Ин пажӯҳиш барои системаҳои nonstrict-feedback бо динамикаҳои ғайрихаттии номаълум, ки дар онҳо нуқсони актуатор ва таъхири доимии вуруд ҳамзамон мавҷуданд, равиши назорати мутобиқшавандаи норавшани funnel-ро барои нигоҳ доштани пайгирии истинод таҳия мекунад. Функсияҳои номаълум бо Fuzzy Logic Systems (FLS) тақриб карда мешаванд, таъхири вуруд бо approximation-и Padé дараҷаи якум ба системаи васеъшудаи бе таъхир табдил дода мешавад, коҳиши самаранокии актуатор ва аъзои additive fault мустақиман ба модели назорат ворид мегарданд ва контроллери асосёфта ба backstepping бо таҳлили Lyapunov санҷида мешавад. Натиҷаи назариявии кор ин аст, ки дар зери assumptions-и муайяншуда сигналҳои ҳалқаи баста semi-globally uniformly ultimately bounded (SGUUB) мемонанд ва tracking error дар дохили ҳудуди funnel-и пешакӣ муайяншуда нигоҳ дошта мешавад. Ин натиҷа на бо таҷрибаи физикӣ, балки бо симулятсияи ададии як системаи электромеханикӣ нишон дода шудааст.

Ҳадафи асосии funnel control танҳо хурд кардани tracking error нест. Барои система минтақаи хатои иҷозатдодашуда, ки бо вақт танг мешавад, пешакӣ муайян мегардад ва контроллер мекӯшад траекторияи хато аз ин ҳудуд берун наравад. Дар кор ҳудуди funnel чунин аст:

\[ F_\psi(t)=(\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

Дар симулятсия \(\beta_0=3\), \(\beta_\infty=0,15\) ва \(\alpha=0,3\) интихоб шудаанд; аз ин рӯ ҳудуди хатои иҷозатдодашуда дар оғоз аз сатҳи 3 сар мешавад ва бо гузашти вақт ба 0,15 наздик мегардад.

Барои таъхири вуруд манбаъ approximation-и Padé дараҷаи якумро истифода мебарад. Ин амал ба ҷои истифодаи мустақими сигнали ҳақиқии назорати таъхирёфта дар тарҳи backstepping, ба система тағйирёбандаи ёрирасони \(\eta_{n+1}\)-ро илова карда, динамикаи тақрибии таъхирро ба модели ҳолат интиқол медиҳад. Муаллифон мегӯянд, ки Padé-и дараҷаҳои баландтар метавонад аз ҷиҳати назариявӣ тасвири муфассалтари таъхир диҳад, аммо дараҷаи система ва мураккабии таҳлили Lyapunov-ро зиёд мекунад; бинобар ин дараҷаи якум интихоб шудааст.

Нуқсони актуатор ба ду ҷузъ ҷудо шудааст. \(\gamma(t)\) multiplicative effectiveness factor мебошад, ки нишон медиҳад актуатор фармони назоратро то чӣ андоза самаранок иҷро мекунад; \(\zeta(t)\) бошад additive fault аст, ки аз тарафи контроллер мустақим идора намешавад:

\[ u(v(t))=\gamma(t)v+\zeta(t) \]

Дар таҳлили назариявӣ assumptions-и зерин истифода мешаванд:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1 \]

ва:

\[ |\zeta(t)|\leq\zeta_{\max} \]

Аз ин рӯ, метод актуатореро, ки ваколати назоратии худро комилан аз даст додааст, фаро намегирад; \(\gamma_{\min}\) бояд мусбат бошад.

Дар мисоли ададӣ системаи электромеханикии сеҳолата истифода шуда, истинод:

\[ y_d(t)=\sin(t) \]

интихоб шудааст. Таъхири вуруд 1,5 s аст. Нуқсони актуатор дар 10 сонияи аввал вуҷуд надорад; ҳангоми \(t\geq10\) самаранокии актуатор чунин кам карда мешавад:

\[ \gamma(t)=0,4+0,6e^{-0,2t} \]

Ин функсия дар муддати дароз ба 0,4 наздик мешавад; яъне дар модел қисми муҳимми authority-и назоратии актуатор аз даст меравад, вале комилан сифр намешавад.

Дар Расмҳои 3–7 баромади симулятсия истинодро наздик пайгирӣ мекунад, tracking error дар funnel-и муайяншуда мемонад ва тағйирёбандаҳои ҳолат/adaptive-law рафтори маҳдуд нишон медиҳанд. Дар таҳлили ҳассосияти параметрҳо танзими gain-и баландтар, ки дар манбаъ “Case 3” номида шудааст, дар Ҷадвали 1 камтарин MSE ва RMSE ва баландтарин BFR-и гузоришшударо медиҳад: MSE 0,0018, RMSE 0,0424 ва мувофиқи ҷадвали манбаъ BFR %98,75 мебошад. Аммо дар сутунҳои BFR ва MAE байни формулаҳои манбаъ ва арзишҳои ҷадвал номутобиқии дохилӣ мавҷуд аст; аз ин рӯ ин ду метрик бояд бо эҳтиёт шарҳ дода шаванд.

Дар Расми 8 методи пешниҳодшуда бо каҷнамои нисбатдодашуда ба кори дигар муқоиса мешавад ва гуфта мешавад, ки методи пешниҳодшуда дар tracking error беҳбудии хурд медиҳад. Бо вуҷуди ин, матне, ки reference-и [40]-ро шарҳ медиҳад, бо унвони [40] дар рӯйхати манбаъҳо мувофиқат намекунад; бинобар ин ин график набояд ҳамчун benchmark-и мустақили қавӣ баррасӣ шавад. Барои ду метод дар як ҷадвал MSE, RMSE, settling time ё control effort низ пешниҳод нашудааст.

Арзёбӣ аз нигоҳи Туркия: Масъалаи баррасишуда барои servo systems, robotic manipulators, electric drive systems, aviation control, manufacturing automation ва системаҳои электромеханикии идорашаванда тавассути шабака дар Туркия аҳамияти методологӣ дорад. Пешакӣ муайян кардани ҳудуди хато дар системаҳо, ки дар онҳо коҳиши кори актуатор ва таъхири сигнали назорат ҳамзамон вуҷуд доранд, равиши арзандаи таҳқиқотӣ мебошад. Аммо натиҷаҳои мавҷуда дар мотор, sensor, таҷҳизоти шабакавӣ ё embedded controller-и воқеӣ тасдиқ нашудаанд. Пеш аз татбиқ бояд real-time processor load, actuator saturation, sensor noise, таъхири тағйирёбанда, динамикаҳои берун аз модел ва fault-injection testing-и физикӣ алоҳида санҷида шаванд.

Масъалаи асосии пажӯҳиш чист?

Дар системаҳои назорати ғайрихаттӣ се мушкил метавонад ҳамзамон пайдо шавад: баъзе функсияҳои динамикии система комилан маълум набошанд, актуатор фармони nominal-ро пурра иҷро накунад ва фармони назорат бо таъхир ба система расад. Вақте ин се таъсир якҷоя мешаванд, feedback controller-и танҳо бар асоси модели nominal тарҳрезишуда метавонад дақиқии пайгириро аз даст диҳад.

Кор ба ин масъала ҳадафи чорумро низ илова мекунад: tracking error набояд танҳо асимптотикӣ хурд шавад, балки дар transient regime низ аз ҳудуди пешакӣ муқарраршуда берун набарояд. Аз ин рӯ adaptive fuzzy control, fault-tolerant control, input-delay compensation ва funnel control дар як сохтори backstepping муттаҳид мешаванд.

Системаи nonstrict-feedback чӣ гуна модел мешавад?

Системаи умумии манбаъ чунин аст:

\[ \begin{cases} \dot{\eta}_i=\phi_i(\eta)+\eta_{i+1}+p_i(t), & 1\leq i\leq n-1,\\ \dot{\eta}_n=\phi_n(\eta)+u(v(t-\tau))+p_n(t),\\ y=\eta_1 \end{cases} \]

\(\eta=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T\) вектори ҳолат аст. \(\phi_i(\eta)\) функсияҳои nonlinear-и номаълум, \(p_i(t)\) disturbance-ҳои берунаи маҳдуд, \(v(t)\) фармони назорат ва \(u(v(t-\tau))\) таъсири назорат пас аз нуқсони актуатор ва таъхири вурудро ифода мекунад.

Барои disturbance-ҳои беруна:

\[ |p_i(t)|\leq\bar p_i \]

фарз мешавад. Аз ин рӯ таҳлили Lyapunov барои disturbance-и номаҳдуд нест, балки барои синфи disturbance бо ҳудуди болоии ниҳоӣ сохта шудааст.

Таъхири вуруд чӣ гуна гирифта мешавад?

Таъхири холис дар domain-и Laplace бо:

\[ e^{-\kappa s} \]

ифода мешавад. Манбаъ дар Denklem (2) approximation-и Padé дараҷаи якумро чунин менависад:

\[ \mathcal{L}\{u(v(t-\kappa))\} = e^{-\kappa s}\mathcal{L}\{u(v(t))\} \approx \frac{1-\kappa s/2} {1+\tau s/2} \mathcal{L}\{u(v(t))\} \]

Ҳудуди нотацияи дохилии манбаъ: дар ҳамин формула таъхир ҳам бо \(\kappa\) ва ҳам бо \(\tau\) пайдо мешавад. Дар Denklem (3) баъдан махраҷ боз бо \(\kappa\) навишта шудааст. Аз ин рӯ формула дар матни Verianla беовоз ба шакли стандартии Padé ислоҳ нашудааст.

Тағйирёбандаи ёрирасони таъхир барои чӣ лозим аст?

Манбаъ тағйирёбандаи \(\eta_{n+1}\)-ро муайян карда, таъсири тақрибии таъхирро ба шакли муодилаи дифференсиалӣ ба система дохил мекунад:

\[ \dot{\eta}_{n+1} = \frac{4}{\kappa}u(v(t)) - \frac{2}{\kappa}\eta_{n+1} = 2\rho u(v(t))-\rho\eta_{n+1} \]

Ин тағйирёбанда ҳолати физикии асосии система нест; он ҳолати миёнарав барои input-delay compensation мебошад.

Қайди нотация: Манбаъ пеш аз ин табдил \(\rho=2/t_d\) менависад; \(t_d\) пештар таъриф нашудааст. Робитаи \(\kappa\) ва \(t_d\) дар ҳамон сатр равшан дода намешавад.

Нуқсони актуатор чӣ гуна модел мешавад?

Баромади актуатор бо:

\[ u(v(t)) = \gamma(t)v+\zeta(t) \]

модел мешавад.

• \(\gamma(t)\): омили самаранокии актуатор; дар ҳолати nominal ба 1 наздик, дар нуқсон метавонад хурдтар бошад.
• \(\zeta(t)\): аъзои additive fault, ки мустақиман аз контроллер вобаста нест.
• \(v\): фармони воқеии назорати тарҳрезишуда.

Фарзи асосӣ ин аст, ки \(\gamma(t)\) ба сифр намерасад:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1,\qquad \gamma_{\min}>0 \]

Ин фарз талаб мекунад, ки контроллер ҳамеша ҳадди ақал миқдори муайяни control authority бар актуатор дошта бошад.

Funnel control чӣ фарқ дорад?

Масъалаи классикии пайгирӣ метавонад танҳо ба кам кардани:

\[ e_1(t)=y(t)-y_d(t) \]

равона шавад. Funnel control бошад ҳудуди иҷозатдодашудаи хаторо ҳамчун функсияи вақт пешакӣ муайян мекунад:

\[ |e_1(t)|<F_\psi(t) \]

ва:

\[ F_\psi(t) = (\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

-ро истифода мебарад.

\(\beta_0\) ҳудуди ибтидоии хато, \(\beta_\infty\) ҳудуди дарозмуддати иҷозатдодашуда ва \(\alpha\) суръати тангшавии funnel-ро муайян мекунад.

Табдили нави хатои funnel

Манбаъ мегӯяд, ки тағйирёбандаи funnel дар кори пешин, ки absolute value дошт, дар нуқтаи \(e_1=0\) мушкили differentiability эҷод мекард; аз ин рӯ:

\[ \xi_1 = \frac{e_1} {\sqrt{F_\psi^2-e_1^2}} \]

истифода мешавад.

Ҳосилааш:

\[ \dot{\xi}_1 = \Upsilon_1 \left( \dot{\eta}_1 - \dot y_d - \frac{e_1\dot F_\psi}{F_\psi} \right) \]

ва:

\[ \Upsilon_1 = \frac{F_\psi^2} {(F_\psi^2-e_1^2)^{3/2}} \]

дода мешавад.

Дар ин табдил, вақте \(e_1\) ба ҳудуди funnel наздик мешавад, махраҷ хурд ва \(\xi_1\) калон мешавад. Баъд манбаъ тавассути таҳлили Lyapunov барои tracking error-и воқеӣ ҳудуди болоии аз \(F_\psi\) хурдтар ҳосил кардан мехоҳад.

Ҳудуди математикӣ дар табдили funnel

Дар Remark 2-и манбаъ аз танҳо \(|e_1|<F_\psi\) чунин натиҷаи қавӣ гирифта мешавад, ки махраҷ “ба ҳудуд наздик намешавад”. Аммо strict inequality ба танҳоӣ нишон намедиҳад, ки \(F_\psi^2-e_1^2\) аз сифр uniform ҷудо аст; \(e_1\) метавонад аз дохили ҳудуд ба он ихтиёрӣ наздик шавад.

Натиҷаи баъдии Lyapunov дар мақола чунин аст:

\[ |e_1| \leq \sqrt{ \frac{ 2V(0)+2d_0/c_0 }{ 1+2V(0)+2d_0/c_0 } } |F_\psi| < |F_\psi| \]

Ин relative bound-и сахттар медиҳад. Аз ин рӯ ҳангоми шарҳи амнияти табдил на танҳо strict inequality дар Remark 2, балки ин boundedness result ҳам бояд ба назар гирифта шавад.

Чаро системаҳои мантиқи норавшан истифода мешаванд?

Азбаски controller шакли пурраи аналитикии функсияҳои nonlinear-и номаълум, мисли \(\phi_i(\eta)\)-ро намедонад, манбаъ аз universal approximation property-и Fuzzy Logic Systems истифода мебарад.

Баромади умумии fuzzy чунин аст:

\[ y(X) = \frac{ \sum_{l=1}^{g} W_l \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) }{ \sum_{l=1}^{g} \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) } \]

Ҳангоми истифодаи normalize fuzzy basis function сохтор ба шакли паймон:

\[ y(X)=W^TP(X) \]

меояд.

Манбаъ барои функсияи номаълуми continuous бо параметрҳои мувофиқ:

\[ \sup_{X\in\Omega} |\phi(X)-\theta^TP(X)| \leq\epsilon \]

яъне bounded approximation error-ро қабул мекунад.

Сохтори backstepping чӣ гуна сохта мешавад?

Дар табдили координата тағйирёбандаи хатои аввал табдили funnel аст:

\[ z_1=\xi_1 \]

дар қабатҳои баъдӣ:

\[ z_i=\eta_i-\alpha_{i-1}, \qquad i=2,\ldots,n \]

истифода мешавад.

\(\alpha_i\) virtual control signal-ҳои қабатҳои миёнаи backstepping мебошанд. Дар ҳар қадам ба функсияи Lyapunov аъзои нави \(z_i^2/2\) ва аъзои fuzzy parameter estimation error илова мешавад.

Функсияи Lyapunov дар қабати аввал

Манбаъ функсияи:

\[ V_1 = \frac{1}{2}\xi_1^2 + \frac{1}{2\varsigma_1} \tilde\omega_1^2 \]

-ро истифода мебарад.

\(\tilde\omega_1=\omega_1-\hat\omega_1\) фарқи байни бузургии вазни fuzzy-и номаълум ва estimate-и online мебошад.

Қонуни adaptation ба tracking/backstepping error ва fuzzy basis activity вобаста шуда \(\hat\omega_i\)-ро нав мекунад ва бо аъзои leakage-монанди \(-\vartheta_i\hat\omega_i\) аз афзоиши бемаҳдуди estimate пешгирӣ кардан мехоҳад.

Қонуни воқеии назорат

Дар қадами охирини backstepping манбаъ фармони воқеии назоратро чунин медиҳад:

\[ v = -k_nz_n -z_{n-1} - \frac{1}{2a_n^2} z_n\hat\omega_n P_n^T(Z_n)P_n(Z_n) \]

Аъзои аввал хатои охирини tracking/backstepping-ро фурӯ менишонад, аъзои дуюм робита бо қабати пешинаро бекор карданро ёрӣ медиҳад ва аъзои сеюм таъсири fuzzy approximation-и функсияи nonlinear-и номаълумро ҷуброн мекунад.

SGUUB чӣ маъно дорад?

Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded маънои онро дорад, ки дар зери минтақаи ибтидоӣ ва controller parameters мувофиқ тағйирёбандаҳои ҳалқаи баста бемаҳдуд калон намешаванд ва ниҳоят ба минтақаи ниҳоии маҳдуд ворид мегарданд, ки андозааш ба uncertainties ва gain-ҳо вобаста аст.

Нобаробарии асосии Lyapunov, ки манбаъ ҳадаф мегирад:

\[ \dot V_n \leq -c_0V_n+d_0 \]

мебошад.

Аз ин:

\[ 0\leq V_n(t) \leq \left( V(0)-\frac{d_0}{c_0} \right)e^{-c_0t} + \frac{d_0}{c_0} \]

ҳосил мешавад.

\(d_0/c_0\) андозаи ultimate bound-ро муайян мекунад. Ба гуфтаи манбаъ, fuzzy approximation error, actuator fault, external disturbance ва Padé approximation error метавонанд ин bound-ро калон кунанд.

Масъалаи муҳими ишора дар бароварди Lyapunov

Дар Denklem (60)-и нашршудаи манбаъ:

\[ -k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

ҳамчун аъзои манфии damping дида мешавад.

Аммо дар сатри аввали гузариш ба Denklem (62) ҳамин аъзо:

\[ +k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

бо ишораи мусбат навишта шудааст. Сипас, бо вуҷуди ин, ба натиҷаи:

\[ \dot V_n\leq-c_0V_n+d_0 \]

гузашта мешавад.

Дар шакли нишон додашуда, аъзои quadratic-и мусбат бевосита ба negative-definite bound табдил намеёбад. Аз ин рӯ дар манбаъ эҳтимолан хатои ишора ё чоп вуҷуд дорад; аммо ин номувофиқатӣ бе ислоҳи хомӯшона бояд ошкор гуфта шавад.

Масъалаи дуюми нотация дар Denklem (60)

Дар ҳамон муодила аъзои аввалини хато чунин навишта шудааст:

\[ -k_n\xi_n^2 \]

Дар тарҳи назорат тағйирёбандаи махсуси funnel \(\xi_1\) таъриф мешавад, қабатҳои миёна бо \(z_i\) нишон дода мешаванд. Барои \(\xi_n\) таърифи ҷудогона пешниҳод нашудааст; аз ин рӯ ин ифода бо занҷири баровард мустақим мувофиқ нест.

Мисоли электромеханикӣ кадом системаро истифода мекунад?

Манбаъ ҳамчун модели амалӣ системаи электромеханикиеро истифода мебарад, ки ҳаракати гардиши механикӣ бо занҷири барқӣ пайваст аст:

\[ M\ddot q+B\dot q+N\sin(q)=\tau \]

\[ L\dot I=V_0-RI-K_\tau\dot q \]

Дар ин ҷо \(q\) мавқеи механикӣ, \(M\) параметри механикӣ, \(B\) damping, \(N\sin q\) nonlinear restoring term, \(\tau\) моменти torque, \(L\) индуктивият, \(R\) муқовимат ва \(V_0\) аъзои шиддати барқӣ мебошад.

Баъд манбаъ бо тағйирёбандаҳои:

\[ \eta_1=q,\qquad \eta_2=\dot q,\qquad \eta_3=\tau \]

системаро ба шакли nonstrict-feedback дараҷаи сеюм табдил медиҳад.

Disturbance-ҳои беруна дар симулятсия

Ба се муодилаи ҳолат сигналҳои bounded disturbance-и зерин илова мешаванд:

\[ p_1(t)=0,2\cos(t) \]

\[ p_2(t)=\cos(0,5t) \]

\[ p_3(t)=0,2\sin(t) \]

Аз ин рӯ controller на танҳо бо actuator fault ва input delay, балки бо disturbance-ҳои берунаи пайвастаи вақт-тағйирёбанда низ симулятсия мешавад.

Таъхири вуруд чанд аст?

Дар симулятсия:

\[ \kappa=1,5\ \text{s} \]

истифода мешавад. Ин арзиш доимӣ аст. Пас кор сенарияи variable, unknown ё stochastic communication delay-ро тасдиқ намекунад.

Нуқсони актуатор кай оғоз мешавад?

Дар манбаъ:

\[ u(v)= \begin{cases} v, & t<10,\\ (0,4+0,6e^{-0,2t})v+\cos^2(x_1)x_2, &t\geq10 \end{cases} \]

истифода мешавад.

Дар 10 сонияи аввал актуатор nominal аст. Сипас multiplicative effectiveness factor коҳиш меёбад ва additive fault-и nonlinear ба кор медарояд.

Қайди нотацияи манбаъ: дар тамоми модели умумӣ \(\eta_1,\eta_2\) истифода мешавад, аммо дар ин муодила ба \(x_1,x_2\) гузашта мешавад. Манбаъ инҳоро дубора таъриф намекунад.

Fuzzy membership functions чӣ гуна сохта шудаанд?

Барои ҳар тағйирёбандаи ҳолат дар фосилаи \([-2,2]\) шаш Gaussian membership function муайян шудааст. Марказҳо:

• −2,
• −1,5,
• −0,5,
• 0,5,
• 1,5,
• 2

интихоб шудаанд.

Масалан, membership function-и аввал:

\[ \mu_{F_j^1}(X) = \exp \left( -\frac{(X+2)^2}{2} \right) \]

мебошад. Дигарон ҳамон сохтори Gaussian бо марказҳои дигар мебошанд.

Nominal controller parameters

Муаллифон мегӯянд, ки ин арзишҳо бо усули trial-and-error муайян шудаанд. Аз ин рӯ nominal tuning натиҷаи ҷустуҷӯи global optimum ё automatic gain optimization нест.

Шартҳои ибтидоӣ

Оғози ҳолатҳо:

\[ [\eta_1(0),\eta_2(0),\eta_3(0)]^T = [0,5,\ 0,5,\ 0,5]^T \]

ва fuzzy parameter estimates:

\[ [\hat\omega_1(0),\hat\omega_2(0),\hat\omega_3(0)]^T = [0,\ 0,\ 0]^T \]

интихоб шудаанд.

Расми 3 чӣ нишон медиҳад?

Дар Расми 3 баромади система \(y\) ва истиноди синусоидӣ \(y_d\) якҷоя нишон дода мешавад. Манбаъ наздик пайгирӣ шудани ду каҷнаморо пас аз transient period ҳамчун tracking behavior-и муваффақ шарҳ медиҳад.

Ин график ченкунии sensor-и физикӣ нест, балки баромади модели ададӣ аст.

Натиҷаи funnel дар Расми 4

Расми 4 tracking error \(e_1\) ва ҳудуди funnel-ро дар меҳвари вақт нишон медиҳад. Даъвои асосии манбаъ ин аст, ки каҷнамои хато дар тамоми симулятсия дар ҳудуди пешакӣ таъиншуда мемонад.

Ин график нишон медиҳад, ки ҳадафи funnel-control барои мисоли мавриди таҳлил иҷро шудааст. Аммо симулятсияи як модели параметрӣ барои ҳамаи системаҳои nonstrict-feedback кафолати саҳроӣ нест.

Расмҳои 5–7 чӣ нишон медиҳанд?

Расми 5 тағйирёбандаҳои миёнарави \(\eta_2\) ва \(\eta_3\)-ро; Расми 6 system input \(u\) ва control input-и таъхирёфтаи \(v(t-\kappa)\)-ро; Расми 7 бошад trajectories-и adaptive-law барои \(\hat\omega_1\), \(\hat\omega_2\) ва \(\hat\omega_3\)-ро нишон медиҳад.

Манбаъ маҳдуд мондани ин каҷнамоҳоро рафтори ададии мувофиқ бо натиҷаи назариявии SGUUB медонад. Бахусус дар графики input пайдошавии арзишҳои муваққатан калон нишон медиҳад, ки tracking performance набояд ҷудо аз арзиши control effort арзёбӣ шавад.

Таҳлили ҳассосияти параметрҳо чӣ гуна анҷом шуд?

Бе тағйир додани шартҳои ибтидоӣ се controller-parameter set истифода шудааст.

Case 3-и gain-и баландтар дар ҷадвали манбаъ барои метрикҳои хатогӣ камтарин арзишҳоро медиҳад. Remark 4-и манбаъ низ мегӯяд, ки баъзе gain-ҳои калон tracking error-ро кам карда метавонанд, аммо control-energy demand-ро зиёд мекунанд.

Натиҷаҳои ададии Ҷадвали 1

Сутунҳои MSE, RMSE, SSE ва NMSE тартиби мутобиқ нишон медиҳанд: аз Case 1 ба Case 3 tracking error кам мешавад. Аммо барои MAE ва BFR, бинобар масъалаҳои математикӣ дар дохили манбаъ, ин ду сутун набояд бо ҳамон қатъият шарҳ дода шаванд.

Масъала дар таърифи MAE

Манбаъ дар Denklem (73) чунин таъриф медиҳад:

\[ MAE = \max_{1\leq t\leq N} |y(t)-y_r(t)| \]

Ин формула “mean absolute error” нест, балки maximum absolute error аст.

Муҳимтар аз ин, дар Ҷадвали 1 арзиши зери тамғаи MAE дар ҳар се ҳолат аз RMSE хурдтар аст. Maximum absolute error наметавонад аз RMS error хурдтар бошад. Пас дар формула, тамға ё ҳисобҳои ҷадвал номутобиқии ҳалнашуда мавҷуд аст.

Чаро BFR бо NMSE мувофиқат намекунад?

Denklem (78)-и манбаъ чунин аст:

\[ BFR = \left( 1- \frac{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y(t)-y_r(t))^2} }{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y_r(t)-\bar y_r)^2} } \right) \times100\% \]

Квадрати ҳамон нисбати сурат ва махраҷ дар Denklem (77) ҳамчун NMSE дода мешавад; бинобар ин формулаҳои нашршуда якҷоя истифода шаванд:

\[ BFR=100(1-\sqrt{NMSE}) \]

ба даст меояд.

Арзишҳои NMSE-и Ҷадвали 1 ҳангоми ҷойгузорӣ дар ин формула BFR-и ҷадвалро намедиҳанд. Манбаъ normalization ё усули дигари ҳисобро шарҳ намедиҳад. Аз ин рӯ сутуни BFR бояд айнан оварда шавад, вале ҳамчун метрикаи пурра санҷидашуда истифода нашавад.

Муқоисаи методҳо дар Расми 8

Расми 8 методи пешниҳодшударо бо методе, ки дар манбаъ [40] гуфта шудааст, аз рӯи trajectories-и tracking-error муқоиса мекунад. Каҷнамоҳо хеле наздиканд ва тадқиқотчиён мегӯянд, ки методи пешниҳодшуда каме беҳбудӣ медиҳад.

Аммо матни comparative-results мегӯяд, ки Ref. [40] input delay дорад, вале funnel control надорад; дар ҳоле ки унвони библиографӣ худ “funnel dynamic surface control”-ро ошкор дорад ва input delay дар унвон нест.

Аз ин сабаб Расми 8 набояд ҳамчун далели қавии “proposed method versus correctly matched input-delay baseline” истифода шавад. Дар худи кор дар таърифи хусусиятҳои baseline номувофиқатӣ ҳаст.

Ҷадвали 2 чиро муқоиса мекунад?

Ҷадвали 2 рақамҳои performance-ро не, балки хусусиятҳои дарбаргирифтаи методҳоро сифатан муқоиса мекунад.

Ин ҷадвал performance benchmark-и навъи “proposed controller RMSE-и пасттар дод” нест; танҳо таснифи сифатии фарогирии методҳо аз тарафи муаллифон аст.

Натиҷаҳои дастгиришаванда

• Коҳиши самаранокии актуатор, additive actuator fault ва input delay-и доимӣ ба як модели adaptive-control дохил карда шудаанд.
• Барои функсияҳои nonlinear-и номаълум fuzzy logic approximation истифода шудааст.
• Барои tracking error ҳудуди funnel-и бо вақт тангшаванда таъин шудааст.
• Қонунҳои virtual-control ва real-control дар асоси backstepping ҳосил шудаанд.
• Манбаъ дар зери assumptions-и дода шуда SGUUB-ро барои closed-loop signals ҳосил кардан мехоҳад.
• Дар симулятсияи системаи электромеханикӣ tracking error дар funnel муайяншуда мондааст.
• Дар симулятсияе, ки actuator fault дар \(t=10\) s оғоз меёбад ва input delay 1,5 s аст, пайгирии истинод нигоҳ дошта шудааст.
• Дар байни се parameter set, Case 3 дар MSE, RMSE, SSE ва NMSE-и нашршуда камтарин хатоҳоро додааст.
• Манбаъ методро ҳамчун framework-е ҷойгир мекунад, ки actuator faults, input delay, funnel control ва nonstrict-feedback-ро дар як сохтор фаро мегирад.

Натиҷаҳое, ки исбот ё санҷида нашудаанд

• Кор кардани controller дар таҷҳизоти электромеханикии воқеӣ нишон дода нашудааст.
• Нуқсони воқеии актуатор физикӣ ворид карда нашудааст.
• Network latency ё communication delay-и воқеӣ чен карда нашудааст.
• Сенарияҳои delay-и тағйирёбанда ё stochastic тасдиқ нашудаанд.
• Аз даст рафтани пурраи актуатор \(\gamma=0\) фаро гирифта намешавад.
• Actuator saturation ё rate limit ба тарҳи назорат ошкоро дохил карда нашудааст.
• Шумораи fuzzy-rule ва execution time дар embedded processor чен нашудааст.
• Ғайр аз се gain set таҳлили васеи global sensitivity ё Monte Carlo robustness анҷом нашудааст.
• Муқоисаи Расми 8 фоизи бартарии ададии методро нисбат ба [40] нишон намедиҳад.
• Мутобиқати пурраи математикӣ байни MAE/BFR-и Ҷадвали 1 ва формулаҳои нашршуда нишон дода намешавад.
• Бе ҳал кардани мушкилоти ишора/нотация дар бароварди Lyapunov, тамоми қадамҳои алгебравии исботро комил гуфтан мумкин нест.
• Ифодаи “real-world example” маънои санҷиши физикии саҳроӣ ё лабораториро надорад.

Усул ва натиҷаҳои пажӯҳиш

Занҷири назорати мутобиқшавандаи норавшани funnel

Хулосаи шартҳои симулятсия

Натиҷаҳои controller-parameter sensitivity

Дар чор метрикаи хатои мутобиқи нашршуда Case 3 камтарин ва Case 1 баландтарин хаторо медиҳад. Ин нишон медиҳад, ки controller gain ба tracking performance таъсири равшан дорад; вале чун барои control-energy trade-off ҷадвали ададии ҷудогона нест, натиҷаи “Case 3 аз ҳама ҷиҳат беҳтарин controller аст” бароварда намешавад.

Ҳама метрикҳои Ҷадвали 1 дар манбаъ

Огоҳии илмӣ: Арзишҳои MAE ва BFR аз ҷадвали манбаъ айнан оварда шудаанд; вале бо сабаби номувофиқатии formula–table ҳамчун арзишҳои дубора ҳисобшуда ё пурра тасдиқшуда пешниҳод намешаванд.

Ҷудокунии сатҳи далел

Ҷиҳатҳои қавии пажӯҳиш

• Actuator fault ва input delay-ро дар як adaptive fuzzy-control problem мегирад.
• Transient tracking behavior-ро ба ҷои танҳо error minimization бо predefined funnel маҳдуд мекунад.
• Барои unknown nonlinear functions FLS approximation истифода мекунад.
• Тарҳи backstepping-ро дар тамоми дараҷаи система ошкор мебарорад.
• Multiplicative effectiveness loss ва additive actuator fault-ро бо тағйирёбандаҳои ҷудогона ифода мекунад.
• External disturbances-ро ба назарияи назорат дохил мекунад.
• Барои parameter sensitivity ба як танзими nominal басанда накарда, се gain set медиҳад.
• MSE, RMSE, SSE ва NMSE-и ададии симулятсияро гузориш медиҳад.
• Ҳудуди funnel ва tracking error-ро дар domain-и вақт якҷоя нишон медиҳад.

Маҳдудиятҳои асосии методологӣ ва дохилии манбаъ

• Таҷрибаи физикӣ вуҷуд надорад.
• Padé approximation-и дараҷаи якум танҳо намояндагии тақрибии таъхир аст.
• Дар муодилаҳои Padé нотацияи \(\kappa\), \(\tau\) ва \(t_d\) пайваста истифода нашудааст.
• Актуатор пурра бе таъсир шуда наметавонад; \(\gamma_{\min}>0\) фарз мешавад.
• Actuator saturation ва rate constraints модел нашудаанд.
• Дар бароварди Lyapunov байни Denklem (60)–(62) мушкили ишора/нотация ҳаст.
• Дар control law-и симулятсия бо муодилаҳои назариявӣ фарқи ишора/нотация вуҷуд дорад.
• Дар мисоли actuator fault рамзҳои \(x_1,x_2\) бе шарҳ истифода мешаванд.
• Формулаи MAE бо арзишҳои Ҷадвали 1 математикӣ мувофиқ нест.
• Формулаи BFR бо арзишҳои NMSE/BFR мувофиқ нест.
• Шарҳи муқоисаи Ref. [40] бо унвони библиографияи ҳамон кор зид аст.
• Parameter sensitivity танҳо се controller setting-и интихобшударо дар бар мегирад.
• Барои control effort ҷадвали ададии total energy ё RMS energy дода нашудааст.
• Real-time computational complexity чен нашудааст.
• Variable delay, sensor fault ва cyber-physical communication constraints ба кори оянда гузошта шудаанд.

Қайди манбаъ ва усул

Номи пурраи кори аслӣ: Adaptive Tracking Control of Nonstrict-Feedback Nonlinear Systems with Actuator Faults and Input Delay via a Fuzzy Funnel Approach

Муаллифон: Abdelwaheb Mhemdi, Mohamed Kharrat, Ameni Gargouri ва Paolo Mercorelli.

Тартиби муаллифон: 1. Abdelwaheb Mhemdi; 2. Mohamed Kharrat; 3. Ameni Gargouri; 4. Paolo Mercorelli.

Муаллифи масъул: Paolo Mercorelli.

Саҳми баробар/муаллифи аввалини баробар: Дар манбаъ чунин изҳорот нест.

Муассисаҳо:

1. Mathematics Department, College of Sciences and Humanities, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj, Riyadh, Saudi Arabia.
2. Laboratory of Probability and Statistics LR18ES28, Faculty of Sciences, Sfax University, Sfax, Tunisia.
3. Institute for Production Technology and Systems, Leuphana University of Lueneburg, Germany.

Журнал: Actuators.

Ношир: MDPI, Basel, Switzerland.

Маълумоти библиографӣ: Actuators 2026, 15(7), 384.

DOI:10.3390/act15070384

Истиноди расмии нашр:MDPI – Actuators 15(7), 384

Санаи нашр: 8 июли 2026. Кор 14 июни 2026 гирифта шуда, 5 июли 2026 бозбинӣ ва 6 июли 2026 қабул шудааст.

Навъи манбаъ ва ҳолати peer review: Мақолаи таҳқиқотии рецензияшуда дар Actuators. Тасдиқи методологӣ ба таҳлили аналитикии stability ва симулятсияи ададии системаи электромеханикӣ такя мекунад.

Иҷозатнома: Creative Commons Attribution (CC BY).

Муҳаррири академӣ: Giorgio Olmi.

Маблағгузорӣ: Пажӯҳиш аз тарафи Prince Sattam bin Abdulaziz University бо рақами лоиҳаи PSAU/2025/01/33516 дастгирӣ шудааст.

Кумитаи этика: Татбиқ намешавад.

Ризоияти огоҳона: Татбиқ намешавад.

Дастрасии додаҳо: Манбаъ мегӯяд, ки додаҳо дар мақола мавҷуданд; саволҳои иловагӣ метавонанд ба муаллифи масъул равона шаванд.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор кардаанд, ки бархӯрди манфиатҳо вуҷуд надорад.

Саҳмҳои муаллифон: Abdelwaheb Mhemdi — таҳқиқот, методология ва бозбинӣ/таҳрир; Mohamed Kharrat — таҳқиқот, validation ва draft-и аввал; Ameni Gargouri — бозбинӣ/таҳрир; Paolo Mercorelli — supervision, conceptualization ва бозбинӣ/таҳрир.

Доираи илмӣ: Кор fuzzy logic approximation, adaptive backstepping, funnel transformation, actuator-fault accommodation ва Padé input-delay approximation-ро барои nonstrict-feedback nonlinear systems дар як control framework муттаҳид мекунад.

Навъи тасдиқ: Гарчанде дар abstract ва conclusion ибораи “real-world example” истифода шудааст, Section 4 зери сарлавҳаи “Simulation Results” мебошад. Системаи электромеханикӣ ҳамчун setup-и физикӣ сохта нашуда, дар модели математикӣ симулятсия шудааст. Аз ин рӯ онро ҳамчун тасдиқи саҳроӣ ё лабораторӣ пешниҳод кардан дуруст нест.

Ҳудуди нотацияи Padé: Дар Denklem (2) барои таъхири \(e^{-\kappa s}\) сурати Padé бо \(\kappa\), махраҷ бо \(\tau\) навишта шудааст. Дар Denklem (3) боз \(\kappa\) истифода мешавад. Баъдан \(\rho=2/t_d\) дода мешавад, дар ҳоле ки \(t_d\) пештар шарҳ нашудааст. Манбаъ ин нотацияҳоро мувофиқ намекунад.

Ҳудуди табдили funnel: Манбаъ мегӯяд, ки \(|e_1|<F_\psi\) мусбат мондани махраҷи табдилро таъмин мекунад. Strict inequality ба танҳоӣ ҷудоии uniform аз ҳудудро нишон намедиҳад, аммо натиҷаи баъдии Lyapunov барои \(e_1\) ҳудудеро бо нисбати собити \(F_\psi\) медиҳад.

Қайди исботи Lyapunov: Дар Denklem (60) аъзои \(-k_n\gamma_{\min}z_n^2\) ҳангоми гузариш ба Denklem (62) ҳамчун \(+k_n\gamma_{\min}z_n^2\) пайдо мешавад. Дар ҳамон Denklem (60) рамзи пештар таърифнашудаи \(\xi_n\) истифода шудааст. Бо вуҷуди ин, манбаъ ба \(\dot V_n\leq-c_0V_n+d_0\) мегузарад. Ин мушкили ишора/нотация беовоз ислоҳ нашудааст.

Қайди controller-denklem: Ифодаи \(\alpha_1\) дар Denklem (72)-и симулятсия бо формулаи қаблии бароварди назариявӣ аз ҷиҳати ишора ва рамз пурра мувофиқат намекунад. Манбаъ ин гузаришро алоҳида шарҳ намедиҳад.

Нотацияи actuator-fault: Дар Denklem (70) additive fault ҳамчун \(\cos^2(x_1)x_2\) дода мешавад; дар модели пешин ҳолатҳо бо \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\) нишон дода шуда буданд. \(x_1,x_2\) алоҳида таъриф нашудаанд.

Номувофиқатии MAE: Denklem (73) MAE-ро \(\max|y-y_r|\) таъриф мекунад, яъне maximum absolute error. Аммо арзишҳои “MAE” дар Ҷадвали 1 дар ҳар се ҳолат аз RMSE хурдтаранд ва бо формулаи maximum-error мувофиқ нестанд.

Номувофиқатии BFR: Denklem (77) ва Denklem (78) якҷоя \(BFR=100(1-\sqrt{NMSE})\)-ро медиҳанд. Сутунҳои NMSE ва BFR-и Ҷадвали 1 ин робитаро иҷро намекунанд. Манбаъ усули дигар ё normalization-ро шарҳ намедиҳад.

Ҳудуди муқоиса: Расми 8 методи пешниҳодшударо бо Ref. [40] муқоиса мекунад. Матни comparative-results мегӯяд, ки Ref. [40] input delay дорад, вале funnel control надорад. Унвони библиографӣ бошад Ref. [40]-ро “Observer-based adaptive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknown control coefficients and hysteresis input” меномад. Аз ин рӯ дар таърифи baseline method ихтилофи дохилии манбаъ вуҷуд дорад.

Ҳудуди parameter-sensitivity: Муқоисаи Case 1–3 танҳо се controller-parameter set-и интихобшуда аст, на stochastic uncertainty-и васеъ, Monte Carlo, global tuning ё optimizer-based sensitivity campaign.

Ҳудуди мураккабии ҳисоб: Манбаъ даъво мекунад, ки метод matrix inversion ё iterative online optimization талаб намекунад ва complexity бо шумораи fuzzy-rule ва state тақрибан хаттӣ зиёд мешавад. Аммо дар embedded processor-и воқеӣ execution-time, memory ё sampling-frequency benchmark дода нашудааст.

Кори оянда: Муаллифон тавсеаи методро ба stochastic nonlinear switched systems, actuator ва sensor faults, communication constraints, event-triggered control ва cyber–physical applications пешниҳод мекунанд.

Метод, муодилаҳо, параметрҳои симулятсия, ҷадвалҳо, муқоисаҳо ва маҳдудиятҳои ин матни Verianla танҳо ба кори таҳлилшуда такя мекунанд. Манбаи беруна танҳо барои санҷиши шиносномаи библиографии нашр истифода шудааст. Номувофиқатҳои математикӣ, нотационӣ ва муқоисавӣ дар манбаъ беовоз ислоҳ нашудаанд.