Araşdırma, naməlum qeyri-xətti dinamikalara malik nonstrict-feedback sistemlərdə aktuator nasazlığı ilə sabit giriş gecikməsinin eyni anda mövcud olduğu şəraitdə istinad izləməsini qorumaq üçün adaptiv bulanıq funnel nəzarət yanaşması hazırlayır. Naməlum funksiyalar Fuzzy Logic Systems (FLS) ilə təxmini modelləşdirilir, giriş gecikməsi birinci dərəcəli Padé yaxınlaşdırması ilə gecikməsiz genişləndirilmiş sistemə çevrilir, aktuatorun effektivlik itkisi və toplama xarakterli nasazlıq terminləri birbaşa nəzarət modelinə daxil edilir və backstepping əsaslı nəzarətçi Lyapunov analizi ilə araşdırılır. Tədqiqatın nəzəri nəticəsi göstərilən fərziyyələr altında qapalı çevrim siqnallarının semi-globally uniformly ultimately bounded (SGUUB) qalması və izləmə xətasının əvvəlcədən təyin edilmiş funnel sərhədi içində saxlanmasıdır. Bu nəticə fiziki təcrübə ilə deyil, elektromexaniki bir sistemin sayısal simulyasiyası ilə göstərilmişdir.

Funnel control yanaşmasının əsas məqsədi təkcə izləmə xətasını kiçiltmək deyil. Sistem üçün zamanla daralan icazə verilən xəta bölgəsi əvvəlcədən müəyyən edilir və nəzarətçi xəta trayektoriyasının bu sərhədi aşmamasını hədəfləyir. Çalışmada funnel sərhədi:

\[ F_\psi(t)=(\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

şəklindədir. Simulyasiyada \(\beta_0=3\), \(\beta_\infty=0,15\) və \(\alpha=0,3\) seçildiyi üçün icazə verilən xəta sərhədi başlanğıcda 3 səviyyəsindən başlayır və zamanla 0,15-ə yaxınlaşır.

Giriş gecikməsi üçün mənbə birinci dərəcəli Padé approximation istifadə edir. Bu əməliyyat keçmişdəki real gecikdirilmiş nəzarət siqnalını birbaşa backstepping layihələndirməsində istifadə etmək əvəzinə sistemə köməkçi \(\eta_{n+1}\) dəyişəni əlavə edərək gecikmənin təxmini dinamikasını vəziyyət modelinə daşıyır. Müəlliflər daha yüksək dərəcəli Padé yaxınlaşdırmasının nəzəri baxımdan daha detallı gecikmə təmsili verə biləcəyini, lakin sistem dərəcəsini və Lyapunov analizinin mürəkkəbliyini artıracağını bildirərək birinci dərəcəli yaxınlaşdırmanı seçirlər.

Aktuator nasazlığı iki komponentə ayrılmışdır. \(\gamma(t)\) aktuatorun nəzarət əmrini nə dərəcədə effektiv tətbiq edə bildiyini göstərən multiplicative effectiveness factor, \(\zeta(t)\) isə nəzarətçi tərəfindən birbaşa idarə olunmayan additive fault terminidir:

\[ u(v(t))=\gamma(t)v+\zeta(t) \]

Nəzəri analizdə:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1 \]

və:

\[ |\zeta(t)|\leq\zeta_{\max} \]

fərziyyələri istifadə olunur. Buna görə metod tamamilə nəzarət səlahiyyətini itirmiş aktuatoru əhatə etmir; \(\gamma_{\min}\) müsbət olmalıdır.

Sayısal nümunədə üç vəziyyətli elektromexaniki sistem istifadə edilmiş və istinad:

\[ y_d(t)=\sin(t) \]

kimi seçilmişdir. Giriş gecikməsi 1,5 s-dir. Aktuator nasazlığı ilk 10 saniyədə yoxdur; \(t\geq10\) olduqda aktuator effektivliyi:

\[ \gamma(t)=0,4+0,6e^{-0,2t} \]

şəklində azaldılır. Bu funksiya uzun zamanda 0,4-ə yaxınlaşır; başqa sözlə, modeldə aktuator nəzarət səlahiyyətinin mühüm hissəsi itirilsə də tamamilə sıfırlanmır.

Şəkil 3–7-də simulyasiya çıxışı istinadı yaxından izləyir, tracking error mənbədə təyin edilmiş funnel daxilində qalır və vəziyyət/adaptive-law dəyişənləri məhdud davranış göstərir. Parametr həssaslığı analizində mənbədə “Case 3” adlandırılan daha yüksək gain-li tənzimləmə, Cədvəl 1-də ən aşağı MSE və RMSE ilə ən yüksək bildirilmiş BFR dəyərini verir: MSE 0,0018, RMSE 0,0424 və mənbə cədvəlinə görə BFR %98,75-dir. Lakin BFR və MAE sütunlarında mənbə formulları ilə cədvəl dəyərləri arasında daxili uyğunsuzluq olduğundan bu iki metrik sayısal baxımdan ehtiyatla şərh edilməlidir.

Şəkil 8-də təklif edilən nəzarət metodu başqa bir işə aid edilən əyri ilə müqayisə olunur və təklif edilən metodun tracking error-da kiçik yaxşılaşma verdiyi ifadə edilir. Bununla belə, çalışmanın [40] nömrəli istinadını izah edən mətn ilə ədəbiyyat siyahısındakı [40] başlığı bir-biri ilə uyğun gəlmədiyindən bu qrafik güclü müstəqil benchmark kimi qiymətləndirilməməlidir. Həmçinin iki metod üçün eyni cədvəldə MSE, RMSE, settling time və ya control effort dəyərləri təqdim edilmir.

Türkiyə baxımından qiymətləndirmə: Çalışmanın araşdırdığı problem Türkiyədə servo sistemlər, robotik manipulyatorlar, elektrik ötürücü sistemləri, aviasiya nəzarəti, istehsal avtomatlaşdırması və şəbəkə üzərindən idarə edilən elektromexaniki sistemlər üçün metodoloji baxımdan önəmlidir. Xüsusilə aktuator performans itkisi ilə nəzarət siqnalındakı gecikmənin eyni anda olduğu sistemlərdə xəta sərhədinin əvvəlcədən təyin edilməsi araşdırmaya dəyər bir yanaşma təqdim edir. Ancaq mövcud nəticələr real motor, real sensor, şəbəkə avadanlığı və ya gömülü nəzarətçi üzərində doğrulanmamışdır. Tətbiqdən əvvəl real-time prosessor yükü, actuator saturation, sensor səs-küyü, dəyişən gecikmə, modeldənkənar dinamikalar və fiziki fault-injection testləri ayrıca doğrulanmalıdır.

Araşdırmanın həll etməyə çalışdığı problem nədir?

Qeyri-xətti nəzarət sistemlərində üç ayrı problem eyni vaxtda yarana bilər: sistemin bəzi dinamik funksiyaları tam bilinməyə bilər, aktuator nominal əmri tam tətbiq etməyə bilər və nəzarət əmri sistemə gecikmə ilə çata bilər. Bu üç təsir birlikdə olduqda yalnız nominal modelə görə layihələndirilmiş geri-bildirim nəzarətçisi izləmə dəqiqliyini itirə bilər.

Çalışma bu problemə dördüncü hədəf də əlavə edir: tracking error yalnız asimptotik olaraq kiçilməməli, keçid rejimində də əvvəlcədən müəyyən edilmiş sərhədin kənarına çıxmamalıdır. Buna görə adaptive fuzzy control, fault-tolerant control, input-delay compensation və funnel control vahid backstepping quruluşu altında birləşdirilir.

Nonstrict-feedback sistem necə modelləşdirilir?

Mənbənin ümumi sistemi:

\[ \begin{cases} \dot{\eta}_i=\phi_i(\eta)+\eta_{i+1}+p_i(t), & 1\leq i\leq n-1,\\ \dot{\eta}_n=\phi_n(\eta)+u(v(t-\tau))+p_n(t),\\ y=\eta_1 \end{cases} \]

şəklindədir.

\(\eta=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T\) vəziyyət vektorudur. \(\phi_i(\eta)\) dəqiq forması bilinməyən nonlinear funksiyaları, \(p_i(t)\) məhdud xarici pozucuları, \(v(t)\) nəzarət əmrini, \(u(v(t-\tau))\) isə aktuator nasazlığı və giriş gecikməsindən sonra sistemə çatan nəzarət təsirini təmsil edir.

Xarici pozucular üçün:

\[ |p_i(t)|\leq\bar p_i \]

fərziyyəsi istifadə edilir. Buna görə Lyapunov analizi sərhədsiz pozucular üçün deyil, yuxarı sərhədi sonlu olan disturbance sinfi üçün qurulmuşdur.

Giriş gecikməsi necə nəzərə alınır?

Təmiz gecikmə Laplace sahəsində:

\[ e^{-\kappa s} \]

ilə təmsil edilir. Mənbə Denklem (2)-də birinci dərəcəli Padé approximation-u belə yazır:

\[ \mathcal{L}\{u(v(t-\kappa))\} = e^{-\kappa s}\mathcal{L}\{u(v(t))\} \approx \frac{1-\kappa s/2} {1+\tau s/2} \mathcal{L}\{u(v(t))\} \]

Mənbədaxili notasiya sərhədi: eyni tənlikdə gecikmə həm \(\kappa\), həm də \(\tau\) simvolu ilə görünür. Sonrakı Denklem (3)-də məxrəc yenidən \(\kappa\) ilə yazılır. Buna görə bu formula Verianla məzmununda səssizcə standart Padé formasına çevrilməmişdir.

Köməkçi gecikmə dəyişəni nə iş görür?

Mənbə \(\eta_{n+1}\) adlı köməkçi dəyişən müəyyən edir və gecikmənin təxmini təsirini diferensial tənlik şəklində sistemə daxil edir:

\[ \dot{\eta}_{n+1} = \frac{4}{\kappa}u(v(t)) - \frac{2}{\kappa}\eta_{n+1} = 2\rho u(v(t))-\rho\eta_{n+1} \]

Bu dəyişən əsas fiziki sistem vəziyyətlərindən biri kimi deyil, input-delay compensation üçün istifadə edilən ara vəziyyət kimi təyin olunur.

Notasiya qeydi: Mənbə bu çevrilmədən dərhal əvvəl \(\rho=2/t_d\) yazır; \(t_d\) daha əvvəl müəyyən edilməmişdir. Eyni sətirdəki \(\kappa\) ilə \(t_d\)-nin əlaqəsi açıq verilmir.

Aktuator nasazlığı necə modelləşdirilir?

Aktuator çıxışı:

\[ u(v(t)) = \gamma(t)v+\zeta(t) \]

ilə modelləşdirilir.

• \(\gamma(t)\): aktuator effektivlik faktoru; nominal halda 1-ə yaxın, nasazlıqda daha kiçik ola bilər.
• \(\zeta(t)\): nəzarətçidən asılı olmayan toplama xarakterli nasazlıq termini.
• \(v\): layihələndirilən real nəzarət əmridir.

Əsas fərziyyə \(\gamma(t)\)-nin sıfıra düşməməsidir:

\[ \gamma_{\min}<\gamma(t)\leq1,\qquad \gamma_{\min}>0 \]

Bu fərziyyə nəzarətçinin aktuator üzərində hər zaman ən azı müəyyən miqdarda nəzarət səlahiyyətinə sahib olmasını tələb edir.

Funnel control nəyi fərqli edir?

Klassik izləmə problemi yalnız:

\[ e_1(t)=y(t)-y_d(t) \]

xətasını azaltmağa fokuslana bilər. Funnel control isə xətanın icazə verilən sərhədini zaman funksiyası kimi əvvəlcədən təyin edir:

\[ |e_1(t)|<F_\psi(t) \]

və:

\[ F_\psi(t) = (\beta_0-\beta_\infty)e^{-\alpha t}+\beta_\infty \]

istifadə edir.

\(\beta_0\) başlanğıc xəta sərhədini, \(\beta_\infty\) uzunmüddətli icazə verilən sərhədi və \(\alpha\) funnel-in nə qədər sürətlə daralacağını müəyyən edir.

Yeni funnel xəta çevrilməsi

Mənbə əvvəlki bir çalışmadakı mütləq dəyər ehtiva edən funnel dəyişəninin \(e_1=0\) nöqtəsində differentiability problemi yaratdığını bildirərək:

\[ \xi_1 = \frac{e_1} {\sqrt{F_\psi^2-e_1^2}} \]

çevrilməsini istifadə edir.

Törəməsi:

\[ \dot{\xi}_1 = \Upsilon_1 \left( \dot{\eta}_1 - \dot y_d - \frac{e_1\dot F_\psi}{F_\psi} \right) \]

və:

\[ \Upsilon_1 = \frac{F_\psi^2} {(F_\psi^2-e_1^2)^{3/2}} \]

şəklində verilir.

Bu çevrilmədə \(e_1\) funnel sərhədinə yaxınlaşdıqca məxrəc kiçilir və \(\xi_1\)-in böyüklüyü artır. Mənbə daha sonra Lyapunov analizi vasitəsilə real tracking error üçün \(F_\psi\)-dən daha kiçik üst sərhəd çıxarmağa çalışır.

Funnel çevrilməsi ilə bağlı riyazi sərhəd

Mənbənin Remark 2 izahında yalnız \(|e_1|<F_\psi\) şərtindən çıxış edərək məxrəcin “sərhədə yaxınlaşmadığı” istiqamətində güclü ifadə var. Lakin təkcə strict inequality, \(F_\psi^2-e_1^2\)-nin sıfırdan uniform olaraq ayrıldığını göstərmir; \(e_1\) sərhədin içindən ona istənilən qədər yaxınlaşa bilər.

Məqalənin sonrakı Lyapunov nəticəsi isə:

\[ |e_1| \leq \sqrt{ \frac{ 2V(0)+2d_0/c_0 }{ 1+2V(0)+2d_0/c_0 } } |F_\psi| < |F_\psi| \]

şəklində daha sıx relative bound verir. Buna görə çevrilmənin təhlükəsizliyini şərh edərkən yalnız Remark 2-dəki strict inequality deyil, bu sonrakı boundedness nəticəsi də nəzərə alınmalıdır.

Bulanıq məntiq sistemləri niyə istifadə olunur?

Nəzarətçi \(\phi_i(\eta)\) kimi naməlum nonlinear funksiyaların tam analitik formasını bilmədiyi üçün mənbə Fuzzy Logic Systems-in universal approximation xüsusiyyətindən yararlanır.

Ümumi fuzzy çıxış:

\[ y(X) = \frac{ \sum_{l=1}^{g} W_l \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) }{ \sum_{l=1}^{g} \prod_{j=1}^{n}\mu_{F_j^l}(\eta_j) } \]

şəklindədir.

Normalize fuzzy basis function istifadə olunduqda quruluş:

\[ y(X)=W^TP(X) \]

kimi kompakt hala gəlir.

Mənbə davamlı naməlum funksiya üçün uyğun parametrlərlə:

\[ \sup_{X\in\Omega} |\phi(X)-\theta^TP(X)| \leq\epsilon \]

şəklində bounded approximation error qəbul edir.

Backstepping quruluşu necə qurulur?

Koordinat çevrilməsində ilk xəta dəyişəni funnel çevrilməsidir:

\[ z_1=\xi_1 \]

sonrakı mərhələlərdə:

\[ z_i=\eta_i-\alpha_{i-1}, \qquad i=2,\ldots,n \]

istifadə olunur.

\(\alpha_i\) ara backstepping qatlarının virtual control signal-larıdır. Hər addımda mövcud Lyapunov funksiyasına yeni \(z_i^2/2\) termini və fuzzy parameter estimation error termini əlavə olunur.

Birinci qatda Lyapunov funksiyası

Mənbə:

\[ V_1 = \frac{1}{2}\xi_1^2 + \frac{1}{2\varsigma_1} \tilde\omega_1^2 \]

funksiyasını istifadə edir.

\(\tilde\omega_1=\omega_1-\hat\omega_1\) naməlum fuzzy çəki böyüklüyü ilə online qiymətləndirmə arasındakı fərqi təmsil edir.

Uyarlama qanunu ümumən tracking/backstepping xəta böyüklüyünə və fuzzy basis activity-yə bağlı olaraq \(\hat\omega_i\)-ni yeniləyir, həmçinin \(-\vartheta_i\hat\omega_i\) leakage bənzəri terminlə qiymətləndirmənin sərhədsiz böyüməsinin qarşısını almağı hədəfləyir.

Real nəzarət qanunu

Son backstepping addımında mənbə real nəzarət əmrini:

\[ v = -k_nz_n -z_{n-1} - \frac{1}{2a_n^2} z_n\hat\omega_n P_n^T(Z_n)P_n(Z_n) \]

kimi verir.

Quruluşun ilk termini son tracking/backstepping xətasını bastırır, ikinci termin əvvəlki qatla əlaqəni ləğv etməyə kömək edir və üçüncü termin naməlum nonlinear funksiyanın fuzzy approximation təsirini kompensasiya etməyi məqsədləyir.

SGUUB nə deməkdir?

Semi-Globally Uniformly Ultimately Bounded nəticəsi uyğun başlanğıc bölgəsi və controller parameters altında qapalı çevrim dəyişənlərinin sərhədsiz böyümədiyini və sonda böyüklüyü qeyri-müəyyənliklər və gain-lərdən asılı sonlu bölgəyə girdiyini bildirir.

Mənbənin hədəflədiyi əsas Lyapunov bərabərsizliyi:

\[ \dot V_n \leq -c_0V_n+d_0 \]

şəklindədir.

Buradan:

\[ 0\leq V_n(t) \leq \left( V(0)-\frac{d_0}{c_0} \right)e^{-c_0t} + \frac{d_0}{c_0} \]

alınır.

\(d_0/c_0\) son bound-un böyüklüyünü müəyyən edir. Mənbənin izahına görə fuzzy approximation error, actuator fault, external disturbance və Padé approximation error bu bound-u böyüdə bilən qeyri-müəyyənlik mənbələridir.

Lyapunov çıxarışındakı kritik işarə problemi

Mənbənin yayımlanmış Denklem (60)-ında:

\[ -k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

mənfi sönümləyici termin kimi görünür.

Lakin dərhal sonrakı Denklem (62)-yə gedən ilk sətirdə eyni termin:

\[ +k_n\gamma_{\min}z_n^2 \]

şəklində müsbət işarə ilə yazılmışdır. Daha sonra buna baxmayaraq:

\[ \dot V_n\leq-c_0V_n+d_0 \]

nəticəsinə keçilir.

Göstərildiyi şəkildə müsbət quadratic termin birbaşa negative-definite bound-a çevrilə bilməz. Buna görə mənbədə böyük ehtimalla işarə və ya dizgi xətası var; lakin çalışma səssizcə düzəldilmədən bu uyğunsuzluq açıq göstərilməlidir.

Denklem (60)-dakı ikinci notasiya problemi

Eyni tənlikdə ilk xəta termini:

\[ -k_n\xi_n^2 \]

kimi yazılmışdır. Nəzarət layihəsində xüsusi funnel dəyişəni \(\xi_1\) müəyyən edilərkən ara qatlar \(z_i\) ilə göstərilir. \(\xi_n\) üçün ayrıca tərif verilmədiyindən bu ifadə də çıxarış zənciri ilə birbaşa uyğun deyil.

Elektromexaniki nümunə hansı sistemi istifadə edir?

Mənbə tətbiq modeli kimi mexaniki dönmə hərəkəti ilə elektrik dövrəsinin bağlandığı elektromexaniki sistemi istifadə edir:

\[ M\ddot q+B\dot q+N\sin(q)=\tau \]

\[ L\dot I=V_0-RI-K_\tau\dot q \]

Burada \(q\) mexaniki mövqe, \(M\) mexaniki parametr, \(B\) damping, \(N\sin q\) nonlinear restoring term, \(\tau\) tork, \(L\) induktivlik, \(R\) müqavimət və \(V_0\) elektrik gərginlik terminidir.

Mənbə daha sonra:

\[ \eta_1=q,\qquad \eta_2=\dot q,\qquad \eta_3=\tau \]

dəyişənlərini istifadə edərək sistemi üçüncü dərəcəli nonstrict-feedback formasına çevirir.

Simulyasiyadakı xarici pozucular

Üç vəziyyət tənliyinə aşağıdakı bounded disturbance siqnalları əlavə edilir:

\[ p_1(t)=0,2\cos(t) \]

\[ p_2(t)=\cos(0,5t) \]

\[ p_3(t)=0,2\sin(t) \]

Buna görə nəzarətçi yalnız actuator fault və input delay ilə deyil, zamanla dəyişən davamlı xarici pozucularla da simulyasiya edilir.

Giriş gecikməsi nə qədərdir?

Simulyasiyada:

\[ \kappa=1,5\ \text{s} \]

istifadə edilmişdir. Bu dəyər sabitdir. Buna görə çalışma dəyişən, naməlum və ya stochastic communication delay ssenarisini doğrulamır.

Aktuator nasazlığı nə vaxt başlayır?

Mənbədə:

\[ u(v)= \begin{cases} v, & t<10,\\ (0,4+0,6e^{-0,2t})v+\cos^2(x_1)x_2, &t\geq10 \end{cases} \]

istifadə edilir.

İlk 10 saniyədə aktuator nominaldır. Sonra multiplicative effectiveness factor azalır və əlavə nonlinear additive fault işə düşür.

Mənbə notasiyası: bütün ümumi modeldə \(\eta_1,\eta_2\) istifadə olunduğu halda bu tənlikdə \(x_1,x_2\) simvollarına keçilir. Mənbə bunları yenidən müəyyən etmir.

Fuzzy membership functions necə qurulmuşdur?

Hər vəziyyət dəyişəni üçün \([-2,2]\) intervalında altı Gaussian membership function müəyyən edilmişdir. Mərkəz nöqtələri:

• −2,
• −1,5,
• −0,5,
• 0,5,
• 1,5,
• 2

kimi seçilmişdir.

Məsələn ilk membership function:

\[ \mu_{F_j^1}(X) = \exp \left( -\frac{(X+2)^2}{2} \right) \]

şəklindədir. Digərləri eyni Gaussian quruluşun fərqli mərkəzlərə sürüşdürülmüş formalarıdır.

Nominal controller parameters

Müəlliflər bu dəyərlərin trial-and-error metodu ilə müəyyən edildiyini bildirirlər. Buna görə nominal tuning qlobal optimum axtarışı və ya avtomatik gain optimization nəticəsi deyil.

Başlanğıc şərtləri

Vəziyyət başlanğıcları:

\[ [\eta_1(0),\eta_2(0),\eta_3(0)]^T = [0,5,\ 0,5,\ 0,5]^T \]

və fuzzy parameter estimates:

\[ [\hat\omega_1(0),\hat\omega_2(0),\hat\omega_3(0)]^T = [0,\ 0,\ 0]^T \]

kimi seçilmişdir.

Şəkil 3 nə göstərir?

Şəkil 3-də sistem çıxışı \(y\) ilə sinusoidal istinad \(y_d\) birlikdə göstərilir. Mənbə iki əyrinin transient dövründən sonra bir-birini yaxından izləməsini uğurlu tracking behavior kimi şərh edir.

Bu qrafik fiziki sensor ölçümü deyil, sayısal model çıxışıdır.

Şəkil 4-dəki funnel nəticəsi

Şəkil 4 tracking error \(e_1\) ilə funnel sərhədini zaman oxunda göstərir. Mənbənin əsas iddiası xəta əyrisinin simulyasiya boyunca əvvəlcədən müəyyən edilmiş sərhədin içində qalmasıdır.

Bu qrafik funnel-control hədəfinin araşdırılan nümunə üçün təmin edildiyini dəstəkləyir. Lakin tək parametrik model simulyasiyası bütün nonstrict-feedback sistemlər üçün sahə zəmanəti deyil.

Şəkil 5–7 nə göstərir?

Şəkil 5 ara vəziyyət dəyişənləri \(\eta_2\) və \(\eta_3\)-ü; Şəkil 6 sistem input \(u\) ilə gecikdirilmiş control input \(v(t-\kappa)\)-nı; Şəkil 7 isə \(\hat\omega_1\), \(\hat\omega_2\) və \(\hat\omega_3\) adaptive-law trajectories-ni göstərir.

Mənbə bu əyrilərin sonlu qalmasını SGUUB nəzəri nəticəsi ilə uyğun sayısal davranış kimi qiymətləndirir. Xüsusilə input qrafikində müvəqqəti olaraq yüksək böyüklükdə nəzarət dəyərlərinin görünməsi tracking performance-ın control effort maliyyətindən müstəqil qiymətləndirilməməli olduğunu da göstərir.

Parametr həssaslığı analizi necə aparıldı?

Başlanğıc şərtləri dəyişdirilmədən üç fərqli controller-parameter seti istifadə edilmişdir.

Yüksək gain-li Case 3 mənbə cədvəlində xəta əsaslı metriklərdə ən kiçik dəyərləri verir. Mənbənin Remark 4 izahı da bəzi daha böyük gain-lərin tracking error-u azalda biləcəyini, lakin control-energy demand-i yüksəldə biləcəyini bildirir.

Tablo 1-in kəmiyyət nəticələri

MSE, RMSE, SSE və NMSE sütunları Case 1-dən Case 3-ə doğru daha kiçik tracking error göstərən tutarlı sıralama təqdim edir. Lakin MAE və BFR üçün aşağıda açıqlanan mənbədaxili riyazi problemlər səbəbindən bu iki sütun eyni dəqiqliklə şərh edilməməlidir.

MAE tərifində mənbədaxili problem

Mənbə Denklem (73)-də:

\[ MAE = \max_{1\leq t\leq N} |y(t)-y_r(t)| \]

tərifini verir.

Bu formula standart “mean absolute error” deyil, maximum absolute error tərifidir.

Daha önəmlisi, Tablo 1-də hər ssenaridə MAE etiketi altındakı rəqəm RMSE-dən kiçikdir. Maksimum mütləq xətanın RMS xətadan kiçik olması riyazi olaraq mümkün deyil. Buna görə çalışma içində MAE formulu, MAE etiketi və ya cədvəl hesabı arasında həll edilməmiş uyğunsuzluq var.

BFR ilə NMSE niyə uyğun gəlmir?

Mənbənin Denklem (78)-i:

\[ BFR = \left( 1- \frac{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y(t)-y_r(t))^2} }{ \sqrt{\sum_{t=1}^{N}(y_r(t)-\bar y_r)^2} } \right) \times100\% \]

şəklindədir.

Eyni surət və məxrəc nisbətinin kvadratı Denklem (77)-də NMSE kimi verildiyi üçün yayımlanan formullar birlikdə istifadə edildikdə:

\[ BFR=100(1-\sqrt{NMSE}) \]

əlaqəsi yaranır.

Tablo 1-in NMSE dəyərləri bu formula qoyulduqda cədvəldəki BFR dəyərləri alınmır. Mənbə hansı əlavə normallaşdırmanın istifadə edildiyini izah etmir. Buna görə BFR sütunu olduğu kimi verilməli, lakin formula ilə tam tutarlı doğrulanmış metrik kimi istifadə edilməməlidir.

Şəkil 8-dəki metod müqayisəsi

Şəkil 8 təklif edilən metod ilə mənbədə [40] kimi göstərilən başqa metodun tracking-error trajectories-ni eyni qrafikdə göstərir. Əyrilər bir-birinə çox yaxındır və tədqiqatçılar təklif edilən metodun yüngül yaxşılaşma verdiyini bildirirlər.

Bununla belə eyni məqalənin comparative-results mətni [40]-ın input delay-i nəzərə aldığını, lakin funnel control istifadə etmədiyini deyir; ədəbiyyat siyahısındakı [40] başlığında isə açıq şəkildə “funnel dynamic surface control” ifadəsi var və input delay başlıqda yer almır.

Buna görə Şəkil 8 güclü “proposed method versus correctly matched input-delay baseline” sübutu kimi təqdim edilməməlidir. Çalışmanın özündə müqayisə olunan istinadın xüsusiyyətlərinin tərifində uyğunsuzluq var.

Tablo 2 nəyi müqayisə edir?

Tablo 2 performans rəqəmlərini deyil, metodların hansı xüsusiyyətləri əhatə etdiyini keyfiyyətcə müqayisə edir.

Bu cədvəl “proposed controller daha aşağı RMSE vermişdir” tipində performans benchmark-ı deyil. Yalnız metod əhatələrinin müəlliflər tərəfindən aparılan keyfiyyət təsnifatını göstərir.

Çalışmanın dəstəklədiyi nəticələr

• Aktuator effektivlik itkisi, additive actuator fault və sabit input delay eyni adaptive-control modelinə daxil edilmişdir.
• Naməlum nonlinear funksiyalar üçün fuzzy logic approximation istifadə edilmişdir.
• Tracking error üçün zamanla daralan funnel sərhədi müəyyən edilmişdir.
• Backstepping əsaslı virtual-control və real-control qanunları çıxarılmışdır.
• Mənbə göstərilən assumptions altında closed-loop siqnalları üçün SGUUB nəticəsi çıxarmağı hədəfləyir.
• Elektromexaniki sistem simulyasiyasında tracking error təyin edilmiş funnel daxilində qalmışdır.
• Aktuator fault-unun \(t=10\) saniyədə işə düşdüyü və input delay-in 1,5 s olduğu simulyasiyada istinad izləməsi qorunmuşdur.
• Üç parameter seti arasında Case 3 yayımlanan MSE, RMSE, SSE və NMSE dəyərlərində ən aşağı xətaları vermişdir.
• Mənbə metodu actuator faults, input delay, funnel control və nonstrict-feedback xüsusiyyətlərini eyni quruluşda əhatə edən framework kimi mövqeləndirir.

Çalışmanın dəstəkləmədiyi və ya sübut etmədiyi nəticələr

• Nəzarətçinin real elektromexaniki avadanlıq üzərində işlədiyi göstərilməmişdir.
• Real aktuator nasazlığı fiziki olaraq enjekte edilməmişdir.
• Real network latency və ya communication delay ölçümü aparılmamışdır.
• Giriş gecikməsinin dəyişən və ya stochastic olduğu ssenarilər doğrulanmamışdır.
• Tam aktuator itkisi \(\gamma=0\) əhatə olunmur.
• Actuator saturation və ya rate limit açıq şəkildə nəzarət dizaynına daxil edilməmişdir.
• Fuzzy-rule sayı və embedded processor üzərində real execution time ölçülməmişdir.
• Üç gain setindən başqa geniş global sensitivity və ya Monte Carlo robustness analizi aparılmamışdır.
• Şəkil 8 müqayisəsi metodun [40]-a qarşı kəmiyyət üstünlüyü faizini göstərmir.
• Tablo 1-in MAE və BFR dəyərlərinin yayımlanan formullarla tam riyazi tutarlılığı göstərilə bilmir.
• Lyapunov çıxarışındakı yayımlanmış işarə/notasiya problemləri həll edilmədən sübut zəncirinin bütün cebirsel addımlarının eksiksiz olduğu deyilə bilməz.
• “Real-world example” ifadəsi fiziki sahə və ya laboratoriya doğrulaması anlamına gəlmir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

Adaptiv bulanıq funnel nəzarət zənciri

Simulyasiya şərtlərinin xülasəsi

Controller-parameter sensitivity nəticələri

Yayımlanan dörd uyğun xəta metrikasında Case 3 ən aşağı, Case 1 ən yüksək xətanı verir. Bu nəticə controller gain-lərinin tracking performance üzərində aydın təsiri olduğunu göstərir; lakin control-energy trade-off üçün ayrıca kəmiyyət enerji cədvəli verilmədiyindən “Case 3 ümumilikdə hər baxımdan ən yaxşı controller” nəticəsi çıxarıla bilməz.

Mənbədə verilən bütün Tablo 1 metrikləri

Elmi xəbərdarlıq: MAE və BFR rəqəmləri mənbə cədvəlindən olduğu kimi aktarılmışdır; lakin yuxarıda izah edilən formula–cədvəl uyğunsuzluqları səbəbindən yenidən hesablanmış və ya “doğrulanmış” dəyərlər kimi təqdim edilmir.

Sübut səviyyələrinin ayrılması

Çalışmanın güclü tərəfləri

• Actuator fault ilə input delay-i eyni adaptive fuzzy-control problemində araşdırır.
• Transient tracking behavior-ı yalnız error minimization yerinə predefined funnel ilə sərhədləyir.
• Unknown nonlinear functions üçün FLS approximation istifadə edir.
• Backstepping dizaynını bütün sistem dərəcəsi boyunca açıq şəkildə çıxarır.
• Multiplicative effectiveness loss ilə additive actuator fault-u ayrı dəyişənlərlə təmsil edir.
• External disturbances-i nəzarət nəzəriyyəsinə daxil edir.
• Parameter sensitivity üçün tək nominal ayarla kifayətlənməyib üç gain seti təqdim edir.
• MSE, RMSE, SSE və NMSE kimi kəmiyyət simulyasiya metrikləri bildirir.
• Funnel sərhədini və tracking error-u zaman sahəsində vizual olaraq birlikdə göstərir.

Əsas metodoloji və mənbədaxili məhdudiyyətlər

• Fiziki təcrübə yoxdur.
• Birinci dərəcəli Padé approximation gecikmənin təxmini təmsilidir.
• Padé tənliklərində \(\kappa\), \(\tau\) və \(t_d\) notasiyası tutarlı istifadə edilməmişdir.
• Aktuator tamamilə təsirsiz hala gələ bilmir; \(\gamma_{\min}>0\) fərz olunur.
• Actuator saturation və rate constraints modelləşdirilməmişdir.
• Lyapunov çıxarışında Denklem (60)–(62) arasında işarə/notasiya problemi var.
• Simulyasiya nəzarət qanununda nəzəri tənliklərlə notasiya/işarə fərqləri var.
• Aktuator fault nümunəsində \(x_1,x_2\) simvolları izah edilmədən istifadə olunur.
• MAE formulu ilə Tablo 1 dəyərləri riyazi olaraq uyğun gəlmir.
• BFR formulu ilə NMSE/BFR cədvəl dəyərləri uyğun gəlmir.
• Ref. [40] müqayisə izahı eyni çalışmanın ədəbiyyat siyahısındakı başlıqla ziddiyyət təşkil edir.
• Parameter sensitivity yalnız üç seçilmiş controller setting ehtiva edir.
• Control effort üçün kəmiyyət toplam enerji və ya RMS enerji müqayisə cədvəli verilmir.
• Real-time computational complexity ölçülməmişdir.
• Variable delay, sensor fault və cyber-physical communication constraints gələcək işə buraxılmışdır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Tam orijinal çalışma adı: Adaptive Tracking Control of Nonstrict-Feedback Nonlinear Systems with Actuator Faults and Input Delay via a Fuzzy Funnel Approach

Müəlliflər: Abdelwaheb Mhemdi, Mohamed Kharrat, Ameni Gargouri və Paolo Mercorelli.

Müəllif sırası: 1. Abdelwaheb Mhemdi; 2. Mohamed Kharrat; 3. Ameni Gargouri; 4. Paolo Mercorelli.

Məsul müəllif: Paolo Mercorelli.

Birgə töhfə/birgə birinci müəlliflik: Mənbədə belə bir bəyan yoxdur.

Qurumlar:

1. Mathematics Department, College of Sciences and Humanities, Prince Sattam Bin Abdulaziz University, Al-Kharj, Riyadh, Saudi Arabia.
2. Laboratory of Probability and Statistics LR18ES28, Faculty of Sciences, Sfax University, Sfax, Tunisia.
3. Institute for Production Technology and Systems, Leuphana University of Lueneburg, Germany.

Jurnal: Actuators.

Nəşriyyat: MDPI, Basel, Switzerland.

Biblioqrafik məlumat: Actuators 2026, 15(7), 384.

DOI:10.3390/act15070384

Rəsmi nəşr bağlantısı:MDPI – Actuators 15(7), 384

Nəşr tarixi: 8 iyul 2026. Çalışma 14 iyun 2026-da alınmış, 5 iyul 2026-da revizə edilmiş və 6 iyul 2026-da qəbul edilmişdir.

Mənbə növü və rəyçilik vəziyyəti: Actuators jurnalında yayımlanmış rəyli araşdırma məqaləsidir. Metodoloji doğrulama analitik sabitlik araşdırması və sayısal elektromexaniki sistem simulyasiyasına əsaslanır.

Lisenziya: Creative Commons Attribution (CC BY).

Akademik redaktor: Giorgio Olmi.

Maliyyələşmə: Araşdırma Prince Sattam bin Abdulaziz University tərəfindən PSAU/2025/01/33516 layihə nömrəsi çərçivəsində dəstəklənmişdir.

Etik kurul: Uyğun deyil.

Məlumatlandırılmış razılıq: Uyğun deyil.

Veri əlçatanlığı: Mənbə verilerin məqalə içində olduğunu; əlavə sualların məsul müəllifə yönəldilə biləcəyini bildirir.

Maraqlar toqquşması: Müəlliflər maraqlar toqquşması olmadığını bəyan etmişdir.

Müəllif töhfələri: Abdelwaheb Mhemdi araşdırma, metodologiya və nəzərdən keçirmə/düzəliş; Mohamed Kharrat araşdırma, doğrulama və ilk qaralama; Ameni Gargouri nəzərdən keçirmə/düzəliş; Paolo Mercorelli məsləhətçilik, konseptuallaşdırma və nəzərdən keçirmə/düzəliş rollarını üstlənmişdir.

Elmi əhatə: Çalışma nonstrict-feedback nonlinear systems üçün fuzzy logic approximation, adaptive backstepping, funnel transformation, actuator-fault accommodation və Padé input-delay approximation komponentlərini eyni control framework içində birləşdirir.

Doğrulama növü: Xülasə və nəticə bölməsində “real-world example” ifadəsi istifadə olunsa da Bölüm 4 “Simulation Results” başlığı altındadır. Elektromexaniki sistem fiziki təcrübə qurğusu kimi qurulmamış; riyazi model üzərində simulyasiya edilmişdir. Buna görə çalışma real sahə və ya laboratoriya doğrulaması kimi təqdim edilməməlidir.

Padé notasiya sərhədi: Denklem (2)-də \(e^{-\kappa s}\) gecikməsi üçün Padé ifadəsinin surəti \(\kappa\), məxrəci \(\tau\) simvolunu istifadə edir. Denklem (3)-də yenidən \(\kappa\) istifadə olunur. Sonra \(\rho=2/t_d\) təyin edilərkən \(t_d\) daha əvvəl izah edilməmişdir. Mənbə bu notaları uzlaşdırmır.

Funnel çevrilməsi sərhədi: Mənbə \(|e_1|<F_\psi\) şərtinin çevrilmə məxrəcinə müsbət qalma təmin etdiyini bildirir. Sadə strict inequality məxrəcin sərhəddən uniform ayrıldığını göstərməsə də sonrakı Lyapunov nəticəsi \(e_1\) üçün \(F_\psi\)-nin sabit nisbəti ilə sərhəd çıxarır.

Lyapunov sübutu qeydi: Denklem (60)-da \(-k_n\gamma_{\min}z_n^2\) kimi olan termin Denklem (62)-yə keçiddə \(+k_n\gamma_{\min}z_n^2\) kimi görünür. Eyni Denklem (60)-da daha əvvəl müəyyən edilməyən \(\xi_n\) simvolu istifadə edilir. Buna baxmayaraq mənbə \(\dot V_n\leq-c_0V_n+d_0\) nəticəsinə keçir. Bu işarə/notasiya problemi səssizcə düzəldilməmişdir.

Controller-denklem qeydi: Simulyasiya üçün verilən Denklem (72)-dəki \(\alpha_1\) ifadəsi nəzəri çıxarışdakı əvvəlki formulla işarə və simvol istifadəsi baxımından tam örtüşmür. Mənbə bu keçidi ayrıca açıqlamır.

Actuator-fault notasiyası: Denklem (70)-də additive fault \(\cos^2(x_1)x_2\) şəklində verilir; əvvəlki modeldə vəziyyətlər \(\eta_1,\eta_2,\eta_3\) ilə göstərilir. \(x_1,x_2\) ayrıca təyin edilməmişdir.

MAE uyğunsuzluğu: Denklem (73) MAE-ni \(\max|y-y_r|\) kimi tərif edir. Bu maksimum mütləq xəta tərifidir. Tablo 1-dəki “MAE” dəyərləri isə hər üç halda RMSE dəyərlərindən kiçikdir və buna görə yayımlanan maksimum-xəta formulu ilə uyğun deyil.

BFR uyğunsuzluğu: Denklem (77) ilə Denklem (78) birlikdə istifadə edildikdə \(BFR=100(1-\sqrt{NMSE})\) əlaqəsi yaranır. Tablo 1-in yayımlanan NMSE və BFR sütunları bu əlaqəni təmin etmir. Mənbə fərqli hesablama metodu və ya normallaşdırma izah etmir.

Müqayisə sərhədi: Şəkil 8 təklif edilən metodu Ref. [40] ilə müqayisə edir. Comparative-results mətni Ref. [40]-ın input delay ehtiva etdiyini, lakin funnel control istifadə etmədiyini bildirir. Eyni məqalənin ədəbiyyat başlığı isə Ref. [40]-ı “Observer-based adaptive funnel dynamic surface control for nonlinear systems with unknown control coefficients and hysteresis input” kimi verir. Buna görə baseline metodunun tərifində mənbədaxili ziddiyyət var.

Parameter-sensitivity sərhədi: Case 1–3 müqayisəsi üç seçilmiş controller-parameter setidir. Geniş stochastic uncertainty, Monte Carlo, global tuning və ya optimizer-based sensitivity campaign deyil.

Hesablama mürəkkəbliyi sərhədi: Mənbə metodun matrix inversion və ya iterative online optimization tələb etmədiyini və complexity-nin fuzzy-rule və state sayı ilə təxminən xətti böyüdüyünü müdafiə edir. Lakin real embedded processor üzərində execution-time, memory və ya sampling-frequency benchmark-ı təqdim edilmir.

Gələcək iş: Müəlliflər metodu stochastic nonlinear switched systems, actuator və sensor faults, communication constraints, event-triggered control və cyber–physical applications istiqamətində genişləndirməyi təklif edirlər.

Bu Verianla məzmunundakı elmi metod, tənliklər, simulyasiya parametrləri, cədvəllər, müqayisələr və məhdudiyyətlər yalnız araşdırılan çalışmaya əsaslanır. Xarici mənbə yalnız biblioqrafik nəşr kimliyinin doğrulanması məqsədilə istifadə edilmişdir. Mənbədəki riyazi, notasiya və müqayisəli uyğunsuzluqlar səssizcə düzəldilməmişdir.