Ин таҳқиқот усули ҳамҷойгузории мавҷакҳои Haar-ро барои ҳисоб кардани ҷараёнҳои гиперсадоӣ, ки дар онҳо тағйироти хеле шадид ба монанди мавҷҳои зарба, қабатҳои буриш ва таъсири мутақобилаи мавҷи зарба/қабати сарҳадӣ мавҷуданд, таҳия кардааст. Усул ба муодилаҳои сеандозаи фишурдашавандаи Navier–Stokes татбиқ шуда, интегратсияи вақти Runge–Kutta-и тартиби сеюм истифода шудааст. Муҳаққиқон усулро дар гирдоби изентропии муддати дароз интиқолёбанда, қабати омехтаи Mach 7,5, гузариши сеандозаи қабати сарҳадии Mach 6 ва кунҷи фишурдани Mach 6 санҷидаанд. Натиҷаҳо нишон медиҳанд, ки усул метавонад тағйироти тезро бе тавлиди ларзишҳои сунъии навъи Gibbs дар атрофи нопайвастагӣ ифода кунад, ноустувориҳои амплитудаи хурдро бо хомӯшшавии ададии ниҳонӣ пахш накунад ва дар намунаҳои интихобшудаи гиперсадоӣ ташаккули гирдоб, гузариши ҷараён ва градиентҳои ҳароратии назди деворро аз нав тавлид кунад. Бо вуҷуди ин, арзёбиҳо асосан ба муқоисаҳои сифатии сохторҳои ҷараён такя мекунанд; ченкунии таҷрибавӣ, нормаи муфассали хато ва муқоисаи миқдорӣ бо усулҳои муосири гирифтани зарба дар хароҷоти баробари ҳисоббарорӣ пешниҳод нашудааст.

Бартарии асосии мавҷакҳои Haar дар он аст, ки онҳо пояи қисман доимие доранд, ки табиатан ба функсияҳои зинамонанд ё тезтағйирёбанда мутобиқ мешавад. Пояҳои классикии глобалии спектралӣ метавонанд дар атрофи нопайвастагӣ ларзишҳои басомади баландеро ба вуҷуд оранд, ки дар ҳалли воқеӣ вуҷуд надоранд. Пояи Haar бошад, дар мисоли функсияи зинавии Heaviside-и таҳқиқот ҳосилаҳои якум ва дуюмро бе ларзишҳои Gibbs ифода кардааст. Усул дар минтақаҳое, ки градиенти қавӣ надоранд, паҳншавии ададии ниҳонӣ илова намекунад; дар минтақаҳое, ки ба устуворӣ ниёз доранд, ба монанди таъсири мутақобилаи зарбаҳо, вискозияти сунъии ошкорро истифода мебарад, ки бо нозуктар шудани шабака коҳиш меёбад.

Арзёбӣ аз нуқтаи назари Туркия: Усул метавонад ба зерсохторҳои динамикаи ҳисоббарории моеъҳо, ки дар Туркия барои воситаҳои ҳавоии гиперсадоӣ, системаҳои бозгашт ба атмосфера, аэротермодинамикаи суръати баланд, гузариши қабати сарҳадӣ, таъсири мутақобилаи мавҷи зарба/сатҳ ва таҳқиқоти системаҳои муҳофизати ҳароратӣ таҳия мешаванд, мутобиқ карда шавад. Барои истифода дар донишгоҳҳо, марказҳои тадқиқотӣ ва ташкилотҳои ҳавонавардӣ-кайҳонӣ алгоритм бояд ба ҳалкунандаҳои маҳаллӣ татбиқ шавад, бо тестҳои кушодаи истинодӣ аз нав тавлид гардад, нисбат ба нақби бодӣ ё додаҳои таҷрибавии нашршуда санҷида шавад, самаранокии ҳисоббарории параллелӣ чен карда шавад ва бо усулҳои WENO, TENO, ҳаҷми ниҳоӣ ё Galerkin-и нопайваста дар ҳамон шабака ва сатҳи хато муқоиса карда шавад. Азбаски таҳқиқот геометрияи воситаи дар Туркия таҳияшуда, озмоиши маҳаллии парвоз, системаи мавод ё тарҳи амалиётиро таҳқиқ накардааст, натиҷаи хоси Туркия дар бораи самаранокӣ, бехатарӣ ё хароҷотро мустақиман баровардан мумкин нест.

Чаро ҳалли ададии ҷараёнҳои гиперсадоӣ душвор аст?

Дар майдонҳои ҷараёни гиперсадоӣ миқёсҳои фазоии хеле гуногун метавонанд ҳамзамон вуҷуд дошта бошанд. Дар ҳоле ки дарозии умумии як восита бо метрҳо ифода мешавад, тағйирот дар қабати зарба метавонад дар миқёси микрометр рух диҳад. Дар таҳқиқот гуфта мешавад, ки паҳнои маъмулии зарба метавонад тақрибан дар сатҳи 7–9 микрометр бошад ва тағйирёбандаҳои термодинамикӣ дар ҳамин минтақаи хеле танг ҷаҳиши ногаҳонӣ нишон диҳанд.

Дар ҳамон майдони ҷараён сохторҳои зерин метавонанд якҷоя вуҷуд дошта бошанд:

• Мавҷҳои зарба,
• Минтақаҳои фишурдан ва васеъшавӣ,
• Қабатҳои буриш,
• Таъсири мутақобилаи зарба-зарба,
• Таъсири мутақобилаи мавҷи зарба/қабати сарҳадӣ,
• Мавҷҳои ноустувории амплитудаи хурд,
• Сохторҳои гузариши ламинарӣ-турбулентӣ,
• Градиентҳои хеле қавии ҳарорат ва зичӣ дар назди девор.

Барои он ки усули ададӣ зарбаро устувор ҳал кунад, бояд ларзишҳои сунъиро дар атрофи тағйироти тез пахш намояд. Аммо паҳншавии аз ҳад зиёди ададӣ метавонад мавҷҳои амплитудаи хеле хурдеро низ, ки гузаришро оғоз мекунанд, хомӯш кунад. Аз ин рӯ, дар ҳисобҳои гузариши гиперсадоӣ ду талаб бо ҳам рақобат мекунанд: устуворӣ дар атрофи зарба ва хомӯшшавии кам дар минтақаҳои ҳамвор.

Душвориҳои асосии усулҳои мавҷуда

Усулҳои ENO, WENO ва TENO аз оилаи фарқҳои ниҳоӣ дар ҷараёнҳои зарбадор ба таври васеъ истифода мешаванд. Ин усулҳо бо тағйир додани қолаби ҳисоббарорӣ ё вазнҳо мувофиқи ҳамвории ҳал ларзишҳоро дар атрофи нопайвастагӣ маҳдуд мекунанд. Усулҳои компактии фарқҳои ниҳоӣ бошанд, дар минтақаҳои ҳамвор метавонанд ҳаллу фасли наздик ба спектралиро таъмин кунанд.

Усулҳои унсури ниҳоӣ ва Galerkin-и нопайваста ба геометрияҳои мураккаб ва шабакаҳои номунтазам осонтар татбиқ мешаванд. Аммо дар унсурҳои тартиби баланд барои гирифтани зарба вискозияти сунъии вобаста ба сенсор ё дигар механизмҳои устуворӣ лозим мешавад. Илова бар ин, барои ҳал кардани мавҷҳои гузариш бо рақами баланди Mach дар ҳар унсур шумораи зиёди дараҷаҳои озодӣ талаб шуда метавонад.

Усулҳои классикии спектралӣ дар функсияҳои ҳамвор бо шумораи ками дараҷаҳои озодӣ метавонанд дақиқии баланд диҳанд. Вале пояи глобалии тригонометрӣ ё полиномӣ дар атрофи нопайвастагӣ аз сабаби падидаи Gibbs ларзишҳои сунъӣ ба вуҷуд меорад. Филтркунии қавӣ ё паҳншавии сунъӣ метавонад ин ларзишҳоро кам кунад, аммо метавонад боиси аз байн рафтани ноустувориҳои хурди физикӣ гардад.

Равиши мавҷакӣ чиро тағйир медиҳад?

Усулҳои мавҷакӣ ба ҷойи фарз кардани як ҳамвории глобалӣ, шаклҳои мавҷаки асосиро, ки ба миқёсҳо ва ҷойҳои гуногун кӯчонда шудаанд, истифода мебаранд. Ҳамин тавр, ҳам иттилооти ҷойгиршавии фазоӣ ва ҳам иттилооти миқёс нигоҳ дошта мешавад. Агар сохтори маҳаллӣ дар ҳал ба пояи мавҷакӣ монанд бошад, он метавонад бо шумораи ками коэффисиентҳо ифода шавад.

Мавҷаки Haar соддатарин оилаи мавҷакҳост. Шакли асосии он дар як фосилаи муайян +1, дар фосилаи ҳамсоя −1 ва дар минтақаҳои дигар сифр аст. Ин сохтори қисман доимӣ ва нопайваста табиатан барои гузаришҳои тези монанд ба зарба муносиб аст.

Саҳмҳои аслии таҳқиқот зери се унвон пешниҳод шудаанд:

1. Таҳияи формулаи пурраи математикии усули ҳамҷойгузории мавҷакҳои Haar барои муодилаҳои сеандозаи фишурдашавандаи Navier–Stokes,
2. Нишон додани он ки усул хомӯшшавии ададии ниҳонӣ ба вуҷуд намеорад, бо тести гирдоби дарозмуддат,
3. Татбиқи он ба ҷараёнҳои гиперсадоӣ ба монанди қабати буриши Mach 7,5, гузариши қабати сарҳадии Mach 6 ва кунҷи фишурдани Mach 6.

Падидаи Gibbs чист?

Падидаи Gibbs ларзишҳои сунъиест, ки ҳангоми бо пояҳои ҳамвор ва глобалӣ тақрибан ифода кардани функсияи нопайваста дар атрофи нуқтаи ҷаҳиш ба вуҷуд меоянд. Бо зиёд шудани шабака ё шумораи аъзоҳо минтақаи ишғолкардаи ларзишҳо метавонад танг шавад; аммо амплитудаи қулла метавонад пурра аз байн наравад.

Дар таҳқиқот барои ифода кардани тағйирёбандаи термодинамикие, ки дар тӯли зарба ногаҳон тағйир меёбад, функсияи зинавии Heaviside истифода шудааст:

\[ H_s(x)= \begin{cases} 1, & x\geq 0{,}5,\\ 0, & x<0{,}5. \end{cases} \]

Ҳосилаи дуюми функсия дар пояи мавҷакҳои Haar:

\[ \frac{d^2H_s}{dx^2}=\sum_{j=1}^{2M}a_jh_j(x) \]

дар ин шакл ифода шудааст. Дар ин ҷо \(h_j(x)\) функсияҳои пояи Haar ва \(a_j\) коэффисиентҳои мавҷакро нишон медиҳанд.

Пас аз ду маротиба интегратсия:

\[ H_s=Q\mathbf{a}+Ax+B \]

ифода ҳосил мешавад. Ҳангоми истифодаи шартҳои сарҳадӣ, вектори коэффисиент:

\[ \mathbf{a}=\left[Q-xQ\big|_{x=1}\right]^{-1}(H_s-x) \]

ба ин шакл ҳисоб карда мешавад.

Дар Шакли 1 усули Haar бо усули ҳамҷойгузории Chebyshev муқоиса шудааст. Ҳалли Chebyshev дар ду тарафи нопайвастагӣ ва махсусан дар ҳосилаи дуюм ларзишҳои сунъии хеле калон тавлид мекунад, дар ҳоле ки усули Haar ин ларзишҳоро нишон намедиҳад. Ин бартарии асосии математикиест, ки таҳқиқот аз нуқтаи назари ҷараёнҳои гиперсадоӣ ба он такя мекунад.

Пояи мавҷакҳои Haar чӣ гуна муайян шудааст?

Дар фосилаи \(x\in[0,1]\) як мавҷаки Haar:

\[ h_i(x)= \begin{cases} 1, & x\in[\xi_1,\xi_2),\\ -1, & x\in[\xi_2,\xi_3),\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases} \]

ба ин шакл аст. Ҳудудҳои зерфосила:

\[ \xi_1=\frac{k}{m},\qquad \xi_2=\frac{k+0{,}5}{m},\qquad \xi_3=\frac{k+1}{m} \]

дода мешаванд. \(m=2^j\) сатҳи васеъшавӣ ва \(k\) ҷойи мавҷакро дар фазо муайян мекунад. Бо баланд шудани сатҳи ҳал \(J\), функсияҳои Haar-и миқёси хурдтар илова мешаванд ва шумораи умумии мавҷакҳои ифодашаванда меафзояд.

Шакли B.8 се мавҷаки аввалини Haar-ро нишон медиҳад. Функсияи аввал дар тамоми фосила доимӣ аст, дар ҳоле ки функсияҳои баъдӣ дар фосилаҳои хурдтар қиматҳои +1 ва −1 мегиранд. Ин сохтори иерархӣ имкон медиҳад хусусиятҳои миқёси калон ва хурд дар як поя ифода шаванд.

Чаро ҳосилаи баландтарин мустақиман бо мавҷакҳо ифода шудааст?

Азбаски функсияҳои Haar нопайвастаанд, гирифтани ҳосилаи онҳо ба маънои классикӣ муносиб нест. Дар таҳқиқот ин масъала баръакс ҳал шудааст: ҳосилаи тартиби баландтарин дар муодилаи дифференсиалӣ дар пояи Haar навишта шуда, баъд ин ифода тавассути интегратсия ба функсияи аслӣ табдил дода шудааст.

Интеграли \(r\)-каратаи функсияи Haar:

\[ h_{r,i}(x)=\int_0^x\int_0^x\cdots\int_0^x h_i(t)\,dt^r \]

муайян шудааст. Ҳамин тавр, ба ҷойи мустақим гирифтани ҳосилаи пояи нопайваста, матритсаҳои интегралии ба таври аналитикӣ муайяншуда истифода шудаанд.

Муодилаҳои сеандозаи Navier–Stokes

Усул ба муодилаҳои сеандозаи фишурдашавандаи Navier–Stokes барои гази калориявии комил татбиқ шудааст:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial t} +\frac{\partial\mathbf{F}_i}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_i}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_i}{\partial z} = \frac{\partial\mathbf{F}_v}{\partial x} +\frac{\partial\mathbf{G}_v}{\partial y} +\frac{\partial\mathbf{H}_v}{\partial z}. \]

Вектори тағйирёбандаҳои нигоҳдошташаванда:

\[ \mathbf{w}=(\rho,\rho u,\rho v,\rho w,E)^T \]

дода шудааст. Дар ин ҷо \(\rho\) зичӣ, \(u\), \(v\) ва \(w\) ҷузъҳои суръати декартӣ ва \(E\) зичии умумии энергия мебошад.

Фишор:

\[ p=(\gamma-1)\left[E-\frac{1}{2}\rho(u^2+v^2+w^2)\right] \]

бо ин муносибат ба даст оварда мешавад.

Тензори шиддати вискозӣ:

\[ \sigma_{ij}=\mu\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} +\frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) -\frac{2}{3}\mu\delta_{ij} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \]

ва ҷараёни гармӣ:

\[ q_i=-k\frac{\partial T}{\partial x_i} \]

муайян шудаанд.

Гузаронандагии гармӣ ва ҳарорат:

\[ k=\frac{C_p\mu}{Pr},\qquad T=\frac{p}{R\rho} \]

бо ин муносибатҳо ҳисоб шудаанд. Барои вискозият қонуни дараҷавии вобаста ба ҳарорат истифода шудааст:

\[ \frac{\mu}{\mu_{ref}}= \left(\frac{T}{T_{ref}}\right)^\omega \]

ва дар манбаъ қиматҳои \(\mu_{ref}=1{,}716\times10^{-5}\), \(T_{ref}=273\) ва \(\omega=0{,}7\) дода шудаанд. Воҳиди вискозият дар муодилаи манбаъ алоҳида навишта нашудааст.

Дискретизатсияи фазоӣ чӣ гуна анҷом дода шудааст?

Ҳисоб дар координатаҳои \((\xi,\eta,\zeta)\) иҷро шуда, барои се самт сатҳҳои мустақили ҳал \(I\), \(J\) ва \(K\) истифода шудаанд. Дар ҳар қадами вақт коэффисиентҳои Haar-и тағйирёбандаҳои нигоҳдошташаванда дар се самт алоҳида ҳисоб карда мешаванд.

Вектори коэффисиент дар самти \(\xi\) ҳамчун намуна:

\[ \mathbf{a}_{\xi} =MQ_{\xi}^{-1} \left[ \mathbf{w}-\mathbf{w}_L -\xi(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \right] \]

дода шудааст. Дар ин ҷо \(\mathbf{w}_L\) ва \(\mathbf{w}_R\) қиматҳои сарҳадии чап ва рост дар самти дахлдор мебошанд.

Ҳосилаи якум:

\[ \frac{\partial\mathbf{w}}{\partial\xi} =MP_\xi\mathbf{a}_\xi +(\mathbf{w}_R-\mathbf{w}_L) \]

ва ҳосилаи дуюм:

\[ \frac{\partial^2\mathbf{w}}{\partial\xi^2} =MH_\xi\mathbf{a}_\xi \]

ҳисоб шудаанд. Ҳосилаҳо дар координатаҳои ҳисоббарорӣ баъд тавассути табдили шабакаи истифодашуда ба ҳосилаҳои физикии \(x\), \(y\) ва \(z\) табдил дода шудаанд.

Интегратсияи вақт

Дар таҳқиқот усули Runge–Kutta-и тартиби сеюм истифода шудааст:

\[ \mathbf{w}_1= \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_0}{\partial t} +\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_2= \frac{1}{4} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_1}{\partial t} +\mathbf{w}_1 \right) +\frac{3}{4}\mathbf{w}_0 \]

\[ \mathbf{w}_3= \frac{2}{3} \left( \Delta t\frac{\partial\mathbf{w}_2}{\partial t} +\mathbf{w}_2 \right) +\frac{1}{3}\mathbf{w}_0. \]

\(\mathbf{w}_0\) ҳалли қадами пешини вақтро ифода мекунад. Дар ҳар намунаи тасдиқ қадами вақт мувофиқи рақами CFL-и нишондодашуда муайян шудааст.

Оё усул воқеан ҳеҷ гуна паҳншавии сунъиро истифода намекунад?

Дар таҳқиқот бояд ду мафҳуми ҷудогона фарқ карда шаванд:

• Пешниҳод мешавад, ки аз сохтори худи дискретизатсияи Haar паҳншавии ададии ниҳонӣ ба вуҷуд намеояд.
• Дар ҳисобҳое, ки зарба ё градиенти қавӣ доранд, барои устуворӣ вискозияти сунъии ошкор илова мешавад.

Коэффисиенти вискозияти сунъии ошкор баръакс мутаносиб ба ҳалли шабака интихоб шудааст. Аз ин рӯ, ҳадаф он аст, ки бо нозуктар шудани шабака вискозияти сунъӣ коҳиш ёбад. Аммо дар манбаъ рӯйхати муфассали коэффисиентҳои барои ҳамаи тестҳо истифодашуда, шакли сенсор ё таҳлили ҳассосият ба сифати ҳал дода нашудааст. Аз ин рӯ, ибораи “ҳеҷ паҳншавии ададӣ вуҷуд надорад” танҳо ба рафтори ниҳонии усул дахл дорад; дар тестҳои градиенти қавӣ аъзои ошкори устуворкунанда истифода шудааст.

Аҳамияти матритсаҳои H, P ва Q

Дар равиши Haar, \(H\) қиматҳои поя, \(P\) интегралҳои якум ва \(Q\) интегралҳои дуюмро ифода мекунанд. Азбаски ҳосилаи баландтарини фазоӣ дар муодилаҳои Navier–Stokes тартиби дуюм аст, матритсаи \(Q\) сатҳи пасттарини интеграли зарурӣ мебошад.

Шакли 2 ва Шакли 3 унсурҳои ғайрисифрии ин матритсаҳо ва матритсаҳои баръакси онҳоро нишон медиҳанд. Матритсаҳои пешрави \(H\) ва \(P\) хеле парокандаанд. \(Q\) ва махсусан матритсаҳои баръаксе, ки дар ҳисобкунии коэффисиент истифода мешаванд, зичтаранд. Матритсаи \(H\) ортогоналӣ аст; пас аз интегратсия ин хусусият аз байн меравад.

Татбиқи мавҷуда барои нишон додани дақиқӣ зарби матритса-вектори зичро истифода кардааст. Хароҷоти ҳисоббарории ин татбиқ дар ҳар самти фазоӣ тақрибан:

\[ O(N_i^2) \]

дар ҳамин миқёс аст ва самаранокии параллелӣ маҳдуд мебошад. Муҳаққиқон мегӯянд, ки табдилҳои тези мавҷак метавонанд ин хароҷотро назариявӣ ба:

\[ O(N_i) \]

тартиб коҳиш диҳанд. Аммо алгоритми тез дар ин таҳқиқот татбиқ ва чен карда нашудааст; ҳамчун самти рушди оянда пешниҳод шудааст.

Тести якум: Гирдоби изентропии дарозмуддат

Тести якум барои чен кардани паҳншавии ададии ниҳонии усул санҷидааст, ки оё як гирдоби изентропии статсионарӣ дар муддати дароз нигоҳ дошта мешавад. Дар ин масъалаи ҳамвор ва дорои ҳалли дақиқи маълум, паҳн шудани гирдоб бо вақт ё кам шудани қимати қулла метавонад мустақиман ҳамчун нишондиҳандаи паҳншавии ададӣ тафсир шавад.

Ҷараёни миёна:

\[ \rho=1,\qquad p=1,\qquad u=U_\infty,\qquad v=V_\infty \]

муайян шуда, барои ҳолати статсионарӣ \(U_\infty=V_\infty=0\) гирифта шудааст.

Пертурбатсияҳои суръати гирдоб:

\[ (\delta u,\delta v)= \frac{\beta}{2\pi} e^{0{,}5(1-r^2)} (-\bar{y},\bar{x}) \]

ва пертурбатсияи ҳарорат:

\[ \delta T= -\frac{(\gamma-1)\beta^2} {8\gamma\pi^2} e^{1-r^2} \]

дода шудаанд. Пертурбатсияи энтропия сифр аст.

Дар Шакли 4 профилҳои зичии хати марказӣ дар се вақт тақрибан пурра болои ҳам меоянд. Муҳаққиқон инро далели он донистаанд, ки усул дар давоми 100 воҳиди вақт гирдобро бо паҳншавии ниҳонӣ вайрон накардааст.

Бо вуҷуди муҳим будани ин натиҷа, дар таҳқиқот нормаҳои хатои \(L_1\), \(L_2\) ё \(L_\infty\) дода нашудаанд. Болои ҳам омадани визуалии каҷҳо нишон медиҳад, ки сохтори физикӣ нигоҳ дошта шудааст, аммо андозаи дақиқи хатои ададиро намедиҳад.

Тести дуюм: Қабати буриши гиперсадоии Mach 7,5

Намунаи дуюм қабати омехтаи дуандозаест, ки байни ду ҷараёни дорои суръат ва зичии гуногун инкишоф меёбад. Профили суръати воридшавӣ шакли тангенси гиперболӣ дорад:

\[ u(y)= \frac{U_1+U_2}{2} +\frac{U_1-U_2}{2} \tanh\left(\frac{2y}{\delta_\omega}\right). \]

Гузариш бо пертурбатсияҳои суръат дар самти амудӣ ба девор оғоз шудааст:

\[ v'= \sum_{k=1}^{2} a_k \cos\left(\frac{2\pi kt}{T}+\phi_k\right) \exp\left(-\frac{y^2}{b}\right). \]

Дарозии мавҷ \(\lambda=30\), амплитудаҳои ду мод \(a_1=a_2=0{,}05\), фазаҳо \(\phi_1=0\) ва \(\phi_2=\pi/2\), ва параметри паҳноӣ \(b=10\) интихоб шудаанд.

Рақами конвективии Mach-и 1,2 режимеро ба вуҷуд овардааст, ки барои ташаккули сохторҳои хурди зарба дар дохили қабати буриш муносиб аст. Дар ин тест вискозияти сунъии ошкор истифода шуда, коэффисиент бо баланд шудани ҳалли шабака кам карда шудааст.

Дар Шакли 5 рушди ноустувории Kelvin–Helmholtz дар майдони зичӣ дида мешавад:

1. Пертурбатсияҳои ибтидоӣ дар самти ҷараён меафзоянд.
2. Қабати буриш мавҷнок шуда, ба гирдобҳои печанда табдил меёбад.
3. Гирдобҳои ҳамсоя ҷуфт шуда, сохторҳои калонтар ба вуҷуд меоранд.
4. Ғафсии қабати омехта дар самти ҷараён меафзояд.

Ин натиҷа нишон медиҳад, ки усул метавонад тағйироти тези монанд ба зарба ва ноустувориҳои физикии амплитудаи пастро дар як ҳисоб ифода кунад. Аммо дар таҳқиқот барои суръати афзоиши гирдоб, ғафсии қабати омехта ё басомади бартаридошта муқоисаи миқдории хато бо ҳалли истинодӣ дода нашудааст.

Тести сеюм: Гузариши қабати сарҳадии Mach 6

Тести сеюм табдил ёфтани қабати сарҳадии сеандозаи гиперсадоӣ дар рӯи сатҳи ҳамворро аз мавҷҳои ноустуворӣ ба сохторҳои гузариш меомӯзад. Масъала ба конфигуратсияи истинодии Mach 6, ки қаблан нашр шудааст, асос ёфтааст.

Манбаъ ҳолати \(T_w/T_\infty=6{,}5\)-ро нисбат ба шароити парвози гиперсадоӣ ҳамчун девори сахт хунукшуда тавсиф мекунад. Дар ин ҷо “хунукшуда” бояд нисбат ба ҳарорати адиабатӣ ё барқароршавӣ, ки метавонад хеле баландтар бошад, тафсир шавад, на нисбат ба ҳарорати статикии ҷараёни озод.

Барои барангехтани гузариш дар сатҳ маҷбуркунии суръат дар шакли макиш-пуфкунӣ истифода шудааст:

\[ v_w=f(x)g(z) \sum_{i=1}^{2} A_i\sin(\omega_it-\beta_iz). \]

Минтақаи маҷбуркунӣ:

\[ 15\leq\frac{x-x_0}{\delta_0^*}\leq20 \]

дар ҳамин фосила аст. Маркази пардаи Gaussian дар самти ҷараён \(17{,}5\delta_0^*+x_0\), паҳнои он \(0{,}75\delta_0^*\) интихоб шудааст. Барои ду модули моил:

• Амплитуда \(A=0{,}05U_\infty\),
• Басомад \(\omega=0{,}9c_\infty/\delta_0^*\),
• Рақамҳои мавҷӣ дар самти паҳлуӣ \(\beta=\pm0{,}3/\delta_0^*\)

дода шудаанд.

Шакли 6 градиентҳои нормализатсияшудаи зичиро дар ҳамвории параллел ба девор ва изосатҳҳои меъёри Q нишон медиҳад. Дар қисми аввали тасвир сохторҳои тартибнок ва наздик ба самти ҷараён мавҷуданд, дар ҳоле ки дар минтақаи баъдӣ сохторҳои гирдобӣ зиёд мешаванд, хам мешаванд ва ба шабакаи мураккаби сеандоза табдил меёбанд.

Муҳаққиқон ин рушдро бо механизмҳои зерин вобаста кардаанд:

• Афзоиши мавҷҳои ноустувории моил,
• Таъсири мутақобилаи ғайрихаттии модҳо,
• Ташаккули гирдобҳои самти ҷараён,
• Пайдо шудани сохторҳои гузариши сеандоза,
• Оғози марҳилаи аввали вайроншавӣ.

Таҳқиқот хусусиятҳои омории турбулентии пурра рушдёфта ё зиёдшавии ҷараёни гармии сатҳиро ба таври миқдорӣ намеомӯзад. Натиҷаи нишон додашуда тасдиқи сифатӣ аст, ки усул метавонад сохторҳои асосии ҷараёни гузаришро тавлид кунад.

Тести чорум: Кунҷи фишурдани Mach 6

Тести охирин майдони ҷараёни сеандозаест, ки пас аз лавҳаи ҳамвор як рампаи фишурдани майлаш 8° ҷойгир аст. Оғози рампа бо радиуси хурд мудаввар карда шудааст. Ин конфигуратсия масъалаи классикии аэродинамикаи суръати баланд аст, ки таъсири мутақобилаи мавҷи зарба/қабати сарҳадӣ ва градиентҳои қавии ҳароратӣ дар назди девор ҳамзамон мавҷуданд.

Шарти воридшавӣ аз ҳалли пешакии алоҳидаи лавҳаи ҳамвор тавлид шудааст. Ин майдони пешакӣ пертурбатсияҳои сеандозаро дар воридшавӣ пайваста таъмин мекунад. Барои кам кардани рафтори аз ҳад зиёди гузарои ибтидоӣ, майдони дохилӣ бо профили ҳамвор ва монанд ба қабати сарҳадӣ, ки бо фишор мувофиқ аст, оғоз карда шудааст.

Дар Шакли 7 майдони ҳарорат дар ҳамвории симметрия нишон дода шудааст. Дар болои лавҳаи ҳамвор қабати гармии назди девор инкишоф меёбад. Вақте ҷараён ба кунҷ ва рампа мерасад, аз сабаби фишурдан ҳарорат дар атрофи девор меафзояд. Дар идомаи рампа қабати гарм ғафс шуда, градиентҳои қавии ҳарорат дар минтақаи наздик ба сатҳ мутамарказ мешаванд.

Ин тест нишон медиҳад, ки усул метавонад дар геометрияи мураккаб хусусиятҳои сифатии зеринро тавлид кунад:

• Таъсири фишурдан, ки рампа ба вуҷуд меорад,
• Афзоиши ҳарорат дар наздикии девор,
• Вайроншавии қабати сарҳадии ҳароратӣ,
• Давом ёфтани градиентҳои қавӣ пас аз кунҷ,
• Интиқоли пертурбатсияҳои сеандозаи воридшавӣ ба ҷараёни поён.

Бо вуҷуди ин, таҳқиқот барои коэффисиенти фишори сатҳӣ, рақами Stanton, ҷараёни гармӣ, дарозии ҷудошавӣ ё ҷойи зарба муқоисаи миқдорӣ бо таҷриба ё истиноди баландҳал пешниҳод намекунад.

Нуқтаҳои қавии таҳқиқот

• Усули мавҷакҳои Haar ба муодилаҳои сеандозаи фишурдашавандаи Navier–Stokes ба таври систематикӣ татбиқ шудааст.
• Имкони ифода кардани нопайвастагиҳо бе ларзишҳои Gibbs мустақиман тавассути функсияи Heaviside нишон дода шудааст.
• Масъалаҳои тасдиқ аз гирдоби ҳамвор ва статсионарӣ то таъсири мутақобилаи сеандозаи гиперсадоии зарба/қабати сарҳадӣ тадриҷан душвортар карда шудаанд.
• Тести гирдоби дарозмуддат нишон медиҳад, ки сохторҳои амплитудаи паст бо паҳншавии ниҳонӣ пахш намешаванд.
• Дар қабати буриши Mach 7,5 ташаккул ва ҷуфтшавии гирдобҳои Kelvin–Helmholtz тавлид шудааст.
• Дар қабати сарҳадии Mach 6 афзоиши модҳои моил ва сохторҳои гирдоби самти ҷараён ба даст омадаанд.
• Дар кунҷи фишурдани Mach 6 градиентҳои қавии ҳароратии назди девор ҳал шудаанд.
• Сохтори иерархӣ ва парокандаи матритсаҳои Haar роҳи равшани алгоритмиро барои тезонидани оянда пешниҳод мекунад.
• Саҳми муаллифон, бархӯрди манфиатҳо, дастрасии додаҳо ва маълумоти маблағгузорӣ ошкоро дода шудаанд.

Маҳдудиятҳои таҳқиқот

• Таҳқиқот preprint-и аз тақризи ҳамсолон нагузашта мебошад.
• Бо нақби бодии физикӣ ё озмоиши парвоз тасдиқ анҷом дода нашудааст.
• Қисми зиёди чор тест ба арзёбии сифатии визуалии сохторҳои ҷараён такя мекунад.
• Нормаҳои хато, тартиби мушоҳидашудаи наздикшавӣ ва ҷадвалҳои фарогири наздикшавии шабака дода нашудаанд.
• Бо усулҳои WENO, TENO, фарқи компакт ё Galerkin-и нопайваста дар ҳамон шабака ва қадами вақт муқоисаи мустақими дақиқӣ-хароҷот анҷом дода нашудааст.
• Дар тестҳои градиенти қавӣ вискозияти сунъии ошкор истифода шудааст, аммо ҳамаи коэффисиентҳо ва натиҷаҳои ҳассосият ба таври муфассал гузориш нашудаанд.
• Татбиқи мавҷудаи матритсаи зич хароҷоти \(O(N_i^2)\) дорад ва самаранокии параллелӣ маҳдуд аст.
• Алгоритми тези пешниҳодшудаи \(O(N_i)\) татбиқ нашуда ва самаранокии он чен карда нашудааст.
• Шабакаи мутобиқшаванда ё фаъолсозии бисёрҳаллии вақти воқеӣ дар ин таҳқиқот татбиқ нашудааст.
• Тасдиқ дар геометрияҳои мураккаби саноатӣ ё шабакаҳои номунтазам пешниҳод нашудааст.
• Реаксияи химиявӣ, таъсири гази воқеӣ, энергияи ларзишӣ ва физикаи гази ҳарорати баланд ба модел дохил нашудаанд.
• Додаҳо танҳо бо дархост пешниҳод мешаванд; анбори кушодаи код ва бастаи бозтавлид дода нашудааст.

Таҳқиқот чиро дастгирӣ мекунад?

• Пояи Haar метавонад дар нопайвастагиҳои навъи зина ларзишҳои Gibbs-ро пешгирӣ кунад.
• Усули ҳамҷойгузории Haar метавонад сохторҳои ҳамвори ҷараёнро дар муддати дароз бо хомӯшшавии ниҳонии кам нигоҳ дорад.
• Усул метавонад мисолҳоеро, ки дар онҳо зарба ё градиенти қавӣ бо мавҷҳои гузариш ҳамзамон вуҷуд доранд, устувор ҳисоб кунад.
• Дар сатҳҳои интихобшудаи ҳал гирдобҳои Kelvin–Helmholtz ва сохторҳои гузариши қабати сарҳадии гиперсадоӣ тавлид карда мешаванд.
• Сохтори мунтазами парокандагии матритсаҳои Haar метавонад барои алгоритмҳои тез истифода шавад.
• Усул барои ҳисобҳои гузариши гиперсадоӣ алтернативаи арзандаи таҳқиқотӣ мебошад.

Таҳқиқот чиро исбот намекунад?

• Исбот намекунад, ки усули Haar умуман аз WENO, TENO ё дигар усулҳои муосир дақиқтар аст.
• Нишон намедиҳад, ки усул дар ҳамон сатҳи дақиқӣ хароҷоти камтари ҳисоббарорӣ дорад.
• Исбот намекунад, ки дар ҳар гуна шиддати зарба, геометрия ё шарти сарҳадӣ устувор кор мекунад.
• Ба таври таҷрибавӣ нишон намедиҳад, ки ҳангоми истифодаи табдили тези мавҷак татбиқи воқеӣ ба суръати \(O(N)\) мерасад.
• Нишон намедиҳад, ки ҳалли мутобиқшаванда ба таври автоматӣ ва боэътимод кор мекунад.
• Режимҳои гиперсадоии дорои гази воқеӣ, реаксияи химиявӣ ё плазмаро тасдиқ намекунад.
• Самаранокии аэродинамикӣ, ҳароратӣ ё бехатарии парвози воситаи муайяни ҳавоиро ҳисоб намекунад.
• Ҳалкунандаи омода барои тарҳи саноатӣ ё сертификатсия пешниҳод намекунад.

Дар оянда кадом тасдиқҳо лозиманд?

Барои он ки усул аз сатҳи таҳқиқот ба сатҳи ҳалкунандаи умумимақсади гиперсадоӣ гузарад, корҳои зерин муҳиманд:

• Ченкунии систематикии хатои \(L_1\), \(L_2\) ва \(L_\infty\) дар ҳалҳои аналитикии маълум,
• Ҳисоб кардани тартиби мушоҳидашудаи наздикшавӣ дар сатҳҳои гуногуни ҳал,
• Омӯзиши таъсири коэффисиенти вискозияти сунъӣ ба ғафсии зарба ва мавҷҳои гузариш,
• Муқоиса бо усулҳои WENO/TENO дар ҳамон шабака ва шароити CFL,
• Чен кардани вақти CPU/GPU, масрафи хотира ва миқёспазирии параллелӣ,
• Татбиқи табдилҳои тези Haar,
• Таҳияи стратегияи шабакаи мутобиқшавандаи бисёрҳаллӣ,
• Тасдиқ нисбат ба додаҳои фишор, ҷараёни гармӣ ва ҷойи гузариш дар нақби бодӣ,
• Васеъсозӣ бо гази воқеӣ ва термохимияи ҳарорати баланд,
• Татбиқ ба геометрияҳои мураккаби сеандозаи воситаҳо.

Усул ва натиҷаҳои таҳқиқот

Чаҳорчӯбаи методологӣ

Хулосаи муқоисавии чор тест

Маънои илмии шаклҳо

Натиҷаҳои асосӣ

• Пояи Haar дар функсияи тестии нопайвастаи таҳқиқот ларзишҳои ададии навъи Gibbs ба вуҷуд наовардааст.
• Гирдоби изентропии статсионарӣ дар давоми 100 воҳиди вақт бе талафоти намоёни профил нигоҳ дошта шудааст.
• Дар қабати омехтае, ки ҷараёни Mach 7,5 дорад, афзоиши ноустувории физикӣ, печиши гирдобҳо ва ҷуфтшавии гирдобҳо ҳисоб шудааст.
• Дар қабати сарҳадии Mach 6 таъсири мутақобилаи ғайрихаттии модҳои моил ва ташаккули гирдобҳои самти ҷараён аз нав тавлид шудааст.
• Дар рампаи фишурдани Mach 6 афзоиши ҳарорат дар назди девор ва градиентҳои қавии ҳароратӣ ҳал шудаанд.
• Усул дар градиентҳои қавӣ бо вискозияти сунъии ошкор устувор карда шуда, коэффисиенти вискозият бо нозуктар шудани шабака кам карда шудааст.
• Татбиқи кунунии матритсаи зич ба дақиқии физикӣ равона шудааст; самаранокии баланди ҳисоббарорӣ ҳанӯз нишон дода нашудааст.
• Сохтори матритсаҳои Haar барои табдили тез ва ҳалли мутобиқшаванда дар оянда муносиб дониста шудааст.

Тафсири эҳтиёткоронаи натиҷаҳо

Таҳқиқот нишон медиҳад, ки равиши ҳамҷойгузории Haar барои ҷараёнҳои дорои гузариши гиперсадоӣ ва градиентҳои қавӣ қобили татбиқ аст. Ибораи “қобили татбиқ” маънои онро дорад, ки тестҳои интихобшуда ба таври устувор иҷро шудаанд ва сохторҳои асосии физикии интизоршуда тавлид гардидаанд.

Натиҷаҳо ҳанӯз нишон намедиҳанд, ки усул дар маҷмӯъ бартарӣ дорад, тезтар ё дақиқтар аст. Барои ин муқоисаи миқдории хато, вақти ҳисоббарорӣ ва хотира бо усулҳои муосир дар ҳалли баробар лозим аст. Илова бар ин, натиҷаҳои гузариш ва кунҷи фишурдан бояд бо ченкуниҳои таҷрибавии фишор, ҷараёни гармӣ ё ҷойи гузариш санҷида шаванд.

Ёддошт оид ба манбаъ ва усул

Номи пурраи аслии таҳқиқот: A Haar wavelet collocation method for hypersonic flows with strong gradients

Муаллифон: Yu Zhang, Diego Exposito-Brioso ва Xuerui Mao.

Номҳои кӯтоҳшудаи истифодашуда дар таҳқиқот: Y. Zhang, D. Exposito ва X. Mao.

Тартиби муаллифон: Бо ҳамон тартибе, ки дар манбаъ дода шудааст, нигоҳ дошта шудааст.

Муаллифи якуми баробар: Изҳороти саҳми баробар ё муаллифии якуми баробар вуҷуд надорад.

Муаллифони масъул: Diego Exposito-Brioso ва Xuerui Mao.

Суроғаҳои иртиботӣ: dieexbr17@gmail.com ва xmao@bit.edu.cn.

Муассисаи 1: School of Interdisciplinary Science, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Чин.

Муассисаи 2: School of Mechatronical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Чин.

Муассисаи 3: Beijing Institute of Technology (Zhuhai), Zhuhai 519088, Чин.

Муассисаи 4: State Key Laboratory of Explosion Science and Safety Protection, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, Чин.

DOI:10.2139/ssrn.7197528

Пайванди расмии манбаъ:Саҳифаи расмии сабти SSRN

Платформаи нашр: SSRN.

Соли нашр: 2026.

Маҷалла: Дар ин версия номи муайяни маҷаллаи тақризшуда ё маълумоти қабул ба маҷалла вуҷуд надорад.

Ношири тақризшуда: Дар ин версия маълумоти ношири маҷаллаи тақризшуда вуҷуд надорад.

Навъи манбаъ: Мақолаи тадқиқотии preprint бо хусусияти таҳия ва тасдиқи усули ададӣ барои ҷараёнҳои сеандозаи фишурдашаванда.

Ҳолати тақриз: Таҳқиқот аз тақризи ҳамсолон нагузаштааст. Натиҷаҳо бояд бо дарназардошти мақоми preprint ва маҳдудиятҳои зикршудаи тасдиқ арзёбӣ шаванд.

Саҳми Yu Zhang: Усул, нармафзор, тасдиқ, таҳлили формалӣ, таҳқиқот, коркарди додаҳо, навиштани лоиҳаи аслӣ ва визуализатсия.

Саҳми Diego Exposito-Brioso: Консептуализатсия, усул, таҳлили формалӣ, бозбинӣ ва таҳрир, машварат ва таъмини маблағгузорӣ.

Саҳми Xuerui Mao: Таъмини захираҳо, бозбинӣ ва таҳрир, машварат, идоракунии лоиҳа ва таъмини маблағгузорӣ.

Маблағгузорӣ: National Natural Science Foundation of China, Grant No. W2433020.

Бархӯрди манфиатҳо: Муаллифон изҳор кардаанд, ки манфиати молиявии маълум ё муносибати шахсӣ, ки метавонад ба таҳқиқот таъсир расонад, вуҷуд надорад.

Дастрасии додаҳо: Гуфта шудааст, ки додаҳо бо дархост пешниҳод мешаванд. Пайванди анбори кушодаи додаҳо дода нашудааст.

Дастрасии код: Коди кушода, тамғаи версия ё бастаи бозтавлид пешниҳод нашудааст.

Ҳадди методологӣ: Таҳқиқот ба фарзияи гази калориявии комил асос ёфтааст. Гази воқеӣ, номувозинатии термохимиявӣ, реаксияи химиявӣ, ионизатсия ва радиатсия модел нашудаанд. Тасдиқи намунаҳои гиперсадоӣ асосан ба бозтавлиди сифатии сохторҳои интизоршудаи ҷараён такя мекунад.

Ҳадди ҳисоббарорӣ: Татбиқи мавҷуда аз сабаби амалҳои матритсаи зич тақрибан хароҷоти \(O(N_i^2)\) дорад. Алгоритмҳои тези мавҷак бо \(O(N_i)\) ва татбиқи мутобиқшавандаи бисёрҳаллӣ натиҷаи иҷрошуда нестанд, балки пешниҳоди кори оянда мебошанд.

Огоҳии вискозияти сунъӣ: Гарчанде усул иддао мекунад, ки хомӯшшавии ададии ниҳонӣ тавлид намекунад, дар таъсири мутақобилаи зарбаҳои қавӣ вискозияти сунъии ошкор истифода шудааст. Аз ин рӯ, натиҷаҳоро набояд ҳамчун “ҳалли ададии комилан бевискоз” тафсир кард.

Ин мундариҷаи туркӣ бар асоси матн, муодилаҳо, шаклҳо, замимаҳо ва натиҷаҳои таҳқиқоти боршуда омода шудааст. Иддаои муваффақияти таҷрибавӣ, иҷрои парвоз, тарҳи восита, бартарии саноатӣ ё бартарии умумии исботшуда нисбат ба усулҳои дигар, ки дар таҳқиқот вуҷуд надорад, илова нашудааст.