Ushbu tadqiqot qora tuynuklarning yorug‘likni egishini fazo-vaqt egriligi bo‘yicha bajariladigan sirt integrali o‘rniga, joylashuvga qarab o‘zgaradigan sinish ko‘rsatkichiga ega samarali optik muhitda to‘planadigan sinish sifatida hisoblaydi. Izzet Sakalli chekli masofadagi manba va kuzatuvchini bevosita o‘z ichiga oladigan mahalliy chiziqli integralni ishlab chiqqan; usulni Schwarzschild, elektr zaryadli Reissner–Nordström va kosmologik doimiyli Kottler geometriyalaridagi ma’lum natijalar bilan taqqoslagan, so‘ng uni aylanuvchi Kerr qora tuynuklari, kosmik torlar, global monopollar, Lorentz simmetriyasi buzilgan bumblebee geometriyalari va quintessence fonlariga kengaytirgan. Asosiy topilma shuki, yorug‘lik og‘ishini optik yo‘l bo‘ylab [ (1/n)\,\partial n/\partial\nu ] kattaligining integrali orqali olish mumkin va bu hisob uchun foton sferasi talab etilmaydi. Shu bilan birga, tadqiqot bir martalik o‘tishga oid kuchsiz linzalanish rejimi bilan cheklangan, taqrizdan o‘tmagan nazariy preprintdir; kuchli og‘ish, ko‘p martalik aylanish va kaustika hosil bo‘lishi o‘rganilmagan.

Usul statik va sferik simmetrik fazo-vaqtni tekislikka yoyilgan, joylashuvga bog‘liq sinish ko‘rsatkichi bilan ifodalaydi. Nur sinish ko‘rsatkichi yuqori bo‘lgan yo‘nalish tomon uzluksiz egiladi; umumiy og‘ish manba bilan kuzatuvchi orasidagi ana shu kichik yo‘nalish o‘zgarishlarini jamlash orqali topiladi. Bu yondashuv atom-kuch mikroskopi kabi konsolga asoslangan optik aniqlash tizimlarida qo‘llanadigan bir sirtli qaytish geometriyasidan ilhomlangan. Qora tuynuk holatida bitta qaytaruvchi sirt o‘rniga cheksiz ko‘p juda kichik sinish sirtlari tasavvur qilinadi.

Schwarzschild qora tuynugi uchun usul chekli masofadagi og‘ish burchagini qayta hosil qiladi va manba hamda kuzatuvchi cheksizlikka olib borilganda ma’lum [ 4M/b ] natijasiga erishadi. Yuqori tartibli yoyilma oltinchi tartibgacha chiqarilgan va sonli null geodezik integrallash bilan taqqoslangan. Masalan, [ b/M=50 ] uchun faqat birinchi tartib ishlatilganda nisbiy xato taxminan [ 6,0\times10^{-2} ] bo‘lsa, to‘rtinchi tartibda [ 3,0\times10^{-5} ] darajasigacha kamayadi.

Tadqiqot, shuningdek, aylanishni optik muhitning sudralishi sifatida ko‘rish mumkinligini, kosmik tor va global monopollar kabi burchak tanqisliklari esa og‘ishni topologik doimiy hamda qayta masshtablangan Schwarzschild hadiga ajratishini ko‘rsatadi. Bu tuzilma Einstein halqasining o‘lchami, tasvir yorqinligi va aylanishdan kelib chiqadigan halqa asimmetriyasi kabi kuzatiladigan kattaliklarga aylantiriladi.

Ilmiy ogohlantirish: Ushbu tadqiqot taqrizdan o‘tmagan preprintdir. Taqdim etilgan natijalar qora tuynuklar laboratoriyada haqiqiy optik modda kabi tutishini ko‘rsatmaydi; ular null geodeziklarni matematik ravishda joylashuvga bog‘liq sinish ko‘rsatkichi orqali qayta ifodalash mumkinligini ko‘rsatadi.

Tadqiqotning asosiy savoli nima?

Gravitatsion linzalanishda yorug‘lik katta massa atrofidagi egri fazo-vaqtda chiziqli bo‘lmagan yo‘ldan boradi. An’anaviy hisoblarda yorug‘lik orbitasi tenglamasi yechilishi yoki optik geometriyaning Gauss egriligi sirt bo‘ylab integrallanishi mumkin. Biroq ikki muhim holat bu hisoblarni qiyinlashtiradi:

• Manba va kuzatuvchi qora tuynukdan cheksiz uzoqda emas, balki chekli masofalarda joylashgan.
• Kosmologik doimiy, quintessence yoki burchak tanqisligini o‘z ichiga olgan fazo-vaqtlar cheksizlikda tekis bo‘lmasligi mumkin.

Cheksizlikda tekis bo‘lmagan geometriyalarda «og‘magan to‘g‘ri nur» tushunchasi qaysi fonga nisbatan ta’riflanishi aniq emas. Ayrim usullar, shuningdek, foton sferasi yoki doiraviy null orbita kabi maxsus geometrik tuzilmani talab qilishi mumkin.

Tadqiqot savoli quyidagicha: chekli masofadagi gravitatsion og‘ishni foton sferasidan foydalanmasdan va nur o‘tgan har bir nuqtadagi mahalliy optik sinishni jamlab hisoblash mumkinmi?

Fazo-vaqt qanday qilib optik muhitga aylantiriladi?

Tadqiqot umumiy statik va sferik simmetrik fazo-vaqtni quyidagi metrikadan boshlaydi:

\[ ds^2=-A(r)\,dt^2+B(r)\,dr^2+C(r)\,d\Omega^2 \]

Bu yerda:

• A(r) vaqt komponenti va gravitatsion qizilga siljishni,
• B(r) radial geometriyaning masshtablanishini,
• C(r) burchak qismining fizik kattaligini,
• r egri chiziqli radial koordinatani,
• dΩ² sferik burchak elementini

ifodalaydi. Hisoblar ekvatorial tekislikda [ \theta=\pi/2 ] bajariladi.

Yorug‘lik uchun [ ds^2=0 ] bo‘lgani sababli, vaqt o‘zgaruvchisini optik uzunlik orqali yozish mumkin. Shu tariqa null nurlar ergashadigan optik metrika olinadi:

\[ d\ell_{\mathrm{opt}}^2=\frac{B(r)}{A(r)}\,dr^2+\frac{C(r)}{A(r)}\,d\phi^2 \]

Bu ifoda yorug‘likning geometrik jihatdan egri ikki o‘lchovli optik sirt bo‘ylab tarqalishini ko‘rsatadi. So‘ng tadqiqotchi izotrop radial koordinata [ \bar r ] ni ta’riflaydi:

\[ \frac{d\bar r}{\bar r}=\sqrt{\frac{B(r)}{C(r)}}\,dr \]

Samarali sinish ko‘rsatkichi esa:

\[ n(\bar r)=\frac{1}{\bar r}\sqrt{\frac{C(r)}{A(r)}} \]

ko‘rinishidadir. Ushbu o‘zgartirishdan keyin optik metrika:

\[ d\ell_{\mathrm{opt}}^2=n^2(\bar r)\left(d\bar r^2+\bar r^2d\phi^2\right) \]

bo‘ladi. Shunday qilib, egri optik sirt Evklid tekisligida joylashuvga bog‘liq sinish ko‘rsatkichiga ega muhit sifatida ifodalanadi. Yorug‘lik bo‘sh fazoda oddiy shishadan o‘tmaydi; n, fazo-vaqt geometriyasining optik ekvivalentidir.

Konsoldan ilhomlangan o‘xshatish nimani anglatadi?

Konsolga asoslangan optik aniqlashda lazer egilgan sirtdan qaytariladi va detektordagi o‘rni o‘lchanadi. Tushayotgan nurning birlik yo‘nalishi I, sirt normali N va qaytgan nurning yo‘nalishi R bo‘lsa, qaytish qonuni quyidagicha:

\[ R=I-2(I\cdot N)N \]

Bu tenglamada nurning sirtga parallel komponenti o‘zgarmaydi, normalga parallel komponenti esa teskarilanadi. Bitta sirt nur yo‘nalishini bir martada o‘zgartiradi.

O‘zgaruvchan sinish ko‘rsatkichli muhitda esa bitta sirt o‘rniga har biri juda kichik ko‘rsatkich farqiga ega ko‘plab sath sirtlari mavjud. Har bir chegarada Snell qonunining vektor ko‘rinishi amal qiladi:

\[ n_1\hat t_1-(n_1\hat t_1\cdot N)N=n_2\hat t_2-(n_2\hat t_2\cdot N)N \]

t̂ nurning birlik urinma yo‘nalishidir. Ushbu kichik yo‘nalish o‘zgarishlari uzluksiz limitga olib borilganda o‘zgaruvchan ko‘rsatkichli muhit qonuni olinadi:

\[ \frac{d}{d\ell}\left(n\hat t\right)=\nabla n \]

Ekvivalent ravishda, nur yo‘nalishidagi o‘zgarish:

\[ \frac{d\hat t}{d\ell}=\frac{1}{n}\nabla_{\perp}n \]

ko‘rinishidadir. [ \nabla_{\perp}n ] sinish ko‘rsatkichi gradientining nurga perpendikulyar komponentidir. Nur ko‘rsatkich ortishining nurga perpendikulyar komponenti tomon egiladi.

Asosiy og‘ish formulasi

Nurning mahalliy egriligi [ \kappa ] quyidagicha ta’riflanadi:

\[ \kappa=\frac{1}{n}\frac{\partial n}{\partial\nu} \]

Bu yerda [ \nu ] nurga perpendikulyar va nurning botiq tomoniga yo‘nalgan koordinatadir. Manba S bilan qabul qiluvchi yoki kuzatuvchi R orasidagi umumiy gravitatsion og‘ish:

\[ \alpha=\int_S^R\kappa\,d\ell=\int_S^R\frac{1}{n}\frac{\partial n}{\partial\nu}\,d\ell \]

tarzida beriladi. Tadqiqotning asosiy natijasi mana shu mahalliy chiziqli integraldir. Formula nurning yo‘l bo‘ylab qanchalik egilganini bevosita jamlaydi. Hisobda burilish nuqtasi, doiraviy null orbita yoki foton sferasi oshkora qatnashmaydi.

Sferik simmetriya, shuningdek, Bouguer invariantini beradi:

\[ n(\bar r)\,\bar r\sin\psi=b \]

Bu yerda:

• ψ nurning radial yo‘nalish bilan hosil qilgan mahalliy burchagini,
• b ta’sir parametrini,
• n\bar r optik radiusni

ifodalaydi. [ n\bar r=\sqrt{C/A} ] bo‘lgani uchun:

\[ \sin\psi=b\sqrt{\frac{A}{C}} \]

olinadi. Bu burchak chekli masofali Gauss–Bonnet usulida ishlatiladigan mahalliy optik burchak bilan bir xil. Tadqiqotga ko‘ra, ikki usul bir xil kinematik saqlanishga tayangan; biri egrilikni sirt bo‘ylab, ikkinchisi esa nurning mahalliy egilishini yo‘l bo‘ylab jamlaydi.

Usul Schwarzschild qora tuynugida qanday sinovdan o‘tkazilgan?

Schwarzschild geometriyasida:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r},\qquad B(r)=A^{-1}(r),\qquad C(r)=r^2 \]

bo‘ladi. M, geometrik birliklarda qora tuynuk massasidir. Izotrop koordinatalarda aniq sinish ko‘rsatkichi:

\[ n(\bar r)=\frac{\left(1+\frac{M}{2\bar r}\right)^3}{1-\frac{M}{2\bar r}} \]

ko‘rinishidadir. Kuchsiz maydon yoyilmasi:

\[ n(\bar r)=1+\frac{2M}{\bar r}+\frac{7M^2}{4\bar r^2}+\frac{M^3}{\bar r^3}+\cdots \]

tarzida beriladi. Birinchi tuzatish [ 2M/\bar r ] qora tuynukka yaqinlashgan sari samarali sinish ko‘rsatkichi ortishini ko‘rsatadi.

Ta’sir parametri b bo‘lgan taxminan to‘g‘ri nur bo‘ylab [ \bar r=\sqrt{x^2+b^2} ] yozilganda, birinchi tartibli chekli masofa og‘ishi:

\[ \alpha_{\mathrm{Schw}}=\frac{2M}{b}\left(\sqrt{1-\frac{b^2}{\bar r_R^2}}+\sqrt{1-\frac{b^2}{\bar r_S^2}}\right) \]

bo‘ladi. [ \bar r_S ] manba, [ \bar r_R ] esa kuzatuvchi masofasining izotrop koordinatadagi qiymatidir. Manba va kuzatuvchi cheksizlikka olib borilganda, ikkala kvadrat ildiz ham birga yaqinlashadi:

\[ \alpha_{\mathrm{Schw}}\rightarrow\frac{4M}{b} \]

Shu tariqa umumiy nisbiylikning ma’lum kuchsiz maydon yorug‘lik og‘ishi qayta olinadi.

Yuqori tartibli Schwarzschild qatori

Tadqiqotchi sinish ko‘rsatkichi yoyilmasini nur yo‘li tuzatishlari bilan birga qo‘llab, asimptotik og‘ishni oltinchi tartibgacha hisoblaydi:

\[ \alpha= \frac{4M}{b} +\frac{15\pi}{4}\frac{M^2}{b^2} +\frac{128}{3}\frac{M^3}{b^3} +\frac{3465\pi}{64}\frac{M^4}{b^4} +\frac{3584}{5}\frac{M^5}{b^5} +\frac{255255\pi}{256}\frac{M^6}{b^6} +\cdots \]

Har bir yangi had [ M/b ] nisbatining yuqoriroq darajasidir. [ b\gg M ] bo‘lganda birinchi had yetarli bo‘lishi mumkin; nur qora tuynukka yaqinlashgan sari yuqori tartibli hadlarning hissasi ortadi.

Tadqiqot ushbu koeffitsiyentlarni null geodeziklarni bevosita sonli integrallash bilan taqqoslaganini bildiradi. Kesish tartibiga ko‘ra nisbiy xatolar quyidagicha:

Jadval kuchsiz maydon qatori faqat sifat jihatidan emas, balki talab etilgan aniqlik darajasiga muvofiq tartibi tanlanadigan miqdoriy yaqinlashuv ekanini ko‘rsatadi. [ b/M=10 ] kabi kuchliroq og‘ish hududida hatto to‘rtinchi tartib ham taxminan 2,2 foiz xatoga ega bo‘lsa, [ b/M=50 ] uchun xato taxminan 0,003 foizgacha kamayadi.

Elektr zaryadli Reissner–Nordström qora tuynugi

Elektr zaryadli, aylanmaydigan qora tuynuk uchun:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2} \]

ishlatiladi. Q, geometrik birliklarda elektr zaryadi parametridir. Sinish ko‘rsatkichining dastlabki hadlari:

\[ n(\bar r)=1+\frac{2M}{\bar r}-\frac{Q^2}{2\bar r^2}+O(M^2)+\cdots \]

ko‘rinishidadir. Zaryad birinchi tartibli [ 4M/b ] natijasini o‘zgartirmaydi; u ikkinchi tartibda paydo bo‘ladi. Chekli masofada:

\[ \alpha_{\mathrm{RN}}= \frac{2M}{b}(s_R+s_S) -\frac{3Q^2}{4b^2} \left[ \pi-\left(\arcsin\frac{b}{r_R}+\arcsin\frac{b}{r_S}\right) +\frac{b}{r_R}s_R+\frac{b}{r_S}s_S \right]+\cdots \]

Bu yerda:

\[ s_i=\sqrt{1-\frac{b^2}{r_i^2}},\qquad i=R,S \]

ta’rifi ishlatilgan. Cheksiz masofa limitida:

\[ \alpha_{\mathrm{RN}}\rightarrow \frac{4M}{b} +\left(\frac{15\pi}{4}M^2-\frac{3\pi}{4}Q^2\right)\frac{1}{b^2} +\cdots \]

olinadi. [ -3\pi Q^2/(4b^2) ] hadi bir xil massa va ta’sir parametri uchun elektr zaryadi ikkinchi tartibda umumiy og‘ishni kamaytirishini ko‘rsatadi.

Kosmologik doimiyli Kottler geometriyasi

Schwarzschild–de Sitter yoki Kottler geometriyasida:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3} \]

bo‘ladi. [ \Lambda ] kosmologik doimiydir. Bu fazo-vaqt cheksizlikda Minkowski tekisligiga yaqinlashmagani uchun, tayanch nur tekis fazoga emas, balki ayni [ \Lambda ] qiymatiga ega de Sitter foniga nisbatan ta’riflanishi kerak.

Kosmologik doimiy samarali ta’sir parametrini:

\[ \frac{1}{B^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{\Lambda}{3} \]

ko‘rinishida o‘zgartiradi. Kichik [ \Lambda ] uchun:

\[ B=b\left(1-\frac{\Lambda b^2}{6}\right)+O(\Lambda^2) \]

olinadi. [ r_g=2M ] va [ u_i=1/r_i ] ta’riflari bilan chekli masofadagi og‘ish:

\[ \alpha_{\mathrm{Kottler}}= \frac{r_g}{b}(s_R+s_S) -\frac{\Lambda b}{6}\left(\frac{s_R}{u_R}+\frac{s_S}{u_S}\right) +\frac{r_g\Lambda b}{12}\left(\frac{1}{s_R}+\frac{1}{s_S}\right) +\cdots \]

ko‘rinishidadir. Oxirgi had [ r_g\Lambda ] ko‘paytmasini o‘z ichiga oladi. Bu had faqat qora tuynuk massasidan ham, faqat kosmologik doimiydan ham kelib chiqmaydi; u massaga bog‘liq sinishni de Sitter fonida baholashdan tug‘iladigan aralash hissadir.

Nega aylanuvchi Kerr qora tuynugi harakatlanuvchi optik muhit kabi tutadi?

Aylanuvchi qora tuynukda fazo-vaqtni faqat joylashuvga bog‘liq skalyar sinish ko‘rsatkichi bilan ifodalab bo‘lmaydi. Kerr metrikasida vaqt va burchak koordinatasi orasida [ dt\,d\phi ] aralash hadi mavjud. Ekvatorial tekislikda:

\[ ds^2= -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 -\frac{4Ma}{r}\,dt\,d\phi +\frac{r^2}{\Delta}dr^2 +\left(r^2+a^2+\frac{2Ma^2}{r}\right)d\phi^2 \]

va:

\[ \Delta=r^2-2Mr+a^2,\qquad a=\frac{J}{M} \]

bo‘ladi. J burchak impulsi, a solishtirma aylanish parametridir.

Bu holatda optik geometriya Randers–Finsler tuzilmasiga aylanadi:

\[ dt=\sqrt{\alpha_{ij}dx^idx^j}+\beta_i dx^i \]

\[ \beta_\phi ] hadi harakatlanuvchi muhitdagi sudralishga o‘xshaydi:

[ \beta_\phi=\frac{g_{t\phi}}{g_{tt}}\simeq\frac{2Ma}{r} \]

Nur tenglamasi shunga ko‘ra:

\[ \frac{d}{d\ell}(n\hat t)=\nabla n+\hat t\times(\nabla\times W) \]

ko‘rinishini oladi. Birinchi had massaning gravitoelektrik sinishini, ikkinchi had aylanishning gravitomagnit sudralishini ifodalaydi. Tadqiqotchi buni harakatlanuvchi optik muhitlardagi Fresnel–Fizeau sudralishiga o‘xshatadi.

Kuchsiz maydonda Kerr og‘ishi:

\[ \alpha_{\mathrm{Kerr}}= \frac{4M}{b} \mp\frac{4Ma}{b^2} +\frac{15\pi}{4}\frac{M^2}{b^2} +\cdots \]

tarzida beriladi. Yuqoridagi minus ishora qora tuynuk bilan bir yo‘nalishda harakatlanadigan prograde nurga tegishli; bu nur kamroq og‘adi. Pastdagi plyus ishora teskari yo‘nalishdagi retrograde nurga tegishli; bu nur ko‘proq og‘adi.

Ikki tarmoq orasidagi farq:

\[ \alpha_{\mathrm{retro}}-\alpha_{\mathrm{pro}}=\frac{8Ma}{b^2} \]

bo‘ladi. Tadqiqotda bu koeffitsiyent sonli Kerr geodeziklari bilan taqqoslangani qayd etiladi.

Kosmik torning burchak tanqisligi

Kosmik tor azimut yo‘nalishida konussimon burchak tanqisligini hosil qiladi. Metrikada:

\[ C(r)=\alpha_s^2r^2,\qquad \alpha_s=1-4G\mu \]

ishlatiladi. [ \mu ] torning birlik uzunlikka to‘g‘ri keladigan tarangligi yoki energiya zichligidir. Og‘ish aniq ravishda:

\[ \alpha_{\mathrm{CS}}= \pi\left(\frac{1}{\alpha_s}-1\right) +\frac{1}{\alpha_s} \alpha_{\mathrm{Schw}}\left(M,\frac{b}{\alpha_s}\right) \]

ko‘rinishida ajraladi. Birinchi had faqat konussimon topologiyadan keladigan doimiy og‘ishdir. Kichik [ G\mu ] uchun u taxminan [ 4\pi G\mu ] ga teng. Ikkinchi had Schwarzschild massa og‘ishining tanqislik geometriyasiga muvofiq qayta masshtablangan ko‘rinishidir.

Global monopolga bog‘liq fazoviy burchak tanqisligi

Global monopol geometriyasida:

\[ A(r)=1-8\pi\eta^2-\frac{2M}{r} \]

va:

\[ k=\sqrt{1-8\pi\eta^2} \]

ta’riflanadi. [ \eta ] simmetriya buzilishi masshtabidir. Aniq og‘ish:

\[ \alpha_{\mathrm{GM}}= \pi\left(\frac{1}{k}-1\right) +\frac{1}{k} \alpha_{\mathrm{Schw}}\left(\frac{M}{k^2},bk\right) \]

bo‘ladi. Kichik [ \eta ] uchun yetakchi xatti-harakat:

\[ \alpha_{\mathrm{GM}}\simeq 4\pi^2\eta^2+\frac{4M}{b}\left(1+16\pi\eta^2\right) \]

ko‘rinishidadir. Kosmik torda konussimon burchak, global monopolda esa fazoning umumiy fazoviy burchagi kamayadi.

Lorentz simmetriyasi buzilgan bumblebee geometriyasi

Bumblebee modelida:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r},\qquad B(r)=\frac{1+\ell}{A(r)},\qquad C(r)=r^2 \]

ishlatiladi. [ \ell ] Lorentz simmetriyasi buzilishi parametridir. Og‘ish:

\[ \alpha_{\mathrm{BB}}= \pi\left(\sqrt{1+\ell}-1\right) +\sqrt{1+\ell}\,\alpha_{\mathrm{Schw}}(M,b) \]

ko‘rinishida faktorlashadi. Kichik [ \ell ] uchun:

\[ \alpha_{\mathrm{BB}}\simeq \frac{\pi\ell}{2}+\frac{4M}{b}\left(1+\frac{\ell}{2}\right) \]

olinadi. Tadqiqot ushbu aniq faktorlash sonli ravishda mashina aniqligi darajasida tasdiqlanganini bildiradi.

Burchak tanqisliklari uchun umumiy faktorlash

Kosmik tor, global monopol va bumblebee natijalari yagona tuzilmada birlashtiriladi:

\[ \alpha= \pi\left(\Xi^{-1}-1\right) +\Xi^{-1}\alpha_{\mathrm{Schw}}(M_{\mathrm{eff}},b_{\mathrm{eff}}) \]

Bu yerda:

• [ \Xi ] optik radiusni qayta masshtablaydigan tanqislik koeffitsiyentini,
• [ M_{\mathrm{eff}} ] ekvivalent Schwarzschild masalasining samarali massasini,
• [ b_{\mathrm{eff}} ] samarali ta’sir parametrini

ifodalaydi. Natijaning muhim jihati shundaki, faktorlash kichik tanqisliklar uchun qilingan qator yoyilmasigina emas, balki ko‘rib chiqilgan geometriyalarda aniq munosabatdir.

Quintessence va tayanch fon muammosi

Kiselev quintessence geometriyasi:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r}-c\,r^{-(3w_q+1)} \]

ko‘rinishidadir. [ c ] quintessence normallashuvi, [ w_q ] esa holat tenglamasi parametri bo‘lib, tadqiqotda:

\[ -1<w_q<-\frac{1}{3} \]

oralig‘i ko‘rib chiqiladi.

• [ w_q=-1 ] uchun had [ cr^2 ] bo‘ladi va [ c=\Lambda/3 ] bilan Kottler geometriyasiga aylanadi.
• [ w_q=-1/3 ] uchun had doimiy bo‘lib, global monopolga o‘xshash burchak tanqisligini hosil qiladi.
• [ w_q=-2/3 ] uchun [ A=1-2M/r-cr ] olinadi.

Umumiy quintessence fazo-vaqti cheksizlikda tekis bo‘lmagani sababli, og‘ish burchagi tanlangan tayanch geometriyaga sezgir. Tadqiqotga ko‘ra, statik kuzatuvchi va chekli masofa tayanchida chiziqli [ c ] hissalari uch nuqta burchaklari bilan umumiy burchak kengligi orasida o‘zaro bekor bo‘lishi va yetakchi o‘zgarish [ O(c^2) ] tartibida qolishi mumkin. Cheksizlikda kesilgan boshqa tayanch esa chiziqli [ O(c) ] hadini keltirib chiqarishi mumkin. Bu farq fizik fon tanlovini aniq ko‘rsatish zarurligini namoyon etadi.

Linza geometriyasi va kuzatiladigan kattaliklar

Tadqiqotdagi yagona shakl manba, linza va kuzatuvchi orasidagi chekli masofali linza geometriyasini ko‘rsatadi. Optik o‘q kuzatuvchi va linzadan o‘tadi. Manbaning haqiqiy burchak o‘rni [ \beta ], tasvirning kuzatilgan o‘rni [ \vartheta ], og‘ish burchagi [ \hat\alpha ] va ta’sir parametri [ b ] bilan belgilanadi.

Kuzatuvchi–linza, kuzatuvchi–manba va linza–manba burchak diametri masofalari mos ravishda [ D_L ], [ D_S ] va [ D_{LS} ] dir. Yupqa linza tenglamasi:

\[ \beta=\vartheta-\frac{D_{LS}}{D_S}\alpha(b,r_S,r_R) \]

va:

\[ b=D_L\vartheta \]

ko‘rinishidadir. Chekli masofa tuzatishlari [ s_R ] va [ s_S ] koeffitsiyentlari orqali ushbu tenglamaga bevosita kiradi.

Burchak tanqisligi Einstein halqasini qanday o‘zgartiradi?

Burchak tanqisligi oilasi uchun og‘ish:

\[ \alpha=\alpha_0+\frac{\kappa_1}{b} \]

ko‘rinishida yozilishi mumkin. [ \alpha_0 ] topologik doimiy, [ \kappa_1/b ] esa massaga bog‘liq haddir. Manba optik o‘q ustida bo‘lganda [ \beta=0 ] bo‘ladi va Einstein halqasi:

\[ \vartheta_E= \frac{A_0}{2} +\sqrt{\frac{A_0^2}{4}+\vartheta_{E,0}^2} \]

shaklida topiladi. Bu yerda:

\[ A_0=\frac{D_{LS}}{D_S}\alpha_0 \]

va:

\[ \vartheta_{E,0}^2= \frac{D_{LS}}{D_S}\frac{\kappa_1}{D_L} \]

ta’riflari qo‘llanadi. Musbat topologik had halqani faqat massadan kutiladigan [ \vartheta_{E,0} ] qiymatidan kattaroq qiladi.

Kattalashtirish va aylanishga bog‘liq halqa asimmetriyasi

Doiraviy simmetrik linza uchun kattalashtirish:

\[ \mu=\left[\frac{\beta}{\vartheta}\frac{d\beta}{d\vartheta}\right]^{-1} \]

tarzida ta’riflanadi. Schwarzschild linzasining umumiy kattalashtirishi:

\[ \mu_{\mathrm{tot}}= \frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}},\qquad u=\frac{\beta}{\vartheta_{E,0}} \]

ko‘rinishidadir. Tadqiqotga ko‘ra, doimiy tanqislik hadi hosilaga bevosita kirmasa-da, Einstein halqasini kattalashtirgani sababli, massasi bir xil Schwarzschild linzasiga nisbatan umumiy kattalashtirishni oshiradi.

Kerr qora tuynugida prograde va retrograde tasvirlar halqa markazining ikki tomonida turli o‘rinlarga siljiydi:

\[ \vartheta_{\pm}=\vartheta_E\mp\frac{a}{2D_L} \]

Ikki tasvir orasidagi aylanishdan kelib chiqadigan qo‘shimcha asimmetriya:

\[ \Delta\vartheta= \vartheta_{-}-\vartheta_{+} =\frac{a}{D_L} \]

bo‘ladi. Yetakchi tartibda bu farqning [ b ] ga bog‘liq emasligi aylanish parametri optik sudralish orqali bevosita iz qoldirishi mumkinligini anglatadi.

Usul mavjud yondashuvlardan qanday farq qiladi?

Tadqiqotning II-jadvali sinish usulini tayanch-normalashtirilgan Gauss–Bonnet, orbita-normalashtirilgan egrilik va standart orbita/PPN hisoblari bilan taqqoslaydi.

Tadqiqotning kuchli jihatlari nimalar?

• Chekli masofadagi og‘ishni boshidanoq hisobga oladi.
• Foton sferasini talab qilmaydigan mahalliy asosiy formulani taqdim etadi.
• Schwarzschild natijasini chekli masofa va oltinchi tartibgacha qayta hosil qiladi.
• Zaryad, kosmologik doimiy va aylanish uchun ma’lum kuchsiz maydon koeffitsiyentlarini beradi.
• Kosmik tor, global monopol va bumblebee geometriyalari uchun umumiy va aniq faktorlashni namoyon qiladi.
• Qator yaqinlashuvining xato darajasini sonli geodeziklar bilan miqdoriy baholaydi.
• Nazariy og‘ish natijalarini Einstein halqasi, kattalashtirish va aylanish asimmetriyasi kabi kuzatiladigan kattaliklar bilan bog‘laydi.

Tadqiqotning asosiy cheklovlari nimalar?

• Preprint maqomi: Tadqiqot taqrizdan o‘tmagan.
• Kuchsiz og‘ish rejimi: Qo‘llanmalar asosan [ M/b\ll1 ] yoyilmasiga tayangan.
• Bir martalik o‘tuvchi nurlar: Qora tuynuk atrofida bir necha marta aylanadigan kuchli linzalanish nurlari o‘rganilmagan.
• Kaustika va ko‘p tasvirli tuzilmalar: Murakkab kuchli linzalanish topologiyasi qamrovdan tashqarida.
• Ekvatorial tekislik: Aylanuvchi qora tuynuk tahlili ekvatorial nurlar bilan cheklangan.
• Ideallashtirilgan metrikalar: Haqiqiy astrofizik plazma, atrof-muhit moddasi va ko‘p jismlik linza muhiti asosiy hisoblarga kiritilmagan.
• Kuzatuvga oid tatbiq yo‘q: Tadqiqot haqiqiy teleskop tasvirlariga yoki muayyan qora tuynuk ma’lumotlar to‘plamiga parametrlarni moslashtirmaydi.
• Tayanchga bog‘liqlik: Kottler va quintessence kabi cheksizlikda tekis bo‘lmagan geometriyalarda natija tanlangan fon ta’rifiga sezgir.
• Ma’lumotlarga kirish: Hisoblash ma’lumotlarini faqat muallifdan asosli so‘rov asosida olish mumkinligi ko‘rsatilgan; ochiq kod ombori taqdim etilmagan.

Tadqiqot nimani qo‘llab-quvvatlaydi?

• Statik qora tuynuk geometriyalarini joylashuvga bog‘liq optik sinish ko‘rsatkichi bilan ifodalash mumkinligini,
• chekli masofadagi kuchsiz og‘ishni mahalliy nur egriligi integrali bilan hisoblash mumkinligini,
• usul ma’lum Schwarzschild, Reissner–Nordström va Kottler natijalarini qayta hosil qila olishini,
• Kerr aylanishi harakatlanuvchi muhit sudralishiga o‘xshash optik hadni hosil qilishini,
• ayrim burchak tanqisligi geometriyalarida topologik va massaviy og‘ishni aniq ajratish mumkinligini,
• yuqori tartibli qatorlarning sonli aniqligini oldindan baholash mumkinligini

ko‘rsatadi.

Tadqiqot nimani isbotlamaydi?

• Fazo-vaqt fizik jihatdan moddiy sinish muhitidan tashkil topganini isbotlamaydi.
• Qora tuynuk atrofidagi kuchli linzalanishning barchasini yechmaydi.
• Event Horizon Telescope yoki boshqa rasadxonada qora tuynukning yangi xususiyati aniqlanganini ko‘rsatmaydi.
• Kosmik tor, global monopol, bumblebee maydoni yoki quintessence mavjudligini tasdiqlamaydi.
• Gauss–Bonnet usuli yaroqsizligini da’vo qilmaydi; umumiy geometriyalarda ikki usul teng natija berishini ilgari suradi.
• Aylanish asimmetriyasi mavjud kuzatuv vositalari bilan albatta o‘lchanishini ko‘rsatmaydi.

Ilmiy va amaliy ahamiyati

Tadqiqotning ahamiyati turli qora tuynuk va o‘zgartirilgan gravitatsiya geometriyalari uchun alohida hisoblash yo‘llarini qo‘llash o‘rniga umumiy optik tilni taklif etishidadir. Mahalliy sinish yondashuvi, ayniqsa, chekli masofa, burchak tanqisligi va cheksizlikda tekis bo‘lmagan fonlarda tayanch geometriyaning fizik ma’nosini ko‘rinadigan qiladi.

Usul kuchli linzalanish uchun hali to‘liq ishlab chiqilmagan; biroq plazma kabi dispers muhitlarni sinish ko‘rsatkichiga qo‘shish mumkinligi qayd etiladi. Kelajakda to‘liq va perturbativ bo‘lmagan integralni ko‘p martalik aylanish sonlari bilan birga yechish usulni qora tuynuk soyalari va kuchli maydon tasvirlashiga tatbiq etish mumkinmi-yo‘qligini ko‘rsatishi mumkin.

Tadqiqot usuli va topilmalari

Texnik usul xulosasi

Model bo‘yicha asosiy natijalar

Sonli tekshiruv ko‘rsatgan natija

Schwarzschild qatoridagi har bir yangi [ M/b ] tartibi nisbiy xatoni kamaytiradi. Nur qora tuynukdan uzoqlashgan sari xato tezroq kamayadi. Shu sababli usulning amaliy aniqligi faqat «kuchsiz maydon» iborasi bilan cheklanmaydi; maqsadli sezgirlikka ko‘ra nechta hadni saqlash kerakligi sonli ravishda baholanadi.

Aylanuvchi Kerr geometriyasida prograde–retrograde farqi [ 8Ma/b^2 ] koeffitsiyentiga mos kelishi, Reissner–Nordström natijasi tayanch-normalashtirilgan chekli masofa hisobiga yaqinlashishi va bumblebee faktorlashuvi sonli ravishda mashina aniqligida saqlanishi bildiriladi.

Natijalarning qamrovi

Tadqiqot aniq rivojlantirgan qism — muntazam optik hududdagi bir martalik o‘tuvchi, chekli masofali kuchsiz linzalanishdir. Kuchli maydon, ko‘p tasvir, relativistik Einstein halqalari, nurning qora tuynuk atrofida bir necha marta aylanishi va kaustika tuzilmalari uchun ayni asosiy g‘oyani to‘liq, perturbativ bo‘lmagan ko‘rinishda kengaytirish kerak.

Manba va usul qaydi

• Tadqiqotning to‘liq asl nomi: Gravitational lensing as optical refraction: a cantilever-inspired method for rotating and deficit black holes
• Muallif: Izzet Sakalli
• Mualliflar tartibi: Bir muallifli tadqiqot
• Teng huquqli birinchi muallif: Mavjud emas
• Mas’ul muallif: PDFda alohida mas’ul muallif belgisi yo‘q; yagona muallifning izzet.sakalli@emu.edu.tr elektron pochta manzili berilgan
• Muassasa: Physics Department, Eastern Mediterranean University, Famagusta, 99628 North Cyprus via Mersin 10, Türkiye
• Manba turi: Nazariy fizika va matematik modellashtirish preprinti; sonli geodezik tekshiruvni o‘z ichiga oladi
• Taqriz holati: Taqrizdan o‘tmagan
• Tadqiqot sanasi: 19-iyun 2026-yil
• DOI:10.2139/ssrn.6989772
• Nashr platformasi: SSRN
• Rasmiy qayd havolasi:SSRN tadqiqot sahifasi
• Jurnal: Ushbu versiya uchun taqrizli jurnal nashri tasdiqlanmadi
• Asl taqrizli nashriyot: Ushbu preprint versiyasi asosida tasdiqlanmadi
• Ma’lumotlarga kirish: Ma’lumotlarni muallifdan asosli so‘rov asosida olish mumkinligi ko‘rsatilgan
• Qo‘llab-quvvatlash bayonoti: Muallif minnatdorchilik bo‘limida COST Actions CA22113, CA21106, CA23130, CA21136 va CA23115 tarmoq ko‘magi hamda EMU, TÜBİTAK, ANKOS va SCOAP3 ko‘magini qayd etgan

Ushbu Verianla maqolasi yuklangan yetti sahifali PDFdagi barcha matn, tenglamalar, uch jadval, chekli masofali linza geometriyasi shakli, sonli taqqoslashlar, natijalar va cheklovlar o‘rganilib tayyorlangan. PDFda bo‘lmagan yangi fizik mexanizm, kuzatuv kashfiyoti yoki sonli natija qo‘shilmagan. Tashqi manba tekshiruvi faqat muallifning muassasasi, DOI, SSRN qaydi va nashr holatini bibliografik tasdiqlash maqsadida ishlatilgan.

Tadqiqotning asosiy cheklovlari: taqrizdan o‘tmaganligi, natijalar bir martalik o‘tuvchi kuchsiz linzalanish bilan cheklangani, Kerr hisobi ekvatorial tekislikda bajarilgani, kuchli og‘ish va kaustika tuzilmalari o‘rganilmagani, haqiqiy kuzatuv ma’lumotlariga parametrlar moslashtirilmagani va ma’lumotlar ochiq arxiv o‘rniga so‘rov asosida berilishidir.

Preprint ogohlantirishi: Ushbu tadqiqot taqrizdan o‘tmagan preprintdir; natijalarini ushbu cheklovni hisobga olib o‘qish kerak. Tadqiqot kosmik tor, global monopol, Lorentz buzilishi yoki quintessence mavjudligini kuzatuv yo‘li bilan isbotlamaydi. Taqdim etilgan ifodalar bu faraziy geometriyalarda yorug‘lik og‘ishini qanday hisoblashni ko‘rsatadi.