FO_LE, Caputo hosilasi bilan modellashtirilgan kommensurat va non-kommensurat kasr tartibli dinamik tizimlarning chekli vaqtli Lyapunov ko'rsatkichlarini hisoblash uchun ishlab chiqilgan MATLAB dasturidir. Usul, oldingi FO_Lyapunov va FO_NC_Lyapunov ilovalaridagi klassik Gram-Schmidt ortogonallashtirishni QR asosidagi qayta ortonormallashtirish bilan almashtiradi hamda kengaytirilgan holat-variatsiya tizimini yangi kvadratik LIL predictor-corrector integratori bilan yechadi. Tadqiqotdagi aniq yechimli benchmark LIL_nc klassik tezlashtirilmagan ABM_nc usulidan ham xatolik, ham hisoblash vaqti jihatidan sezilarli darajada yaxshiroq ekanligini; FFT bilan tezlashtirilgan fde12_nc2 bilan solishtirganda mutlaq xatolik bo'yicha biroz orqada qolsa-da, o'xshash kattalikdagi xatolik, raqobatbardosh vaqt va biroz yuqoriroq kuzatilgan yaqinlashish tartibini taqdim etishini ko'rsatadi.

Rabinovich-Fabrikant tizimi ustidagi tajribalar shuni ko'rsatadiki, xuddi shu FO_LE dasturi turli kasr tartibli vektorlarda xaotik traektoriya va asimptotik barqaror rejimlarni ajrata oladi. Masalan, kommensurat (alpha=0.999) holatida hisoblangan spektr taxminan ((0.1017,;0.0000,;-1.9048)) bo'lib, eng katta Lyapunov ko'rsatkichining ijobiy bo'lishi o'rganilayotgan traektoriyaning xaotik xatti-harakatiga mos keladi. Bunga nisbatan, (alpha=(0.6,0.8,0.7)) uchun barcha hisoblangan ko'rsatkichlar manfiy bo'lib, traektoriya barqaror muvozanatga yaqinlashadi.

Asosiy talqin chegarasi: Tadqiqotda olingan Lyapunov ko'rsatkichlari nazariy (tightarrowinfty) limitidagi mutlaq asimptotik spektrlar emas, balki ma'lum boshlang'ich shartlardan yaratilgan raqamli traektoriyalar bo'ylab hisoblangan chekli vaqtli va mahalliy yaqinlashishlardir. Shuningdek, (h), (h_{mathrm{norm}}), oxirgi vaqt (T) va kasr tartibli vektor natijalarning raqamli ishonchliligiga ta'sir qilishi mumkin.

Kasr tartibli tizimlarda Lyapunov ko'rsatkichi nima uchun qiyinroq hisoblanadi?

Klassik dinamik tizimlarda bitta boshlang'ich holatga juda yaqin ikkita traektoriyaning vaqt o'tishi bilan bir-biridan ajralishi yoki bir-biriga yaqinlashishi tezligini Lyapunov ko'rsatkichlari bilan miqdoriy jihatdan o'rganish mumkin. Eng katta ijobiy Lyapunov ko'rsatkichi kichik boshlang'ich farqlarning o'rtacha eksponensial ravishda o'sib borishini va nozik boshlang'ich shartga bog'liqlik mavjud bo'lgan rejimni ko'rsatadi.

Kasr tartibli tizimlarda hisoblash ancha murakkab; chunki Caputo hosilasi tizimning o'tmishini integral yadrosi orqali olib yuradi. Tadqiqotda (0<alpha_i<1) uchun komponent bazasidagi Caputo hosilasi

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t) = frac{1}{Gamma(1-alpha_i)} int_0^t frac{x'_i(au)} {(t-au)^{alpha_i}} ,dau \]

sifatida ta'riflanadi. Bu yerdagi integral (0) dan hozirgi vaqtgacha bo'lgan barcha o'tmishni o'z ichiga oladi. Shuning uchun raqamli algoritmning faqatgina "hozirgi holat" bilan ishlashi yetarli emas; kasrli xotira (fractional memory) tuzilishini saqlab qolish kerak.

Kommensurat va non-kommensurat nima degani?

Tadqiqot

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), qquad i=1,ldots,n_e \]

shaklidagi ko'p komponentli Caputo tizimini ko'rib chiqadi. Agar

\[ alpha_1=alpha_2=cdots=alpha_{n_e}=alpha \]

bo'lsa tizim kommensurat; kamida ikkita komponentning tartibi farqli bo'lsa non-kommensurat sifatida ko'rib chiqiladi. FO_LE ning muhim jihatlaridan biri shundaki, u ikki sinfni turli asosiy algoritmlar bilan emas, balki bir xil hisoblash doirasida qo'llab-quvvatlaydi.

Variatsiya tizimi nima uchun kerak?

Lyapunov ko'rsatkichini hisoblash uchun faqat referans traektoriyasini bilish yetarli emas. Ushbu traektoriya atrofidagi kichik tebranishlarning (perturbatsiyalarning) qanday o'sishini ham kuzatish kerak. Buning uchun (Phi(t)) perturbatsiya matritsasi qo'llaniladi:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}phi_{ij}(t) = sum_{k=1}^{n_e} frac{partial f_i} {partial x_k} (t,x(t)) phi_{kj}(t), \]

va boshlang'ich shart

\[ Phi(0)=I_{n_e} \]

sifatida olinadi.

Shunday qilib, original (n_e) tenglama va (n_e^2) variatsiya tenglamasi birgalikda yechiladi. Kengaytirilgan tizim jami

\[ n_e+n_e^2 \]

tenglamadan iborat bo'ladi.

Nima uchun Gram-Schmidt o'rniga QR ishlatiladi?

Oldingi FO_Lyapunov dasturlarida perturbatsiya vektorlari klassik Gram-Schmidt jarayoni bilan ortogonallashtirilar edi. Yangi FO_LE ilovasi buning o'rniga

[ A=QR ]

ajratilishidan foydalanadi. Bu yerda (Q) ortonormal yangi perturbatsiya bazasini, yuqori uchburchakli (R) matritsasi esa o'sha integratsiya oralig'idagi mahalliy uzayish ma'lumotlarini tashiydi.

Usulda (R) ning diagonal belgilari izchil holatga keltirilgandan so'ng

\[ z_k=|R_{kk}| \]

olinadi va yig'iladigan o'sish

\[ s_kleftarrow s_k+log z_k \]

bilan yangilanadi.

LIL predictor-corrector yondashuvi

FO_LE ning ikkinchi muhim o'zgarishi integratordir. Tadqiqot, oldingi ABM asosidagi yechuvchilar o'rniga kvadratik Lagrange Interpolation at the Last step (LIL) predictor-corrector sxemasidan foydalanadi.

Predictor bosqichi

\[ y^{(p)}_{n+1} = y_0+ frac{h^alpha}{Gamma(alpha+1)} sum_{k=0}^{n} b^{(alpha)}_{n-k}f_k \]

va

\[ b_j^{(alpha)} = (j+1)^alpha-j^alpha \]

og'irliklari bilan belgilanadi.

Keyin implicit corrector o'tmishdagi funksiya qiymatlarini va yangi nuqtadagi (f(t_{n+1},y_{n+1})) hadini birgalikda ishlatadi. Non-kommensurat tizimlarda formula komponent bazasida qo'llaniladi va har bir tenglama uchun o'zining (alpha_i) tartibiga mos keladigan og'irliklardan foydalaniladi.

Aniq yechimli benchmark nimani ko'rsatadi?

Raqamli usulni sinab ko'rish uchun tadqiqot, (alpha_1=0.9) va (alpha_2=0.8) tartiblariga ega bo'lgan ikki o'lchovli non-kommensurat tizimdan foydalanadi:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1=-x_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = -2x_2+ left(x_1-x_{1,e}(t)ight)^2. \]

Boshlang'ich shart (x_1(0)=x_2(0)=1) dir. Aniq yechim Mittag-Leffler funksiyalari orqali ma'lum bo'lgani uchun, har bir yechuvchining xatosini bevosita hisoblash mumkin:

\[ x_e(t)= egin{bmatrix} E_{alpha_1}(-t^{alpha_1})\ E_{alpha_2}(-2t^{alpha_2}) end{bmatrix}. \]

Xatolik metrikasi, barcha vaqt tugunlaridagi diskret maksimum normadir:

\[ E(h)= max_n |x_n-x(t_n)|_infty. \]

Benchmarkning eng yorqin natijasi: klassik ABM ning narxi (xarajati)

Eng nozik to'r bo'lgan (h=0.000625) uchun manba jadvali quyidagi qiymatlarni beradi:

• LIL_nc: xatolik (1.77imes10^{-6}), CPU 0.05995 s, kuzatilgan tartib 1.60.
• fde12_nc2: xatolik (1.71imes10^{-6}), CPU 0.03252 s, kuzatilgan tartib 1.57.
• ABM_nc: xatolik (6.52imes10^{-4}), CPU 6.16438 s, kuzatilgan tartib 0.80.

Bu nuqtada fde12_nc2 mutlaq xatolik va ishlash vaqti jihatidan LIL_nc dan biroz yaxshiroq natija bermoqda. Shuning uchun manba, LIL_nc ning optimallashtirilgan FFT asosidagi fde12_nc2 ni mutlaq ma'noda "yengdi" degan xulosani qo'llab-quvvatlamaydi. Tadqiqot qo'llab-quvvatlagan ehtiyotkorroq talqin shuki, LIL_nc bir xil xatolik tartibida raqobatbardosh ekanligi va biroz yuqoriroq kuzatilgan yaqinlashish tartibini ko'rsatganidir.

Rabinovich-Fabrikant tizimi bilan xaos va barqarorlik

FO_LE keyinchalik uch o'zgaruvchili fractional Rabinovich-Fabrikant tizimi ustida sinab ko'riladi:

\[ {}^{C}D_t^{alpha_1}x_1 = x_2(x_3-1+x_1^2)+ax_1, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_2}x_2 = x_1(3x_3+1-x_1^2)+ax_2, \]

\[ {}^{C}D_t^{alpha_3}x_3 = -2x_3(b+x_1x_2), \]

va tadqiqotda (a=-1), (b=-0.1) tanlanadi.

Muvozanat nuqtalari

\[ E_0=(0,0,0) \]

va taxminan

\[ E_pm=(pm0.1479,;pm0.6759,;1.1969) \]

sifatida beriladi.

Uchta kasr tartibli konfiguratsiya, uch xil raqamli ko'rinish

Nega uchinchi namunaga “davriy” (periyodik) deyilmaydi?

(alpha=(0.85,0.965,0.999)) holatida manba traektoriyaning vizual jihatdan davriydik ko'rinishi mumkinligini alohida ta'kidlaydi. Biroq, Caputo hosilasi bilan modellashtirilgan avtonom fractional-order tizimlarida o'zgarmas bo'lmagan haqiqiy davriy yechimlar mavjud emasligiga oid nazariy natija tufayli, tadqiqot bu xatti-harakatni “apparently” yoki “numerically periodic” sifatida cheklaydi.

Bu farq ilmiy jihatdan muhimdir: faza grafigining yopiq egri chiziqqa o'xshashi o'z-o'zidan haqiqiy matematik davriylikning dalili emas.

hnorm nega muhim (kritik)?

h integratsiya qadami LIL_nc yechuvchisining vaqt aniqligini (rezolyutsiyasini) belgilasa, hnorm perturbatsiya matritsasi necha vaqt birligida bitta QR bilan qayta ortonormallashtirilishini belgilaydi.

Tadqiqotga ko'ra, agar hnorm juda katta tanlansa, perturbatsiya vektorlari QR jarayonidan oldin bir-biriga haddan tashqari yaqinlashishi va raqamli shartlilik (conditioning) buzilishi mumkin. Juda kichik tanlanganda esa qayta ortonormallashtirish juda tez-tez amalga oshiriladi va chekli vaqtli uzayish ma'lumotlari kamroq ma'noga ega bo'lib qoladi.

Manbada universal optimal hnorm formulasi keltirilmagan. O'tkazilgan tajribalarda (h=0.01) uchun taxminan (h_{mathrm{norm}}=0.2) qiymati ishlatilgan namunalar nuqtai nazaridan barqarorlik, izchillik va hisoblash xarajatlari o'rtasida munosib muvozanatni ta'minlashi ta'kidlangan.

Tadqiqot qo'llab-quvvatlagan natijalar

• FO_LE ning kommensurat va non-kommensurat Caputo tizimlari uchun umumiy Lyapunov ko'rsatkichini hisoblash doirasini taqdim etishi.
• Klassik Gram-Schmidt o'rniga QR asosidagi reorthonormalization (qayta ortonormallashtirish) dan foydalangani.
• Kengaytirilgan holat-variatsiya tizimini LIL/LIL_nc predictor-corrector yondashuvi bilan birlashtirgani.
• Aniq yechimli benchmarkda LIL_nc klassik ABM_nc dan ancha past xatolik va ishlash vaqtini taklif qilishi.
• LIL_nc ning FFT bilan tezlashtirilgan fde12_nc2 bilan bir xil xatolik kattaligi tartibida raqobatbardosh ekanligi va bu tajribada biroz yuqoriroq kuzatilgan yaqinlashish tartibini ta'minlagani.
• Rabinovich-Fabrikant namunalarida turli boshlang'ich/tartib tuzilmalariga nisbatan turli chekli vaqtli Lyapunov spektrlari hisoblanishi mumkinligi.
• Takrorlanuvchi QR bosqichlari tadqiqot o'zlashtirgan impulsive formulation doirasida fractional memory (kasrli xotira) tamoyilini saqlab qolish uchun ishlab chiqilgani.

Tadqiqot qo'llab-quvvatlamagan yoki isbotlamagan natijalar

• FO_LE bilan hisoblangan har bir Lyapunov spektrining haqiqiy (tightarrowinfty) asimptotik spektr bilan to'liq teng ekanligini isbotlamaydi.
• Bitta ijobiy raqamli LE (Lyapunov ko'rsatkichi) ning yomon tanlangan yechim parametrlaridan mustaqil ravishda mutlaq xaos dalili ekanligini aytmaydi.
• LIL_nc ning barcha fractional differensial tenglama muammolarida fde12_nc2 dan ko'ra aniqroq yoki tezroq ekanligini ko'rsatmaydi.
• (h_{mathrm{norm}}=0.2) qiymatini barcha tizimlar uchun universal optimum sifatida taqdim etmaydi.
• Raqamli ravishda yopiq ko'rinadigan faza traektoriyasini avtomatik ravishda haqiqiy davriy yechim sifatida qabul qilmaydi.
• Tadqiqotdagi bitta Rabinovich-Fabrikant namunalar oilasining barcha fractional xaotik tizimlarni ifodalashini ko'rsatmaydi.

Turkiya nuqtai nazaridan ilmiy foydalanish sohasi

Tadqiqot Turkiyaga xos ma'lumot yoki ilovani o'z ichiga olmaydi. Shunga qaramay, MATLAB asosidagi chiziqli bo'lmagan dinamik tizim, boshqaruv, elektr-elektronika, mexanik tizimlar yoki fractional calculus bo'yicha tadqiqot olib boruvchi akademik guruhlar nuqtai nazaridan FO_LE ning ochiq algoritmik tuzilishi, ayniqsa qayta ishlab chiqarish (reproducibility) jihatidan baholanishi mumkin. Turkiyadagi turli xil apparat ta'minotlari va MATLAB versiyalarida CPU vaqtlari, tolerantlik tanlovi va uzoq vaqt xatti-harakati alohida tasdiqlanishi kerak; manbada ko'rsatilgan tezlik qiymatlarining mahalliy tizimlarga to'g'ridan-to'g'ri ko'chirilishi ilmiy jihatdan to'g'ri bo'lmaydi.

Tadqiqot Usuli va Natijalari (Topilmalari)

Matematik muammo

Tadqiqotning asosiy boshlang'ich qiymat muammosi

\[ {}^{C}D_t^{alpha_i}x_i(t)=f_i(t,x(t)), quad x(0)=x_0, quad 0<alpha_i<1 \]

shaklidadir. Lyapunov hisobi uchun referans traektoriyasiga qo'shimcha ravishda Jacobian ga asoslangan variatsiya tizimi yechiladi.

Benettin-QR ish oqimi

1. Boshlang'ich perturbatsiya matritsasi (I_{n_e}) sifatida o'rnatiladi.
2. Original tizim va variatsiya tizimi birlashtiriladi.
3. Kengaytirilgan tizim (h_{mathrm{norm}}) uzunligidagi vaqt oralig'ida LIL_nc bilan integratsiya qilinadi.
4. Variatsiya bloki (Phi) matritsasi sifatida olinadi.
5. (Phi=QR) ajratilishi bajariladi.
6. (R) ning diagonal qiymatlaridan (z_k=|R_{kk}|) hisoblanadi.
7. (s_kleftarrow s_k+log z_k) bilan o'sish yig'iladi.
8. (lambda_k=s_k/(t-t_{mathrm{start}})) orqali chekli vaqtli Lyapunov ko'rsatkichlari yangilanadi.
9. Q matritsasi yangi perturbatsiya bazasi sifatida kengaytirilgan holatga qayta joylashtiriladi.
10. Oxirgi vaqtga yetguncha jarayon takrorlanadi.

Aniq yechimli benchmarkning to'liq qismi

Jadval LIL_nc to'r noziklashishi davomida taxminan 1.60-1.62 atrofida ancha barqaror eksperimental yaqinlashish tartibini namoyish etishini ko'rsatadi. fde12_nc2 barcha o'rganilgan to'rlarda biroz kichikroq mutlaq xatolik hosil qilsa, ABM_nc ham pastroq yaqinlashish tartibiga, ham ayniqsa nozik to'rlarda ancha yuqori CPU sarfiga ega.

RF namunasi 1 — kommensurat xaotik rejim

\[ alpha_1=alpha_2=alpha_3=0.999 \]

va boshlang'ich nuqta ((0.1,0.1,0.1)) uchun manba xaotik traektoriyani ko'rsatmoqda va taxminan

[ LE=(0.1017,;0.0000,;-1.9048) ]

natijasini ma'lum qilmoqda. Eng katta ko'rsatkichning musbat (ijobiy) bo'lishi bu hisoblangan traektoriyaning xaotik xususiyatiga mos keladi.

RF namunasi 2 — non-kommensurat barqaror muvozanat

[ alpha=(0.6,0.8,0.7) ]

holatida umumiy maxrajlardan (M=10) va

\[ gamma=frac1{10} \]

olinadi. Manbaning generalized stability (umumlashtirilgan barqarorlik) hisobida 21 ta ildizning minimal mutlaq argumenti (12.223^circ), kritik burchak esa (9^circ) dir. Shu sababli tegishli (E_pm) muvozanatlari mahalliy asimptotik barqarorlik shartini ta'minlaydi.

FO_LE natijasi:

[ LE=(-0.0894,;-0.1025,;-2.9471). ]

RF namunasi 3 — yuqori darajali generalized characteristic problem

[ alpha=(0.85,0.965,0.999) ]

uchun (M=1000) bo'ladi va generalized characteristic equation (umumlashtirilgan xarakteristik tenglama) 2814 darajali ko'phadga (polinomga) aylanadi (kengayadi). Kritik burchak taxminan

\[ heta^ast=frac{pi}{2000}approx0.09^circ \]

sifatida berilgan. Tadqiqotda barcha 2814 ta ildiz uchun eng kichik argument taxminan (0.0920^circ) topilgan va barqarorlik sharti ta'minlangani ta'kidlangan.

Hisoblangan spektr:

[ LE=(-0.0007,;-0.1303,;-1.4903). ]

Muhim raqamli parametrlar

Manbaning o'z tajribalarida (h=0.01) uchun (h_{mathrm{norm}}approx0.2) munosib amaliy muvozanatni ta'minlagan; uzoq vaqt hisobida (Tin[1000,1500]) oralig'i ishlatilgan RF namunalari uchun maqbul deb topilgan. Bular universal doimiylar emas, o'rganilayotgan muammolarning empirik tanlovlaridir.

Manba va Usul Izohi

Yuklangan manbadagi to'liq original sarlavha: Improved Matlab code for Lyapunov exponents of fractional order systems

Muallif: Marius-F. Danca.

Muassasa: STAR-UBB Institute, Babeș-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania.

Teng hissa qo'shuvchi/teng birinchi muallif: Qo'llanilmaydi; tadqiqot bitta muallifga tegishli.

Mas'ul muallif: Yagona muallif Marius-F. Danca uchun aloqa elektron pochtasi yuklangan tadqiqotda berilgan.

Yuklangan versiya: arXiv:2604.09334v1, 2026-yil 10-aprel.

Yuklangan versiyaning turi: Preprint / maqola oldindan versiyasi.

Joriy nashr holati: Yuklangan arXiv versiyasidan keyin tadqiqot taqrizdan o'tgan (peer-reviewed) International Journal of Bifurcation and Chaos jurnalida chop etilgan. Shuning uchun, yuklangan PDF'ning o'zi preprint bo'lsa-da, tadqiqot endi faqat preprint maqomida emas.

Nashr etilgan versiya sarlavhasi: Improved Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems. Sarlavhadagi katta/kichik harflar va “Fractional-Order” yozilishi nashr etilgan bibliografik yozuvdagi shakldir; yuklangan PDF ning original sarlavhasi bildirmasdan o'zgartirilmagan.

Jurnal: International Journal of Bifurcation and Chaos.

Nashriyot: World Scientific Publishing Company.

Jild / son / maqola raqami: Volume 36, Issue 12, 2650172.

Hakemli yayın DOI: 10.1142/S0218127426501725.

arXiv DOI: 10.48550/arXiv.2604.09334.

Nashr yili: 2026.

Bibliografik versiya farqi: Yuklangan manba 2026-yil 10-apreldagi arXiv v1 versiyasidir. Joriy bibliografik yozuvlar tadqiqot keyinchalik qabul qilinib, 2026-yil iyul oyida taqrizdan o'tgan jurnal versiyasi sifatida chop etilganini ko'rsatadi. Maqoladagi ilmiy usul, formula, benchmark va raqamli natijalar yuklangan manba versiyasidan ko'chirilgan; joriy jurnal ma'lumotlari faqat bibliografik tasdiqlash maqsadida qo'shilgan.

Moliyalashtirish: Yuklangan tadqiqotning o'rganilgan matnida alohida moliyalashtirish bayonnomasi aniqlanmadi.

Manfaatlar to'qnashuvi: Yuklangan versiyada alohida manfaatlar to'qnashuvi bayonnomasi aniqlanmadi.

CRediT/muallif hissasi: Yagona muallifli yuklangan versiyada alohida CRediT bayonnomasi mavjud emas.

Kodga kirish: Tadqiqot LIL va FO_LE MATLAB kodini ilovalarda taqdim etadi; tezkor LIL_nc versiyasi MATLAB Central File Exchange orqali taqdim etilganligi ta'kidlangan. FO_LE uchun keyinchalik MATLAB Central yozuvi ham yaratilgan.

Tasvirdan foydalanish usuli: Ushbu Verianla maqolasidagi SVG lar manba maqola rasmlarining to'liq nusxasi emas. Formulalar, usul tushuntirishlari va aniq hisobot qilingan raqamli qiymatlarga asoslanib Verianla uchun o'ziga xos tarzda qayta chizilgan. Manba 1-jadvalidan olingan miqdoriy SVG larda faqat manbada berilgan ma'lumotlar ishlatilgan.

Asosiy talqin chegarasi: Hisoblangan Lyapunov ko'rsatkichlari ma'lum boshlang'ich shart, vaqt oralig'i, integratsiya qadami va qayta ortonormallashtirish oralig'i ostida yaratilgan chekli vaqtli raqamli yaqinlashishlardir. Tadqiqotning o'zi ham ularning nazariy asimptotik spektr bilan bir xil deb hisoblanmasligi kerakligini ta'kidlaydi.