Sıvıyla doygun yumuşak gözenekli malzemeler sıkıştırıldığında uygulanan yük yalnız katı iskelet tarafından taşınmaz; gözeneklerdeki sıvı basıncı da geçici olarak yük taşır ve sıvının malzemeden dışarı akmasıyla birlikte deformasyon zaman içinde değişir. Bu çalışma, ince bir poroelastik diskin eksenel basma altındaki konsolidasyonunu klasik Terzaghi-Biot confined compression problemiyle karşılaştırmakta ve yan yüzeyi serbest bırakılan unconfined test için yeni bir asimptotik model geliştirmektedir. Klasik confined testte disk sert bir halka tarafından radyal yönde tutulurken unconfined testte yanal deformasyona izin verilir. Yazar, Terzaghi'nin sıfır başlangıç yer değiştirmesi varsayımının serbest yan yüzeydeki sıfır gerilme sınır koşuluyla çeliştiğini göstererek bunun yerine Biot'nun başlangıçta sıfır hacim değişimi koşulunu kullanır. Bu yaklaşımda numune yükleme anında eksenel olarak sıkışır ve radyal olarak genişler; sıvı henüz kaçmadığı için durum yine “undrained”dir. İnce disk varsayımı \(H/R\ll1\) kullanıldığında, basınç ile yanal deformasyon arasındaki bağlaşım klasik konsolidasyon denkleminde bulunmayan nonlokal bir terim üretir. Modelin en dikkat çekici sonucu, unconfined diskin orta düzlemine yakın bölgede gözenek basıncının başlangıç değerinin üzerine geçici olarak çıkabilmesidir. Confined Terzaghi çözümünde ise basınç her noktada monoton biçimde azalır. Basınç aşımının büyüklüğü Poisson oranına bağlıdır; Poisson oranı küçüldükçe nonlokal bağlaşım kuvvetlenir. Model ayrıca sıvı hızının erken dönemde unconfined diskte daha yüksek olduğunu, merkezde hacimsel daralmanın geciktiğini ve eksenel/radyal gerinimlerin zaman içinde klasik confined testten farklı, yer yer nonmonoton davranış gösterebildiğini öngörmektedir. Çalışma yeni laboratuvar deneyi içermemekte; analitik ve sayısal sonuçlarını literatürdeki beyin ve kıkırdak parametreleriyle boyutsal zaman ölçeklerine dönüştürmektedir.

Confined ve Unconfined Basma Testleri Arasındaki Temel Fark Nedir?

Confined compression testinde numunenin çevresindeki rijit halka radyal deformasyonu engeller ve konsolidasyon yalnız eksenel yönde gerçekleşir; unconfined testte ise yan yüzey serbest olduğundan numune yükleme anında radyal olarak genişleyebilir ve bu yanal deformasyon gözenek basıncıyla geri bağlaşarak klasik Terzaghi konsolidasyonunda bulunmayan yeni bir dinamik davranış oluşturur.

Çalışmada başlangıç yarı kalınlığı \(H\), yarıçapı \(R\) olan ince bir silindirik disk ele alınmaktadır:

\[ \delta=\frac{H}{R}\ll1. \]

Disk, \(z=\pm H\) konumundaki iki düz ve geçirgen plaka arasında sabit eksenel kuvvetle sıkıştırılır. Plakalarla temas sürtünmesiz kabul edilir. Yan yüzey ise sıvıya karşı geçirimsizdir; dolayısıyla gözenek sıvısı yalnız üst ve alt geçirgen plakalardan dışarı çıkabilir.

Poroelastik temel denklemler

Model doğrusal, izotropik poroelastisiteye dayanmaktadır. Sıvı faz için Darcy akışı:

\[ \mathbf q = -\frac{\kappa}{\eta}\nabla p \]

ile tanımlanır. Burada \(\kappa\) geçirgenlik, \(\eta\) sıvı viskozitesi ve \(p\) gözenek basıncıdır.

Toplam gerilme, Terzaghi efektif gerilmesi ile sıvı basıncının birleşimi olarak:

\[ \boldsymbol{\tau} = \mathbf T-p\mathbf I = 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} +\lambda\theta\mathbf I -p\mathbf I \]

şeklinde ifade edilir. \(\lambda\) ve \(\mu\) Lamé elastik sabitleri, \(\theta=\nabla\cdot\mathbf u\) hacimsel gerinimdir.

Kütle korunumu ile Darcy yasasının birleştirilmesi sonucunda:

\[ \frac{\partial\theta}{\partial t} = \frac{\kappa}{\eta} \nabla^2p \]

ilişkisi elde edilir. Çalışmanın yeniliği, unconfined ince disk için \(\theta\) ile \(p\) arasındaki ilişkinin yalnız yerel basınca bağlı olmadığını göstermesidir.

Terzaghi Başlangıç Koşulu Serbest Diskte Neden Çelişiyor?

Terzaghi'nin klasik başlangıç koşulu katı iskeletin yük uygulanır uygulanmaz hiç deformasyon yapmadığını varsayar; confined testte rijit halka bu varsayımla uyumluyken unconfined diskte serbest yan yüzey aynı anda hem sıfır efektif radyal gerilme hem sıfır başlangıç gerinimi koşullarını sağlayamaz ve matematiksel bir sınır koşulu çelişkisi ortaya çıkar.

Confined testte klasik Terzaghi koşulu:

\[ \mathbf u(t=0)=0 \]

şeklindedir. Bu durumda efektif katı gerilmeleri başlangıçta sıfır ve uygulanan yük tamamen sıvı basıncı tarafından taşınır:

\[ p_0^{conf}=-\sigma_0. \]

Unconfined testte ise yan yüzey için toplam radyal gerilmenin sıfır olması gerekir:

\[ \tau_{rr} = T_{rr}-p = 0. \]

Eğer başlangıç gerinimleri sıfır kabul edilirse \(T_{rr}=0\) olur ve bununla birlikte \(p=0\) gerekecektir. Fakat yüklenen üst-alt yüzeylerdeki kuvvet dengesi sıfır olmayan başlangıç basıncı gerektirir. Kaynak bu nedenle Terzaghi varsayımının unconfined problem için kullanılamayacağını göstermektedir.

Biot başlangıç koşulu

Alternatif olarak katı iskeletin başlangıçta hareket etmesine izin verilir fakat sıvının kaçmadığı undrained durumda toplam hacim korunur:

\[ \mathbf u(t=0)\neq0, \qquad \nabla\cdot\mathbf u(t=0)=0. \]

Bu koşullar ve kuvvet dengesi birlikte çözüldüğünde:

\[ p_0^{unconf} = -\frac{\sigma_0}{3}. \]

Başlangıç gerinimleri:

\[ \varepsilon_{zz,0} = \frac{\sigma_0}{3\mu}, \]

\[ \varepsilon_{rr,0} = \varepsilon_{\theta\theta,0} = -\frac{\sigma_0}{6\mu} \]

olmaktadır. Kaynağın işaret konvansiyonunda basma gerilmesi negatiftir; dolayısıyla eksenel gerinim sıkıştırıcı, radyal ve çevresel gerinimler genişleticidir.

Böylece yük uygulandığı ilk anda disk kalınlığı azalırken yarıçap artar; buna rağmen:

\[ \varepsilon_{zz} + \varepsilon_{rr} + \varepsilon_{\theta\theta} =0 \]

olduğu için toplam hacim değişmez.

Nonlokal Basınç Terimi Ne Anlama Geliyor?

Nonlokal terim, bir noktadaki hacimsel deformasyonun yalnız o noktadaki gözenek basıncı tarafından değil diskin tüm kalınlığı boyunca oluşan ortalama basınç alanından da etkilenmesi anlamına gelir; böylece yan yüzeyin serbest deformasyonu bütün disk boyunca basınç alanını birbirine bağlayan mekanik bir geri besleme oluşturur.

İnce disk asimptotiğinde radyal yer değiştirme leading order'da kalınlık koordinatından bağımsız hale gelir:

\[ U_r=A(\tilde t)\rho. \]

Yan yüzeyde sıfır radyal kuvvet koşulu kalınlık boyunca integral biçiminde uygulanınca hacimsel gerinim, yerel basınç ile ortalama basıncı birlikte içeren bir forma dönüşür.

Bunun sonucunda:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t} = \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} - \alpha_2 \int_0^1 \frac{\partial P}{\partial\tilde t}\,dZ \]

elde edilir.

Burada:

\[ \alpha_2 = \frac{4\mu}{3\lambda+2\mu} = \frac{2-4\nu}{1+\nu}. \]

Denklem sınır akısıyla yeniden yazıldığında:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t} = \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} - \alpha \left. \frac{\partial P}{\partial Z} \right|_{Z=1} \]

ve:

\[ \alpha = \frac{2-4\nu}{3-3\nu}. \]

Karakteristik konsolidasyon zaman ölçeği:

\[ \tilde t_c = \frac{\eta H^2} {\kappa(\lambda+2\mu)} \]

ile belirlenmektedir. Dolayısıyla karakteristik zaman uygulanan başlangıç basıncından bağımsızdır; disk kalınlığı, sıvı mobilitesi ve katı iskeletin elastik özellikleri tarafından kontrol edilir.

Yöntem ve Bulgular

Basınç neden önce yükseliyor?

Unconfined modelde erken zamanlarda orta düzlem yakınında basınç profili hemen hemen düz olduğundan:

\[ \left. \frac{\partial^2P}{\partial Z^2} \right|_{Z=0} \approx0. \]

Bu durumda yönetici denklem yaklaşık:

\[ \frac{\partial P(0,\tilde t)} {\partial\tilde t} = \alpha Q(1,\tilde t) \]

haline gelir.

Permeable sınırdaki Darcy akışı:

\[ Q(1,\tilde t)>0 \]

olduğu için ilk anda:

\[ \frac{\partial P}{\partial\tilde t}>0 \]

ve merkez basıncı yükselir. Bu, klasik difüzyon teriminin tek başına üreteceği davranış değildir; nonlokal yanal-deformasyon geri beslemesinin doğrudan sonucudur.

\(\nu=1/3\) örneği

Kaynağın Figure 3 açıklamasında \(\nu=\alpha=1/3\) için orta düzlem basıncının zaman türevinin yaklaşık:

\[ \tilde t=0.10 \]

noktasında sıfırı geçtiği belirtilmektedir. Bu değer model eğrisindeki basınç tepesine karşılık gelir. Basınç yaklaşık:

\[ \tilde t<0.18 \]

süresince başlangıç değeri \(P=1\)'in üzerinde kalmaktadır.

Makalenin daha sonraki §6.6 bölümünde \(\tilde t=0.18\) bu kez “maksimum basınç zamanı” olarak adlandırılmıştır. Bu ifade Figure 3 ve §6.1'deki türev analiziyle uyumlu değildir; kaynak içi bu farklılık burada düzeltilmiş bir deney sonucu gibi gizlenmemiştir.

Sıvı akışı

Boyutsuz Darcy hızı:

\[ Q(Z,\tilde t) = -\frac{\partial P}{\partial Z} \]

olarak tanımlanır. Kaynağın Figure 4'ü sıvının orta düzlemden geçirgen yüzeylere doğru hareket ettiğini gösterir. Akış hızı:

• geçirgen yüzeylere yakın bölgelerde ilk anda yüksektir,
• orta düzlemde daha geç gelişir,
• erken zamanda unconfined testte confined testten daha büyüktür,
• zaman içinde monoton olmayan bir geçiş gösterdikten sonra basınç gradyanı söndükçe azalır.

Gerinim nasıl değişiyor?

Figure 5'e göre geçirgen yüzey yakınında sıvı hızla boşaldığı için hacimsel gerinim çok erken zamanda negatif hale gelir. Sıvının taşıdığı yük azaldıkça daha fazla yük katı iskelete aktarılır ve eksenel sıkışma büyür.

Orta düzlemde ise sıvı basıncı geçici olarak yükseldiği için hacimsel daralma gecikir. Bu bölgede ilk undrained duruma göre:

• eksenel basma geriniminin büyüklüğü geçici olarak azalabilir,
• radyal çekme gerinimi azalabilir,
• yani disk ilk genişlemiş durumuna göre geçici bir radyal geri büzülme gösterebilir.

Bununla birlikte net toplam radyal gerinim pozitif kalabilir; dolayısıyla “radyal büzülme” ifadesi başlangıçtaki ani genişlemiş konfigürasyona göre gerçekleşen transient değişimi ifade eder.

Confined ve unconfined konsolidasyon hızı

\(\nu=1/3\) için Figure 7'de \(\tilde t=0.01\) anında geçirgen yüzeye yakın unconfined malzeme nihai hacimsel geriniminin yaklaşık %65'ine ulaşırken, confined örnekte karşılık gelen bölge yaklaşık %90'a ulaşmaktadır.

Bu karşılaştırma, aynı normalize edilmiş zaman ölçeğinde unconfined diskin nihai hacim değişimine doğru daha yavaş ilerlediğini göstermektedir.

Radyal gerilmeler

Unconfined asimptotik çözümde yan yüzeyde sıfır radyal gerilme koşulu her \(Z\) noktasında birebir uygulanamamaktadır. İnce-plaka yaklaşımına uygun olarak bunun yerine kalınlık boyunca net radyal kuvvetin sıfır olması şartı kullanılmaktadır.

Bu nedenle kaynak Figure 6'da lokal toplam radyal gerilmelerin sıfır olmadığı ve orta düzlem ile geçirgen yüzey arasında belirgin şekilde değiştiği görülmektedir. Ancak kalınlık boyunca toplam radyal kuvvet sıfırdır.

Bu nokta modelin önemli bir asimptotik sınırıdır: lokal edge-layer gerilme ayrıntıları leading-order çözüm tarafından çözülmemektedir.

Biyolojik Dokularda Bu Zaman Ölçekleri Ne Anlama Geliyor?

Kaynak, modeli doğrudan yeni bir biyolojik deneyle doğrulamasa da literatürde raporlanan kıkırdak ve beyin konsolidasyon katsayılarını kullanarak 1 mm kalınlığındaki ince bir dokuda gözenek basıncı değişimlerinin saniyelerden onlarca dakikaya uzayabileceğini ve dolayısıyla basınçla sürülen sıvı yeniden dağılımının birden fazla fizyolojik yük çevrimi boyunca devam edebileceğini göstermektedir.

Kaynak ayrıca \(\tilde t=0.18\)'i kıkırdakta yaklaşık 170 saniye, beyin dokusunda yaklaşık 7 saniye olarak boyutlandırmaktadır. Ancak yukarıda belirtildiği gibi bu bölümü “maksimum basınç zamanı” olarak adlandırması Figure 3'teki \(\tilde t=0.10\) tepe koşuluyla çelişmektedir.

Karşılaştırma amacıyla kaynak yaklaşık fizyolojik periyotları kalp atımı için 1 s, solunum için 5 s ve yürüyüş için 1 s mertebesinde vermektedir. Bu nedenle özellikle düşük geçirgenlikli dokularda bir yük çevriminden oluşan sıvı basıncı gradyanı sonraki çevrimlere kadar devam edebilir.

Beyin dokusunda suyun görünür moleküler difüzivitesi yaklaşık:

\[ 7\times10^{-10}\ \mathrm{m^2/s} \]

olarak verilmekte ve bu değer kullanılan beyin konsolidasyon katsayısından yaklaşık bir mertebe küçüktür. Yazar bunu basınçla sürülen poroelastik sıvı yeniden dağılımının salt moleküler difüzyondan daha hızlı gerçekleşebileceğine ilişkin bir ölçek karşılaştırması olarak kullanmaktadır.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Terzaghi'nin sıfır başlangıç deformasyonu koşulu, serbest yan yüzeyli unconfined disk için sınır koşullarıyla çelişmektedir.
• Sıfır başlangıç hacim değişimine dayanan Biot tipi başlangıç koşulu bu çelişkiyi ortadan kaldırmaktadır.
• Aynı uygulanan basma gerilmesinde unconfined başlangıç gözenek basıncı klasik confined değerin üçte biridir.
• İnce unconfined diskte yanal deformasyon ile basınç arasındaki bağlaşım nonlokal bir konsolidasyon terimi üretmektedir.
• Bu terim merkez düzleme yakın bölgede geçici basınç aşımı oluşturabilir.
• Düşük Poisson oranı nonlokal bağlaşımı ve basınç aşımını güçlendirmektedir.
• Unconfined testte erken Darcy akışı confined probleme göre daha yüksek olabilir.
• Merkez düzlemde hacimsel daralma gecikir ve lokal eksenel gerinim nonmonoton değişebilir.
• Modelin zaman ölçeği sıvı mobilitesi, disk kalınlığı ve iki elastik sabitle belirlenmektedir.

Çalışmanın desteklemediği genellemeler

• Çalışma yeni bir kıkırdak, beyin veya optik sinir basma deneyi değildir.
• Basınç aşımı doğrudan biyolojik dokuda ölçülmüş bir klinik bulgu değildir; matematiksel model tahminidir.
• Model büyük gerinimleri açıklamaz; küçük-gerinimli doğrusal poroelastisite kullanır.
• Malzeme izotropik ve homojen kabul edilmiştir.
• Gözenek sıvısı sıkıştırılamaz kabul edilmiştir.
• Disk çok ince, \(H/R\ll1\), kabul edilmektedir.
• Yan yüzey sıvıya karşı geçirimsiz ve üst-alt plakalar geçirgen kabul edilmiştir.
• Akış leading order'da tek boyutlu eksenel drenaja indirgenmiştir.
• Serbest kenardaki lokal gerilme koşulu pointwise değil, kalınlık boyunca toplam kuvvet koşuluyla yaklaşık olarak uygulanmaktadır.
• Literatürdeki cartilage ve brain parametreleri Terzaghi-Biot modeliyle tamamen özdeş constitutive framework'lerden elde edilmemiştir; kaynak bunu yalnız mertebe tahmini amacıyla kullanmaktadır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma:Fluid pressure governs transient radial expansion and contraction of a consolidating thin porous disk.

Yazar: Arina Korneva.

Kurum: Department of Biomedical Engineering, Virginia Tech, Blacksburg, Virginia, USA.

İletişim yazarı: Arina Korneva.

DOI: 10.2139/ssrn.7207555.

SSRN kimliği: 7207555.

Yayın tarihi: SSRN kaydına göre 30 Temmuz 2026.

Yayın statüsü: 28 sayfalık ve hakem değerlendirmesinden geçmemiş preprint.

Çalışma türü: Analitik poroelastisite, asimptotik ince-disk teorisi ve sayısal PDE çözümü. Yeni deneysel veri üretilmemiştir.

Ana varsayımlar: Küçük gerinim, doğrusal ve izotropik katı iskelet, sıkıştırılamaz gözenek sıvısı, sürtünmesiz yükleme yüzeyleri, geçirgen üst-alt plakalar, geçirimsiz yan yüzey ve \(H/R\ll1\) ince disk geometrisi.

Asimptotik sınır: Leading-order radial displacement kalınlık boyunca sabit kabul edildiğinden yan yüzeyde sıfır radyal traction pointwise sağlanamamaktadır; bunun yerine kalınlık boyunca net radyal kuvvetin sıfır olduğu zayıflatılmış sınır koşulu uygulanmıştır.

Literatür tabanlı boyutlandırma: Gerçek zaman tahminlerinde kullanılan kıkırdak ve beyin konsolidasyon katsayıları bu çalışmada ölçülmemiş, önceki yayımlanmış çalışmalardan alınmıştır.

Kaynak içi zamanlama notu: Figure 3 ve §6.1'de \(\nu=1/3\) için \(\partial P/\partial\tilde t=0\) zamanı yaklaşık 0.10 olarak, başlangıç basıncının üzerinde kalma süresi yaklaşık 0.18'e kadar verilmektedir. §6.6 ise 0.18'i maksimum basınç zamanı olarak adlandırmaktadır. Bu iki ifade birbiriyle uyumlu değildir.

Kaynak içi notasyon notu: Nonlokal katsayı için bir cümlede “\(2/3\le\alpha\le0\)” biçiminde ters eşitsizlik yer almaktadır; aynı makaledeki bağıntı ve Figure 2, \(\alpha\)'nın \(\nu=0\) için 2/3'ten \(\nu=0.5\) için 0'a azaldığını göstermektedir.

İlişkili hakemli çalışma: Denis Kucherenko ve Arina Korneva'nın A poroelastic model of the optic nerve shows a significant effect of fluid pressure on the nerve fibers çalışması Mechanics of Materials, Volume 204, 2025, 105299, DOI 10.1016/j.mechmat.2025.105299'da yayımlanmıştır. Yeni çalışma aynı poroelastik biyomekanik araştırma hattıyla ilişkili olmakla birlikte farklı bir ince-disk konsolidasyon problemidir.

Veri erişilebilirliği / finansman / çıkar çatışması: Yüklenen preprintte bunlar için ayrı ve açık beyan bölümleri görülmemektedir; eksik alanlar Verianla tarafından uydurulmamıştır.

Telif: SSRN kaydı tüm hakların saklı olduğunu belirtmektedir. Kaynak Figure 1–7'nin piksel düzeyinde kopyalanması yerine confined/unconfined disk, basınç overshoot'u, Darcy akışı ve radial deformation ilişkileri Verianla için özgün şemalarla yeniden çizilmelidir.