Сохторҳои оригамии Kresling дорои механизми махсуси геометрӣ мебошанд, ки фишурдашавии меҳвариро бо ҳаракати гардишӣ ба ҳам мепайвандад. Ба шарофати ин хусусият як сохтор метавонад дар ҳолатҳои гуногуни геометрии устувор қарор гирад, таҳти бор тағйироти ногаҳонии шаклро аз сар гузаронад ва ҷавоби механикии он тавассути параметрҳои геометрӣ танзим карда шавад.

Дар ин таҳқиқот хатҳои қатшавии Kresling ҳамчун унсурҳои фермае модел карда мешаванд, ки бори меҳвариро мебардоранд. Муҳаққиқон аввал рафтори қувва-деформатсия ва устувории як ҳуҷайраи Kresling-ро меомӯзанд; сипас моделро ба занҷирҳои дуқабата, сеқабата ва умуман n-қабатаи Kresling васеъ мекунанд.

Натиҷаи асосии таҳқиқот ин аст, ки сохтори мураккаби бифуркатсияе, ки дар занҷирҳои бисёрқабата ба вуҷуд меояд, комилан тасодуфӣ нест. Вақте геометрияи ҳуҷайра ва ҷавоби механикии як ҳуҷайра маълуманд, нишон дода мешавад, ки нуқтаҳои сершумори критикӣ ва шохаҳои мувозинати занҷир муносибатҳои мунтазами геометриро пайгирӣ мекунанд. Ин равиш барои тарҳрезии баръакси метасохторҳои механикии бисёрқабата бо ҳадаф гирифтани рафтори муайяни критикӣ заминаи математикӣ фароҳам меорад.

Таҳқиқот ба ҷойи санҷиши таҷрибавии кори як маҳсулоти физикӣ бештар як чаҳорчӯбаи математикӣ ва ададии механикаро пешниҳод мекунад. Аз ин рӯ, натиҷаҳо бояд дар ҳудуди фарзияҳо ва маҳдудиятҳои модели дар таҳқиқот муайяншуда арзёбӣ шаванд.

Оригамии Kresling чист?

Намунаи Kresling меъмории оригамиест, ки аз геометрияҳои вобаста ба каҷшавии печишӣ дар сохторҳои силиндрии деворашон тунук бармеояд. Сохтор аз сатҳҳои секунҷа ва хатҳои қатшавӣ иборат аст, ки байни сатҳҳои бисёркунҷаи болоӣ ва поёнӣ бо кунҷҳои муайян ҷойгир шудаанд.

Хусусияти муҳими геометрияи Kresling он аст, ки ҳаракати меҳварӣ ва ҳаракати гардишӣ аз ҳам мустақил нестанд. Сохтор ҳангоми фишурда шудан метавонад ҳамзамон чарх занад. Ин пайвастагии меҳварӣ-гардишӣ имкон медиҳад, ки як геометрия дорои чанд конфигуратсияи устувор, сатҳҳои гуногуни сахтӣ ва рафтори гузариши ногаҳонӣ бошад.

Аз ин рӯ, барои фаҳмидани рафтори механикии сохторҳои Kresling танҳо саволи «чӣ қадар фишурда мешавад?» кофӣ нест. Ҳамчунин бояд муайян карда шавад, ки ҳангоми фишурдашавӣ кадом роҳи мувозинат пайгирӣ мешавад, устуворӣ дар кадом нуқта аз даст меравад, оё сохтор ба шохаи дигари мувозинат мегузарад ва ин гузариш устувор аст ё дар шакли ҷаҳиши ногаҳонӣ рух медиҳад.

Чаро геометрия ин қадар муҳим аст?

Дар таҳқиқот аз ҷумлаи тағйирёбандаҳои асосии геометрие, ки рафтори ҳуҷайраи Kresling-ро муайян мекунанд, шумораи паҳлуҳои бисёркунҷа N, кунҷи ибтидоии самтгирӣ δ, баландии ибтидоӣ h⁽⁰⁾, радиус R⁽⁰⁾ ва дарозии унсурҳои қатшавӣ/ферма мебошанд.

Дар қисми зиёди таҳлилҳои асосӣ ҳуҷайраи ҳашткунҷа истифода мешавад:

N = 8 ва h⁽⁰⁾/R⁽⁰⁾ = 1.

Ҳангоми тағйир додани кунҷи ибтидоии самтгирӣ δ рафтори механикии як ҳуҷайраи Kresling ба чор минтақаи гуногун ҷудо мешавад:

Ин тасниф танҳо тартибдиҳии графикӣ нест. Вақте ду ё зиёда ҳуҷайраи Kresling пайдарпай пайваст мешаванд, маҳз ҳамин хусусияти механикии як ҳуҷайра асоси сохтори бифуркатсияи ба вуҷудояндаро ташкил медиҳад.

Ҳангоми тағйир додани шумораи паҳлуҳои бисёркунҷа чӣ рӯй медиҳад?

Муҳаққиқон на танҳо сохтори ҳашткунҷаро меомӯзанд; онҳо инчунин месанҷанд, ки минтақаҳои фазавӣ аз ҳолати асосаш секунҷаи N = 3 то геометрияи садпаҳлуи N = 100 чӣ гуна тағйир меёбанд.

Дар қиматҳои хурди N дида мешавад, ки ҳудудҳои фазавӣ ба шумораи паҳлуҳои бисёркунҷа хеле ҳассосанд. Бо афзоиши N ин ҳассосият кам мешавад. Тақрибан пас аз N ≈ 14 тақсимоти умумии минтақаҳои фазавӣ торафт камтар тағйир ёфта, рафтори геометрӣ ба як тартиби муайян наздик мешавад.

Ба ибораи дигар, дар ҳуҷайраҳои Kresling бо паҳлуҳои кам тағйири геометрияи бисёркунҷа метавонад режими механикиро сахт тағйир диҳад, аммо бо зиёд шудани шумораи паҳлуҳо бузургии ин таъсир тадриҷан кам мешавад.

Ҳангоми якҷоя кардани ду ҳуҷайраи Kresling чӣ тағйир меёбад?

Ҳангоми гузаштан аз системаи якҳуҷайра ба занҷири дуҳуҷайра ба система дараҷаҳои нави озодӣ илова мешаванд. Дигар шарт нест, ки ду ҳуҷайра ба як андоза фишурда шаванд. Дар оғоз ду ҳуҷайра метавонанд ҳамзамон ва симметрӣ деформатсия шаванд, аммо пас аз як нуқтаи муайяни критикӣ симметрия метавонад шикаста шавад.

Дар ин ҳолат, вақте яке аз ҳуҷайраҳо бештар фишурда мешавад, дигараш метавонад кушода шавад ё камтар фишурда гардад. Ҳамин тавр, роҳҳои нави мувозинат пайдо мешаванд, ки дар як ҳуҷайра вуҷуд надоранд.

Бифуркатсияи суперкритикӣ ба вуҷуд ояд, аз роҳи асосии мувозинат шохаҳои дуюмдараҷаи устувор ҷудо шуда метавонанд. Бифуркатсияи субкритикӣ бошад, метавонад шохаҳои ноустувор ба вуҷуд оварад ва сабаби гузариши ногаҳонии система аз роҳи мавҷудаи мувозинат ба роҳи дигари устувор шавад. Дар мақола ин гузаришҳо ҳамчун ноустувории snap-through баррасӣ мешаванд.

Занҷири дуқабатае, ки аз ҳуҷайраҳои Region I ташкил шудааст, конфигуратсияи ибтидоии устувори худро таҳти фишурдашавӣ ҳамчун ҳолати асосии устувор нигоҳ медорад. Дар занҷирҳое, ки аз ҳуҷайраҳои Region II ва Region III сохта шудаанд, монтажи пайдарпай имкон медиҳад конфигуратсияҳои нави устувор ба вуҷуд оянд. Дар мисолҳои дуқабатаи таҳқиқот ин системаҳо то се ҳолати устувор расида метавонанд.

Region III махсусан ҷолиб аст, зеро дар як занҷир ҳам марҳилаҳои бифуркатсияи суперкритикӣ ва ҳам субкритикӣ дида мешаванд. Ҳамин тавр, дар қисмҳои гуногуни раванди боркунии системаи механикӣ механизмҳои гуногуни ноустуворӣ ба вуҷуд меоянд.

Чаро ҳангоми гузаштан ба се қабат система мураккабтар мешавад?

Дар занҷири Region III, ки аз се ҳуҷайраи Kresling иборат аст, муҳаққиқон нуқтаҳои зиёди критикиро муайян мекунанд, ки B1-B11 ном доранд. Сабаб танҳо илова шудани як ҳуҷайраи дигар ба система нест; се ҳуҷайра метавонанд ба тарзҳои гуногун гурӯҳбандӣ шуда, ҳолатҳои гуногуни деформатсияро ба вуҷуд оранд.

Дар оғоз ҳар се ҳуҷайра яксон деформатсия мешаванд. Бо шикастани аввалини симметрия яке аз ҳуҷайраҳо метавонад ба ҳолате гузарад, ки аз ду ҳуҷайраи дигар фарқ мекунад. Сипас ду ҳуҷайрае, ки аввал якҷоя ҳаракат мекарданд, низ аз ҳам ҷудо шуда, роҳҳои наве эҷод мекунанд, ки дар онҳо се ҳуҷайра дар се ҳолати гуногуни деформатсия қарор доранд.

Ҳамин тавр, аз роҳи ибтидоии мувозинат роҳҳои дуюмдараҷа ва аз роҳҳои дуюмдараҷа роҳҳои сеюмдараҷа пайдо мешаванд. Системаи сеқабатаи Region III дар марҳилаи аввали бифуркатсия то чор ҳолати устувор расида метавонад. Пайдо шудани як ҳолати устувори иловагӣ нисбат ба системаи дуқабатаи ҳамарзиш равшан нишон медиҳад, ки дарозии занҷир фазои ҳолатҳои механикиро чӣ гуна васеъ мекунад.

Занҷири n-қабатаро чӣ гуна ҳал кардан мумкин аст?

Бо зиёд шудани шумораи қабатҳо пайгирии бевоситаи ҳамаи муодилаҳо торафт душвортар мешавад. Хусусан дар наздикии нуқтаҳои бифуркатсия ва аз нав ҳамроҳшавӣ симметрияи система метавонад барои ҳалли ададӣ мушкилӣ эҷод кунад ва ба сингуляр шудани матритсаи Якоби оварда расонад.

Барои ҳалли ин мушкил муҳаққиқон ба ҷойи пайгирии ҳар ҳуҷайра алоҳида, ҳуҷайраҳои дар як ҳолати механикӣ бударо гурӯҳбандӣ мекунанд.

Дар занҷири пайдарпай пайвастшуда қуввае, ки ҳар як ҳуҷайраи Kresling мебардорад, яксон аст:

\[ \tilde{F}_0=\tilde{F}_1=\tilde{F}_2=\cdots=\tilde{F}_n \]

Ҳуҷайраи Kresling-и навъи Region III таҳти як қувваи берунии якхела метавонад ҳадди аксар панҷ ҳалли гуногуни геометрӣ дошта бошад. Ба шарофати ин мушоҳида, дар занҷири хеле калони n-қабата ба ҷойи пайгирии садҳо тағйирёбандаҳо алоҳида, ҳуҷайраҳоро ба ҳадди аксар панҷ гурӯҳи ҳолатӣ ҷудо кардан мумкин аст.

Дар таҳқиқот ин намояндагӣ бо истифода аз тағйирёбандаҳои баландӣ ва гардиши панҷ ҳолати гуногуни ҳуҷайра, инчунин баландии умумӣ ва қувваи занҷир ҳамчун системаи алгебравии коҳишёфтаи 12-тағйирёбанда ифода мешавад.

Масалан, агар дар занҷири панҷқабата ҳамаи ҳуҷайраҳо дар як ҳолат бошанд, сохтор ба шакли {5} нишон дода мешавад. Агар чор ҳуҷайра дар як ҳолат ва яке дар ҳолати дигар бошад, {4,1}; агар се ҳуҷайра дар як ҳолат ва ду ҳуҷайра дар ҳолати дигар бошанд, {3,2} истифода мешавад. Тақсимоте, ки ҳолатҳои бештарро дар бар мегиранд, низ бо ҳамин мантиқ сохта мешаванд.

Оё ҷойи нуқтаҳои бифуркатсияро воқеан пешакӣ пешгӯӣ кардан мумкин аст?

Яке аз муҳимтарин натиҷаҳои таҳқиқот дар ҳамин ҷо зоҳир мешавад. Ҳангоми таҳлили нуқтаҳои критикӣ дар занҷирҳои чор-, панҷ- ва ҳаштқабата дида мешавад, ки нуқтаҳои бифуркатсия/аз нав ҳамроҳшавии ибтидоӣ ва дуюмдараҷа тасодуфӣ паҳн нашудаанд.

Хусусан дар мисоли ҳаштқабата нишон дода мешавад, ки нуқтаҳои критикӣ дар панҷ траекторияи хаттии ҷудогона ҷойгир шудаанд. Дар марҳилаи аввали бифуркатсия ду ва дар марҳилаи дуюм се траекторияи асосӣ ба вуҷуд меоянд.

Илова бар ин, маълум мешавад, ки масофаи уфуқӣ байни нуқтаҳои пайдарпайи критикӣ мунтазам аст. Тибқи чаҳорчӯбаи математикии мақола, ин фосила бо шумораи қабатҳо n миқёс мегирад. Ҳамин тавр, бе аз нав ҳал кардани ҳамаи муодилаҳои баландченаки занҷир, бо истифода аз максимумҳо ва минимумҳои маҳаллӣ дар каҷи қувва-деформатсияи як ҳуҷайра ҷойи нуқтаҳои муайяни бифуркатсияро ҳисоб кардан мумкин аст.

Ин хусусият барои тарҳрезии баръакс муҳим аст. Тарроҳ ба ҷойи танҳо ҳисоб кардани он ки сохтор чӣ гуна рафтор мекунад, метавонад нуқтаҳои гузариши критикии дилхоҳро муайян карда, геометрияи Kresling-еро ҷӯяд, ки чунин рафторро таъмин кунад.

Чаро ин равиш барои метаматериалҳои механикӣ муҳим аст?

Дар метаматериалҳои механикӣ рафтори макроскопии мавод метавонад на танҳо аз хосиятҳои ашёи хом, балки асосан аз меъмории геометрӣ сарчашма гирад. Занҷирҳои Kresling яке аз намунаҳои равшани ин ҳолатанд.

Аз даст додани устуворӣ дар сатҳҳои муайяни деформатсия, гузаштан ба ҳолати дигари геометрӣ, аз нав бардошта тавонистани бор ё доштани шумораи зиёди конфигуратсияҳои устувор — хосиятҳое мебошанд, ки барои самтҳое чун фурӯбурди энергия, механизмҳои аз нав конфигуратсияшаванда, системаҳои идорашавандаи кушодан-бастан ва унсурҳои механикии барномарезишаванда омӯхта мешаванд.

Аммо натиҷаи ин мақола кори як маҳсулоти мушаххаси тиҷоратӣ ё механизми миқёси воқеиро бевосита исбот намекунад. Саҳми таҳқиқот чаҳорчӯбаи математикии тарҳрезист, ки ба ҳосил кардани систематикӣ ва пешгӯишавандаи ин рафторҳо аз параметрҳои геометрӣ равона шудааст.

Усул ва Натиҷаҳои Таҳқиқот

Модели механикӣ чӣ гуна сохта шуд?

Муҳаққиқон хатҳои қатшавии амудӣ ва диагоналии сохтори Kresling-ро ҳамчун унсурҳои фермаи деформатсияшавандае модел мекунанд, ки қувваи меҳвариро мебардоранд. Хатҳои қатшавии асосҳои бисёркунҷаи поёнӣ ва болоӣ бошад, сахт қабул карда мешаванд.

Барои ҳар як ҳуҷайраи Kresling ду дараҷаи асосии озодӣ муайян карда мешавад: баландии ҳуҷайра h_i ва кунҷи гардиш γ_i. Баландии умумии занҷири n-қабата h ҳамчун параметри идомадиҳӣ барои пайгирии роҳҳои мувозинат истифода мешавад.

Деформатсияи меҳварии нормализатсияшудаи занҷир чунин муайян мешавад:

\[ \tilde{u}=-\frac{h-nh^{(0)}}{nh^{(0)}} \]

Тибқи ин таъриф қиматҳои калонтарини \(\tilde{u}\) ба фишурдашавии бештари меҳварӣ мувофиқат мекунанд.

Энергияи деформатсияи чандир аз дарозшавӣ ва кӯтоҳшавии унсурҳои фермаи амудӣ ва диагоналӣ ҳисоб карда мешавад. Баробар будани ҷамъбасти баландии қабатҳо ба баландии умумии занҷир тавассути зарбкунандаи Lagrange ба система ворид карда мешавад. Ин зарбкунандаи Lagrange ҳамзамон маънои физикии қувваи реаксияи меҳварии система F-ро мегирад.

Барои пешгирӣ аз он ки баландии ҳуҷайра аз ҷиҳати физикӣ ба қиматҳои манфӣ гузарад, ба модел инчунин энергияи ҷаримавии ҳамворшуда илова мешавад. Дар таҳлилҳои ададӣ барои қувваи ҷарима P = 1 ва барои коэффисиенти ҳамворкунӣ тақрибан ε ≈ 10^-3 истифода мешавад.

Мувозинат ва устуворӣ чӣ гуна муайян шуданд?

Ҳосилаҳои энергияи умумии потенсиалӣ нисбат ба дараҷаҳои озодии дахлдор ба сифр баробар карда шуда, системаи алгебравии мувозинат сохта мешавад. Роҳҳои мувозинат ва нуқтаҳои критикӣ бо AUTO 07P — барномаи таҳлили идомадиҳӣ ва бифуркатсия — пайгирӣ мешаванд.

Устувор ё ноустувор будани шохаи мувозинат тавассути мусбат-муайян будани матритсаи проексияшудаи Ҳессиани энергияи умумии потенсиалӣ арзёбӣ мешавад. Сатҳи энергияи маҳаллан мусбат-муайян мувозинати устуворро нишон медиҳад, дар роҳҳои ноустувор бошад, система метавонад ба шохаи дигари устувори дорои энергияи камтар ҷаҳад.

Натиҷаҳои асосии ададӣ

Фарзияҳои муҳими модел кадоманд?

Барои дуруст шарҳ додани натиҷаҳои таҳқиқот маҳдудиятҳои моделро низ бояд дид. Равиши ба ферма асосёфта энергияи дарозшавӣ-кӯтоҳшавии меҳварии унсурҳои қатшавӣ ва канориро ифода мекунад; хамшавӣ ва каҷшавии панелҳои секунҷаро ошкоро модел намекунад.

Барои унсурҳои ферма рафтори чандирии хаттӣ фарз карда мешавад. Дар таҳлили занҷир ҳуҷайраҳо якхела ва ҳамсон қабул мешаванд. Соиш ва ҷозиба ба ҳисоб гирифта намешаванд. Роҳҳои мувозинат дар доираи фарзияи раванди квазистатикӣ омӯхта мешаванд ва динамикаи ғайрихаттии воқеии гузаришҳои snap-through ҳал карда намешавад.

Аз ин рӯ, натиҷаҳо натиҷаҳои назариявӣ-ададие мебошанд, ки сохтори асосии геометрӣ ва механикии бифуркатсияи меъмории бисёрқабатаи Kresling-ро шарҳ медиҳанд. Таъсирҳое ба монанди таҳаммулҳои истеҳсолии воқеӣ, ғайрихаттӣ будани мавод, соиш, хамшавии панел ва гузаришҳои динамикӣ бояд алоҳида арзёбӣ шаванд.

Ёддошт оид ба Манбаъ ва Усул

Таҳқиқоти аслӣ: Nonlinear Mechanics and Predictable Bifurcation of Multi-Cell Kresling Origami Chains

Муаллифон: Songlin Yue, Leo de Waal, David Garcia Cava, Marcelo A. Dias

Муассисаҳо: Institute for Infrastructure and Environment, School of Engineering, The University of Edinburgh; Civil, Environmental and Geomatic Engineering, Faculty of Engineering Sciences, University College London.

Навъи манбаъ: Мақолаи таҳқиқотӣ / preprint.

Ҳолати тақриз: Дар PDF таҳқиқот ошкоро бо ибораҳои “Preprint submitted to Elsevier” ва “This preprint research paper has not been peer reviewed” тавсиф шудааст. Аз ин рӯ, ин кор набояд ҳамчун мақолаи ниҳоии нашршуда ва аз тақриз гузашта арзёбӣ шавад.

SSRN: Abstract No. 6963940.

Усул: Моделсозии қатҳои Kresling ҳамчун унсурҳои ферма; формулировкаи энергияи потенсиалӣ; маҳдудияти баландии умумӣ бо зарбкунандаи Lagrange; энергияи ҷаримавии ҳамворшуда; таҳлили идомадиҳӣ ва бифуркатсия бо AUTO 07P; арзёбии устуворӣ бо матритсаи проексияшудаи Ҳессиан.

Дастрасии маълумот: Муаллифон изҳор мекунанд, ки маълумот бо дархост пешниҳод мешавад.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор мекунанд, ки ягон манфиати молиявии рақобаткунанда ё муносибати шахсии маълум, ки метавонад ба таҳқиқот таъсир расонад, вуҷуд надорад.

Ёддошти арзёбии Verianla: Нуқтаи қавии таҳқиқот дар он аст, ки байни рафтори қувва-деформатсияи як ҳуҷайраи Kresling ва шабакаи мураккаби бифуркатсияи занҷири бисёрқабата робитаи систематикӣ муқаррар мекунад. Махсусан гурӯҳбандии ҳолатҳо барои системаи n-қабата ва баровардани траекторияҳои мунтазами геометрии нуқтаҳои критикӣ аз ҷиҳати ҳисоббарорӣ ва тарҳрезии баръакс қобили таваҷҷуҳанд. Бо вуҷуди ин, таҳқиқот кори прототипие нест, ки тасдиқи физикии таҷрибавӣ пешниҳод кунад; натиҷаҳо бояд дар доираи модели фермаи истифодашуда, фарзияи ҳуҷайраҳои ҳамсон, чандирии хаттӣ ва таҳлили квазистатикӣ арзёбӣ шаванд.

Ёддошти садоқат ба манбаъ: Ин матни Verianla бо ҳифзи ҳадҳои геометрӣ, усулҳо, фарзияҳои модел ва мақоми preprint-и дар манбаъ зикршуда омода шудааст, бе он ки иддаоҳои илмии таҳқиқот ба сатҳи натиҷаҳои аз тақриз гузашта ё таҷрибавӣ тасдиқшуда боло бурда шаванд.