Bu çalışma, klasik taşıma probleminin MATLAB ortamındaki doğrusal ve kuadratik programlama araçlarıyla çözülmesini ve aynı matematiksel yapının elektrik enerjisinin kaynaklar ile tüketiciler arasında minimum kayıp kriteriyle dağıtılması problemine uyarlanmasını incelemektedir. Taşıma problemi, birden fazla kaynaktaki sınırlı miktardaki bir kaynağın birden fazla tüketiciye talep kısıtları altında dağıtıldığı ve toplam taşıma, maliyet veya kayıp kriterinin en aza indirilmeye çalışıldığı operasyon araştırması modelidir. Kaynak çalışmada doğrusal problemler MATLAB'ın linprog, kuadratik amaç fonksiyonları içeren problemler ise quadprog fonksiyonuyla çözülmektedir.

Yazarların temel algoritmik yaklaşımı, taşıma problemindeki arz ve talep ilişkilerini temsil eden A ve Aeq matrislerinin yalnız 0 ve 1 değerlerinden oluşan düzenli bir yapıda kurulabilmesidir. Model topolojisi değişmediğinde optimizasyon probleminin yeni çalışma koşullarına uyarlanması büyük ölçüde üç vektörün değiştirilmesiyle gerçekleştirilebilir: maliyet veya kayıp katsayılarını içeren f, kaynak sınırlarını içeren B ve tüketici gereksinimlerini içeren Beq.

Elektrik enerjisi dağıtımına yönelik ana örnekte üç kaynak sırasıyla 630, 1.000 ve 400 kW kapasiteye sahiptir; dört tüketicinin talepleri ise 800, 200, 600 ve 300 kW'tır. MATLAB linprog çözümünde kaynak tarafından X = [30 0 600 0 500 200 0 300 270 0 0 0] dağıtım planı ve J = 621 minimum doğrusal kayıp kriteri raporlanmıştır. Bu plan bütün tüketici taleplerini karşılarken toplam 2.030 kW kaynak kapasitesinin 1.900 kW'ını kullanmakta ve üçüncü kaynakta 130 kW kapasite bırakmaktadır.

Makale aynı problemi kuadratik programlamaya da genişletmektedir. Bu yaklaşımda doğrusal maliyet terimine H matrisi üzerinden ikinci dereceden bir ceza/maliyet bileşeni eklenmektedir. Ancak elektrik dağıtımına ait kuadratik örnekte kaynak H = 0,001I ile kuadratik bileşeni 40,6900 olarak raporlamaktadır; yayımlanan X vektörüyle bu sayılar aritmetik olarak uyumlu değildir. Bu nedenle kuadratik örneğin bu kısmı kaynak-içi sayısal tutarsızlık içerir ve sonuçları yeniden üretirken orijinal MATLAB dosyasının kontrol edilmesi gerekir.

Taşıma Problemi MATLAB'da Nasıl Bir Optimizasyon Problemine Dönüşüyor?

Taşıma probleminde karar değişkeni \(x_{ij}\), \(i\) numaralı kaynaktan \(j\) numaralı tüketiciye gönderilecek ürün, enerji veya başka bir kaynak miktarını temsil eder. Amaç her bağlantının birim maliyeti veya kayıp katsayısıyla taşınan miktarı birlikte dikkate alarak toplam kriteri en aza indirmektir.

Kaynak makale doğrusal modeli şu matris yapısıyla vermektedir:

Burada \(x\) karar değişkenleri vektörü, \(f\) her akışın maliyet veya kayıp katsayılarını, \(A\) kaynak sınırlarını, \(B\) kaynakların kullanılabilir miktarlarını, \(A_{eq}\) tüketicilerle ilgili eşitlik yapısını ve \(B_{eq}\) ise talep miktarlarını ifade etmektedir.

MATLAB linprog sözdizimi

Kaynakta kullanılan temel MATLAB çağrısı şöyledir:

[x, J] = linprog(f, A, B, Aeq, Beq, lb, ub)

x optimum karar vektörünü, J ise bulunan minimum amaç fonksiyonu değerini temsil eder.

Taşıma probleminde \(x\) fonksiyonun giriş parametreleri arasında görünmez; optimizasyon sırasında MATLAB tarafından çözülen iç değişkendir. Vektörün boyutu f ve değişken sınırları üzerinden belirlenir.

Neden Yalnız f, B ve Beq Vektörlerini Değiştirmek Yeterli Olabiliyor?

Kaynağın önerdiği algoritmanın temel avantajı, aynı sayıda kaynak ve tüketiciden oluşan taşıma problemlerinde bağlantı yapısını temsil eden A ve Aeq matrislerinin sabit bir 0–1 şablonu olarak oluşturulabilmesidir. Böylece maliyetler, kaynak miktarları veya tüketici talepleri değiştiğinde matris topolojisini yeniden elle kurmak yerine yalnız f, B ve Beq verileri güncellenebilir.

Üç kaynak ve dört tüketici için A matrisi

Üç kaynak ve dört hedef içeren sistemde her kaynak dört karar değişkenine bağlıdır. Bu nedenle kaynak kısıt matrisi blok halinde kurulabilir:

İlk satır birinci kaynaktan bütün tüketicilere gönderilen toplam miktarı, ikinci satır ikinci kaynağı, üçüncü satır ise üçüncü kaynağı sınırlar.

Aeq matrisinin görevi

Aeq aynı tüketiciye farklı kaynaklardan ulaşan miktarları toplar. Böylece örneğin P1 için:

gibi bir talep eşitliği kurulabilir.

Kaynak makalenin genel denklem gösterimlerinden birinde tüketici toplamı için ≤ işareti görülmesine rağmen MATLAB modeli ve yayımlanan Aeq x = Beq yapısı tüketici talebini eşitlik biçiminde uygulamaktadır. Bu, kaynak içindeki gösterim uyuşmazlıklarından biridir.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

İlk 12 değişkenli linprog örneği

Kaynakta ilk ayrıntılı örnekte:

f = [8 11 1 4 5 2 7 3 10 4 3 5]
B = [120 97 69]'
Beq = [54 32 25 15]'

verileri kullanılmaktadır.

MATLAB sonucu:

X = [0 0 25 4 54 32 0 11 0 0 0 0]

ve:

olarak verilmiştir.

Dengeli 3×3 taşıma problemi

Kaynağın birinci ayrı örneğinde üç kaynağın toplam arzı tüketicilerin toplam talebine eşittir.

Optimum plan:

X = [5 25 0 0 10 10 40 0 0]

ve minimum kriter:

olarak raporlanmıştır.

Dengesiz 3×3 taşıma problemi

İkinci örnekte toplam arz toplam talepten büyüktür.

Kaynak sonucu:

X = [50 30 0 0 50 0 0 0 50]

Taşıma Problemi Elektrik Enerjisi Dağıtımına Nasıl Uyarlanıyor?

Çalışmanın mühendislik açısından en önemli adımı, “ürün taşıma” kavramını elektrik güç dağıtımına dönüştürmesidir. Bu yorumda kaynaklar gemi veya kara tabanlı trafo merkezleri ya da dizel jeneratör grupları, hedefler ise elektrik tüketicileridir. Taşınan miktar fiziksel ürün yerine güç; taşıma maliyeti ise enerji iletimindeki göreli kayıp maliyetidir.

Kaynak kapasiteleri

Tüketici talepleri

Birim kayıp kriterleri

Bu değerler MATLAB amaç vektöründe:

f = [0.3 0.9 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0 0.1 0.6 0.8 0.6 0.4]

biçiminde sıralanmaktadır.

linprog ile optimum güç dağılımı

Kaynak tarafından bulunan çözüm:

X = [30 0 600 0 500 200 0 300 270 0 0 0]

şeklindedir.

Tüketici sütunlarının toplamları sırasıyla 800, 200, 600 ve 300 kW'tır. Böylece bütün talep karşılanmaktadır.

Üçüncü kaynakta:

kullanılmamış kapasite kalmaktadır.

Doğrusal amaç fonksiyonunun minimum değeri:

olarak raporlanmıştır.

Kuadratik Programlama Doğrusal Modele Ne Ekliyor?

Doğrusal programlamada amaç fonksiyonu yalnız \(f^Tx\) biçimindedir. Kuadratik programlamada buna karar değişkenlerinin ikinci dereceden etkilerini temsil eden bir terim eklenmektedir:

kısıtlar ise:

olarak korunmaktadır.

MATLAB quadprog sözdizimi

x = quadprog(H, f, A, B, Aeq, Beq, lb, ub)

H, amaç fonksiyonunun ikinci dereceden bileşenini temsil etmektedir.

Kaynağın ilk kuadratik örneği

Kaynak:

v = 0.01*ones(12,1)
H = diag(v)

şeklinde diyagonal bir H matrisi tanımlar.

Doğrusal çözümle aynı:

x = [0 0 25 4 54 32 0 11 0 0 0 0]

vektörü için:

verilmektedir. Bu üç sayı birbirleriyle aritmetik olarak uyumludur.

Elektrik Dağıtımı İçin Verilen Kuadratik Sonuçta Bir Sayısal Tutarsızlık Var mı?

Evet. Kaynak elektrik dağıtım örneğinde v = 0,001ones(12,1) ve H = diag(v) yazmasına rağmen yayımlanan X için kuadratik bileşeni 40,6900 olarak vermektedir. Aynı vektör ve \(H=0,001I\) birlikte kullanıldığında bu terim 406,9 olur; kaynakta verilen 40,69 değeri \(H=0,0001I\) ölçeğiyle uyumludur. Bu nedenle yayımlanmış kuadratik elektrik dağıtımı örneği ondalık katsayı açısından bağımsız doğrulama gerektirmektedir.

Kaynağın raporladığı kuadratik elektrik dağıtımı sonucu

X = [30 0 600 0 500 200 0 300 270 0 0 0]

Kaynak:

değerlerini raporlamaktadır.

Verianla bu değerleri kaynakta yayımlanan sonuçlar olarak aktarır; ancak v=0,001 ifadesiyle aritmetik uyuşmazlığı ayrıca görünür tutar.

Doğrusal ve kuadratik J değerleri doğrudan aynı performans metriği değildir

Doğrusal problemde:

iken kuadratik problemde:

kullanılmaktadır. Dolayısıyla kuadratik modelde J'nin daha yüksek çıkması tek başına çözümün daha kötü olduğu anlamına gelmez; iki amaç fonksiyonu aynı matematiksel kriter değildir.

Modelin otomatik izleme yaklaşımı

Kaynak yazarları, oluşturulan MATLAB dosyalarında maddi veya enerji akışlarının otomatik izlenebileceğini belirtmektedir. Talep toplamının mevcut arzı aşması gibi uygulanamaz çalışma koşullarında işlemin durdurulabileceği ifade edilmektedir.

Ayrıca f vektöründeki değerlerin zamanla değiştirilebilmesi, örneğin gün içerisinde elektrik birim maliyetinin değişmesi gibi durumların aynı model şablonuyla tekrar optimize edilebilmesini mümkün kılmaktadır.

Çalışmanın doğrudan desteklediği sonuçlar

• Taşıma problemi MATLAB linprog kullanılarak doğrusal programlama biçiminde çözülebilir.
• Aynı problem quadprog ile ikinci dereceden amaç bileşeni içerecek şekilde genişletilebilir.
• Taşıma problemindeki kısıt matrisleri düzenli 0–1 yapıları olarak otomatik oluşturulabilir.
• Model yapısı sabitken f, B ve Beq değişiklikleriyle farklı işletme durumları çözülebilir.
• Üç kaynak-dört tüketici örneğinde toplam 2.030 kW kapasiteyle 1.900 kW talep karşılanmıştır.
• Kaynak linprog çözümünde minimum doğrusal kriteri J=621 olarak raporlamaktadır.
• Elektrik güç dağılımı klasik taşıma probleminin kaynak-tüketici yapısına uyarlanabilmektedir.

Çalışmanın tek başına desteklemediği sonuçlar

• Gerçek bir gemi veya liman elektrik şebekesinde ölçülmüş enerji tasarrufu gösterilmemiştir.
• J=621 değerinin belirli bir kWh veya para birimine doğrudan karşılık geldiği açıklanmamıştır.
• Gerçek zamanlı saha uygulamasındaki hesaplama gecikmeleri ölçülmemiştir.
• Gerilim, reaktif güç, hat akımı ve güç akışı gibi AC şebeke fiziksel kısıtları tam elektrik güç akışı modeli biçiminde ele alınmamıştır.
• Kuadratik elektrik dağıtımı örneğinin yayımlanan 0,001 katsayısıyla sayısal olarak tamamen tutarlı olduğu gösterilemez.

Çalışmanın güçlü yönleri

Çalışmanın en güçlü yönü, klasik operasyon araştırması modelini doğrudan MATLAB koduna dönüştürmesi ve aynı algoritmik şablonu hem lojistik taşıma hem de elektrik gücü dağıtımı gibi farklı problemlere uyarlamasıdır.

İkinci güçlü yön, matrislerin 0–1 yapısından yararlanarak model girişlerini üç temel veri vektörüne indirgemeyi amaçlamasıdır. Bu özellikle talep veya maliyet değerlerinin sık değiştiği operasyonel sistemlerde yeniden modelleme yükünü azaltabilir.

Üçüncü güçlü yön, hem doğrusal hem de kuadratik amaç fonksiyonlarını aynı kısıt yapısında ele almasıdır.

Temel sınırlılıklar

Elektrik dağıtımı örneği matematiksel bir kaynak-tüketici dağıtım modeli olarak kurulmuştur; detaylı AC güç akışı veya fiziksel şebeke modeli değildir.

Kaynak kodların bütün yazılım paketi makaleyle birlikte bağımsız indirilebilir bir veri deposu olarak gösterilmemektedir.

Kuadratik elektrik dağıtımı örneğinde v=0,001 ile yayımlanan kuadratik maliyet arasında on katlık aritmetik ölçek problemi vardır.

Dokuz ve on iki durum değişkenli modellerin açıklamaları bazı bölümlerde birbirine karışmaktadır.

Üretim tablosunda bazı \(x_{ij}\) indekslerinin yazımı da 3×4 matris düzeniyle uyuşmamaktadır.

Kaynak ve Yöntem Notu

• Özgün başlık: Оптимизация технологических процессов на базе транспортной задачи в инструментах MATLAB
• İngilizce başlık: Optimization of technological processes based on the transport task in MATLAB tools
• Yazar 1: Sergey O. Baryshnikov
• Yazar 2: Vladimir V. Saharov
• Yazar 3: Alexandr A. Chertkov
• Sorumlu yazar: Alexandr A. Chertkov
• Kurum: Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping, Saint Petersburg, Russia
• Dergi: Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Marine Engineering and Technologies
• Sayı: 1
• Yıl: 2026
• Sayfalar: 85–92
• DOI: 10.24143/2073-1574-2026-1-85-92
• EDN: OTVRVX
• ISSN: 2073-1574 (Print)
• ISSN Online: 2225-0352
• Gönderim tarihi: 06.11.2025
• Hakem değerlendirmesi sonrası onay: 29.12.2025
• Yayına kabul: 22.01.2026
• Kaynak türü: Operasyon araştırması, matematiksel programlama ve MATLAB algoritma geliştirme çalışması

Kaynak içi bütünlük notları

• Elektrik dağıtımı kuadratik örneğinde v=0,001 ile 1/2 X'HX=40,6900 sayıları birbiriyle uyumlu değildir.
• Kaynak dokuz değişkenli model ifadesi kullanmasına rağmen 12 değişkenli 3×4 örnekler de vermektedir.
• Talep kısıtı bir yerde ≤, MATLAB modelinde ise Aeq x = Beq biçimindedir.
• Üretim matrisinin St3 satırındaki bazı x indeksleri matris konumlarıyla uyumsuz görünmektedir.
• rank(W) kodu doğru yazılmasına rağmen açıklama metninde bir yerde fonksiyon adı farklı yazılmıştır.

Bilimsel yorum sınırı

Çalışma, taşıma problemi ve MATLAB optimizasyon araçlarının elektrik güç dağılımı gibi teknolojik süreçlere nasıl uygulanabileceğini sayısal örneklerle göstermektedir. Ancak sonuçlar ayrıntılı fiziksel elektrik şebekesi modeli veya gerçek saha enerji kaybı ölçümleri değildir. Bu nedenle bulunan dağıtım planı ve J değerleri kaynakta tanımlanan matematiksel amaç fonksiyonu ve kısıtlarla sınırlıdır.