Күнүмдүк интуиция боюнча, эки система бир эле тең салмак абалына карай жылып жатса, башында тең салмакка жакыныраак болгон система максатка мурда жетет деп күтүлөт. Mpemba эффектиси ушул интуицияга каршы келген учурларды сүрөттөйт: классикалык мисалда жылуураак система белгилүү шарттарда муздагыраак системадан мурда тоңушу мүмкүн. Wei-Xuan Chang жана анын кесиптештери бул ойдун башкача кванттык окшошун, чыныгы убакыттын ордуна элестүү-убакыт эволюциясы ичинде изилдеп жатышат.

Изилдөөчүлөр “элестүү-убакыт Mpemba эффектиси” же кыскача ITME деп атаган учурда, баштапкы энергиясы жогору болгон белгилүү бир кванттык көп-денелүү абал, башында төмөн энергияга ээ болгон башка бир абалга караганда негизги абалга ылдамыраак жакындай алат. Сандык Quantum Monte Carlo эсептөөлөрүндө бул жүрүм-турум эки баштапкы абалга таандык энергия ийрилеринин элестүү убакыт өткөн сайын кесилишиши аркылуу түз көрүнөт.

Бул жердеги “элестүү убакыт” чыныгы лабораториялык саатты билдирбейт. \(\tau\) — кванттык абалдын \(e^{-\tau H}\) оператору менен жогорку энергиялуу курамдардан тазаланып, негизги абалга карай проекцияланган математикалык жана сандык эволюция параметри. Ошондуктан изилдөө “жогорку энергиялуу физикалык система чыныгы убакытта ылдамыраак муздайт” деген жыйынтыкты эмес; негизги-абал эсептөөлөрүндө колдонулган элестүү-убакыт проекциясынын баштапкы абалга көз каранды жакындашуу ылдамдыгындагы адаттан тыш жүрүм-турумду билдирет.

Изилдөөнүн эң маанилүү практикалык жыйынтыгы да ушул жерден чыгат: Quantum Monte Carlo сыяктуу негизги-абал ыкмаларында эң төмөн баштапкы энергияга ээ болгон сыноо толкун функциясын тандоо ар дайым эң тез жакындашууну камсыз кыла бербеши мүмкүн. Айрым учурларда бир аз жогору энергиялуу, бирок төмөн энергиялуу козголгон өзабалдар менен азыраак дал келген баштапкы абал негизги абалга кыскараак элестүү убакытта жетиши мүмкүн.

Элестүү-убакыт эволюциясы деген эмне?

Кванттык көп-денелүү системада кадимки Schrödinger эволюциясы чыныгы убакыт \(t\) үчүн унитардык болот. Элестүү-убакыт ыкмасында болсо эволюция параметри катары \(\tau\) колдонулат жана нормалдаштырылган абал үчүн булакта

\[ -\frac{\partial}{\partial\tau}|\psi(\tau)\rangle = \left(\hat H-E_\tau\right)|\psi(\tau)\rangle \]

теңдемеси берилет. Бул жерде

\[ E_\tau= \langle\psi(\tau)|\hat H|\psi(\tau)\rangle \]

элестүү-убакыттагы энергиянын күтүлгөн мааниси.

Баштапкы абал \(|\psi_I\rangle\) үчүн каалаган \(\hat O\) байкалма чоңдугунун күтүлгөн мааниси

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H}\hat Oe^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I|e^{-2\tau\hat H}|\psi_I\rangle } \]

түрүндө эсептелет.

Баштапкы абал Гамильтониандын өзабалдары боюнча

\[ |\psi_I\rangle=\sum_n a_n|n\rangle \]

түрүндө ачылса, энергия

\[ E_\tau= \frac{ \sum_n E_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} }{ \sum_n |a_n|^2e^{-2E_n\tau} } \]

түрүнө келет. \(E_n>E_0\) болгон козголгон курамдар \(\tau\) өскөн сайын негизги абалга салыштырмалуу ылдамыраак басылгандыктан, жетиштүү узун элестүү убакытта, баштапкы абалдын негизги абал менен дал келиши нөл эмес болсо, система \(E_0\) га жакындайт.

Элестүү-Убакыт Mpemba Эффектиси Деген Эмне?

Элестүү-убакыт Mpemba эффектиси — бир эле Гамильтониан астында эволюцияланган эки баштапкы абалдын ичинен баштапкы энергиясы жогору болгону энергия жагынан негизги абалга ылдамыраак жакындап, белгилүү бир \(\tau\) маанисинен кийин башында төмөн энергиялуу болгон абалды өтүп кетиши; изилдөөдө бул жүрүм-турум энергия ийрилеринин кесилишиши менен аныкталат.

Эмне үчүн баштапкы энергия жалгыз өзү жетиштүү эмес?

Баштапкы абалдын негизги абалга канчалык тез жакындай турганын баштапкы энергия гана аныктабайт. Маанилүүсү — баштапкы толкун функциясынын Гамильтониандын ар башка энергия өзабалдары менен дал келүүлөрү.

Булак сунуш кылган механизмде эки баштапкы абалдын бири төмөн энергиялуу козголгон абалдар менен күчтүү дал келүүгө ээ болушу мүмкүн. Бул курамдардын энергия айырмасы кичине болгондуктан

\[ e^{-2(E_n-E_0)\tau} \]

басылышы салыштырмалуу жай. Ал эми баштапкы энергиясы жогору болгон башка абал негизги абал жана жогорку энергиялуу козголуулар менен күчтүү дал келип, эң төмөн козголгон деңгээлдер менен алсызыраак дал келиши мүмкүн. Жогорку энергиялуу курамдар элестүү убакытта ылдамыраак өчүрүлгөндүктөн, бул абал башында жогору энергияга ээ болсо да негизги абалга ылдамыраак жакындай алат.

Башкача айтканда, ITMEнин ачкычы жөн гана “канчалык жогору энергиядан баштаганы” эмес, бул энергиянын Гамильтониандын өзабалдары арасында кандай бөлүштүрүлгөнү.

Төмөн Энергиялуу Козголуулар ITME Үчүн Эмне Үчүн Маанилүү?

Изилдөөнүн сандык жыйынтыктары айкын ITME өзгөчө төмөн энергиялуу козголуулар бар режимдерде пайда болорун көрсөтөт; кванттык критикалык чекиттердеги боштуксуз критикалык моддор жана үзгүлтүксүз симметрия бузулушунан чыккан Goldstone моддору мындай жай өчүүчү курамдарды камсыздай алат, бирок төмөн энергиялуу козголуулар бар болушу ITMEни жалгыз өзү кепилдей албайт.

π-flux квадрат тор Hubbard модели

Изилдөөчүлөрдүн биринчи негизги мисалы — ар бир plaquette үстүндө \(\pi\) агымы бар квадрат тор Hubbard модели:

\[ H= -\sum_{\langle ij\rangle\sigma} t_{ij}c^\dagger_{i\sigma}c_{j\sigma} +\mathrm{h.c.} + U\sum_i \left( \sum_\sigma n_{i\sigma}-1 \right)^2 . \]

Өз ара аракеттенүүсүз чекте бул модель Dirac чекиттерине ээ. Түртүүчү Hubbard өз ара аракеттенүүсү чоңойгон сайын Dirac жарымметалынан Néel антиферромагниттик изолятор фазасына өтүү болот жана булак критикалык өз ара аракеттенүүнү болжол менен

\[ U_c\simeq5.5 \]

катары колдонот.

Баштапкы толкун функциялары антиферромагниттик орточо-талаа параметри \(M_N\) өзгөртүлүп даярдалат. \(L=20\) системасында \(U=4.0\), \(5.5\) жана \(7.0\) үчүн жүргүзүлгөн QMC эсептөөлөрүнүн баарында айкын энергия-ийриси кесилишүүлөрү байкалат.

Айрыкча \(U=4.0\) мисалында \(M_N=0.9\) баштапкы абалдар арасында эң төмөн баштапкы энергияга ээ болсо, жогорураак баштапкы энергиялуу \(M_N=0\) абалы алда канча тез бошоңдойт жана кыскараак элестүү убакытта негизги-абал энергиясына жакындайт. Бул изилдөөнүн ITMEни эң ачык көрсөткөн мисалдарынын бири.

Бал челеги торундагы spinless t-V модели

Экинчи негизги модель спин ташыбаган фермиондор үчүн

\[ H= -t\sum_{\langle ij\rangle}c_i^\dagger c_j + V\sum_{\langle ij\rangle} \left(n_i-\frac12\right) \left(n_j-\frac12\right) \]

Гамильтонианы. Күчтүү тыгыздык өз ара аракеттенүүсү Dirac жарымметалы менен заряд-тыгыздык-толкуну (CDW) фазасынын ортосунда болжол менен

\[ V_c\simeq1.35 \]

чекитинде кванттык фаза өтүшүн пайда кылат.

Булак \(2\times L\times L\), \(L=12\) торлордо \(V=1.1\), \(1.35\) жана \(1.6\) үчүн ар башка CDW орточо-талаа баштапкы абалдарын изилдейт. Критикалык чекитке жакын бул үч режимде да энергия ийрилеринин кесилишиши ITMEнин пайда болгонун көрсөтөт.

Fermi бети nesting болгон Hubbard модели

Авторлор эффект Dirac фермиондору менен гана чектелбей турганын текшерүү үчүн магниттик агымы жок квадрат-тор Hubbard моделин да изилдешет. Жарым толтурууда бул модель кемчиликсиз \((\pi,\pi)\) Fermi-бети nesting касиетине ээ жана антиферромагниттик туруксуздук \(U>0\) үчүн пайда болот.

\(U=2.0\) жана \(U=4.0\) эсептөөлөрүндө да энергия ийрилеринин кесилишкени көрүнөт. Ошентип ITME Dirac критикалык системаларында гана пайда болгон өзгөчө касиет бойдон калбайт.

Критикалык чекит менен терең иреттелген фазанын айырмасы

Авторлордун механизм түшүндүрмөсүн сыноо үчүн жасаган салыштыруусу өзгөчө маанилүү.

Spinless t-V моделинин \(V=4.0\) маанисиндеги терең CDW фазасында козголуулар толугу менен боштуктуу жана булак айкын ITME көрбөйт. Мунун тескерисинче, π-flux Hubbard моделинин \(U=10.0\) маанисиндеги терең антиферромагниттик фазасында ITME уланат.

Бул айырма антиферромагниттик фазадагы үзгүлтүксүз симметрия бузулушу жараткан боштуксуз Goldstone моддору менен байланыштырылат. Ошентип маанилүү өзгөрмө кванттык критикалык чекитте гана болуу эмес экени; системада төмөн энергиялуу козголуу каналдарынын болушу да окшош шарттарды жарата алары көрүнөт.

Бирок булак бул жерде маанилүү чек коёт: төмөн энергиялуу козголуулар айкын ITME пайда болушу үчүн мүмкүн болгон алдын ала шарт; жетиштүү шарт эмес. Эффекттин көрүнүп-көрүнбөшү ошол эле учурда тандалган баштапкы абалдардын өзабалдар менен дал келүү түзүлүшүнө көз каранды.

Өз ара аракеттенүүсүз системалар эмне дейт?

Supplementary Materials бул түшүндүрмөнү кененирээк текшерет. Өз ара аракеттенүүсүз \(\pi\)-flux Dirac системасында ар башка AFM орточо-талаа талаалары менен даярдалган стандарттуу баштапкы абалдар колдонулганда ITME көрүнбөйт. Бул учурда баштапкы энергиясы төмөн болгон абал негизги абалга ылдамыраак жакындайт.

Ошентсе да авторлор өзабал курамы көзөмөлдүү түрдө тандалган жасалма баштапкы абалдарды түзгөндө, өз ара аракеттенүүсүз системада да ITME жарата алышарын көрсөтүшөт. Бул жыйынтык ITMEни “өз ара аракеттенүү бар/жок” деген экилик менен гана түшүндүрүүгө болбой турганын; чечүүчү чоңдук баштапкы абалдын энергия өзбазисиндеги бөлүштүрүлүшү экенин колдойт.

Эң тез баштапкы абал негизги абалды жакшыраак көрсөтүшү мүмкүнбү?

Изилдөөдө көңүл бурдурган дагы бир байкоо орточо-талаа толкун функцияларынын физикалык ирет параметрлери менен байланыштуу.

Салттуу орточо-талаа ыкмасында “эң жакшы” баштапкы абал көбүнчө энергияны эң аз кылган параметр менен тандалат. ITME табылганда болсо энергия минимумун берген баштапкы абал менен элестүү убакытта эң тез жакындаган баштапкы абал бирдей эмес.

Авторлор π-flux Hubbard моделинде антиферромагниттик түзүлүш факторун \(S_{\mathrm{AFM}}\), spinless t-V моделинде болсо CDW түзүлүш факторун \(S_{\mathrm{CDW}}\) эсептешет. Каралган мисалдарда эң тез жакындаган орточо-талаа абалынын түзүлүш фактору чыныгы негизги-абал жыйынтыгына эң төмөн энергиялуу орточо-талаа абалына караганда кыйла жакын көрүнөт.

Кошумча материалда ар башка система өлчөмдөрү жана өз ара аракеттенүү маанилери менен жүргүзүлгөн кошумча тесттер да ушул эле тенденцияны көрсөтөт. Бирок авторлор бул эрте-убакыт жакындашуу касиети менен негизги-абал байкалмаларынын ортосундагы байланыштын астында жаткан жалпы теория азырынча белгисиз экенин өзгөчө белгилешет.

Изилдөөнүн Ыкмасы жана Жыйынтыктары

Projective Quantum Monte Carlo ыкмасы

Изилдөөнүн негизги сандык ыкмасы — негизги-абал касиеттерин элестүү-убакыт проекциясы менен эсептеген projective determinant Quantum Monte Carlo ыкмасы.

Байкалманын күтүлгөн мааниси Supplementary Materialsта

\[ \langle\hat O\rangle_\tau= \frac{ \langle\psi_I| e^{-\tau\hat H} \hat O e^{-\tau\hat H} |\psi_I\rangle }{ \langle\psi_I| e^{-2\tau\hat H} |\psi_I\rangle } \]

катары берилет.

Элестүү убакыт \(N_\tau\) бөлүккө бөлүнөт:

\[ \Delta\tau=\frac{\tau}{N_\tau}. \]

Өз ара аракеттенүү мүчөлөрү Hubbard–Stratonovich өзгөртүүсү колдонулуп көмөкчү классикалык талааларга ажыратылат. Ошентип фермиондук маселе берилген көмөкчү-талаа конфигурациясы астында билинейр фермион операторлору боюнча эсептеле алат жана көмөкчү талаалар стандарттуу Metropolis маанилүүлүк үлгүлөөсү менен үлгүлөнө алат.

Spinful Hubbard модели үчүн булак төрт маанилүү дискреттик Hubbard–Stratonovich өзгөртүүсүн колдонот. Spinless t-V моделиндеги тандалган тыгыздык-каналы ажыратуусу болсо белги проблемасын алып жүрөрү, бирок изилдөө көңүл бурган кыска элестүү-убакыт режиминде бул проблеманын эске алынбай тургандай экендиги белгиленет.

Энергия Ийрилеринин Кесилишиши Эмне Үчүн ITMEнин Түз Көрсөткүчү?

Эки абал бир эле негизги-абал энергиясына жакындап жатканда башында жогору энергиялуу болгон ийри тезирээк түшүп, башка ийринин астына өтсө, баштапкы энергия тартиби тескери айланган болот; изилдөөдө бул кесилишүү элестүү-убакыт Mpemba эффектинин операциялык көрсөткүчү катары колдонулат.

Негизги сандык жыйынтыктар

Бир өлчөмдүү spin моделиндеги алдын ала жыйынтыктар

Негизги изилдөө фермиондук системаларга багытталса да, кошумча материалда бир өлчөмдүү XXZ spin модели да exact diagonalization ыкмасы менен изилденет:

\[ \hat H= J_x\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^x\sigma_j^x+ J_y\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^y\sigma_j^y+ J_z\sum_{\langle i,j\rangle}\sigma_i^z\sigma_j^z . \]

Авторлор \(J_x=J_y=1\) жана \(L=16\) үчүн ар башка \(J_z\) маанилеринде антиферромагниттик орточо-талаа баштапкы абалдарын эволюциялаштырат. \(J_z=1\) кванттык критикалык чекитинин айланасында энергия ийрилериндеги кесилишүүлөр айкын ITME жүрүм-турумун көрсөтөт.

Бул жыйынтык көрүнүш фермиондук моделдерге гана тиешелүү болбошу мүмкүн экенине алгачкы колдоолордун бири. Бирок изилдөө муну алдын ала изилдөө катары сунуштайт; бардык бозондук системаларга универсалдуу жалпылоо жасалбайт.

QMC эсептөөлөрү үчүн мүмкүн болгон практикалык жыйынтык

Элестүү-убакыт проекциясында талап кылынган максималдуу \(\tau\), эсептөө чыгымын аныктоодо критикалык мааниге ээ. Өзгөчө фермион белги проблемасы бар QMC эсептөөлөрүндө чыгым элестүү убакыт менен абдан тез, булакта шилтеме берилген адабият боюнча экспоненциалдуу өсө алышы себептүү ылдамыраак жакындаган баштапкы абалдарды табуу чоң мааниге ээ.

Салттуу ыкмада орточо-талаа толкун функциясынын параметрлери көбүнчө баштапкы энергияны минималдаштыргандай тандалат. ITME болсо мындай эскертүү берет:

Эң төмөн баштапкы энергия эң кыска элестүү-убакыт проекциясын кепилдебейт.

Ошондуктан оптималдаштыруу максатынын жалгыз

\[ \min E_{\mathrm{initial}} \]

болушунун ордуна, негизги-абалга жакындашуу ылдамдыгын да эске алган тандоо стратегиясы натыйжалуураак болушу мүмкүн.

Бул жыйынтык белги проблемасынын математикалык булагын жок кылбайт. Изилдөө сунуш кылган мүмкүнчүлүк чектелүүрөөк, бирок практикалык: ылайыктуу баштапкы абалдын жардамы менен талап кылынган проекция мөөнөтү кыскартылса, белги проблемасынын эсептөөгө тийгизген таасирине дуушар болгон элестүү-убакыт аралыгы да кыскарышы мүмкүн.

Изилдөө колдогон жыйынтыктар

• Каралган көптөгөн өз ара аракеттенген фермион моделдеринде элестүү-убакыт Mpemba эффектиси байкалат.
• Жогорураак баштапкы энергиялуу абал айрым шарттарда негизги абалга ылдамыраак жакындашы мүмкүн.
• Энергия ийрилеринин элестүү убакытта кесилишиши ITMEнин ачык сандык көрсөткүчү.
• Айкын ITME каралган мисалдарда төмөн энергиялуу козголуулар бар режимдер менен күчтүү байланыштуу.
• Кванттык критикалык чекиттер жана Goldstone моддору мындай төмөн энергиялуу каналдарды камсыздай алат.
• ITMEнин көрүнүшү баштапкы абалдын Гамильтониан өзабалдары менен дал келишине көз каранды.
• Эң төмөн энергиялуу орточо-талаа баштапкы абалы ар дайым эң тез жакындаган баштапкы абал эмес.
• Каралган мисалдарда эң тез жакындаган баштапкы абалдын түзүлүш факторлору чыныгы негизги-абал жыйынтыктарына көңүл бурарлык жакын.
• Баштапкы абалды жакындашуу ылдамдыгына жараша оптималдаштыруу QMC эсептөөлөрүн тездетүү үчүн потенциалдуу стратегия.

Изилдөө далилдебеген жыйынтыктар

• Элестүү убакыт чыныгы физикалык убакыт эмес; ITME чыныгы убакытта ысык кванттык система ылдамыраак муздайт дегенди билдирбейт.
• Изилдөө жалпы жана жабык-формадагы ITME теориясын иштеп чыкпайт.
• Төмөн энергиялуу козголуулар бар болушу ITME сөзсүз пайда болот деп кепилдик бербейт.
• ITME бардык кванттык көп-денелүү системаларда универсалдуу экени көрсөтүлгөн эмес.
• QMC белги проблемасы чечилгени же жоюлганы көрсөтүлгөн эмес.
• Эң тез жакындаган баштапкы абал бардык моделдерде негизги-абал байкалмаларын эң жакшы божомолдой турганы далилденген эмес.
• Изилдөө чыныгы кванттык процессордо ITME тажрыйбасын жүргүзбөйт.
• Бозондук системалар үчүн берилген XXZ жыйынтыгы кеңири универсалдуулук тести эмес, кошумча материалдагы алдын ала сандык табылга.

Булак жана Ыкма Жөнүндө Эскертүү

Түпнуска аталыш:Imaginary-time Mpemba effect in quantum many-body systems

Авторлор: Wei-Xuan Chang, Shuai Yin, Shi-Xin Zhang жана Zi-Xiang Li.

Жүктөлгөн илимий булак: arXiv:2409.06547v1 [cond-mat.str-el], сентябрь 2024.

Булактын камтуусу: Негизги макала менен Supplementary Materials бирге бааланган. Кошумча материалда Projective Quantum Monte Carlo алгоритминин деталдары, spinful honeycomb Hubbard модели, өз ара аракеттенүүсүз Dirac системалары, атайын баштапкы абалдар, кошумча түзүлүш-фактору тесттери жана бир өлчөмдүү XXZ spin моделине тиешелүү алдын ала жыйынтыктар бар.

Учурдагы рецензияланган басылма: Ушул эле изилдөө кийинчерээк Physical Review Letters, Том 136, Макала 100403 катары 11 март 2026 күнү жарыяланган.

DOI: 10.1103/dvrt-n2hq.

Жөнөтүү / ревизия / кабыл алуу: 23 сентябрь 2024 / 1 январь 2026 / 12 февраль 2026.

Илимий мазмун чеги: Бул Verianla макаласындагы ыкма, формулалар, модель параметрлери жана жыйынтыктар жүктөлгөн 2024 v1 версиясынан алынган. 2026 рецензияланган версиясынын кийинчерээк болгон илимий өзгөрүүлөрү бул текстке өткөрүлгөн эмес.

Каржылоо: Булакта Wei-Xuan Chang жана Zi-Xiang Li үчүн NSFC 12347107; Shuai Yin үчүн NSFC 12075324 жана 12222515 менен Guangdong Province 2021QN02X561; Shi-Xin Zhang үчүн Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences баштапкы колдоосу билдирилет.

Кызыкчылыктардын кагылышы: Жүктөлгөн v1 текстинде өзүнчө кызыкчылыктардын кагылышы билдирүүсү жок.

CRediT: Жүктөлгөн v1 текстинде өзүнчө CRediT автор-салым таблицасы жок.

Сүрөттү колдонуу: Рецензияланган APS барагында ©2026 American Physical Society жана кайра колдонууга уруксат шилтемеси бар. Ошондуктан булак сүрөттөрү түз көчүрүлбөшү керек; графиктер булак маалыматтары бар болгондо гана кайра өндүрүлүп, түшүнүк механизмдери болсо Verianla үчүн өз алдынча чиймелер менен түшүндүрүлүшү керек.

Verianla Live: Бул изилдөө Live Figure үчүн ылайыктуу. Эң маанилүү жандуу визуалдаштыруу — эки баштапкы абалдын \(E_\tau\) ийрилерин элестүү убакытта жылдырып, кесилишүү чекитинде ITMEни көрсөтүү. Бирок сандык Live график булак маалыматтары ишенимдүү түрдө чыгарылган же авторлордун маалымат топтому табылган учурда гана колдонулушу керек; PDF графигинен көз менен болжолдуу чекит чыгаруу ылайык эмес.