Tadqiqot noma’lum chiziqli bo‘lmagan dinamikalarga ega nonstrict-feedback tizimlarda aktuator nosozligi va doimiy kirish kechikishi bir vaqtda mavjud bo‘lgan sharoitda referensni kuzatishni saqlash uchun moslashuvchan noaniq funnel boshqaruv yondashuvini ishlab chiqadi. Noma’lum funksiyalar Fuzzy Logic Systems (FLS) yordamida yaqinlashtiriladi, kirish kechikishi birinchi tartibli Padé approximation orqali kechikishsiz kengaytirilgan tizimga aylantiriladi, aktuator samaradorligi yo‘qolishi va qo‘shiluvchi nosozlik hadlari bevosita boshqaruv modeliga kiritiladi hamda backstepping asosidagi controller Lyapunov tahlili bilan ko‘rib chiqiladi. Tadqiqotning nazariy natijasi ko‘rsatilgan farazlar ostida yopiq kontur signallarining semi-globally uniformly ultimately bounded (SGUUB) qolishi va kuzatish xatosining oldindan belgilangan funnel chegarasi ichida ushlab turilishidir. Bu natija fizik tajriba bilan emas, elektromexanik tizimning raqamli simulyatsiyasi bilan ko‘rsatilgan.

Funnel control yondashuvining maqsadi faqat kuzatish xatosini kichraytirish emas. Tizim uchun vaqt o‘tishi bilan torayadigan ruxsat etilgan xato sohasi oldindan belgilanadi va controller xato trayektoriyasining shu chegaradan chiqmasligini maqsad qiladi. Ishda funnel chegarasi:

\[ F_\psi(t)=(\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

ko‘rinishida berilgan. Simulyatsiyada \(\beta_0=3\), \(\beta_\infty=0,15\) va \(\alpha=0,3\) tanlangani uchun ruxsat etilgan xato chegarasi boshida 3 darajadan boshlanadi va vaqt o‘tishi bilan 0,15 ga yaqinlashadi.

Kirish kechikishi uchun manba birinchi tartibli Padé approximation ishlatadi. Bu operatsiya o‘tmishdagi haqiqiy kechiktirilgan boshqaruv signalini to‘g‘ridan-to‘g‘ri backstepping dizaynida ishlatish o‘rniga tizimga yordamchi \(\eta_{n+1}\) o‘zgaruvchisini qo‘shib, kechikishning taxminiy dinamikasini holat modeliga ko‘chiradi. Mualliflar yuqori tartibli Padé yaqinlashuvi nazariy jihatdan batafsilroq delay representation berishini, biroq tizim tartibini va Lyapunov tahlili murakkabligini oshirishini aytib, birinchi tartibli yondashuvni tanlaydi.

Aktuator nosozligi ikki qismga ajratiladi. \(\gamma(t)\) aktuator boshqaruv buyrug‘ini qanchalik samarali bajara olishini ko‘rsatuvchi multiplicative effectiveness factor, \(\zeta(t)\) esa controller bevosita boshqara olmaydigan additive fault hadidir:

\[ u(v(t))=\gamma(t)v+\zeta(t) \]

Nazariy tahlilda:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1 \]

va:

\[ |\zeta(t)|\leq\zeta_{\max} \]

farazlari qo‘llanadi. Shuning uchun usul boshqaruv vakolatini butunlay yo‘qotgan aktuatorni qamrab olmaydi; \(\gamma_{\min}\) musbat bo‘lishi kerak.

Raqamli misolda uch holatli elektromexanik tizim ishlatilgan va referens:

\[ y_d(t)=\sin(t) \]

deb tanlangan. Kirish kechikishi 1,5 s. Aktuator nosozligi dastlabki 10 sekundda yo‘q; \(t\geq10\) bo‘lganda aktuator samaradorligi:

\[ \gamma(t)=0,4+0,6e^{-0,2t} \]

shaklida kamaytiriladi. Bu funksiya uzoq vaqt ichida 0,4 ga yaqinlashadi; ya’ni modelda aktuator boshqaruv vakolatining katta qismi yo‘qolsa-da, u mutlaqo nolga tushmaydi.

3–7-rasmlarda simulyatsiya chiqishi referensni yaqindan kuzatadi, tracking error manbada belgilangan funnel ichida qoladi va holat hamda adaptive-law o‘zgaruvchilari cheklangan xulq ko‘rsatadi. Parametr sezgirligi tahlilida manbada “Case 3” deb atalgan yuqoriroq gain-li sozlama 1-jadvalda eng kichik MSE va RMSE bilan eng yuqori xabar qilingan BFR qiymatini beradi: MSE 0,0018, RMSE 0,0424 va manba jadvaliga ko‘ra BFR %98,75. Ammo BFR va MAE ustunlarida manba formulalari bilan jadval qiymatlari o‘rtasida ichki nomuvofiqlik borligi sababli bu ikki metrik ehtiyotkorlik bilan talqin qilinishi kerak.

8-rasmda taklif etilgan boshqaruv usuli boshqa bir ishga nisbat berilgan egri bilan solishtiriladi va taklif etilgan usul tracking error bo‘yicha kichik yaxshilanish bergani aytiladi. Biroq ishning [40] raqamli manbasini izohlaydigan matn bilan adabiyotlar ro‘yxatidagi [40] sarlavhasi mos kelmagani uchun bu grafik kuchli mustaqil benchmark sifatida baholanmasligi kerak. Ikki usul uchun bir xil jadvalda MSE, RMSE, settling time yoki control effort qiymatlari ham berilmagan.

Turkiya nuqtayi nazaridan baholash: Tadqiqot ko‘tarayotgan muammo Turkiyada servo tizimlar, robot manipulyatorlar, elektr yuritmalar, aviatsiya boshqaruvi, ishlab chiqarish avtomatlashtirish va tarmoq orqali boshqariladigan elektromexanik tizimlar uchun metodologik jihatdan muhim. Ayniqsa aktuator samaradorligi pasayishi va boshqaruv signalining kechikishi bir vaqtda mavjud bo‘lgan tizimlarda xato chegarasini oldindan belgilash tadqiqotga arzigulik yondashuvdir. Ammo mavjud natijalar real motor, real sensor, tarmoq uskunasi yoki embedded controller ustida tasdiqlanmagan. Amaliyotga o‘tishdan oldin real-time processor load, actuator saturation, sensor noise, o‘zgaruvchan kechikish, modeldan tashqari dinamikalar va fizik fault-injection testlari alohida tekshirilishi kerak.

Tadqiqot hal qilmoqchi bo‘lgan muammo nima?

Chiziqli bo‘lmagan boshqaruv tizimlarida uchta muammo bir vaqtda yuzaga kelishi mumkin: tizimning ayrim dinamik funksiyalari to‘liq ma’lum bo‘lmasligi, aktuator nominal buyruqni to‘liq bajarmasligi va boshqaruv buyrug‘i tizimga kechikib yetib borishi. Bu uch ta’sir birga bo‘lganda faqat nominal modelga ko‘ra loyihalangan feedback controller kuzatish aniqligini yo‘qotishi mumkin.

Ish bu muammoga to‘rtinchi maqsadni ham qo‘shadi: tracking error faqat asimptotik kichraymasligi, balki transient rejimda ham oldindan belgilangan chegaradan tashqariga chiqmasligi kerak. Shu sababli adaptive fuzzy control, fault-tolerant control, input-delay compensation va funnel control bitta backstepping tuzilmasi ostida birlashtiriladi.

Nonstrict-feedback tizim qanday modellashtiriladi?

Manbaning umumiy tizimi:

\[ \begin{cases} \dot{\eta}_i=\phi_i(\eta)+\eta_{i+1}+p_i(t), & 1\leq i\leq n-1,\\ \dot{\eta}_n=\phi_n(\eta)+u(v(t-\tau))+p_n(t),\\ y=\eta_1 \end{cases} \]

ko‘rinishidadir.

\(\eta=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T\) holat vektori. \(\phi_i(\eta)\) aniq shakli noma’lum nonlinear funksiyalarni, \(p_i(t)\) cheklangan tashqi buzilishlarni, \(v(t)\) boshqaruv buyrug‘ini, \(u(v(t-\tau))\) esa aktuator nosozligi va kirish kechikishidan keyin tizimga yetib kelgan boshqaruv ta’sirini bildiradi.

Tashqi buzilishlar uchun:

\[ |p_i(t)|\leq\bar p_i \]

farazi qo‘llanadi. Shuning uchun Lyapunov tahlili cheksiz buzilishlar uchun emas, yuqori chegarasi chekli bo‘lgan disturbance sinfi uchun qurilgan.

Kirish kechikishi qanday ko‘rib chiqiladi?

Sof kechikish Laplace sohasida:

\[ e^{-\kappa s} \]

bilan ifodalanadi. Manba Denklem (2) da birinchi tartibli Padé approximation ni quyidagicha yozadi:

\[ \mathcal{L}\{u(v(t-\kappa))\} = e^{-\kappa s}\mathcal{L}\{u(v(t))\} \approx \frac{1-\kappa s/2} {1+\tau s/2} \mathcal{L}\{u(v(t))\} \]

Manba ichidagi notatsion chegara: shu tenglamada kechikish ham \(\kappa\), ham \(\tau\) bilan ko‘rinadi. Keyingi Denklem (3) da maxraj yana \(\kappa\) bilan yoziladi. Shu sababli formula Verianla matnida jimjit holda standart Padé ko‘rinishiga tuzatilmagan.

Yordamchi kechikish o‘zgaruvchisi nimaga xizmat qiladi?

Manba \(\eta_{n+1}\) nomli yordamchi o‘zgaruvchini belgilaydi va kechikishning taxminiy ta’sirini differensial tenglama shaklida tizimga kiritadi:

\[ \dot{\eta}_{n+1} = \frac{4}{\kappa}u(v(t)) - \frac{2}{\kappa}\eta_{n+1} = 2\rho u(v(t))-\rho\eta_{n+1} \]

Bu o‘zgaruvchi asosiy fizik tizim holatlaridan biri emas, balki input-delay compensation uchun ishlatiladigan oraliq holatdir.

Notatsiya eslatmasi: Manba bu o‘zgartirishdan oldin \(\rho=2/t_d\) deb yozadi; \(t_d\) oldin ta’riflanmagan. Shu satrdagi \(\kappa\) bilan \(t_d\) munosabati aniq berilmaydi.

Aktuator nosozligi qanday modellashtiriladi?

Aktuator chiqishi:

\[ u(v(t)) = \gamma(t)v+\zeta(t) \]

bilan modellashtiriladi.

• \(\gamma(t)\): aktuator samaradorlik omili; nominal holatda 1 ga yaqin, nosozlikda kichikroq bo‘lishi mumkin.
• \(\zeta(t)\): controllerdan mustaqil qo‘shiluvchi nosozlik hadi.
• \(v\): loyihalangan haqiqiy boshqaruv buyrug‘i.

Asosiy faraz \(\gamma(t)\) nolga tushmasligidir:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1,\qquad \gamma_{\min}>0 \]

Bu faraz controllerning aktuator ustida har doim kamida ma’lum boshqaruv vakolatiga ega bo‘lishini talab qiladi.

Funnel control nimani farqli qiladi?

Klassik kuzatish muammosi faqat:

\[ e_1(t)=y(t)-y_d(t) \]

xatosini kamaytirishga qaratilishi mumkin. Funnel control esa xatoning ruxsat etilgan chegarasini vaqt funksiyasi sifatida oldindan belgilaydi:

\[ |e_1(t)|<F_\psi(t) \]

va:

\[ F_\psi(t) = (\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

dan foydalanadi.

\(\beta_0\) boshlang‘ich xato chegarasini, \(\beta_\infty\) uzoq muddatli ruxsat etilgan chegarani va \(\alpha\) funnel qanchalik tez torayishini belgilaydi.

Yangi funnel xato transformatsiyasi

Manba oldingi ishdagi modul/absolute value o‘z ichiga olgan funnel o‘zgaruvchisi \(e_1=0\) nuqtada differentiability muammosi yaratishini aytib:

\[ \xi_1 = \frac{e_1} {\sqrt{F_\psi^2-e_1^2}} \]

transformatsiyasini qo‘llaydi.

Hosilasi:

\[ \dot{\xi}_1 = \Upsilon_1 \left( \dot{\eta}_1 - \dot y_d - \frac{e_1\dot F_\psi}{F_\psi} \right) \]

va:

\[ \Upsilon_1 = \frac{F_\psi^2} {(F_\psi^2-e_1^2)^{3/2}} \]

ko‘rinishida berilgan.

Bu transformatsiyada \(e_1\) funnel chegarasiga yaqinlashganda maxraj kichrayadi va \(\xi_1\) kattaligi oshadi. Manba keyin Lyapunov tahlili orqali haqiqiy tracking error uchun \(F_\psi\) dan kichikroq yuqori chegara chiqarishga urinadi.

Funnel transformatsiyasining matematik chegarasi

Manbaning Remark 2 izohida faqat \(|e_1|<F_\psi\) shartidan kelib chiqib maxraj “chegaraga yaqinlashmaydi” degan kuchli ifoda bor. Lekin oddiy strict inequality \(F_\psi^2-e_1^2\) nolga nisbatan uniform ajralganini o‘zi ko‘rsatmaydi; \(e_1\) chegara ichidan unga istalgancha yaqinlashishi mumkin.

Maqolaning keyingi Lyapunov natijasi esa:

\[ |e_1| \leq \sqrt{ \frac{ 2V(0)+2d_0/c_0 }{ 1+2V(0)+2d_0/c_0 } } |F_\psi| < |F_\psi| \]

ko‘rinishida qat’iyroq relative bound beradi. Demak transformatsiya xavfsizligini talqin qilishda faqat Remark 2 dagi strict inequality emas, shu keyingi boundedness natijasi ham hisobga olinishi kerak.

Noaniq mantiq tizimlari nima uchun ishlatiladi?

Controller \(\phi_i(\eta)\) kabi noma’lum nonlinear funksiyalarning to‘liq analitik ko‘rinishini bilmagani uchun manba Fuzzy Logic Systems universal approximation xususiyatidan foydalanadi.

Umumiy fuzzy chiqish:

\[ y(X) = \frac{ \sum_{l=1}^{g} W_l \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) }{ \sum_{l=1}^{g} \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) } \]

ko‘rinishidadir.

Normalize fuzzy basis function ishlatilganda tuzilma:

\[ y(X)=W^TP(X) \]

shaklida ixcham bo‘ladi.

Manba uzluksiz noma’lum funksiya uchun mos parametrlar bilan:

\[ \sup_{X\in\Omega} |\phi(X)-\theta^TP(X)| \leq\epsilon \]

shaklidagi bounded approximation errorni qabul qiladi.

Backstepping tuzilmasi qanday quriladi?

Koordinata o‘zgarishida birinchi xato o‘zgaruvchisi funnel transformatsiyasidir:

\[ z_1=\xi_1 \]

keyingi qatlamlarda:

\[ z_i=\eta_i-\alpha_{i-1}, \qquad i=2,\ldots,n \]

ishlatiladi.

\(\alpha_i\) oraliq backstepping qatlamlarining virtual control signal-laridir. Har qadamda mavjud Lyapunov funksiyasiga yangi \(z_i^2/2\) hadi va fuzzy parameter estimation error hadi qo‘shiladi.

Birinchi qatlamdagi Lyapunov funksiyasi

Manba:

\[ V_1 = \frac{1}{2}\xi_1^2 + \frac{1}{2\varsigma_1} \tilde\omega_1^2 \]

funksiyasidan foydalanadi.

\(\tilde\omega_1=\omega_1-\hat\omega_1\) noma’lum fuzzy og‘irlik kattaligi bilan online baho o‘rtasidagi farqni bildiradi.

Moslashuv qonuni umumiy tarzda tracking/backstepping xato kattaligi va fuzzy basis activityga bog‘liq holda \(\hat\omega_i\) ni yangilaydi; shuningdek \(-\vartheta_i\hat\omega_i\) leakagega o‘xshash had bilan bahoning cheksiz o‘sishini to‘sishga qaratilgan.

Haqiqiy boshqaruv qonuni

So‘nggi backstepping qadamida manba haqiqiy boshqaruv buyrug‘ini:

\[ v = -k_nz_n -z_{n-1} - \frac{1}{2a_n^2} z_n\hat\omega_n P_n^T(Z_n)P_n(Z_n) \]

ko‘rinishida beradi.

Tuzilmaning birinchi hadi so‘nggi tracking/backstepping xatosini bostiradi, ikkinchi had oldingi qatlam bilan bog‘lanishni bekor qilishga yordam beradi, uchinchi had esa noma’lum nonlinear funksiyaning fuzzy approximation ta’sirini kompensatsiya qilishni maqsad qiladi.

SGUUB nimani anglatadi?

Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded natijasi mos boshlang‘ich soha va controller parameters ostida yopiq kontur o‘zgaruvchilari cheksiz o‘smasligini va oxir-oqibat kattaligi noaniqliklar hamda gainlarga bog‘liq chekli sohaga kirishini bildiradi.

Manbaning asosiy Lyapunov tengsizligi:

\[ \dot V_n \leq -c_0V_n+d_0 \]

ko‘rinishidadir.

Bu yerdan:

\[ 0\leq V_n(t) \leq \left( V(0)-\frac{d_0}{c_0} \right)e^{-c_0t} + \frac{d_0}{c_0} \]

hosil bo‘ladi.

\(d_0/c_0\) ultimate bound kattaligini belgilaydi. Manbaga ko‘ra fuzzy approximation error, actuator fault, external disturbance va Padé approximation error bu boundni kattalashtira oladigan noaniqlik manbalaridir.

Lyapunov chiqarilishidagi muhim ishora muammosi

Manbaning nashr qilingan Denklem (60) da:

\[ -k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

manfiy so‘ndiruvchi had sifatida ko‘rinadi.

Biroq darhol keyingi Denklem (62) ga o‘tishning birinchi satrida ayni had:

\[ +k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

musbat ishora bilan yozilgan. Keyin shunga qaramay:

\[ \dot V_n\leq-c_0V_n+d_0 \]

xulosasiga o‘tiladi.

Ko‘rsatilgan shaklda musbat quadratic had bevosita negative-definite boundga aylantirilmaydi. Shuning uchun manbada katta ehtimol bilan ishora yoki terish xatosi bor; ammo ish jimjit holda tuzatilmasdan bu nomuvofiqlik ochiq ko‘rsatilishi kerak.

Denklem (60) dagi ikkinchi notatsiya muammosi

Ayni tenglamada birinchi xato hadi:

\[ -k_n\xi_n^2 \]

deb yozilgan. Boshqaruv dizaynida maxsus funnel o‘zgaruvchisi \(\xi_1\) belgilanadi, oraliq qatlamlar esa \(z_i\) bilan ko‘rsatiladi. \(\xi_n\) uchun alohida ta’rif berilmagani sababli bu ifoda chiqarish zanjiri bilan bevosita mos emas.

Elektromexanik misol qaysi tizimdan foydalanadi?

Manba amaliy model sifatida mexanik aylanish harakati bilan elektr zanjiri bog‘langan elektromexanik tizimdan foydalanadi:

\[ M\ddot q+B\dot q+N\sin(q)=\tau \]

\[ L\dot I=V_0-RI-K_\tau\dot q \]

Bu yerda \(q\) mexanik holat, \(M\) mexanik parametr, \(B\) damping, \(N\sin q\) nonlinear restoring term, \(\tau\) moment, \(L\) induktivlik, \(R\) qarshilik va \(V_0\) elektr kuchlanish hadidir.

Keyin manba:

\[ \eta_1=q,\qquad \eta_2=\dot q,\qquad \eta_3=\tau \]

o‘zgaruvchilari orqali tizimni uchinchi tartibli nonstrict-feedback shakliga aylantiradi.

Simulyatsiyadagi tashqi buzilishlar

Uch holat tenglamasiga quyidagi bounded disturbance signallari qo‘shiladi:

\[ p_1(t)=0,2\cos(t) \]

\[ p_2(t)=\cos(0,5t) \]

\[ p_3(t)=0,2\sin(t) \]

Shu sababli controller faqat actuator fault va input delay bilan emas, vaqt bo‘yicha uzluksiz o‘zgaruvchi tashqi buzilishlar bilan ham simulyatsiya qilinadi.

Kirish kechikishi qancha?

Simulyatsiyada:

\[ \kappa=1,5\ \text{s} \]

ishlatilgan. Bu qiymat doimiy. Demak ish o‘zgaruvchan, noma’lum yoki stochastic communication delay ssenariysini tasdiqlamaydi.

Aktuator nosozligi qachon boshlanadi?

Manbada:

\[ u(v)= \begin{cases} v, & t<10,\\ (0,4+0,6e^{-0,2t})v+\cos^2(x_1)x_2, &t\geq10 \end{cases} \]

ishlatiladi.

Dastlabki 10 sekund aktuator nominal. Keyin multiplicative effectiveness factor kamayadi va qo‘shimcha nonlinear additive fault ishga tushadi.

Manba notatsiyasi: umumiy modelda \(\eta_1,\eta_2\) ishlatilgan bo‘lsa ham, bu tenglamada \(x_1,x_2\) belgilariga o‘tiladi. Manba ularni qayta ta’riflamaydi.

Fuzzy membership functions qanday qurilgan?

Har bir holat o‘zgaruvchisi uchun \([-2,2]\) oralig‘ida oltita Gaussian membership function belgilangan. Markazlar:

• −2,
• −1,5,
• −0,5,
• 0,5,
• 1,5,
• 2

deb tanlangan.

Masalan birinchi membership function:

\[ \mu_{F_j^1}(X) = \exp \left( -\frac{(X+2)^2}{2} \right) \]

ko‘rinishida. Boshqalari shu Gaussian tuzilmaning turli markazlarga siljitilgan shakllaridir.

Nominal controller parameters

Mualliflar bu qiymatlar trial-and-error usuli bilan tanlanganini bildiradi. Demak nominal tuning global optimum qidiruvi yoki avtomatik gain optimization natijasi emas.

Boshlang‘ich shartlar

Holat boshlang‘ichlari:

\[ [\eta_1(0),\eta_2(0),\eta_3(0)]^T = [0,5,\ 0,5,\ 0,5]^T \]

va fuzzy parameter estimates:

\[ [\hat\omega_1(0),\hat\omega_2(0),\hat\omega_3(0)]^T = [0,\ 0,\ 0]^T \]

deb tanlangan.

3-rasm nimani ko‘rsatadi?

3-rasmda tizim chiqishi \(y\) va sinusoidal referens \(y_d\) birga ko‘rsatiladi. Manba transient davrdan keyin ikki egri bir-birini yaqindan kuzatishini muvaffaqiyatli tracking behavior sifatida talqin qiladi.

Bu grafik fizik sensor o‘lchovi emas, raqamli model chiqishidir.

4-rasmdagi funnel natijasi

4-rasm tracking error \(e_1\) va funnel chegarasini vaqt o‘qida ko‘rsatadi. Manbaning asosiy da’vosi xato egri chizig‘i simulyatsiya davomida oldindan belgilangan chegaraning ichida qolganidir.

Bu grafik funnel-control maqsadi ko‘rilgan misol uchun bajarilganini qo‘llab-quvvatlaydi. Ammo bitta parametrik model simulyatsiyasi barcha nonstrict-feedback tizimlar uchun saha kafolati emas.

5–7-rasmlar nimani ko‘rsatadi?

5-rasm oraliq holat o‘zgaruvchilari \(\eta_2\) va \(\eta_3\) ni; 6-rasm system input \(u\) va kechiktirilgan control input \(v(t-\kappa)\) ni; 7-rasm esa \(\hat\omega_1\), \(\hat\omega_2\) va \(\hat\omega_3\) adaptive-law trajectories ni ko‘rsatadi.

Manba bu egri chiziqlarning chekli qolishini SGUUB nazariy natijasi bilan mos raqamli xulq deb baholaydi. Ayniqsa input grafigida vaqtincha katta boshqaruv qiymatlari ko‘rinishi tracking performanceni control effort xarajatidan mustaqil baholamaslik kerakligini ham ko‘rsatadi.

Parametr sezgirligi tahlili qanday qilindi?

Boshlang‘ich shartlar o‘zgartirilmasdan uch xil controller-parameter seti ishlatilgan.

Yuqori gain-li Case 3 manba jadvalida xatoga asoslangan metrikalarda eng kichik qiymatlarni beradi. Manbaning Remark 4 izohi ham kattaroq ayrim gainlar tracking errorni kamaytirishi, lekin control-energy demandni oshirishi mumkinligini bildiradi.

1-jadvalning miqdoriy natijalari

MSE, RMSE, SSE va NMSE ustunlari Case 1 dan Case 3 ga qarab kichikroq tracking error ko‘rsatadigan izchil tartibni beradi. Ammo MAE va BFR uchun quyida tushuntirilgan manba ichki matematik muammolari sababli bu ikki ustun bir xil ishonch bilan talqin qilinmasligi kerak.

MAE ta’rifidagi manba ichki muammo

Manba Denklem (73) da:

\[ MAE = \max_{1\leq t\leq N} |y(t)-y_r(t)| \]

ta’rifini beradi.

Bu formula standart “mean absolute error” emas, maximum absolute error ta’rifidir.

Bundan ham muhimi, 1-jadvalda har bir senariyda MAE yorlig‘i ostidagi son RMSE dan kichik. Maksimum mutlaq xatoning RMS xatodan kichik bo‘lishi matematik jihatdan mumkin emas. Demak ishda MAE formulasi, MAE yorlig‘i yoki jadval hisobi o‘rtasida hal qilinmagan nomuvofiqlik mavjud.

BFR bilan NMSE nega mos kelmaydi?

Manbaning Denklem (78) i:

\[ BFR = \left( 1- \frac{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y(t)-y_r(t))^2} }{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y_r(t)-\bar y_r)^2} } \right) \times100\% \]

ko‘rinishidadir.

Ayni surat va maxraj nisbatining kvadrati Denklem (77) da NMSE sifatida berilgani uchun nashr qilingan formulalar birga ishlatilganda:

\[ BFR=100(1-\sqrt{NMSE}) \]

bog‘lanishi yuzaga keladi.

1-jadvalning NMSE qiymatlari bu formulaga qo‘yilganda jadvaldagi BFR qiymatlari chiqmaydi. Manba qaysi qo‘shimcha normallashtirish ishlatilganini izohlamaydi. Shuning uchun BFR ustuni aynan berilishi, lekin formula bilan to‘liq mos tasdiqlangan metrik sifatida ishlatilmasligi kerak.

8-rasmdagi usul solishtiruvi

8-rasm taklif etilgan usul bilan manbada [40] deb ko‘rsatilgan boshqa bir usulning tracking-error trajectories ni bir grafikda ko‘rsatadi. Egri chiziqlar juda yaqin va tadqiqotchilar taklif etilgan usul yengil yaxshilanish berganini aytadi.

Biroq maqolaning comparative-results matni [40] input delay ni qamrab oladi, ammo funnel control ishlatmaydi deb aytsa, adabiyotlar ro‘yxatidagi [40] sarlavhasida ochiq “funnel dynamic surface control” iborasi bor va input delay sarlavhada ko‘rinmaydi.

Shu sababli 8-rasm kuchli “proposed method versus correctly matched input-delay baseline” dalili sifatida taqdim etilmasligi kerak. Ishning o‘zida solishtirilgan referens usul xususiyatlari ta’rifida nomuvofiqlik mavjud.

2-jadval nimani solishtiradi?

2-jadval performance raqamlarini emas, usullar qaysi xususiyatlarni qamrab olishini sifat jihatdan solishtiradi.

Bu jadval “proposed controller pastroq RMSE ishlab chiqardi” turidagi performance benchmark emas. U faqat usullar qamrovining mualliflar tomonidan berilgan sifat tasnifini ko‘rsatadi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlaydigan natijalar

• Aktuator samaradorligi yo‘qolishi, additive actuator fault va doimiy input delay bitta adaptive-control modeliga kiritilgan.
• Noma’lum nonlinear funksiyalar uchun fuzzy logic approximation ishlatilgan.
• Tracking error uchun vaqt o‘tishi bilan torayadigan funnel chegarasi belgilangan.
• Backstepping asosidagi virtual-control va real-control qonunlari chiqarilgan.
• Manba ko‘rsatilgan assumptions ostida closed-loop signallar uchun SGUUB natijasini chiqarishni maqsad qiladi.
• Elektromexanik tizim simulyatsiyasida tracking error belgilangan funnel ichida qolgan.
• Aktuator fault \(t=10\) sekundda ishga tushgan va input delay 1,5 s bo‘lgan simulyatsiyada referens kuzatish saqlangan.
• Uch parameter seti orasida Case 3 nashr qilingan MSE, RMSE, SSE va NMSE qiymatlarida eng kichik xatolarni bergan.
• Manba usulni actuator faults, input delay, funnel control va nonstrict-feedback xususiyatlarini bitta frameworkda qamrab oluvchi tuzilma sifatida joylashtiradi.

Tadqiqot qo‘llab-quvvatlamaydigan yoki isbotlamaydigan natijalar

• Controller real elektromexanik apparatda ishlagani ko‘rsatilmagan.
• Real aktuator nosozligi fizik tarzda kiritilmagan.
• Real network latency yoki communication delay o‘lchovi qilinmagan.
• Kirish kechikishi o‘zgaruvchan yoki stochastic bo‘lgan ssenariylar tasdiqlanmagan.
• To‘liq aktuator yo‘qolishi \(\gamma=0\) qamrab olinmaydi.
• Actuator saturation yoki rate limit aniq boshqaruv dizayniga kiritilmagan.
• Fuzzy-rule soni va embedded processor ustida real execution time o‘lchanmagan.
• Uch gain setidan tashqari keng global sensitivity yoki Monte Carlo robustness tahlili qilinmagan.
• 8-rasm solishtiruvi usulning [40] ga nisbatan miqdoriy ustunlik foizini ko‘rsatmaydi.
• 1-jadvaldagi MAE va BFR qiymatlarining nashr qilingan formulalar bilan to‘liq matematik mosligi ko‘rsatib bo‘lmaydi.
• Lyapunov chiqarilishidagi nashr qilingan ishora/notatsiya muammolari yechilmaguncha isbot zanjirining barcha algebraik qadamlari to‘liq deyilmaydi.
• “Real-world example” iborasi fizik saha yoki laboratoriya tasdig‘i degani emas.

Tadqiqot usuli va natijalari

Moslashuvchan noaniq funnel boshqaruv zanjiri

Simulyatsiya shartlari qisqacha

Controller-parameter sensitivity natijalari

Nashr qilingan to‘rtta mos xato metrikasida Case 3 eng past, Case 1 eng yuqori xatoni beradi. Bu natija controller gainlari tracking performancega sezilarli ta’sir qilishini ko‘rsatadi; biroq control-energy trade-off uchun alohida miqdoriy energiya jadvali berilmagani sababli “Case 3 hamma jihatdan eng yaxshi controller” degan xulosa chiqarilmaydi.

Manbada berilgan barcha 1-jadval metriklari

Ilmiy ogohlantirish: MAE va BFR raqamlari manba jadvalidan aynan olingan; ammo yuqorida bayon qilingan formula–jadval nomuvofiqliklari sababli qayta hisoblangan yoki “tasdiqlangan” qiymatlar sifatida taqdim etilmaydi.

Dalil darajalarini ajratish

Tadqiqotning kuchli tomonlari

• Actuator fault bilan input delayni bitta adaptive fuzzy-control muammosida ko‘rib chiqadi.
• Transient tracking behaviorni faqat error minimization o‘rniga predefined funnel bilan chegaralaydi.
• Unknown nonlinear functions uchun FLS approximation ishlatadi.
• Backstepping dizaynini butun tizim tartibi bo‘ylab ochiq chiqaradi.
• Multiplicative effectiveness loss va additive actuator faultni alohida o‘zgaruvchilar bilan ifodalaydi.
• External disturbancesni boshqaruv nazariyasiga kiritadi.
• Parameter sensitivity uchun bitta nominal sozlama bilan cheklanmay, uch gain setini beradi.
• MSE, RMSE, SSE va NMSE kabi miqdoriy simulyatsiya metriklarini xabar qiladi.
• Funnel chegarasi va tracking errorni vaqt sohasida birga ko‘rsatadi.

Asosiy metodologik va manba ichki cheklovlar

• Fizik tajriba yo‘q.
• Birinchi tartibli Padé approximation kechikishning taxminiy ifodasidir.
• Padé tenglamalarida \(\kappa\), \(\tau\) va \(t_d\) notatsiyasi izchil ishlatilmagan.
• Aktuator butunlay ta’sirsiz bo‘lolmaydi; \(\gamma_{\min}>0\) faraz qilinadi.
• Actuator saturation va rate constraints modellashtirilmagan.
• Lyapunov chiqarilishida Denklem (60)–(62) o‘rtasida ishora/notatsiya muammosi bor.
• Simulyatsiya control lawida nazariy tenglamalar bilan notatsiya/ishora farqlari bor.
• Aktuator fault misolida \(x_1,x_2\) belgilar izohsiz ishlatilgan.
• MAE formulasi bilan 1-jadval qiymatlari matematik jihatdan mos kelmaydi.
• BFR formulasi bilan NMSE/BFR jadval qiymatlari mos kelmaydi.
• Ref. [40] solishtirish izohi ayni ish bibliografiyasidagi sarlavha bilan zid.
• Parameter sensitivity faqat uch tanlangan controller settingni o‘z ichiga oladi.
• Control effort uchun miqdoriy jami energiya yoki RMS energiya solishtirish jadvali berilmagan.
• Real-time computational complexity o‘lchanmagan.
• Variable delay, sensor fault va cyber-physical communication constraints kelajak ish sifatida qoldirilgan.

Manba va metod eslatmasi

To‘liq asl tadqiqot nomi: Adaptive Tracking Control of Nonstrict-Feedback Nonlinear Systems with Actuator Faults and Input Delay via a Fuzzy Funnel Approach

Mualliflar: Abdelwaheb Mhemdi, Mohamed Kharrat, Ameni Gargouri va Paolo Mercorelli.

Mualliflar tartibi: 1. Abdelwaheb Mhemdi; 2. Mohamed Kharrat; 3. Ameni Gargouri; 4. Paolo Mercorelli.

Mas’ul muallif: Paolo Mercorelli.

Teng hissa/teng birinchi mualliflik: Manbada bunday bayonot yo‘q.

Muassasalar:

1. Mathematics Department, College of Sciences and Humanities, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj, Riyadh, Saudi Arabia.
2. Laboratory of Probability and Statistics LR18ES28, Faculty of Sciences, Sfax University, Sfax, Tunisia.
3. Institute for Production Technology and Systems, Leuphana University of Lueneburg, Germany.

Jurnal: Actuators.

Nashriyot: MDPI, Basel, Switzerland.

Bibliografik ma’lumot: Actuators 2026, 15(7), 384.

DOI:10.3390/act15070384

Rasmiy nashr havolasi:MDPI – Actuators 15(7), 384

Nashr sanasi: 8 iyul 2026. Ish 14 iyun 2026 da olingan, 5 iyul 2026 da qayta ko‘rilgan va 6 iyul 2026 da qabul qilingan.

Manba turi va peer-review holati: Actuators jurnalida chop etilgan hakamli tadqiqot maqolasi. Metodologik tasdiq analitik stability tahlili va raqamli elektromexanik tizim simulyatsiyasiga tayanadi.

Litsenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Akademik muharrir: Giorgio Olmi.

Moliyalashtirish: Tadqiqot Prince Sattam bin Abdulaziz University tomonidan PSAU/2025/01/33516 loyiha raqami doirasida qo‘llab-quvvatlangan.

Etika kengashi: Qo‘llanilmaydi.

Xabardor rozilik: Qo‘llanilmaydi.

Ma’lumotlar mavjudligi: Manba ma’lumotlar maqola ichida ekanini; qo‘shimcha savollar mas’ul muallifga yo‘naltirilishi mumkinligini bildiradi.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Mualliflar manfaatlar to‘qnashuvi yo‘qligini bayon qilgan.

Muallif hissalari: Abdelwaheb Mhemdi tadqiqot, metodologiya va ko‘rib chiqish/tahrir; Mohamed Kharrat tadqiqot, tasdiqlash va birinchi qoralama; Ameni Gargouri ko‘rib chiqish/tahrir; Paolo Mercorelli maslahat, konseptualizatsiya va ko‘rib chiqish/tahrir rollarini bajargan.

Ilmiy qamrov: Ish nonstrict-feedback nonlinear systems uchun fuzzy logic approximation, adaptive backstepping, funnel transformation, actuator-fault accommodation va Padé input-delay approximation komponentlarini bir control framework ichida birlashtiradi.

Tasdiqlash turi: Annotatsiya va xulosa bo‘limida “real-world example” iborasi ishlatilsa-da, 4-bo‘lim “Simulation Results” sarlavhasi ostida. Elektromexanik tizim fizik tajriba qurilmasi sifatida o‘rnatilmagan; matematik modelda simulyatsiya qilingan. Shuning uchun ish real saha yoki laboratoriya tasdig‘i sifatida ko‘rsatilmasligi kerak.

Padé notatsiya chegarasi: Denklem (2) da \(e^{-\kappa s}\) kechikishi uchun Padé ifodasining suratida \(\kappa\), maxrajida \(\tau\) ishlatiladi. Denklem (3) da yana \(\kappa\) ishlatiladi. Keyin \(\rho=2/t_d\) aniqlanganda \(t_d\) oldin tushuntirilmagan. Manba bu notatsiyalarni muvofiqlashtirmaydi.

Funnel transformatsiyasi chegarasi: Manba \(|e_1|<F_\psi\) sharti transformatsiya maxrajining musbat qolishini ta’minlaydi deydi. Oddiy strict inequality maxraj chegaradan uniform ajralganini ko‘rsatmasa ham, keyingi Lyapunov natijasi \(e_1\) uchun \(F_\psi\) ning doimiy nisbati bilan chegara chiqaradi.

Lyapunov isboti eslatmasi: Denklem (60) da \(-k_n\gamma_{\min}z_n^2\) bo‘lgan had Denklem (62) ga o‘tishda \(+k_n\gamma_{\min}z_n^2\) ko‘rinadi. Ayni Denklem (60) da oldin ta’riflanmagan \(\xi_n\) belgisi ishlatiladi. Shunga qaramay manba \(\dot V_n\leq-c_0V_n+d_0\) natijasiga o‘tadi. Bu ishora/notatsiya muammosi jimjit tuzatilmagan.

Controller-denklem eslatmasi: Simulyatsiya uchun berilgan Denklem (72) dagi \(\alpha_1\) ifodasi nazariy chiqarishdagi avvalgi formula bilan ishora va belgi ishlatish jihatidan to‘liq mos kelmaydi. Manba bu o‘tishni alohida tushuntirmaydi.

Actuator-fault notatsiyasi: Denklem (70) da additive fault \(\cos^2(x_1)x_2\) shaklida berilgan; avvalgi modelda holatlar \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\) bilan ko‘rsatiladi. \(x_1,x_2\) alohida ta’riflanmagan.

MAE nomuvofiqligi: Denklem (73) MAE ni \(\max|y-y_r|\) deb ta’riflaydi. Bu maksimum mutlaq xato ta’rifi. 1-jadvaldagi “MAE” qiymatlari esa uch holatda ham RMSE qiymatlaridan kichik va shuning uchun nashr qilingan maksimum-xato formulasi bilan mos emas.

BFR nomuvofiqligi: Denklem (77) va Denklem (78) birga ishlatilganda \(BFR=100(1-\sqrt{NMSE})\) munosabati paydo bo‘ladi. 1-jadvalning nashr qilingan NMSE va BFR ustunlari bu munosabatni bajarmaydi. Manba boshqa hisoblash usuli yoki normallashtirishni izohlamaydi.

Solishtirish chegarasi: 8-rasm taklif etilgan usulni Ref. [40] bilan solishtiradi. Comparative-results matni Ref. [40] input delayni qamrab oladi, lekin funnel control ishlatmaydi deydi. Shu maqolaning adabiyot sarlavhasi esa Ref. [40] ni “Observer-based adaptive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknown control coefficients and hysteresis input” deb beradi. Shuning uchun baseline usul ta’rifida manba ichki ziddiyat bor.

Parameter-sensitivity chegarasi: Case 1–3 solishtiruvi uch tanlangan controller-parameter setidir. Bu keng stochastic uncertainty, Monte Carlo, global tuning yoki optimizer-based sensitivity campaign emas.

Hisoblash murakkabligi chegarasi: Manba usul matrix inversion yoki iterative online optimization talab qilmasligini va complexity fuzzy-rule hamda state soni bilan taxminan chiziqli o‘sishini ta’kidlaydi. Ammo real embedded processor ustida execution-time, memory yoki sampling-frequency benchmark taqdim etilmagan.

Kelajak ish: Mualliflar usulni stochastic nonlinear switched systems, actuator va sensor faults, communication constraints, event-triggered control va cyber–physical applications yo‘nalishlarida kengaytirishni taklif qiladi.

Ushbu Verianla mazmunidagi ilmiy metod, tenglamalar, simulyatsiya parametrlari, jadvallar, solishtirishlar va cheklovlar faqat ko‘rib chiqilgan ishga tayanadi. Tashqi manba faqat bibliografik nashr identifikatsiyasini tekshirish maqsadida ishlatilgan. Manbadagi matematik, notatsion va solishtirish nomuvofiqliklari jimjit tuzatilmagan.