Фаҳмидани он ки як системаи идоракунӣ устувор аст ё не; аз муҳандисии электрӣ-электронӣ то роботика, электроникаи қудрат, ҳавонавардӣ ва системаҳои энергияи таҷдидшаванда масъалаи асосии бисёр татбиқҳо мебошад. Дар як система ҳатто тағйири хурди тақвияти бозхӯрд ё параметри дигар метавонад ҷойгиршавии қутбҳо, рафтори режими гузаранда ва маржаҳои устувориро тағйир диҳад.

Stability Analyzer, ки аз ҷониби Qusay Hatem Alsultan таҳия шудааст, барномаест, ки ҳадаф дорад ин таҳлилҳоро дар муҳити MATLAB тавассути интерфейси графикии корбар автоматӣ кунад. Корбар коэффитсиентҳои сурат ва махраҷи функсияи интиқолро ворид мекунад; барнома қутбҳои системаро ҳисоб мекунад, маржаи тақвият ва маржаи фазаро мебарорад ва графикҳои Bode, Nyquist ва қутб-сифрро тавлид мекунад.

Барнома бо истифода аз MATLAB App Designer таҳия шудааст. Ба шарофати slider ва идораҳои интерактивии монанд, ҳангоми тағйир додани параметрҳои система навсозии графикҳо ва меъёрҳои устуворӣ ҳадаф гирифта мешавад. Манбаъ ҳамчунин паҳн кардани барномаро ба шакле мақсад мегузорад, ки бо MATLAB Runtime мустақилона иҷро шавад ва ниёз надоштани корбари ниҳоӣ ба насби пурраи MATLAB-ро ҳамчун бартарии муҳими дастрасӣ пешниҳод мекунад.

Дар таҳқиқот, восита бо натиҷаҳои MATLAB Control System Toolbox муқоиса шудааст ва манбаъ дар системаҳои гуногуни benchmark фарқи пасти ҳисоббарориро гузориш додааст. Илова бар ин, дар гурӯҳи пилотии иборат аз 30 донишҷӯи муҳандисии электрӣ таҳлилҳои устувории дастӣ, script-асос ва барнома-асос муқоиса шудаанд. Вақти миёнаи иҷро дар усули дастӣ 30 дақиқа, дар усули script 12 дақиқа ва бо Stability Analyzer 1 дақиқа дода шудааст. Манбаъ дақиқиро мутаносибан %85, %95 ва %98; осонии истифода бошад 3/10, 6/10 ва 9/10 гузориш медиҳад.

Бо вуҷуди ин, дар манбаъ як носозгории муҳими техникӣ вуҷуд дорад. Барои системаи \(G(s)=1/(s^3+2s^2+s)\), ки ҳамчун намуна истифода шудааст, қутбҳои ҳалқаи кушода, маржаи фаза, маржаи тақвият ва тафсири “stable” бо ҳисобҳои стандартии назарияи идоракунӣ пурра ҳамон натиҷаро намедиҳанд. Аз ин рӯ, ҳарчанд ғояи умумии барнома ва саҳми интерфейси корбар арзишманд аст, санҷиши ададии намунавии нашршуда бояд бо диққат аз нав тафтиш карда шавад.

Устувории системаи идоракунӣ чӣ маъно дорад?

Барои системаи хаттии бо вақт тағйирнаёбандаи дорои бозхӯрд, функсияи интиқоли ҳалқаи баста дар манбаъ

\[ T(s)= \frac{G(s)} {1+G(s)H(s)} \]

ба ин шакл дода шудааст.

Муодилаи характеристикии система:

\[ 1+G(s)H(s)=0 \]

мешавад.

Решаҳои ин муодила қутбҳои ҳалқаи бастаро медиҳанд. Барои он ки як системаи LTI-и вақти пайваста асимптотикӣ устувор бошад, қисми ҳақиқии ҳамаи қутбҳои ҳалқаи баста бояд манфӣ бошад:

\[ \operatorname{Re}(s_i)<0. \]

Вақте қутб ба нимҳамвории рости ҳамвории комплексӣ мегузарад, ҷавоби табиии мувофиқ бо вақт калон мешавад ва система ноустувор мегардад. Қутбҳои рӯи меҳвари мавҳум бошад бояд алоҳида хеле бодиққат арзёбӣ шаванд; қутбҳои соддаи меҳвари мавҳум метавонанд дар шароити муайян устувории маржиналӣ ба вуҷуд оранд, аммо қутбҳои такрории меҳвари мавҳум метавонанд рафтори ноустувор ҳосил кунанд.

Ҷойгиршавии Қутбҳо Устувории Системаро Чӣ Гуна Муайян Мекунад?

Ҷойгиршавии қутбҳо муайян мекунад, ки модаҳои табиии система бо вақт хомӯш мешаванд ё не: қутбҳои нимҳамвории чап компонентҳои экспоненсиалӣ хомӯшшаванда, қутбҳои нимҳамвории рост компонентҳои афзоянда ҳосил мекунанд, дар ҳоле ки қутбҳои рӯи меҳвари мавҳум шартҳои махсуси устувории маржиналиро талаб менамоянд.

Чаро танҳо тамғаи “stable / unstable” кофӣ нест?

Ҳамаи қутбҳои ду система метавонанд дар нимҳамвории чап бошанд, аммо агар яке аз қутбҳо ба меҳвари мавҳум бисёр наздик бошад, система метавонад суст хомӯш шавад ва ба тағйирҳои хурди параметр ҳассос бошад. Аз ин рӯ муҳандисон танҳо ба он нигоҳ намекунанд, ки қутбҳо дар кадом тарафанд, балки ба масофаи онҳо аз сарҳади устуворӣ низ менигаранд.

Ҳадафи Stability Analyzer барои тасвир кардани тағйири параметр дар вақти воқеӣ аз ин ҷиҳат омӯзанда аст. Вақте корбар як тақвиятро тағйир медиҳад, наздик шудани як қутб ба меҳвари мавҳум ё гузаштани он аз меҳвар мустақиман мушоҳида мешавад.

Диаграммаи Bode чиро нишон медиҳад?

Диаграммаи Bode ҷавоби басомадии ҳалқаи кушодаро дар ду график нишон медиҳад:

• тағйири амплитуда бо басомад,
• тағйири фаза бо басомад.

Басомади буриши тақвият \(\omega_{gc}\), басомадест, ки амплитудаи ҳалқаи кушода ба 1, яъне ба 0 dB мерасад. Маржаи фаза дар манбаъ:

\[ PM = 180^\circ+ \angle G(j\omega_{gc}) \]

ифода шудааст.

Басомади буриши фаза \(\omega_{pc}\), басомадест, ки фазаи ҳалқаи кушода ба \(-180^\circ\) мерасад. Маржаи тақвият:

\[ GM = \frac{1} {|G(j\omega_{pc})|} \]

метавонад чунин ҳисоб карда шавад.

Ин бузургиҳо дар бораи он маълумот медиҳанд, ки система аз нуқтаи кори номиналӣ то сарҳади ноустуворӣ то чӣ андоза ба тағйири тақвият ё фаза тоб оварда метавонад.

Диаграммаи Nyquist Устувориро Чӣ Гуна Месанҷад?

Дар системаи стандартии дорои бозхӯрди манфӣ, меъёри Nyquist муайян мекунад, ки ҷавоби басомадии ҳалқаи кушода нуқтаи критикии \(-1+j0\)-ро дар ҳамвории комплексӣ чанд маротиба ва ба кадом самт иҳота мекунад; ин бо қутбҳои нимҳамвории рости ҳалқаи кушода якҷоя арзёбӣ шуда, шумораи қутбҳои нимҳамвории рости ҳалқаи бастаро муайян мекунад.

Манбаъ дар бахши математикӣ:

\[ N=Z-P \]

робитаро медиҳад.

Вобаста ба конвенсияи самти иҳотаи истифодашаванда, таърифи ишора бояд бодиққат пайгирӣ шавад. Ҳадафи асосии физикӣ ин аст, ки дар ҳалқаи баста дар нимҳамвории рост қутб боқӣ намонад:

\[ Z=0. \]

Дар як ҷои бахши муқаддимавии манбаъ нуқтаи критикӣ ҳамчун \((1,0)\), дар бахши формулаи математикӣ бошад ҳамчун \((-1,0)\) навишта шудааст. Нуқтаи критикӣ барои бозхӯрди манфии воҳидии стандартӣ бояд:

\[ -1+j0 \]

бошад.

Интерфейси Stability Analyzer чӣ гуна кор мекунад?

Расми 1 дар саҳифаи 4-и манбаъ муҳити таҳияи MATLAB App Designer-ро, Расми 2 бошад формаи корбари ниҳоии сохташударо нишон медиҳад. Дар интерфейс корбар коэффитсиентҳои сурат ва махраҷи функсияи интиқолро ба майдонҳои вуруд менависад.

Барнома аз ин вурудҳо объекти transfer-function месозад ва бо истифода аз функсияҳои MATLAB, ки дар манбаъ зикр шудаанд:

• қутбҳоро,
• маржаи тақвиятро,
• маржаи фазаро,
• диаграммаи Bode-ро,
• диаграммаи Nyquist-ро,
• намуди pole-zero-ро

ҳисоб мекунад ё намоиш медиҳад.

Ба шарофати функсияҳои callback, вақте корбар slider ё параметри дигарро тағйир медиҳад, таҳлил аз нав иҷро мешавад ва навсозии графикҳо таъмин мегардад.

Вурудҳои нодуруст чӣ гуна назорат мешаванд?

Расми 5 дар саҳифаи 6-и манбаъ паёми хатогиеро нишон медиҳад, ки бар зидди воридкунии нодурусти маълумот истифода мешавад. Барнома махсусан месанҷад, ки коэффитсиентҳои функсияи интиқол ададӣ ҳастанд ё не ва дар шакли интизоршуда ворид шудаанд ё не.

Ин хусусият дар муҳити таълим муҳим аст; зеро GUI на танҳо ҳисобкуниро осон мекунад, балки ҳадаф дорад хатогиҳои расмии воридкунии корбарро низ барвақттар ошкор кунад.

Чаро MATLAB Runtime муҳим аст?

Версияҳои компилятсияшудаи барномаҳое, ки бо App Designer таҳия шудаанд, метавонанд бо MATLAB Runtime иҷро шаванд. Дар модели истифодае, ки манбаъ ҳадаф мегирад, донишҷӯ ё корбари ниҳоӣ метавонад Stability Analyzer-ро бидуни ниёз ба иҷозатномаи пурраи MATLAB иҷро кунад.

Аммо дар мақола бастаи компилятсияшудаи зеркашишаванда, анбори рамзи манбаъ, версияи Runtime ё пайванди насб дода нашудааст. Аз ин рӯ, ҳарчанд тарҳи “бо Runtime паҳншаванда”-и таҳқиқот фаҳмо аст, насби мустақили барнома аз роҳи нашр мустақиман тасдиқ намешавад.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Усули таҳия

Методологияи таҳқиқот ба се бахши асосӣ ҷудо мешавад:

1. Tool development: Таҳияи GUI бо MATLAB App Designer.
2. Validation: Муқоисаи натиҷаҳои Stability Analyzer бо MATLAB Control System Toolbox.
3. Testing: Системаҳои дараҷаи дуюм ва болотар ва таҷрибаи пилотии истифода бо 30 донишҷӯ.

Намунаи дараҷаи баланд, ки дар манбаъ дода шудааст

Дар назорати робастӣ манбаъ ҳамчун намуна:

\[ G(s) = \frac{ s^2+2s+3 }{ s^5+2s^4+s^3+s^2+3s } \]

функсияи интиқолро медиҳад.

Расми 6 дар саҳифаи 6-и манбаъ намунаҳо аз баромадҳои pole-zero, Bode ва Nyquist-и барномаро барои ин система нишон медиҳад. Бо вуҷуди ин, ҳамаи қутбҳо, қиматҳои GM/PM ва хатогиҳои муқоисаи MATLAB барои ин намунаи дараҷаи баланд дар шакли ҷадвал дода нашудаанд.

Чаро Дар Функсияи Интиқоли Намунаи Нашршуда Носозгорӣ Вуҷуд Дорад?

Манбаъ барои \(G(s)=1/[s(s+1)^2]\) қутбҳои ҳалқаи кушодаро \(0,-1,-1\) дуруст менависад, аммо аз ин қутбҳо натиҷаи “stable” мебарорад ва маржаи фазаи 60,2° бо маржаи беохири тақвият медиҳад; ҳисоби стандартии бозхӯрди манфии воҳидӣ бошад барои ин ҳалқаи кушода маржаи фазаи тақрибан 21,39° ва маржаи тақвияти 6,02 dB медиҳад.

Биёед функсияи интиқолеро, ки манбаъ навиштааст, аз нав тафтиш кунем

Системаи чопшуда:

\[ G(s) = \frac{1} {s^3+2s^2+s} = \frac1{s(s+1)^2}. \]

Қутбҳои ҳалқаи кушода:

\[ s_1=0, \qquad s_2=s_3=-1. \]

Аз ин рӯ ҳисоби қутбҳои ҳалқаи кушодаи манбаъ дуруст аст.

Аммо худи манбаъ қаблан шарти устувории асимптотикиро:

\[ \operatorname{Re}(s_i)<0 \]

таъриф кардааст. \(s=0\) ин нобаробариро қонеъ намекунад.

Агар системаи мавриди арзёбӣ ҳалқаи бастаи дорои бозхӯрди манфии воҳидӣ бошад, муодилаи характеристикӣ:

\[ 1+G(s)=0 \]

ва:

\[ s^3+2s^2+s+1=0 \]

мешавад.

Решаҳо тақрибан:

\[ -1.75488 \]

ва

\[ -0.12256\pm j0.74486 \]

мебошанд, бинобар ин ҳалқаи баста воқеан устувор аст.

Аз ин рӯ, дар манбаъ ифодаи дуруст бояд ин ду қабати таҳлилро ҷудо мекард:

• қутбҳои ҳалқаи кушода: \(0,-1,-1\),
• қутбҳои ҳалқаи бастаи дорои бозхӯрди воҳидӣ: се решаи нимҳамвории чапи боло.

Санҷиши маржаи фаза

Амплитудаи ҷавоби басомадии ҳалқаи кушода:

\[ |G(j\omega)| = \frac1{\omega(1+\omega^2)}. \]

Буриши тақвият:

\[ \omega(1+\omega^2)=1 \]

аз муодила:

\[ \omega_{gc} \approx 0.6823\ \mathrm{rad/s} \]

ёфта мешавад.

Фаза:

\[ \angle G(j\omega) = -90^\circ - 2\tan^{-1}(\omega). \]

Дар қимати \(\omega_{gc}\):

\[ \angle G(j\omega_{gc}) \approx -158.61^\circ. \]

Дар ин ҳолат:

\[ PM = 180^\circ-158.61^\circ \approx 21.39^\circ. \]

Санҷиши маржаи тақвият

Нуқтае, ки фаза \(-180^\circ\) аст:

\[ -90^\circ - 2\tan^{-1}(\omega) = -180^\circ \]

аз муодила:

\[ \omega_{pc}=1\ \mathrm{rad/s} \]

ба даст меояд.

Дар ин басомад:

\[ |G(j1)| = \frac1{1(1+1)} = 0.5. \]

Аз ин рӯ:

\[ GM=\frac1{0.5}=2 \]

ва бо dB:

\[ GM_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}(2) \approx 6.02\ \mathrm{dB}. \]

Ин фарқ аз нигоҳи Verianla нуқтаи муҳими якпорчагии илмӣ мебошад. Сохтори GUI ва функсионалии умумии барномаи манбаъ аз ин носозгорӣ ба таври худкор беэътибор намешавад; аммо намунаи асосии санҷиши нашршударо аз нав тафтиш карданро зарур месозад.

Санҷиш бо MATLAB Control System Toolbox

Манбаъ хабар медиҳад, ки Stability Analyzer дар системаҳои гуногуни benchmark-и дараҷаи дуюм ва баландтар бо MATLAB Control System Toolbox муқоиса шудааст.

Дар як бахш гуфта мешавад, ки натиҷаҳо “комилан якхела” мебошанд, дар бахши дигар бошад:

\[ Error(\%) = \frac{ |X_{\mathrm{tool}}-X_{\mathrm{MATLAB}}| }{ |X_{\mathrm{MATLAB}}| } \times100 \]

бо истифода аз формула гузориш мешавад, ки хато:

\[ <1\% \]

аст.

Ин ду баён як чиз нестанд. “Exact agreement” маънои фарқи сифрро дорад, дар ҳоле ки “less than 1%” ба фарқҳои хурд, аммо ғайрисифр низ иҷозат медиҳад. Азбаски манбаъ ҳамаи қиматҳои benchmark-ро дар шакли ҷадвал намедиҳад, ҷудо кардан мумкин нест, ки кадом системаҳо комилан якхела ва кадомҳо фарқи камтар аз %1 тавлид кардаанд.

Таҷрибаи пилотии 30 донишҷӯӣ

Мувофиқи ҳисоби манбаъ, восита нисбат ба усули дастӣ вақтро:

\[ \frac{30-1}{30}\times100 \approx96.7\% \]

кам кардааст.

Нисбат ба усули script-асос:

\[ \frac{12-1}{12}\times100 \approx91.7\% \]

коҳиши вақт ба даст меояд.

Аз ҷиҳати дақиқӣ, Stability Analyzer дар ҷадвали манбаъ аз усули дастӣ 13 нуқтаи фоизӣ ва аз усули script 3 нуқтаи фоизӣ баландтар менамояд.

Манбаъ барои фарқҳои вақт ва корбар-дӯстӣ натиҷаи paired t-test-ро:

\[ p<0.05 \]

эълон мекунад.

Аммо таҳқиқот инҳирофи стандартӣ, медиана, фосилаи эътимод, омори \(t\), дараҷаи озодӣ ва қиматҳои пурраи \(p\)-ро намедиҳад. Ҳамчунин ба таври муфассал шарҳ дода нашудааст, ки фоизи “accuracy” бо кадом тартиби баҳогузорӣ ҳосил шудааст.

Оё барнома воқеан омӯзишро зиёд кард?

Манбаъ дар бахши хулоса изҳор мекунад, ки восита фаҳмиши донишҷӯёнро зиёд кардааст. Аммо ҷадвали пилотии додашуда бевосита холи пеш-тест/пас-тести омӯзиши консептуалиро дар бар намегирад.

Ҷадвал бевосита:

• вақти таҳлилро,
• дақиқии ҳалро,
• осонии истифода

чен мекунад.

Аз ин рӯ, ҳарчанд тезтар ва осонтар будани таҳлил бо восита аз ҷониби манбаъ дастгирӣ мешавад, барои натиҷаи “назарияи идоракуниро дар дарозмуддат беҳтар меомӯзонад” санҷиши омӯзишии таълимии алоҳида лозим аст.

Татбиқҳои амалии муҳандисӣ

Муаллиф қайд мекунад, ки Stability Analyzer метавонад дар соҳаҳои:

• системаҳои қудрат,
• системаҳои энергияи таҷдидшаванда,
• идоракунии табдилдиҳандаи DC-DC

истифода шавад.

Масалан, дар системаҳои энергияи офтобӣ, тағйирҳои тақвият, ҳаракатҳои қутб ва маржаҳо дар ҳалқаи идоракунии як табдилдиҳандаи DC-DC, ки бо MPPT кор мекунад, метавонанд бо восита таҳқиқ шаванд.

Аммо мақола дар PV inverter, табдилдиҳандаи DC-DC ё системаи қудрати саноатии воқеӣ санҷиши саҳроӣ анҷом намедиҳад. Инҳо соҳаҳои эҳтимолии истифодаанд, ки таҳқиқот пешниҳод мекунад.

Натиҷаҳое, ки манбаъ дастгирӣ мекунад

• Бо истифода аз MATLAB App Designer як GUI-и интерактивии таҳлили устувории системаи идоракунӣ таҳия шудааст.
• Барнома метавонад коэффитсиентҳои функсияи интиқолро аз корбар гирад.
• Ҳисобкунии қутб, маржаи фаза ва маржаи тақвият ҳадаф гирифта мешавад.
• Тавлиди графикҳои Bode, Nyquist ва pole-zero дастгирӣ мешавад.
• Бо механизмҳои slider ва callback тағйироти параметрҳо ба шакли интерактивӣ нишон дода мешаванд.
• Барои дарёфти вурудҳои нодурусти коэффитсиент механизми input-validation мавҷуд аст.
• Манбаъ дар системаҳои гуногуни benchmark нисбат ба MATLAB Control System Toolbox хатои камтар аз %1 хабар медиҳад.
• Дар пилоти 30 донишҷӯӣ, усули восита-асос дар ҷадвали манбаъ нисбат ба равишҳои дастӣ ва script-асос вақти вазифаи хеле кӯтоҳтар тавлид кардааст.
• Холи осонии истифода дар манбаъ ҳамчун 9/10 гузориш шудааст.
• Истифодаи мустақил бо MATLAB Runtime қисми муҳими ҳадафи дастрасӣ мебошад.

Нуқтаҳое, ки таҳқиқот исбот намекунад ё мушкил боқӣ мегузорад

• Маржаи фазаи 60,2° ва маржаи беохири тақвият дар намунаи benchmark-и нашршудаи \(1/[s(s+1)^2]\) бо ҳисоби стандартӣ мувофиқат намекунад.
• Ба назар мерасад, ки дар ҳамон намуна қутбҳои ҳалқаи кушода ва тафсири устувории ҳалқаи баста бо ҳам омехта шудаанд.
• Нуқтаи критикии Nyquist дар ду ҷои манбаъ ҳамчун +1 ва −1 навишта шудааст.
• Азбаски натиҷаҳои ададии ҳамаи системаҳои benchmark дода нашудаанд, иддаои хатои камтар аз %1 пурра бозтавлид намешавад.
• Таҳқиқоти пилотии 30-нафарӣ барои намояндагии популятсияи васеи донишҷӯён маҳдуд аст.
• Дар таҷрибаи пилотӣ инҳирофи стандартӣ ва омори муфассали t-test нашр нашудаанд.
• Усули баҳодиҳии меъёри “Accuracy %98” муфассал таъриф нашудааст.
• Фоидаи омӯзиши консептуалии дарозмуддат мустақиман санҷида нашудааст.
• Дар системаи воқеии идоракунии саноатӣ санҷиши саҳроӣ анҷом дода нашудааст.
• Рамзи манбаъ ё бастаи компилятсияшудаи зеркашишавандаи барнома дар мақола ҳамчун пайванд пешниҳод нашудааст.
• Азбаски версияҳои MATLAB/Runtime нишон дода нашудаанд, бозтавлиди мустақили мутобиқати нармафзор маҳдуд аст.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Унвони пурраи аслӣ:Development and Validation of a new Interactive MATLAB-Based Application for Control System Stability Analysis.

Муаллиф: Qusay Hatem Alsultan.

Муассиса: Renewable Energy Research Center, University of Anbar, Anbar, Iraq.

Журнал: Anbar Journal of Engineering Sciences (AJES).

Ҷилд / шумора / саҳифаҳо: 17(1), 172–180.

DOI: 10.37649/AJES.26.0025.

Ирсол / ревизия / қабул: 31 марти 2026 / 4 майи 2026 / 13 майи 2026.

Нашри онлайн: Сабти расмии AJES санаи 20 майи 2026-ро нишон медиҳад.

Доварӣ: AJES хабар медиҳад, ки модели арзёбии дуҷониба-кӯрро татбиқ мекунад ва ба таври стандартӣ ҳадди ақал се довари мустақилро истифода мебарад.

Литсензия: CC BY 4.0.

Навъи таҳқиқот: Таҳияи нармафзори таҳлили системаи идоракунӣ, санҷиши ададии муқоисавӣ бо MATLAB ва таҳқиқоти пилотии корбар бо 30 донишҷӯ.

Меъмории нармафзор: MATLAB App Designer, MATLAB built-in control-system functions ва MATLAB Runtime.

Маблағгузорӣ: Манбаъ изҳори “None” медиҳад.

Дастрасии нармафзор/код: Дар дохили мақола анбори ҷудогонаи рамзи манбаъ, бастаи нармафзории дорои DOI ё пайванди installer-и оммавӣ дода нашудааст.

Усули оморӣ: Гуфта мешавад, ки дар муқоисаи пилотӣ paired t-test истифода шудааст ва фарқҳои вақт ва корбар-дӯстӣ \(p<0.05\) мебошанд. Омори пурраи тест ва ченакҳои варианс нашр нашудаанд.

Ёддошти мутобиқати математикӣ: Барои системаи \(G(s)=1/(s^3+2s^2+s)\), ки дар манбаъ дода шудааст, қутбҳои ҳалқаи кушода \(0,-1,-1\) мебошанд. Гузориши “stable”, PM = 60,2° ва GM = ∞-и манбаъ бо функсияи интиқоли чопшуда дар ҳисоби стандартии бозхӯрди манфии воҳидӣ мувофиқат намекунад. Барои ҳамон \(G(s)\), маржаи фазаи ҳалқаи кушода тақрибан 21,39° ва маржаи тақвият тақрибан 6,02 dB ҳисоб шудааст. Системаи ҳалқаи бастаи дорои бозхӯрди воҳидӣ бошад қутбҳои дигар дорад ва устувор аст. Ин фарқ дар матни манбаъ ба қадри кофӣ равшан карда нашудааст.

Verianla Live: Таҳқиқот барои Live Figure ниҳоят мувофиқ аст. Вақте корбар як slider-и тақвиятро тағйир медиҳад, ҳаракати қутбҳо дар s-ҳамворӣ, навсозии каҷҳои амплитуда/фазаи Bode, тағйири нуқтаҳои gain crossover ва phase crossover, наздик шудани каҷи Nyquist ба нуқтаи −1 ва ҳисоб шудани қиматҳои GM/PM ҳамзамон метавонанд зинда нишон дода шаванд. Live Figure бояд аз функсияи интиқоли математикӣ мутобиқ аз нав ҳисоб карда шавад; қиматҳои баҳсбарангези 60,2° / ∞ benchmark дар манбаъ набояд мустақиман дуруст қабул шуда истифода шаванд.