Bu tədqiqat şok dalğaları, sürüşmə təbəqələri və şok dalğası/sərhəd təbəqəsi qarşılıqlı təsirləri kimi çox kəskin dəyişmələrin olduğu hipersəs axınlarını hesablamaq üçün Haar dalğacıq kollokasiya üsulunu inkişaf etdirib. Üsul üçölçülü sıxılan Navier–Stokes tənliklərinə tətbiq olunub və üçüncü tərtibli Runge–Kutta zaman inteqrasiyasından istifadə edilib. Tədqiqatçılar üsulu uzun müddət daşınan izentropik burulğan, Mach 7,5 qarışma təbəqəsi, Mach 6 üçölçülü sərhəd təbəqəsi keçidi və Mach 6 sıxılma küncü üzərində sınaqdan keçiriblər. Nəticələr göstərir ki, üsul kəsilməzlik ətrafında Gibbs tipli süni rəqslər yaratmadan kəskin dəyişmələri təsvir edə bilir, kiçik amplitudalı qeyri-sabitlikləri örtülü ədədi sönümlə boğmur və seçilmiş hipersəs nümunələrində burulğan yaranmasını, axın keçidini və divara yaxın istilik qradientlərini yenidən hasil edir. Bununla belə qiymətləndirmələr əsasən keyfiyyət xarakterli axın strukturu müqayisələrinə söykənir; eksperimental ölçmə, ətraflı xəta norması və müasir şok tutma üsulları ilə eyni hesablamalı xərcdə kəmiyyət müqayisəsi təqdim edilməyib.

Haar dalğacıqlarının əsas üstünlüyü pilləvari və ya kəskin dəyişən funksiyalara təbii uyğunlaşan hissə-hissə sabit baza malik olmasıdır. Klassik qlobal spektral bazalar kəsilməzlik ətrafında real həldə olmayan yüksək tezlikli rəqslər yarada bilər. Haar bazası isə tədqiqatdakı Heaviside pillə funksiyası nümunəsində birinci və ikinci törəmələri Gibbs rəqsləri olmadan təsvir edib. Üsul güclü qradient olmayan sahələrdə örtülü ədədi diffuziya əlavə etmir; şok qarşılıqlı təsirləri kimi sabitlik tələb olunan sahələrdə isə şəbəkə incəldikcə azalan açıq süni özlülükdən istifadə edir.

Türkiyə baxımından qiymətləndirmə: Üsul hipersəs hava vasitələri, yenidən giriş sistemləri, yüksək sürətli aerotermodinamika, sərhəd təbəqəsi keçidi, şok dalğası/səth qarşılıqlı təsirləri və istilik mühafizə sistemi tədqiqatlarında Türkiyədə inkişaf etdirilən hesablama maye dinamikası infrastrukturlarına uyğunlaşdırıla bilər. Universitetlərdə, tədqiqat mərkəzlərində və aviasiya-kosmik təşkilatlarda istifadə oluna bilməsi üçün alqoritm yerli həlledicilərə tətbiq edilməli, açıq etalon testlərlə yenidən hasil edilməli, külək tuneli və ya dərc olunmuş eksperimental məlumatlara qarşı doğrulanmalı, paralel hesablama performansı ölçülməli və WENO, TENO, sonlu həcm və ya kəsilməli Galerkin üsulları ilə eyni şəbəkə və xəta səviyyəsində müqayisə edilməlidir. Tədqiqat Türkiyədə hazırlanmış nəqliyyat vasitəsi həndəsəsini, yerli uçuş sınağını, material sistemini və ya əməliyyat dizaynını araşdırmadığı üçün Türkiyəyə məxsus performans, təhlükəsizlik və ya xərc nəticəsi birbaşa çıxarıla bilməz.

Hipersəs axınlarının ədədi həlli niyə çətindir?

Hipersəs axın sahələrində bir-birindən çox fərqli fəza miqyasları eyni vaxtda mövcud ola bilər. Bir vasitənin ümumi uzunluğu metrlərlə ifadə edilərkən şok təbəqəsindəki dəyişmə mikrometr miqyasında baş verə bilər. Tədqiqatda tipik şok eninin təxminən 7–9 mikrometr səviyyəsində ola biləcəyi və termodinamik dəyişənlərin bu çox dar sahədə qəfil sıçrayış göstərdiyi qeyd olunur.

Eyni axın sahəsində aşağıdakı strukturlar birlikdə mövcud ola bilər:

• Şok dalğaları,
• Sıxılma və genişlənmə sahələri,
• Sürüşmə təbəqələri,
• Şok-şok qarşılıqlı təsirləri,
• Şok dalğası/sərhəd təbəqəsi qarşılıqlı təsirləri,
• Kiçik amplitudalı qeyri-sabitlik dalğaları,
• Laminar-turbulent keçid strukturları,
• Divara yaxın çox güclü temperatur və sıxlıq qradientləri.

Ədədi üsul şoku sabit şəkildə həll edə bilmək üçün kəskin dəyişmələr ətrafındakı süni rəqsləri basdırmalıdır. Lakin həddindən artıq ədədi diffuziya keçidi başladan çox kiçik amplitudalı dalğaları da söndürə bilər. Buna görə hipersəs keçid hesablamalarında iki tələb bir-biri ilə rəqabət aparır: şok ətrafında sabitlik və hamar sahələrdə aşağı sönüm.

Mövcud üsulların əsas çətinlikləri

Sonlu fərqlər ailəsindəki ENO, WENO və TENO üsulları şoklu axınlarda geniş istifadə olunur. Bu üsullar həllin hamarlığına görə hesablama şablonunu və ya çəkiləri dəyişdirərək kəsilməzlik ətrafındakı rəqsləri məhdudlaşdırır. Kompakt sonlu fərq üsulları isə hamar sahələrdə spektrala yaxın ayırdetmə qabiliyyəti verə bilər.

Sonlu element və kəsilməli Galerkin üsulları mürəkkəb həndəsələrə və nizamsız şəbəkələrə daha asan tətbiq oluna bilər. Lakin yüksək tərtibli elementlərdə şok tutmaq üçün sensordan asılı süni özlülük və ya başqa sabitlik mexanizmləri tələb olunur. Bundan əlavə yüksək Mach saylı keçid dalğalarını həll etmək üçün hər elementdə çox sayda sərbəstlik dərəcəsi lazım ola bilər.

Klassik spektral üsullar hamar funksiyalarda az sayda sərbəstlik dərəcəsi ilə yüksək dəqiqlik verə bilər. Lakin qlobal triqonometrik və ya polinom baza kəsilməzlik ətrafında Gibbs hadisəsi səbəbindən süni dalğalanmalar yaradır. Güclü filtrləmə və ya süni diffuziya bu dalğalanmaları azalda bilsə də, kiçik fiziki qeyri-sabitliklərin itməsinə səbəb ola bilər.

Dalgacıq yanaşması nəyi dəyişir?

Dalgacıq üsulları vahid qlobal hamarlıq fərziyyəsi əvəzinə əsas dalğacığın müxtəlif miqyas və mövqelərə köçürülmüş formalarından istifadə edir. Beləliklə həm fəza mövqeyi, həm də miqyas məlumatı saxlanılır. Həldəki yerli struktur istifadə olunan dalğacıq bazasına bənzəyirsə, az sayda əmsalla təsvir oluna bilər.

Haar dalğacığı ən sadə dalğacıq ailəsidir. Əsas forması müəyyən intervalda +1, bitişik intervalda −1 və digər sahələrdə sıfırdır. Bu hissə-hissə sabit və kəsilməli struktur şokabənzər kəskin keçidlərə təbii uyğundur.

Tədqiqatın orijinal töhfələri üç başlıq altında təqdim olunub:

1. Haar dalğacıq kollokasiya üsulunun üçölçülü sıxılan Navier–Stokes tənlikləri üçün tam riyazi formulyasiyasının hazırlanması,
2. Üsulun örtülü ədədi sönüm yaratmadığının uzunmüddətli burulğan testi ilə göstərilməsi,
3. Mach 7,5 sürüşmə təbəqəsi, Mach 6 sərhəd təbəqəsi keçidi və Mach 6 sıxılma küncü kimi hipersəs axınlarına tətbiqi.

Gibbs hadisəsi nədir?

Gibbs hadisəsi kəsilməli funksiyanın hamar və qlobal bazalarla yaxınlaşdırılması zamanı sıçrayış nöqtəsi ətrafında yaranan süni rəqslərdir. Şəbəkə və ya termin sayı artırıldıqda rəqslərin tutduğu sahə darala bilər; lakin pik amplitudası tam yox olmaya bilər.

Tədqiqatda şok boyunca qəfil dəyişən termodinamik dəyişəni təsvir etmək üçün Heaviside pillə funksiyasından istifadə olunub:

\[ H_s(x)= \begin{cases} 1, & x\geq 0{,}5,\\ 0, & x<0{,}5. \end{cases} \]

Funksiyanın ikinci törəməsi Haar dalğacıq bazasında:

\[ \frac{d^2H_s}{dx^2}=\sum_{j=1}^{2M}a_jh_j(x) \]

şəklində ifadə edilib. Burada \(h_j(x)\) Haar baza funksiyalarını, \(a_j\) isə dalğacıq əmsallarını göstərir.

İki dəfə inteqrasiya etdikdə:

\[ H_s=Q\mathbf{a}+Ax+B \]

ifadəsi alınır. Sərhəd şərtləri tətbiq edildikdə əmsal vektoru:

\[ \mathbf{a}=\left[Q-xQ\big|_{x=1}\right]^{-1}(H_s-x) \]

kimi hesablanır.

Şəkil 1-də Haar üsulu ilə Chebyshev kollokasiya üsulu müqayisə edilib. Chebyshev həlli kəsilmənin iki tərəfində və xüsusilə ikinci törəmədə çox böyük süni dalğalanmalar yaratdığı halda Haar üsulu bu dalğalanmaları göstərmir. Tədqiqatın hipersəs axınları baxımından söykəndiyi əsas riyazi üstünlük budur.

Haar dalğacıq bazası necə müəyyən edilib?

\(x\in[0,1]\) intervalında bir Haar dalğacığı:

\[ h_i(x)= \begin{cases} 1, & x\in[\xi_1,\xi_2),\\ -1, & x\in[\xi_2,\xi_3),\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases} \]

şəklindədir. Alt interval sərhədləri:

\[ \xi_1=\frac{k}{m},\qquad \xi_2=\frac{k+0{,}5}{m},\qquad \xi_3=\frac{k+1}{m} \]

kimi verilir. \(m=2^j\) genişlənmə səviyyəsini, \(k\) isə dalğacığın fəzadakı yerini müəyyən edir. Çözünürlük səviyyəsi \(J\) yüksəldikcə daha kiçik miqyaslı Haar funksiyaları əlavə olunur və təsvir edilən ümumi dalğacıq sayı artır.

Şəkil B.8 ilk üç Haar dalğacığını göstərir. Birinci funksiya bütün intervalda sabit olduğu halda sonrakı funksiyalar daha kiçik intervallarda +1 və −1 qiymətləri alır. Bu iyerarxik struktur iri miqyaslı və kiçik miqyaslı xüsusiyyətlərin eyni bazada təsvirinə imkan verir.

Ən yüksək törəmə niyə birbaşa dalğacıqlarla ifadə olunub?

Haar funksiyaları kəsilməli olduğuna görə klassik mənada onların törəməsini almaq uyğun deyil. Tədqiqatda bu problem tərs istiqamətdə həll olunub: diferensial tənlikdəki ən yüksək tərtibli törəmə Haar bazasında yazılıb, sonra bu ifadə inteqrasiya vasitəsilə əsas funksiyaya çevrilib.

Haar funksiyasının \(r\) dəfə inteqralı:

\[ h_{r,i}(x)=\int_0^x\int_0^x\cdots\int_0^x h_i(t)\,dt^r \]

kimi təyin edilib. Beləliklə kəsilməli bazanın törəməsini birbaşa almaq əvəzinə analitik müəyyən edilmiş inteqral matrislərdən istifadə olunub.

Üçölçülü Navier–Stokes tənlikləri

Üsul kalorik baxımdan mükəmməl qaz üçün üçölçülü sıxılan Navier–Stokes tənliklərinə tətbiq olunub:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial t} +\frac{\partial\mathbf{F}_i}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_i}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_i}{\partial z} = \frac{\partial\mathbf{F}_v}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_v}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_v}{\partial z}. \]

Qorunan dəyişənlər vektoru:

\[ \mathbf{w}=(\rho,\rho u,\rho v,\rho w,E)^T \]

kimi verilib. Burada \(\rho\) sıxlıq, \(u\), \(v\) və \(w\) Karteziyan sürət komponentləri, \(E\) isə ümumi enerji sıxlığıdır.

Təzyiq:

\[ p=(\gamma-1)\left[E-\frac{1}{2}\rho(u^2+v^2+w^2)\right] \]

əlaqəsi ilə əldə olunur.

Özlülük gərginlik tenzoru:

\[ \sigma_{ij}=\mu\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) -\frac{2}{3}\mu\delta_{ij} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \]

və istilik axını:

\[ q_i=-k\frac{\partial T}{\partial x_i} \]

kimi müəyyən edilib.

İstilik keçiriciliyi və temperatur:

\[ k=\frac{C_p\mu}{Pr},\qquad T=\frac{p}{R\rho} \]

əlaqələri ilə hesablanıb. Özlülük üçün temperaturdan asılı qüvvət qanunundan istifadə edilib:

\[ \frac{\mu}{\mu_{ref}}= \left(\frac{T}{T_{ref}}\right)^\omega \]

və mənbədə \(\mu_{ref}=1{,}716\times10^{-5}\), \(T_{ref}=273\) və \(\omega=0{,}7\) qiymətləri verilib. Özlülük vahidi mənbə tənliyində ayrıca yazılmayıb.

Fəza üzrə diskretləşdirmə necə aparılıb?

Hesablama \((\xi,\eta,\zeta)\) koordinatlarında aparılıb və üç istiqamət üçün müstəqil ayırdetmə qabiliyyəti səviyyələri \(I\), \(J\) və \(K\) istifadə edilib. Hər zaman addımında qorunan dəyişənlərin Haar əmsalları üç istiqamətdə ayrıca hesablanır.

\(\xi\) istiqamətindəki əmsal vektoru nümunə olaraq:

\[ \mathbf{a}_{\xi} =MQ_{\xi}^{-1} \left[ \mathbf{w}-\mathbf{w}_L -\xi(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \right] \]

kimi verilib. Burada \(\mathbf{w}_L\) və \(\mathbf{w}_R\) müvafiq istiqamətdə sol və sağ sərhəd qiymətləridir.

Birinci törəmə:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial\xi} =MP_\xi\mathbf{a}_\xi +(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \]

ikinci törəmə isə:

\[ \frac{\partial^2\mathbf{w}}{\partial\xi^2} =MH_\xi\mathbf{a}_\xi \]

kimi hesablanıb. Hesablama koordinatlarındakı törəmələr daha sonra istifadə olunan şəbəkə çevrilməsi ilə fiziki \(x\), \(y\) və \(z\) törəmələrinə çevrilib.

Zaman inteqrasiyası

Tədqiqatda üçüncü tərtibli Runge–Kutta üsulundan istifadə olunub:

\[ \mathbf{w}_1= \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_0}{\partial t} +\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_2= \frac{1}{4} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_1}{\partial t} +\mathbf{w}_1 \right) +\frac{3}{4}\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_3= \frac{2}{3} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_2}{\partial t} +\mathbf{w}_2 \right) +\frac{1}{3}\mathbf{w}_0. \]

\(\mathbf{w}_0\) əvvəlki zaman addımındakı həlli təmsil edir. Hər doğrulama nümunəsində zaman addımı göstərilən CFL sayına görə müəyyən edilib.

Üsul həqiqətən heç bir süni diffuziya istifadə etmir?

Tədqiqatda iki ayrı anlayışı fərqləndirmək lazımdır:

• Haar diskretləşdirməsinin öz quruluşundan yaranan örtülü ədədi diffuziyanın olmadığı irəli sürülür.
• Şok və ya güclü qradient olan hesablamalarda sabitlik üçün açıq süni özlülük əlavə olunur.

Açıq süni özlülüyün əmsalı şəbəkə ayırdetmə qabiliyyəti ilə tərs mütənasib seçilib. Buna görə şəbəkə incəldikcə süni özlülüyün azalması nəzərdə tutulur. Lakin mənbədə bütün testlər üçün istifadə olunan əmsalların ətraflı siyahısı, sensor forması və ya həll keyfiyyətinə həssaslıq analizi verilməyib. Deməli “heç ədədi diffuziya yoxdur” ifadəsi yalnız üsulun örtülü davranışına aiddir; güclü qradient testlərində açıq sabitləşdirici termin istifadə olunur.

H, P və Q matrislərinin əhəmiyyəti

Haar yanaşmasında \(H\) baza qiymətlərini, \(P\) birinci inteqralları, \(Q\) isə ikinci inteqralları təmsil edir. Navier–Stokes tənliklərində ən yüksək fəza törəməsi ikinci tərtibli olduğuna görə \(Q\) matrisi tələb olunan ən aşağı inteqral səviyyəsidir.

Şəkil 2 və Şəkil 3 bu matrislərin və onların tərslərinin sıfırdan fərqli elementlərini göstərir. \(H\) və \(P\) irəli matrisləri kifayət qədər seyrəkdir. \(Q\) və xüsusilə əmsal hesablamasında istifadə edilən tərs matrislər daha sıxdır. \(H\) matrisi ortoqonaldır; inteqrasiyadan sonra bu xüsusiyyət itir.

Mövcud tətbiq dəqiqliyi göstərmək məqsədilə sıx matris-vektor vurmasından istifadə edib. Bu tətbiqin hər fəza istiqamətində hesablama xərci təxminən:

\[ O(N_i^2) \]

miqyasındadır və paralel səmərəliliyi məhduddur. Tədqiqatçılar sürətli dalğacıq çevrilmələrinin bu xərci nəzəri olaraq:

\[ O(N_i) \]

tərtibinə endirə biləcəyini qeyd edirlər. Lakin sürətli alqoritm bu tədqiqatda tətbiq olunub ölçülməyib; gələcək inkişaf istiqaməti kimi təqdim edilib.

Birinci test: Uzunmüddətli izentropik burulğan

Birinci test üsulun örtülü ədədi diffuziyasını ölçmək məqsədilə stasionar izentropik burulğanın uzun müddət qorunub-qorunmadığını araşdırıb. Hamar və dəqiq həlli məlum olan bu problemdə burulğanın zamanla yayılması və ya pik qiymətinin azalması birbaşa ədədi diffuziya göstəricisi kimi şərh oluna bilər.

Orta axın:

\[ \rho=1,\qquad p=1,\qquad u=U_\infty,\qquad v=V_\infty \]

kimi müəyyən edilib və stasionar vəziyyət üçün \(U_\infty=V_\infty=0\) götürülüb.

Burulğan sürət perturbasiyaları:

\[ (\delta u,\delta v)= \frac{\beta}{2\pi} e^{0{,}5(1-r^2)} (-\bar{y},\bar{x}) \]

və temperatur perturbasiyası:

\[ \delta T= -\frac{(\gamma-1)\beta^2} {8\gamma\pi^2} e^{1-r^2} \]

kimi verilib. Entropiya perturbasiyası sıfırdır.

Şəkil 4-də üç zamandakı mərkəz xətti sıxlıq profilləri demək olar ki, üst-üstə düşür. Tədqiqatçılar bunu üsulun 100 zaman vahidi ərzində burulğanı örtülü diffuziya ilə pozmadığının sübutu kimi şərh ediblər.

Bu nəticə mühüm olsa da, tədqiqatda \(L_1\), \(L_2\) və ya \(L_\infty\) xəta normaları verilməyib. Əyrilərin vizual olaraq üst-üstə düşməsi fiziki strukturun qorunduğunu göstərir, lakin ədədi xətanın dəqiq böyüklüyünü göstərmir.

İkinci test: Mach 7,5 hipersəs sürüşmə təbəqəsi

İkinci nümunə müxtəlif sürət və sıxlıqlara malik iki axın arasında inkişaf edən ikiölçülü qarışma təbəqəsidir. Giriş sürət profili hiperbolik tangens şəklindədir:

\[ u(y)= \frac{U_1+U_2}{2} +\frac{U_1-U_2}{2} \tanh\left(\frac{2y}{\delta_\omega}\right). \]

Keçid divara perpendikulyar sürət perturbasiyaları ilə başladılıb:

\[ v'= \sum_{k=1}^{2} a_k \cos\left(\frac{2\pi kt}{T}+\phi_k\right) \exp\left(-\frac{y^2}{b}\right). \]

Dalğa uzunluğu \(\lambda=30\), iki modun amplitudaları \(a_1=a_2=0{,}05\), fazaları \(\phi_1=0\) və \(\phi_2=\pi/2\), en parametri isə \(b=10\) seçilib.

Konvektiv Mach sayının 1,2 olması sürüşmə təbəqəsi daxilində kiçik şok strukturlarının yaranmasına əlverişli rejim yaradıb. Bu testdə açıq süni özlülükdən istifadə olunub və əmsal şəbəkə ayırdetmə qabiliyyəti artdıqca azaldılıb.

Şəkil 5-də sıxlıq sahəsi boyunca Kelvin–Helmholtz qeyri-sabitliyinin inkişafı görünür:

1. Başlanğıc perturbasiyaları axın istiqamətində böyüyür.
2. Sürüşmə təbəqəsi dalğalanaraq bükülən burulğanlara çevrilir.
3. Qonşu burulğanlar cütləşir və daha böyük strukturlar yaradır.
4. Qarışma təbəqəsinin qalınlığı axın istiqamətində artır.

Bu nəticə üsulun şokabənzər kəskin dəyişmələrlə aşağı amplitudalı fiziki qeyri-sabitlikləri eyni hesablamada təsvir edə bildiyini göstərir. Lakin tədqiqatda burulğan böyümə sürəti, qarışma təbəqəsi qalınlığı və ya dominant tezlik üçün istinad həlli ilə kəmiyyət xəta müqayisəsi verilməyib.

Üçüncü test: Mach 6 sərhəd təbəqəsi keçidi

Üçüncü test düz səth üzərindəki üçölçülü hipersəs sərhəd təbəqəsinin qeyri-sabitlik dalğalarından keçid strukturlarına çevrilməsini araşdırır. Problem əvvəllər dərc olunmuş Mach 6 etalon konfiqurasiyasına əsaslandırılıb.

Mənbə \(T_w/T_\infty=6{,}5\) halını hipersəs uçuş şəraitinə görə güclü soyudulmuş divar kimi təsvir edir. Burada “soyudulmuş” ifadəsi sərbəst axının statik temperaturuna deyil, çox daha yüksək ola bilən adiabatik və ya bərpa temperaturuna görə şərh olunmalıdır.

Keçidi oyatmaq üçün səthdə sorma-üfürmə formasında sürət məcburiyyəti istifadə olunub:

\[ v_w=f(x)g(z) \sum_{i=1}^{2} A_i\sin(\omega_it-\beta_iz). \]

Məcburetmə sahəsi:

\[ 15\leq\frac{x-x_0}{\delta_0^*}\leq20 \]

intervalındadır. Axın istiqamətindəki Gauss zərfinin mərkəzi \(17{,}5\delta_0^*+x_0\), eni \(0{,}75\delta_0^*\) seçilib. İki maili modun:

• Amplitudası \(A=0{,}05U_\infty\),
• Tezliyi \(\omega=0{,}9c_\infty/\delta_0^*\),
• En istiqamətində dalğa ədədləri \(\beta=\pm0{,}3/\delta_0^*\)

kimi verilib.

Şəkil 6 divara paralel müstəvidə normallaşdırılmış sıxlıq qradientlərini və Q meyarı izosəthlərini göstərir. Vizualda ilk hissədə nizamlı və axın istiqamətinə yaxın strukturlar olduğu halda irəlidə burulğan strukturları çoxalır, bükülür və üçölçülü mürəkkəb şəbəkəyə çevrilir.

Tədqiqatçılar bu inkişafı aşağıdakı mexanizmlərlə əlaqələndiriblər:

• Maili qeyri-sabitlik dalğalarının böyüməsi,
• Qeyri-xətti mod qarşılıqlı təsirləri,
• Axın istiqamətli burulğanların yaranması,
• Üçölçülü keçid strukturlarının ortaya çıxması,
• Pozulmanın erkən mərhələsinin başlaması.

Tədqiqat tam inkişaf etmiş turbulentliyin statistik xüsusiyyətlərini və ya səth istilik axınının həddini kəmiyyətcə araşdırmır. Göstərilən nəticə üsulun keçidin əsas axın strukturlarını yarada bildiyinə dair keyfiyyət xarakterli doğrulamadır.

Dördüncü test: Mach 6 sıxılma küncü

Son test düz lövhədən sonra 8° maili sıxılma rampası olan üçölçülü axın sahəsidir. Rampanın başlanğıcı kiçik radiusla yuvarlaqlaşdırılıb. Bu konfiqurasiya şok dalğası/sərhəd təbəqəsi qarşılıqlı təsirinin və divara yaxın güclü termal qradientlərin birlikdə olduğu klassik yüksək sürətli aerodinamika problemidir.

Giriş şərti ayrıca düz lövhə ilkin həllindən əldə edilib. Bu ilkin sahə girişdə üçölçülü pozuntuları davamlı şəkildə təmin edir. Başlanğıcdakı həddindən artıq keçici davranışı azaltmaq üçün daxili sahə təzyiqlə uyğun və hamar sərhəd təbəqəsinə bənzər profillə başlanıb.

Şəkil 7-də simmetriya müstəvisində temperatur sahəsi göstərilir. Düz lövhə üzərində divara yaxın termal təbəqə inkişaf edir. Axın küncə və rampaya çatdıqda sıxılma səbəbindən divar ətrafındakı temperatur yüksəlir. Rampanın davamında isti təbəqə qalınlaşır və güclü temperatur qradientləri səthə yaxın sahədə cəmlənir.

Bu test üsulun mürəkkəb həndəsədə aşağıdakı keyfiyyət xüsusiyyətlərini yarada bildiyini göstərir:

• Rampanın yaratdığı sıxılma təsiri,
• Divar yaxınlığında temperatur artımı,
• Termal sərhəd təbəqəsinin pozulması,
• Küncdən sonra güclü qradientlərin davam etməsi,
• Üçölçülü giriş pozuntularının aşağı axına daşınması.

Bununla belə tədqiqat səth təzyiq əmsalı, Stanton sayı, istilik axını, ayrılma uzunluğu və ya şok mövqeyi üçün eksperimental və ya yüksək ayırdetmə qabiliyyətilü istinadla kəmiyyət müqayisəsi təqdim etmir.

Tədqiqatın güclü tərəfləri

• Haar dalğacıq üsulu üçölçülü sıxılan Navier–Stokes tənliklərinə sistematik tətbiq olunub.
• Kəsilmələrin Gibbs rəqsləri olmadan təsvir edilə bilməsi birbaşa Heaviside funksiyası üzərindən göstərilib.
• Doğrulama problemləri hamar və stasionar burulğandan üçölçülü hipersəs şok/sərhəd təbəqəsi qarşılıqlı təsirinə qədər mərhələli şəkildə çətinləşdirilib.
• Uzunmüddətli burulğan testi aşağı amplitudalı strukturların örtülü diffuziya ilə basdırılmadığını göstərir.
• Mach 7,5 sürüşmə təbəqəsində Kelvin–Helmholtz burulğan yaranması və cütləşməsi əldə edilib.
• Mach 6 sərhəd təbəqəsində maili modların böyüməsi və axın istiqamətli burulğan strukturları əldə edilib.
• Mach 6 sıxılma küncündə divara yaxın güclü termal qradientlər həll edilib.
• Haar matrislərinin iyerarxik və seyrək quruluşu gələcək sürətləndirmə üçün açıq alqoritmik yol təqdim edir.
• Müəllif töhfələri, maraqlar toqquşması, məlumatlara çıxış və maliyyələşdirmə məlumatları açıq şəkildə verilib.

Tədqiqatın məhdudiyyətləri

• Tədqiqat resenziyadan keçməmiş preprintdir.
• Fiziki külək tuneli və ya uçuş sınağı ilə doğrulama aparılmayıb.
• Dörd testin böyük hissəsi keyfiyyət xarakterli vizual axın strukturu qiymətləndirməsinə əsaslanır.
• Xəta normaları, müşahidə olunan yaxınsama tərtibi və əhatəli şəbəkə yaxınsama cədvəlləri verilməyib.
• WENO, TENO, kompakt fərq və ya kəsilməli Galerkin üsulları ilə eyni şəbəkə və zaman addımında birbaşa dəqiqlik-xərc müqayisəsi aparılmayıb.
• Güclü qradient testlərində açıq süni özlülükdən istifadə olunub, lakin bütün əmsallar və həssaslıq nəticələri ətraflı bildirilməyib.
• Mövcud sıx matris tətbiqi \(O(N_i^2)\) xərclidir və paralel səmərəliliyi məhduddur.
• Təklif olunan sürətli \(O(N_i)\) alqoritm tətbiq olunmayıb və performansı ölçülməyib.
• Adaptiv şəbəkə və ya real vaxtda çoxayırdetmə qabiliyyətilü aktivləşdirmə bu tədqiqatda tətbiq olunmayıb.
• Mürəkkəb sənaye həndəsələri və ya nizamsız şəbəkələr üzərində doğrulama təqdim edilməyib.
• Kimyəvi reaksiya, real qaz təsirləri, vibrasiya enerjisi və yüksək temperatur qaz fizikası modelə daxil edilməyib.
• Məlumatlar yalnız sorğu əsasında təqdim olunacaq; açıq kod deposu və yenidən hasil etmə paketi verilməyib.

Tədqiqat nəyi dəstəkləyir?

• Haar bazası pillətipli kəsilmələrdə Gibbs rəqslərinin qarşısını ala bilər.
• Haar kollokasiya üsulu hamar axın strukturlarını uzun müddət aşağı örtülü sönümlə qoruya bilər.
• Üsul şok və ya güclü qradientlərlə keçid dalğalarının birlikdə olduğu nümunələri sabit şəkildə hesablaya bilər.
• Seçilmiş ayırdetmə qabiliyyətilərdə Kelvin–Helmholtz burulğanları və hipersəs sərhəd təbəqəsi keçid strukturları əldə oluna bilər.
• Haar matrislərinin nizamlı seyrəklik quruluşu sürətli alqoritmlər üçün istifadə oluna bilər.
• Üsul hipersəs keçid hesablamaları baxımından araşdırılmağa dəyər alternativdir.

Tədqiqat nəyi sübut etmir?

• Haar üsulunun WENO, TENO və ya digər müasir üsullardan ümumilikdə daha dəqiq olduğunu sübut etmir.
• Üsulun eyni dəqiqlikdə daha aşağı hesablama xərcinə malik olduğunu göstərmir.
• Hər cür şok şiddəti, həndəsə və ya sərhəd şərtində sabit işləyəcəyini sübut etmir.
• Sürətli dalğacıq çevrilməsi istifadə olunduqda real tətbiqin \(O(N)\) sürətinə çatacağını eksperimental göstərmir.
• Adaptiv ayırdetmə qabiliyyətin avtomatik və etibarlı işlədiyini göstərmir.
• Real qaz, kimyəvi reaksiya və ya plazma olan hipersəs rejimlərini doğrulamır.
• Müəyyən hava vasitəsinin aerodinamik, istilik və ya uçuş təhlükəsizliyi performansını hesablamır.
• Sənaye dizaynı və ya sertifikatlaşdırma üçün hazır həlledici təqdim etmir.

Gələcəkdə hansı doğrulamalar tələb olunur?

Üsulun tədqiqat səviyyəsindən ümumi təyinatlı hipersəs həlledici səviyyəsinə keçməsi üçün aşağıdakı işlər vacibdir:

• Məlum analitik həllərdə sistematik \(L_1\), \(L_2\) və \(L_\infty\) xəta ölçümü,
• Müxtəlif ayırdetmə qabiliyyətilərdə müşahidə olunan yaxınsama tərtibinin hesablanması,
• Süni özlülük əmsalının şok qalınlığına və keçid dalğalarına təsirinin araşdırılması,
• Eyni şəbəkə və CFL şərtlərində WENO/TENO üsulları ilə müqayisə,
• CPU/GPU vaxtlarının, yaddaş sərfiyyatının və paralel miqyaslanmanın ölçülməsi,
• Sürətli Haar çevrilmələrinin tətbiqi,
• Adaptiv çoxayırdetmə qabiliyyətilü şəbəkə strategiyasının hazırlanması,
• Külək tuneli təzyiqi, istilik axını və keçid mövqeyi məlumatlarına qarşı doğrulama,
• Real qaz və yüksək temperatur termokimyası ilə genişləndirmə,
• Mürəkkəb üçölçülü vasitə həndəsələrinə tətbiq.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Metodoloji çərçivə

Dörd testin müqayisəli xülasəsi

Şəkillərin elmi mənası

Əsas nəticələr

• Haar bazası tədqiqatdakı kəsilməli test funksiyasında Gibbs tipli ədədi dalğalanmalar yaratmayıb.
• Stasionar izentropik burulğan 100 zaman vahidi boyunca görünən profil itkisi olmadan qorunub.
• Mach 7,5 axın olan qarışma təbəqəsində fiziki qeyri-sabitliyin böyüməsi, burulğan bükülməsi və burulğan cütləşməsi hesablanıb.
• Mach 6 sərhəd təbəqəsində maili modların qeyri-xətti qarşılıqlı təsiri və axın istiqamətli burulğanların yaranması yenidən hasil edilib.
• Mach 6 sıxılma rampasında divara yaxın temperatur artımı və güclü termal qradientlər həll edilib.
• Üsul güclü qradientlərdə açıq süni özlülüklə sabitləşdirilib, özlülük əmsalının şəbəkə incəldikcə azalması təmin edilib.
• Mövcud sıx matris tətbiqi fiziki dəqiqliyə yönəlib, yüksək hesablama performansı hələ göstərilməyib.
• Haar matrislərinin quruluşu gələcəkdə sürətli çevrilmə və adaptiv ayırdetmə qabiliyyəti üçün uyğun sayılıb.

Nəticələrin ehtiyatlı şərhi

Tədqiqat Haar kollokasiya yanaşmasının hipersəs keçidi və güclü qradientli axınlar üçün tətbiq edilə bildiyini göstərir. “Tətbiq edilə bilər” ifadəsi seçilmiş testlərin sabit şəkildə işlədildiyi və gözlənilən əsas fiziki strukturların yarandığı anlamına gəlir.

Nəticələr üsulun ümumilikdə üstün, daha sürətli və ya daha dəqiq olduğunu hələ göstərmir. Bunun üçün eyni ayırdetmə qabiliyyətidə müasir üsullarla kəmiyyət xəta, hesablama vaxtı və yaddaş müqayisəsi lazımdır. Bundan əlavə keçid və sıxılma küncü nəticələrinin eksperimental təzyiq, istilik axını və ya keçid mövqeyi ölçmələri ilə sınanması tələb olunur.

Mənbə və Metod Qeydi

Tədqiqatın tam orijinal adı: A Haar wavelet collocation method for hypersonic flows with strong gradients

Müəlliflər: Yu Zhang, Diego Exposito-Brioso və Xuerui Mao.

Tədqiqatda istifadə olunan qısaldılmış adlar: Y. Zhang, D. Exposito və X. Mao.

Müəllif ardıcıllığı: Mənbədə verildiyi ardıcıllıqla qorunub.

Birgə birinci müəllif: Bərabər töhfə və ya birgə birinci müəlliflik bəyanı yoxdur.

Məsul müəlliflər: Diego Exposito-Brioso və Xuerui Mao.

Əlaqə ünvanları: dieexbr17@gmail.com və xmao@bit.edu.cn.

Qurum 1: School of Interdisciplinary Science, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Çin.

Qurum 2: School of Mechatronical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Çin.

Qurum 3: Beijing Institute of Technology (Zhuhai), Zhuhai 519088, Çin.

Qurum 4: State Key Laboratory of Explosion Science and Safety Protection, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Çin.

DOI:10.2139/ssrn.7197528

Rəsmi mənbə keçidi:SSRN rəsmi qeyd səhifəsi

Nəşr platforması: SSRN.

Nəşr ili: 2026.

Jurnal: Bu versiyada müəyyən resenziyalı jurnal adı və ya jurnal qəbulu yoxdur.

Resenziyalı nəşriyyat: Bu versiyada resenziyalı jurnal nəşriyyatı barədə məlumat yoxdur.

Mənbə növü: Üçölçülü sıxılan axınlar üçün ədədi üsulun hazırlanması və doğrulanması xarakterli preprint tədqiqat məqaləsi.

Resenziya statusu: Tədqiqat resenziyadan keçməyib. Nəticələr preprint statusu və göstərilən doğrulama məhdudiyyətləri nəzərə alınaraq qiymətləndirilməlidir.

Yu Zhang-ın töhfələri: Metod, proqram təminatı, doğrulama, formal analiz, tədqiqat, məlumatların təşkili, ilkin mətnin yazılması və vizuallaşdırma.

Diego Exposito-Brioso-nun töhfələri: Konseptuallaşdırma, metod, formal analiz, baxış və redaktə, məsləhətçilik və maliyyələşdirmənin təmin edilməsi.

Xuerui Mao-nun töhfələri: Resursların təmin edilməsi, baxış və redaktə, məsləhətçilik, layihə idarəçiliyi və maliyyələşdirmənin təmin edilməsi.

Maliyyələşdirmə: National Natural Science Foundation of China, Qrant No. W2433020.

Maraqlar toqquşması: Müəlliflər tədqiqata təsir edə biləcək məlum maliyyə marağının və ya şəxsi münasibətin olmadığını bəyan ediblər.

Məlumatlara çıxış: Məlumatların sorğu əsasında təqdim ediləcəyi bildirilib. Açıq məlumat deposu keçidi verilməyib.

Koda çıxış: Açıq mənbə kodu, versiya etiketi və ya yenidən hasil etmə paketi təqdim olunmayıb.

Metodoloji sərhəd: Tədqiqat kalorik baxımdan mükəmməl qaz fərziyyəsinə əsaslanır. Real qaz, termokimyəvi tarazsızlıq, kimyəvi reaksiya, ionlaşma və radiasiya modelləşdirilməyib. Hipersəs nümunələrinin doğrulanması əsasən gözlənilən axın strukturlarının keyfiyyətcə yenidən hasilinə əsaslanır.

Hesablama sərhədi: Mövcud tətbiq sıx matris əməliyyatlarına görə təxminən \(O(N_i^2)\) xərc daşıyır. Sürətli \(O(N_i)\) dalğacıq alqoritmləri və adaptiv çoxayırdetmə qabiliyyətilü tətbiq həyata keçirilmiş nəticə deyil, gələcək iş təklifidir.

Süni özlülük xəbərdarlığı: Üsul örtülü ədədi sönüm yaratmadığını irəli sürsə də, güclü şok qarşılıqlı təsirlərində açıq süni özlülükdən istifadə edib. Buna görə nəticələr “tamamilə özlülüysüz ədədi həll” kimi şərh olunmamalıdır.

Bu Azərbaycan dilində məzmun yüklənmiş tədqiqatın mətni, tənlikləri, şəkilləri, əlavələri və nəticələri əsasında hazırlanıb. Tədqiqatda olmayan eksperimental uğur, uçuş performansı, vasitə dizaynı, sənaye üstünlüyü və ya başqa üsullara qarşı sübut edilmiş ümumi üstünlük iddiası əlavə edilməyib.