Bu tədqiqat, qara dəliklərin ışığı bükmesini uzay-zaman eğriliği üzərindən gerçekleştirilən bir alan integrali yerine, konuma görə değişen sınma əmsalıne sahip etkin bir optik ortamda biriken kırılma kimi hesablamaqtadır. İzzet Sakallı, sonlu məsafətaki mənbə və müşahidəçiyi doğrudan içeren yerel bir çizgi integrali geliştirmiş; metodi Schwarzschild, elektrik yüklü Reissner–Nordström və kozmolojik sabitli Kottler geometrilərinde bilinen nəticələrla karşılaştırmış, ardından fırlanan Kerr qara dəliklərine, kosmik simlere, sferik monopollere, Lorentz simmetriyası ihlalli bumblebee geometrilərine və quintessence fonlarına genişletmiştir. Ana bulgu, işıq kənaraçıxmasının optik yol boyunca [ (1/n)\,\partial n/\partial\nu ] büyüklüğünün integraliyle elde ediləbilmesi və bu hesap üçün foton sferasınin gerekli olmamasıdır. Bununla birlikte tədqiqat tek geçişli zəif linzalanma rejimiyle sınırlı, hakem qiymətləndirməsindən keçməmiş nəzəri bir preprinttir; güçlü kənaraçıxma, çoklu dolanma və caustic oluşumu incelenmemiştir.

Metod, statik və küresel simetrili uzay-zamanı düz bir düzleme yayılmış konuma bşəbəkəlı sınma əmsalıyle temsil etmektedir. Bir şüa, yüksək sınma əmsalı yönüne doğru sürekli kimi kıvrılmakta; toplam kənaraçıxma bu küçük yön değişimlerinin mənbə ilə müşahidəçi arasında toplanmasıyla vardır. Bu yaklaşım, atomik kuvvət mikroskobu gibi konsol tabanlı optik algılama sistemlerinde istifadə olunan tek səthli yansıma geometrisinden esinlenmektedir. Kara delik durumunda tek bir yansıtıcı səth yerine, sonsuz sayıda çok küçük kırılma səthi düşünülmektedir.

Schwarzschild kara deliği üçün metod sonlu mesafeli kənaraçıxma bucşəbəkəını yeniden üretmekte və mənbə ilə müşahidəçi sonsuza götürüldüğünde bilinen [ 4M/b ] sonucuna ulaşmaktadır. Yüksek mertebeli açılım altıncı mertebeye kadar çıkarılmış və rəqəmsal null geodezik integrasyonuyla karşılaştırılmıştır. Örneğin [ b/M=50 ] üçün yalnızca birinci mertebe kullanıldığında görəli xəta təxminən [ 6,0\times10^{-2} ] iken dördüncü mertebede [ 3,0\times10^{-5} ] düzeyine inmektedir.

Tədqiqat ayrıca dönmenin optik ortamın sürüklenmesi kimi görülebiləceğini, kosmik sim və sferik monopoller gibi bucaq çatışmazlığılerin ise kənaraçıxmayı topolojik bir sabit ilə yeniden ölçeklenmiş Schwarzschild terimine ayırdığını göstərir. Bu yapı Einstein halqasının büyüklüğü, görüntü parlaqlığı və dönmeden mənbəlanan halqa asimmetriyası gibi gözlenebilir niceliklere dönüştürülmektedir.

Bilimsel uyarı: Bu tədqiqat hakem qiymətləndirməsindən keçməmiş bir preprinttir. Sunulan nəticələr qara dəliklərin laboratuvarda gerçek bir optik madde gibi davrandığını göstermemekte; null geodeziklerin matematiksel kimi konuma bşəbəkəlı bir sınma əmsalı üzərindən yeniden ifade ediləbildiğini ortaya koymaktadır.

Tədqiqatın əsas sorusu nedir?

Kütleçekimsel merceklenmede işıq, büyük bir kütlenin çevresindeki eğri uzay-zamanda doğrusal olmayan bir yol izler. Geleneksel hesablamalarda ışığın yörünge tənliki çözülebilir və ya optik geometrinin Gauss eğriliği bir səth üzərində integre ediləbilir. Ancak iki mühüm durum bu hesapları zorlaştırmaktadır:

• Kaynak və müşahidəçi qara dəlikten sonsuz uzakta değil, sonlu məsafəlardadır.
• Kozmolojik sabit, quintessence və ya bucaq çatışmazlığı içeren uzay-zamanlar sonsuzda düz olmayabilir.

Sonsuzda düz olmayan geometrilərde “kənaraçıxmamış düz şüa” kavramının hangi fona görə tanımlanacşəbəkəı açık deyil. Bazı metodler ayrıca foton sferası və ya dairesel null yörünge gibi özel bir geometrik yapıya ihtiyaç duyabilir.

Tədqiqatnın tədqiqat sorusu şudur: Sonlu uzaklıktaki kütleçekimsel kənaraçıxma, foton sferası kullanılmadan və şüaın geçtiği her noktadaki yerel optik sınma toplanarak hesaplanabilir mi?

Uzay-zaman nasıl bir optik ortama dönüştürülmektedir?

Tədqiqat, statik və küresel simetrili genel bir uzay-zamanı şu metrikle başlatmaktadır:

\[ ds^2=-A(r)\,dt^2+B(r)\,dr^2+C(r)\,d\Omega^2 \]

Burada:

• A(r) zaman biləşenini və kütleçekimsel kırmızıya kaymayı,
• B(r) radyal geometrinin ölçeklenmesini,
• C(r) açısal bölümün fiziki büyüklüğünü,
• r eğrisel radyal koordinatı,
• dΩ² küresel açısal elemanı

göstərir. Hesaplar ekvator düzleminde [ \theta=\pi/2 ] yapılmaktadır.

Işık üçün [ ds^2=0 ] olduğundan zaman değişkeni optik uzunluk cinsinden yazılabilir. Böylece null şüaların izlediği optik metrik elde edilir:

\[ d\ell_{\mathrm{opt}}^2=\frac{B(r)}{A(r)}\,dr^2+\frac{C(r)}{A(r)}\,d\phi^2 \]

Bu ifade, ışığın geometrik kimi eğri iki boyutlu bir optik səthde ilərlediğini gösterir. Tədqiqatcı daha sonra izotropik radyal koordinat [ \bar r ] tanımlamaktadır:

\[ \frac{d\bar r}{\bar r}=\sqrt{\frac{B(r)}{C(r)}}\,dr \]

Etkin sınma əmsalı ise:

\[ n(\bar r)=\frac{1}{\bar r}\sqrt{\frac{C(r)}{A(r)}} \]

biçimindedir. Bu dönüşümden sonra optik metrik:

\[ d\ell_{\mathrm{opt}}^2=n^2(\bar r)\left(d\bar r^2+\bar r^2d\phi^2\right) \]

olur. Böylece eğri optik səth, Öklidyen bir düzlemde konuma bşəbəkəlı sınma əmsalıne sahip bir ortam gibi temsil edilir. Işık boş uzayda sıradan bir camdan geçmemektedir; n, uzay-zaman geometrisinin optik eşdeğeridir.

Konsol esinli benzetme ne anlama gelmektedir?

Konsol tabanlı optik algılamada bir lazer, eğilmiş bir səthdən yansıtılır və dedektördeki konumu ölçülür. Gelen şüaın birim yönü I, səth normali N və yansıyan şüaın yönü R olmak üzere yansıma yasası şöyledir:

\[ R=I-2(I\cdot N)N \]

Bu eşitlikte şüaın səthe paralel biləşeni değişmez, normale paralel biləşeni ise tersine döner. Tek bir səth şüaın yönünü bir defada değiştirir.

Değişken kırılma indisli ortamda ise tek səth yerine, her biri çok küçük indis farkına sahip çok sayıda seviye səthi bulunur. Her arayüzde Snell yasasının vəktörel biçimi geçerlidir:

\[ n_1\hat t_1-(n_1\hat t_1\cdot N)N=n_2\hat t_2-(n_2\hat t_2\cdot N)N \]

t̂ şüaın birim teğet yönüdür. Bu küçük yön değişimleri sürekli limite götürüldüğünde değişken indisli ortam yasası elde edilir:

\[ \frac{d}{d\ell}\left(n\hat t\right)=\nabla n \]

Eşdeğer kimi şüaın yönündeki değişim:

\[ \frac{d\hat t}{d\ell}=\frac{1}{n}\nabla_{\perp}n \]

biçimindedir. [ \nabla_{\perp}n ], sınma əmsalı gradyanının şüaa dik biləşenidir. Işın, indis artşüaın şüaa dik biləşeni yönünde kıvrılır.

Ana kənaraçıxma formülü

Işının yerel eğriliği [ \kappa ] şu biçimde tanımlanmaktadır:

\[ \kappa=\frac{1}{n}\frac{\partial n}{\partial\nu} \]

Burada [ \nu ] şüaa dik və şüaın içbükey tarafına yönelmiş koordinattır. Kaynak S ilə alıcı və ya müşahidəçi R arasındaki toplam kütleçekimsel kənaraçıxma:

\[ \alpha=\int_S^R\kappa\,d\ell=\int_S^R\frac{1}{n}\frac{\partial n}{\partial\nu}\,d\ell \]

kimi vərilmektedir. Tədqiqatnın ana sonucu bu yerel çizgi integralidir. Formül, şüaın yol boyunca ne kadar kıvrıldığını doğrudan toplar. Hesapta dönüm noktası, dairesel null yörünge və ya foton sferası açık biçimde yer almaz.

Küresel simetri ayrıca Bouguer değişmezini vərir:

\[ n(\bar r)\,\bar r\sin\psi=b \]

Burada:

• ψ şüaın radyal yönle yaptığı yerel açıyı,
• b təsir parametrini,
• n\bar r optik yarıçapı

göstərir. [ n\bar r=\sqrt{C/A} ] olduğundan:

\[ \sin\psi=b\sqrt{\frac{A}{C}} \]

elde edilir. Bu açı, sonlu mesafeli Gauss-Bonnet metodinde istifadə olunan yerel optik açıyla eynidır. Tədqiqatya görə iki metod eyni kinematik korunuma dayanmakta; biri eğriliği bir alan üzərində, diğeri ise şüaın yerel kıvrılmasını yol üzərində toplamaktadır.

Schwarzschild kara deliğinde metod nasıl sınanmıştır?

Schwarzschild geometrisinde:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r},\qquad B(r)=A^{-1}(r),\qquad C(r)=r^2 \]

olur. M, geometrik birimlerde kara deliğin kütlesidir. İzotropik koordinatlarda kesin sınma əmsalı:

\[ n(\bar r)=\frac{\left(1+\frac{M}{2\bar r}\right)^3}{1-\frac{M}{2\bar r}} \]

biçimindedir. Zayıf alan açılımı:

\[ n(\bar r)=1+\frac{2M}{\bar r}+\frac{7M^2}{4\bar r^2}+\frac{M^3}{\bar r^3}+\cdots \]

kimi vərilmektedir. İlk düzeltme [ 2M/\bar r ], kara deliğe yaklaşıldıkça etkin sınma əmsalınin arttığını gösterir.

Çarpma parametresi b olan təxminən düz bir şüa boyunca [ \bar r=\sqrt{x^2+b^2} ] yazıldığında birinci mertebeli sonlu mesafe kənaraçıxması:

\[ \alpha_{\mathrm{Schw}}=\frac{2M}{b}\left(\sqrt{1-\frac{b^2}{\bar r_R^2}}+\sqrt{1-\frac{b^2}{\bar r_S^2}}\right) \]

olur. [ \bar r_S ] mənbə, [ \bar r_R ] müşahidəçi uzaklığının izotropik koordinattaki değeridir. Kaynak və müşahidəçi sonsuza götürüldüğünde iki karekök de bire yaklaşır:

\[ \alpha_{\mathrm{Schw}}\rightarrow\frac{4M}{b} \]

Böylece genel görəliliğin bilinen zayıf alan işıq kənaraçıxması yeniden elde edilir.

Yüksek mertebeli Schwarzschild serisi

Tədqiqatcı sınma əmsalınin açılımını şüa yolunun düzeltmeleriyle birlikte kullanarak asimptotik kənaraçıxmayı altıncı mertebeye kadar hesablamaqtadır:

\[ \alpha= \frac{4M}{b} +\frac{15\pi}{4}\frac{M^2}{b^2} +\frac{128}{3}\frac{M^3}{b^3} +\frac{3465\pi}{64}\frac{M^4}{b^4} +\frac{3584}{5}\frac{M^5}{b^5} +\frac{255255\pi}{256}\frac{M^6}{b^6} +\cdots \]

Her yeni terim [ M/b ] oranının daha yüksək bir kuvvətidir. [ b\gg M ] olduğunda ilk terim yeterli ola bilər; şüa kara deliğe yaklaştıkça yüksək mertebeli terimlerin katkısı artar.

Tədqiqat, bu əmsalları doğrudan null geodezik integrasyonuyla karşılaştırdığını bildirmektedir. Truncation mertebesine görə görəli xətalar şöyledir:

Tablo, zayıf alan serisinin yalnızca nitel değil, istenen doğruluk düzeyine görə mertebesi seçiləbilən nicel bir yaklaşım olduğunu göstərir. [ b/M=10 ] gibi daha güçlü kənaraçıxma bölgesinde dördüncü mertebe bilə təxminən yüzde 2,2 xəta taşırken [ b/M=50 ] üçün xəta təxminən yüzde 0,003’e düşmektedir.

Elektrik yüklü Reissner–Nordström kara deliği

Elektrik yüklü, dönmeyen qara dəlik üçün:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2} \]

kullanılmaktadır. Q, geometrik birimlerde elektrik yükü parametresidir. Kırılma indisinin ilk terimleri:

\[ n(\bar r)=1+\frac{2M}{\bar r}-\frac{Q^2}{2\bar r^2}+O(M^2)+\cdots \]

biçimindedir. Yük, birinci mertebeli [ 4M/b ] sonucunu değiştirmez; ikinci mertebede ortaya çıkar. Sonlu mesafede:

\[ \alpha_{\mathrm{RN}}= \frac{2M}{b}(s_R+s_S) -\frac{3Q^2}{4b^2} \left[ \pi-\left(\arcsin\frac{b}{r_R}+\arcsin\frac{b}{r_S}\right) +\frac{b}{r_R}s_R+\frac{b}{r_S}s_S \right]+\cdots \]

Burada:

\[ s_i=\sqrt{1-\frac{b^2}{r_i^2}},\qquad i=R,S \]

tanımı istifadə edilmişdir. Sonsuz uzaklık sınırında:

\[ \alpha_{\mathrm{RN}}\rightarrow \frac{4M}{b} +\left(\frac{15\pi}{4}M^2-\frac{3\pi}{4}Q^2\right)\frac{1}{b^2} +\cdots \]

elde edilir. [ -3\pi Q^2/(4b^2) ] terimi, eyni kütle və təsir parametri üçün elektrik yükünün ikinci mertebede toplam kənaraçıxmayı azalttığını göstərir.

Kozmolojik sabitli Kottler geometrisi

Schwarzschild-de Sitter və ya Kottler geometrisinde:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r}-\frac{\Lambda r^2}{3} \]

olur. [ \Lambda ] kozmolojik sabittir. Bu uzay-zaman sonsuzda Minkowski düzlüğüne yaklaşmadığından referans şüa, düz uzay yerine eyni [ \Lambda ] değerine sahip de Sitter fonına görə tanımlanmalıdır.

Kozmolojik sabit, etkin təsir parametrini:

\[ \frac{1}{B^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{\Lambda}{3} \]

biçiminde değiştirir. Küçük [ \Lambda ] üçün:

\[ B=b\left(1-\frac{\Lambda b^2}{6}\right)+O(\Lambda^2) \]

elde edilir. [ r_g=2M ] və [ u_i=1/r_i ] tanımlarıyla sonlu mesafeli kənaraçıxma:

\[ \alpha_{\mathrm{Kottler}}= \frac{r_g}{b}(s_R+s_S) -\frac{\Lambda b}{6}\left(\frac{s_R}{u_R}+\frac{s_S}{u_S}\right) +\frac{r_g\Lambda b}{12}\left(\frac{1}{s_R}+\frac{1}{s_S}\right) +\cdots \]

biçimindedir. Son terim [ r_g\Lambda ] çarpımını içerir. Bu terim ne yalnızca qara dəlik kütlesinden ne de yalnızca kozmolojik sabitten mənbəlanır; kütleye bşəbəkəlı kırılmanın de Sitter fonında değerlendirilmesinden doğan karişıq katkıdır.

Dönen Kerr kara deliği neden hareketli optik ortam gibi davranmaktadır?

Dönen bir qara dəlikte uzay-zaman yalnızca konuma bşəbəkəlı skaler bir sınma əmsalıyle temsil ediləmez. Kerr metriğinde zaman ilə açısal koordinat arasında [ dt\,d\phi ] çapraz terimi bulunur. Ekvator düzleminde:

\[ ds^2= -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 -\frac{4Ma}{r}\,dt\,d\phi +\frac{r^2}{\Delta}dr^2 +\left(r^2+a^2+\frac{2Ma^2}{r}\right)d\phi^2 \]

və:

\[ \Delta=r^2-2Mr+a^2,\qquad a=\frac{J}{M} \]

olur. J açısal momentum, a özgül dönme parametresidir.

Optik geometri bu durumda Randers–Finsler yapısına dönüşür:

\[ dt=\sqrt{\alpha_{ij}dx^idx^j}+\beta_i dx^i \]

\[ \beta_\phi ] terimi hareketli ortam sürüklenmesine benzer:

[ \beta_\phi=\frac{g_{t\phi}}{g_{tt}}\simeq\frac{2Ma}{r} \]

Işın tənliki buna görə:

\[ \frac{d}{d\ell}(n\hat t)=\nabla n+\hat t\times(\nabla\times W) \]

biçimini alır. İlk terim kütlenin gravitoelektrik kırılmasını, ikinci terim dönmenin gravitomanyetik sürüklemesini temsil eder. Tədqiqatcı bunu hareket eden optik ortamlardaki Fresnel-Fizeau sürüklenmesine benzetmektedir.

Zayıf alanda Kerr kənaraçıxması:

\[ \alpha_{\mathrm{Kerr}}= \frac{4M}{b} \mp\frac{4Ma}{b^2} +\frac{15\pi}{4}\frac{M^2}{b^2} +\cdots \]

kimi vərilmektedir. Üstteki eksi işareti qara dəlikle eyni yönde hareket eden prograde şüa üçündir; bu şüa daha az sapar. Alttaki artı işareti ters yöndeki retrograde şüa üçündir; bu şüa daha fazla sapar.

İki dal arasındaki fark:

\[ \alpha_{\mathrm{retro}}-\alpha_{\mathrm{pro}}=\frac{8Ma}{b^2} \]

olmaktadır. Tədqiqatda bu əmsalnın rəqəmsal Kerr jeodezikleriyle karşılaştırıldığı belirtilmektedir.

Kozmik sicim açısal eksikliği

Kozmik sicim, azimut yönünde konik bir açı eksikliği oluşturur. Metrikte:

\[ C(r)=\alpha_s^2r^2,\qquad \alpha_s=1-4G\mu \]

kullanılır. [ \mu ] sicimin birim uzunluk başına gerilimi və ya enerji yoğunluğudur. Sapma tam kimi:

\[ \alpha_{\mathrm{CS}}= \pi\left(\frac{1}{\alpha_s}-1\right) +\frac{1}{\alpha_s} \alpha_{\mathrm{Schw}}\left(M,\frac{b}{\alpha_s}\right) \]

biçiminde ayrılmaktadır. İlk terim yalnızca konik topolojiden gelen sabit kənaraçıxmadır. Küçük [ G\mu ] üçün təxminən [ 4\pi G\mu ] olur. İkinci terim Schwarzschild kütle kənaraçıxmasının eksiklik geometrisine görə yeniden ölçeklenmiş hâlidir.

Küresel monopole bşəbəkəlı katı açı eksikliği

Küresel monopol geometrisinde:

\[ A(r)=1-8\pi\eta^2-\frac{2M}{r} \]

və:

\[ k=\sqrt{1-8\pi\eta^2} \]

tanımlanmaktadır. [ \eta ] simetri kırılma ölçeğidir. Tam kənaraçıxma:

\[ \alpha_{\mathrm{GM}}= \pi\left(\frac{1}{k}-1\right) +\frac{1}{k} \alpha_{\mathrm{Schw}}\left(\frac{M}{k^2},bk\right) \]

olur. Küçük [ \eta ] üçün önde gelen davranış:

\[ \alpha_{\mathrm{GM}}\simeq 4\pi^2\eta^2+\frac{4M}{b}\left(1+16\pi\eta^2\right) \]

biçimindedir. Kozmik sicimde konik açı, sferik monopolde ise uzayın toplam katı açısı eksilmektedir.

Lorentz simmetriyası ihlalli bumblebee geometrisi

Bumblebee modelinde:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r},\qquad B(r)=\frac{1+\ell}{A(r)},\qquad C(r)=r^2 \]

kullanılmaktadır. [ \ell ] Lorentz simmetriyası ihlali parametresidir. Sapma:

\[ \alpha_{\mathrm{BB}}= \pi\left(\sqrt{1+\ell}-1\right) +\sqrt{1+\ell}\,\alpha_{\mathrm{Schw}}(M,b) \]

kimi faktörleşmektedir. Küçük [ \ell ] üçün:

\[ \alpha_{\mathrm{BB}}\simeq \frac{\pi\ell}{2}+\frac{4M}{b}\left(1+\frac{\ell}{2}\right) \]

elde edilir. Tədqiqat bu tam faktörleşmenin rəqəmsal kimi makine duyarlılığı düzeyinde doğrulandığını bildirmektedir.

Açısal eksiklikler üçün ortak faktörleşme

Kozmik sicim, sferik monopol və bumblebee nəticələrı tek bir yapıda birleştirilmektedir:

\[ \alpha= \pi\left(\Xi^{-1}-1\right) +\Xi^{-1}\alpha_{\mathrm{Schw}}(M_{\mathrm{eff}},b_{\mathrm{eff}}) \]

Burada:

• [ \Xi ] optik yarıçapı yeniden ölçekleyen eksiklik faktörünü,
• [ M_{\mathrm{eff}} ] eşdeğer Schwarzschild probleminin etkin kütlesini,
• [ b_{\mathrm{eff}} ] etkin təsir parametrini

göstərir. Sonucun mühüm yönü, faktörleşmenin yalnızca küçük eksiklikler üçün yapılan bir seri açılımı değil, ele alınan geometrilərde tam bir ilişki olmasıdır.

Quintessence və referans fon sorunu

Kiselev quintessence geometrisi:

\[ A(r)=1-\frac{2M}{r}-c\,r^{-(3w_q+1)} \]

biçimindedir. [ c ] quintessence normalizasyonu, [ w_q ] ise durum tənliki parametresidir və tədqiqatda:

\[ -1<w_q<-\frac{1}{3} \]

aralığı ele alınmaktadır.

• [ w_q=-1 ] üçün terim [ cr^2 ] olur və [ c=\Lambda/3 ] ilə Kottler geometrisine dönüşür.
• [ w_q=-1/3 ] üçün terim sabittir və sferik monopol benzeri bir açı eksikliği oluşturur.
• [ w_q=-2/3 ] üçün [ A=1-2M/r-cr ] elde edilir.

Genel quintessence uzay-zamanı sonsuzda düz olmadığından kənaraçıxma bucşəbəkəı seçilən referans geometriye duyarlıdır. Tədqiqatya görə statik müşahidəçi və sonlu mesafe referansında doğrusal [ c ] katkıları uç nokta açıları ilə toplam açısal açıklık arasında birbirini götürebilir və önde gelen değişim [ O(c^2) ] mertebesinde kalabilir. Sonsuzda kesilmiş fərqli bir referans ise doğrusal [ O(c) ] terimi üretebilir. Bu fark, fiziki fon seçiminin açıkça belirtilmesi gerektiğini göstərir.

Mercek geometrisi və gözlenebilir nicelikler

Tədqiqatnın tek şekli, mənbə, mercek və müşahidəçi arasındaki sonlu mesafeli mercek geometrisini göstərir. Optik eksen müşahidəçi ilə mercekten geçer. Kaynşəbəkəın gerçek açısal konumu [ \beta ], görüntünün gözlenen konumu [ \vartheta ], kənaraçıxma bucşəbəkəı [ \hat\alpha ] və təsir parametri [ b ] ilə gösterilir.

Gözlemci-mercek, müşahidəçi-mənbə və mercek-mənbə açısal çap uzaklıkları sırasıyla [ D_L ], [ D_S ] və [ D_{LS} ]’dir. İnce mercek tənliki:

\[ \beta=\vartheta-\frac{D_{LS}}{D_S}\alpha(b,r_S,r_R) \]

və:

\[ b=D_L\vartheta \]

biçimindedir. Sonlu mesafe düzeltmeleri [ s_R ] və [ s_S ] faktörleriyle doğrudan bu tənlike girer.

Açısal eksiklik Einstein halqasını nasıl değiştirir?

Açısal eksiklik ailəsi üçün kənaraçıxma:

\[ \alpha=\alpha_0+\frac{\kappa_1}{b} \]

biçiminde yazılabilir. [ \alpha_0 ] topolojik sabit, [ \kappa_1/b ] ise kütleye bşəbəkəlı terimdir. Kaynak optik eksen üzərində olduğunda [ \beta=0 ] olur və Einstein halqası:

\[ \vartheta_E= \frac{A_0}{2} +\sqrt{\frac{A_0^2}{4}+\vartheta_{E,0}^2} \]

şeklinde bulunur. Burada:

\[ A_0=\frac{D_{LS}}{D_S}\alpha_0 \]

və:

\[ \vartheta_{E,0}^2= \frac{D_{LS}}{D_S}\frac{\kappa_1}{D_L} \]

tanımları kullanılmaktadır. Pozitif topolojik terim, halkayı yalnızca kütleden beklenen [ \vartheta_{E,0} ] değerinden daha büyük yapar.

Büyütme və dönmeye bşəbəkəlı halqa asimmetriyası

Dairesel simetrili mercek üçün büyütme:

\[ \mu=\left[\frac{\beta}{\vartheta}\frac{d\beta}{d\vartheta}\right]^{-1} \]

kimi tanımlanır. Schwarzschild merceğinin toplam büyütmesi:

\[ \mu_{\mathrm{tot}}= \frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}},\qquad u=\frac{\beta}{\vartheta_{E,0}} \]

biçimindedir. Tədqiqatya görə sabit eksiklik terimi türevə doğrudan girmese de Einstein halqasını büyüttüğünden, kütlesi eyni Schwarzschild merceğine görə toplam büyütmeyi artırır.

Kerr kara deliğinde prograde və retrograde görüntülər halka merkezinin iki tarafında fərqli konumlara kayar:

\[ \vartheta_{\pm}=\vartheta_E\mp\frac{a}{2D_L} \]

İki görüntü arasındaki dönme mənbəlı ek asimetri:

\[ \Delta\vartheta= \vartheta_{-}-\vartheta_{+} =\frac{a}{D_L} \]

olur. Önde gelen mertebede bu farkın [ b ]’den bşəbəkəımsız olması, dönme parametresinin optik sürükleme üzərindən doğrudan iz bırakabiləceği anlamına gelmektedir.

Metod mevcut yaklaşımlardan nasıl ayrılmaktadır?

Tədqiqatnın Tablo II’si kırılma metodini referans-normalize Gauss-Bonnet, yörünge-normalize eğrilik və standart yörünge/PPN hesaplarıyla karşılaştırmaktadır.

Tədqiqatnın güclü tərəfləri nelerdir?

• Sonlu mesafeli kənaraçıxmayı başlangıçtan itibaren hesaba katmaktadır.
• Foton küresine ihtiyaç duymayan yerel bir ana formül sunmaktadır.
• Schwarzschild sonucunu sonlu mesafe və altıncı mertebeye kadar yeniden üretmektedir.
• Yük, kozmolojik sabit və dönme üçün bilinen zayıf alan əmsallarını vərmektedir.
• Kozmik sicim, sferik monopol və bumblebee geometriləri üçün ortak və tam bir faktörleşme ortaya koymaktadır.
• Seri yaklaşımının xəta düzeyini rəqəmsal jeodeziklerle nicel kimi qiymətləndirməktedir.
• Kuramsal kənaraçıxma nəticələrını Einstein halqası, büyütme və dönme asimetrisi gibi gözlenebilir niceliklere bşəbəkəlamaktadır.

Tədqiqatnın əsas məhdudiyyətləri nelerdir?

• Preprint statüsü: Tədqiqat hakem qiymətləndirməsindən keçməmiştir.
• Zayıf kənaraçıxma rejimi: Uygulamalar çoğunlukla [ M/b\ll1 ] açılımına dayanmaktadır.
• Tek geçişli şüalar: Kara delik çevresinde birden fazla tur atan güçlü merceklenme şüaları incelenmemiştir.
• Caustic və çoklu görüntü yapıları: Karmaşık kuvvətli merceklenme topolojisi kapsam dşüadadır.
• Ekvator düzlemi: Dönen qara dəlik analizi ekvatoral şüalarla sınırlandırılmıştır.
• İdealize metrikler: Gerçek astrofiziki plazma, çevresel madde və çok cisimli mercek ortamı ana hesaplara dahil edilmemiştir.
• Gözlemsel uygulama yoktur: Tədqiqat gerçek teleskop görüntülərine və ya belirli bir qara dəlik vəri setine parametre uyarlaması yapmamaktadır.
• Referans bşəbəkəımlılığı: Kottler və quintessence gibi sonsuzda düz olmayan geometrilərde nəticə, seçilən fon tanımına duyarlıdır.
• Veri erişimi: Hesaplama vərilərinin yalnızca yazardan makul talep üzerine alınabiləceği belirtilmiştir; açık bir kod deposu sunulmamıştır.

Tədqiqat neyi dəstəkləyir?

• Statik qara dəlik geometrilərinin konuma bşəbəkəlı bir optik sınma əmsalıyle temsil ediləbiləceğini,
• sonlu mesafeli zəif kənaraçıxmanın yerel şüa eğriliği integraliyle hesaplanabiləceğini,
• metodin bilinen Schwarzschild, Reissner–Nordström və Kottler nəticələrını yeniden üretebildiğini,
• Kerr dönmesinin hareketli ortam sürüklenmesine benzer bir optik terim oluşturduğunu,
• belirli bucaq çatışmazlığı geometrilərinde topolojik və kütlesel kənaraçıxmanın tam kimi ayrılabildiğini,
• yüksək mertebeli serilərin rəqəmsal kesinliğinin əvvəlden tahmin ediləbildiğini

göstərir.

Tədqiqat neyi sübut etmir?

• Uzay-zamanın fiziki kimi maddi bir kırılma ortamından oluştuğunu sübut etmir.
• Kara delik çevresindeki güçlü merceklenmenin tamamını çözmemektedir.
• Olay Ufku Teleskobu və ya başka bir gözlemevinde yeni bir qara dəlik özelliğinin aşkarlama edildiğini göstermemektedir.
• Kozmik sicim, sferik monopol, bumblebee alanı və ya quintessence varlığını doğrulamamaktadır.
• Gauss-Bonnet metodinin geçersiz olduğunu iləri sürmemektedir; ortak geometrilərde iki metodin eşdeğer nəticə vərdiğini savunmaktadır.
• Dönme asimetrisinin mevcut gözlem araçlarıyla mutlaka ölçülebiləceğini göstermemektedir.

Bilimsel və uygulamalı önemi

Tədqiqatnın önemi, fərqli qara dəlik və değiştirilmiş kütleçekim geometriləri üçün ayrı hesablama yolları kullanmak yerine ortak bir optik dil önermesidir. Yerel kırılma yaklaşımı özellikle sonlu mesafe, bucaq çatışmazlığı və sonsuzda düz olmayan fonlarda referans geometrisinin fiziki anlamını görünür hâle getirmektedir.

Metod güçlü merceklenme üçün henüz tamamlanmış deyil; ancak plazma gibi dşəbəkəıtıcı ortamların sınma əmsalıne eklenebiləceği belirtilmektedir. Gelecekte tam və pertürbatif olmayan integralin çoklu dolanma sayılarıyla birlikte çözülmesi, metodin qara dəlik gölgeleri və güçlü alan görüntülemelerine uygulanıp uygulanamayacşəbəkəını gösterebilir.

Tədqiqatın Metodu və Nəticələri

Teknik metod özeti

Model bazında ana nəticələr

Sayısal doğrulamanın gösterdiği nəticə

Schwarzschild serisindeki her yeni [ M/b ] mertebesi görəli xətayı azaltmaktadır. Hata azalışı, şüa qara dəlikten uzaklaştıkça daha hızlıdır. Bu nedenle metodin uygulama doğruluğu yalnızca “zayıf alan” ifadesiyle bırakılmamakta; hedeflenen duyarlılığa görə kaç terim tutulması gerektiği rəqəmsal kimi değerlendiriləbilmektedir.

Dönen Kerr geometrisinde prograde-retrograde farkının [ 8Ma/b^2 ] əmsalsıyla uyumlu olduğu, Reissner–Nordström sonucunun referans-normalize sonlu mesafe hesabına yaklaştığı və bumblebee faktörleşmesinin rəqəmsal kimi makine duyarlılığıyla korunduğu bildirilmektedir.

Sonuçların kapsamı

Tədqiqatnın kesin kimi geliştirdiği bölüm, düzenli optik bölgede tek geçişli sonlu mesafe zəif linzalanmadir. Güçlü alan, çoklu görüntü, relativistik Einstein halkaları, şüaın qara dəlik çevresinde birkaç tur atması və caustic yapılar üçün eyni ana fikrin tam, pertürbatif olmayan biçimde genişletilmesi lazımdır.

Mənbə və Metod Qeydi

• Tədqiqatnın tam özgün adı: Gravitational lensing as optical refraction: a cantiləvər-inspired method for rotating and deficit black holes
• Yazar: İzzet Sakallı
• Yazar sıralaması: Tek yazarlı tədqiqat
• Eş birinci yazar: Bulunmamaktadır
• Sorumlu yazar: PDF’de ayrı bir sorumlu yazar işareti yoxdur; tek yazarın izzet.sakalli@emu.edu.tr e-posta adresi vərilmiştir
• Kurum: Physics Department, Eastern Mediterranean Univərsity, Famagusta, 99628 North Cyprus via Mersin 10, Türkiyə
• Kaynak türü: Kuramsal fizik və matematiksel modelleme preprinti; rəqəmsal jeodezik doğrulama içermektedir
• Hakemlik durumu: Hakem qiymətləndirməsinden geçmemiştir
• Tədqiqat tarihi: 19 Haziran 2026
• DOI:10.2139/ssrn.6989772
• Yayın platformu: SSRN
• Resmî kayıt bşəbəkəlantısı:SSRN tədqiqat sayfası
• Dergi: Hakemli bir dergi yayını bu sürüm üçün doğrulanamamıştır
• Özgün hakemli yayınevi: Bu preprint sürümü üzərindən doğrulanamamıştır
• Veri erişimi: Verilərin yazardan makul talep üzerine ediniləbiləceği belirtilmiştir
• Destek açıklaması: Yazar COST Actions CA22113, CA21106, CA23130, CA21136 və CA23115 şəbəkə desteği ilə EMU, TÜBİTAK, ANKOS və SCOAP3 desteğini teşekkür bölümünde belirtmiştir

Bu Verianla makalesi yüklenen yedi sayfalık PDF’nin tamamındaki metin, tənlikler, üç tablo, sonlu mesafeli mercek geometrisi şekli, rəqəmsal karşılaştırmalar, nəticələr və məhdudiyyətlər incelenerek hazırlanmıştır. PDF’de olmayan yeni fiziki mekanizma, gözlemsel keşif və ya rəqəmsal nəticə eklenmemiştir. Dış mənbə kontrolü yalnızca yazarın kurumsal bşəbəkəlantısı, DOI, SSRN kaydı və yayın durumunun bibliyografik doğrulanması amacıyla istifadə edilmişdir.

Tədqiqatnın başlıca məhdudiyyətləri; hakem qiymətləndirməsindən keçməmiş olması, nəticələrın tek geçişli zəif linzalanmayle sınırlı kalması, Kerr hesabının ekvator düzleminde yapılması, güçlü kənaraçıxma və caustic yapılarının incelenmemesi, gerçek gözlem vərilərine parametre uyarlaması gerçekleştirilmemesi və vərilərin açık bir arşiv yerine talep üzerine sşəbəkəlanmasıdır.

Preprint uyarısı: Bu tədqiqat hakem qiymətləndirməsindən keçməmiş bir preprinttir; nəticələrı bu məhdudiyyət dikkate alınarak okunmalıdır. Tədqiqat kosmik sim, sferik monopol, Lorentz ihlali və ya quintessence varlığını gözlemsel kimi sübut etmir. Sunulan ifadeler bu varsayımsal geometrilərde işıq kənaraçıxmasının nasıl hesaplanacşəbəkəını göstərir.