“Time’s Arrow as a Category Error”, ni utafiti wa kinadharia na wa kidhana unaotilia shaka hitimisho la kawaida linalounganisha kutoweza kurekebishwa kwa michakato ya makroskopiki na asili ya parameta ya wakati t. Tofauti kuu ya makala ni hii: kuwa kwa mabadiliko ya hali za makroskopiki yana asimetria ya kitakwimu na kuwa parameta ya wakati ina mwelekeo wa asili ndani ya uhalisia wa kifizikia si madai ya aina moja. Juliet Zhong anasema kuwa mpito kutoka hali ya awali yenye entropy ya chini kwenda macrostate zenye entropy ya juu unaweza kuelezwa na tofauti kubwa sana za ujazo wa hali katika phase space, na kwamba maelezo haya hayahitaji ontolojia ya ziada ya “wakati wenye mwelekeo”.

Katika utafiti, t, katika muktadha wa mekanika ya kitakwimu ya kawaida na Mekanika ya Kwanta ya kawaida isiyo ya kirelativisti, inachukuliwa kama kigezo cha upangaji kinachoweka hali za kifizikia katika mpangilio wa kidinamiki. Kulingana na hoja ya mwandishi, mwelekeo wa kitermodinamiki unaoonekana hautokani na t kujizalishia mwelekeo ndani yake, bali na muunganiko wa sharti la awali la entropy ya chini na ubora mkubwa sana wa ujazo wa hali zenye entropy ya juu katika phase space.

Hata hivyo, utafiti haudai kuwa umethibitisha hitimisho kwamba “wakati kwa kweli haupo kabisa” au kwamba “wakati ni lebo ya kihisabati tu kwa uhakika”. Mwandishi anakiri wazi kuwa pingamizi la msingi kuhusu iwapo uhusiano wowote wa upangaji wa kifizikia tayari unadokeza muundo wa wakati halijatatuliwa. Aidha, uchambuzi mkuu umewekewa mipaka katika mekanika ya kitakwimu ya kawaida na Mekanika ya Kwanta isiyo ya kirelativisti; muundo wa wakati wa kirelativisti na tatizo la wakati katika graviti ya kwanta si maeneo ya uthibitisho wa moja kwa moja wa utafiti.

Tatizo kuu la utafiti

Katika thermodynamics, michakato inayoonekana katika kiwango cha kawaida huonyesha asimetria dhahiri. Joto husambaa kutoka eneo la moto kwenda eneo la baridi, mfumo uliochanganyika haujirudishi wenyewe katika hali yake ya awali iliyotenganishwa, na mipangilio yenye entropy ya chini huwa na mwelekeo wa kubadilika kuelekea macrostate zenye entropy ya juu. Uchunguzi huu kwa kawaida huhusishwa na tatizo la mwelekeo linaloitwa “mshale wa wakati”.

Utafiti wa Zhong unachunguza mpito wa kimantiki katika uhusishaji huu. Hitimisho analolenga mwandishi linaweza kuelezwa hivi: kwa kuwa michakato ya makroskopiki inaonekana kutoweza kurekebishwa katika mwelekeo mmoja, basi wakati wenyewe lazima uwe na mwelekeo unaopendelewa kifizikia. Tasnifu ya utafiti ni kwamba kwa kuwa dai la kwanza linahusu fizikia ya kitakwimu na la pili linahusu hadhi ya ontolojia ya t, mpito huo hauwezi kufanywa kiotomatiki.

Je, Mshale wa Wakati na Kutoweza Kurekebishwa kwa Makroskopiki ni Dai Lilelile?

Kwa mujibu wa utafiti huu, hapana. Kutoweza kurekebishwa kwa makroskopiki ni dai la kitakwimu kuhusu mifumo ya kifizikia inayoanza katika masharti fulani ya awali kupita kwenda baadhi ya macrostate kwa uwezekano mkubwa zaidi kuliko nyingine; dai kwamba parameta ya wakati hubeba “mwelekeo wa mbele” wa asili ni tafsiri tofauti kuhusu sifa ya ontolojia ya t ndani ya uhalisia wa kifizikia.

Tofauti hii huamua muundo mzima wa makala. Dai la kwanza linaweza kujadiliwa kupitia michakato inayozingatiwa, mienendo ya mikroskopiki, masharti ya awali na jiometri ya phase space. Dai la pili linahusu swali la “parameta ya wakati ni nini”. Kile ambacho mwandishi anakita “kosa la kategoria” ni kudhani kwamba data ya aina ya kwanza inatosha peke yake kujenga hitimisho la ontolojia la aina ya pili.

Phase space na ujazo wa macrostate

Utafiti hutumia phase space kueleza maudhui ya kifizikia ya kutoweza kurekebishwa. Chanzo kinaeleza kuwa hali za mikroskopiki za mfumo wenye chembe N zinawakilishwa katika phase space yenye vipimo 6N na kwamba kila macrostate hulingana na eneo fulani la nafasi hiyo.

Usemi wa entropy ya Boltzmann uliotolewa katika makala, kwa notasheni ya chanzo, ni huu:

\[ S = k^{A}\log |\Gamma_m| \]

Hapa \(S\) inawakilisha entropy ya macrostate, \(\Gamma_m\) eneo la phase space linalolingana na macrostate husika, na \(|\Gamma_m|\) ujazo wa phase space wa eneo hilo. PDF ya chanzo haifafanui kando alama \(k^{A}\). Kwa hiyo, notasheni imehifadhiwa hapa kama ilivyochapishwa katika chanzo na hakuna marekebisho ya kimya ya alama yaliyofanywa.

Kipengele cha kuamua katika hoja ya mwandishi ni kwamba ujazo unaochukuliwa na macrostate tofauti katika phase space hutofautiana kwa kiasi kikubwa sana. Makala inaeleza kuwa kwa mfumo wa makroskopiki idadi ya chembe inaweza kuwa takribani katika kiwango cha \(10^{23}\), na ujazo wa phase space wa macrostate ya usawa unaweza kuwa mkubwa kuliko ule wa macrostate yenye entropy ya chini kwa takribani kiwango cha \(e^N\). Lengo hapa si kutoa utabiri sahihi wa nambari kwa jaribio fulani, bali kusisitiza ubora wa kijiometri wa macrostate zenye entropy ya juu katika phase space inayoweza kufikiwa.

Jiometri ya Phase Space Inaeleza Nini Katika Hoja ya Kutoweza Kurekebishwa?

Katika uchambuzi wa mwandishi, jiometri ya phase space inaeleza kwa nini microstate iliyochaguliwa kutoka eneo la awali lenye entropy ya chini husogea kwa uwezekano mkubwa sana kuelekea macrostate zenye entropy ya juu na ujazo mkubwa zaidi. Hivyo, chanzo cha asimetria ya kitakwimu inayoonekana kinatambuliwa si kama mwelekeo wenyewe wa parameta ya wakati, bali kama mgawanyo wa ujazo katika nafasi ya hali pamoja na sharti la awali.

Hoja hii haimaanishi kwamba “mpito kwenda entropy ya juu ni lazima”. Lugha ya makala ni ya uwezekano: mienendo ya mikroskopiki katika mwelekeo wa kinyume haijakatazwa kabisa na sheria za kidinamiki; katika mifumo ya makroskopiki, uzito wa jamaa wa hali zinazoilingana ndani ya phase space ni mdogo sana.

Ulinganifu wa Liouville na urejeshaji wa mikroskopiki

Chanzo kinaeleza kuwa mlinganyo wa Liouville unaotawala mageuzi ya migawanyo ya uwezekano katika phase space ni linganifu chini ya badiliko lifuatalo:

\[ (q,p,t)\rightarrow(q,-p,-t) \]

Kwa tafsiri ya utafiti, badiliko hili linaonyesha kuwa mienendo ya mikroskopiki haipendelei mwelekeo mmoja tu wa t. Trajektoria ya kinyume inayopatikana kwa kubadili kwa pamoja momentamu na parameta ya wakati hubaki sambamba na sheria za msingi za kidinamiki.

Mwandishi anaunganisha hoja hii na pingamizi la urejeshaji la Loschmidt: ikiwa kuna trajektoria ya mikroskopiki ambayo entropy yake inaongezeka, trajektoria pinzani yenye momentamu zilizogeuzwa pia inaendana na sheria za mikroskopiki. Hivyo swali “kwa nini kwa vitendo tunaona entropy ikiongezeka kila wakati?” linaunganishwa zaidi na muundo wa masharti ya awali na ujazo wa macrostate kuliko na sheria za mikroskopiki kuwa za mwelekeo mmoja.

Dhana ya Stosszahlansatz ya Boltzmann

Makala pia hutumia H-theorem ya Boltzmann katika mjadala huo huo. Kama Zhong anavyoieleza, H-theorem huhitaji Stosszahlansatz inayotegemea kukubali kwamba kasi za molekuli kabla ya mgongano hazina korrelasheni. Utafiti unasema kwamba sharti hili lenyewe lina asimetria ya wakati na linaingia katika mfumo kama sharti la mpaka/awali badala ya kutolewa kutoka mienendo ya mikroskopiki.

Hivyo mlolongo wa kimantiki wa makala unakuwa hivi: sheria za mikroskopiki zinaweza kurekebishwa; hata hivyo, chini ya masharti fulani ya awali yenye entropy ya chini, sehemu kubwa sana ya mifumo ya makroskopiki huenda kuelekea maeneo ya entropy ya juu; mwelekeo unaoonekana huzaliwa kutoka muundo huu wa kitakwimu.

Kwa Nini Parameta ya Wakati t Inatafsiriwa Kama “Kigezo cha Upangaji”?

Katika tafsiri inayopendekezwa na Zhong, \(t\) ni parameta huru inayoonyesha mpangilio wa hali za kifizikia ndani ya mageuzi ya kidinamiki; yenyewe haiamui ni hali ipi itakuwa na entropy ya juu au ya chini, wala kwa nini hali katika phase space zimesambazwa kwa asimetria. Kwa hiyo, ndani ya upeo wa utafiti, \(t\) si sababu ya asimetria bali ni chombo cha upangaji kinachowezesha mlolongo wa hali zenye asimetria kuonyeshwa kihisabati.

Jukumu la t katika mekanika ya kawaida

Katika muktadha wa mekanika ya kawaida, makala inachukulia \(t\) kama kigezo huru cha milinganyo ya mwendo. Mipangilio ya mfumo huunda mlolongo maalumu chini ya mienendo na \(t\) huparameta mlolongo huo. Hali ambazo mfumo hufikia, kwa upande mwingine, huamuliwa na sheria za kidinamiki na masharti ya awali. Kwa Zhong, kwa hiyo “kuonyesha mpangilio” na “kuzalisha mwelekeo wa kifizikia wa mpangilio” vinapaswa kutenganishwa.

Hadhi ya t katika Mekanika ya Kwanta

Utafiti hujenga tegemeo lake la pili kutoka Mekanika ya Kwanta ya kawaida isiyo ya kirelativisti. Katika mfumo unaowasilishwa na makala, kiasi kinachoweza kupimwa kama nafasi, momentamu, nishati, momentamu ya pembe na spin huwakilishwa na opereta za Hermitian, huku \(t\) ikitumika katika mienendo ya Schrödinger kama kigezo cha nje kinachoeleza mageuzi ya hali.

Mwandishi pia hutumia hoja ya Pauli na kusema kwamba pale spektra ya nishati inapowekewa mpaka wa chini, self-adjoint time operator inayofaa haiwezi kujengwa katika formalizimu ya kawaida. Utafiti hutumia tofauti hii kutetea kwamba kuna tofauti ya kimuundo kati ya “parameta inayopanga hali” na “kiasi kinachoweza kuzingatiwa kinacholingana na matokeo ya kipimo”.

Hitimisho hapa lazima lisomwe kwa uangalifu: hoja ya makala hutumia ukweli kwamba ndani ya eneo fulani la kifizikia na kiformalizimu, \(t\) ina hadhi ya kihisabati tofauti na vitu vinavyozingatiwa. Kutoa moja kwa moja hitimisho pana zaidi kama “wakati si wa kifizikia” au “wakati ni uvumbuzi wa binadamu tu” kunavuka mpaka uliowekwa na utafiti.

Dai la usawa wa kiempiria kati ya tafsiri mbili za wakati

Utafiti unalinganisha tafsiri mbili ndani ya upeo ulioufafanua. Katika tafsiri ya kwanza \(t\) ni parameta yenye mwelekeo wa asili ndani ya uhalisia. Katika tafsiri ya pili \(t\) ni parameta ya upangaji isiyopewa mwelekeo wa ndani. Zhong anasema kwamba matokeo yanayoweza kupimwa ndani ya mekanika ya kitakwimu ya kawaida na Mekanika ya Kwanta ya kawaida isiyo ya kirelativisti hayatofautishi tafsiri hizi mbili.

Hoja hii si matokeo ya ulinganisho wa kimajaribio wa utafiti. Ni tathmini ya kiformalizimu na kifalsafa ya mwandishi: ikiwa tafsiri mbili zinatoa vitu vilevile vinavyozingatiwa kifizikia, inapendekezwa kwamba uchunguzi wa kutoweza kurekebishwa pekee hauwezi kulazimisha uchaguzi kuhusu hadhi ya ontolojia ya \(t\).

Kwa Nini Pingamizi la Upangaji Linapunguza Hitimisho la Utafiti?

Pingamizi la upangaji linasema kwamba uhusiano wowote wa kifizikia wa mpangilio wa namna “A hutangulia B” tayari una muundo wa wakati, na kwa hiyo kuitaja tena \(t\) kuwa “kigezo cha upangaji” pekee huenda kusitoshe kukwepa tatizo la wakati. Zhong hadai kuwa amekanusha pingamizi hili; anasema uchunguzi wa kutoweza kurekebishwa hautatui swali hili tofauti la kifalsafa.

Kukubali huku ni muhimu sana katika mpaka wa tafsiri wa makala. Utafiti haufikii hitimisho kwamba “uhusiano wa upangaji usio wa wakati ni thabiti bila shaka”. Badala yake, unapendekeza tasnifu yenye masharti zaidi: ikiwa tofauti ya kidhana iliyo thabiti inaweza kujengwa kati ya upangaji na parameta ya wakati katika maana kamili, basi kutoweza kurekebishwa kwa makroskopiki hakutoi ushahidi huru kwamba \(t\) ina sifa ya ziada ya ontolojia.

Kwa nini tatizo linahamishiwa kwenye “entropy ya chini ya awali”?

Hatua ya mwisho ya utafiti hailiondoi tatizo la mshale wa wakati, bali inalihamisha. Katika mfumo wa mwandishi, swali kuu la kifizikia si “kwa nini wakati hutiririka mbele?” bali “kwa nini ulimwengu ulikuwa katika hali yenye entropy ya chini sana mwanzoni?”.

Mantiki ya kuhamisha huku ni hii: sharti la awali la entropy ya chini likitolewa, muundo wa kijiometri wa phase space unaeleza mwelekeo wa kitakwimu wa michakato ya makroskopiki kuelekea entropy ya juu. Kwa hiyo, ili kueleza kutoweza kurekebishwa, kuipa \(t\) yenyewe sifa huru ya kuzalisha mwelekeo kunaweza kuwa safu ya maelezo isiyo ya lazima.

Makala inataja hipotesi ya mpindo wa Weyl ya Penrose na baadhi ya mitazamo kuhusu masharti ya awali ya kikosmolojia katika muktadha huu; lakini haijaribu wala kuthibitisha mojawapo. Kutatua sababu ya entropy ya chini ya awali si hitimisho la utafiti huu, bali linaonyeshwa kama tatizo wazi linalobaki baada ya utafiti.

Jukumu la mifano ya graviti ya kwanta

Chanzo pia kinataja kwa ufupi baadhi ya mikabala ya graviti ya kwanta, kama kosmolojia ya kwanta ya kitanzi na nadharia ya causal set. Kutokuonekana kwa wakati kama kigezo cha msingi katika formalizimu ya Wheeler-DeWitt na kutegemea upangaji wa sehemu wa kisababishi katika mkabala wa causal set kunawasilishwa na mwandishi kama mifano inayolingana na wazo kwamba \(t\) inaweza kuwa na jukumu linalotokana au la pili.

Hata hivyo, tangu mwanzo utafiti unaweka uchambuzi wake ndani ya mekanika ya kitakwimu ya kawaida na Mekanika ya Kwanta isiyo ya kirelativisti. Kwa hiyo mifano ya graviti ya kwanta si uthibitisho wa moja kwa moja wa hoja kuu, bali ni mifano ya kimuktadha yenye mwelekeo unaofanana na tafsiri iliyofikiwa na mwandishi.

Kutenganisha matokeo yanayoungwa mkono na yasiyoungwa mkono na utafiti

Hitimisho kuu linalotetewa na utafiti: asimetria ya kitakwimu katika mabadiliko ya macrostate na mwelekeo wa asili wa parameta ya wakati si pendekezo lilelile; ikiwa jiometri ya phase space na masharti ya awali yanachukuliwa kuwa yanatosha kueleza jambo la kwanza, inaweza kusemwa kuwa dai la pili halifuati kwa lazima kutoka uchunguzi wa kutoweza kurekebishwa.

Masuala ambayo utafiti hautatui: iwapo upangaji wa kifizikia una maana bila kutegemea wakati; hadhi ya mwelekeo wa wakati katika nafasi-wakati ya kirelativisti; iwapo wakati ni wa msingi au unatokana katika graviti ya kwanta; asili ya kifizikia ya entropy ya chini ya awali ya ulimwengu.

Mambo ambayo utafiti hauonyeshi: matokeo mapya ya jaribio, ushahidi wa kiempiria kwamba wakati haupo, kutokuwa halali kwa dhana ya wakati katika relativity, usahihi wa nadharia fulani katika graviti ya kwanta, au ushahidi kwamba sheria ya pili ya thermodynamics imeshindwa kimajaribio.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Aina ya utafiti

Utafiti huu si jaribio la kiasi, kipimo cha maabara, uigaji, uchambuzi wa data wala utafiti wa sampuli ya uchunguzi. Mbinu iliyotumika ni uchambuzi wa kidhana na wa kimantiki.

Muundo wa hatua nne wa hoja

1. Maudhui ya kifizikia ya kutoweza kurekebishwa kwa makroskopiki yanatenganishwa kupitia jiometri ya phase space na masharti ya awali yenye entropy ya chini.
2. Jukumu la kiformalizimu la \(t\) katika mekanika ya kawaida na Mekanika ya Kwanta ya kawaida isiyo ya kirelativisti linachunguzwa.
3. Pingamizi la “kila upangaji tayari ni wa wakati” linachukuliwa kama tatizo huru la kifalsafa.
4. Tatizo la mshale wa wakati linahamishwa kutoka swali la kueleza mwelekeo wa ndani wa \(t\) kwenda swali la kueleza entropy ya chini ya awali ya ulimwengu.

Misingi mikuu ya kisayansi na kidhana

Kiasi cha nambari

Kauli kuu za kiwango cha kiasi zinazotumiwa na utafiti ni hizi: idadi ya chembe kwa mifumo ya makroskopiki hutolewa takribani katika kiwango cha \(N\sim10^{23}\); uwiano kati ya ujazo wa phase space wa usawa na macrostate yenye entropy ya chini huonyeshwa takribani katika kiwango cha \(e^N\). Thamani hizi si matokeo ya vipimo yaliyopatikana kutoka jaribio fulani, bali ni kauli za kiwango cha kinadharia zinazotumiwa kuonyesha tofauti kubwa sana ya ukubwa kati ya ujazo wa phase space.

Jaribio la kitakwimu na hali ya data

Utafiti hauna sampuli, seti ya data, kundi dhibiti, thamani ya p, muda wa kujiamini, ukubwa wa athari, marudio ya jaribio, kutokuwa na uhakika wa kipimo au kipimo cha utendaji wa modeli. Kutokuwepo kwa haya si upungufu wa kuripoti, bali ni matokeo ya muundo wa utafiti ambao si wa kiempiria bali wa kidhana na kinadharia.

Hitimisho Kuu la Utafiti Huu Linapaswa Kutafsiriwaje?

Hitimisho kuu la utafiti halipaswi kutafsiriwa kama “mwelekeo wa wakati kwa hakika haupo”, bali kwa namna yenye mipaka zaidi: Zhong anasema kuwa uchunguzi wa kutoweza kurekebishwa kwa makroskopiki peke yake hautoi ushahidi wa kutosha wa kuipa \(t\) mwelekeo wa ontolojia wa ndani, na kwamba mwelekeo wa kitakwimu unaoonekana unaweza kuelezwa kupitia jiometri ya phase space na masharti ya awali yenye entropy ya chini.

Nguvu ya utafiti

Nguvu kuu ya kiuchambuzi ya utafiti ni kutenganisha wazi mapendekezo mawili ambayo mara nyingi hutumiwa pamoja katika mijadala: asimetria ya kitakwimu katika mabadiliko ya hali za kifizikia na dai kwamba asimetria hiyo ni sifa ya ontolojia ya parameta ya wakati. Hivyo inaonekana wazi zaidi ni sehemu gani ya mjadala ni suala la mekanika ya kitakwimu na ni sehemu gani ni suala la falsafa ya wakati.

Kizuizi kikuu

Kizuizi muhimu zaidi ni kwamba hatua nyeti ya hoja inabaki yenye masharti. Ikiwa itaonyeshwa kuwa upangaji wa kifizikia wa “kabla-baada” hauwezi kufafanuliwa bila mwelekeo wa wakati, basi jaribio la kutafsiri \(t\) kama kigezo cha upangaji kisicho na mwelekeo litahitaji kutetewa kando. Badala ya kutatua tatizo hili, makala inalenga kuonyesha kwamba jambo la kutoweza kurekebishwa halitatui tatizo hilo peke yake.

Kizuizi cha pili ni upeo wa kinadharia. Utafiti hauchambui kwa utaratibu muundo wa nafasi-wakati katika relativity ya jumla, usababishi wa kirelativisti, au formalizimu zinazohusu tatizo la wakati katika graviti ya kwanta. Marejeo ya maeneo haya ni muktadha mpana wa hoja kuu.

Dokezo la Chanzo na Mbinu

Kichwa asili: Time’s Arrow as a Category Error

Mwandishi: Juliet Zhong

Uhusiano wa taasisi: Independent Researcher, London, United Kingdom

Tarehe katika toleo la chanzo: June 2026

Tarehe rasmi ya usajili: Kulingana na rekodi ya SSRN, utafiti ulichapishwa tarehe 16 June 2026 na baadaye ukarekebishwa tarehe 26 July 2026.

DOI: 10.2139/ssrn.6912318

Jukwaa: SSRN

Aina ya chanzo: Maandishi huru ya utafiti yenye hadhi ya Preprint / working paper.

Hali ya mapitio ya rika: Chanzo au rekodi rasmi ya SSRN haionyeshi kwamba toleo hili ni version of record iliyochapishwa katika jarida lililopitiwa na rika. Kwa hiyo halijawasilishwa kama makala iliyopitiwa na rika.

Hali ya leseni/hakimiliki: Sehemu ya leseni ya SSRN inaeleza kuwa haki zimehifadhiwa na matumizi ya tena bila ruhusa hayaruhusiwi. Katika maandishi haya ya Verianla, matini ya chanzo, mpangilio wa chanzo au umbo la chanzo halijachapishwa upya; hoja ya kisayansi imeelezwa ndani ya muundo huru wa kielimu.

Ufadhili: Kulingana na rekodi ya SSRN, hakuna ufadhili wa nje ulioripotiwa.

Mgongano wa maslahi: Kulingana na rekodi ya SSRN, mwandishi hakuripoti mgongano wa maslahi.

Upatikanaji wa data: Utafiti hautegemei seti mpya ya data ya majaribio; PDF iliyopakiwa haina taarifa tofauti ya upatikanaji wa data.

Michango ya mwandishi / CRediT: Katika chanzo cha mwandishi mmoja, hakuna taarifa tofauti ya michango ya CRediT iliyotolewa.

Marejeo: Toleo la PDF lililotolewa na mtumiaji lina marejeo 16.

Onyo la notasheni: PDF ya chanzo huchapisha usemi wa entropy ya Boltzmann kama \(S=k^{A}\log|\Gamma_m|\) na haifafanui alama \(k^{A}\). Matini ya Verianla haijabadilisha alama ya chanzo kimya kimya.

Mpaka wa kimetodolojia: Matokeo ya utafiti si uthibitisho wa kimajaribio, kipimo kipya wala pato la uigaji. Matokeo ni hoja ya kinadharia ya mwandishi inayotegemea tofauti za kidhana kati ya mekanika ya kitakwimu ya kawaida, Mekanika ya Kwanta ya kawaida isiyo ya kirelativisti na falsafa ya wakati. Makala haidai kuwa imetatua moja kwa moja formalizimu za wakati za kirelativisti au za graviti ya kwanta.

Mbinu ya uchakataji ya Verianla: Sehemu ya abstract au conclusion ya chanzo haikutafsiriwa mstari kwa mstari. Tatizo, hoja ya phase space, hadhi ya kiformalizimu ya wakati, pingamizi pinzani, mpaka wa tafsiri na tatizo wazi vilitenganishwa kuwa vipengele tofauti vya kisayansi; kisha vikajengwa upya ndani ya muundo huru wa kielimu wa Verianla.