Kresling оригами түзүлүштөрү октук кысылуу менен айлануу кыймылын өз ара байланыштырган өзгөчө геометриялык механизмге ээ. Ушул өзгөчөлүктүн аркасында бир эле түзүлүш ар түрдүү туруктуу геометриялык абалдарда боло алат; жүк астында кескин форма өзгөрүүлөрүн жүргүзө алат жана анын механикалык жообу геометриялык параметрлер аркылуу жөнгө салынышы мүмкүн.

Бул изилдөөдө Kresling бүктөм сызыктары октук жүк көтөрүүчү ферма элементтери катары моделденет. Изилдөөчүлөр адегенде бир Kresling уячасынын күч-деформация жана туруктуулук жүрүм-турумун изилдеп, андан соң моделди эки катмарлуу, үч катмарлуу жана жалпы n катмарлуу Kresling чынжырларына кеңейтет.

Изилдөөнүн негизги жыйынтыгы — көп катмарлуу чынжырларда пайда болгон татаал бифуркациялык түзүлүш толугу менен кокустук эмес. Уячанын геометриясы жана бир уячанын механикалык жообу белгилүү болгондо, чынжырдагы көп сандагы критикалык чекиттер жана тең салмак бутактары иреттүү геометриялык байланыштарды ээрчий турганы көрсөтүлөт. Бул ыкма белгилүү бир критикалык жүрүм-турумду максат кылып, көп катмарлуу механикалык метатүзүлүштөрдү тескери долбоорлоо үчүн математикалык негиз берет.

Изилдөө физикалык буюмдун эксперименттик иштөө сыноосунан көрө математикалык жана сандык механика алкагын сунуштайт. Ошондуктан жыйынтыктар изилдөөдө аныкталган модель божомолдору жана чектөөлөрү ичинде бааланышы керек.

Kresling оригамиси деген эмне?

Kresling үлгүсү жука дубалдуу цилиндрдик түзүлүштөрдөгү буралуу менен байланышкан бүктөлүүдөн келип чыккан геометрияларга негизделген оригами архитектурасы. Түзүлүш үстүңкү жана астыңкы көп бурчтуу беттердин ортосунда белгилүү бурчтар менен жайгашкан үч бурчтуу беттерден жана бүктөм сызыктарынан турат.

Kresling геометриясынын маанилүү өзгөчөлүгү — октук кыймыл менен айлануу кыймылы бири-биринен көз карандысыз эмес. Түзүлүш кысылганда ошол эле учурда айлана алат. Бул октук-айланма байланыш бир геометриянын бир нече туруктуу конфигурацияга, ар башка катуулук деңгээлине жана кескин өтүү жүрүм-турумуна ээ болушуна мүмкүндүк берет.

Ошондуктан Kresling түзүлүштөрүнүн механикалык жүрүм-турумун түшүнүү үчүн “канчалык кысылат?” деген суроо гана жетишсиз. Кысылуу учурунда кайсы тең салмак жолу ээрчилери, кайсы чекитте туруктуулук жоголору, түзүлүш башка тең салмак бутагына өтөбү жана бул өтүү туруктуубу же кескин секирик түрүндө болобу — мунун баары аныкталышы керек.

Геометрия эмне үчүн мынчалык маанилүү?

Изилдөөдө Kresling уячасынын жүрүм-турумун аныктаган негизги геометриялык өзгөрмөлөрдүн арасында көп бурчтуктун капталдарынын саны N, баштапкы багыт бурчу δ, баштапкы бийиктик h⁽⁰⁾, радиус R⁽⁰⁾ жана бүктөм/ферма элементтеринин узундуктары бар.

Негизги талдоолордун көпчүлүгүндө сегиз бурчтуу уяча колдонулат:

N = 8 жана h⁽⁰⁾/R⁽⁰⁾ = 1.

Баштапкы багыт бурчу δ өзгөртүлгөндө бир Kresling уячасынын механикалык жүрүм-туруму төрт башка аймакка бөлүнөт:

Бул классификация жөн гана графикалык тартип эмес. Эки же андан көп Kresling уячасы катар туташтырылганда пайда болуучу бифуркациялык түзүлүштүн негизин бир уячанын ушул механикалык мүнөзү түзөт.

Көп бурчтуктун капталдарынын саны өзгөргөндө эмне болот?

Изилдөөчүлөр сегиз бурчтуу түзүлүштү гана эмес, үч бурчтуу негиздеги N = 3 абалынан жүз капталдуу N = 100 геометриясына чейин фазалык аймактар кандай өзгөрөрүн да изилдейт.

Кичине N маанилеринде фазалык чек аралар көп бурчтуктун капталдарынын санына өтө сезгич экени көрүнөт. N көбөйгөн сайын бул сезгичтик азаят. Болжол менен N ≈ 14 маанисинен кийин фазалык аймактардын жалпы бөлүштүрүлүшү улам азыраак өзгөрүп, геометриялык жүрүм-турум белгилүү бир тартипке жакындайт.

Башкача айтканда, аз капталдуу Kresling уячаларында көп бурчтуу геометрияны өзгөртүү механикалык режимге күчтүү таасир бере алат, ал эми капталдардын саны көбөйгөн сайын бул таасирдин чоңдугу бара-бара азаят.

Эки Kresling уячасы бириктирилгенде эмне өзгөрөт?

Бир уячалуу системадан эки уячалуу чынжырга өткөндө системага жаңы эркиндик даражалары кошулат. Эми эки уячанын бирдей өлчөмдө кысылышы милдеттүү эмес. Башында эки уяча бир убакта жана симметриялуу деформацияланышы мүмкүн, бирок белгилүү бир критикалык чекиттен кийин симметрия бузулушу мүмкүн.

Мындай учурда уячалардын бири көбүрөөк кысылып, экинчиси ачылышы же азыраак кысылышы мүмкүн. Натыйжада бир уячада жок болгон жаңы тең салмак жолдору пайда болот.

Суперкритикалык бифуркация пайда болгондо негизги тең салмак жолунан туруктуу экинчи бутактар бөлүнүп чыгышы мүмкүн. Субкритикалык бифуркация болсо туруксуз бутактарды жаратып, системанын учурдагы тең салмак жолунан башка туруктуу жолго кескин өтүшүнө себеп болушу мүмкүн. Макалада бул өтүүлөр snap-through туруксуздугу катары каралат.

Region I уячаларынан түзүлгөн эки катмарлуу чынжыр кысылуу астында баштапкы туруктуу конфигурациясын негизги туруктуу абал катары сактайт. Region II жана Region III уячаларынан түзүлгөн чынжырларда болсо катар монтаж жаңы туруктуу конфигурациялардын пайда болушуна шарт түзөт. Изилдөөнүн эки катмарлуу мисалдарында бул системалар жалпысынан үч туруктуу абалга чейин жетиши мүмкүн.

Region III өзгөчө көңүл бурууга арзыйт, анткени бир эле чынжырда суперкритикалык да, субкритикалык да бифуркация этаптары байкалышы мүмкүн. Ошентип, механикалык системанын жүктөлүү процессинин ар башка бөлүктөрүндө туруксуздуктун ар башка механизмдери пайда болот.

Үч катмарга өткөндө система эмне үчүн татаалдашат?

Үч Kresling уячасынан турган Region III чынжырында изилдөөчүлөр B1-B11 деп аталган көптөгөн критикалык чекиттерди аныктайт. Мунун себеби системага жөн гана дагы бир уячанын кошулушу эмес; үч уяча ар башкача топтошуп, ар түрдүү деформация абалдарын түзө алат.

Башында үч уяча бирдей деформацияланат. Биринчи симметрия бузулганда уячалардын бири калган экөөнөн башка абалга өтүшү мүмкүн. Андан кийин башында чогуу кыймылдаган эки уяча да бири-биринен ажырап, үч уяча үч башка деформация абалында болгон жаңы жолдорду пайда кылышы мүмкүн.

Ошентип, баштапкы тең салмак жолунан экинчи жолдор, экинчи жолдордон үчүнчү жолдор пайда болот. Үч катмарлуу Region III системасы биринчи бифуркация этабында төрт туруктуу абалга чейин жетет. Эки катмарлуу эквиваленттүү системага салыштырмалуу кошумча туруктуу абалдын пайда болушу чынжыр узундугу механикалык абалдар мейкиндигин кандай кеңейтерин ачык көрсөтөт.

n катмарлуу чынжырды кантип чечүүгө болот?

Катмарлардын саны көбөйгөн сайын бардык теңдемелерди түздөн-түз көзөмөлдөө барган сайын кыйын болот. Айрыкча бифуркация жана кайра биригүү чекиттеринин жанында системанын симметриясы сандык чечим үчүн көйгөй жаратып, Якоби матрицасынын сингулярланышына алып келиши мүмкүн.

Изилдөөчүлөр бул маселени чечүү үчүн уячаларды өз-өзүнчө көзөмөлдөөнүн ордуна бирдей механикалык абалдагы уячаларды топтоштурушат.

Катар туташкан чынжырда ар бир Kresling уячасы көтөргөн күч бирдей:

\[ \tilde{F}_0=\tilde{F}_1=\tilde{F}_2=\cdots=\tilde{F}_n \]

Region III түрүндөгү Kresling уячасы бирдей тышкы күч астында эң көп дегенде беш башка геометриялык чечимге ээ болушу мүмкүн. Ушул байкоонун аркасында абдан чоң n-катмарлуу чынжырда жүздөгөн өзгөрмөлөрдү өз-өзүнчө көзөмөлдөөнүн ордуна уячаларды эң көп беш башка абал тобуна бөлүүгө болот.

Изилдөөдө бул өкүлчүлүк беш башка уяча абалына тиешелүү бийиктик жана айлануу өзгөрмөлөрү менен чынжырдын жалпы бийиктиги жана күчү колдонулуп, 12 өзгөрмөлүү кыскартылган алгебралык система түрүндө берилет.

Мисалы, беш катмарлуу чынжырда бардык уячалар бирдей абалда болсо, түзүлүш {5} түрүндө көрсөтүлөт. Төрт уяча бир абалда, бири башка абалда болсо {4,1}; үч уяча бир абалда жана эки уяча башка абалда болсо {3,2} белгиси колдонулат. Көбүрөөк абалдарды камтыган бөлүнүүлөр да ушул эле логика менен түзүлөт.

Бифуркация чекиттеринин ордун чынында алдын ала болжолдоого болобу?

Изилдөөнүн эң маанилүү жыйынтыктарынын бири ушул жерден көрүнөт. Төрт, беш жана сегиз катмарлуу чынжырларда критикалык чекиттер изилденгенде, баштапкы жана экинчи бифуркация/кайра биригүү чекиттери кокустук таралбаганы көрүнөт.

Айрыкча сегиз катмарлуу мисалда критикалык чекиттер беш өзүнчө сызыктуу траектория боюнча жайгашары көрсөтүлөт. Биринчи бифуркация этабында эки, экинчи этапта үч негизги траектория пайда болот.

Мындан тышкары, удаалаш критикалык чекиттердин ортосундагы горизонталдык аралык иреттүү экени аныкталат. Макаланын математикалык алкагына ылайык бул аралык катмарлардын саны n менен масштабдалат. Ошентип, чынжырдын бардык жогорку өлчөмдүү теңдемелерин кайра чечпестен, бир уячанын күч-деформация ийри сызыгындагы жергиликтүү максимум жана минимумдарды колдонуп белгилүү бифуркация чекиттеринин ордун эсептөөгө болот.

Бул өзгөчөлүк тескери долбоорлоо жагынан маанилүү. Долбоорлоочу түзүлүш кандай иштей турганын эсептөө менен гана чектелбестен, каалаган критикалык өтүү чекиттерин аныктап, ошол жүрүм-турумду камсыз кыла турган Kresling геометриясын издей алат.

Бул ыкма механикалык метаматериалдар үчүн эмне үчүн маанилүү?

Механикалык метаматериалдарда материалдын макроскопиялык жүрүм-туруму чийки заттын касиеттеринен гана эмес, көбүнчө геометриялык архитектурадан келип чыгышы мүмкүн. Kresling чынжырлары мунун күчтүү мисалдарынын бири.

Түзүлүштүн белгилүү деформация деңгээлдеринде туруктуулугун жоготушу, башка геометриялык абалга өтүшү, кайра жүк көтөрүшү же көп сандагы туруктуу конфигурацияларга ээ болушу — энергияны сиңирүү, кайра конфигурациялануучу механизмдер, башкарылуучу ачылып-жабылуучу системалар жана программалануучу механикалык элементтер сыяктуу тармактарда изилдене турган өзгөчөлүктөр.

Бирок бул макаладагы жыйынтык белгилүү бир коммерциялык буюмдун же реалдуу масштабдагы механизмдин иштешин түздөн-түз далилдебейт. Изилдөөнүн салымы — бул жүрүм-турумдарды геометриялык параметрлерден системалуу жана алдын ала болжолдонгон түрдө чыгарууга багытталган математикалык долбоорлоо алкагы.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Механикалык модель кантип түзүлдү?

Изилдөөчүлөр Kresling түзүлүшүндөгү тик жана диагоналдык бүктөм сызыктарын октук күч көтөргөн, деформациялануучу ферма элементтери катары моделдейт. Астыңкы жана үстүңкү көп бурчтуу негиздердин бүктөм сызыктары болсо катуу деп кабыл алынат.

Ар бир Kresling уячасы үчүн эки негизги эркиндик даражасы аныкталат: уячанын бийиктиги h_i жана айлануу бурчу γ_i. n катмарлуу чынжырдын жалпы бийиктиги h тең салмак жолдорун көзөмөлдөөдө улантуу параметри катары колдонулат.

Чынжырдын нормалдаштырылган октук деформациясы төмөнкүдөй аныкталат:

\[ \tilde{u}=-\frac{h-nh^{(0)}}{nh^{(0)}} \]

Бул аныктама боюнча чоңураак \(\tilde{u}\) маанилери көбүрөөк октук кысылууга туура келет.

Тик жана диагоналдык ферма элементтеринин узарышы жана кыскарышынан серпилгич деформация энергиясы эсептелет. Катмар бийиктиктеринин суммасы чынжырдын жалпы бийиктигине барабар болушу Lagrange көбөйткүчү аркылуу системага кошулат. Бул Lagrange көбөйткүчү ошол эле учурда системанын октук реакция күчү F катары физикалык мааниге ээ болот.

Уячанын бийиктиги физикалык жактан терс мааниге өтпөшү үчүн моделге кошумча жылмакайланган айып энергиясы киргизилет. Сандык талдоолордо айып күчү үчүн P = 1 жана жылмакайлоо коэффициенти үчүн болжол менен ε ≈ 10^-3 колдонулат.

Тең салмак жана туруктуулук кантип аныкталды?

Жалпы потенциалдык энергиянын тиешелүү эркиндик даражалары боюнча туундулары нөлгө барабарланып, алгебралык тең салмак системасы түзүлөт. Тең салмак жолдору жана критикалык чекиттер AUTO 07P улантуу жана бифуркациялык талдоо программасы менен көзөмөлдөнөт.

Тең салмак бутагынын туруктуу же туруксуз экени жалпы потенциалдык энергиянын проекцияланган Гессе матрицасынын оң аныктуулугу аркылуу бааланат. Жергиликтүү оң аныкталган энергия бети туруктуу тең салмакты көрсөтөт, ал эми туруксуз жолдордо система энергиясы төмөнүрөөк башка туруктуу бутакка секириши мүмкүн.

Негизги сандык жыйынтыктар

Моделдин маанилүү божомолдору кайсылар?

Изилдөөнүн жыйынтыктарын туура чечмелөө үчүн моделдин чектөөлөрүн да эске алуу керек. Фермага негизделген ыкма бүктөм жана кыр элементтеринин октук узаруу-кыскаруу энергиясын чагылдырат; үч бурчтуу панелдердин ийилишин жана кыйшаюусун ачык моделдебейт.

Ферма элементтеринде сызыктуу серпилгич жүрүм-турум божомолдонот. Чынжыр талдоолорунда уячалар бир тектүү жана бири-бирине бирдей деп кабыл алынат. Үйкөлүү жана тартылуу күчү эсепке алынбайт. Тең салмак жолдору квазистатикалык процесс божомолунда изилденип, snap-through өтүүлөрүнүн реалдуу убакыттагы сызыктуу эмес динамикасы чечилбейт.

Ошондуктан жыйынтыктар көп катмарлуу Kresling архитектурасынын негизги геометриялык жана механикалык бифуркациялык түзүлүшүн түшүндүргөн теориялык-сандык жыйынтыктар болуп саналат. Реалдуу өндүрүш толеранстары, материалдын сызыктуу эместиги, үйкөлүү, панелдин ийилиши жана динамикалык өтүүлөр сыяктуу таасирлер өзүнчө бааланышы керек.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска изилдөө: Nonlinear Mechanics and Predictable Bifurcation of Multi-Cell Kresling Origami Chains

Авторлор: Songlin Yue, Leo de Waal, David Garcia Cava, Marcelo A. Dias

Мекемелер: Institute for Infrastructure and Environment, School of Engineering, The University of Edinburgh; Civil, Environmental and Geomatic Engineering, Faculty of Engineering Sciences, University College London.

Булактын түрү: Изилдөө макаласы / preprint.

Рецензиялоо абалы: PDF файлында изилдөө ачык түрдө “Preprint submitted to Elsevier” жана “This preprint research paper has not been peer reviewed” деген сөздөр менен мүнөздөлөт. Ошондуктан изилдөө рецензияланган жана жарыяланган акыркы макала катары бааланбашы керек.

SSRN: Abstract No. 6963940.

Ыкма: Kresling бүктөмдөрүн ферма элементтери катары моделдөө; потенциалдык энергиянын формулировкасы; Lagrange көбөйткүчү менен жалпы бийиктик чектөөсү; жылмакайланган айып энергиясы; AUTO 07P менен улантуу жана бифуркациялык талдоо; проекцияланган Гессе матрицасы менен туруктуулукту баалоо.

Маалыматтарга жеткиликтүүлүк: Авторлор маалыматтар суроо-талап боюнча берилерин билдиришет.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Авторлор изилдөөгө таасир эте турган белгилүү атаандаш финансылык кызыкчылык же жеке мамиле жок экенин билдиришет.

Verianla баалоо эскертүүсү: Изилдөөнүн күчтүү жагы — бир Kresling уячасынын күч-деформация жүрүм-туруму менен көп катмарлуу чынжырдын татаал бифуркация тармагынын ортосунда системалуу байланыш түзүшү. Айрыкча n-катмарлуу система үчүн сунушталган абалдарды топтоо жана критикалык чекиттердин иреттүү геометриялык траекторияларын чыгаруу эсептөө жана тескери долбоорлоо жагынан көңүл бурууга татыктуу. Бирок изилдөө физикалык эксперименттик тастыктоону берген прототиптик изилдөө эмес; жыйынтыктар колдонулган ферма модели, бир тектүү уяча божомолу, сызыктуу серпилгичтик жана квазистатикалык талдоо алкагында бааланышы керек.

Булакка берилгендик эскертүүсү: Бул Verianla тексти изилдөөнүн илимий дооматтарын рецензияланган же эксперименттик жактан тастыкталган жыйынтыктар деңгээлине көтөрбөстөн, булакта берилген геометриялык босоголорду, ыкмаларды, модель божомолдорун жана preprint статусун сактоо менен даярдалды.