka ifadeyle modelde aktüatör kontrol otoritesinin önemli bir bölümü kaybolsa da tamamen sıfırlanmamaktadır.

Şekil 3–7'de simülasyon çıktısı referansı yakından izlemekte, tracking error kaynakta tanımlanan funnel içinde kalmakta ve durum/adaptive-law değişkenleri sınırlı davranış göstermektedir. Parametre duyarlılık analizinde kaynakta “Case 3” olarak adlandırılan daha yüksek gain'li ayar, Tablo 1'de en düşük MSE ve RMSE ile en yüksek raporlanmış BFR değerini üretmiştir: MSE 0,0018, RMSE 0,0424 ve kaynak tablosuna göre BFR %98,75'tir. Ancak BFR ve MAE sütunlarında kaynak formülleriyle tablo değerleri arasında iç tutarsızlık bulunduğundan bu iki metriğin sayısal yorumu temkinli yapılmalıdır.

Şekil 8'de önerilen kontrol yöntemi başka bir çalışmaya atfedilen eğriyle karşılaştırılmakta ve önerilen yöntemin tracking error'ında küçük bir iyileşme olduğu ifade edilmektedir. Bununla birlikte çalışmanın [40] numaralı referansını açıklayan metin ile kaynakçadaki [40] başlığı birbiriyle uyuşmadığından bu grafik güçlü bir bağımsız benchmark olarak değerlendirilmemelidir. Ayrıca iki yöntem için aynı tabloda MSE, RMSE, settling time veya control effort değerleri sunulmamıştır.

Türkiye açısından değerlendirme: Çalışmanın ele aldığı problem Türkiye'de servo sistemler, robotik manipülatörler, elektrikli tahrik sistemleri, havacılık kontrolü, üretim otomasyonu ve ağ üzerinden kumanda edilen elektromekanik sistemler açısından yöntemsel olarak önemlidir. Özellikle aktüatör performans kaybı ile kontrol sinyalindeki gecikmenin aynı anda bulunduğu sistemlerde hata sınırının önceden tanımlanması araştırmaya değer bir yaklaşım sunmaktadır. Ancak mevcut sonuçlar gerçek motor, gerçek sensör, ağ donanımı veya gömülü kontrolcü üzerinde doğrulanmamıştır. Uygulamaya geçmeden önce gerçek zamanlı işlemci yükü, actuator saturation, sensör gürültüsü, değişken gecikme, model dışı dinamikler ve fiziksel fault-injection testleri ayrıca doğrulanmalıdır.

Araştırmanın çözmeye çalıştığı problem nedir?

Doğrusal olmayan kontrol sistemlerinde üç ayrı problem aynı anda ortaya çıkabilir: sistemin bazı dinamik fonksiyonları tam bilinmeyebilir, aktüatör nominal komutu tam olarak uygulamayabilir ve kontrol komutu sisteme gecikmeli ulaşabilir. Bu üç etki birlikte olduğunda yalnız nominal modele göre tasarlanan bir geri besleme kontrolcüsü takip doğruluğunu kaybedebilir.

Çalışma bu probleme dördüncü bir hedef daha eklemektedir: tracking error yalnız asimptotik olarak küçülmemeli, geçici rejimde de önceden belirlenen bir sınırın dışına çıkmamalıdır. Bu nedenle adaptive fuzzy control, fault-tolerant control, input-delay compensation ve funnel control tek bir backstepping yapısı altında birleştirilmektedir.

Nonstrict-feedback sistem ne şekilde modelleniyor?

Kaynağın genel sistemi:

\[ \begin{cases} \dot{\eta}_i=\phi_i(\eta)+\eta_{i+1}+p_i(t), & 1\leq i\leq n-1,\\ \dot{\eta}_n=\phi_n(\eta)+u(v(t-\tau))+p_n(t),\\ y=\eta_1 \end{cases} \]

biçimindedir.

\(\eta=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T\) durum vektörüdür. \(\phi_i(\eta)\) kesin biçimi bilinmeyen nonlinear fonksiyonları, \(p_i(t)\) sınırlı dış bozucuları, \(v(t)\) kontrol komutunu, \(u(v(t-\tau))\) ise aktüatör arızası ve giriş gecikmesinden sonra sisteme ulaşan kontrol etkisini temsil etmektedir.

Dış bozucular için:

\[ |p_i(t)|\leq\bar p_i \]

varsayımı kullanılmaktadır. Bu nedenle Lyapunov analizi sınırsız bozucular için değil, üst sınırı sonlu olan disturbance sınıfı için kurulmuştur.

Giriş gecikmesi nasıl ele alınıyor?

Saf gecikme Laplace alanında:

\[ e^{-\kappa s} \]

ile temsil edilmektedir. Kaynak Denklem (2)'de birinci dereceden Padé approximation'ı şu biçimde yazmaktadır:

\[ \mathcal{L}\{u(v(t-\kappa))\} = e^{-\kappa s}\mathcal{L}\{u(v(t))\} \approx \frac{1-\kappa s/2} {1+\tau s/2} \mathcal{L}\{u(v(t))\} \]

Kaynak içi notasyon sınırı: aynı denklemde gecikme hem \(\kappa\) hem \(\tau\) sembolüyle görünmektedir. Sonraki Denklem (3)'te payda tekrar \(\kappa\) ile yazılmaktadır. Dolayısıyla bu formül Verianla içeriğinde sessizce standart Padé formuna dönüştürülmemiştir.

Yardımcı gecikme değişkeni ne işe yarıyor?

Kaynak \(\eta_{n+1}\) adlı yardımcı bir değişken tanımlamakta ve gecikmenin yaklaşık etkisini diferansiyel denklem biçiminde sisteme dahil etmektedir:

\[ \dot{\eta}_{n+1} = \frac{4}{\kappa}u(v(t)) - \frac{2}{\kappa}\eta_{n+1} = 2\rho u(v(t))-\rho\eta_{n+1} \]

Bu değişken asıl fiziksel sistem durumlarından biri olarak değil, input-delay compensation için kullanılan ara durum olarak tanımlanmaktadır.

Notasyon notu: Kaynak bu dönüşümün hemen öncesinde \(\rho=2/t_d\) yazmaktadır; \(t_d\) daha önce tanımlanmamıştır. Aynı satırdaki \(\kappa\) ile \(t_d\)'nin ilişkisi açıkça verilmemektedir.

Aktüatör arızası nasıl modelleniyor?

Aktüatör çıkışı:

\[ u(v(t)) = \gamma(t)v+\zeta(t) \]

ile modellenmektedir.

• \(\gamma(t)\): aktüatör etkinlik faktörü; nominal durumda 1'e yakın, arıza altında daha küçük olabilir.
• \(\zeta(t)\): kontrolcüden bağımsız toplamsal arıza terimi.
• \(v\): tasarlanan gerçek kontrol komutu.

Temel varsayım \(\gamma(t)\)'nin sıfıra düşmemesidir:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1,\qquad \gamma_{\min}>0 \]

Bu varsayım, kontrolcünün aktüatör üzerinde her zaman en azından belirli miktarda kontrol otoritesine sahip olmasını gerektirir.

Funnel control neyi farklı yapıyor?

Klasik takip problemi yalnız:

\[ e_1(t)=y(t)-y_d(t) \]

hatasını küçültmeye odaklanabilir. Funnel control ise hatanın izin verilen sınırını zaman fonksiyonu olarak önceden tanımlar:

\[ |e_1(t)|<F_\psi(t) \]

ve:

\[ F_\psi(t) = (\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

kullanır.

\(\beta_0\) başlangıç hata sınırını, \(\beta_\infty\) uzun dönem izin verilen sınırı ve \(\alpha\) funnel'ın ne kadar hızlı daralacağını belirlemektedir.

Yeni funnel hata dönüşümü

Kaynak önceki bir çalışmadaki mutlak değer içeren funnel değişkeninin \(e_1=0\) noktasında differentiability problemi oluşturduğunu belirterek:

\[ \xi_1 = \frac{e_1} {\sqrt{F_\psi^2-e_1^2}} \]

dönüşümünü kullanmaktadır.

Türevi:

\[ \dot{\xi}_1 = \Upsilon_1 \left( \dot{\eta}_1 - \dot y_d - \frac{e_1\dot F_\psi}{F_\psi} \right) \]

ve:

\[ \Upsilon_1 = \frac{F_\psi^2} {(F_\psi^2-e_1^2)^{3/2}} \]

biçiminde verilmektedir.

Bu dönüşümde \(e_1\) funnel sınırına yaklaştıkça payda küçülür ve \(\xi_1\)'in büyüklüğü artar. Kaynak daha sonra Lyapunov analizi üzerinden gerçek tracking error için \(F_\psi\)'den daha küçük bir üst sınır türetmeye çalışmaktadır.

Funnel dönüşümüyle ilgili matematiksel sınır

Kaynağın Remark 2 açıklamasında yalnız \(|e_1|<F_\psi\) koşulundan hareketle paydanın “sınıra yaklaşmadığı” yönünde güçlü bir ifade bulunmaktadır. Ancak salt strict inequality, \(F_\psi^2-e_1^2\)'nin sıfırdan uniform olarak ayrık olduğunu tek başına göstermez; \(e_1\) sınırın içinden ona keyfi ölçüde yaklaşabilir.

Makalenin daha sonraki Lyapunov sonucu ise:

\[ |e_1| \leq \sqrt{ \frac{ 2V(0)+2d_0/c_0 }{ 1+2V(0)+2d_0/c_0 } } |F_\psi| < |F_\psi| \]

şeklinde daha sıkı bir relative bound vermektedir. Dolayısıyla dönüşümün güvenliğini yorumlarken yalnız Remark 2'deki strict inequality yerine bu sonraki boundedness sonucunu da dikkate almak gerekir.

Bulanık mantık sistemleri neden kullanılıyor?

Kontrolcü \(\phi_i(\eta)\) gibi bilinmeyen nonlinear fonksiyonların tam analitik biçimini bilmediği için kaynak Fuzzy Logic Systems'ın universal approximation özelliğinden yararlanmaktadır.

Genel fuzzy çıktı:

\[ y(X) = \frac{ \sum_{l=1}^{g} W_l \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) }{ \sum_{l=1}^{g} \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) } \]

biçimindedir.

Normalize fuzzy basis function kullanıldığında yapı:

\[ y(X)=W^TP(X) \]

şeklinde kompakt hâle getirilmektedir.

Kaynak, sürekli bir bilinmeyen fonksiyon için uygun parametrelerle:

\[ \sup_{X\in\Omega} |\phi(X)-\theta^TP(X)| \leq\epsilon \]

şeklinde bounded approximation error kabul etmektedir.

Backstepping yapısı nasıl kuruluyor?

Koordinat dönüşümünde ilk hata değişkeni funnel dönüşümüdür:

\[ z_1=\xi_1 \]

sonraki katmanlarda:

\[ z_i=\eta_i-\alpha_{i-1}, \qquad i=2,\ldots,n \]

kullanılmaktadır.

\(\alpha_i\) ara backstepping katmanlarının virtual control signal'larıdır. Her adımda mevcut Lyapunov fonksiyonuna yeni bir \(z_i^2/2\) terimi ve fuzzy parameter estimation error terimi eklenmektedir.

Birinci katmandaki Lyapunov fonksiyonu

Kaynak:

\[ V_1 = \frac{1}{2}\xi_1^2 + \frac{1}{2\varsigma_1} \tilde\omega_1^2 \]

fonksiyonunu kullanmaktadır.

\(\tilde\omega_1=\omega_1-\hat\omega_1\) bilinmeyen fuzzy ağırlık büyüklüğü ile çevrim içi kestirim arasındaki farkı temsil etmektedir.

Uyarlama yasası genel olarak tracking/backstepping hata büyüklüğüne ve fuzzy basis activity'ye bağlı olarak \(\hat\omega_i\)'yi güncellemekte, ayrıca \(-\vartheta_i\hat\omega_i\) leakage benzeri terimle tahminin sınırsız büyümesini engellemeyi amaçlamaktadır.

Gerçek kontrol yasası

Son backstepping adımında kaynak gerçek kontrol komutunu:

\[ v = -k_nz_n -z_{n-1} - \frac{1}{2a_n^2} z_n\hat\omega_n P_n^T(Z_n)P_n(Z_n) \]

olarak vermektedir.

Yapının ilk terimi son tracking/backstepping hatasını bastırır, ikinci terim önceki katmanla bağlantıyı iptal etmeye yardımcı olur ve üçüncü terim bilinmeyen nonlinear fonksiyonun fuzzy approximation etkisini telafi etmeyi amaçlar.

SGUUB ne anlama geliyor?

Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded sonuç, uygun başlangıç bölgesi ve controller parameters altında kapalı çevrim değişkenlerinin sınırsız büyümediğini ve sonunda büyüklüğü belirsizlikler ile gain'lere bağlı sonlu bir bölgeye girdiğini ifade etmektedir.

Kaynağın hedeflediği temel Lyapunov eşitsizliği:

\[ \dot V_n \leq -c_0V_n+d_0 \]

biçimindedir.

Buradan:

\[ 0\leq V_n(t) \leq \left( V(0)-\frac{d_0}{c_0} \right)e^{-c_0t} + \frac{d_0}{c_0} \]

elde edilmektedir.

\(d_0/c_0\) nihai bound'un büyüklüğünü belirlemektedir. Kaynağın açıklamasına göre fuzzy approximation error, actuator fault, external disturbance ve Padé approximation error bu bound'u büyütebilen belirsizlik kaynaklarıdır.

Lyapunov türetimindeki kritik işaret problemi

Kaynağın yayımlanmış Denklem (60)'ında:

\[ -k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

negatif sönümleyici terim olarak görünmektedir.

Ancak hemen sonraki Denklem (62)'ye giden ilk satırda aynı terim:

\[ +k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

şeklinde pozitif işaretle yazılmıştır. Daha sonra buna rağmen:

\[ \dot V_n\leq-c_0V_n+d_0 \]

sonucuna geçilmektedir.

Gösterildiği biçimiyle pozitif quadratic terim doğrudan negatif-definite bound'a dönüştürülemez. Bu nedenle kaynakta büyük olasılıkla işaret veya dizgi hatası vardır; ancak çalışma sessizce düzeltilmeden bu tutarsızlık açıkça belirtilmelidir.

Denklem (60)'taki ikinci notasyon problemi

Aynı denklemde ilk hata terimi:

\[ -k_n\xi_n^2 \]

olarak yazılmıştır. Kontrol tasarımında özel funnel değişkeni \(\xi_1\) tanımlanırken ara katmanlar \(z_i\) ile gösterilmektedir. \(\xi_n\) için ayrı bir tanım sunulmadığından bu ifade de türetim zinciriyle doğrudan uyuşmamaktadır.

Elektromekanik örnek hangi sistemi kullanıyor?

Kaynak uygulama modeli olarak mekanik dönme hareketi ile elektrik devresinin bağlandığı bir elektromekanik sistemi kullanmaktadır:

\[ M\ddot q+B\dot q+N\sin(q)=\tau \]

\[ L\dot I=V_0-RI-K_\tau\dot q \]

Burada \(q\) mekanik konum, \(M\) mekanik parametre, \(B\) damping, \(N\sin q\) nonlinear restoring term, \(\tau\) tork, \(L\) endüktans, \(R\) direnç ve \(V_0\) elektriksel gerilim terimidir.

Kaynak daha sonra:

\[ \eta_1=q,\qquad \eta_2=\dot q,\qquad \eta_3=\tau \]

değişkenlerini kullanarak sistemi üçüncü dereceden nonstrict-feedback biçimine dönüştürmektedir.

Simülasyondaki dış bozucular

Üç durum denklemine şu bounded disturbance sinyalleri eklenmektedir:

\[ p_1(t)=0,2\cos(t) \]

\[ p_2(t)=\cos(0,5t) \]

\[ p_3(t)=0,2\sin(t) \]

Bu nedenle kontrolcü yalnız actuator fault ve input delay ile değil, sürekli zamanla değişen dış bozucularla da simüle edilmektedir.

Giriş gecikmesi ne kadar?

Simülasyonda:

\[ \kappa=1,5\ \text{s} \]

kullanılmıştır. Bu değer sabittir. Dolayısıyla çalışma değişken, bilinmeyen veya stochastic communication delay senaryosunu doğrulamamaktadır.

Aktüatör arızası ne zaman başlıyor?

Kaynakta:

\[ u(v)= \begin{cases} v, & t<10,\\ (0,4+0,6e^{-0,2t})v+\cos^2(x_1)x_2, &t\geq10 \end{cases} \]

kullanılmaktadır.

İlk 10 saniye aktüatör nominaldir. Daha sonra multiplicative effectiveness factor azalmakta ve ek nonlinear additive fault devreye girmektedir.

Kaynak notasyonu: bütün genel modelde \(\eta_1,\eta_2\) kullanılırken bu denklemde \(x_1,x_2\) sembollerine geçilmektedir. Kaynak bunları yeniden tanımlamamıştır.

Fuzzy membership functions nasıl kurulmuş?

Her durum değişkeni için \([-2,2]\) aralığında altı Gaussian membership function tanımlanmıştır. Merkez noktaları:

• −2,
• −1,5,
• −0,5,
• 0,5,
• 1,5,
• 2

olarak seçilmiştir.

Örneğin ilk membership function:

\[ \mu_{F_j^1}(X) = \exp \left( -\frac{(X+2)^2}{2} \right) \]

şeklindedir. Diğerleri aynı Gaussian yapının farklı merkezlere kaydırılmış biçimleridir.

Nominal controller parameters

Yazarlar bu değerlerin trial-and-error yöntemiyle belirlendiğini ifade etmektedir. Dolayısıyla nominal tuning global optimum araması veya otomatik gain optimization sonucu değildir.

Başlangıç koşulları

Durum başlangıçları:

\[ [\eta_1(0),\eta_2(0),\eta_3(0)]^T = [0,5,\ 0,5,\ 0,5]^T \]

ve fuzzy parameter estimates:

\[ [\hat\omega_1(0),\hat\omega_2(0),\hat\omega_3(0)]^T = [0,\ 0,\ 0]^T \]

olarak seçilmiştir.

Şekil 3 ne gösteriyor?

Şekil 3'te sistem çıktısı \(y\) ile sinüzoidal referans \(y_d\) birlikte gösterilmektedir. Kaynak, iki eğrinin transient dönem sonrasında birbirini yakından takip etmesini başarılı tracking behavior olarak yorumlamaktadır.

Bu grafik fiziksel sensör ölçümü değil, sayısal model çıktısıdır.

Şekil 4'teki funnel sonucu

Şekil 4 tracking error \(e_1\) ile funnel sınırını zaman ekseninde göstermektedir. Kaynağın ana iddiası, hata eğrisinin simülasyon boyunca önceden tanımlanan sınırın içinde kalmasıdır.

Bu grafik funnel-control hedefinin incelenen örnek için sağlandığını desteklemektedir. Ancak tek bir parametrik model simülasyonu, tüm nonstrict-feedback sistemler için saha garantisi değildir.

Şekil 5–7 ne gösteriyor?

Şekil 5 ara durum değişkenleri \(\eta_2\) ve \(\eta_3\)'ü; Şekil 6 sistem input \(u\) ile gecikmeli control input \(v(t-\kappa)\)'yı; Şekil 7 ise \(\hat\omega_1\), \(\hat\omega_2\) ve \(\hat\omega_3\) adaptive-law trajectories'ini göstermektedir.

Kaynak bu eğrilerin sonlu kalmasını SGUUB teorik sonucu ile uyumlu sayısal davranış olarak değerlendirmektedir. Özellikle input grafiğinde geçici olarak yüksek büyüklükte kontrol değerleri görülmesi, tracking performance'ın control effort maliyetinden bağımsız değerlendirilmemesi gerektiğini de göstermektedir.

Parametre duyarlılık analizi nasıl yapıldı?

Başlangıç koşulları değiştirilmeden üç farklı controller-parameter seti kullanılmıştır.

Yüksek gain'li Case 3, kaynak tablosunda hata tabanlı metriklerde en küçük değerleri üretmektedir. Kaynağın Remark 4 açıklaması da daha büyük bazı gain'lerin tracking error'ı azaltabileceğini, ancak control-energy demand'i yükseltebileceğini belirtmektedir.

Tablo 1'in nicel sonuçları

MSE, RMSE, SSE ve NMSE sütunları Case 1'den Case 3'e doğru daha küçük tracking error gösteren tutarlı bir sıralama sergilemektedir. Ancak MAE ve BFR için aşağıda açıklanan kaynak içi matematiksel sorunlar nedeniyle bu iki sütun aynı kesinlikle yorumlanmamalıdır.

MAE tanımındaki kaynak içi sorun

Kaynak Denklem (73)'te:

\[ MAE = \max_{1\leq t\leq N} |y(t)-y_r(t)| \]

tanımını vermektedir.

Bu formül standart “mean absolute error” değil, maximum absolute error tanımıdır.

Daha önemlisi, Tablo 1'de her senaryoda MAE etiketi altındaki sayı RMSE'den küçüktür. Maksimum mutlak hatanın RMS hatadan küçük olması matematiksel olarak mümkün değildir. Dolayısıyla çalışma içinde MAE formülü, MAE etiketi veya tablo hesabı arasında çözülmemiş bir tutarsızlık bulunmaktadır.

BFR ile NMSE neden uyuşmuyor?

Kaynağın Denklem (78)'i:

\[ BFR = \left( 1- \frac{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y(t)-y_r(t))^2} }{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y_r(t)-\bar y_r)^2} } \right) \times100\% \]

şeklindedir.

Aynı pay ve payda oranının karesi Denklem (77)'de NMSE olarak verildiği için yayımlanan formüller birlikte kullanıldığında:

\[ BFR=100(1-\sqrt{NMSE}) \]

ilişkisi ortaya çıkar.

Tablo 1'in NMSE değerleri bu formüle yerleştirildiğinde tablodaki BFR değerleri elde edilmemektedir. Kaynak hangi ek normalizasyonun kullanıldığını açıklamamıştır. Bu nedenle BFR sütunu olduğu gibi aktarılmalı fakat formülle tam tutarlı bir doğrulanmış metrik gibi kullanılmamalıdır.

Şekil 8'deki yöntem karşılaştırması

Şekil 8 önerilen yöntem ile kaynakta [40] olarak belirtilen başka bir yöntemin tracking-error trajectories'ini aynı grafikte göstermektedir. Eğriler birbirine oldukça yakındır ve araştırmacılar önerilen yöntemin hafif iyileşme sağladığını belirtmektedir.

Bununla birlikte aynı makalenin comparative-results metni [40]'ın input delay'i ele aldığını fakat funnel control kullanmadığını söylerken kaynakçadaki [40] başlığında açık biçimde “funnel dynamic surface control” ifadesi bulunmaktadır ve input delay başlıkta yer almamaktadır.

Bu nedenle Şekil 8 güçlü bir “proposed method versus correctly matched input-delay baseline” kanıtı olarak sunulmamalıdır. Çalışmanın kendi içinde karşılaştırılan referansın özelliklerinin tanımlanmasında bir tutarsızlık vardır.

Tablo 2 neyi karşılaştırıyor?

Tablo 2 performans sayılarını değil, yöntemlerin hangi özellikleri kapsadığını nitel olarak karşılaştırmaktadır.

Bu tablo “proposed controller daha düşük RMSE üretmiştir” türünde bir performans benchmark'ı değildir. Yalnız yöntem kapsamlarının yazarlar tarafından yapılan nitel sınıflandırmasını göstermektedir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Aktüatör etkinlik kaybı, additive actuator fault ve sabit input delay aynı adaptive-control modeline dahil edilmiştir.
• Bilinmeyen nonlinear fonksiyonlar için fuzzy logic approximation kullanılmıştır.
• Tracking error için zamanla daralan funnel sınırı tanımlanmıştır.
• Backstepping tabanlı virtual-control ve real-control yasaları türetilmiştir.
• Kaynak, belirtilen assumptions altında closed-loop sinyaller için SGUUB sonucu türetmeyi amaçlamaktadır.
• Elektromekanik sistem simülasyonunda tracking error tanımlanan funnel içinde kalmıştır.
• Aktüatör fault'unun \(t=10\) saniyede devreye girdiği ve input delay'in 1,5 s olduğu simülasyonda referans takibi korunmuştur.
• Üç parameter seti arasında Case 3, yayımlanan MSE, RMSE, SSE ve NMSE değerlerinde en düşük hataları vermiştir.
• Kaynak yöntemi actuator faults, input delay, funnel control ve nonstrict-feedback özelliklerini aynı yapıda kapsayan bir framework olarak konumlandırmaktadır.

Çalışmanın desteklemediği veya kanıtlamadığı sonuçlar

• Kontrolcünün gerçek elektromekanik donanım üzerinde çalıştığı gösterilmemiştir.
• Gerçek aktüatör arızası fiziksel olarak enjekte edilmemiştir.
• Gerçek network latency veya communication delay ölçümü yapılmamıştır.
• Giriş gecikmesinin değişken veya stochastic olduğu senaryolar doğrulanmamıştır.
• Tam aktüatör kaybı \(\gamma=0\) kapsanmamaktadır.
• Actuator saturation veya rate limit açık biçimde kontrol tasarımına dahil edilmemiştir.
• Fuzzy-rule sayısı ve embedded processor üzerinde gerçek execution time ölçülmemiştir.
• Üç gain seti dışında kapsamlı global sensitivity veya Monte Carlo robustness analizi yapılmamıştır.
• Şekil 8 karşılaştırması yöntemin [40]'a karşı nicel üstünlük yüzdesini göstermemektedir.
• Tablo 1'in MAE ve BFR değerlerinin yayımlanan formüllerle tam matematiksel tutarlılığı gösterilememektedir.
• Lyapunov türetimindeki yayımlanmış işaret/notasyon sorunları çözülmeden ispat zincirinin bütün cebirsel adımlarının eksiksiz olduğu söylenemez.
• “Real-world example” ifadesi fiziksel saha veya laboratuvar doğrulaması anlamına gelmemektedir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Uyarlamalı bulanık funnel kontrol zinciri

Simülasyon koşullarının özeti

Controller-parameter sensitivity sonuçları

Yayımlanan dört uyumlu hata metriğinde Case 3 en düşük, Case 1 en yüksek hatayı vermektedir. Bu sonuç controller gain'lerinin tracking performance üzerinde belirgin etkisi bulunduğunu gösterir; ancak control-energy trade-off için ayrı nicel enerji tablosu verilmediğinden “Case 3 genel olarak her açıdan en iyi controller” sonucu çıkarılamaz.

Kaynakta verilen bütün Tablo 1 metrikleri

Bilimsel uyarı: MAE ve BFR sayıları kaynak tablosundan aynen aktarılmıştır; ancak yukarıda açıklanan formül–tablo tutarsızlıkları nedeniyle yeniden hesaplanmış veya “doğrulanmış” değerler olarak sunulmamaktadır.

Kanıt düzeylerinin ayrılması

Çalışmanın güçlü yönleri

• Actuator fault ile input delay'i aynı adaptive fuzzy-control probleminde ele almaktadır.
• Transient tracking behavior'ı yalnız error minimization yerine predefined funnel ile sınırlandırmaktadır.
• Unknown nonlinear functions için FLS approximation kullanmaktadır.
• Backstepping tasarımını bütün sistem derecesi boyunca açık biçimde türetmektedir.
• Multiplicative effectiveness loss ile additive actuator fault'u ayrı değişkenlerle temsil etmektedir.
• External disturbances'i kontrol teorisine dahil etmektedir.
• Parameter sensitivity için tek nominal ayarla yetinmeyip üç gain seti sunmaktadır.
• MSE, RMSE, SSE ve NMSE gibi nicel simülasyon metrikleri raporlamaktadır.
• Funnel sınırını ve tracking error'ı zaman alanında görsel olarak birlikte göstermektedir.

Başlıca yöntemsel ve kaynak içi sınırlılıklar

• Fiziksel deney bulunmamaktadır.
• Birinci dereceden Padé approximation gecikmenin yaklaşık temsilidir.
• Padé denklemlerinde \(\kappa\), \(\tau\) ve \(t_d\) notasyonu tutarlı kullanılmamıştır.
• Aktüatör tamamen etkisiz hâle gelememektedir; \(\gamma_{\min}>0\) varsayılır.
• Actuator saturation ve rate constraints modellenmemiştir.
• Lyapunov türetiminde Denklem (60)–(62) arasında işaret/notasyon problemi bulunmaktadır.
• Simülasyon kontrol yasasında teorik denklemlerle notasyon/işaret farklılıkları vardır.
• Aktüatör fault örneğinde \(x_1,x_2\) sembolleri açıklanmadan kullanılmaktadır.
• MAE formülü ile Tablo 1 değerleri matematiksel olarak uyuşmamaktadır.
• BFR formülü ile NMSE/BFR tablo değerleri uyuşmamaktadır.
• Ref. [40] karşılaştırma açıklaması aynı çalışmanın kaynakçasındaki başlıkla çelişmektedir.
• Parameter sensitivity yalnız üç seçilmiş controller setting içerir.
• Control effort için nicel toplam enerji veya RMS enerji karşılaştırma tablosu verilmemiştir.
• Gerçek zamanlı computational complexity ölçülmemiştir.
• Variable delay, sensor fault ve cyber-physical communication constraints gelecek çalışmaya bırakılmıştır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Tam özgün çalışma adı: Adaptive Tracking Control of Nonstrict-Feedback Nonlinear Systems with Actuator Faults and Input Delay via a Fuzzy Funnel Approach

Yazarlar: Abdelwaheb Mhemdi, Mohamed Kharrat, Ameni Gargouri ve Paolo Mercorelli.

Yazar sırası: 1. Abdelwaheb Mhemdi; 2. Mohamed Kharrat; 3. Ameni Gargouri; 4. Paolo Mercorelli.

Sorumlu yazar: Paolo Mercorelli.

Eş katkı/eş birinci yazarlık: Kaynakta böyle bir beyan bulunmamaktadır.

Kurumlar:

1. Mathematics Department, College of Sciences and Humanities, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj, Riyadh, Saudi Arabia.
2. Laboratory of Probability and Statistics LR18ES28, Faculty of Sciences, Sfax University, Sfax, Tunisia.
3. Institute for Production Technology and Systems, Leuphana University of Lueneburg, Germany.

Dergi: Actuators.

Yayınevi: MDPI, Basel, Switzerland.

Bibliyografik bilgi: Actuators 2026, 15(7), 384.

DOI:10.3390/act15070384

Resmî yayın bağlantısı:MDPI – Actuators 15(7), 384

Yayın tarihi: 8 Temmuz 2026. Çalışma 14 Haziran 2026'da alınmış, 5 Temmuz 2026'da revize edilmiş ve 6 Temmuz 2026'da kabul edilmiştir.

Kaynak türü ve hakemlik durumu: Actuators dergisinde yayımlanmış hakemli araştırma makalesidir. Yöntemsel doğrulama analitik kararlılık incelemesi ve sayısal elektromekanik sistem simülasyonuna dayanmaktadır.

Lisans: Creative Commons Attribution (CC BY).

Akademik editör: Giorgio Olmi.

Finansman: Araştırma Prince Sattam bin Abdulaziz University tarafından PSAU/2025/01/33516 proje numarası kapsamında desteklenmiştir.

Etik kurul: Uygulanabilir değildir.

Bilgilendirilmiş onam: Uygulanabilir değildir.

Veri erişilebilirliği: Kaynak verilerin makale içinde bulunduğunu; ek soruların sorumlu yazara yöneltilebileceğini belirtmektedir.

Çıkar çatışması: Yazarlar çıkar çatışması bulunmadığını beyan etmiştir.

Yazar katkıları: Abdelwaheb Mhemdi araştırma, metodoloji ve inceleme/düzenleme; Mohamed Kharrat araştırma, doğrulama ve ilk taslak; Ameni Gargouri inceleme/düzenleme; Paolo Mercorelli danışmanlık, kavramsallaştırma ve inceleme/düzenleme rollerini üstlenmiştir.

Bilimsel kapsam: Çalışma nonstrict-feedback nonlinear systems için fuzzy logic approximation, adaptive backstepping, funnel transformation, actuator-fault accommodation ve Padé input-delay approximation bileşenlerini aynı control framework içinde birleştirmektedir.

Doğrulama türü: Özet ve sonuç bölümünde “real-world example” ifadesi kullanılsa da Bölüm 4 “Simulation Results” başlığı altındadır. Elektromekanik sistem fiziksel deney düzeneği olarak kurulmamış; matematiksel model üzerinde simüle edilmiştir. Bu nedenle çalışma gerçek saha veya laboratuvar doğrulaması olarak sunulmamalıdır.

Padé notasyonu sınırı: Denklem (2)'de \(e^{-\kappa s}\) gecikmesi için Padé ifadesinin payı \(\kappa\), paydası \(\tau\) sembolünü kullanır. Denklem (3)'te tekrar \(\kappa\) kullanılır. Sonrasında \(\rho=2/t_d\) tanımlanırken \(t_d\) daha önce açıklanmamıştır. Kaynak bu notasyonları uzlaştırmamaktadır.

Funnel dönüşümü sınırı: Kaynak \(|e_1|<F_\psi\) koşulunun dönüşüm paydasının pozitif kalmasını sağladığını belirtmektedir. Salt strict inequality paydanın sınırdan uniform olarak ayrık olduğunu göstermese de sonraki Lyapunov sonucu \(e_1\) için \(F_\psi\)'nin sabit bir oranıyla sınır türetmektedir.

Lyapunov ispatı notu: Denklem (60)'ta \(-k_n\gamma_{\min}z_n^2\) olarak bulunan terim Denklem (62)'ye geçişte \(+k_n\gamma_{\min}z_n^2\) biçiminde görünmektedir. Aynı Denklem (60)'ta daha önce tanımlanmayan \(\xi_n\) sembolü kullanılmaktadır. Buna rağmen kaynak \(\dot V_n\leq-c_0V_n+d_0\) sonucuna geçmektedir. Bu işaret/notasyon sorunu sessizce düzeltilmemiştir.

Controller-denklem notu: Simülasyon için verilen Denklem (72)'deki \(\alpha_1\) ifadesi teorik türetimdeki önceki formülle işaret ve sembol kullanımı bakımından tam olarak örtüşmemektedir. Kaynak bu geçişi ayrıca açıklamamaktadır.

Actuator-fault notasyonu: Denklem (70)'te additive fault \(\cos^2(x_1)x_2\) biçiminde verilmiştir; önceki modelde durumlar \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\) ile gösterilmektedir. \(x_1,x_2\) ayrı olarak tanımlanmamıştır.

MAE tutarsızlığı: Denklem (73) MAE'yi \(\max|y-y_r|\) olarak tanımlar. Bu maksimum mutlak hata tanımıdır. Tablo 1'deki “MAE” değerleri ise her üç durumda da RMSE değerlerinden küçüktür ve dolayısıyla yayımlanan maksimum-hata formülüyle uyumlu değildir.

BFR tutarsızlığı: Denklem (77) ile Denklem (78) birlikte kullanıldığında \(BFR=100(1-\sqrt{NMSE})\) ilişkisi oluşur. Tablo 1'in yayımlanan NMSE ve BFR sütunları bu ilişkiyi sağlamamaktadır. Kaynak farklı bir hesaplama yöntemi veya normalizasyon açıklamamaktadır.

Karşılaştırma sınırı: Şekil 8 önerilen yöntemi Ref. [40] ile karşılaştırmaktadır. Comparative-results metni Ref. [40]'ın input delay içerdiğini fakat funnel control kullanmadığını ifade eder. Aynı makalenin kaynakça başlığı ise Ref. [40]'ı “Observer-based adaptive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknown control coefficients and hysteresis input” olarak verir. Bu nedenle baseline yönteminin tanımında kaynak içi çelişki bulunmaktadır.

Parameter-sensitivity sınırı: Case 1–3 karşılaştırması üç seçilmiş controller-parameter setidir. Geniş kapsamlı stochastic uncertainty, Monte Carlo, global tuning veya optimizer-based sensitivity campaign değildir.

Hesaplama karmaşıklığı sınırı: Kaynak yöntemin matrix inversion veya iterative online optimization gerektirmediğini ve complexity'nin fuzzy-rule ve state sayısıyla yaklaşık doğrusal büyüdüğünü savunmaktadır. Ancak gerçek embedded processor üzerinde execution-time, memory veya sampling-frequency benchmark'ı sunulmamıştır.

Gelecek çalışma: Yazarlar yöntemi stochastic nonlinear switched systems, actuator ve sensor faults, communication constraints, event-triggered control ve cyber–physical applications yönünde genişletmeyi önermektedir.

Bu Verianla içeriğindeki bilimsel yöntem, denklemler, simülasyon parametreleri, tablolar, karşılaştırmalar ve sınırlılıklar yalnızca incelenen çalışmaya dayanmaktadır. Dış kaynak yalnız bibliyografik yayın kimliğinin doğrulanması amacıyla kullanılmıştır. Kaynak içindeki matematiksel, notasyonel ve karşılaştırmalı tutarsızlıklar sessizce düzeltilmemiştir.