Kadirio la kimataifa la Carleman ni ukosefu wa usawa wa a priori unaodhibiti kiasi cha nishati cha suluhisho katika eneo la ndani kwa kutumia vipengele vya chanzo na uchunguzi unaopatikana, baada ya kuweka uzani maalumu wenye vigezo vikubwa kwenye suluhisho la mlinganyo tofauti wa sehemu. Utafiti wa Luchuan Zhou na Bo You unajenga kadirio kama hilo kwa milinganyo stokastiki ya Schrödinger yenye singulati ya umbo la \(\mu/|x|^2\) katikati na inayovurugwa na kelele ya Wiener. Ugumu mkuu wa utafiti ni kudhibiti kwa pamoja, ndani ya uthibitisho mmoja, tabia ya Hardy-kritiki ya potenshali singula, hali ya suluhisho kuwa na thamani changamano, na vipengele stokastiki vya Itô.

Waandishi kwanza huunda nafasi za kifanksheni zinazofaa kuzunguka konstanti kritiki ya Hardy \(\mu^*=(N-2)^2/4\); huhakikisha hali ya mifumo ya mbele na ya nyuma kuwa imewekwa vizuri na regularity ya derivativi ya normal kwenye mpaka ya suluhisho la adjoint la nyuma. Kisha hutengeneza identity yenye uzani kwa kutumia \(\psi(x)=\ln|x|\), \(K(t)=[t(T-t)]^{-3}\) inayokuwa singula kwenye ncha za muda, na vigezo viwili vikubwa vya Carleman \(s,\lambda\). Ukosefu wa usawa wa aina ya Hardy hutumiwa kudhibiti vipengele hasi vya nishati vinavyotokana na singulati ya kinyume cha mraba katika identity hiyo.

Kutoka kwenye kadirio la Carleman lililojengwa, ukosefu wa usawa wa observability hupatikana kwa mfumo wa adjoint wa nyuma. Kupitia duality ya stokastiki, nadharia ya Hahn-Banach na nadharia ya uwakilishi ya Riesz, matokeo haya ya observability huhamishwa hadi kwenye mfumo wa mbele unaodhibitiwa, na udhibitifu kamili huthibitishwa kwa kila \(T>0\) chini ya dhana zilizotajwa kwenye chanzo. Toleo la mfumo wa mbele la utaratibu huo wa Carleman pia hutoa kadirio la uthabiti linaloweka mpaka kwa tofauti ya hali za mwanzo kwa kutumia uchunguzi wa derivativi ya normal kwenye mpaka.

Mfumo stokastiki wa Schrödinger unaochunguzwa

Kwa \(N\geq3\), utafiti unazingatia mfumo stokastiki unaodhibitiwa ufuatao katika eneo lenye mipaka \(G\subset\mathbb R^N\) na silinda ya nafasi-wakati \(Q=G\times(0,T)\):

\[ \begin{cases} i\,dy+\Delta y\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}y\,dt =(py+f)\,dt+(qy+g)\,dW(t), & \text{Q içinde},\\[4pt] y=0, & \Sigma\setminus\Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y=u, & \Sigma_0\text{ üzerinde},\\[4pt] y(0)=y_0, & G\text{ içinde}. \end{cases} \]

Hapa \(W(t)\) ni mwendo wa kawaida wa Brownian wa kipimo kimoja. \(p\) na \(q\) ni coefficients za mpangilio wa chini. \(f\) ni kipengele cha nje katika njia ya diferensheli ya muda ya kideterministi; \(u\) ni udhibiti wa mpaka; na \(g\) ni udhibiti katika njia ya diffusion ya stokastiki. Matokeo ya udhibitifu kamili katika utafiti hayategemei udhibiti wa mpaka \(u\) pekee; jozi ya udhibiti \((u,g)\) hutumiwa kwa pamoja.

Kwa Nini Potenshali Singula ya Kinyume cha Mraba Ni Tatizo Kritiki la Kihisabati?

Kwa kuwa potenshali ya kinyume cha mraba \(\mu/|x|^2\) huwa isiyo na kikomo katika \(x=0\), matumizi ya moja kwa moja ya makadirio ya kawaida ya nishati ya \(H_0^1(G)\) huwa magumu. Utafiti hudhibiti singulati hii kwa ukosefu wa usawa wa Hardy na hutumia konstanti \(\mu^*=(N-2)^2/4\) kama kizingiti kritiki; katika hali ya \(\mu<\mu^*\), norm ya nishati ni equivalent na norm ya kawaida ya Sobolev, ilhali katika hali kritiki ya \(\mu=\mu^*\), makadirio ya aina ya Hardy yenye umakini zaidi yanahitajika.

Konstanti kritiki ya Hardy na nafasi ya \(H_\mu\)

Kwenye chanzo, konstanti kritiki ya ukosefu wa usawa wa kawaida wa Hardy hufafanuliwa kuwa

\[ \mu^*=\frac{(N-2)^2}{4} \]

na ukosefu wa usawa

\[ \mu^*\int_G\frac{|v(x)|^2}{|x|^2}\,dx \leq \int_G|\nabla v(x)|^2\,dx \]

hutumiwa. Kwa msingi huo, kwa \(\mu\leq\mu^*\), muundo wa nishati

\[ \langle u,v\rangle_{H_\mu} = \int_G \left( \nabla u\cdot\nabla\overline v - \frac{\mu}{|x|^2}u\overline v \right)dx \]

hufafanuliwa. Katika utawala wa chini ya kritiki \(\mu<\mu^*\), norm hii ni equivalent na norm ya \(H_0^1(G)\). Katika hali kritiki ya \(\mu=\mu^*\), chanzo hutumia ukosefu wa usawa wa ziada wa aina ya Hardy ulio mkali katika hali tatu.

Tofauti hii si ya kiufundi pekee. Kwa tatizo linalodhibitiwa, katika hali kritiki chanzo pia huweka dhana ya \(p=q=0\). Condition 2.7 inayotumiwa katika sehemu ya uchunguzi wa hali ya mfumo wa mbele inajumuisha sharti la \(p=q=f=0\) katika hali kritiki. Kwa hiyo, matokeo ya makala katika utawala kritiki hayapaswi kusomwa kama matokeo yasiyo na masharti kwa tatizo la jumla lenye coefficients za mpangilio wa chini.

Kwa nini mfumo wa adjoint wa nyuma unahitajika?

Uthibitisho wa udhibitifu kamili, badala ya kujaribu kudhibiti moja kwa moja mlinganyo wa mbele, huchunguza observability ya mfumo stokastiki wa Schrödinger wa nyuma ambao ni dual wake:

\[ \begin{cases} i\,dz+\Delta z\,dt+\dfrac{\mu}{|x|^2}z\,dt =(pz-iqZ)\,dt+Z\,dW(t),\\[4pt] z=0 \quad \text{sınırda},\\[4pt] z(T)=z_T. \end{cases} \]

Hapa \(z\) ni hali ya adjoint; na \(Z\) ni sehemu ya martingale/diffusion ya mfumo stokastiki wa nyuma. Utafiti kwanza hupata hali ya \((z,Z)\) kuwa imewekwa vizuri na makadirio ya nishati. Kisha integral ya muda-mpaka ya mraba wa derivativi ya normal kwenye mpaka,

\[ \frac{\partial z}{\partial\nu} \]

hudhibitiwa na norm ya \(H_\mu\) ya data ya mwisho. Matokeo haya ya “regularity iliyofichika” huhakikisha kuwa kipengele cha uchunguzi wa mpaka katika kadirio la Carleman kina maana ya kihisabati.

Suluhisho la transposition linafanya kazi gani?

Kwa data yenye regularity ya chini kama udhibiti wa mpaka \(u\) na data ya mwanzo \(y_0\in H_\mu'\), si mwafaka kudai suluhisho la kawaida au lenye nguvu la mfumo wa mbele. Kwa hiyo chanzo hufafanua mfumo wa mbele kupitia suluhisho la transposition. Suluhisho huamuliwa kwa kutimiza identity ya duality iliyojengwa kwa suluhisho za tatizo saidizi la nyuma.

Jukumu la kisayansi la mbinu hii ni kuweka udhibiti wa mpaka na vipengele stokastiki katika nafasi dhaifu zaidi za kifanksheni huku bado ikiwezekana kujenga mabadiliko ya mbele yaliyofafanuliwa vizuri. Chanzo kwanza hupata uwepo katika hali ya \(p=q=0\) kwa nadharia ya uwakilishi ya Riesz; kisha, katika hali ya jumla ya chini ya kritiki, hutumia nadharia ya nukta thabiti ya Banach kwenye vipindi vidogo vya muda na kuunganisha vipindi hivyo ili kufikia \([0,T]\) yote.

Kadirio la Carleman Linatoa Nini Katika Utafiti Huu?

Kadirio la Carleman hudhibiti vipengele vya suluhisho vya \(L^2\) vilivyowekewa uzani, gradient na Hardy-nishati kwa kutumia vipengele vya chanzo, kipengele cha diffusion ya stokastiki na derivativi ya normal kwenye mpaka unaoweza kuzingatiwa. Ukosefu huu mmoja wa usawa baadaye huwa ingizo kuu la uchanganuzi kwa observability ya mfumo wa nyuma na kwa uthabiti wa uchunguzi wa hali katika mfumo wa mbele.

Funksheni ya uzani ya utafiti

Chanzo hufafanua uzani wa Carleman kwa

\[ \alpha(t,x) = K(t) \left( e^{5\lambda\|\psi\|} - e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} - \frac{|x|^2}{2} \right) \]

Pia hutumiwa

\[ K(t)=[t(T-t)]^{-3}, \qquad \psi(x)=\ln|x|, \]

\[ \xi = K e^{\lambda(3\|\psi\|+\psi(x))} = K e^{3\lambda\|\psi\|}|x|^\lambda, \qquad \theta=e^{-s\alpha} \]

Sehemu ya mpaka inayozingatiwa huchaguliwa kuwa

\[ \Gamma_0 = \{x\in\Gamma:\;x\cdot\nu(x)>0\} \]

.

Kikomo cha notation ndani ya chanzo: PDF inaandika katika sehemu hiyo hiyo \(\|\psi\|=\|\psi\|_{L^\infty(G)}\) na \(\psi(x)=\ln|x|\), huku awali ikiwa imedhani \(0\in G\). Chini ya ufafanuzi wa kawaida wa norm ya \(L^\infty\), matumizi ya kauli hizi mbili kwa pamoja yanahitaji maelezo. Hapa formula imewasilishwa kama ilivyo katika chanzo, lakini hoja hii haichukuliwi kuwa imesahihishwa au kutatuliwa.

Ukosefu mkuu wa usawa wa kimataifa wa Carleman

Theorem 3.1 inasema kwamba kwa \(\mu\leq\mu^*(N)\), kwa \(\lambda\) kubwa vya kutosha na \(s\) kubwa vya kutosha inayotegemea hilo,

\[ i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt = F_1\,dt+F_2\,dW(t), \qquad z|_\Sigma=0 \]

suluhisho za mfumo hutimiza kadirio la kimataifa lenye muundo ufuatao:

\[ \begin{aligned} & \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^3K^3|x|^2|z|^2 + sK|x|^2|\nabla z|^2 \right)\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2s^{5/3}K^{5/3}|z|^2\,dxdt\\ & + \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2sK \left( |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \right)\,dxdt\\ &\leq C\Bigg[ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G\theta^2|F_1|^2\,dxdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_{\Gamma_0} \theta^2s\lambda\xi \left|\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|^2 \,dSdt\\ &\qquad+ \mathbb E\int_0^T\!\!\int_G \theta^2 \left( s^{19/12}K^{4/3}|F_2|^2 + s^{11/12}K|x|^2|\nabla F_2|^2 \right)\,dxdt \Bigg]. \end{aligned} \]

Upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa hudhibiti pamoja aina tatu za taarifa: ukubwa wa hali uliowekewa uzani wa nafasi, ukubwa wa gradient uliowekewa uzani, na tofauti ya nishati ya Hardy inayojumuisha potenshali ya kinyume cha mraba. Upande wa kulia kuna chanzo cha drift \(F_1\), derivativi ya normal kwenye mpaka unaozingatiwa, na chanzo stokastiki \(F_2\).

Hasa

\[ |\nabla z|^2-\frac{\mu}{|x|^2}|z|^2 \]

uwezo wa kuweka kipengele hiki katika muundo chanya/unaodhibitika wa nishati unaonyesha jukumu kuu la ukosefu wa usawa wa Hardy katika utafiti huu.

Mbinu na Matokeo ya Utafiti

Hatua nne za uthibitisho wa Carleman

Vigezo vikuu vya identity yenye uzani

Katika uthibitisho,

\[ v=\theta z \]

hutumiwa na chanzo hufafanua

\[ I = is\alpha_t v + 2s\nabla\alpha\cdot\nabla v + s\Delta\alpha\,v \]

Opereta ya Schrödinger huzingatiwa kama

\[ Pz = i\,dz+\Delta z\,dt+\frac{\mu}{|x|^2}z\,dt \]

Wakati zao la uzani la \(I\) na \(Pz\) linafunguliwa, vipengele vya ujazo, mpaka, muda na quadratic variation ya stokastiki vinavyojumuishwa katika chanzo kama \(J_1,\ldots,J_7\) hutokea.

Katika hatua hii, kwa sababu suluhisho la Schrödinger lina thamani changamano, si vipengele halisi vya nishati pekee vinavyopatikana, bali pia vipengele vya mseto vinavyotokana na sehemu imaginari. Muundo wa stokastiki pia huzalisha vipengele vya Itô vya aina ya \((dv)(d\overline v)\). Uzani na makadirio ya Hardy yaliyochaguliwa na waandishi yameundwa ili vipengele hivi vifiyonzwwe na vipengele vikuu vya nishati vyenye ishara inayofaa.

Jukumu la makadirio ya Hardy katika utawala kritiki

Katika hali kritiki ya \(\mu=\mu^*\), chanzo hakitumii tu ukosefu wa usawa wa kawaida wa Hardy bali pia matokeo ya ziada yenye uzani ya aina ya Hardy. Haya huruhusu kupata kutoka kwenye tofauti ya nishati

\[ \int_G \left( |\nabla v|^2-\frac{\mu^*}{|x|^2}|v|^2 \right)dx \]

udhibiti wa \(L^2\) pamoja na udhibiti wa derivativi yenye uzani kama \(|x|^2|\nabla v|^2\). Hivyo singulati haipotei kwenye upande wa kushoto wa kadirio la Carleman, bali huhifadhiwa waziwazi.

Kadirio la Carleman lililotolewa kwa mfumo wa adjoint wa nyuma

Katika ukosefu mkuu wa usawa,

\[ F_1=pz-iqZ,\qquad F_2=Z \]

huchaguliwa na ukosefu wa usawa wa Carleman mahsusi kwa mfumo wa adjoint wa nyuma hupatikana. Kwa kuchukua \(s\) kubwa vya kutosha, baada ya vipengele vinavyofaa vya mpangilio wa chini vinavyotokana na \(p\) na \(q\) kufyonzwa, vipengele vya nishati ya ndani vya suluhisho hudhibitiwa hasa na kiasi viwili vinavyoweza kuzingatiwa:

\[ \left. \frac{\partial z}{\partial\nu} \right|_{\Gamma_0} \qquad\text{ve}\qquad Z. \]

Kuonekana kwa vipengele hivi viwili pamoja katika ukosefu wa usawa wa observability baadaye si jambo la bahati; ni kielelezo cha uchanganuzi cha kwa nini tatizo la udhibiti wa mfumo stokastiki wa Schrödinger linahitaji udhibiti wa mpaka pamoja na udhibiti wa stokastiki.

Ukosefu wa Usawa wa Observability Unaunganishwaje na Udhibitifu Kamili?

Hali ya mwisho \(z_T\) ya mfumo wa adjoint wa nyuma inapoweza kudhibitiwa na uchunguzi wa derivativi ya normal kwenye mpaka pamoja na sehemu stokastiki ya adjoint \(Z\), ukosefu huu wa usawa wa observability hugeuzwa kupitia duality kuwa uwepo wa funkseni za udhibiti kwa mfumo wa mbele. Katika mpito huu, utafiti hutumia nadharia ya upanuzi ya Hahn-Banach na nadharia ya uwakilishi ya Riesz ili kufikia hali ya mwisho inayotakiwa \(y_1\) kwa kujenga jozi ya udhibiti \((u,g)\).

Matokeo ya observability

Katika Theorem 4.2, kwa mfumo wa nyuma,

\[ \|z_T\|_{L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu)} \leq C\left( \left\| \frac{\partial z}{\partial\nu} \right\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} + \|Z\|_{L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu)} \right) \]

ukosefu wa usawa hupatikana.

Matokeo haya yanaeleza kwamba norm yote ya hali ya mwisho ya adjoint inaweza kuwekwa mpaka kwa kutumia tu njia za uchunguzi/udhibiti-dual. Kadirio la Carleman kwanza hudhibiti suluhisho katika kipindi cha kati cha muda; kadirio la nishati ya nyuma kisha hubeba taarifa hii hadi \(z_T\) katika muda wa mwisho.

Udhibitifu kamili

Kwenye chanzo, mfumo kuwa na udhibitifu kamili katika muda \(T\) hufafanuliwa kama kuwepo, kwa kila hali ya mwanzo inayoruhusiwa \(y_0\) na kila lengo

\[ y_1\in L^2_{\mathcal F_T}(\Omega;H_\mu') \]

kwa vidhibiti vinavyofaa

\[ (g,u) \in L^2_{\mathcal F}(0,T;H_\mu') \times L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0)) \]

na suluhisho linalolingana kutimiza

\[ y(T)=y_1 \qquad \mathbb P\text{-hemen hemen kesin} \]

.

Theorem 4.3 inatoa udhibitifu huu kamili kwa \(\mu\leq\mu^*\) na \(T>0\) chini ya Assumption 2.1.

Mantiki ya uthibitisho wa duality

Katika uthibitisho, kwenye nafasi inayoundwa na suluhisho za adjoint,

\[ \mathcal L \left( \left.\frac{\partial z}{\partial\nu}\right|_{\Gamma_0},Z \right) = \mathbb E\int_G y_1\overline{z_T}\,dx \]

functional ya mstari hufafanuliwa. Ukosefu wa usawa wa observability unaonyesha kuwa functional hii ina mipaka. Nadharia ya Hahn-Banach huipanua functional kwenye nafasi nzima ya product, na nadharia ya uwakilishi ya Riesz hutoa jozi \((\widetilde u,\widetilde g)\). Kisha chanzo huchagua

\[ (u,g)=(i\widetilde u,\widetilde g) \]

na kuunganisha chaguo hilo na duality ya suluhisho la transposition ili kufikia

\[ \mathbb E\int_G (y(T)-y_1)\overline{z_T}\,dx =0 \]

kwa kila \(z_T\) inayofaa; kutoka hapa matokeo ya \(y(T)=y_1\) hupatikana.

Kadirio la Uthabiti wa Uchunguzi wa Hali Linaweka Mpaka kwa Nini?

Kadirio la uthabiti wa uchunguzi wa hali huweka mpaka kwa tofauti kati ya hali mbili tofauti za mwanzo kwa mfumo uleule stokastiki wa Schrödinger wa mbele, kwa kutumia tofauti ya derivativi za normal kwenye sehemu ya mpaka inayozingatiwa. Kwa hivyo, chini ya dhana zilizotolewa katika chanzo, tofauti ndogo katika uchunguzi wa mpaka haimaanishi kutokuwa na uhakika kusiko na kikomo katika hali ya mwanzo; uhusiano huu huonyeshwa na uthabiti wa aina ya Lipschitz.

Ikiwa suluhisho mbili \(y\) na \(\widehat y\) zinahusiana mtawalia na hali za mwanzo \(y_0\) na \(\widehat y_0\), Theorem 4.4 hutoa

\[ \boxed{ \|y_0-\widehat y_0\|_{H_\mu} \leq C \left\| \frac{\partial y}{\partial\nu} - \frac{\partial\widehat y}{\partial\nu} \right\|_ {L^2_{\mathcal F}(0,T;L^2(\Gamma_0))} } \]

kadirio.

Uthibitisho huchukua tofauti

\[ h=y-\widehat y \]

na kuhamia kwenye tatizo la mbele lenye chanzo homogeneous, kisha hutumia ukosefu wa usawa wa Carleman uliotolewa kwa mfumo wa mbele kwa \(h\). Pamoja na makadirio ya awali ya nishati ya nyuma/hali ya kuwekwa vizuri, hili hugeuka kuwa udhibiti wa norm ya mwanzo kwa kutumia tofauti ya derivativi ya normal kwenye mpaka.

Kikomo muhimu katika hali kritiki

Remark 4.5 ya chanzo inaweka kikomo muhimu. Ingawa kadirio la Carleman lililojengwa katika utawala kritiki wa \(\mu=\mu^*\) linaweza kuonekana peke yake kuruhusu coefficients za jumla zaidi, matokeo ya regularity yaliyopatikana katika Sehemu 2.5 hayatoshi kwa hali ya \(p,q\neq0\). Waandishi wanaeleza kwamba ikiwa regularity hii inaweza kupanuliwa katika utawala kritiki, dhana ya Theorem 4.4 pia inaweza kulegezwa.

Matokeo yanayoungwa mkono na utafiti na mpaka wa tafsiri

• Kadirio jipya la kimataifa la Carleman limejengwa chini ya masharti yaliyotajwa kwenye chanzo kwa milinganyo stokastiki ya Schrödinger yenye potenshali singula ya kinyume cha mraba.
• Kadirio la Carleman limeundwa ili kudhibiti waziwazi pia kipengele cha nishati ya Hardy katika hali kritiki ya \(\mu=\mu^*\).
• Ukosefu wa usawa wa observability umepatikana kwa mfumo wa adjoint wa nyuma.
• Mfumo wa mbele unaodhibitiwa, wakati jozi ya udhibiti \((u,g)\) iliyotajwa kwenye chanzo inatumiwa na dhana zinatimizwa, una udhibitifu kamili kwa kila \(T>0\).
• Kadirio la uthabiti linalotegemea uchunguzi wa mpaka kuhusu hali ya mwanzo limepatikana kwa tatizo la mbele.
• Matokeo ni ya kinadharia; mafanikio ya majaribio ya udhibiti katika mfumo halisi wa quantum au utendaji wa matumizi ya namba hayajaonyeshwa.
• “Udhibitifu kamili” haumaanishi kwamba mifumo yote halisi ya quantum inaweza katika vitendo kuletwa katika hali yoyote inayotakiwa; theorem iko ndani ya modeli maalumu ya stokastiki ya PDE, nafasi za kifanksheni na dhana za coefficients.
• Katika utawala kritiki kuna dhana za ziada za kuweka coefficients za mpangilio wa chini kuwa sifuri; matokeo hayapaswi kujumlishwa kana kwamba dhana hizo hazipo.
• Notation ya \(\psi=\ln|x|\) na norm ya \(L^\infty\) katika uzani wa Carleman wa chanzo ni hoja ya ndani ya chanzo inayohitaji maelezo na haichukuliwi kuwa imesahihishwa na Verianla.

Maelezo ya Chanzo na Mbinu

Kichwa asili: Global Carleman estimate for stochastic Schrödinger equations with singular inverse-square potentials and its applications

Waandishi: Luchuan Zhou; Bo You.

Mwandishi wa mawasiliano: Rekodi ya SSRN inamtaja Bo You kuwa mwandishi wa mawasiliano.

Taasisi: School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, 710049, P. R. China.

Tarehe ya PDF: 28 Mei 2026.

Jukwaa: SSRN.

SSRN Abstract ID: 6963586.

DOI: 10.2139/ssrn.6963586.

Tarehe ya kuwasilishwa SSRN: 18 Juni 2026.

Aina ya chanzo: Preprint ya utafiti wa hisabati ya kinadharia.

Hali ya mapitio ya wenzao: Haijapitia mapitio ya wenzao; PDF inasema hili wazi.

Jarida/mchapishaji: Chanzo hakina taarifa ya uchapishaji katika jarida lililopitiwa na wenzao wala taarifa ya toleo rasmi la mwisho; toleo lililotumiwa ni preprint ya SSRN.

Hali ya leseni/hakimiliki: Rekodi ya SSRN inatoa taarifa “All rights reserved; no reuse allowed without permission”. Kwa hiyo, maandishi ya chanzo, muundo wake wa awali wa uwasilishaji au mpangilio wa awali wa ukurasa hayajachapishwa upya; ukweli wa kisayansi, misemo ya kihisabati, mbinu na matokeo yameelezwa katika usanifu huru wa kielimu wa Verianla.

Ufadhili: Chanzo kinaripoti ufadhili wa sehemu chini ya National Science Foundation of China Grant 11871389, Fundamental Research Funds for the Central Universities xzy012022008 na Shaanxi Fundamental Science Research Project for Mathematics and Physics 22JSY032.

Upatikanaji wa data: Utafiti ni kazi ya kinadharia ya PDE; hakuna seti ya data ya majaribio iliyochanganuliwa iliyoripotiwa.

Michango ya waandishi: Hakuna tamko tofauti la michango la CRediT lililotambuliwa.

Mgongano wa maslahi: Hakuna sehemu tofauti ya mgongano wa maslahi iliyotambuliwa katika PDF.

Mbinu kuu: Nafasi za nishati kritik za Hardy, hali ya milinganyo stokastiki ya mbele/nyuma ya Schrödinger kuwekwa vizuri, hesabu ya Itô, identity yenye uzani ya Carleman, ukosefu wa usawa wa aina ya Hardy, observability ya mpaka, duality ya stokastiki, nadharia ya Hahn-Banach na nadharia ya uwakilishi ya Riesz.

Kikomo kikuu cha kihisabati: Matokeo yako chini ya \(N\geq3\), \(\mu\leq\mu^*\), regularity ya coefficients iliyofafanuliwa katika chanzo, na dhana za ziada za coefficients zilizotajwa katika hali kritiki.

Maelezo ya ulinganifu wa ndani wa chanzo 1: Chanzo hutumia kwa pamoja notation za \(\psi(x)=\ln|x|\), \(0\in G\) na \(\|\psi\|_{L^\infty(G)}\). Chini ya tafsiri ya kawaida ya norm, hoja hii inahitaji maelezo; Verianla haifanyi marekebisho kutoka nje ya chanzo.

Maelezo ya ulinganifu wa ndani wa chanzo 2: Katika utangulizi wa Sehemu 4.2 kuna usemi problem (2.35), ilhali Theorem 4.4 na hesabu zinazofuata hutumia problem (2.33). Tofauti hii ya cross-reference haijaelezwa katika chanzo.

Uchoraji upya wa taswira: Kwa kuwa chanzo hakina grafu inayotegemea data wala taswira ya majaribio, mbinu salama zaidi ni mchoro wa kihisabati ulio wa asili kabisa: singulati kuu ya \(1/|x|^2\), eneo la \(G\), mpaka wa uchunguzi \(\Gamma_0\), na mtiririko wa Carleman → observability → duality → exact controllability.

Verianla Live / Live Figure: Inafaa kwa sehemu kwa mtiririko wa mbinu wenye vigezo vilivyowekwa. Simuleringi inayodhibitiwa na mtumiaji inayobadilisha vigezo vya kisayansi au uhuishaji unaodai kuwakilisha mienendo halisi ya quantum haifai.