Polinom lemniskatasi — kompleks polinom modulining muayyan chegaradan kichik yoki unga teng bo‘lgan nuqtalar to‘plamidir. Ushbu tadqiqot tekislikdagi kompakt nishon to‘plam Kni o‘z ichiga oladigan, biroq nishonning Green funksiyasi bilan aniqlangan tor tashqi yoqadan tashqariga chiqmaydigan polinom lemniskatasini hosil qilish uchun zarur polinom darajasini o‘rganadi. Mualliflar buning uchun o‘zaro bog‘liq ikki miqdorni ta’riflaydi: belgilangan daraja ostida yuzaga kelishi mumkin bo‘lgan eng kichik Green-yoqali xato ε_n(K) va muayyan yoqa kengligida talab etiladigan eng kichik daraja N_K(s). Asosiy sifat natijasi shuni ko‘rsatadiki, belgilangan daraja chegarasida yoqa xatosining nol bo‘lishi faqat nishon to‘plamning o‘zi allaqachon to‘liq polinom lemniskatasi bo‘lgan holatda mumkin. Analitik Jordan chegarasiga ega nishonlarda esa Faber polinomlari yordamida xato uchun eksponensial yuqori chegara va talab etiladigan daraja uchun logarifmik o‘sish olinadi.

Tadqiqotning asosiy Faber bahosi har bir mos analitik davom ettirish kengligi σ uchun

\[ \varepsilon_n(K)\le C_\sigma\frac{e^{-\sigma n}}{n} \]

ko‘rinishidadir. Buning teskari murakkablik natijasi:

\[ N_K(s) \le \frac{1}{\sigma}\log\frac{1}{s} - \frac{1}{\sigma}\log\log\frac{1}{s} + O_\sigma(1) \]

bo‘ladi. Demak, analitik chegara holatida zarur polinom darajasi Green yoqasi toraygani sari ko‘pi bilan logarifmik miqyosda o‘sadi.

Bu tadqiqot nazariy matematika ishidir. Natijalar sonli simulyatsiya yoki tajribadan emas, kompleks analiz, Green funksiyalari, konformal akslantirishlar va Faber polinomlaridan foydalanilgan isbotlardan olingan. Maqola barcha analitik Jordan sohalari uchun aniq ikki tomonlama asimptotik daraja qonunini bermaydi; u faqat muayyan eksponensial xato yuqori chegarasini va unga mos logarifmik daraja yuqori chegarasini isbotlaydi.

Polinom lemniskatasi nima?

Kompleks polinom P va musbat o‘zgarmas c uchun

\[ \{z\in\mathbb C:|P(z)|\le c\} \]

ko‘rinishidagi quyi sath to‘plami polinom lemniskatasi deb ataladi. Bunday to‘plamlar kompleks yaqinlashish nazariyasida, Green funksiyalarida va polinomlar bilan geometrik yaqinlashish masalalarida tabiiy ravishda paydo bo‘ladi.

Ushbu tadqiqotdagi maqsad faqat nishon egri chiziqni taxminan chizish emas. Maqsad berilgan kompakt nishon to‘plam Kni o‘z ichiga oladigan va ayni paytda uning tashqarisidagi ruxsat etilgan yupqa Green-yoqali sohadan tashqariga chiqmaydigan lemniskata hosil qilishdir.

Green Yoqasi Nima?

Green yoqasi — nishon kompakt to‘plam tashqarisidagi nuqtalarni Green funksiyalarining qiymatiga ko‘ra qatlamlaydigan atrof sohasidir. Tadqiqotda \(g_K\), \(\mathbb C\setminus K\) sohasining cheksizlikdagi qutbli Green funksiyasi bo‘lib, \(K\) ustida nolga davom ettiriladi; \(s>0\) uchun \(K_s=\{z:g_K(z)<s\}\) aniqlanadi. Kichik \(s\) nishon to‘plamni yanada zich o‘rab turadigan tashqi yoqani anglatadi.

Bu tuzilma Yevklid masofasi o‘rniga potensial nazariyasiga tabiiy mos keladigan geometrik masofa qatlamini beradi.

Normallashtirilgan lemniskata

O‘zgarmas bo‘lmagan polinom P uchun:

\[ \|P\|_K=\max_{z\in K}|P(z)| \]

va

\[ L_K(P)= \{z\in\mathbb C: |P(z)|\le\|P\|_K\} \]

aniqlanadi.

Ushbu normallashtirishning muhim xususiyati:

\[ K\subseteq L_K(P) \]

ekanidir. Shu tariqa polinom lemniskatasi doimo nishon to‘plamni qamrab oluvchi tashqi yaqinlashish vazifasini bajaradi.

ε_n(K) Nimani O‘lchaydi?

\(\varepsilon_n(K)\) — darajasi ko‘pi bilan \(n\) bo‘lgan barcha polinomlar orasida nishon to‘plamni o‘z ichiga oluvchi normallashtirilgan lemniskataning Green funksiyasi nuqtai nazaridan tashqariga qanchalik chiqishga majbur bo‘lishining mumkin bo‘lgan eng kichik qiymatidir. Shuning uchun kichik \(\varepsilon_n(K)\) past darajali lemniskata nishon to‘plamni potensial-nazariy ma’noda zich o‘rab olishi mumkinligini ko‘rsatadi.

Ta’rif:

\[ \varepsilon_n(K) = \inf_{1\le\deg P\le n} \sup_{z\in L_K(P)} g_K(z). \]

Bu ifoda optimallashtirishning ikki darajasini birlashtiradi.

1. Har bir nomzod polinom uchun lemniskata ustidagi eng katta Green qiymati topiladi.
2. Darajasi ko‘pi bilan n bo‘lgan barcha polinomlar orasida ushbu maksimum qiymat minimallashtiriladi.

\(\varepsilon_n(K)=0\) bo‘lishi daraja chegarasini o‘zgartirmasdan nishonga istalgan darajada zich lemniskatalar bilan yaqinlashish mumkinligini anglatadi.

N_K(s) Nimani O‘lchaydi?

\(N_K(s)\) — nishon to‘plamni o‘z ichiga oladigan va to‘liq \(K_s\) Green yoqasi ichida qoladigan normallashtirilgan polinom lemniskatasini hosil qilish uchun zarur bo‘lgan eng kichik polinom darajasidir. Shunday qilib, \(N_K(s)\) oldindan tanlangan aniqlik darajasining daraja xarajatini o‘lchaydi, \(\varepsilon_n(K)\) esa oldindan tanlangan daraja byudjetining eng yaxshi aniqligini o‘lchaydi.

Ta’rif:

\[ N_K(s) = \min\{ \deg P: K\subset L_K(P)\subset K_s \}. \]

Mos polinom bo‘lmasa:

\[ N_K(s)=\infty. \]

Yoqa Xatosi bilan Daraja Murakkabligi O‘rtasida Qanday Bog‘lanish Bor?

Tadqiqotning collar-separation dictionary teoremasi ikki miqdor aynan o‘zaro teskari masalani ifodalashini ko‘rsatadi: har bir \(s>0\) uchun \(N_K(s)=\min\{n\ge1:\varepsilon_n(K)<s\}\). Xuddi shu shart darajasi ko‘pi bilan \(n\) bo‘lgan normallashtirilgan lemniskata \(K\) ni o‘z ichiga olgan holda \(g_K\ge s\) bo‘lgan butun tashqi sohadan uzoqda qolishi mumkinligiga teng kuchlidir.

Shuning uchun:

\[ \varepsilon_n(K)

tengsizlik faqat yaqinlashish aniqligi emas; u ayni paytda geometrik ajratish shartidir.

Taqiqlangan tashqi soha

\[ E_s= \{z\in\mathbb C: g_K(z)\ge s\} \]

bo‘lsin.

U holda:

\[ L_K(P)\subset K_s \]

bilan

\[ L_K(P)\cap E_s=\varnothing \]

teng kuchlidir.

Shu tariqa yoqa bo‘yicha yaqinlashish bilan “taqiqlangan tashqi sohadan xavfsiz ajratish” bir xil matematik masalaga aylanadi.

Belgilangan Darajada Nol Xato Qachon Mumkin?

Belgilangan \(N\) uchun \(\varepsilon_N(K)=0\) bo‘lishi faqat va faqat \(K\) darajasi ko‘pi bilan \(N\) bo‘lgan to‘liq polinom lemniskatasi bo‘lsa mumkin. Demak, nishon to‘plam ushbu maxsus geometrik sinfga kirmasa, Green yoqasi nolga toraygani sari zarur daraja cheksiz o‘sishi shart.

To‘liq polinom lemniskatasi bo‘lish sharti:

\[ K= \{z\in\mathbb C: |P(z)|\le\|P\|_K\}. \]

Bu yerdagi “to‘liq” sifati muhim. Polinom quyi sath to‘plamining faqat bitta bog‘langan komponenti \(K\) ga teng bo‘lishi yetarli emas.

Nega faqat bitta komponent yetarli emas?

Ayni polinomning quyi sath to‘plamida nishon sohadan tashqarida boshqa bog‘langan komponentlar bo‘lishi mumkin. Bunday holda normallashtirilgan lemniskataning barchasini tor Green yoqasi ichida saqlab bo‘lmasligi mumkin. Chekli-daraja limit argumenti faqat nishon komponentni emas, butun lemniskatani nazorat qiladi.

Chekli-daraja gap teoremasining isbot g‘oyasi

Agar \(\varepsilon_N(K)=0\) deb faraz qilinsa, darajasi ko‘pi bilan \(N\) bo‘lgan va yoqa xatosi nolga yaqinlashadigan polinomlar tanlanadi:

\[ P_j. \]

Ularning normallashtirilgan ko‘rinishlari:

\[ p_j= \frac{P_j}{\|P_j\|_K} \]

uchun:

\[ \|p_j\|_K=1, \qquad K\subset\{|p_j|\le1\}. \]

Daraja chegarasi o‘zgarmas bo‘lgani uchun polinomlar fazosi chekli o‘lchamlidir. Mos qism-ketma-ketlik lokal tekis ravishda bir polinom pga yaqinlashadi.

Limit polinom uchun ichkarida:

\[ |p(z)|\le1, \qquad z\in K \]

va tashqarida:

\[ |p(z)|\ge1, \qquad z\notin K \]

hosil bo‘ladi.

Tashqi soha bog‘langan. \(\log|p|\) bu sohada garmonik va manfiy bo‘lmagan funksiyadir. Tashqaridagi biror nuqtada uning nol bo‘lishi kuchli minimum prinsipiga ko‘ra butun tashqi sohada o‘zgarmas bo‘lishini talab qiladi; bu esa pning o‘zgarmas bo‘lishiga zid keladi.

Shuning uchun:

\[ |p(z)|>1, \qquad z\in\mathbb C\setminus K. \]

Natijada:

\[ K=\{|p|\le1\}. \]

Analitik Chegara Nega Faber Polinomlari Bilan Eksponensial Yaqinlashishni Ta’minlaydi?

Analitik Jordan chegarasida tashqi konformal akslantirishning teskarisini chegaradan nariga halqasimon sohada analitik ravishda davom ettirish mumkin; Faber polinomlari ushbu konformal koordinata darajalarini eksponensial aniqlik bilan polinomlar orqali ifodalaydi. Bu eksponensial remainder bahosi lemniskataning Green yoqasi ichidagi tashqariga chiqish miqdorini bevosita \(e^{-\sigma n}/n\) tartibida chegaralaydi.

Tashqi konformal akslantirish

\[ \Phi: \mathbb C\setminus K \longrightarrow \{|w|>1\} \]

ko‘rinishida normallashtiriladi.

Green funksiyasi:

\[ g_K(z)=\log|\Phi(z)| \]

bo‘ladi.

Analitik davom ettirish kengligi

\[ \Psi=\Phi^{-1} \]

bo‘lsin.

Tadqiqotda:

\[ \sigma_*= \sup \left\{ \sigma>0: \Psi \text{, } e^{-\sigma}<|w|<\infty \text{ bölgesine conformal devam eder} \right\} \]

aniqlanadi.

Kattaroq \(\sigma_*\) teskari konformal akslantirishni chegaraning ichki tomoniga kengroq halqa bo‘ylab analitik davom ettirish mumkinligini anglatadi.

Faber polinomining ta’rifi

\(F_n\) — \(\Phi(z)^n\) ning cheksizlikdagi polinom qismidir:

\[ \Phi(z)^n = F_n(z) + O(1/z), \qquad z\to\infty. \]

Manbada ishlatilgan kontur ifodasi:

\[ F_n(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|u|=R} \frac{ u^n\Psi'(u) }{ \Psi(u)-z } \,du. \]

Faber remainder bahosi

Har bir:

\[ 0<\sigma<\sigma_* \]

uchun:

\[ |F_n(\Psi(w))-w^n| \le C_\sigma e^{-\sigma n}, \qquad |w|\ge1. \]

Bu tengsizlikda:

• \(F_n\): n-chi Faber polinomi,
• \(\Psi\): tashqi konformal akslantirishning teskarisi,
• \(w^n\): ideal konformal koordinata darajasi,
• \(C_\sigma\): tanlangan continuation width ga bog‘liq o‘zgarmas,
• \(e^{-\sigma n}\): daraja oshgani sari eksponensial kamayadigan xato hadidir.

Faber Yoqa Bahosi Nimani Aytadi?

Faber yoqa bahosi analitik Jordan chegarasiga ega nishon uchun daraja \(n\) oshgani sari eng yaxshi Green-yoqali lemniskata xatosi ko‘pi bilan \(C_\sigma e^{-\sigma n}/n\) bo‘lishini aytadi. Shunday qilib, mos analitik davom ettirish kengligi o‘zgarmas bo‘lganda darajaning oshishi yoqa xatosini asosan eksponensial tezlikda kamaytiradi.

Teorema:

\[ \boxed{ \varepsilon_n(K) \le C_\sigma \frac{e^{-\sigma n}}{n} } \]

va shunga ko‘ra:

\[ \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log\varepsilon_n(K) \le -\sigma_*. \]

Tengsizlikning asosiy matematik zanjiri

Chegara ustida:

\[ \|F_n\|_K \le 1+C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Tashqaridagi nuqta uchun:

\[ w=\Phi(z) \]

va:

\[ |w| = e^{g_K(z)}. \]

Remainder bahosidan:

\[ |F_n(z)| \ge e^{ng_K(z)} - C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Agar:

\[ z\in L_K(F_n), \]

bo‘lsa:

\[ |F_n(z)| \le \|F_n\|_K. \]

Demak:

\[ e^{ng_K(z)} - C_\sigma e^{-\sigma n} \le 1+C_\sigma e^{-\sigma n}. \]

Bundan:

\[ e^{ng_K(z)} \le 1+2C_\sigma e^{-\sigma n} \]

va:

\[ g_K(z) \le \frac1n \log \left( 1+2C_\sigma e^{-\sigma n} \right). \]

\(\log(1+x)\le x\) tengsizligidan foydalanilganda:

\[ g_K(z) \le \frac{ 2C_\sigma e^{-\sigma n} }{n}. \]

Ushbu bound butun normallashtirilgan Faber lemniskatasi bo‘ylab amal qilgani uchun \(\varepsilon_n(K)\) uchun teorema olinadi.

Tor Green Yoqasi Uchun Zarur Daraja Qanday O‘sadi?

Analitik Jordan sohasida zarur daraja ko‘pi bilan logarifmik o‘sadi: har bir \(0<\sigma<\sigma_*\) uchun \(s\downarrow0\) holatida \(N_K(s)\le \sigma^{-1}\log(1/s)-\sigma^{-1}\log\log(1/s)+O_\sigma(1)\). Shu sababli yanada tor yoqalarni talab qilish darajani darajali qonun bo‘yicha emas, logarifmik miqyosda oshiradi.

Asosiy ifoda:

\[ \boxed{ N_K(s) \le \frac1\sigma \log\frac1s - \frac1\sigma \log\log\frac1s + O_\sigma(1) } \]

va xususan:

\[ N_K(s) = O_K\left( \log\frac1s \right). \]

Birinchi had:

\[ \frac1\sigma\log\frac1s \]

asosiy daraja xarajatidir.

Ikkinchi had:

\[ -\frac1\sigma \log\log\frac1s \]

Faber bound dagi \(1/n\) omilidan keladigan nozikroq tuzatishdir.

Taqiqlangan To‘plamni Polinom Lemniskatasi Bilan Qanday Ajratish Mumkin?

Nishon to‘plam tashqarisida joylashgan kompakt \(W\) uchun \(t=\min_W g_K>0\) olinsa, daraja yetarlicha katta tanlanganda Faber polinomining normallashtirilgan lemniskatasi \(K\) ni o‘z ichiga olgan holda \(W\) ni butunlay tashqarida qoldiradi. Yetarli daraja yana taxminan \(\sigma^{-1}\log(1/t)\) miqyosida o‘sadi.

Yetarli shart:

\[ n \ge \frac1\sigma \log\frac1t - \frac1\sigma \log\log\frac1t + A_\sigma. \]

Bunday holda bir polinom P topiladi va:

\[ K \subset \{z:|P(z)|\le\|P\|_K\} \]

bo‘lganda:

\[ W \cap \{z:|P(z)|\le\|P\|_K\} = \varnothing. \]

Tadqiqot Usuli va Natijalari

Matematik tadqiqot turi

Tadqiqot to‘liq nazariydir. Eksperimental ma’lumot, sonli simulyatsiya, o‘qitish ma’lumotlar to‘plami yoki statistik gipoteza testi qo‘llanilmagan.

Asosiy vositalar:

• Green funksiyasi,
• kompleks polinom quyi sath to‘plamlari,
• konformal akslantirishlar,
• garmonik funksiyalar,
• maksimum/minimum prinsiplari,
• Faber polinomlari,
• kontur integrali va analitik davom ettirish,
• asimptotik o‘sish tahlili.

Asosiy faraz

Dastlabki teoremalar uchun \(\Omega\) chegaralangan va sodda bog‘langan Jordan sohasi, \(K\) esa uning kompakt yopig‘idir.

Faber baholari uchun qo‘shimcha ravishda \(\partial K\) analitik Jordan chegarasi bo‘lishi kerak.

Teorema 1.2 — Collar-separation dictionary

\[ N_K(s) = \min \{ n\ge1: \varepsilon_n(K)

Bu tenglik yoqa bo‘yicha yaqinlashish bilan tashqi taqiqlangan sohadan ajratishni bir xil daraja masalasi doirasida birlashtiradi.

Teorema 1.3 — Finite-degree gap

\[ \varepsilon_N(K)=0 \]

faqat va faqat K, darajasi ko‘pi bilan N bo‘lgan to‘liq polinom lemniskatasi bo‘lsa mumkin.

Natija:

\[ K \text{ tam polinom lemniskatı değilse} \quad N_K(s)\to\infty \quad(s\downarrow0). \]

Teorema 1.4 — Faber collar estimate

Analitik Jordan chegarasida va:

\[ 0<\sigma<\sigma_* \]

bo‘lganda:

\[ \varepsilon_n(K) \le C_\sigma \frac{e^{-\sigma n}}{n}. \]

Natija 1.5 — Logarithmic degree growth

\[ N_K(s) \le \frac1\sigma \log\frac1s - \frac1\sigma \log\log\frac1s + O_\sigma(1). \]

Shuning uchun:

\[ N_K(s) = O_K(\log(1/s)). \]

Natija 1.6 — Taqiqlangan to‘plamdan ajratish

\[ t=\min_W g_K>0 \]

bo‘lsa, yetarli daraja:

\[ n \ge \frac1\sigma \log\frac1t - \frac1\sigma \log\log\frac1t + A_\sigma \]

tanlanganda nishon to‘plam bilan W polinom lemniskatasi yordamida ajratilishi mumkin.

Model misol 1: yopiq disk

Yopiq disk to‘liq birinchi darajali lemniskatadir.

\[ P(z)=z \]

tanlovi bilan:

\[ L_K(P)=K. \]

Shunday qilib:

\[ N_K(s)=1 \]

barcha \(s>0\) uchun o‘rinlidir.

Model misol 2: doiraviy bo‘lmagan ellips

Doiraviy bo‘lmagan ellips to‘liq polinom lemniskatasi emas.

Tashqi akslantirish teskarisining tipik ko‘rinishi:

\[ z= \zeta+\frac{q}{\zeta}, \qquad 0

bo‘lib, branch point larni o‘z ichiga oladi.

Finite-degree gap teoremasi tufayli:

\[ N_K(s)\to\infty \]

ammo analitik chegara tufayli Faber bahosi ayni paytda:

\[ N_K(s) = O(\log(1/s)) \]

yuqori chegarasini ta’minlaydi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• Belgilangan darajada nol Green-yoqali xato faqat to‘liq polinom lemniskatalarida mumkin.
• To‘liq polinom lemniskatasi bo‘lmagan nishonlarda zarur daraja yoqa nolga toraygani sari cheksiz o‘sadi.
• Analitik Jordan chegaralarida Faber polinomlari eksponensial yoqa-xatosi yuqori chegarasini beradi.
• Analitik nishonlarda zarur daraja uchun logarifmik yuqori o‘sish olinadi.
• Ayni murakkablik miqdori nishonni kompakt tashqi taqiqlangan to‘plamlardan ajratish masalasini ham nazorat qiladi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan natijalar

• Barcha Jordan sohalari uchun bir xil eksponensial tezlik isbotlanmagan; Faber bahosi analitik chegara farazidan foydalanadi.
• Barcha analitik Jordan sohalari uchun aniq ikki tomonlama \(N_K(s)\) asimptotikasi berilmagan.
• \(N_K(s)\sim c\log(1/s)\) ko‘rinishidagi universal lower bound isbotlanmagan.
• Polinom quyi sath to‘plamining faqat bitta komponenti nishonga teng bo‘lishi finite-degree rigidity uchun yetarli emas.
• Natijalar sonli optimallashtirish tajribalaridan yoki kompyuter yordamidagi hisoblashlardan chiqarilmagan.

Asosiy ochiq yo‘nalish

Maqolaning so‘nggi remark iga ko‘ra, to‘liq polinom lemniskatalarida murakkablik bounded bo‘lishi mumkin, boshqa analitik Jordan sohalarida esa \(N_K(s)\to\infty\) bo‘ladi. Faqat mavjud farazlar bilan bu o‘sishning aniq quyi tartibini aniqlab bo‘lmaydi.

Shuning uchun yanada aniq quyi chegaralar uchun qo‘shimcha geometrik farazlar kerak.

Manba va Usul Haqida Izoh

Asl tadqiqot:Polynomial lemniscate collar complexity

Mualliflar: Venkata Siddharth Pendyala; Neel Narayan.

PDF dagi muassasa: Interlake Senior High School.

Tadqiqot sanasi: 31 may 2026.

SSRN nashr sanasi: 19 iyun 2026.

Platforma: SSRN.

SSRN DOI: 10.2139/ssrn.6859738

Manba turi: Preprint / working paper.

Taqriz holati: Ushbu tekshiruvda taqrizdan o‘tgan jurnal versiyasi topilmadi; tadqiqot SSRN preprinti sifatida baholandi.

Litsenziya / huquq holati: SSRN qayd sahifasida “All rights reserved. No reuse allowed without permission” deb ko‘rsatilgan.

Mathematics Subject Classification: Primary 30C10; Secondary 30E10, 31A15, 41A10.

Manba kalit so‘zlari: polynomial lemniscates, Faber polynomials, Green functions, conformal maps, polynomial approximation.

Moliyalashtirish: Manba PDF da moliyalashtirish bayonoti keltirilmagan.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Manba PDF da alohida manfaatlar to‘qnashuvi bayonoti keltirilmagan.

Ma’lumotlarning mavjudligi: Tadqiqot nazariy matematika maqolasidir; eksperimental yoki kuzatuv ma’lumotlar to‘plami ishlatilmagan.

Asosiy uslubiy cheklovlar: Eksponensial Faber bahosi va logarifmik daraja yuqori chegarasi analitik Jordan chegarasi faraziga tayanadi. Tadqiqot umumiy Jordan sohalari uchun ayni miqdoriy nisbatni yoki barcha non-lemniscate analitik sohalar uchun universal aniq lower bound ni bermaydi. \(\sigma_*\) teskari tashqi konformal akslantirishning analitik davom ettirish kengligiga bog‘liq va geometriyadan geometriyaga o‘zgaradi.

Verianla bayon qilish prinsipi: Ushbu mazmun manba preprintining to‘liq matn tarjimasi yoki isbotlarning satrma-satr qayta yozilishi emas. Ta’riflar, teoremalar, tenglamalar va matematik natijalar saqlangan; isbotlarning asosiy mantiqi mustaqil o‘rgatuvchi tuzilishda tushuntirilgan. Akademik iqtibos va to‘liq texnik isbot uchun asl SSRN tadqiqoti ko‘rib chiqilishi kerak.