Üç fərqli və bir-biri ilə qarışmayan maye və ya qaz fazasının eyni hesablama sahəsində hərəkət etməsi hesablama maye dinamikasının çətin problemlərindən biridir. İnterfeyslər hərəkət edir, formasını dəyişir, birləşir, ayrılır və üç fazanın kəsişdiyi bölgələrdə səthi gərilmə qüvvələri eyni vaxtda təsir göstərir. Adam Y. Ghoneim tərəfindən hazırlanmış bu tədqiqat sözügedən problemi klassik hesablama şəbəkəsi yaratmadan həll etmək məqsədilə Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) ilə Phase-Field yanaşmasını birləşdirir.

Metodda mayelər arasındakı interfeys kəskin sərhəd kimi deyil, müəyyən qalınlığa malik keçid Phase-Field bölgəsi kimi təmsil olunur. Üç fazanın təkamülü Cahn–Hilliard tənlikləri ilə, axın sahəsi isə Navier–Stokes tənlikləri ilə həll edilir. SPH çəki funksiyalarının uyğunluğunu yaxşılaşdırmaq üçün Reproducing Kernel (RK) və Differential Reproducing Kernel (DRK) yanaşmalarından istifadə edilmişdir. Təzyiq həllində isə klassik sıxlıq əsaslı Equation of State əvəzinə söndürücü təzyiq diffuziyası daxil edən General Pressure Equation seçilmişdir.

Metod Couette, Poiseuille və lid-driven cavity kimi standart benchmarklardan başlayaraq üç fazalı ayrışma, maye linzası, yüksək sıxlıq nisbətli su–yağ–hava sistemi, düşən damcı, yüksələn qabarcıq və sərbəst səthli çən qarışığı kimi daha mürəkkəb problemlərdə sınaqdan keçirilmişdir. Maye linzası sınağında analitik nəticələrə görə maksimum nisbi xəta %5-in altında qalmış; RK və DRK yaxınlaşma meylləri müvafiq olaraq 1,86 və 1,93 olmaqla təxminən ikinci tərtib davranış göstərmişdir.

Metod təxminən 1000:1 sıxlıq nisbətinə malik su–hava sistemini də sabit şəkildə həll edə bilmişdir. Lakin Phase-Field mobility parametrinin interfeys qalınlığına və həcm qorunmasına güclü təsiri vardır: nümunəvi fırlanan qabarcıq sınağında M=0,01 üçün həcm itkisi yalnız %0,3 olduğu halda, M=0,05-də %20-yə yüksəlmişdir. Buna görə tədqiqat yalnız yeni həll metodu təqdim etmir, həm də metodun ədədi parametrlərinin diqqətlə tənzimlənməli olduğunu ortaya qoyur.

Üç fazalı axını hesablamaq niyə daha çətindir?

İki fazalı axınlarda belə maye–qaz və ya maye–maye interfeysinin hərəkətini düzgün izləmək çətindir. Üç fazalı sistemdə buna üç ayrı interfeys gərilməsi və üç fazanın görüşə bildiyi triple-junction bölgələri əlavə olunur. İnterfeysin birləşməsi, qopması və ya topoloji formasını dəyişməsi klassik mesh əsaslı metodların yenidən şəbəkələmə və ya xüsusi interface-capturing alqoritmlərinə ehtiyac duymasına səbəb ola bilər.

Phase-Field Yanaşması Üç Fazanı Necə Təmsil Edir?

Phase-Field metodunda hər faza üçün \(\psi_p\) adlanan davamlı order parameter istifadə olunur. Fazanın təmiz bölgəsində bu qiymət 0 və ya 1-ə yaxınlaşdığı halda, iki faza arasındakı interfeysdə qiymət davamlı şəkildə dəyişir. Beləliklə, kəskin sərhəd əvəzinə sonlu qalınlığa malik diffuse interface yaranır.

Üç faza üçün:

\[ \psi_1+\psi_2+\psi_3=1 \]

şərti tətbiq olunur.

Deməli:

\[ \psi_3=1-\psi_1-\psi_2 \]

olduğuna görə yalnız iki müstəqil Cahn–Hilliard tənliyini həll etmək kifayətdir.

Sistemin Helmholtz sərbəst enerjisi ümumilikdə:

\[ E(\psi)= \int_{\Omega} \sum_{p=1}^{N} \left[ F(\psi_p)+ \frac{\epsilon^2}{2}|\nabla\psi_p|^2 \right]dx \]

şəklində müəyyən edilir.

Birinci termin fazaların təmiz hallara yönəlməsini təmin edən bulk free-energy komponentidir. Gradient termini isə interfeysin yaranmasının enerji xərcini təmsil edir.

Cahn–Hilliard tənliyi nə edir?

Kimyəvi potensial sərbəst enerjinin order parameter-ə görə variasiyasından əldə edilir və fazaların paylanması:

\[ \frac{D\psi_p}{Dt} = M\nabla^2\mu_p \]

ilə təkamül edir.

Buradakı \(M\), Phase-Field mobility parametridir. Bu qiymət yalnız riyazi sabit deyil; interfeysin diffuziyası, qalınlığının qorunması və həcm itkisi arasında mühüm tarazlıq yaradır.

SPH Niyə Meshfree Adlandırılır?

Smoothed Particle Hydrodynamics-də hesablama sahəsi klassik sonlu element və ya sonlu həcm şəbəkələrinə bölünmür. Bunun əvəzinə sahə hissəciklərdən ibarət olur və dəyişənin müəyyən hissəcikdəki qiyməti qonşu hissəciklərin kernel çəkili töhfəsindən hesablanır.

Sahə dəyişəninin SPH yaxınlaşması:

\[ \hat{u}_i = \sum_{j=1}^{n} u_j W_{ij} \]

şəklindədir.

Bu quruluş sayəsində qeyri-müntəzəm nöqtə paylanmaları, hərəkət edən hissəciklər və mürəkkəb həndəsələr mesh connectivity yaratmadan emal oluna bilər.

RK və DRK Niyə Lazımdır?

Klassik SPH kernel funksiyalarının, xüsusilə sərhəd bölgələrində partition-of-unity və reproducibility şərtlərini tam təmin edə bilməməsi dəqiqlik problemlərinə səbəb ola bilər. Reproducing Kernel yanaşması çəki funksiyalarını moment matrisi vasitəsilə düzəldərək bu şərtləri birbaşa tətbiq edir.

Differential Reproducing Kernel yanaşmasının əsas fərqi reproducibility şərtini yalnız çəki funksiyasına deyil, onun fəza törəmələrinə də tətbiq etməsidir. Beləliklə, RK-nin açıq törəmə hesabında tələb olunan moment matrisi törəmələrinin hesablanmasının qarşısı alına bilər.

Bu tədqiqatda yüksək tərtibli DRK törəmələri birbaşa istifadə edilməmişdir. RK və DRK yalnız çəki funksiyası və birinci tərtib gradientlər üçün istifadə edilmiş; Laplasian daha dayanıqlı SPH ifadəsi ilə hesablanmışdır. Buna görə DRK-nin hesablama üstünlüyü vardır, lakin dramatik səviyyədə deyil.

General Pressure Equation Nəyi Dəyişdirir?

Weakly-compressible SPH-də təzyiq adətən sıxlıq dəyişməsindən Equation of State vasitəsilə hesablanır. Çoxfazalı sistemlərdə sıxlıq interfeysdə kəskin dəyişdiyindən bu yanaşma arzuolunmaz təzyiq və sıxlıq rəqslərinə səbəb ola bilər.

Bu tədqiqat bunun əvəzinə:

\[ \frac{\partial P}{\partial t} = -C^2(\nabla\cdot\rho V) + \nu_{GPE}\nabla^2P \]

şəklindəki General Pressure Equation-dan istifadə etmişdir.

\(\nu_{GPE}\nabla^2P\) termini təzyiq sahəsindəki ədədi rəqsləri söndürən diffuziya mexanizmidir. Həll lokal və explicit şəkildə həyata keçirilə bildiyindən hər zaman addımında qlobal Pressure-Poisson xətti sistemini həll etmək lazım deyil.

Zaman inteqrasiyası

CHNS sistemi ikinci tərtibli Runge–Kutta yanaşması ilə explicit şəkildə irəlilədilmişdir. Zaman addımı; süni səs sürəti, maksimum viskozluq və Phase-Field mobility məhdudiyyətlərinin minimumuna görə seçilir:

\[ \Delta t= \min \left( \frac{\gamma_{CFL}h}{C}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2\nu_{max}}, \frac{\gamma_{CFL}h^2}{2M} \right) \]

və tədqiqatda \(\gamma_{CFL}=0,25\) istifadə edilmişdir.

Particle Shifting Niyə Kritikdir?

Lagrangian SPH-də hissəciklər axınla birlikdə hərəkət etdiyinə görə zaman keçdikcə bir-birinə yaxınlaşa və qruplaşa bilər. RK/DRK-də lokal moment matrisinin tərsinin hesablanması tələb olunduğundan bu vəziyyət yalnız vizual nizamsızlıq deyil; matris pis şərtlənərək həlli qeyri-sabit edə bilər.

Tədqiqat particle shifting vasitəsilə yüksək hissəcik sıxlığı olan bölgələrdən hissəcikləri daha seyrək sahələrə doğru kiçik miqdarlarda sürüşdürür.

PDF-nin 24. səhifəsindəki müqayisədə shifting tətbiq edilmədikdə nəzərəçarpan qruplaşmalar yarandığı halda, shifting-dən sonra hissəciklər təxminən homogen paylanmaya qayıdır.

Sərbəst səth hissəciklərində isə shifting miqdarı azaldılır; əks halda həqiqi sərbəst səth həndəsəsi süni şəkildə pozula bilər.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Couette flow yoxlanması

50 hissəcikli aşağı Reynolds saylı Couette problemində RK-SPH və DRK-SPH nəticələri analitik həllə çox yaxın çıxmışdır. Müxtəlif zamanlardakı L2-norm xətaları təxminən \(10^{-3}\)–\(10^{-2}\) tərtibindədir və RK–DRK nəticələri arasındakı maksimum fərq təxminən %0,16-dır.

Poiseuille flow yoxlanması

Üç fərqli pik sürətdə RK və DRK həlləri analitik profilə yaxşı uyğunluq göstərmişdir. İki yanaşmanın xəta qiymətlərindəki maksimum fərq təxminən %1,7 olmuşdur. RK bəzi hallarda analitik həllə bir qədər daha yaxın olduğu halda, DRK maksimum sürəti azacıq yüksək hesablamışdır.

Lid-driven cavity

Re=100 üçün 50×50 hissəcikli sahə həll edilmişdir. Eulerian yanaşmada sabit hissəciklərin nəticələri Ghia və həmkarlarının klassik istinad məlumatları ilə çox yaxşı uyğunluq göstərmişdir. Lagrangian həllində hissəcik nizamsızlığı səbəbindən sürət piklərində daha çox xəta yaranmış; ayırdetmənin 10.000 hissəciyə artırılması bu fərqi azaltmışdır.

Üç Faza Öz-özünə Ayrışa Bilirmi?

10.000 hissəcikli ixtiyari 2B həndəsədə başlanğıcda təsadüfi paylanmış üç order parameter zamanla ayrıca qırmızı, yaşıl və mavi faza bölgələrinə ayrılmışdır. Bu proses zamanı ümumi sərbəst enerji davamlı olaraq azalmışdır.

Eyni davranış 64.000 hissəcikli 3B kürə və torus həndəsələrində də əldə edilmişdir. Beləliklə, metod nizamlı kvadrat grid və ya sadə düzbucaqlı həndəsə ilə məhdud qalmamışdır.

Səthi Gərilmə İnterfeys Həndəsəsini Necə Dəyişdirir?

İki fazalı nəzarət sınağında başlanğıcda kvadrat formalı daxili faza, yüksək əyrilikli künclərdəki səthi gərilmə qüvvələri səbəbindən zamanla dairəvi hala gəlmişdir. Bu nəticə sərbəst enerjinin interfeys sahəsini azaltma meyli ilə uyğundur.

Üç fazalı halda səthi gərilmə nisbəti dəyişdirilmişdir:

Maye Linzasında Analitik Həllə Nə Qədər Yaxınlaşıldı?

Üç fazanın görüşdüyü maye linzası problemində Neumann qanunu ilə nəzəri təmas bucaqları və linzanın eni hesablanmışdır.

Mənbə sınaqdan keçirilmiş bütün səthi gərilmə nisbətlərində maksimum nisbi xətanın %5-in altında qaldığını bildirir.

Yaxınlaşma

Bu benchmark üçün təxminən ikinci tərtib dəqiqlik müşahidə edilmişdir. 22.500 hissəcikdən sonra sabit vəziyyət sərbəst enerjisində yalnız kiçik dəyişikliklər qalmışdır.

1000:1 Sıxlıq Nisbəti Sabit Şəkildə Həll Edilə Bildimi?

Su–zeytun yağı–hava sistemi ilə yüksək sıxlıq nisbəti sınağı aparılmışdır.

Su/hava nisbəti təxminən 1000:1 olmasına baxmayaraq RK və DRK əsaslı PF-SPH həlləri sabit qalmışdır. Nəticələr OpenFOAM multiphaseInterFoam FVM–VOF həlli ilə ümumi interfacial davranış baxımından uyğundur.

Bununla belə, damcının çarpması və geri sıçramasında PF-SPH damcı həndəsəsi OpenFOAM nəticəsinə nisbətən bir qədər daha yastı görünür. Müəllif bunun mümkün səbəblərindən biri kimi Phase-Field mobility-dən qaynaqlanan interfeys yumşalmasını və həcm itkisini müzakirə edir.

Mobility Parametri Həcm Qorunmasına Necə Təsir Edir?

Bu nəticə mobility qiymətinin artırılmasının avtomatik olaraq daha düzgün həll yaratmadığını göstərir. Çox kiçik qiymətlərdə interfeys adveksiya altında yayılır, çox yüksək qiymətlərdə isə forma qorunsa da həcm itkisi arta bilər.

Üç fazalı düşən damcı

Səthi gərilmə sıfır olduqda orta sıxlıqlı damcı alt mayenin səthinə dəydikdən sonra geniş şəkildə yayılmışdır. Səthi gərilmə nisbəti 1,9:1:1-ə artırıldıqda damcının yayılması əhəmiyyətli dərəcədə məhdudlaşdırılmış və damcı iki faza arasındakı interfeysdə saxlanmışdır.

Üç fazalı yüksələn qabarcıq

Sıxlığı ən aşağı olan fazanın qabarcığı daha sıx alt mayenin içində yüksəlmiş və iki sıx mayenin interfeysinə çatdıqda səthi gərilmə səbəbindən burada saxlanmışdır. Eyni davranış 10.000 hissəcikli 2B Lagrangian və 64.000 nöqtəli 3B Eulerian həlldə göstərilmişdir.

Üç fazalı çən qarışığı

Sıxlıqları 100, 50 və 1 olan üç qarışmayan faza başlanğıcda yanaşı yerləşdirilmişdir. Cazibə qüvvəsi altında sistem yenidən düzülmüş və sabit vəziyyətdə ən sıx qırmızı faza dibə, orta sıxlıqlı yaşıl faza ortaya, ən yüngül mavi faza isə yuxarı bölgəyə yerləşmişdir.

Eulerian və Lagrangian Yanaşmaların Fərqi Nədir?

Lagrangian SPH-də hissəciklər fiziki axınla birlikdə hərəkət edir. Bu yanaşma sərbəst səthləri təbii şəkildə təmsil edir, lakin hər zaman addımında qonşuluq siyahısının yenilənməsini və particle shifting aparılmasını tələb edir.

Eulerian istifadədə hissəciklər fəzada sabit approximation points kimi saxlanılmış, fazalar və sürət sahəsi isə tənliklər vasitəsilə advect edilmişdir. Bu yanaşma xüsusilə 3B nümunələrdə hesablama xərcini azaltmışdır; çünki qonşu hissəcik siyahısı və shifting alqoritmi davamlı şəkildə yenidən yaradılmır.

Tədqiqatın dəstəklədiyi nəticələr

• CHNS tənlikləri SPH-RK/DRK ilə tam meshfree şəkildə həll edilə bilmişdir.
• GPE, density-based EOS istifadə edilmədən təzyiq həllini təmin etmişdir.
• RK və DRK benchmarklarda analitik/reference həllərlə yaxşı uyğunluq göstərmişdir.
• DRK bəzi sınaqlarda RK-dən bir qədər daha sürətlidir.
• RK bəzi benchmarklarda DRK-dən bir qədər daha dəqiq nəticə vermişdir.
• Liquid-lens nəticələrinin analitik xətası %5-in altında qalmışdır.
• RK və DRK liquid-lens yaxınlaşması təxminən ikinci tərtibdir.
• 2B və 3B üç fazalı ayrışma ixtiyari həndəsələrdə həll edilə bilmişdir.
• Təxminən 1000:1 sıxlıq nisbətində sabit həll əldə edilmişdir.
• Particle shifting Lagrangian RK/DRK həllinin sabitliyi üçün kritik hesab edilmişdir.
• Phase-Field yanaşması SPH-nin həm Eulerian, həm də Lagrangian şəkildə istifadəsini mümkün etmişdir.

Tədqiqatın dəstəkləmədiyi nəticələr

• DRK-nin bu tətbiqdə RK-dən 10–25 dəfə daha sürətli olduğu göstərilməmişdir.
• Bütün benchmarklarda DRK-nin RK-dən daha dəqiq olduğu göstərilməmişdir.
• 1000:1 sıxlıq sınağı eksperimental olaraq doğrulanmamışdır.
• OpenFOAM müqayisəsi bütün interfeys həndəsələrinin kəmiyyətcə eyni olduğunu göstərmir.
• Phase-Field yanaşmasının tam lokal həcm qorunması təmin etdiyi göstərilməmişdir.
• Bütün üç fazalı problemlər üçün tək bir mobility qiymətinin optimal olduğu göstərilməmişdir.
• Simulyasiyadakı diffuse-interface qalınlığı həqiqi maye interfeysinin fiziki qalınlığı kimi şərh edilə bilməz.
• Metodun bütün sənaye miqyaslı yüksək Reynolds saylı turbulent üç fazalı axınlarda doğrulandığı göstərilməmişdir.

Mənbə və Metod Qeydi

Orijinal tədqiqat: Meshfree Phase-Field Modeling of Three-Phase Flow using Smoothed Particle Hydrodynamics with Differential Reproducing Kernels and Artificial Compressibility.

Müəllif: Adam Y. Ghoneim.

Qurum: Department of Mechanical Engineering, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba, Canada.

Nəşr: Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 469, Article 116654, 2025.

Nəşr tarixi: 1 December 2025.

DOI: 10.1016/j.cam.2025.116654.

Rəyçilik statusu: Rəyli jurnal məqaləsidir. Yüklənmiş fayl nəşr olunmuş məqalə versiyasının məzmununu daşıyır və təşəkkür bölməsində anonim rəyçilərin qiymətləndirmələrinə təşəkkür edilir.

Biblioqrafik qeyd: PDF-nin ilk səhifəsindəki dipnotda jurnalın adı “Journal of Computational of Applied Mathematics” şəklində yazılmışdır. Rəsmi nəşriyyat qeydində düzgün jurnal adı “Journal of Computational and Applied Mathematics”dir.

Əsas model: Cahn–Hilliard–Navier–Stokes üç fazalı diffuse-interface modeli.

Ədədi metod: Smoothed Particle Hydrodynamics; Reproducing Kernels və Differential Reproducing Kernels.

Təzyiq həlli: General Pressure Equation əsaslı artificial compressibility.

Zaman inteqrasiyası: İkinci tərtibli Runge–Kutta.

Əsas stabilləşdirmələr: GPE pressure diffusion, artificial viscosity və Lagrangian tətbiqdə particle shifting.

Başlıca yoxlamalar: Couette flow, Poiseuille flow, lid-driven cavity, surface-tension-driven interface relaxation, liquid lens analytical comparison, OpenFOAM FVM–VOF müqayisəsi.

2B ayırdetmə nümunələri: 2.500–40.000 hissəcik; bir çox üç fazalı sınaqda 10.000 hissəcik.

3B ayırdetmə: Kürə, torus, damcı və qabarcıq nümunələrində 64.000 hissəcik/approximation point.

Yüksək sıxlıq nisbəti sınağı: su–zeytun yağı–hava; təxminən 1000:1 maksimum sıxlıq nisbəti.

Yaxınlaşma: maye linzası benchmarkında RK ≈1,86 və DRK ≈1,93 yaxınlaşma meyli.

Əsas məhdudiyyət: Phase-Field mobility və interface-thickness parametrləri problemdən asılıdır. Yüksək mobility həndəsi interfeys qalınlığını qoruya bilər, lakin həcm itkisini artıra bilər; aşağı mobility isə həddindən artıq interfeys diffuziyasına səbəb ola bilər.

Doğrulama sərhədi: tədqiqat ədədi/metodoloji CFD məqaləsidir. Çoxfazalı real eksperimental məlumatlara qarşı geniş doğrulama aparılmamışdır.

Vizualın yenidən çəkilməsi qeydi: Mənbədəki rəngli üç fazalı simulyasiya görüntülərini birbaşa kopyalamaq əvəzinə Verianla üçün meshfree hissəcik şəbəkəsi, diffuse interface, üç faza, RK/DRK kernel, GPE təzyiq həlli, düşən damcı və yüksələn qabarcıq mexanizmlərini birləşdirən orijinal elmi sxem istifadə edilməlidir.