Anizotropik ortalama eğrilik akışı, bir üçgen mesh yüzeyin yalnız geometrik düzgünlüğünü değil, farklı yönlere bakan yüzey alanlarının dağılımını da kontrol ederek biçim bulmasını sağlayan sayısal bir yöntemdir. Klasik sabit ortalama eğrilikli — constant mean curvature, CMC — yüzeylerde enerji bütün yüzey yönlerinde aynıdır. Bu çalışmada ise enerji yoğunluğu \(\gamma(N)\), yüzey normalinin \(N\) yönüne bağlı olarak değiştirilmekte ve böylece constant anisotropic mean curvature — CAMC — yüzeyleri oluşturulmaktadır.

Bu yaklaşım özellikle mimari serbest biçimli yüzeylerde önemlidir; çünkü güneş yönelimi, günışığı, çevresel odaklanma, cephe yönü veya görsel vurgu gibi tasarım koşulları doğal olarak yön-bağımlıdır. Yöntem, bu tür anizotropiyi doğrudan bir enerji dağılımı biçiminde yüzey üretim algoritmasına dahil edebilecek geometrik altyapıyı sunmaktadır.

Çalışmada iki parametrizasyon geliştirilmiştir. 8-parametreli explicit yaklaşım Cahn–Hoffman haritasını analitik biçimde hesapladığı için hızlıdır ve etkileşimli tasarıma daha uygundur. 11-parametreli implicit yaklaşım ise Newton–Raphson tabanlı parametre tanımlaması gerektirdiğinden çok daha pahalıdır fakat asimetrik enerji dağılımları, graph olmayan yüzeyler ve daha çeşitli şekiller üretebilmektedir.

Aynı yarımküre örneğinde 10.000 iterasyonun 8-parametreli yöntemle yaklaşık 114,1 saniye, 11-parametreli yöntemle 8877,1 saniye sürmesi hesaplama maliyetindeki farkı açık biçimde göstermektedir. Buna karşılık 11-parametreli yöntem dairesel, konveks olmayan ve üçgensel sınırlarda daha zengin yüzeyler ve iç crease bölgeleri oluşturabilmiştir.

Çalışma, yöntemin mimari yüzey üretimindeki potansiyelini göstermektedir; ancak güneş radyasyonu, günışığı, yapısal dayanım veya üretim maliyeti doğrudan optimize edilmemiştir. Dolayısıyla sonuçlar bir çevresel performans doğrulamasından çok, bu tür yön-bağımlı kriterlerin daha sonra geometrik enerji tanımına eklenmesini mümkün kılan bir biçim-bulma çerçevesidir.

Sabit ortalama eğrilikli yüzeyler neden mimaride önemlidir?

CMC yüzeyleri yüzeyin her noktasında aynı ortalama eğriliğe sahiptir. Fiziksel açıdan bu yüzeyler sabit iç basınç altında her yönde eşit membran gerilmesine sahip homojen membranların denge biçimleriyle ilişkilidir. Aynı zamanda belirli bir hacmi küçük yüzey alanıyla çevreleme özellikleri nedeniyle pnömatik yapılar, kabuklar ve malzeme-verimli bina zarfları açısından ilgi çekicidir.

Anizotropi Klasik CMC Yüzeyinden Neyi Değiştiriyor?

Klasik izotropik durumda yüzey alanının bütün yönleri aynı enerji maliyetine sahiptir. Anizotropik modelde ise enerji yoğunluğu yüzey normalinin yönüne bağlıdır. Dolayısıyla belirli yönde bakan üçgenlerin yüzey alanı daha pahalı hale getirilebilir ve biçim-bulma akışı o yöndeki alanı azaltmaya çalışır. Tersine düşük enerji yoğunluklu yönler yüzey üzerinde daha geniş yer kaplayabilir.

Pürüzsüz bir yüzey \(M\) için anizotropik enerji:

\[ F_\gamma(M)=\int_M\gamma(N)\,dA \]

olarak tanımlanmaktadır. Burada \(N\), yüzeyin birim normal vektörü; \(dA\), yüzey alanı elemanı; \(\gamma:S^2\rightarrow\mathbb{R}_{>0}\) ise yön-bağımlı enerji yoğunluğudur.

Yüzeyin hacmi:

\[ Vol(M)=\frac{1}{3}\int_M(p\cdot N)dA \tag{1} \]

ile tanımlanır.

\(\gamma\) izotropik olarak sabit ve 1 olduğunda \(F_\gamma\) sıradan yüzey alanına dönüşür ve CAMC modeli klasik CMC modeline indirgenir.

Cahn–Hoffman haritası nedir?

Anizotropik enerjinin yüzey normaline bağlı değişimi Cahn–Hoffman — CH — haritasıyla ifade edilmektedir:

\[ \xi(N)=D\gamma|_N+\gamma(N)N \tag{3} \]

Bu harita enerji yoğunluğu dağılımının geometrik temsilidir. Çalışmadaki yüzey şekillerinin yönlülüğü, kullanılan CH haritasının şekliyle doğrudan ilişkilidir.

Anizotropik ortalama eğrilik

Enerjinin birinci varyasyonundan anizotropik ortalama eğrilik:

\[ \Lambda= -\frac{1}{2}\operatorname{div}_M(D\gamma\circ N)+H\gamma \tag{5} \]

olarak elde edilmektedir.

Hacmi koruyan deformasyonlarda enerji kritik noktaya ulaştığında \(\Lambda\) yüzey boyunca sabittir ve yüzey CAMC olarak tanımlanır.

Ayrık CAMC Yüzeyi Üçgen Mesh Üzerinde Nasıl Tanımlanıyor?

Çalışmada gerçek tasarım yüzeyleri pürüzsüz diferansiyel yüzeyler olarak değil, düz üçgen yüzlerden oluşan triangle mesh olarak temsil edilmektedir. Bir üçgen \(T=(p,q,r)\) için birim normal:

\[ N_T= \frac{(q-p)\times(r-p)} {\|(q-p)\times(r-p)\|} \tag{6} \]

şeklindedir.

Ayrık anizotropik enerji:

\[ F_\gamma(M)= \sum_T\gamma(N_T)Area(T) \tag{7} \]

ve ayrık hacim:

\[ Vol(M)= \frac{1}{6} \sum_{T=(p,q,r)} \det(p,q,r) \tag{8} \]

ile hesaplanmaktadır.

Bir iç köşe \(p\) için CAMC koşulu:

\[ \nabla F_\gamma(p)+2\Lambda\nabla Vol(p)=0 \tag{12} \]

şeklindedir.

dAMC Akışı Yüzeyi Nasıl Biçimlendiriyor?

Çalışmanın temel sayısal güncelleme vektörü discrete anisotropic mean curvature — dAMC — akışıdır:

\[ \Delta p_f= -\nabla F_\gamma(p)-2\Lambda\nabla Vol(p) \tag{30} \]

Bu vektör sıfıra yaklaştığında yüzey ayrık CAMC denge durumuna yaklaşmaktadır.

Ancak yalnız bu akışı kullanmak üçgen yüzlerin aşırı bozulmasına neden olabildiğinden ikinci bir tangansiyel regularization hareketi eklenmiştir:

\[ \Delta p_r= C_p-\langle C_p,\bar N_p\rangle\bar N_p \tag{31} \]

Son köşe güncellemesi:

\[ p\leftarrow p+w_f\Delta p_f+w_r\Delta p_r \tag{32} \]

olarak yapılmaktadır.

Algoritmanın temel döngüsü

1. Her üçgenin normal vektörü hesaplanır.
2. Her normal için Cahn–Hoffman haritası hesaplanır.
3. dAMC akış vektörü hesaplanır.
4. Mesh regularization vektörü hesaplanır.
5. Köşe konumları \(w_f\) ve \(w_r\) ağırlıklarıyla güncellenir.
6. Yakınsamaya kadar işlem tekrar edilir.

8 Parametreli Açık Yöntem Nasıl Çalışıyor?

8-parametreli yöntem enerji yoğunluğunu iki Gielis superformula fonksiyonunun çarpımıyla tanımlar:

\[ r(s)= \left[ \cos^{2k_1}\left(\frac{m_1s}{4}\right) + \sin^{2k_2}\left(\frac{m_1s}{4}\right) \right]^{-1/(2l_1)} \]

\[ R(t)= \left[ \cos^{2k_3}\left(\frac{m_2t}{4}\right) + \sin^{2k_4}\left(\frac{m_2t}{4}\right) \right]^{-1/(2l_2)} \tag{16} \]

ve:

\[ \gamma(\theta,\rho)=r(\theta)R(\rho) \tag{17} \]

olarak kullanır.

Parametreler:

• \(k_1,k_2,k_3,k_4\)
• \(l_1,l_2\)
• \(m_1,m_2\)

olmak üzere sekiz tanedir.

Bu ifade açık biçimde yazılabildiği için CH haritası doğrudan hesaplanabilir ve her iterasyonda ayrı nonlinear parameter identification gerekmez.

İzotropik kontrol deneyi

Bütün sekiz parametre 1 olduğunda enerji dağılımı izotropik hale gelmiştir. Yarıçapı 1 olan dairesel sınır ve \(\Lambda=1\) için başlangıç mesh'i 10.000 iterasyon sonunda klasik bir yarımküreye dönüşmüştür.

Kaynakta dAMC akış normunun yaklaşık başlangıç seviyesinin 1/1000'ine düşmesi ve regularization hareketinin de çok küçülmesi, geometrinin stationary state'e yaklaştığını göstermektedir.

Anizotropi şekli nasıl değiştiriyor?

Enerji haritasının negatif y yönünde büyütüldüğü bir örnekte yüzeyin tepe noktası pozitif y yönüne kaymıştır. Bunun nedeni yüksek enerji yoğunluğuna karşılık gelen yöndeki yüzey alanını küçültme eğilimidir.

Diğer parametre setlerinde CH haritasındaki katlanma ve bükülme bölgeleri yüzeyde keskin iç sınırlar veya crease'ler olarak ortaya çıkmıştır.

Torus ve çift-torus topolojileri

dAMC akışı yalnız genus-0 disk yüzeylerle sınırlı değildir. Yarım torus ve çift-torus benzeri yüzeylerde de sabit dış sınırlar altında anizotropik deformasyonlar üretilebilmiştir.

Torus örneğinde ridge çizgisi pozitif y yönüne kayarken yz-düzlemine göre simetri korunmuştur. Çift-torus örneğinde merkezdeki en yüksek bölge pozitif x yönüne kaymıştır.

Çalışmanın Yöntemi ve Bulguları

11 Parametreli Örtük Yöntem Neden Daha Esnek?

11-parametreli yaklaşım sekiz temel parametreye ek olarak enerji yoğunluğu yüzeyinin merkezini değiştiren \(a,b,c\) bileşenlerini kullanır. Böylece enerji dağılımı orijine göre simetrik olmak zorunda değildir ve ortaya çıkan yüzey şekli de belirgin biçimde asimetrik olabilir.

Enerji yüzeyinin koordinatları:

\[ x(s,t)=a+r(s)R(t)\cos s\cos t \]

\[ y(s,t)=b+r(s)R(t)\cos s\sin t \]

\[ z(s,t)=c+r(s)\sin s \tag{21} \]

ilişkileriyle tanımlanmaktadır.

Neden Newton–Raphson gerekiyor?

Bu modelde verilen bir yüzey normaline karşılık gelen \(s,t\) değerleri açık biçimde tersine çevrilememektedir. Dolayısıyla her normal için:

\[ g(s,t,\gamma)=0 \tag{34} \]

nonlinear sistemi Newton–Raphson ile çözülmektedir.

Her iterasyonda Jacobian:

\[ J(s,t,\gamma) \tag{35} \]

oluşturulmakta ve:

\[ J^{(k)}\delta u^{(k)} = -g^{(k)} \]

denkleminden parametre düzeltmesi hesaplanmaktadır.

Bu işlemin yüzeydeki çok sayıdaki normal için tekrar edilmesi 11-parametreli yöntemin hesaplama maliyetinin temel nedenidir.

Regularization ağırlığının etkisi

Bu karşılaştırma regularization'ın yalnız estetik mesh smoothing olmadığını; CAMC akışının numerik olarak hesaplanabilir kalması için önemli olduğunu göstermektedir.

Graph Olmayan Bir CAMC-Benzeri Yüzey Üretilebildi mi?

Evet. 11-parametreli asimetrik enerji dağılımı, yarıçapı 1 olan dairesel planar sınırdan başlayan modelde 10.000 iterasyon sonunda graph olmayan bir yüzey üretmiştir. Bu yüzey klasik anlamda bütün plan bölgesi üzerinde tek değerli \(z=f(x,y)\) biçiminde ifade edilememektedir.

Kaynak bu yüzeyi matematiksel olarak CAMC olduğu kanıtlanmış bir çözüm diye değil, CAMC gibi görünen sayısal bir yüzey olarak tanımlamaktadır. Eğrilik akışı tam olarak sıfıra ulaşmasa da geç iterasyonlarda köşe hareketleri çok küçülmüştür.

Konveks Olmayan Sınırda Yöntem Çalıştı mı?

Konveks olmayan planar boundary ile başlatılan örnekte iki lokal dışbükey bölüm üzerinde üçgensel tepeler oluşturulmuştur. Dar bağlantı bölgesinde bir miktar mesh distortion görülmüş olsa da genel yüzey büyük ölçüde düzgün kalmıştır.

Bu sonuç CAMC biçim-bulmanın yalnız daire veya konveks polygonlarla sınırlandırılmasının zorunlu olmadığını sayısal olarak düşündürmektedir.

\(\Lambda\) Değeri Üretilen Yüzeyi Nasıl Değiştiriyor?

Üçgensel sınır örneklerinde üç farklı \(\Lambda\) değeri incelenmiştir.

Bu deney CAMC çözümünün verilen sınır ve enerji yoğunluğu için her \(\Lambda\) değerinde var olmasının garanti edilmediğini açık biçimde göstermektedir.

Sınır yönelimi ile enerji yönelimi uyuşmazsa ne oluyor?

Üçgensel başlangıç yüzeyi z-ekseni çevresinde 90° döndürüldüğünde final geometri enerji dağılımının tercih ettiği üçgensel yönle hizalanmak amacıyla twist yapmıştır. Bunun sonucunda özellikle köşe bölgelerinde mesh distortion artmıştır.

Bu davranış yöntem açısından mimari açıdan ilginçtir: enerji yönelimi geometrik boundary ile aynı yönde olmadığında algoritma yalnız yükseklik veya eğrilik değiştirmekle kalmayıp yüzeyin iç yönelimini de yeniden organize etmektedir.

8 Parametre ve 11 Parametre Arasında Hesaplama Farkı Ne Kadar?

İki süre arasındaki oran yaklaşık:

\[ \frac{8877,1}{114,1}\approx77,8 \]

olduğundan 11-parametreli test yaklaşık 77,8 kat toplam hesap süresi gerektirmiştir.

Kaynak bunu yaklaşık %7780 daha uzun biçiminde ifade eder. Ham sürelerden hesaplanan gerçek süre artışı yaklaşık %7680'dir; %7780 değeri 11-parametre süresinin 8-parametre süresinin yaklaşık %7780'i olmasına karşılık gelir.

Test bilgisayarı

• Intel Xeon w3-2423, 2,11 GHz
• 6 CPU çekirdeği
• 64 GB RAM
• AMD Radeon RX7600, 8 GB
• Python uygulaması

Mimari Tasarım Açısından Hangi Yöntem Daha Uygun?

8-parametreli yöntem hesaplama hızının önemli olduğu erken tasarım ve CAD içi etkileşimli form aramalarına daha uygundur. Ancak enerji dağılımının simetri ve normal yönü kapsamındaki kısıtları nedeniyle oluşturabileceği yüzey ailesi daha dardır.

11-parametreli yaklaşım hesap maliyetinin kabul edilebildiği durumlarda daha büyük bir tasarım uzayı sunar. Enerji yoğunluğu asimetrik olabilir, yüzeyin iç kısmında crease'ler oluşabilir ve graph olmayan geometriler üretilebilir.

Çalışmanın desteklediği sonuçlar

• Üçgen mesh üzerinde ayrık anizotropik ortalama eğrilik akışı uygulanabilmiştir.
• Anizotropik enerji dağılımı yüzey alanının yönlere göre dağılımını değiştirebilmiştir.
• İzotropik parametrelerde yöntem klasik CMC yarımküre çözümünü yeniden üretmiştir.
• 8-parametreli yöntem CH haritasını explicit hesaplayarak çok daha kısa hesap süresi sağlamıştır.
• 11-parametreli yöntem asimetrik enerji dağılımları oluşturabilmiştir.
• Torus ve çift-torus benzeri non-zero-genus yüzeyler deforme edilebilmiştir.
• Graph olmayan yüzey örneği 11-parametreli yöntemle sayısal olarak oluşturulmuştur.
• Konveks olmayan planar sınırla yüzey üretilebilmiştir.
• Regularization mesh bozulmasını azaltmada kritik rol oynamıştır.
• \(\Lambda\) ve enerji parametreleri yüzey ailesini güçlü biçimde değiştirmiştir.
• Sınır yönelimi ile enerji yönelimi arasında uyuşmazlık olduğunda twist oluşabilmiştir.

Çalışmanın desteklemediği sonuçlar

• Üretilen yüzeylerin güneş kazancını gerçekten azalttığı veya artırdığı ölçülmemiştir.
• Günışığı performansı simüle edilmemiştir.
• Yapısal dayanım veya buckling analizi yapılmamıştır.
• Malzeme kullanımında gerçek bir yüzde tasarruf ölçülmemiştir.
• Panelizasyon veya üretim maliyeti hesaplanmamıştır.
• 11-parametreli bütün sonuçların matematiksel olarak tam CAMC yüzeyler olduğu analitik olarak kanıtlanmamıştır.
• Non-graph ve non-convex örnekler yeni CAMC varlık teoremini kanıtlamaz; yeni matematiksel koşullar olabileceğine dair sayısal işaretlerdir.
• Her boundary ve her \(\Lambda\) kombinasyonunda yakınsama garanti değildir.
• 8-parametreli yöntemin gerçek zamanlı CAD kullanım hızı bütün geometriler için deneysel kullanıcı testiyle doğrulanmamıştır.

Kaynak ve Yöntem Notu

Özgün çalışma: Anisotropic mean curvature flow for generating discrete surfaces with orientation-based area distribution.

Yazarlar: Kentaro Hayakawa; Yoshiki Jikumaru; Kazuki Hayashi; Shun Kumagai; Miyuki Koiso.

Sorumlu yazar: Kentaro Hayakawa.

Kurumlar: Department of Conceptual Design, College of Industrial Technology, Nihon University; Faculty of Information Networking for Innovation and Design, Toyo University; Department of Architecture and Architectural Engineering, Kyoto University; Faculty of Engineering, Hachinohe Institute of Technology; Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University.

Kaynak türü: SSRN preprint.

SSRN Abstract: 6966510.

DOI: 10.2139/ssrn.6966510.

PDF tarihi: 19 Haziran 2026.

PDF'deki gönderim bilgisi: “Preprint submitted to Computer Aided Geometric Design”.

Hakemlik durumu: Yüklenen PDF her sayfada “This preprint research paper has not been peer reviewed” ve “Preprint not peer reviewed” ifadelerini taşımaktadır.

Finansman: JST CREST, Grant Number JPMJCR1911.

Çıkar çatışması: Yazarlar bilinen finansal çıkar veya kişisel ilişki bulunmadığını beyan etmektedir.

Veri erişilebilirliği: Verilerin makul talep üzerine sağlanacağı belirtilmiştir.

Ana matematiksel yapı: yön-bağımlı anizotropik enerji \(F_\gamma\), Cahn–Hoffman haritası, discrete CAMC condition, dAMC curvature flow ve tangential mesh regularization.

8-parametreli model: Gielis superformula tabanlı explicit enerji yoğunluğu; Cahn–Hoffman haritası doğrudan hesaplanmaktadır.

11-parametreli model: üç ek \(a,b,c\) öteleme parametresiyle asimetrik enerji yüzeyi; verilen normal yönüne karşılık gelen parametreler Newton–Raphson ile belirlenmektedir.

Karşılaştırma testindeki hesaplama ortamı: Intel Xeon w3-2423 2,11 GHz, 6 çekirdek, 64 GB RAM, AMD Radeon RX7600 8 GB; Python implementasyonu.

Hesap süresi QA notu: Kaynak 114,1 s ve 8877,1 s değerlerinden 11-parametreli yöntemi “yaklaşık %7780 daha uzun” olarak tanımlamaktadır. Oran 8877,1/114,1≈77,8 olduğundan toplam süre yaklaşık %7780, artış ise yaklaşık %7680'dir. Bu Verianla metni ham süreleri ana kaynak veri olarak tutmaktadır.

Yakınsama sınırı: Bazı anizotropik örneklerde dAMC normu iç crease bölgelerinde sıfıra güçlü biçimde yakınsamamakta; buna rağmen son iterasyonlarda köşe hareketleri küçük kalmaktadır. Kaynak bu durumun pratik yüzey üretiminde ciddi problem oluşturmadığını belirtmektedir.

Matematiksel kanıt sınırı: Non-graph ve non-convex boundary örnekleri CAMC yüzey varlığı konusunda sayısal gözlemlerdir. Çalışma yeni genel bir varlık/teklik teoremi ispatlamamaktadır.

Mimari performans sınırı: Güneş yönelimi, daylighting, yapısal performans, üretim kolaylığı ve fairness-design yöntemin motivasyon alanlarıdır. Bunların performansı bu çalışma içinde doğrudan hesaplanan çok amaçlı optimizasyon kriterleri değildir.

Görsel kaynak notu: PDF'nin 3. sayfasındaki üç mimari proje fotoğrafı yazarlara aittir. Verianla için bu fotoğrafları kopyalamak yerine enerji yönü, güneş oku, CH-map, triangle mesh ve CAMC kabuk dönüşümünü kullanan özgün bir görsel hazırlanmalıdır.

Görsel yeniden çizim önerisi: Solda başlangıç yarımküre/triangle mesh, merkezde yönlere göre renklendirilmiş anizotropik enerji yoğunluğu \(\gamma(N)\), sağda asimetrik CAMC mimari kabuk; alt bölümde “8 parametre: 114,1 s” ve “11 parametre: 8877,1 s”; ek olarak non-graph, non-convex ve triangular-boundary küçük örnekleri.