Ushbu tadqiqot zarba to‘lqinlari, siljish qatlamlari va zarba-to‘lqin/chegara-qatlam o‘zaro ta’sirlari kabi juda kuchli o‘zgarishlar mavjud bo‘lgan gipertovush oqimlarini hisoblash uchun Haar to‘lqinchasi kollokatsiya usulini ishlab chiqqan. Usul uch o‘lchamli siqiluvchan Navier–Stokes tenglamalariga qo‘llangan va uchinchi tartibli Runge–Kutta vaqt integratsiyasidan foydalanilgan. Tadqiqotchilar usulni uzoq vaqt davomida tashiladigan izentropik girdob, Mach 7,5 aralashish qatlami, Mach 6 uch o‘lchamli chegara qatlami o‘tishi va Mach 6 siqilish burchagi misollarida sinagan. Natijalar usul uzilish atrofida Gibbs turidagi sun’iy tebranishlar hosil qilmasdan keskin o‘zgarishlarni ifodalay olishini, kichik amplitudali beqarorliklarni yashirin sonli so‘nish bilan bostirmasligini va tanlangan gipertovush misollarida girdob hosil bo‘lishi, oqim o‘tishi hamda devor yaqinidagi termal gradientlarni qayta hosil qila olishini ko‘rsatadi. Biroq baholashlar asosan sifat jihatidan oqim tuzilmalari taqqoslashlariga tayangan; tajribaviy o‘lchov, batafsil xato normasi va zamonaviy zarba tutish usullari bilan teng hisoblash xarajatidagi miqdoriy taqqoslash taqdim etilmagan.

Haar to‘lqinchalarining asosiy afzalligi pog‘onasimon yoki keskin o‘zgaradigan funksiyalarga tabiiy ravishda moslashadigan bo‘lakli doimiy bazisga ega bo‘lishidir. Klassik global spektral bazislar uzilish atrofida haqiqiy yechimda bo‘lmagan yuqori chastotali tebranishlar hosil qilishi mumkin. Haar bazisi esa tadqiqotdagi Heaviside pog‘ona funksiyasi misolida birinchi va ikkinchi hosilalarni Gibbs tebranishlarisiz ifodalagan. Usul kuchli gradient bo‘lmagan sohalarda yashirin sonli diffuziya qo‘shmaydi; zarba o‘zaro ta’sirlari kabi barqarorlik talab qilinadigan sohalarda esa to‘r noziklashgan sari kamayadigan ochiq sun’iy viskozitetdan foydalanadi.

Turkiya nuqtai nazaridan baholash: Usul gipertovush havo vositalari, qayta kirish tizimlari, yuqori tezlikdagi aerotermodinamika, chegara qatlami o‘tishi, zarba-to‘lqin/sirt o‘zaro ta’sirlari va termal himoya tizimi tadqiqotlarida Turkiyada ishlab chiqiladigan hisoblash suyuqliklar dinamikasi infratuzilmalariga moslashtirilishi mumkin. Universitetlar, tadqiqot markazlari va aviatsiya-kosmik tashkilotlarda qo‘llanishi uchun algoritm mahalliy yechuvchilarga tatbiq etilishi, ochiq etalon testlar bilan qayta ishlab chiqarilishi, shamol tunneli yoki e’lon qilingan tajriba ma’lumotlariga qarshi tasdiqlanishi, parallel hisoblash samaradorligi o‘lchanishi va WENO, TENO, chekli hajm yoki uzlukli Galerkin usullari bilan bir xil to‘r va xato darajasida taqqoslanishi kerak. Tadqiqot Turkiyada ishlab chiqilgan vosita geometriyasi, mahalliy parvoz tajribasi, material tizimi yoki operatsion dizaynni o‘rganmagani sababli Turkiyaga xos samaradorlik, xavfsizlik yoki xarajat natijasini bevosita chiqarib bo‘lmaydi.

Gipertovush oqimlarini sonli yechish nega qiyin?

Gipertovush oqim maydonlarida bir-biridan juda farq qiladigan fazoviy masshtablar bir vaqtning o‘zida mavjud bo‘lishi mumkin. Bir vositaning umumiy uzunligi metrlarda ifodalansa, zarba qatlamidagi o‘zgarish mikrometr masshtabida sodir bo‘lishi mumkin. Tadqiqotda tipik zarba kengligi taxminan 7–9 mikrometr darajasida bo‘lishi va termodinamik o‘zgaruvchilar shu juda tor sohada keskin sakrash ko‘rsatishi mumkinligi qayd etilgan.

Ayni oqim maydonida quyidagi tuzilmalar birgalikda uchrashi mumkin:

• Zarba to‘lqinlari,
• Siqilish va kengayish sohalari,
• Siljish qatlamlari,
• Zarba-zarba o‘zaro ta’sirlari,
• Zarba-to‘lqin/chegara-qatlam o‘zaro ta’sirlari,
• Kichik amplitudali beqarorlik to‘lqinlari,
• Laminar-turbulent o‘tish tuzilmalari,
• Devor yaqinidagi juda kuchli harorat va zichlik gradientlari.

Sonli usul zarbani barqaror tarzda yecha olishi uchun keskin o‘zgarishlar atrofidagi sun’iy tebranishlarni bostirishi kerak. Biroq ortiqcha sonli diffuziya o‘tishni boshlaydigan juda kichik amplitudali to‘lqinlarni ham so‘ndirishi mumkin. Shu sababli gipertovush o‘tish hisoblarida ikki talab o‘zaro raqobatlashadi: zarba atrofida barqarorlik va silliq sohalarda past so‘nish.

Mavjud usullarning asosiy qiyinchiliklari

Chekli ayirmalar oilasidagi ENO, WENO va TENO usullari zarbali oqimlarda keng qo‘llanadi. Bu usullar yechimning silliqligiga qarab hisoblash shabloni yoki og‘irliklarini o‘zgartirib, uzilish atrofidagi tebranishlarni cheklaydi. Kompakt chekli ayirma usullari esa silliq sohalarda spektralga yaqin aniqlik bera oladi.

Chekli element va uzlukli Galerkin usullari murakkab geometriyalar va tartibsiz to‘rlarga osonroq qo‘llanadi. Biroq yuqori tartibli elementlarda zarbani tutish uchun sensorga bog‘liq sun’iy viskozitet yoki boshqa barqarorlik mexanizmlari kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, yuqori Mach sonli o‘tish to‘lqinlarini yechish uchun har bir elementda ko‘p sonli erkinlik darajalari talab etilishi mumkin.

Klassik spektral usullar silliq funksiyalarda kam sonli erkinlik darajasi bilan yuqori aniqlik bera oladi. Ammo global trigonometrik yoki polinom bazis uzilish atrofida Gibbs hodisasi tufayli sun’iy tebranishlar hosil qiladi. Kuchli filtrlash yoki sun’iy diffuziya bu tebranishlarni kamaytirishi mumkin, biroq kichik fizik beqarorliklarning yo‘qolishiga olib kelishi mumkin.

To‘lqincha yondashuvi nimani o‘zgartiradi?

To‘lqincha usullari bitta global silliqlikni faraz qilish o‘rniga, asosiy to‘lqinchani turli masshtab va joylarga ko‘chirilgan shakllarda ishlatadi. Shunday qilib, ham fazoviy joylashuv, ham masshtab haqidagi ma’lumot saqlanishi mumkin. Agar yechimdagi mahalliy tuzilma ishlatilayotgan to‘lqincha bazisiga o‘xshasa, uni kam sonli koeffitsiyent bilan ifodalash mumkin.

Haar to‘lqinchasi eng sodda to‘lqincha oilasidir. Uning asosiy shakli ma’lum bir oraliqda +1, qo‘shni oraliqda −1 va boshqa sohalarda nolga teng. Bu bo‘lakli doimiy va uzlukli tuzilma zarbaga o‘xshash keskin o‘tishlarga tabiiy ravishda mos keladi.

Tadqiqotning original hissalari uch sarlavha ostida taqdim etilgan:

1. Haar to‘lqincha kollokatsiya usulining uch o‘lchamli siqiluvchan Navier–Stokes tenglamalari uchun to‘liq matematik formulatsiyasini ishlab chiqish,
2. Usul yashirin sonli so‘nish hosil qilmasligini uzoq muddatli girdob testi orqali ko‘rsatish,
3. Uni Mach 7,5 siljish qatlami, Mach 6 chegara qatlami o‘tishi va Mach 6 siqilish burchagi kabi gipertovush oqimlariga qo‘llash.

Gibbs hodisasi nima?

Gibbs hodisasi uzlukli funksiyani silliq va global bazislar bilan taxminan ifodalash jarayonida sakrash nuqtasi atrofida hosil bo‘ladigan sun’iy tebranishlardir. To‘r yoki hadlar soni oshirilganda tebranishlar egallagan soha torayishi mumkin; ammo cho‘qqi amplitudasi butunlay yo‘qolmasligi mumkin.

Tadqiqotda zarba bo‘ylab keskin o‘zgaradigan termodinamik o‘zgaruvchini ifodalash uchun Heaviside pog‘ona funksiyasidan foydalanilgan:

\[ H_s(x)= \begin{cases} 1, & x\geq 0{,}5,\\ 0, & x<0{,}5. \end{cases} \]

Funksiyaning ikkinchi hosilasi Haar to‘lqincha bazisida:

\[ \frac{d^2H_s}{dx^2}=\sum_{j=1}^{2M}a_jh_j(x) \]

ko‘rinishida ifodalangan. Bu yerda \(h_j(x)\) Haar bazis funksiyalarini, \(a_j\) esa to‘lqincha koeffitsiyentlarini ko‘rsatadi.

Ikki marta integrallanganda:

\[ H_s=Q\mathbf{a}+Ax+B \]

ifoda olinadi. Chegara shartlari ishlatilganda koeffitsiyent vektori:

\[ \mathbf{a}=\left[Q-xQ\big|_{x=1}\right]^{-1}(H_s-x) \]

ko‘rinishida hisoblanadi.

1-shaklda Haar usuli Chebyshev kollokatsiya usuli bilan taqqoslangan. Chebyshev yechimi uzilishning ikki tomonida va ayniqsa ikkinchi hosilada juda katta sun’iy tebranishlar hosil qilgan, Haar usuli esa bu tebranishlarni ko‘rsatmagan. Tadqiqotning gipertovush oqimlari nuqtai nazaridan tayangan asosiy matematik afzalligi shudir.

Haar to‘lqincha bazisi qanday ta’riflangan?

\(x\in[0,1]\) oralig‘ida Haar to‘lqinchasi:

\[ h_i(x)= \begin{cases} 1, & x\in[\xi_1,\xi_2),\\ -1, & x\in[\xi_2,\xi_3),\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases} \]

ko‘rinishidadir. Quyi oraliq chegaralari:

\[ \xi_1=\frac{k}{m},\qquad \xi_2=\frac{k+0{,}5}{m},\qquad \xi_3=\frac{k+1}{m} \]

ko‘rinishida beriladi. \(m=2^j\) kengayish darajasini, \(k\) esa to‘lqinchalarning fazodagi joyini belgilaydi. Aniqlik darajasi \(J\) oshgani sari kichikroq masshtabli Haar funksiyalari qo‘shiladi va ifodalanuvchi jami to‘lqinchalar soni ortadi.

B.8-shakl dastlabki uchta Haar to‘lqinchani ko‘rsatadi. Birinchi funksiya butun oraliqda doimiy bo‘lsa, keyingi funksiyalar kichikroq oraliqlarda +1 va −1 qiymatlarini oladi. Bu ierarxik tuzilma katta masshtabli va kichik masshtabli xususiyatlarni bir xil bazisda ifodalash imkonini beradi.

Eng yuqori hosila nega to‘g‘ridan-to‘g‘ri to‘lqinchalar bilan ifodalangan?

Haar funksiyalari uzlukli bo‘lgani sababli klassik ma’noda ularning hosilasini olish mos emas. Tadqiqotda bu muammo teskari yo‘nalishda yechilgan: differensial tenglamadagi eng yuqori tartibli hosila Haar bazisida yozilgan, so‘ngra bu ifoda integrallash orqali asl funksiyaga aylantirilgan.

Haar funksiyasining \(r\) marta integrali:

\[ h_{r,i}(x)=\int_0^x\int_0^x\cdots\int_0^x h_i(t)\,dt^r \]

ko‘rinishida ta’riflangan. Shu tariqa uzlukli bazisning hosilasini bevosita olish o‘rniga analitik ta’riflangan integral matritsalardan foydalanilgan.

Uch o‘lchamli Navier–Stokes tenglamalari

Usul kalorik jihatdan mukammal gaz uchun uch o‘lchamli siqiluvchan Navier–Stokes tenglamalariga qo‘llangan:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial t} +\frac{\partial\mathbf{F}_i}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_i}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_i}{\partial z} = \frac{\partial\mathbf{F}_v}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_v}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_v}{\partial z}. \]

Saqlanuvchi o‘zgaruvchilar vektori:

\[ \mathbf{w}=(\rho,\rho u,\rho v,\rho w,E)^T \]

ko‘rinishida berilgan. Bu yerda \(\rho\) zichlik, \(u\), \(v\) va \(w\) Dekart tezlik komponentlari, \(E\) esa jami energiya zichligidir.

Bosim:

\[ p=(\gamma-1)\left[E-\frac{1}{2}\rho(u^2+v^2+w^2)\right] \]

munosabati orqali olinadi.

Viskoz kuchlanish tenzori:

\[ \sigma_{ij}=\mu\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) -\frac{2}{3}\mu\delta_{ij} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \]

va issiqlik oqimi:

\[ q_i=-k\frac{\partial T}{\partial x_i} \]

ko‘rinishida ta’riflangan.

Issiqlik o‘tkazuvchanligi va harorat:

\[ k=\frac{C_p\mu}{Pr},\qquad T=\frac{p}{R\rho} \]

munosabatlari bilan hisoblangan. Viskozitet uchun haroratga bog‘liq daraja qonuni ishlatilgan:

\[ \frac{\mu}{\mu_{ref}}= \left(\frac{T}{T_{ref}}\right)^\omega \]

va manbada \(\mu_{ref}=1{,}716\times10^{-5}\), \(T_{ref}=273\) va \(\omega=0{,}7\) qiymatlari berilgan. Viskozitet birligi manba tenglamasida alohida yozilmagan.

Fazoviy diskretlash qanday bajarilgan?

Hisoblash \((\xi,\eta,\zeta)\) koordinatalarida bajarilgan va uch yo‘nalish uchun mustaqil aniqlik darajalari \(I\), \(J\) va \(K\) ishlatilgan. Har bir vaqt qadamida saqlanuvchi o‘zgaruvchilarning Haar koeffitsiyentlari uch yo‘nalishda alohida hisoblanadi.

\(\xi\) yo‘nalishidagi koeffitsiyent vektori misol sifatida:

\[ \mathbf{a}_{\xi} =MQ_{\xi}^{-1} \left[ \mathbf{w}-\mathbf{w}_L -\xi(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \right] \]

ko‘rinishida berilgan. Bu yerda \(\mathbf{w}_L\) va \(\mathbf{w}_R\) tegishli yo‘nalishdagi chap va o‘ng chegara qiymatlaridir.

Birinchi hosila:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial\xi} =MP_\xi\mathbf{a}_\xi +(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \]

ikkinchi hosila esa:

\[ \frac{\partial^2\mathbf{w}}{\partial\xi^2} =MH_\xi\mathbf{a}_\xi \]

ko‘rinishida hisoblangan. Hisoblash koordinatalaridagi hosilalar keyin ishlatilgan to‘r o‘zgartirish orqali fizik \(x\), \(y\) va \(z\) hosilalariga aylantirilgan.

Vaqt integratsiyasi

Tadqiqotda uchinchi tartibli Runge–Kutta usuli ishlatilgan:

\[ \mathbf{w}_1= \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_0}{\partial t} +\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_2= \frac{1}{4} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_1}{\partial t} +\mathbf{w}_1 \right) +\frac{3}{4}\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_3= \frac{2}{3} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_2}{\partial t} +\mathbf{w}_2 \right) +\frac{1}{3}\mathbf{w}_0. \]

\(\mathbf{w}_0\) oldingi vaqt qadamidagi yechimni ifodalaydi. Har bir tasdiqlash misolida vaqt qadami ko‘rsatilgan CFL soniga qarab belgilangan.

Usul haqiqatan ham umuman sun’iy diffuziya ishlatmaydimi?

Tadqiqotda ikki alohida tushunchani ajratish kerak:

• Haar diskretlashning o‘z tuzilishidan kelib chiqadigan yashirin sonli diffuziya yo‘qligi ilgari suriladi.
• Zarba yoki kuchli gradient mavjud hisoblarda barqarorlik uchun ochiq sun’iy viskozitet qo‘shiladi.

Ochiq sun’iy viskozitet koeffitsiyenti to‘r aniqligiga teskari mutanosib qilib tanlangan. Shu sababli to‘r noziklashgan sari sun’iy viskozitet kamayishi ko‘zda tutilgan. Biroq manbada barcha testlar uchun ishlatilgan koeffitsiyentlarning batafsil ro‘yxati, sensor shakli yoki yechim sifatiga sezgirlik tahlili berilmagan. Shuning uchun “umuman sonli diffuziya yo‘q” degan ifoda faqat usulning yashirin xatti-harakatiga tegishli; kuchli gradient testlarida ochiq barqarorlashtiruvchi had ishlatilgan.

H, P va Q matritsalarining ahamiyati

Haar yondashuvida \(H\) bazis qiymatlarini, \(P\) birinchi integrallarni, \(Q\) esa ikkinchi integrallarni ifodalaydi. Navier–Stokes tenglamalaridagi eng yuqori fazoviy hosila ikkinchi tartibli bo‘lgani sababli \(Q\) matritsasi zarur bo‘lgan eng past integral darajasidir.

2-shakl va 3-shakl ushbu matritsalar hamda ularning teskarilaridagi nol bo‘lmagan elementlarni ko‘rsatadi. \(H\) va \(P\) to‘g‘ri matritsalari ancha siyrak. \(Q\) va ayniqsa koeffitsiyent hisoblashda ishlatiladigan teskari matritsalar zichroq. \(H\) matritsasi ortogonaldir; integrallashdan keyin bu xususiyat yo‘qoladi.

Mavjud amalga oshirish aniqlikni ko‘rsatish maqsadida zich matritsa-vektor ko‘paytmasidan foydalangan. Bu amalga oshirishning har bir fazoviy yo‘nalishdagi hisoblash xarajati taxminan:

\[ O(N_i^2) \]

masshtabidadir va parallel samaradorligi cheklangan. Tadqiqotchilar tez to‘lqincha o‘zgartirishlari bu xarajatni nazariy jihatdan:

\[ O(N_i) \]

tartibiga kamaytirishi mumkinligini bildiradi. Biroq tez algoritm ushbu tadqiqotda amalga oshirilib o‘lchanmagan; kelajakdagi rivojlantirish yo‘nalishi sifatida taqdim etilgan.

Birinchi test: Uzoq muddatli izentropik girdob

Birinchi test usulning yashirin sonli diffuziyasini o‘lchash maqsadida statsionar izentropik girdob uzoq vaqt saqlanib qoladimi-yo‘qmi, shuni tekshirgan. Silliq va aniq yechimi ma’lum bo‘lgan bu muammoda girdobning vaqt o‘tishi bilan tarqalishi yoki cho‘qqi qiymatining kamayishi bevosita sonli diffuziya belgisi sifatida talqin qilinishi mumkin.

O‘rtacha oqim:

\[ \rho=1,\qquad p=1,\qquad u=U_\infty,\qquad v=V_\infty \]

ko‘rinishida ta’riflangan va statsionar holat uchun \(U_\infty=V_\infty=0\) olingan.

Girdob tezligi perturbatsiyalari:

\[ (\delta u,\delta v)= \frac{\beta}{2\pi} e^{0{,}5(1-r^2)} (-\bar{y},\bar{x}) \]

va harorat perturbatsiyasi:

\[ \delta T= -\frac{(\gamma-1)\beta^2} {8\gamma\pi^2} e^{1-r^2} \]

ko‘rinishida berilgan. Entropiya perturbatsiyasi nolga teng.

4-shaklda uch vaqtdagi markaz chizig‘i zichlik profillari deyarli ustma-ust tushadi. Tadqiqotchilar buni usul 100 vaqt birligi davomida girdobni yashirin diffuziya bilan buzmaganining dalili sifatida talqin qilgan.

Bu natija muhim bo‘lsa-da, tadqiqotda \(L_1\), \(L_2\) yoki \(L_\infty\) xato normalari berilmagan. Egri chiziqlarning vizual ravishda ustma-ust tushishi fizik tuzilma saqlanganini ko‘rsatadi, biroq sonli xatoning aniq kattaligini bermaydi.

Ikkinchi test: Mach 7,5 gipertovush siljish qatlami

Ikkinchi misol turli tezlik va zichliklarga ega ikki oqim orasida rivojlanadigan ikki o‘lchamli aralashish qatlamidir. Kirish tezlik profili giperbolik tangens ko‘rinishidadir:

\[ u(y)= \frac{U_1+U_2}{2} +\frac{U_1-U_2}{2} \tanh\left(\frac{2y}{\delta_\omega}\right). \]

O‘tish devorga tik tezlik perturbatsiyalari bilan boshlangan:

\[ v'= \sum_{k=1}^{2} a_k \cos\left(\frac{2\pi kt}{T}+\phi_k\right) \exp\left(-\frac{y^2}{b}\right). \]

To‘lqin uzunligi \(\lambda=30\), ikki modning amplitudalari \(a_1=a_2=0{,}05\), fazalari \(\phi_1=0\) va \(\phi_2=\pi/2\), kenglik parametri esa \(b=10\) qilib tanlangan.

Konvektiv Mach sonining 1,2 bo‘lishi siljish qatlami ichida kichik zarba tuzilmalari hosil bo‘lishiga qulay rejim yaratgan. Ushbu testda ochiq sun’iy viskozitet ishlatilgan va koeffitsiyent to‘r aniqligi oshgani sari kamaytirilgan.

5-shaklda zichlik maydoni bo‘ylab Kelvin–Helmholtz beqarorligining rivojlanishi ko‘rinadi:

1. Boshlang‘ich perturbatsiyalar oqim yo‘nalishida o‘sadi.
2. Siljish qatlami to‘lqinlanib, o‘raluvchi girdoblarga aylanadi.
3. Qo‘shni girdoblar juftlashadi va yirikroq tuzilmalarni hosil qiladi.
4. Aralashish qatlamining qalinligi oqim yo‘nalishida ortadi.

Bu natija usul zarbaga o‘xshash keskin o‘zgarishlar bilan past amplitudali fizik beqarorliklarni bir hisobda ifodalay olishini ko‘rsatadi. Biroq tadqiqotda girdobning o‘sish tezligi, aralashish qatlami qalinligi yoki ustun chastota uchun etalon yechim bilan miqdoriy xato taqqoslashlari berilmagan.

Uchinchi test: Mach 6 chegara qatlami o‘tishi

Uchinchi test tekis sirt ustidagi uch o‘lchamli gipertovush chegara qatlamining beqarorlik to‘lqinlaridan o‘tish tuzilmalariga aylanishini o‘rganadi. Muammo avval e’lon qilingan Mach 6 etalon konfiguratsiyaga asoslangan.

Manba \(T_w/T_\infty=6{,}5\) holatini gipertovush parvoz sharoitlariga nisbatan kuchli sovutilgan devor sifatida ta’riflaydi. Bu yerda “sovutilgan” iborasi erkin oqim statik haroratiga emas, balki ancha yuqori bo‘lishi mumkin bo‘lgan adiabatik yoki tiklanish haroratiga nisbatan talqin qilinishi kerak.

O‘tishni qo‘zg‘atish uchun sirtda so‘rish-puflash ko‘rinishidagi tezlik majburlashi ishlatilgan:

\[ v_w=f(x)g(z) \sum_{i=1}^{2} A_i\sin(\omega_it-\beta_iz). \]

Majburlash sohasi:

\[ 15\leq\frac{x-x_0}{\delta_0^*}\leq20 \]

oralig‘idadir. Oqim yo‘nalishidagi Gauss qobig‘ining markazi \(17{,}5\delta_0^*+x_0\), kengligi \(0{,}75\delta_0^*\) qilib tanlangan. Ikki qiya modning:

• Amplitudasi \(A=0{,}05U_\infty\),
• Chastotasi \(\omega=0{,}9c_\infty/\delta_0^*\),
• Ko‘ndalang yo‘nalishdagi to‘lqin sonlari \(\beta=\pm0{,}3/\delta_0^*\)

ko‘rinishida berilgan.

6-shakl devorga parallel tekislikdagi normallashtirilgan zichlik gradientlarini va Q mezoni izosirtlarini ko‘rsatadi. Tasvirning dastlabki qismida tartibli va oqim yo‘nalishiga yaqin tuzilmalar mavjud bo‘lsa, keyingi hududda girdob tuzilmalari ko‘payadi, egiladi va uch o‘lchamli murakkab tarmoqqa aylanadi.

Tadqiqotchilar bu rivojlanishni quyidagi mexanizmlar bilan bog‘lagan:

• Qiya beqarorlik to‘lqinlarining o‘sishi,
• Chiziqsiz mod o‘zaro ta’sirlari,
• Oqim yo‘nalishidagi girdoblarning hosil bo‘lishi,
• Uch o‘lchamli o‘tish tuzilmalarining paydo bo‘lishi,
• Buzilishning dastlabki bosqichining boshlanishi.

Tadqiqot to‘liq rivojlangan turbulentlikning statistik xususiyatlarini yoki sirt issiqlik oqimi oshishini miqdoriy o‘rganmaydi. Ko‘rsatilgan natija usul o‘tishning asosiy oqim tuzilmalarini hosil qila olishiga oid sifat jihatidagi tasdiqdir.

To‘rtinchi test: Mach 6 siqilish burchagi

So‘nggi test tekis plastinadan keyin 8° qiya siqilish rampasi joylashgan uch o‘lchamli oqim maydonidir. Rampaning boshlanishi kichik radius bilan yumaloqlangan. Bu konfiguratsiya zarba-to‘lqin/chegara-qatlam o‘zaro ta’siri va devor yaqinidagi kuchli termal gradientlar birga uchraydigan klassik yuqori tezlikdagi aerodinamik muammodir.

Kirish sharti alohida tekis plastina prekursor yechimidan hosil qilingan. Bu prekursor maydon kirishda uch o‘lchamli buzilishlarni uzluksiz ta’minlaydi. Dastlabki haddan tashqari o‘tkinchi xatti-harakatni kamaytirish uchun ichki maydon bosimga mos va silliq chegara qatlami tipidagi profil bilan boshlangan.

7-shaklda simmetriya tekisligidagi harorat maydoni ko‘rsatilgan. Tekis plastina ustida devor yaqinidagi termal qatlam rivojlanadi. Oqim burchak va rampaga yetib kelganda siqilish tufayli devor atrofidagi harorat ko‘tariladi. Rampa davomida issiq qatlam qalinlashadi va kuchli harorat gradientlari sirtga yaqin sohada jamlanadi.

Ushbu test usul murakkab geometriyada quyidagi sifat xususiyatlarini hosil qila olishini ko‘rsatadi:

• Rampa hosil qilgan siqilish ta’siri,
• Devor yaqinida harorat ko‘tarilishi,
• Termal chegara qatlamining buzilishi,
• Burchakdan keyin kuchli gradientlarning davom etishi,
• Uch o‘lchamli kirish buzilishlarining quyi oqimga tashilishi.

Biroq tadqiqot sirt bosim koeffitsiyenti, Stanton soni, issiqlik oqimi, ajralish uzunligi yoki zarba joylashuvi bo‘yicha tajribaviy yoki yuqori aniqlikdagi etalon bilan miqdoriy taqqoslash taqdim etmaydi.

Tadqiqotning kuchli tomonlari

• Haar to‘lqincha usuli uch o‘lchamli siqiluvchan Navier–Stokes tenglamalariga tizimli ravishda qo‘llangan.
• Uzilishlarni Gibbs tebranishlarisiz ifodalash mumkinligi bevosita Heaviside funksiyasi orqali ko‘rsatilgan.
• Tasdiqlash muammolari silliq va statsionar girdobdan uch o‘lchamli gipertovush zarba/chegara-qatlam o‘zaro ta’sirigacha bosqichma-bosqich murakkablashtirilgan.
• Uzoq muddatli girdob testi past amplitudali tuzilmalar yashirin diffuziya bilan bostirilmasligini ko‘rsatadi.
• Mach 7,5 siljish qatlamida Kelvin–Helmholtz girdob hosil bo‘lishi va juftlashishi qayta hosil qilingan.
• Mach 6 chegara qatlamida qiya modlarning o‘sishi va oqim yo‘nalishidagi girdob tuzilmalari olingan.
• Mach 6 siqilish burchagida devor yaqinidagi kuchli termal gradientlar yechilgan.
• Haar matritsalarining ierarxik va siyrak tuzilishi kelajakdagi tezlashtirish uchun aniq algoritmik yo‘l taqdim etadi.
• Muallif hissalari, manfaatlar to‘qnashuvi, ma’lumotlarga kirish va moliyalashtirish ma’lumotlari ochiq berilgan.

Tadqiqotning cheklovlari

• Tadqiqot peer-reviewdan o‘tmagan preprintdir.
• Fizik shamol tunneli yoki parvoz tajribasi bilan tasdiqlash bajarilmagan.
• To‘rtta testning katta qismi sifat jihatidan vizual oqim tuzilmalari bahosiga tayangan.
• Xato normalari, kuzatilgan yaqinlashish tartibi va keng qamrovli to‘r yaqinlashuvi jadvallari berilmagan.
• WENO, TENO, kompakt ayirma yoki uzlukli Galerkin usullari bilan bir xil to‘r va vaqt qadamida to‘g‘ridan-to‘g‘ri aniqlik-xarajat taqqoslanishi bajarilmagan.
• Kuchli gradient testlarida ochiq sun’iy viskozitet ishlatilgan, biroq barcha koeffitsiyentlar va sezgirlik natijalari batafsil hisobot qilinmagan.
• Mavjud zich matritsa amalga oshirishi \(O(N_i^2)\) xarajatli va parallel samaradorligi cheklangan.
• Taklif qilingan tez \(O(N_i)\) algoritm amalga oshirilmagan va uning samaradorligi o‘lchanmagan.
• Adaptiv to‘r yoki real vaqtli ko‘p aniqlikni faollashtirish ushbu tadqiqotda qo‘llanmagan.
• Murakkab sanoat geometriyalari yoki tartibsiz to‘rlarda tasdiqlash taqdim etilmagan.
• Kimyoviy reaksiya, haqiqiy gaz ta’sirlari, tebranish energiyasi va yuqori harorat gaz fizikasi modelga kiritilmagan.
• Ma’lumotlar faqat so‘rov bo‘yicha taqdim etiladi; ochiq kod ombori va qayta ishlab chiqarish paketi berilmagan.

Tadqiqot nimani qo‘llab-quvvatlaydi?

• Haar bazisi pog‘ona tipidagi uzilishlarda Gibbs tebranishlarini oldini olishi mumkin.
• Haar kollokatsiya usuli silliq oqim tuzilmalarini uzoq vaqt davomida past yashirin so‘nish bilan saqlashi mumkin.
• Usul zarba yoki kuchli gradientlar bilan o‘tish to‘lqinlari birga mavjud bo‘lgan misollarni barqaror hisoblay oladi.
• Tanlangan aniqliklarda Kelvin–Helmholtz girdoblari va gipertovush chegara qatlami o‘tish tuzilmalari hosil qilinishi mumkin.
• Haar matritsalarining tartibli siyraklik tuzilishi tez algoritmlar uchun ishlatilishi mumkin.
• Usul gipertovush o‘tish hisoblari nuqtai nazaridan o‘rganishga arziydigan muqobil yondashuvni tashkil etadi.

Tadqiqot nimani isbotlamaydi?

• Haar usuli WENO, TENO yoki boshqa zamonaviy usullardan umuman olganda aniqroq ekanini isbotlamaydi.
• Usul bir xil aniqlikda kamroq hisoblash xarajatiga ega ekanini ko‘rsatmaydi.
• Har qanday zarba kuchi, geometriya yoki chegara shartida barqaror ishlashini isbotlamaydi.
• Tez to‘lqincha o‘zgartirish ishlatilganda amaliy dastur haqiqatan \(O(N)\) tezlikka erishishini tajribaviy ravishda ko‘rsatmaydi.
• Adaptiv aniqlik avtomatik va ishonchli ishlashini ko‘rsatmaydi.
• Haqiqiy gaz, kimyoviy reaksiya yoki plazma mavjud gipertovush rejimlarini tasdiqlamaydi.
• Ma’lum bir havo vositasining aerodinamik, issiqlik yoki parvoz xavfsizligi ko‘rsatkichlarini hisoblamaydi.
• Sanoat dizayni yoki sertifikatlash uchun tayyor yechuvchi taqdim etmaydi.

Kelajakda qanday tasdiqlashlar talab etiladi?

Usulning tadqiqot darajasidan umumiy maqsadli gipertovush yechuvchi darajasiga ko‘tarilishi uchun quyidagi ishlar muhim:

• Ma’lum analitik yechimlarda tizimli \(L_1\), \(L_2\) va \(L_\infty\) xato o‘lchovi,
• Turli aniqliklarda kuzatilgan yaqinlashish tartibini hisoblash,
• Sun’iy viskozitet koeffitsiyentining zarba qalinligi va o‘tish to‘lqinlariga ta’sirini o‘rganish,
• Bir xil to‘r va CFL sharoitida WENO/TENO usullari bilan taqqoslash,
• CPU/GPU vaqtlari, xotira sarfi va parallel masshtablanuvchanlikni o‘lchash,
• Tez Haar o‘zgartirishlarini amalga oshirish,
• Adaptiv ko‘p aniqlikdagi to‘r strategiyasini ishlab chiqish,
• Shamol tunneli bosimi, issiqlik oqimi va o‘tish joyi ma’lumotlariga qarshi tasdiqlash,
• Haqiqiy gaz va yuqori harorat termokimyosi bilan kengaytirish,
• Murakkab uch o‘lchamli vosita geometriyalariga qo‘llash.

Tadqiqot usuli va natijalari

Metodologik doira

To‘rtta testning qiyosiy xulosasi

Shakllarning ilmiy ma’nosi

Asosiy natijalar

• Haar bazisi tadqiqotdagi uzlukli test funksiyasida Gibbs turidagi sonli tebranishlarni hosil qilmagan.
• Statsionar izentropik girdob 100 vaqt birligi davomida ko‘rinadigan profil yo‘qotishisiz saqlangan.
• Mach 7,5 oqimi mavjud aralashish qatlamida fizik beqarorlikning o‘sishi, girdoblarning o‘ralishi va girdob juftlashishi hisoblangan.
• Mach 6 chegara qatlamida qiya modlarning chiziqsiz o‘zaro ta’siri va oqim yo‘nalishidagi girdoblarning hosil bo‘lishi qayta ishlab chiqilgan.
• Mach 6 siqilish rampasida devor yaqinidagi harorat oshishi va kuchli termal gradientlar yechilgan.
• Usul kuchli gradientlarda ochiq sun’iy viskozitet bilan barqarorlashtirilgan, viskozitet koeffitsiyenti to‘r noziklashgan sari kamayishi ta’minlangan.
• Mavjud zich matritsa amalga oshirishi fizik aniqlikka yo‘naltirilgan, yuqori hisoblash samaradorligi hali ko‘rsatilmagan.
• Haar matritsalarining tuzilishi kelajakda tez o‘zgartirish va adaptiv aniqlik uchun mos deb hisoblangan.

Natijalarni ehtiyotkor talqin qilish

Tadqiqot Haar kollokatsiya yondashuvi gipertovush o‘tish va kuchli gradientli oqimlar uchun qo‘llash mumkinligini ko‘rsatadi. “Qo‘llash mumkin” iborasi tanlangan testlar barqaror bajarilgani va kutilgan asosiy fizik tuzilmalar hosil qilinganini anglatadi.

Natijalar usul umuman ustunroq, tezroq yoki aniqroq ekanini hali ko‘rsatmaydi. Buning uchun teng aniqlikda zamonaviy usullar bilan miqdoriy xato, hisoblash vaqti va xotira taqqoslanishi kerak. Bundan tashqari, o‘tish va siqilish burchagi natijalari tajribaviy bosim, issiqlik oqimi yoki o‘tish joyi o‘lchovlari bilan sinovdan o‘tkazilishi lozim.

Manba va usul bo‘yicha izoh

Tadqiqotning to‘liq asl nomi: A Haar wavelet collocation method for hypersonic flows with strong gradients

Mualliflar: Yu Zhang, Diego Exposito-Brioso va Xuerui Mao.

Tadqiqotda ishlatilgan qisqartirilgan ismlar: Y. Zhang, D. Exposito va X. Mao.

Mualliflar tartibi: Manbada berilgan tartibda saqlangan.

Teng birinchi muallif: Teng hissa yoki teng birinchi mualliflik bayonoti mavjud emas.

Mas’ul mualliflar: Diego Exposito-Brioso va Xuerui Mao.

Aloqa manzillari: dieexbr17@gmail.com va xmao@bit.edu.cn.

Muassasa 1: School of Interdisciplinary Science, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Xitoy.

Muassasa 2: School of Mechatronical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Xitoy.

Muassasa 3: Beijing Institute of Technology (Zhuhai), Zhuhai 519088, Xitoy.

Muassasa 4: State Key Laboratory of Explosion Science and Safety Protection, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Xitoy.

DOI:10.2139/ssrn.7197528

Rasmiy manba havolasi:SSRN rasmiy qayd sahifasi

Nashr platformasi: SSRN.

Nashr yili: 2026.

Jurnal: Ushbu versiyada aniq peer-reviewli jurnal nomi yoki jurnalga qabul qilingani haqidagi ma’lumot mavjud emas.

Peer-reviewli nashriyot: Ushbu versiyada peer-reviewli jurnal nashriyoti haqida ma’lumot mavjud emas.

Manba turi: Uch o‘lchamli siqiluvchan oqimlar uchun sonli usul ishlab chiqish va tasdiqlash tadqiqoti xususiyatidagi preprint tadqiqot maqolasi.

Peer-review holati: Tadqiqot peer-reviewdan o‘tmagan. Natijalar preprint xususiyati va ko‘rsatilgan tasdiqlash cheklovlarini hisobga olib baholanishi kerak.

Yu Zhang hissalari: Usul, dasturiy ta’minot, tasdiqlash, formal tahlil, tadqiqot, ma’lumotlarni tartibga solish, original qoralamani yozish va vizualizatsiya.

Diego Exposito-Brioso hissalari: Konseptualizatsiya, usul, formal tahlil, ko‘rib chiqish va tahrirlash, maslahat va moliyalashtirishni ta’minlash.

Xuerui Mao hissalari: Resurslarni ta’minlash, ko‘rib chiqish va tahrirlash, maslahat, loyiha boshqaruvi va moliyalashtirishni ta’minlash.

Moliyalashtirish: National Natural Science Foundation of China, Grant No. W2433020.

Manfaatlar to‘qnashuvi: Mualliflar tadqiqotga ta’sir qilishi mumkin bo‘lgan ma’lum moliyaviy manfaat yoki shaxsiy munosabat yo‘qligini bildirgan.

Ma’lumotlarga kirish: Ma’lumotlar so‘rov bo‘yicha taqdim etilishi aytilgan. Ochiq ma’lumotlar ombori havolasi berilmagan.

Kodga kirish: Ochiq manba kodi, versiya yorlig‘i yoki qayta ishlab chiqarish paketi taqdim etilmagan.

Metodologik chegara: Tadqiqot kalorik jihatdan mukammal gaz faraziga asoslangan. Haqiqiy gaz, termokimyoviy nomuvozanat, kimyoviy reaksiya, ionlanish va radiatsiya modellashtirilmagan. Gipertovush misollarini tasdiqlash asosan kutilgan oqim tuzilmalarining sifat jihatidan qayta hosil qilinishiga tayangan.

Hisoblash chegarasi: Joriy amalga oshirish zich matritsa amallari sabab taxminan \(O(N_i^2)\) xarajatga ega. Tez \(O(N_i)\) to‘lqincha algoritmlari va adaptiv ko‘p aniqlikdagi amalga oshirish bajarilgan natija emas, kelajakdagi ish taklifidir.

Sun’iy viskozitet ogohlantirishi: Usul yashirin sonli so‘nish hosil qilmasligini ilgari sursa-da, kuchli zarba o‘zaro ta’sirlarida ochiq sun’iy viskozitetdan foydalangan. Shu sababli natijalarni “butunlay viskozitesiz sonli yechim” sifatida talqin qilmaslik kerak.

Ushbu turkcha mazmun yuklangan tadqiqotning matni, tenglamalari, shakllari, ilovalari va natijalariga asoslanib tayyorlangan. Tadqiqotda mavjud bo‘lmagan tajriba muvaffaqiyati, parvoz samaradorligi, vosita dizayni, sanoat ustunligi yoki boshqa usullarga nisbatan isbotlangan umumiy ustunlik da’vosi qo‘shilmagan.