Бул изилдөө сокку толкундары, жылышуу катмарлары жана сокку толкуну/чек ара катмарынын өз ара аракеттенүүсү сыяктуу өтө кескин өзгөрүүлөр бар гиперүндүү агымдарды эсептөө үчүн Haar толкунча коллокация ыкмасын өнүктүргөн. Ыкма үч өлчөмдүү кысылуучу Navier–Stokes теңдемелерине колдонулуп, үчүнчү тартиптеги Runge–Kutta убакыт интеграциясы пайдаланылган. Изилдөөчүлөр ыкманы узак убакыт ташылган изентропиялык куюн, Mach 7,5 аралашуу катмары, Mach 6 үч өлчөмдүү чек ара катмарынын өтүүсү жана Mach 6 кысуу бурчу аркылуу сынашкан. Натыйжалар ыкма үзгүлтүк аймагында Gibbs тибиндеги жасалма термелүүлөрдү жаратпастан кескин өзгөрүүлөрдү бере аларын, кичине амплитудалуу туруксуздуктарды жашыруун сандык басаңдатуу менен өчүрбөй турганын жана тандалган гиперүндүү мисалдарда куюндардын пайда болушун, агымдын өтүүсүн жана дубалга жакын жылуулук градиенттерин кайра жарата аларын көрсөтөт. Ошол эле учурда баалоолор негизинен агым түзүлүштөрүн сапаттык салыштырууга таянат; эксперименттик өлчөө, кеңири ката нормасы жана заманбап сокку кармоо ыкмалары менен бирдей эсептөө чыгымындагы сандык салыштыруу берилген эмес.

Haar толкунчаларынын негизги артыкчылыгы — тепкич сымал же кескин өзгөргөн функцияларга табигый ылайыкташкан бөлүк-бөлүк туруктуу базага ээ болушу. Классикалык глобалдык спектралдык базалар үзгүлтүк тегерегинде чыныгы чечимде жок жогорку жыштыктагы термелүүлөрдү жаратышы мүмкүн. Ал эми Haar базасы изилдөөдөгү Heaviside тепкич функциясынын мисалында биринчи жана экинчи туундуларды Gibbs термелүүлөрүсүз берген. Ыкма күчтүү градиент жок аймактарда жашыруун сандык диффузия кошпойт; ал эми сокку өз ара аракеттенүүсү сыяктуу туруктуулук талап кылынган аймактарда тор майдаланган сайын азая турган ачык жасалма илешкектүүлүктү колдонот.

Түркия үчүн баалоо: Ыкма гиперүндүү учуучу аппараттар, кайра кирүү системалары, жогорку ылдамдыктагы аэротермодинамика, чек ара катмарынын өтүүсү, сокку толкуну/бет өз ара аракеттенүүсү жана жылуулук коргоо системалары боюнча Түркияда иштелип чыккан эсептөөчү суюктук динамикасы инфраструктураларына ылайыкташтырылышы мүмкүн. Университеттерде, изилдөө борборлорунда жана авиация-космос уюмдарында колдонуу үчүн алгоритм жергиликтүү чечкичтерге киргизилип, ачык эталондук тесттер менен кайра өндүрүлүп, шамал туннелинин же жарыяланган эксперименттик маалыматтардын негизинде текшерилип, параллелдик эсептөө көрсөткүчтөрү өлчөнүп жана WENO, TENO, чектүү көлөм же үзгүлтүктүү Galerkin ыкмалары менен бирдей тор жана ката деңгээлинде салыштырылышы керек. Изилдөө Түркияда иштелип чыккан аппарат геометриясын, жергиликтүү учуу экспериментин, материал системасын же эксплуатациялык долбоорду карабагандыктан, Түркияга тиешелүү өндүрүмдүүлүк, коопсуздук же чыгым боюнча түз жыйынтык чыгарууга болбойт.

Гиперүндүү агымдардын сандык чечилиши эмне үчүн кыйын?

Гиперүндүү агым талааларында бири-биринен өтө айырмаланган мейкиндик масштабдары бир убакта болушу мүмкүн. Аппараттын жалпы узундугу метр менен өлчөнсө, сокку катмарындагы өзгөрүү микрометр масштабында болушу мүмкүн. Изилдөөдө типтүү сокку туурасы болжол менен 7–9 микрометр деңгээлинде болушу мүмкүн экени жана термодинамикалык өзгөрмөлөр ушул өтө тар аймакта капыстан секирик көрсөтөрү айтылат.

Бир эле агым талаасында төмөнкү түзүлүштөр кошо кездешиши мүмкүн:

• Сокку толкундары,
• Кысуу жана кеңейүү аймактары,
• Жылышуу катмарлары,
• Сокку-сокку өз ара аракеттенүүлөрү,
• Сокку толкуну/чек ара катмарынын өз ара аракеттенүүлөрү,
• Кичине амплитудалуу туруксуздук толкундары,
• Ламинардык-турбуленттик өтүү түзүлүштөрү,
• Дубалга жакын өтө күчтүү температура жана тыгыздык градиенттери.

Сандык ыкма соккуну туруктуу чечиши үчүн кескин өзгөрүүлөрдүн айланасындагы жасалма термелүүлөрдү басышы керек. Бирок өтө чоң сандык диффузия өтүүнү баштаган өтө кичине амплитудалуу толкундарды да өчүрүшү мүмкүн. Ошондуктан гиперүндүү өтүү эсептөөлөрүндө эки талап бири-бири менен атаандашат: сокку аймагындагы туруктуулук жана жылмакай аймактардагы аз басаңдоо.

Учурдагы ыкмалардын негизги кыйынчылыктары

Чектүү айырмалар үй-бүлөсүндөгү ENO, WENO жана TENO ыкмалары соккулуу агымдарда кеңири колдонулат. Бул ыкмалар чечимдин жылмакайлыгына жараша эсептөө шаблонун же салмактарды өзгөртүп, үзгүлтүк тегерегиндеги термелүүлөрдү чектейт. Компакттуу чектүү айырма ыкмалары болсо жылмакай аймактарда спектралдыкка жакын чечилиш бере алат.

Чектүү элемент жана үзгүлтүктүү Galerkin ыкмалары татаал геометрияларга жана ирээтсиз торлорго оңойураак колдонулат. Бирок жогорку тартиптеги элементтерде сокку кармоо үчүн сенсорго байланыштуу жасалма илешкектүүлүк же башка туруктуулук механизми керек. Мындан тышкары, жогорку Mach санындагы өтүү толкундарын чечүү үчүн ар бир элементте көп сандагы эркиндик даражалары талап кылынышы мүмкүн.

Классикалык спектралдык ыкмалар жылмакай функцияларда аз сандагы эркиндик даражалары менен жогорку тактык бере алат. Бирок глобалдык тригонометриялык же полиномдук база үзгүлтүк тегерегинде Gibbs кубулушунан улам жасалма толкунданууларды жаратат. Күчтүү чыпкалоо же жасалма диффузия бул толкунданууларды азайтса да, майда физикалык туруксуздуктардын жоголушуна алып келиши мүмкүн.

Толкунча ыкмасы эмнени өзгөртөт?

Толкунча ыкмалары бир гана глобалдык жылмакайлык божомолунун ордуна негизги толкунчанын ар башка масштабдарга жана орундарга жылдырылган формаларын колдонот. Муну менен мейкиндик орду да, масштаб маалыматы да сакталат. Чечимдеги жергиликтүү түзүлүш колдонулган толкунча базасына окшош болсо, аз сандагы коэффициенттер менен берилет.

Haar толкунчасы — эң жөнөкөй толкунча үй-бүлөсү. Негизги формасы белгилүү аралыкта +1, жанаша аралыкта −1 жана башка жерлерде нөлгө барабар. Мындай бөлүк-бөлүк туруктуу жана үзгүлтүктүү түзүлүш соккуга окшогон кескин өтүүлөргө табигый ылайык келет.

Изилдөөнүн оригиналдуу салымдары үч багытта берилген:

1. Haar толкунча коллокация ыкмасынын үч өлчөмдүү кысылуучу Navier–Stokes теңдемелери үчүн толук математикалык формулировкасын иштеп чыгуу,
2. Ыкманын жашыруун сандык басаңдатуу жаратпай турганын узак мөөнөттүү куюн тести менен көрсөтүү,
3. Mach 7,5 жылышуу катмары, Mach 6 чек ара катмарынын өтүүсү жана Mach 6 кысуу бурчу сыяктуу гиперүндүү агымдарга колдонуу.

Gibbs кубулушу деген эмне?

Gibbs кубулушу — үзгүлтүктүү функцияны жылмакай жана глобалдык базалар менен жакындатууда секирик чекитинин айланасында пайда болгон жасалма термелүүлөр. Тор же мүчөлөрдүн саны көбөйгөндө термелүүлөр камтыган аймак тарылышы мүмкүн; бирок чоку амплитудасы толук жоголбой калышы мүмкүн.

Изилдөөдө сокку боюнча капысынан өзгөргөн термодинамикалык өзгөрмөнү көрсөтүү үчүн Heaviside тепкич функциясы колдонулган:

\[ H_s(x)= \begin{cases} 1, & x\geq 0{,}5,\\ 0, & x<0{,}5. \end{cases} \]

Функциянын экинчи туундусу Haar толкунча базасында:

\[ \frac{d^2H_s}{dx^2}=\sum_{j=1}^{2M}a_jh_j(x) \]

түрүндө берилген. Бул жерде \(h_j(x)\) Haar базалык функцияларын, \(a_j\) толкунча коэффициенттерин көрсөтөт.

Эки жолу интегралдагандан кийин:

\[ H_s=Q\mathbf{a}+Ax+B \]

туюнтмасы алынат. Чектик шарттар колдонулганда коэффициенттер вектору:

\[ \mathbf{a}=\left[Q-xQ\big|_{x=1}\right]^{-1}(H_s-x) \]

түрүндө эсептелет.

1-сүрөттө Haar ыкмасы Chebyshev коллокация ыкмасы менен салыштырылган. Chebyshev чечими үзгүлтүктүн эки тарабында жана өзгөчө экинчи туундуда өтө чоң жасалма термелүүлөрдү жаратса, Haar ыкмасы мындай термелүүлөрдү көрсөтпөйт. Изилдөөнүн гиперүндүү агымдар үчүн таянган негизги математикалык артыкчылыгы ушул.

Haar толкунча базасы кантип аныкталган?

\(x\in[0,1]\) аралыгындагы Haar толкунчасы:

\[ h_i(x)= \begin{cases} 1, & x\in[\xi_1,\xi_2),\\ -1, & x\in[\xi_2,\xi_3),\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases} \]

түрүндө. Ички аралык чек аралары:

\[ \xi_1=\frac{k}{m},\qquad \xi_2=\frac{k+0{,}5}{m},\qquad \xi_3=\frac{k+1}{m} \]

деп берилет. \(m=2^j\) кеңейтүү деңгээлин, \(k\) болсо толкунчанын мейкиндиктеги ордун аныктайт. Чечилиш деңгээли \(J\) жогорулаган сайын майда масштабдагы Haar функциялары кошулуп, көрсөтүлгөн жалпы толкунча саны көбөйөт.

B.8-сүрөт алгачкы үч Haar толкунчасын көрсөтөт. Биринчи функция бүт аралыкта туруктуу болсо, кийинки функциялар кичирээк аралыктарда +1 жана −1 маанилерин алат. Мындай иерархиялык түзүлүш ири жана майда масштабдагы өзгөчөлүктөрдү бир эле базада берүүгө мүмкүндүк түзөт.

Эң жогорку туунду эмне үчүн түздөн-түз толкунчалар менен берилген?

Haar функциялары үзгүлтүктүү болгондуктан, классикалык мааниде алардын туундусун алуу ылайыктуу эмес. Изилдөөдө бул маселе тескери жол менен чечилген: дифференциалдык теңдемедеги эң жогорку тартиптеги туунду Haar базасында жазылып, андан кийин интегралдоо аркылуу баштапкы функция калыбына келтирилген.

Haar функциясынын \(r\) жолу интегралы:

\[ h_{r,i}(x)=\int_0^x\int_0^x\cdots\int_0^x h_i(t)\,dt^r \]

деп аныкталган. Ошентип үзгүлтүктүү базанын туундусун түз алуунун ордуна аналитикалык аныкталган интегралдык матрицалар колдонулган.

Үч өлчөмдүү Navier–Stokes теңдемелери

Ыкма калориялык жактан идеалдуу газ үчүн үч өлчөмдүү кысылуучу Navier–Stokes теңдемелерине колдонулган:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial t} +\frac{\partial\mathbf{F}_i}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_i}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_i}{\partial z} = \frac{\partial\mathbf{F}_v}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_v}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_v}{\partial z}. \]

Сакталуучу өзгөрмөлөр вектору:

\[ \mathbf{w}=(\rho,\rho u,\rho v,\rho w,E)^T \]

деп берилген. Бул жерде \(\rho\) — тыгыздык, \(u\), \(v\) жана \(w\) — декарттык ылдамдык компоненттери, \(E\) — жалпы энергиянын тыгыздыгы.

Басым:

\[ p=(\gamma-1)\left[E-\frac{1}{2}\rho(u^2+v^2+w^2)\right] \]

байланышы менен алынат.

Илешкектүү чыңалуу тензору:

\[ \sigma_{ij}=\mu\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) -\frac{2}{3}\mu\delta_{ij} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \]

жана жылуулук агымы:

\[ q_i=-k\frac{\partial T}{\partial x_i} \]

деп аныкталган.

Жылуулук өткөрүмдүүлүк жана температура:

\[ k=\frac{C_p\mu}{Pr},\qquad T=\frac{p}{R\rho} \]

байланыштары менен эсептелген. Илешкектүүлүк үчүн температурага көз каранды күч мыйзамы колдонулган:

\[ \frac{\mu}{\mu_{ref}}= \left(\frac{T}{T_{ref}}\right)^\omega \]

жана булакта \(\mu_{ref}=1{,}716\times10^{-5}\), \(T_{ref}=273\) жана \(\omega=0{,}7\) маанилери берилген. Илешкектүүлүктүн бирдиги булактагы теңдемеде өзүнчө жазылган эмес.

Мейкиндиктик дискреттештирүү кантип жүргүзүлгөн?

Эсептөө \((\xi,\eta,\zeta)\) координаттарында жүргүзүлүп, үч багыт үчүн өз алдынча чечилиш деңгээлдери \(I\), \(J\) жана \(K\) колдонулган. Ар бир убакыт кадамында сакталуучу өзгөрмөлөрдүн Haar коэффициенттери үч багытта өзүнчө эсептелет.

\(\xi\) багытындагы коэффициент вектору мисал катары:

\[ \mathbf{a}_{\xi} =MQ_{\xi}^{-1} \left[ \mathbf{w}-\mathbf{w}_L -\xi(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \right] \]

түрүндө берилген. Бул жерде \(\mathbf{w}_L\) жана \(\mathbf{w}_R\) тиешелүү багыттагы сол жана оң чектик маанилер.

Биринчи туунду:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial\xi} =MP_\xi\mathbf{a}_\xi +(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \]

ал эми экинчи туунду:

\[ \frac{\partial^2\mathbf{w}}{\partial\xi^2} =MH_\xi\mathbf{a}_\xi \]

түрүндө эсептелген. Эсептөө координаттарындагы туундулар андан кийин колдонулган тор трансформациясы аркылуу физикалык \(x\), \(y\) жана \(z\) туундуларына айландырылган.

Убакыт интеграциясы

Изилдөөдө үчүнчү тартиптеги Runge–Kutta ыкмасы колдонулган:

\[ \mathbf{w}_1= \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_0}{\partial t} +\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_2= \frac{1}{4} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_1}{\partial t} +\mathbf{w}_1 \right) +\frac{3}{4}\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_3= \frac{2}{3} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_2}{\partial t} +\mathbf{w}_2 \right) +\frac{1}{3}\mathbf{w}_0. \]

\(\mathbf{w}_0\) мурунку убакыт кадамындагы чечимди билдирет. Ар бир текшерүү мисалында убакыт кадамы көрсөтүлгөн CFL санына ылайык тандалган.

Ыкма чын эле эч кандай жасалма диффузия колдонбойбу?

Изилдөөдө эки өзүнчө түшүнүктү ажыратуу керек:

• Haar дискреттештирүүсүнүн өз түзүлүшүнөн келип чыккан жашыруун сандык диффузия жок деп айтылат.
• Сокку же күчтүү градиент бар эсептөөлөрдө туруктуулук үчүн ачык жасалма илешкектүүлүк кошулат.

Ачык жасалма илешкектүүлүктүн коэффициенти тордун чечилишине тескери пропорционал тандалган. Ошондуктан тор майдаланган сайын жасалма илешкектүүлүк азайышы көздөлөт. Бирок булакта бардык тесттер үчүн колдонулган коэффициенттердин толук тизмеси, сенсордун формасы же чечим сапатына сезимталдык анализи берилген эмес. Демек, “эч кандай сандык диффузия жок” деген билдирүү ыкманын жашыруун жүрүм-турумуна гана тиешелүү; күчтүү градиент тесттеринде ачык туруктуулук мүчөсү колдонулат.

H, P жана Q матрицаларынын мааниси

Haar ыкмасында \(H\) базалык маанилерди, \(P\) биринчи интегралдарды, \(Q\) экинчи интегралдарды билдирет. Navier–Stokes теңдемелериндеги эң жогорку мейкиндик туундусу экинчи тартипте болгондуктан, \(Q\) матрицасы талап кылынган эң төмөн интеграл деңгээли болуп саналат.

2-сүрөт жана 3-сүрөт бул матрицалардын жана алардын тескери матрицаларынын нөлдөн айырмаланган элементтерин көрсөтөт. \(H\) жана \(P\) түз матрицалары кыйла сейрек. \(Q\) жана өзгөчө коэффициенттерди эсептөөдө колдонулган тескери матрицалар тыгызыраак. \(H\) матрицасы ортогоналдуу; интегралдоодон кийин бул касиет жоголот.

Учурдагы ишке ашыруу тактыкты көрсөтүү максатында тыгыз матрица-вектор көбөйтүүсүн колдонгон. Мунун ар бир мейкиндик багытындагы эсептөө наркы болжол менен:

\[ O(N_i^2) \]

тартибинде жана параллелдик натыйжалуулукту чектейт. Изилдөөчүлөр тез толкунча трансформациялары бул наркты теориялык жактан:

\[ O(N_i) \]

тартибине түшүрө аларын айтышат. Бирок тез алгоритм бул изилдөөдө ишке ашырылып өлчөнгөн эмес; келечектеги өнүктүрүү багыты катары сунушталган.

Биринчи тест: Узак мөөнөттүү изентропиялык куюн

Биринчи тест ыкманын жашыруун сандык диффузиясын өлчөө үчүн стационардык изентропиялык куюндун узак убакыт сакталуусун текшерген. Жылмакай жана так чечими белгилүү бул маселеде куюндун убакыт өткөн сайын жайылышы же чоку маанисинин азайышы түздөн-түз сандык диффузиянын көрсөткүчү катары түшүндүрүлөт.

Орточо агым:

\[ \rho=1,\qquad p=1,\qquad u=U_\infty,\qquad v=V_\infty \]

деп аныкталып, стационардык абал үчүн \(U_\infty=V_\infty=0\) алынган.

Куюндун ылдамдык пертурбациялары:

\[ (\delta u,\delta v)= \frac{\beta}{2\pi} e^{0{,}5(1-r^2)} (-\bar{y},\bar{x}) \]

жана температура пертурбациясы:

\[ \delta T= -\frac{(\gamma-1)\beta^2} {8\gamma\pi^2} e^{1-r^2} \]

деп берилген. Энтропия пертурбациясы нөлгө барабар.

4-сүрөттө үч убакыттагы борбордук сызыктагы тыгыздык профилдери дээрлик бири-бирине дал келет. Изилдөөчүлөр муну ыкма 100 убакыт бирдиги бою куюнду жашыруун диффузия менен бузбаганын көрсөткөн далил катары түшүндүрүшкөн.

Бул маанилүү жыйынтык болгону менен, изилдөөдө \(L_1\), \(L_2\) же \(L_\infty\) ката нормалары берилген эмес. Ийри сызыктардын визуалдык дал келиши физикалык түзүлүш сакталганын көрсөтөт, бирок сандык катанын так чоңдугун бербейт.

Экинчи тест: Mach 7,5 гиперүндүү жылышуу катмары

Экинчи мисал — ылдамдыгы жана тыгыздыгы ар башка эки агымдын ортосунда өнүккөн эки өлчөмдүү аралашуу катмары. Кирүү ылдамдыгынын профили гиперболалык тангенс түрүндө:

\[ u(y)= \frac{U_1+U_2}{2} +\frac{U_1-U_2}{2} \tanh\left(\frac{2y}{\delta_\omega}\right). \]

Өтүү дубалга тик ылдамдык пертурбациялары менен башталган:

\[ v'= \sum_{k=1}^{2} a_k \cos\left(\frac{2\pi kt}{T}+\phi_k\right) \exp\left(-\frac{y^2}{b}\right). \]

Толкун узундугу \(\lambda=30\), эки моддун амплитудалары \(a_1=a_2=0{,}05\), фазалары \(\phi_1=0\) жана \(\phi_2=\pi/2\), тууралык параметри \(b=10\) болуп тандалган.

Конвективдик Mach саны 1,2 болгондуктан, жылышуу катмарынын ичинде майда сокку түзүлүштөрүнүн пайда болушуна ылайыктуу режим түзүлгөн. Бул тестте ачык жасалма илешкектүүлүк колдонулуп, коэффициент тордун чечилиши көбөйгөн сайын азайтылган.

5-сүрөттө тыгыздык талаасы боюнча Kelvin–Helmholtz туруксуздугунун өнүгүшү көрсөтүлөт:

1. Баштапкы пертурбациялар агым багытында өсөт.
2. Жылышуу катмары толкунданып, оролгон куюндарга айланат.
3. Коңшу куюндар жупташып, чоңураак түзүлүштөрдү пайда кылат.
4. Аралашуу катмарынын калыңдыгы агым багытында өсөт.

Бул жыйынтык ыкма соккуга окшош кескин өзгөрүүлөр менен төмөн амплитудалуу физикалык туруксуздуктарды бир эсептөөнүн ичинде бере аларын көрсөтөт. Бирок изилдөөдө куюндун өсүү ылдамдыгы, аралашуу катмарынын калыңдыгы же үстөм жыштык үчүн эталон чечим менен сандык ката салыштыруу берилген эмес.

Үчүнчү тест: Mach 6 чек ара катмарынын өтүүсү

Үчүнчү тест түз бет үстүндөгү үч өлчөмдүү гиперүндүү чек ара катмарынын туруксуздук толкундарынан өтүү түзүлүштөрүнө айланышын карайт. Маселе мурда жарыяланган Mach 6 эталон конфигурациясына негизделген.

Булак \(T_w/T_\infty=6{,}5\) шартын гиперүндүү учуу шарттарына салыштырмалуу күчтүү муздатылган дубал катары сүрөттөйт. Бул жерде “муздатылган” деген сөз эркин агымдын статикалык температурасына эмес, кыйла жогору болушу мүмкүн болгон адиабаталык же калыбына келүү температурасына салыштырмалуу түшүндүрүлүшү керек.

Өтүүнү козгоо үчүн бетте соруу-үйлөө түрүндөгү ылдамдык мажбурлоосу колдонулган:

\[ v_w=f(x)g(z) \sum_{i=1}^{2} A_i\sin(\omega_it-\beta_iz). \]

Мажбурлоо аймагы:

\[ 15\leq\frac{x-x_0}{\delta_0^*}\leq20 \]

аралыгында. Агым багытындагы Gauss кабыгынын борбору \(17{,}5\delta_0^*+x_0\), кеңдиги \(0{,}75\delta_0^*\) болуп тандалган. Эки кыйгач моддун:

• Амплитудасы \(A=0{,}05U_\infty\),
• Жыштыгы \(\omega=0{,}9c_\infty/\delta_0^*\),
• Каптал багытындагы толкун сандары \(\beta=\pm0{,}3/\delta_0^*\)

деп берилген.

6-сүрөт дубалга параллелдүү тегиздиктеги нормалдаштырылган тыгыздык градиенттерин жана Q критерийинин изобеттерин көрсөтөт. Сүрөттүн баш жагында тартиптүү жана агым багытына жакын түзүлүштөр көрүнсө, андан ары куюн түзүлүштөрү көбөйүп, ийилип жана үч өлчөмдүү татаал торго айланат.

Изилдөөчүлөр бул өнүгүүнү төмөнкү механизмдер менен байланыштырышкан:

• Кыйгач туруксуздук толкундарынын өсүшү,
• Сызыктуу эмес моддук өз ара аракеттенүүлөр,
• Агым багытындагы куюндардын пайда болушу,
• Үч өлчөмдүү өтүү түзүлүштөрүнүн пайда болушу,
• Бузулуунун эрте баскычынын башталышы.

Изилдөө толук өнүккөн турбуленттүүлүктүн статистикалык касиеттерин же беттик жылуулук агымынын ашып кетишин сандык түрдө карабайт. Көрсөтүлгөн натыйжа ыкма өтүүнүн негизги агым түзүлүштөрүн чыгара аларына байланыштуу сапаттык текшерүү болуп саналат.

Төртүнчү тест: Mach 6 кысуу бурчу

Акыркы тест түз пластинадан кийин 8° жантайган кысуу рампасы бар үч өлчөмдүү агым талаасы. Рампанын башы кичине радиус менен тегеректелген. Бул конфигурация сокку толкуну/чек ара катмарынын өз ара аракеттенүүсү жана дубалга жакын күчтүү жылуулук градиенттери бирге кездешкен классикалык жогорку ылдамдыктагы аэродинамикалык маселе.

Кирүү шарты өзүнчө түз пластина боюнча алдын ала чечимден алынган. Бул алдын ала талаа кирүүдө үч өлчөмдүү бузулууларды үзгүлтүксүз камсыз кылат. Баштапкы өтө күчтүү өткөөл жүрүм-турумду азайтуу үчүн ички талаа басымга шайкеш жана жылмакай чек ара катмарына окшогон профиль менен башталган.

7-сүрөттө симметрия тегиздигиндеги температура талаасы көрсөтүлөт. Түз пластина үстүндө дубалга жакын жылуулук катмары өнүгөт. Агым бурчка жана рампага жеткенде кысуудан улам дубал тегерегиндеги температура жогорулайт. Рампанын уландысында ысык катмар калыңдап, күчтүү температура градиенттери бетке жакын аймакта топтолот.

Бул тест ыкма татаал геометрияда төмөнкү сапаттык өзгөчөлүктөрдү чыгара аларын көрсөтөт:

• Рампа жараткан кысуу таасири,
• Дубалга жакын температуранын жогорулашы,
• Жылуулук чек ара катмарынын бузулушу,
• Бурчтан кийин күчтүү градиенттердин уланышы,
• Үч өлчөмдүү кирүү бузулууларын төмөн агымга ташуу.

Ошол эле учурда изилдөө беттик басым коэффициенти, Stanton саны, жылуулук агымы, ажырашуу узундугу же соккунун орду үчүн эксперименттик же жогорку чечилиштүү эталон менен сандык салыштыруу бербейт.

Изилдөөнүн күчтүү жактары

• Haar толкунча ыкмасы үч өлчөмдүү кысылуучу Navier–Stokes теңдемелерине системалуу колдонулган.
• Үзгүлтүктөрдү Gibbs термелүүлөрүсүз берүү мүмкүнчүлүгү түздөн-түз Heaviside функциясы аркылуу көрсөтүлгөн.
• Текшерүү маселелери жылмакай жана стационардык куюндан үч өлчөмдүү гиперүндүү сокку/чек ара катмарынын өз ара аракеттенүүсүнө чейин баскыч-баскыч татаалдаштырылган.
• Узак мөөнөттүү куюн тести төмөн амплитудалуу түзүлүштөр жашыруун диффузия менен басылбай турганын көрсөтөт.
• Mach 7,5 жылышуу катмарында Kelvin–Helmholtz куюндарынын пайда болушу жана жупталышы алынган.
• Mach 6 чек ара катмарында кыйгач моддордун өсүшү жана агым багытындагы куюн түзүлүштөрү алынган.
• Mach 6 кысуу бурчунда дубалга жакын күчтүү жылуулук градиенттери чечилген.
• Haar матрицаларынын иерархиялык жана сейрек түзүлүшү келечектеги ылдамдатуу үчүн ачык алгоритмдик жол берет.
• Авторлордун салымдары, кызыкчылыктардын кагылышы, маалыматка жетүү жана каржылоо маалыматтары ачык берилген.

Изилдөөнүн чектөөлөрү

• Изилдөө рецензиядан өтпөгөн preprint болуп саналат.
• Физикалык шамал туннели же учуу эксперименти менен текшерүү жүргүзүлгөн эмес.
• Төрт тесттин көбү сапаттык визуалдык агым түзүлүшүн баалоого таянат.
• Ката нормалары, байкалган жакындашуу тартиби жана кеңири тор жакындашуу таблицалары берилген эмес.
• WENO, TENO, компакттуу айырма же үзгүлтүктүү Galerkin ыкмалары менен бирдей тор жана убакыт кадамында түз тактык-чыгым салыштыруу жүргүзүлгөн эмес.
• Күчтүү градиент тесттеринде ачык жасалма илешкектүүлүк колдонулган, бирок бардык коэффициенттер жана сезимталдык жыйынтыктары кеңири берилген эмес.
• Учурдагы тыгыз матрица ишке ашыруусу \(O(N_i^2)\) чыгымдуу жана параллелдик натыйжалуулукту чектейт.
• Сунушталган тез \(O(N_i)\) алгоритм ишке ашырылып, көрсөткүчү өлчөнгөн эмес.
• Адаптивдүү тор же реалдуу убакыттагы көп чечилиштүү активдештирүү бул изилдөөдө колдонулган эмес.
• Татаал өнөр жай геометрияларында же ирээтсиз торлордо текшерүү берилген эмес.
• Химиялык реакция, реалдуу газ эффекттери, термелүү энергиясы жана жогорку температурадагы газ физикасы моделге киргизилген эмес.
• Маалыматтар суроо-талап боюнча гана берилет; ачык код репозиторийи жана кайра өндүрүү пакети берилген эмес.

Изилдөө эмнени колдойт?

• Haar базасы тепкич тибиндеги үзгүлтүктөрдө Gibbs термелүүлөрүн алдын ала алат.
• Haar коллокация ыкмасы жылмакай агым түзүлүштөрүн узак убакыт бою аз жашыруун басаңдоо менен сактай алат.
• Ыкма сокку же күчтүү градиенттер менен өтүү толкундары бирге бар болгон мисалдарды туруктуу эсептей алат.
• Тандалган чечилиштерде Kelvin–Helmholtz куюндары жана гиперүндүү чек ара катмарынын өтүү түзүлүштөрү алынат.
• Haar матрицаларынын тартиптүү сейрек түзүлүшү тез алгоритмдер үчүн пайдаланылышы мүмкүн.
• Ыкма гиперүндүү өтүү эсептөөлөрү үчүн изилдөөгө татыктуу альтернатива болуп саналат.

Изилдөө эмнени далилдебейт?

• Haar ыкмасы WENO, TENO же башка заманбап ыкмалардан жалпысынан такыраак экенин далилдебейт.
• Ыкма бирдей тактыкта азыраак эсептөө чыгымына ээ экенин көрсөтпөйт.
• Ар кандай сокку күчүндө, геометрияда же чектик шартта туруктуу иштей турганын далилдебейт.
• Тез толкунча трансформациясы колдонулганда реалдуу ишке ашыруу \(O(N)\) ылдамдыгына жетерин эксперименттик көрсөтпөйт.
• Адаптивдүү чечилиш автоматтык жана ишенимдүү иштей турганын көрсөтпөйт.
• Реалдуу газ, химиялык реакция же плазма бар гиперүндүү режимдерди тастыктабайт.
• Белгилүү бир учуучу аппараттын аэродинамикалык, жылуулук же учуу коопсуздугу көрсөткүчтөрүн эсептебейт.
• Өнөр жай долбоорлоо же сертификация үчүн даяр чечкич сунуштабайт.

Келечекте кандай текшерүүлөр керек?

Ыкманы изилдөө деңгээлинен жалпы багыттагы гиперүндүү чечкич деңгээлине жеткирүү үчүн төмөнкү иштер маанилүү:

• Белгилүү аналитикалык чечимдерде системалуу \(L_1\), \(L_2\) жана \(L_\infty\) ката өлчөө,
• Ар башка чечилиштерде байкалган жакындашуу тартибин эсептөө,
• Жасалма илешкектүүлүк коэффициентинин сокку калыңдыгына жана өтүү толкундарына таасирин изилдөө,
• Бирдей тор жана CFL шарттарында WENO/TENO ыкмалары менен салыштыруу,
• CPU/GPU убакыттарын, эс тутум сарптоосун жана параллелдик масштабдоону өлчөө,
• Тез Haar трансформацияларын ишке ашыруу,
• Адаптивдүү көп чечилиштүү тор стратегиясын иштеп чыгуу,
• Шамал туннелиндеги басым, жылуулук агымы жана өтүү орду маалыматтары менен текшерүү,
• Реалдуу газ жана жогорку температуралык термохимия менен кеңейтүү,
• Татаал үч өлчөмдүү аппарат геометрияларына колдонуу.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Методологиялык алкак

Төрт тесттин салыштырма жыйынтыгы

Сүрөттөрдүн илимий мааниси

Негизги жыйынтыктар

• Haar базасы изилдөөдөгү үзгүлтүктүү тест функциясында Gibbs тибиндеги сандык толкунданууларды жараткан эмес.
• Стационардык изентропиялык куюн 100 убакыт бирдиги бою көрүнүктүү профиль жоготуусуз сакталган.
• Mach 7,5 агым камтылган аралашуу катмарында физикалык туруксуздуктун өсүшү, куюндун оролушу жана куюндун жупташуусу эсептелген.
• Mach 6 чек ара катмарында кыйгач моддордун сызыктуу эмес өз ара аракеттенүүсү жана агым багытындагы куюндардын пайда болушу кайра өндүрүлгөн.
• Mach 6 кысуу рампасында дубалга жакын температуранын өсүшү жана күчтүү жылуулук градиенттери чечилген.
• Ыкма күчтүү градиенттерде ачык жасалма илешкектүүлүк менен туруктууландырылып, илешкектүүлүк коэффициенти тор майдаланган сайын азайган.
• Учурдагы тыгыз матрица ишке ашыруусу физикалык тактыкка багытталган, жогорку эсептөө өндүрүмдүүлүгү азырынча көрсөтүлгөн эмес.
• Haar матрицаларынын түзүлүшү келечекте тез трансформация жана адаптивдүү чечилиш үчүн ылайыктуу деп табылган.

Жыйынтыктарды этият чечмелөө

Изилдөө Haar коллокация ыкмасы гиперүндүү өтүү жана күчтүү градиенттер бар агымдар үчүн колдонууга жарамдуу экенин көрсөтөт. “Колдонууга жарамдуу” деген сөз тандалган тесттер туруктуу иштетилгенин жана күтүлгөн негизги физикалык түзүлүштөр алынганын билдирет.

Натыйжалар ыкма жалпысынан үстөм, ылдамыраак же такыраак экенин азырынча көрсөтпөйт. Бул үчүн бирдей чечилиште заманбап ыкмалар менен сандык ката, эсептөө убактысы жана эс тутум боюнча салыштыруу керек. Мындан тышкары, өтүү жана кысуу бурчу жыйынтыктары эксперименттик басым, жылуулук агымы же өтүү орду өлчөөлөрү менен текшерилиши зарыл.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Изилдөөнүн толук оригинал аталышы: A Haar wavelet collocation method for hypersonic flows with strong gradients

Авторлор: Yu Zhang, Diego Exposito-Brioso жана Xuerui Mao.

Изилдөөдө колдонулган кыскартылган аттар: Y. Zhang, D. Exposito жана X. Mao.

Авторлордун ирети: Булакта берилген тартипте сакталган.

Тең биринчи автор: Тең салым же тең биринчи авторлук тууралуу билдирүү жок.

Жооптуу авторлор: Diego Exposito-Brioso жана Xuerui Mao.

Байланыш даректери: dieexbr17@gmail.com жана xmao@bit.edu.cn.

Мекеме 1: School of Interdisciplinary Science, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Кытай.

Мекеме 2: School of Mechatronical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Кытай.

Мекеме 3: Beijing Institute of Technology (Zhuhai), Zhuhai 519088, Кытай.

Мекеме 4: State Key Laboratory of Explosion Science and Safety Protection, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Кытай.

DOI:10.2139/ssrn.7197528

Расмий булак шилтемеси:SSRN расмий каттоо барагы

Жарыялоо платформасы: SSRN.

Жарыяланган жылы: 2026.

Журнал: Бул нускада белгилүү рецензияланган журналдын аты же журналга кабыл алынганы тууралуу маалымат жок.

Рецензияланган басмакана: Бул нускада рецензияланган журнал басмаканасы жөнүндө маалымат жок.

Булактын түрү: Үч өлчөмдүү кысылуучу агымдар үчүн сандык ыкманы иштеп чыгуу жана текшерүүгө арналган preprint изилдөө макаласы.

Рецензия абалы: Изилдөө рецензиядан өтө элек. Жыйынтыктар preprint мүнөзү жана көрсөтүлгөн текшерүү чектөөлөрү эске алынып бааланышы керек.

Yu Zhangдын салымдары: Ыкма, программалык камсыздоо, текшерүү, формалдык анализ, изилдөө, маалыматтарды иреттөө, алгачкы текстти жазуу жана визуалдаштыруу.

Diego Exposito-Briosoнун салымдары: Концептуалдаштыруу, ыкма, формалдык анализ, кароо жана редакциялоо, жетекчилик жана каржылоону алуу.

Xuerui Maoнун салымдары: Ресурстарды камсыз кылуу, кароо жана редакциялоо, жетекчилик, долбоорду башкаруу жана каржылоону алуу.

Каржылоо: National Natural Science Foundation of China, Грант No. W2433020.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор изилдөөгө таасир бере турган белгилүү каржылык кызыкчылык же жеке мамиле жок экенин билдиришкен.

Маалыматка жетүү: Маалыматтар суроо-талап боюнча берилери айтылган. Ачык маалымат репозиторийине шилтеме берилген эмес.

Кодго жетүү: Ачык баштапкы код, версия белгиси же кайра өндүрүү пакети берилген эмес.

Ыкмалык чек: Изилдөө калориялык жактан идеалдуу газ божомолуна негизделген. Реалдуу газ, термохимиялык тең салмаксыздык, химиялык реакция, иондошуу жана нурлануу моделденген эмес. Гиперүндүү мисалдардын текшерилиши негизинен күтүлгөн агым түзүлүштөрүн сапаттык кайра өндүрүүгө таянат.

Эсептөө чеги: Учурдагы ишке ашыруу тыгыз матрица операцияларынан улам болжол менен \(O(N_i^2)\) чыгымга ээ. Тез \(O(N_i)\) толкунча алгоритмдери жана адаптивдүү көп чечилиштүү ишке ашыруу — аткарылган жыйынтык эмес, келечектеги иш сунушу.

Жасалма илешкектүүлүк эскертүүсү: Ыкма жашыруун сандык басаңдоо жаратпайт деп айтылганы менен, күчтүү сокку өз ара аракеттенүүлөрүндө ачык жасалма илешкектүүлүк колдонулган. Ошондуктан жыйынтыктарды “толук илешкектүүлүксүз сандык чечим” катары түшүндүрүүгө болбойт.

Бул кыргызча мазмун жүктөлгөн изилдөөнүн тексти, теңдемелери, сүрөттөрү, тиркемелери жана жыйынтыктарынын негизинде даярдалды. Изилдөөдө жок эксперименттик ийгилик, учуу көрсөткүчү, аппарат долбоору, өнөр жай артыкчылыгы же башка ыкмалардан далилденген жалпы артыкчылык тууралуу доомат кошулган жок.